Hệ phương trình vi phân
Xét hệ phương trình có dạng
Nghiệm x(t) của hệ phương trình vi phân (1.1) là hàm khả vi liên tục thỏa mãn: i) (t, x(t)) ∈ I ×D ii) x(t) thỏa mãn phương trình vi phân (1.1)
Giả sử hàm f(t,x) liên tục trên I ×D, khi đó nghiệm x(t) cho bởi dạng tích phân sau: x(t) =x 0 +R t t
Định lý Picard-Lindeloff khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm của hệ phương trình vi phân, xét hệ phương trình vi phân trong đó hàm f(t, x) liên tục theo t và thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo x.
Với mỗi điểm \$(t_0, x_0) \in I \times D\$, tồn tại một khoảng \([t_0 - d, t_0 + d]\) mà hệ phương trình có nghiệm duy nhất, nghĩa là có một và chỉ một đường cong tích phân đi qua điểm đó Theo định lý Caratheodory, nếu \$f(t, x)\$ đo được theo \$t \in I\$ và liên tục theo \$x \in D\$, đồng thời tồn tại hàm khả tích \$m(t)\$ trên \((t_0, t_0 + b)\$ thỏa mãn một điều kiện nào đó (điều kiện này không được nêu rõ trong đoạn văn), thì nghiệm sẽ tồn tại.
Khi đó hệ (1.1) có nghiệm trên [t0, t0 +b] nào đó. Định lý Caratheodory chỉ khẳng định sự tồn tại nghiệm chứ không duy nhất.
Trong trường hợp đối với hệ phương trình tuyến tính
Với các hàm liên tục A(t) và g(t) trên R+, hệ phương trình luôn có nghiệm duy nhất trên R+; đặc biệt, với hệ tuyến tính hằng số A(t)=A, B(t)=B, nghiệm duy nhất được biểu diễn qua công thức Cauchy: \$x(t) = e^{At}x_0 + \$\$.
Hệ phương trình vi phân có trễ
Hệ phương trình vi phân mô tả mối quan hệ giữa biến thời gian, trạng thái hệ thống và tốc độ thay đổi trạng thái Trong thực tế, các quá trình tự nhiên thường liên quan đến quá khứ, điều mà các mô hình cổ điển không thể miêu tả đầy đủ Do đó, việc phân tích hệ thống dựa trên cả thông tin và trạng thái trước đó là cần thiết, dẫn đến khái niệm về hệ trễ, nơi hoạt động phụ thuộc vào cả trạng thái hiện tại và quá khứ.
Trong hệ thống phụ thuộc vào quá khứ với độ trễ h (0 < h < +∞), x(t) là hàm trễ liên tục trên R+ và nhận giá trị trên Rn Không gian các hàm liên tục từ [-h; 0] vào Rn được ký hiệu là C = C([-h; 0], Rn), với chuẩn xác định.
||φ(t)| | với t≥ 0, x t ∈ C. Đặt x t (s) = x(t+s),∀s ∈ [−h; 0] là quỹ đạo của x(t) với chuẩn
Phương trình vi phân có trễ có dạng tổng quát
Định lý tồn tại nghiệm của hệ phương trình vi phân có trễ (1.2) đã được chứng minh, với hàm f ánh xạ từ R+ × C([-h; 0], Rn) vào Rn và hàm ban đầu φ(t) liên tục Định lý 1.1.3 khẳng định sự tồn tại duy nhất nghiệm địa phương cho bài toán này.
Trong một tập mở Ω của R×C, nếu f(t, ) : Ω → R n liên tục theo t và f(t, φ) là Lipschitz theo φ trong mỗi tập con compact của Ω, thì nghiệm duy nhất đi qua điểm (t0, φ) của phương trình (1.2) tồn tại Định lý 1.1.4 khẳng định sự tồn tại và duy nhất nghiệm toàn cục khi f : [0,+∞)×P C([−h,0],R n ) thỏa mãn các điều kiện nhất định.
(i) Với bất kỳ H > 0, tồn tại M(H) > 0 sao cho kf(t, φ)k ⩽ M(H),
(ii) Hàm f(t, φ) là hàm liên tục theo cả hai biến;
(iii) Hàm f(t, φ) thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến thứ hai, tức là tồn tại hằng số Lipschitz L(H) > 0 sao cho kf(t, φ 1 )−f(t, φ 2 )k⩽ L(H)kφ 1 −φ 2 k C với mọi t⩾ 0,φ i ∈ P C([−h,0],R n ), kφ i k C ⩽ H, i= 1,2.
[0,+∞) là hàm liên tục, không giảm và sao cho với r 0 ⩾ 0 bất kỳ điều kiện sau thỏa mãn
Khi đó, với t 0 ⩾ 0 và φ ∈ P C([−h,0],R n ) cho trước, hệ (1.2) có duy nhất nghiệm x(t 0 , φ, f) xác định trên [t 0 −h,+∞) với điều kiện ban đầu x t 0 = φ.
Hệ phương trình vi phân có trễ có dạng
(1.3) trong đó A(t), B(t) là n×n- ma trận liên tục trên R + , hàm φ(t) liên tục trên [−h; 0] Theo [6], hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ luôn có nghiệm duy nhất trên [0; +∞).
Hệ điều khiển
Xét hệ phương trình vi phân điều khiển
Trong hệ thống điều khiển, \$\mathbf{x}(t) \in \mathbb{R}^n\$ là vectơ trạng thái và \$\mathbf{u}(t) \in \mathbb{R}^m\$ là vectơ điều khiển, với hàm \$\mathbf{f}(t, \mathbf{x}, \mathbf{u})\$ thỏa mãn điều kiện để hệ có nghiệm duy nhất Điều khiển chấp nhận được \$\mathbf{u}(t) \in L^2([0, T], \mathbb{R}^m)\$ đảm bảo hệ điều khiển có nghiệm duy nhất, được tính bằng công thức \$\mathbf{x}(t) = \mathbf{x}_0 + \int_0^t \mathbf{f}(s, \mathbf{x}(s), \mathbf{u}(s)) ds\$ Đối với hệ điều khiển tuyến tính \$\dot{\mathbf{x}}(t) = A(t)\mathbf{x}(t) + B(t)\mathbf{u}(t)\$, nghiệm \$\mathbf{x}(t, \mathbf{x}_0, \mathbf{u})\$ tồn tại tại mọi thời điểm t.
0 Φ(t, s)B(s)u(s)ds, t ≥0, trong đó Φ(t, s) là ma trận nghiệm cơ bản của hệ tuyến tính thuần nhất: ˙ x(t) =A(t)x(t), t ≥ 0.
Trường hợp hệ là hằng số: A(t) = A, B(t) = B, thì nghiệm cauchy được cho bởi công thức: x(t, x 0 , u) = e At x 0 + t
Bài toán ổn định và ổn định hóa
Bài toán ổn định Lyapunov
Xét hệ phương trình vi phân thường dạng
Trong đó, nghiệm 0 của hệ được gọi là ổn định nếu với mọi \$\epsilon > 0\$, tồn tại \$\delta > 0\$ sao cho \$\|x(t)\| < \epsilon\$ với mọi \$t \geq t_0\$ Nghiệm 0 được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và \$\lim_{t \to \infty} \|x(t)\| = 0\$ Nghiệm 0 được gọi là ổn định mũ nếu tồn tại các số \$M > 0\$ và \$\delta > 0\$ sao cho nghiệm \$x(t)\$ thỏa mãn một điều kiện nhất định liên quan đến \$M\$ và \$\delta\$.
||x(t)| | ≤ M.e −δ(t−t 0 ) |x 0 |,∀t ≥ t 0 Để ngắn gọn cách gọi, nghiệm 0 là ổn định được thay bằng cách gọi hệ là ổn định.
Ví dụ 1.2.4 Xét hệ phương trình vi phân sau trong R: ˙ x(t) =ax(t), t ≥ 0, với điều kiện ban đầu x(t 0 ) = x 0 Khi đó dễ thấy nghiêm cho bởi công thức x(t) = x 0 e at , t ≥ 0.
Nếu a < 0 hệ ổn định (tiệm cận, mũ).
Nếu a > 0 hệ không ổn định. Đối với hệ tuyên tính hằng số véc tơ ˙ x(t) =Ax(t), x(0) = x 0 , t ≥ 0, (1.6) trong đó x ∈ R n , A ∈ R n×n ta có
Hệ (1.6) ổn định tiệm cận khi ma trận A ổn định, nghĩa là \$\Re \lambda(A) < 0\$, đảm bảo phần thực của mọi giá trị riêng của A đều âm.
Hoặc ta có tiêu chuẩn ổn định tiệm cận dựa trên nghiệm của phương trình Lyapunov
Mệnh đề 1.2.5 Hệ (1.6) là ổn định tiệm cận nếu tồn tại các ma trận đối xúng xác định dương P > 0, Q > 0 thỏa mãn phương trình Lyapunov:
A T +P A+Q = 0. Đối với hệ phương trình tuyến tính có trễ ˙ x(t) = Ax(t) + Dx(t−h), x(t) =φ(t), t∈ −h,0], (1.7) thì ta có tiêu chuẩn ổn định tiêm cận trình bày trong [3] như sau Ký hiệu f(s) (sI −A−e −sh D), ∆ = {s : f(s) = 0}.
Mệnh đề 1.2.6 Hệ tuyến (1.7) ổn định tiệm cận khi và chỉ khi
Phương pháp hàm Lyapunov
Hàm Lyapunov được định nghĩa cho hệ phương trình vi phân thường \$\dot{x}(t) = f(t, x(t))\$, với \$t \geq 0\$, trong đó \$x(t) \in \mathbb{R}^n\$ là véc tơ trạng thái và \$f: \mathbb{R}^+ \times \mathbb{R}^n \rightarrow \mathbb{R}^n\$ là hàm cho trước thỏa mãn \$f(t, 0) = 0, \forall t \geqslant 0\$ Ký hiệu \$K\$ là tập hợp các hàm liên tục tăng chặt \$\alpha: \mathbb{R}^+ \rightarrow \mathbb{R}^+\$ sao cho \$\alpha(0) = 0\$.
Hàm V(t, x) : R + ×R n →R, V(t,0) = 0,∀t⩾ 0, khả vi liên tục gọi là hàm Lyapunov của hệ (1.8) nếu: i) V(t, x) là xác định dương theo nghĩa:
Nếu hàm V(t, x) thỏa mãn các điều kiện iii) ∃b(.) ∈ K : V(t, x) ⩽ b(||x||), ∀(t, x) ∈ R + ×R n iv) ∃c(.) ∈ K : V˙ (t, x(t)) ⩽ −c(||x(t)||), với mọi nghiệm x(t) thì ta goi hàm V(t, x) là hàm Lyapunov chặt.
Định lý Lyapunov là công cụ quan trọng để đánh giá tính ổn định của hệ thống, trong đó, nếu hệ có hàm Lyapunov thì hệ ổn định, và nếu có hàm Lyapunov chặt thì hệ ổn định tiệm cận Một định lý khác chỉ ra rằng, nếu tồn tại các hằng số dương \$\$\lambda_1, \lambda_2\$\$ sao cho \$\$\lambda_1 ||x|| \leqslant V(t, x) \leqslant \lambda_2 ||x||\$\$ và đạo hàm của hàm Lyapunov thỏa mãn \$\$\dot{V}(t, x(t)) \leqslant -\alpha V(t, x(t))\$\$ thì hệ ổn định mũ với các tham số \$\$\alpha\$\$ và \$\$N = \frac{\lambda_2}{\lambda_1}\$$.
1 là các hệ số ổn định Lyapunov.
Tương tự như phương trình vi phân thường, ta cũng có phương pháp hàm Lya- punov cho phương trình vi phân có trễ (1.2).
Cho V : R + × C → R là một hàm liên tục và x(t0, φ) là một nghiệm đi qua (t0, φ) Đạo hàm bên phải của hàm V(.) dọc theo nghiệm của hệ (1.2) được xác định bởi công thức:
Định lý 1.2.9 phát biểu rằng nếu tồn tại hàm V thỏa mãn điều kiện chặn trên và dưới bởi norm của nghiệm, hệ (1.2) sẽ ổn định Nếu đạo hàm của hàm V thỏa mãn điều kiện \$\$\dot{V}(t, x_t) \leqslant -2\lambda_3 V(t, x_t)\$\$ thì hệ ổn định mũ với chỉ số ổn định Lyapunov \$\$\alpha = \lambda_3\$\$ và \$N = \sqrt{\frac{\lambda_2}{\lambda_1}}\$$.
Bài toán ổn định hóa
Xét hệ phương trình điều khiển
Trong lý thuyết điều khiển, hệ phương trình \$\dot{x}(t) = f(t, x(t), u(t))\$ được gọi là ổn định hóa được nếu tồn tại điều khiển phản hồi \$u(t) = h(x(t))\$ sao cho hệ kín ổn định tiệm cận Đối với hệ tuyến tính \$\dot{x}(t) = Ax(t) + Bu(t)\$, tính ổn định hóa được xác định bởi sự tồn tại của ma trận phản hồi \$K\$ sao cho \$\dot{x}(t) = (A + BK)x(t)\$ ổn định tiệm cận, tức là \$\Re(\lambda(A + BK)) < 0\$ Hệ (1.10) ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận \$K \in \mathbb{R}^{m \times n}\$ sao cho ma trận \$(A + BK)\$ ổn định với điều kiện phản hồi \$u(t) = Kx(t)\$ Điều này tương đương với việc tồn tại các ma trận đối xứng dương xác định \$P > 0\$ và \$Q > 0\$ thỏa mãn một điều kiện nhất định liên quan đến \$A, B, P, Q\$.
A T P + P A−P BB T P +Q = 0 và điều kiện phản hồi là u(t) =− 1 2 B T P x(t).
Các bổ đề cơ bản
Xét hệ điều khiên tuyến tính ˙ x(t) = A(t)x(t) +B(t)u(t), t ≥ 0 (1.11)
Ký hiệu \$x(t, x_0, u(t))\$ là nghiệm của hệ phương trình tại thời điểm \$t\$, xuất phát từ \$x_0\$ ứng với điều khiển \$u(t)\$ Hệ phương trình được gọi là điều khiển được toàn cục nếu với mọi \$x_0 \in \mathbb{R}^n\$, tồn tại thời gian \$T > 0\$ và điều khiển chấp nhận được \$u(t) \in \mathbb{R}^m\$ sao cho \$x(T, x_0, u(t)) = 0\$.
Trong trường hợp hệ (1.11) là hằng số, thì hệ là điều khiển được toàn cục nếu thỏa mãn tiêu chuẩn hạng Kalman: rank{B, AB, , A n−1 B} = n.
Hệ điều khiển tuyến tính với các hàm A(t), B(t) khả tích và khả vi liên tục, có khai triển Taylor tại lân cận gốc, điều khiển được toàn cục nếu tồn tại \$t_0 \ge 0\$ sao cho rank[\$M_0(t_0), M_1(t_0), , M_{n-1}(t_0)\$] = n.
Bổ đề 1.3.2 (([6])) Giả sử hệ điều khiển tuyến tính (1.11) là điều khiển toàn cục, khi đó với mỗi ma trận Q(t) ≥0, P 0 ≥ 0 phương trình vi phân Riccati:
Các kết quả sau đây được sử dụng để chứng minh định lý.
Bổ đề 1.3.3 (Bất đẳng thức Cauchy ma trận [5]) Giả sử rằng S ∈ M n×n là một ma trận đối xứng xác định dương thì với mỗi Q ∈ M n×n ta có
2hQy, xi − hSy, yi ≤ hQS −1 Q T x, xi,∀x ∈ R n
Bổ đề 1.3.4 (Bổ đề phần bù Schur [5]) Cho P, Q, S ∈ M n×n là những ma trận sao cho S > 0, S = S T thì
Bài toán ổn định và ổn định hóa
Trong chương này, chúng tôi tập trung vào việc trình bày các kết quả quan trọng về tính ổn định của hệ phương trình vi phân có trễ, một chủ đề được nghiên cứu sâu trong [7] Các kết quả này cung cấp cơ sở lý thuyết cho việc ổn định hóa hệ thống.
Các điều kiện về tính ổn định hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ
phân tuyến tính có trễ
Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính với nhiều độ trễ
(2.1) trong đóh = max{h i :i = 1,2 , m}, A i (t) ∈ M n×n , i = 0,1 , m, là các hàm ma trận liên tục, φ(t) ∈ C([−h; 0],R n ) với ||φ| |= sup t∈[−h;0]
||φ(t)| |. Định nghĩa 2.1.1 Cho số α > 0 cố định Hệ (2.1) được gọi là α - ổn định nếu có một hàm số ξ(.) : R + −→ R + sao cho với mỗi φ(t) ∈ C([−h; 0],R n ), nghiệm x(t, φ) của hệ thỏa mãn
A i,α (t) =e αh i A i (t), i= 1,2, , m. Định lý 2.1.2 Hệ phương trình vi phân (2.1) là α - ổn định nếu tồn tại một ma trận đối xứng xác định dương P(t) > 0, thỏa mãn một trong hai điều kiện sau:
(2.3)Chứng minh Giả sử P(t) > 0, t ∈ R + là một nghiệm của RDE (2.3) Đặt phép thế y(t) =e αt x(t), hệ phương trình tuyến tính (2.1) được đổi thành hệ
Xét hàm Lyapunov cho hệ (2.4)
Rt t−h i||y(s)| | 2 ds. Lấy đạo hàm của V(.) theo t ta có
Theo điều kiện (2.2) ta có
Theo mệnh đề 1.3.6 ta có
V(t, y(t)) ≤ − ||y(t)| | 2 ,∀t∈ R + (2.6) Lấy tích phân cả 2 vế của bất đẳng thức (2,6) từ 0 đến t, ta có
−h i ||y(s)| | 2 ds, vì V(t, x) ≥ 0 Mặt khác vì
Cho t −→ +∞ và chú ý P(0)>0, ta tìm được R∞
0 ||y(s)| | 2 ds < +∞, điều đó chỉ ra rằng y(t) ∈ L 2 ([0,∞),R n ) và do đó nghiệm y(t, φ) là một hàm khả vi liên tục và giới nội (bị chặn) được xác định
∃ξ(.) : R + −→ R + : ||y(t, φ)| | ≤ ξ(||φ| |),∀t ≥ 0. Theo cách giải của hệ và chú ý rằng
||x(t, φ)| | ≤ ξ(||φ| |)e −αt ,∀t ∈ R + Bất đẳng thức trên có nghĩa rằng hệ (2.1) là α-ổn định Để chứng minh điều kiện (2.3), ta sử dụng đánh giá (2.6)
z(t) với z(t) := [y(t), y(t−h 1 ), , y(t−h m )] Vì vậy theo điều kiện (2.3), với mỗi số > 0 thì
V(t, y(t)) ≤ −||y(t)| | 2 ,∀t ∈ R + (2.7) Theo bất đẳng thức tích phân (2.7), ta có thể đánh giá
(1−e −αh i )||φ| | và chứng minh bằng cách giống như trên.
Bất đẳng thức ma trận tuyến tính (LMI) (2.3) và (RDE) (2.2) được giải bằng bổ đề phần bù Schur (Bổ đề 1.3.4) Nghiệm P(t) không đồng thời xác định dương, do đó không thể áp dụng định lý ổn định Lyapunov tiêu chuẩn và hàm V(t,y) không phải là hàm Lyapunov.
Ví dụ 2.1.3 Xét hệ tuyến tính (2.1), trong đó m = 1, α = 1, h = 2 và
Lưu ý rằng ma trận A0(t), t ≥ 0 là không ổn định, ví dụ như λ(A0(0)) > 0 Ta có
dẫn đến η[A 0 (0) +A 1 (0)] = 0.4 +e −2 > 0 Mặt khác ta có
Vì vậy sử dụng bổ đề Schur, ta có thể kiểm tra được ma trận
Nghiệm không âm của RDE(2.2) xác định tính 1-ổn định của hệ theo định lý 2.1.2 Tiêu chuẩn α - ổn định được áp dụng cho hệ phương trình vi phân hằng số.
Hệ phương trình tuyến tính với ma trận hệ số hằng số \$A_i\$ là α ổn định nếu tồn tại ma trận đối xứng dương xác định P > 0 thỏa mãn điều kiện nhất định.
Nhận xét 2.2 Chú ý rằng ta có thể lấy hàm V(t,y) là
Rt−h i t ||y(s)| | 2 ds và chúng ta đánh giá được giá trị của V(t,y) như sau:
Theo mệnh đề 1.3.3 ta có
Vì vậy nếu ta giả sử phương trình Lyapunov:
P(t) +A T 0 (t)P(t) +P(t)A 0 (t) +mI = 0 (2.8) có một nghiệm P(t) > 0 được giới hạn trên t ∈ R + và nếu η(A 0 ) := sup t∈ R + η(A 0 t) < +∞ η(A 0 ) + α||P I | |+me 2αh ||P I | | 2 ||A| | 2 < 0 trong đó
Do vậy ta có điều kiện α− ổn định sau đây Định lý 2.1.4 Giả sử các hàm ma trận A i (t), i = 1,2, , m bị chặn trên
R + Hệ phương trình (2.1) là α− ổn định nếu phương trình Lyapunov (2.8) có nghiệm P(t) > 0 bị chặn trên R + thỏa mãn điều kiện (2.9).
Ví dụ 2.1.5 Xét hệ phương trình (2.1), trong đó
Ta có m = 1, h = 1 và η(A 0 ) = sup t∈ R + η(A 0 (t)) = 1 2 λ max (A 0 (t) +A T 0 (t)) < −1.35Nghiệm của RE(2.8) là
||P I (t)| |= ||P(t) +I| | = 10 1 (2−sint) + 1, và ||A 1 (t)| | 2 = 0.1 Bằng việc giả sử α = 0.5, ta dễ dàng kiểm tra được η(A 0 ) +α||P I | |+e 2αh ||P I | | 2 ||A| | 2 < 0
Vậy hệ phương trình là 0.5-ổn định
Theo kết quả trên, ta có hệ quả sau đây cho ổn định mũ của hệ hằng số (2.1).
Hệ quả 2.1.5 Hệ phương trình (2.1) là α- ổn định nếu LE đại số
A T 0 P + P A 0 +mI = 0 (2.10) có nghiệm P>0 thỏa mãn điều kiện η(A 0 ) + α||P I | |+me 2αh ||P I | | 2 ||A| | 2 < 0 (2.11) trong đó
Ví dụ 2.1.6 Xét hệ phương trình tuyến tính theo thời gian có trễ x(t) = A 0 x(t) +A 1 x(t−0.5) +A 2 x(t−1), t ∈ R + trong đó
Ta có m = 2, h 1 = 0.5, h 2 = 1 Ta có thể tìm được nghiệm của LR(2.10) là
, và số hội tụ α > 0 được tìm từ bất đẳng thức (2.11) là α = 0.5
Nhận xét 2.3 Chú ý rằng các nghiệm của LMI và RDE có thể được tìm từ các phương pháp/thuật toán giải trong sách chuyên khảo [3, 4].
Các điều kiện ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ
Trong phần này ta áp dung kết quả ở trên vào bài toán ổn định hóa của hệ phương trình điều khiển tuyến tính
(2.12) trong đó B ∈ R n×m , u(t) ∈ R m là vec tơ điều khiển.
Bài toán ổn định hóa cho hệ (2.12) được phat biêu như sau: Với số α > 0 cho trước tìm điều khiển phản hồi u(t) =K(t)x(t) so cho hệ đóng x(t) = [A(t)x(t) + B(t)K(t)]x(t) + m
Định lý 2.2.1 phát biểu rằng hệ phương trình điều khiển (2.12) ổn định hóa được nếu tồn tại hàm ma trận K(t) ∈ M r×n và một ma trận đối xứng xác định dương, dựa trên kết quả từ Định lý 2.1.2 và tính α-ổn định mũ của Ai(t)x(t−hi) (2.13).
P(t) > 0 sao cho điều kiện sau được thỏa mãn
Ngoài ra, điều khiển phản hồi được xác định bởi u(t) = K(t)x(t).
Tuy nhiên trong định lý trên không có phương pháp xây dựng điều khiển phản hồi Để có điều kiện tìm điều khiển phản hồi, ta đặt
B α (t) = [B(t), A 1,α (t), , A m,α (t)], A 0,α (t) =A 0 (t) +αI và xét RDE sau đây
Hệ điều khiển phản hồi \$u(t) = K(t)x(t) = \frac{1}{2}B^T(t)P(t)x(t)\$ dẫn đến RDE(2.16) Hệ điều khiển (2.12) ổn định hóa được nếu tồn tại ma trận đối xứng xác định dương \$P(t) > 0\$ thỏa mãn điều kiện (2.16) hoặc (2.17) Hệ điều khiển phản hồi được xác định bởi \$u(t) = \frac{1}{2}B^T(t)P(t)x(t)\$, với \$P(t)\$ là nghiệm của RDE(2.16).
Ví dụ 2.2.3 Xét hệ phương trình điều khiển tuyến tính (2.12), trong đó m = 1, α = 1, h= 2 và
Chú ý rằng ma trận A 0 (0) không ổn định Lấy
ta có thể kiểm tra rằng ma trận
là xác định không âm và là nghiệm của RDE(2.16) và do đó hệ là 1-ổn định bởi điều kiện phản hồi u(t)
Từ chứng minh Định lý 2.1.2, tính đúng đắn của định lý vẫn được bảo toàn nếu phương trình Riccati (2.2) có nghiệm \$P(t) \geq 0\$ với điều kiện ban đầu \$P(0) > 0\$ Do đó, với mệnh đề 1.3.2 và \$P_0 = I > 0\$, phương trình Riccati (2.2) có nghiệm \$P(t) \geq 0\$ Nếu hệ điều khiển tuyến tính \$A(t), B(t)\$ điều khiển được toàn cục, mệnh đề 1.3.1 cung cấp điều kiện đủ để kiểm tra tính \$\alpha\$-ổn định của hệ (2.12) mà không cần giải phương trình Riccati Định lý 2.2.3 khẳng định rằng, với hàm ma trận \$A_i(t), i = 1 m\$ phân biệt trên \$t \in R^+\$ và điều kiện rank[\$M_0(t_0), M_1(t_0), , M_{n-1}(t_0)\$] = n, trong đó \$M_0(t) = B_\alpha(t)\$ và \$M_k(t) = -A_{0,\alpha}(t)M_{k-1}(t) + \frac{d}{dt}M_{k-1}(t), k = 1 n-1\$, thì hệ điều khiển tuyến tính (2.12) là \$\alpha\$-ổn định.
Luận văn này tập trung vào nghiên cứu tính ổn định của hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, một hướng tiếp cận quan trọng trong lý thuyết ổn định Các kết quả đạt được bao gồm việc xác định các điều kiện ổn định và phương pháp ổn định hóa cho một số lớp hệ phương trình vi phân tuyến tính cụ thể.
- Trình bày tổng quan về hướng nghiên cứu bài toán ổn định và ổn định hóa hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ.
Bài viết này trình bày các kết quả cơ bản về bài toán ổn định và ổn định hóa cho hệ phương trình vi phân tuyến tính có trễ, đồng thời mở rộng thêm các kết quả này.
Luận văn này đóng góp vào khoa học bằng cách đi sâu làm rõ nội dung bài toán trong [7] và cung cấp các ví dụ minh họa mới, giúp người đọc hiểu rõ hơn về vấn đề này.
[1] Vũ Ngọc Phát (2001), Nhập môn lý thuyết điều khiển toán học, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội.
[2]J Zabczyk (1992), Introduction of Mathematical Control Theory, Birkhauser, Berlin.
[3]P Gahinet, A Nemirovskii, A.J Laub, M Chilali, (1995) LMI Control Tool- box For Use with MATLAB, Massachusetts, The MathWorks, Inc.
[4] R William Thomas (1972), Riccati Differential Equations, Academic Press, New York.
[5] S Boyd, El Ghaoui, E Feron, V Balakrishnan (1994), Linear matrix in- equalities and control theory, SIAM Studies in Applied Mathematics, vol 15, SIAM, Philadelphia, PA.
[6]V.L Kharitonov (2013), Time-delay Systems: lyapunov Functionals and Ma- trices, Birkhauser, Berlin.
[7] V.N.Phat, P.Niamsup,(2006), Stability of linear time-varying delay systems and applications to control systems,J.Comput.Appl.Math,Vol.194,No2,343-356.