Hoán vị, chỉnh hợp và tổ hợp
Xột tập hữu hạn A := {a 1 , a 2 ,ã ã ã , a n } gồm n phần tử. Định nghĩa 1.1.1 Một hoán vị của A là một cách xếp theo một thứ tự xác định.
A cũng là một hoán vị của nó, được gọi là hoán vị đồng nhất. Định lý 1.1.2 Số cỏc hoỏn vị của A là P n = n! = 1.2ã ã ã(n−1).n.
Chứng minh Chúng ta có thể xem một hoán vị các phần tử của A là một công việc gồm n bước được thực hiện liên tiếp như sau:
Bước 1: Lấy một phần tử của A để xếp vào vị trí thứ nhất Bước này có n cách thực hiện.
Bước 2: Chọn một phần tử từ các phần tử còn lại của A sau khi hoàn thành bước 1 để đặt vào vị trí thứ hai Có n−1 cách để thực hiện bước này.
Bước k: Chọn một phần tử từ các phần tử còn lại của A sau khi đã thực hiện các bước trước đó để đặt vào vị trí thứ k Có n - k + 1 cách để thực hiện bước này.
Bước n: Còn lại phần tử cuối cùng xếp vào vị trí thứ n.
Theo quy tắc nhân, chúng ta có n! hoán vị của A.
Xét các bộ phận gồm k phần tử khác nhau được rút ra từ tập hợp A, với điều kiện 1 ≤ k ≤ n Một chỉnh hợp chập k của n phần tử trong A được định nghĩa là một bộ phận gồm k phần tử khác nhau, được sắp xếp theo một thứ tự nhất định.
Theo định nghĩa, hoán vị của tập hợp A là một chỉnh hợp chập k của n phần tử trong A Các chỉnh hợp khác nhau có thể có các phần tử không trùng nhau hoặc trùng nhau nhưng được sắp xếp theo thứ tự khác nhau Định lý 1.1.4 nêu rõ số lượng các chỉnh hợp chập k của n phần tử trong A.
Chứng minh Chúng ta có thể xem một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A là một công việc gồm k bước được thực hiện liên tiếp như sau:
Bước 1: Lấy một phần tử của A để xếp vào vị trí thứ nhất Bước này sẽ có n cách thực hiện.
Bước 2: Chọn một phần tử từ các phần tử còn lại của A sau khi thực hiện bước 1 để đặt vào vị trí thứ hai, với n−1 cách thực hiện.
Để xếp một phần tử vào vị trí thứ k trong tập hợp A, ta cần lấy một phần tử từ các phần tử còn lại sau khi đã thực hiện các bước trước đó Số cách thực hiện bước này là n−k+1.
Theo quy tắc nhân, định lý sẽ được chứng minh Một tổ hợp chập k của n phần tử của A là một bộ phận gồm k (1 ≤ k ≤ n) phần tử khác nhau được rút ra từ A mà không cần quan tâm đến thứ tự Số lượng tổ hợp chập k của n phần tử của A được xác định theo định lý 1.1.6.
Chứng minh rằng khi lấy một tổ hợp chập k của n phần tử từ tập A và thực hiện một hoán vị, ta sẽ nhận được một chỉnh hợp chập k của n phần tử của A Số hoán vị có thể thực hiện từ một tổ hợp chập k là k!, do đó ta có công thức \( C_{n}^{k} = \frac{A_{n}^{k}}{k!} \) Lưu ý rằng theo quy ước, \( 0! = 1 \), \( A_{n}^{0} = 1 \) và \( C_{n}^{0} = 1 \).
Lý thuyết xác suất cổ điển trong chương trình giáo dục phổ thông môn toán
Một số khái niệm
Chúng ta bắt đầu với việc điểm lại một số khái niệm cơ bản sau:
Phép thử ngẫu nhiên là hiện tượng xảy ra khi thực hiện một số điều kiện nhất định Số kết cục của phép thử có thể hữu hạn hoặc vô hạn, duy nhất hoặc không duy nhất, và khả năng xảy ra có thể đồng nhất hoặc không Theo quan điểm cổ điển, xác suất được xác định dựa trên số kết cục hữu hạn, duy nhất và đồng khả năng.
Biến cố là hiện tượng xảy ra trong kết quả của phép thử ngẫu nhiên Trong quá trình thực hiện phép thử ngẫu nhiên, có ba loại biến cố chính: biến cố chắc chắn, biến cố không thể xảy ra và biến cố ngẫu nhiên.
Biến cố ngẫu nhiên là sự kiện có thể xảy ra hoặc không xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên Tính chất không đoán trước của biến cố này phụ thuộc vào các điều kiện của phép thử Theo xác suất cổ điển, số lượng kết cục xảy ra của một biến cố là hữu hạn và được gọi là các kết cục thuận lợi cho biến cố đó.
Giả sử \( n \) là số kết cục duy nhất đồng khả năng của phép thử và \( m \) là số kết cục thuận lợi cho biến cố \( X \) Tỉ số \( \frac{m}{n} \) được gọi là xác suất (cổ điển) xảy ra biến cố.
Xác suất cổ điển của một biến cố là con số xác định phản ánh khả năng xảy ra của biến cố đó trong một phép thử ngẫu nhiên Mỗi loại biến cố ngẫu nhiên có khả năng xuất hiện khác nhau, và khả năng này được thể hiện qua các quy luật nhất định Khi phép thử ngẫu nhiên được lặp lại nhiều lần trong cùng điều kiện, tính ngẫu nhiên của biến cố sẽ giảm dần.
Ví dụ 1.2.2 Tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất.
Tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất là một phép thử ngẫu nhiên Việc mặt có số chấm nào đó xuất hiện là biến cố.
Gọi A − 7 là biến cố "Mặt xuất hiện có số chấm nhỏ hơn 7" Khi đó,
A − 7 chắc chắn xảy ra và là một biến cố chắc.
Gọi A + 7 là biến cố "Mặt xuất hiện có số chấm lớn hơn 7" Khi đó, A + 7 nhất định không xảy ra và là một biến cố không thể có.
Gọi A c là biến cố "Mặt xuất hiện có số chấm chẵn" Khi đó, A c là một biến cố ngẫu nhiên.
Các kết cục của phép thử ngẫu nhiên "Tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất" bao gồm: Xuất hiện mặt 1 chấm, 2 chấm, 3 chấm,
Các kết cục 4 chấm, 5 chấm và 6 chấm là duy nhất, với mỗi kết quả của phép thử xảy ra một cách độc lập trong các kết quả đã liệt kê Hơn nữa, khả năng xảy ra của chúng là như nhau, thể hiện tính đồng khả năng trong các kết cục này.
Các kết cục thuận lợi cho biến cố A c là: Xuất hiện mặt 2 chấm, 4 chấm và 6 chấm.
Theo định nghĩa xác suấtP(A c ) = 3
Khi thực hiện phép thử ngẫu nhiên "Tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất" vô hạn lần, xác suất xảy ra của biến cố A c là 50%.
Các tính chất sau đây về xác suất được suy trực tiếp từ Định nghĩa 1.2.1.
(a) Xác suất của biến cố bất kỳ nằm trong đoạn [0,1] Tức là
(b) Xác suất của biến cố không thể có bằng không.
(c) Xác suất của biến cố chắc chắn bằng một.
(d) Xác suất của biến cố ngẫu nhiên là một số dương nằm trong khoảng
Định nghĩa 1.2.1 về xác suất cổ điển cho phép xác định chính xác giá trị xác suất của biến cố khi phép thử đáp ứng đầy đủ yêu cầu, mà không cần thực hiện thử nghiệm thực tế Tuy nhiên, định nghĩa này có nhược điểm là yêu cầu số kết cục của phép thử phải hữu hạn, duy nhất và đồng khả năng, điều này thường không xảy ra trong thực tế Tính đồng khả năng thường gắn liền với tính đối xứng và bản chất của phép thử, do đó việc khắc phục nhược điểm này là khó khăn Ngoài Định nghĩa 1.2.1, còn có các định nghĩa khác về xác suất cổ điển từ góc độ thống kê và hình học.
Định lý cộng và định lý nhân xác suất
Việc tính xác suất của một biến cố trực tiếp thường gặp nhiều khó khăn trong thực tế Do đó, phương pháp gián tiếp trở thành cần thiết, cho phép chúng ta tính xác suất thông qua các biến cố liên quan Phương pháp này dựa vào định lý cộng và nhân xác suất để đạt được kết quả chính xác.
Giả sử A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n là nhúm n biến cố. Định nghĩa 1.2.4.
Biến cố A được gọi là tổng của nbiến cố {A i } n i=1 nếuA xảy ra khi có ớt nhất một biến cố A i , i ∈ {1,2,ã ã ã , n}, xảy ra Ký hiệu A n
Hai biến cốAi và Aj được gọi là xung khắc nếu chúng không thể đồng thời xảy ra trong một phép thử ngẫu nhiên.
Nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n được gọi là xung khắc từng đụi một nếu Ai và Aj, i, j ∈ {1,2,ã ã ã , n}, i ̸= j, xung khắc.
Nhúm n biến cố \( A_1, A_2, \ldots, A_n \) được gọi là đầy đủ các biến cố nếu trong mỗi lần thực hiện phép thử, chỉ có một trong các biến cố đó xảy ra.
Hai biến cố \( A_i \) và \( A_j \) được coi là đối lập nếu tập hợp \( \{A_i, A_j\} \) tạo thành một nhóm đầy đủ các biến cố, ký hiệu là \( A_i = \overline{A_j} \) Định lý 1.2.5 nêu rằng nếu \( A_i \) và \( A_j \) là hai biến cố xung khắc, thì
Giả sử số kết cục của phép thử ngẫu nhiên liên quan đến các biến cố ngẫu nhiên \(A_i\) và \(A_j\) là \(n\) Số kết cục thuận lợi cho biến cố \(A_i\) là \(m_i\) và cho \(A_j\) là \(m_j\) Vì \(A_i\) và \(A_j\) xung khắc, không có kết cục thuận lợi nào cho cả hai biến cố xảy ra đồng thời Do đó, số kết cục thuận lợi cho \(A_i + A_j\) là \(m_i + m_j\) Theo định nghĩa xác suất, ta có thể tính toán xác suất cho các biến cố này.
Hệ quả 1.2.6 Giả sử nhúm n biến cố A1, A2,ã ã ã , An xung khắc từng đụi một Khi đó,
Chúng ta sẽ chứng minh kết quả này bằng phương pháp quy nạp Đối với trường hợp n = 2, kết quả đã được xác nhận theo Định lý 1.2.5 Giả sử hệ quả đúng với n−1 biến cố.
Ta cần chứng minh rằng nó cũng đúng với n biến cố, tức là:
Thật vậy nếu kí hiệu Pn−1 i=1 A i = B thì theo giả thiết A n và B là xung khắc Khi đó
Hệ quả 1.2.7 Giả sử nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n là một nhúm đầy đủ các biến cố Khi đó, n
Chứng minh Vỡ nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n là một nhúm đầy đủ cỏc biến cố, biến cố Pi=1 n A i là một biến cố chắc Do đó,
Mặt khác, các biến cố của nhóm đầy đử là xung khắc từng đôi một với nhau Theo Hệ quả 1.2.6,
Hệ quả 1.2.8 Giả sử A là biến cố ngẫu nhiên với biến cố đối A Khi đó,
Chứng minh Vì A và A tạo nên nhóm đầy đủ các biến cố Nên hệ quả được chứng minh nhờ Hệ quả 1.2.7. Định nghĩa 1.2.9.
Biến cố A được gọi là tích của nbiến cố {A i } n i=1 nếu A xảy ra khi cả n biến cố A i , i ∈ {1,2,ã ã ã , n}, xảy ra Ký hiệu A = Q i=1 n A i
Hai biến cố Ai và Aj được coi là độc lập nếu sự xảy ra hay không xảy ra của một biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia Ngược lại, nếu sự kiện này làm thay đổi xác suất của sự kiện kia, thì chúng được gọi là phụ thuộc nhau.
Nhúm n biến cố A1, A2,ã ã ã , An được gọi là độc lập từng đụi một với nhau nếu A i và A j , i, j ∈ {1,2,ã ã ã , n}, i̸= j, độc lập với nhau.
Nhúm n biến cố \(A_1, A_2, \ldots, A_n\) được coi là độc lập toàn phần nếu mỗi biến cố độc lập với bất kỳ tổ hợp nào của các biến cố còn lại Theo Định lý 1.2.10, nếu \(A_i\) và \(A_j\) là các biến cố độc lập, thì chúng tuân theo quy tắc độc lập.
Giả sử \( n_i \) và \( n_j \) là số kết cục đồng khả năng cho biến cố \( A_i \) và \( A_j \) xảy ra, trong khi \( m_i \) và \( m_j \) là số kết cục thuận lợi cho \( A_i \) và \( A_j \) Vì \( A_i \) và \( A_j \) độc lập, nên số kết cục đồng khả năng cho tích của chúng cũng được xác định.
A i A j xảy ra sẽ là n i n j và số kết cục thuận lợi cho tích xảy ra là m i m j Vì vậy:
= P(A i )P(A j ). Đối với lý thuyết xác suất cổ điển thì điều kiện (1.9) vừa là điều cần và điều kiện đủ để A i và A j độc lập.
Hệ quả 1.2.11 Giả sử A i và A j là các biến cố độc lập, P(A i ) > 0 và
Hệ quả sau được chứng minh bằng phương pháp quy nạp.
Hệ quả 1.2.12 Giả sử nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n là độc lập toàn phần Khi đó,
P(Ai) (1.11) Định nghĩa 1.2.13 Xác suất của biến cố A i được tính với điều kiện biến cố A j đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A i Kí hiệu:
P(A i |A j ). Định lý 1.2.14 Giả sử A i và A j là hai biến cố phụ thuộc Khi đó,
P(AiAj) = P(Ai) P(Aj|A i ) = P(Aj)P(Ai|A j ) (1.12)
Giả sử n là tổng số kết cục có thể xảy ra trong một phép thử, mi là số kết cục thuận lợi cho biến cố Ai, mj là số kết cục thuận lợi cho biến cố A j, và k là số kết cục thuận lợi cho cả hai biến cố Ai và A j xảy ra đồng thời.
Khi biến cố A i xảy ra, số kết cục đồng khả năng của phép thử cho biến cố A j là m i, trong đó có k kết cục thuận lợi cho A j xảy ra.
Như vậy P(A i A j ) = k n = mi n k m i = P(A i )P(A j |A i ) Đẳng thức còn lại được chứng minh hoàn toàn tương tự khi vai trò hai biến cố A i và A j được hoán đổi.
Hệ quả 1.2.15 Giả sử A i và A j là hai biến cố thỏa mãn P(A i ) > 0 và
Hệ quả sau là kết quả nhận được bằng phương pháp chứng minh quy nạp.
Hệ quả 1.2.16 Giả sử nhúm n biến cố A1, A2,ã ã ã , An phụ thuộc Khi đó,
Hệ quả sau là kết quả trực tiếp suy ra từ Định lý 1.2.10 và Hệ quả 1.2.15.
Hệ quả 1.2.17 Giả sử A i và A j là hai biến cố độc lập Khi đó,
P(A i |A j ) =P(A i ) và P(A j |A i ) = P(A j ) (1.16) Định lý 1.2.18 Giả sử A i và A j là hai biến cố không xung khắc Khi đó,
Công thức xác suất cho hai biến cố Ai và Aj được biểu diễn như sau: \$P(Ai + Aj) = P(Ai) + P(Aj) - P(AiAj)\$ Để chứng minh điều này, giả sử n là số kết cục đồng khả năng trong phép thử, mi là số kết cục thuận lợi cho Ai xảy ra, mj là số kết cục thuận lợi cho Aj xảy ra, và k là số kết cục thuận lợi cho tích AiAj xảy ra Số kết cục thuận lợi cho ít nhất một trong hai biến cố Ai và Aj xảy ra được tính bằng mi + mj - k.
P(Ai+Aj) = m i +m j −k n = m i n +m j n −k n = P(Ai) +P(Aj)−P(AiAj).
Nếu hai biến cố Ai và Aj độc lập thì công thức có dạng:
Nếu hai biến cố A i và A j phụ thuộc thì công thức có dạng:
P(Ai+ Aj) = P(Ai) +P(Aj)−P(Ai)P(Aj|A i ).
Nếu hai biến cố A i và A j thì P(A i +A j ) = P(A i ) + P(A j ).
Sử dụng phương pháp quy nạp, chúng ta có thể chứng minh được hệ quả sau cho nhóm n biến cố không xung khắc.
Hệ quả 1.2.20 Giả sử nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n khụng xung khắc. Khi đó,
Hệ quả sau đây là kết quả suy trực tiếp từ Định lý 1.2.18, Hệ quả 1.2.20 và sử dụng phương pháp quy nạp.
Hệ quả 1.2.21 Giả sử A1, A2,ã ã ã , An là nhúm n cỏc biến cố ngẫu nhiờn. Khi đó,
P(A i +A j +A k )− ã ã ã+ (−1) n−1 P(A 1 +A 2 +ã ã ã+A n ) (1.19) Định lý 1.2.22 Giả sử nhúm n biến cố A 1 , A 2 ,ã ã ã , A n khụng xung khắc và độc lập toàn phần với nhau Khi đó,
Chứng minh Đặt A = P i=1 n A i Khi đó, A = Q n i=1 A i Ta có
Vì nhóm các biến cố {A i } n i=1 là độc lập toàn phần, nên nhóm n các biến cố {A i } n i=1 cũng là độc lập toàn phần với nhau Suy ra,
Công thức Bernoulli, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
Định lý Bayes 1.2.23, hay còn gọi là công thức Bernoulli, áp dụng cho n phép thử ngẫu nhiên độc lập theo lược đồ Bernoulli Trong đó, các điều kiện cần thỏa mãn bao gồm: a) {A, A} là nhóm đầy đủ các biến cố của mỗi phép thử; b) xác suất P(A) = p và P(A) = q = 1−p.
Khi đó, xác suất để biến cố A xuất hiện đúng x lần trong n phép thử được xác định như sau:
Hàm phân phối xác suất được định nghĩa bởi công thức \$P_n(x) = C_n x^p x^q^{n-x}\$, với \$x = 0, 1, 2, \ldots, n\$ Việc chứng minh cho thấy rằng việc thực hiện \$n\$ phép thử để biến cố \$A\$ xuất hiện \$x\$ lần có thể được hiểu là việc lựa chọn \$x\$ vị trí trong tổng số \$n\$ vị trí để sắp xếp.
A, các vị trí còn lại chúng ta sắp xếp A Vì {A, A} là nhóm đầy đủ các biến cố và các phép thử là độc lập nên kết quả của Định lý 1.2.23 suy ra trực tiếp từ Định lý 1.2.10. Định lý 1.2.24 (Công thức xác suất đầy đủ) Giả sử nhóm n các biến cố A 1 , A 2 , , A n là nhóm đầy đủ các biến cố và B là biến cố xảy ra đồng thời với một trong các biến cố của nhóm đầy đủ các biến cố Khi đó,
Chứng minh Chúng ta có thể biểu diễn biến cố B như sau
Theo giả thiết, nhúmncỏc biến cốA 1 B;A 2 B;ã ã ã ;A n B là xung khắc từng đôi một Sử dụng Hệ quả 1.2.6, ta có
Sử dụng Định lý 1.2.14, ta có
Công thức Bayes được mô tả bởi định lý 1.2.25, trong đó giả sử có một nhóm đầy đủ các biến cố A₁, A₂, , Aₙ và biến cố B xảy ra đồng thời với một trong các biến cố trong nhóm này Khi đó, xác suất của biến cố B được tính bằng tích của xác suất của biến cố Aᵢ và xác suất có điều kiện P(B|Aᵢ).
Chứng minh Theo Định lý 1.2.14, ta có
Sử dụng Định lý 1.2.24, ta có
Nhóm n các biến cố A 1 , A 2 , , A n đóng vai trò như các giả thuyết Công thức Bayes giúp chúng ta đánh giá lại vai trò của các giả thuyết A i khi biến cố B xảy ra.
P(H1), P(H2), , P(Hn) được gọi là xác suất tiên nghiệm Các xác suất
P(A 1 |B), P(A 2 |B), , P(A n |B) được gọi là xác suất hậu nghiệm.
Không gian xác suất
Tập hợp
Chúng ta bắt đầu bằng việc điểm lại một số nội dung cơ bản về lý thuyết tập hợp như sau:
Tập Ω là một khái niệm trừu tượng quan trọng trong lý thuyết xác suất, dùng để mô tả không gian mẫu của thí nghiệm ngẫu nhiên Mỗi điểm trong tập Ω tương ứng với một kết quả cụ thể của thí nghiệm ngẫu nhiên mà chúng ta đang nghiên cứu.
P(Ω) là tập hợp gồm tất cả các tập con của Ω.
Một phần tử của tâp Ω: ω ∈ Ω.
A c là phần bù của tập con A⊂ Ω.
Giả sử T là tập chỉ số và với mỗi t ∈ T, A t ⊂ Ω Ta định nghĩa:
Giả sử {A j } ∞ j=1 là dãy các tập con của Ω Ta định nghĩa:
Giả sử {A j } n j=1 là họ các tập con của Ω Ta định nghĩa:
Các tập con \{A_t, t ∈ T\} được gọi là tách rời từng cặp nếu với các chỉ số t và t' thuộc T, với t ≠ t', thì A_t ∩ A_{t'} = ∅ Để đơn giản hóa ký hiệu, chúng ta sẽ sử dụng A_i A_j = A_i ∩ A_j Nếu \{A_j\}_{j=1}^{\infty} là tách rời từng cặp, thì
Tập A i được gọi là tập con của tập A j , ký hiệu A i ⊂ A j , nếu ω ∈ A i thì ω ∈ A j Tập A i được gọi là bằng tậpA j nếuA i ⊂ A j và A j ⊂A i
Giả sử {A j } ∞ j=1 là dãy các tập con trong Ω Ta định nghĩa: k≥ninf A k : ∞
Tập A được gọi là giới hạn của dãy {A j } ∞ j=1 , ký hiệu lim n→∞A n = A hoặc A n →A, nếu lim inf n→∞ A n = lim sup n→∞
Dãy {A_j} ∞_{j=1} được gọi là dãy không tăng nếu A_1 ⊃ A_2 ⊃ A_3 ⊃ và dãy {A_j} ∞_{j=1} được gọi là dãy không giảm nếu A_1 ⊂ A_2 ⊂ A_3 ⊂ Nếu dãy {A_j} ∞_{j=1} thỏa mãn một trong hai điều kiện trên, nó được gọi là dãy đơn điệu Định nghĩa 1.3.1: Giả sử A ⊂ P(Ω) là một tập hợp con của P(Ω) gồm các tập con của Ω.
1 A được gọi là một đại số nếu
2 A được gọi là một σ-đại số nếu
Xác suất của biến cố
Định nghĩa 1.3.2 Bộ ba (Ω,A, P) được gọi là một không gian xác suất nếu
Ω là một không gian mẫu tương ứng với các kết quả của một thí nghiệm ngẫu nhiên.
A là một σ-đại số các tập con của Ω Các tập con này được gọi là các biến cố.
P là một hàm số với miền xác định A, miền giá trị [0,1] và thỏa mãn(i) P(A) ≥ 0 với mọi A ∈ A.
P(A i ) với {A j } ∞ j=1 là các biến cố tách rời nhau.
Chúng ta có thể chứng minh được các kết quả sau Định lý 1.3.3 Giả sử (Ω,A, P) là một không gian xác suất Khi đó,
6 Nếu {A i } n i=1 là dãy các biến cố trong A, thì P(
Chứng minh 1 Từ tính chất (ii) và (iii) của P, ta có P(A) +P(A c ) P(A∪A c ) = P(Ω) = 1 Suy ra, P(A c ) = 1−P(A) với mọi A∈ A.
4 Tính chất này thu được nhờ sử dụng tính chất 3 và phương pháp quy nạp.
Sử dụng tính chất (ii) của P và tính chất 5, ta suy ra
P(A1). Định lý 1.3.4 Giả sử {A j } ∞ j=1 là dãy các biến cố trong A.
1 Nếu {A j } ∞ j=1 là dãy không giảm thỏa mãn A n → A, thì P(A n ) →
2 Nếu {A j } ∞ j=1 là dãy không tăng thỏa mãn A n → A, thì P(A n ) →
3 P(lim inf n→∞ An) ≤ lim inf n→∞ P(An) ≤ lim sup n→∞
Chứng minh định lý này có độ phức tạp cao, do đó nội dung chi tiết không được trình bày ở đây Hướng tiếp cận xác suất dựa trên hàm xác suất, trong đó xác suất điều kiện của biến cố A khi biến cố B xảy ra được định nghĩa như sau: Định nghĩa 1.3.5 Giả sử A, B ∈ A, xác suất điều kiện của biến cố A với điều kiện biến cố B xảy ra được xác định bởi công thức.
P(B) nếu P(B) > 0, không xác định nếu P(B) = 0. Định nghĩa 1.3.6 Giả sử Ai ∈ A, i∈ I ⊂ {1,2,ã ã ã , n}.
1 Biến cố A i và A j được gọi là độc lập nếu
2 Các biến cố {A i , i∈ I} được gọi là độc lập nếu
Một số vấn đề về xây dựng không gian xác suất
Định nghĩa 1.3.7 Họ S các tập con của Ω được gọi là một nửa đại số nếu các điều kiện sau thỏa mãn:
(ii) S là đóng với phép giao hữu hạn.
(iii) Nếu A ∈ S, thỡ tồn tại cỏc tập rời nhau C1, C2,ã ã ã , Cn của S thỏa mãn
Chúng ta bắt đầu từ một nửa đại số, chúng ta sẽ có một đại số nhờ kết quả sau:
Bổ đề 1.3.8 Giả sử S là một nửa đại số các tập con của Ω Khi đó,
C i : I hữu hạn, {C i , i∈ I} rời nhau, C i ∈ S}. là một đại số.
Việc xây dựng không gian xác suất dựa trên các định lý mở rộng sẽ được trình bày, tuy nhiên, do tính chất kỹ thuật của các chứng minh, nội dung chi tiết của chúng sẽ không được đề cập ở đây Định lý 1.3.9 nêu rõ rằng nếu S là một nửa đại số các tập con của Ω và P : S 7→
[0,1] là σ-cộng tính trên S và thỏa mãn P(Ω) = 1 Khi đó, chúng ta có duy nhất một mở rộng P ′ của P trên A(S) xác định bởi
P(C i ). Định lý 1.3.10 Giả sử độ đo xác suất P được định nghĩa trên đại số
A Khi đó, chúng ta có duy nhất một mở rộng độ đo xác suất trên σ(A) (σ-đại số sinh bởi A). Định lý 1.3.11 Giả sử S là một nửa đại số các tập con của Ω và P :
S 7→ [0,1] là σ-cộng tính trên S và thỏa mãn P(Ω) = 1 Khi đó, chúng ta có duy nhất một mở rộng P ′ của P trên σ(S).
Thiết lập độ đo xác suất P là nền tảng cho việc xây dựng không gian xác suất Trong không gian R^n, quá trình này có thể được thực hiện thông qua hàm phân phối xác suất và độ đo Lebesgue.
Các bài toán điển hình về xác suất trong chương trình toán trung học phổ thông và đời sống 23
Phương pháp tính xác suất của biến cố
Theo Định nghĩa 1.2.1, giá trị xác suất của một biến cố có thể xác định chính xác mà không cần thực hiện phép thử ngẫu nhiên Các phương pháp phổ biến để tìm xác suất của biến cố bao gồm nhiều kỹ thuật khác nhau.
1 Phương pháp suy luận trực tiếp: Phương pháp này thường được sử dụng khi số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là ít và dễ dàng tính toán được.
Trong ví dụ 2.1.1, giả sử có một hộp bút chứa a cái bút đỏ và b cái bút đen Khi lấy ngẫu nhiên một cái bút từ hộp, xác suất để lấy được cái bút đỏ được tính bằng tỷ lệ số bút đỏ so với tổng số bút trong hộp.
Lời giải Gọi Alà biến cố "Lấy được cái bút đỏ" Vì tổng số bút trong hộp là a + b nên số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là n = a+ b.
Số kết cục thuận lợi đối với biến cố A là m = a Theo định nghĩa cổ điển về xác suất, ta có:
2 Phương pháp dùng sơ đồ Venn: Sơ đồ Venn được dùng để giúp chúng ta mô tả số kết cục của phép thử ngẫu nhiên, cũng như số kết cục thuận lợi của một biến cố Phương pháp này được sử dụng khi số kết cục của một phép thử ngẫu nhiên tương đối lớn và việc tính toán phức tạp hơn Trong thực tế chúng ta thường dùng một trong các loại sơ đồ sau: a Sơ đồ hình cây
Trong một gia đình có 3 người con, giả sử khả năng sinh con trai và con gái là như nhau, xác suất để gia đình đó có 2 con gái được tính toán như sau.
Lời giải: Gọi A là biến cố "Gia đình đó có 2 con gái" Sơ đồ hình cây mô tả khả năng sinh con của gia đình như sau:
Hình 2.1: Sơ đồ hình cây
Số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là n = 8, bao gồm các kết quả: GGG, GGT, GTG, GTT, TGG, TGT, TTG, TTT Trong đó, số kết cục thuận lợi cho biến cố A là 3 Do đó, xác suất P(A) = 3.
Ví dụ 2.1.3 Tung một con xúc xắc đều đặn và đồng chất hai lần. Tìm xác suất để trong đó có một lần được 6 chấm.
Gọi A là biến cố có một lần xuất hiện 6 chấm Số kết cục của phép thử ngẫu nhiên và số kết cục thuận lợi của biến cố được trình bày trong bảng dưới đây.
Như vậy số kết cục của phép thử ngẫu nhiên làn = 36 Trong đó số kết cục thuận lợi đối với biến cốAlàm = 10 VậyP(A) = m n = 10
18. c Sơ đồ dạng tập hợp
Hình 2.2: Sơ đồ dạng bảng
Trong một chi đoàn gồm 50 học sinh, có 20 học sinh chơi bóng đá, 15 học sinh chơi bóng chuyền, và 10 học sinh chơi bóng rổ Số học sinh chơi cả bóng đá và bóng chuyền là 8, trong khi 5 học sinh chơi bóng đá và bóng rổ, và 3 học sinh chơi bóng chuyền và bóng rổ Đặc biệt, có 1 học sinh tham gia cả ba môn thể thao Khi chọn ngẫu nhiên một học sinh, cần tính xác suất để học sinh đó chơi ít nhất một môn thể thao.
Lời giải Gọi A là biến cố "Học sinh được chọn chơi ít nhất một môn thể thao" Số kết cục của phép thử ngẫu nhiên và số kết cục thuận lợi của biến cố A được mô tả dưới dạng tập hợp.
Hình 2.3: Sơ đồ dạng tập hợp
Như vậy số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là n = 50 Trong đó số kết cục thuận lợi đối với biến cốAlàm = 8+5+3+7+4+2+1 = 30.
3 Phương pháp dùng các công thức đại số tổ hợp: Phương pháp này thường được sử dụng khi mà số kết cục của phép thử ngẫu nhiên là rất nhiều dẫn tới việc tính toán trực tiếp là khó khăn và không khả thi Để tính toán số số kết cục của phép thử ngẫu nhiên và số kết cục thuận lợi của biến cố, chúng ta có thể thực hiện được bằng việc sử dụng các công thức về đại số tổ hợp.
Trong ví dụ 2.1.5, anh X muốn liên lạc với anh Y nhưng quên hai số cuối trong số điện thoại của anh Y, chỉ nhớ rằng hai số này khác nhau Câu hỏi đặt ra là xác suất để anh X có thể liên lạc thành công với anh Y trong lần gọi đầu tiên.
Gọi B là số biến cố "Anh X liên lạc được với anh Y trong lần liên lạc đầu tiên" Mỗi cặp số phân biệt rút ra từ tập {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9} tạo thành một kết cục của phép thử, do đó ta có n = A 2 10 = 90 Số kết cục thuận lợi cho biến cố B xảy ra chỉ có một kết cục.
Trong ví dụ 2.1.6, có 6 quả cầu giống nhau được đánh số từ 1 đến 6 Khi lấy ngẫu nhiên từng quả cầu, ta cần tìm xác suất để số quả cầu được lấy ra trùng với số thứ tự của lần lấy.
Gọi A là biến cố "Số của các quả cầu lấy ra trùng với số thứ tự cần lấy" Số kết cục của phép thử ngẫu nhiên này là số hoán vị của 6 phần tử, tức là n = P6 = 6! = 720 Chỉ có một kết cục thuận lợi cho biến cố A xảy ra, đó là lấy được các quả cầu theo trình tự 1, 2, 3, 4, 5, 6 Do đó, xác suất P(A) = \(\frac{m}{n} = \frac{1}{720}\).
Các dạng toán điển hình về xác suất trong chương trình toán trung học phổ thông
trình toán trung học phổ thông
2.2.1 Bài toán xác suất sử dụng định lý cộng và nhân xác suất
A Một số bài toán tự luận.
Bài toán 2.2.1 Nhà Hạnh có ba chiếc xe máy Khả năng có sự cố của mỗi xe tương ứng là: 5%; 20%; 15% Tìm khả năng của các tình huống sau:
1 Có ít nhất một xe hoạt động tốt.
2 Cả ba xe cùng hoạt động tốt.
3 Có không quá hai xe bị sự cố.
Lời giải Gọi A i là biến cố xe thứ i bị sự cố; i = 1; 2; 3.
1 Gọi B:"Có ít nhất một xe hoạt động tốt" Suy ra B = A 1 ∪A 2 ∪A 3 Khi đó B:"Không có xe nào hoạt động tốt".
2 Gọi C:"Cả ba xe cùng hoạt động tốt" Suy ra C = A 1 ∩A 2 ∩A 3 Suy ra P(D) =P(A 1 ).P(A 2 ).P(A 3 ) = 0,95.0,8.0,85 = 0,646.
3 Gọi D ="Không có quá hai xe bị sự cố"="Có ít nhất một xe hoạt động tốt"= B.
Bài toán 2.2.2 nghiên cứu khả năng bắn trúng mục tiêu của một thợ săn nhím, trong đó xác suất trúng mục tiêu tỉ lệ nghịch với khoảng cách bắn Anh thợ săn bắt đầu bắn từ khoảng cách 20 mét với xác suất trúng là 50% Nếu không trúng, anh sẽ bắn viên thứ hai ở khoảng cách 30 mét Nếu tiếp tục trượt, anh sẽ cố gắng bắn viên thứ ba ở khoảng cách 50 mét Mục tiêu là tìm xác suất để thợ săn có thể bắn trúng nhím trong cuộc đi săn này.
Trong bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng phép thử là bắn cho đến khi bắn trúng nhím, với tối đa ba lần bắn Gọi T_i là sự kiện thợ săn bắn trúng nhím ở lần thứ i, và T là nhím sống sót sau cuộc đi săn, được xác định bằng tích T_1.T_2.T_3 Các biến cố xảy ra trong phép thử bao gồm T_1, T_1T_2, và T_1.T_2.T_3.
Bài toán 2.2.3 yêu cầu tính xác suất để mã định danh nhân viên 5 chữ số của anh Mario, được tạo từ các chữ số từ 0 đến 9, không chứa chữ số 3 hoặc 7.
Lời giải Số phần tử của không gian mẫu là: n(Ω) = 10 5
Gọi biến cố A: "Mã định danh không có chữ số 3" B: "Mã định danh không có chữ số 7".
A∩B: "Mã định danh không có chữ số 3và 7" Suy ra, n(A∩B) = 8 5
B Một số bài toán trắc nghiệm.
Bài toán 2.2.4 Một chiếc hộp có 8 quả bóng bàn được đánh số từ 1 đến
8 Lấy ngẫu nhiên từ trong hộp ra 2 quả bóng rồi nhân hai số ghi trong quả bóng với nhau Tính xác xuất để kết quả nhận được là một số chẵn?
Biến cố A là "1 quả bóng mang số chẵn và 1 quả mang số lẻ", trong khi biến cố B là "2 quả bóng mang số chẵn" Tích của hai số sẽ là số chẵn nếu ít nhất một trong số đó là chẵn Do đó, hợp của A và B, ký hiệu A∪B, cho thấy rằng "tích là số chẵn" Với 4 quả bóng chẵn và 4 quả bóng lẻ, ta có thể xác định các khả năng xảy ra.
14. Hai biến cố A và B xung khắc với nhau nên:
Bài toán 2.2.5 Một tổ học sinh gồm 6 nữ và 4 nam Chọn ngẫu nhiên 3 em Tính xác suất để 3 em được chọn có ít nhất 1 nam?
Gọi biến cố A: "Chọn được 1 nam, 2 nữ"; B: "Chọn được 2 nam, 1 nữ";
Suy ra A∪ B ∪ C: "Ba em được chọn có ít nhất 1 nam" Hơn nữa, các biến cố A, B, C là đôi một xung khắc.
Ta có, không gian mẫu: n(Ω) = C 10 3 = 120; n(A) = C 6 2 C 4 1 = 60; n(B) C 4 2 C 6 1 = 36; n(C) =C 4 3 = 4.
Bài toán 2.2.6 yêu cầu tìm xác suất xuất hiện một mặt có số chấm chẵn trên một vật khối hộp, trong đó mặt 4 chấm có khả năng xuất hiện gấp ba lần so với các mặt khác Các mặt còn lại có xác suất xuất hiện như nhau.
Gọi A i là biến cố xuất hiện mặt i chấm (i = 1,2,3,4,5,6)
8 Gọi A là biến cố xuất hiện mặt chẵn, suy ra A = A 2 ∪A 4 ∪A 6
Vì các biến cố A i xung khắc nên:
2.2.2 Bài toán xác suất sử dụng công thức Bernoulli, công thức xác suất đầy đủ và công thức Bayes
A Một số bài toán tự luận.
Phương Anh có một hộp chứa 10 chiếc kẹp tóc, trong đó có 6 chiếc mới Sau khi sử dụng 3 chiếc kẹp tóc và để lại vào hộp, hôm nay cô lại lấy ra 3 chiếc Câu hỏi đặt ra là tính xác suất để chọn được một số lượng kẹp tóc nhất định từ hộp.
3 chiếc kẹp tóc lấy ra hôm nay đều là kẹp tóc mới?
Gọi biến cố A là "Ba chiếc kẹp tóc lấy ra hôm nay là mới" và biến cố B_i là "Ba chiếc kẹp tóc lấy ra hôm qua có i chiếc mới", với i = 0, 1, 2, 3 Các trường hợp của i tạo thành một nhóm đầy đủ.
Theo công thức xác suất đầy đủ, ta có
Một học sinh đang luyện tập cho hội thao GDQP với xác suất bắn trúng tâm là 0,3 cho mỗi lần bắn Câu hỏi đặt ra là học sinh này cần bắn ít nhất bao nhiêu viên đạn để có xác suất 80% bắn trúng tâm ít nhất 1 viên.
Số đạn cần bắn của học sinh được ký hiệu là x Việc bắn n viên đạn vào tâm có thể được xem như n phép thử Bernoulli, với biến cố A là "bắn trúng tâm" và xác suất p = 0,3.
Bài toán 2.2.9 yêu cầu tính xác suất để sinh viên A trả lời được câu hỏi từ hai hộp phiếu thi Hộp thứ nhất chứa 15 phiếu, trong khi hộp thứ hai có 9 phiếu Sinh viên A chỉ biết 10 câu hỏi từ hộp thứ nhất và 8 câu từ hộp thứ hai Thầy giáo sẽ rút ngẫu nhiên một phiếu từ mỗi hộp, sau đó sinh viên A sẽ chọn một phiếu từ hai phiếu đã rút Cần tính xác suất mà sinh viên A có thể trả lời đúng câu hỏi trên phiếu.
Lời giải Gọi E1 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 1; E2 là biến cố sinh viên rút ra từ hộp 2.
E 1 , E 2 tạo thành một nhóm biến cố đầy đủ.
Gọi B là biến cố rút ra 1 câu thuộc Ta có
B Một số bài toán trắc nghiệm.
Trong bài toán 2.2.10, có ba hộp giống nhau: Hộp I chứa a quả cầu trắng và b quả cầu đen, Hộp II chứa c quả cầu trắng và d quả cầu đen, còn Hộp III chỉ chứa k quả cầu trắng Khi chọn ngẫu nhiên một hộp và lấy ra một quả cầu, cần tính xác suất để quả cầu được lấy ra là quả cầu trắng.
Gọi A i :"Biến cố lấy được hộp thứ i"; i = 1,2,3 Gọi A:"Cầu lấy ra là cầu trắng".
Các biến cố A và A i lập thành một hệ đầy đủ.Ta có
Bài toán 2.2.11 Có 3 túi đựng bài thi, mỗi túi có 10 bài thi Túi I có
Trong bài toán này, túi II chứa 3 bài thi, trong khi túi III có 6 bài thi dưới trung bình Khi lấy ngẫu nhiên một bài thi từ mỗi túi, ta cần tính xác suất để trong ba bài thi được chọn có đúng 1 bài thi dưới trung bình.
Gọi Ai:"bài thi lấy ra thuộc túi thứ i là dưới trung bình"; i = 1,2,3.
A i :"bài thi lấy ra thuộc túi thứ i là không dưới trung bình"; i = 1,2,3.
A:"Trong 3 bài thi lấy ra có đúng một bài dưới trung bình".
Tại một trang trại chăn nuôi, lợn được phát hiện mắc bệnh với xác suất 0,7 cho bệnh A và 0,5 cho bệnh B, có khả năng mắc cả hai bệnh Để điều trị, thuốc M cho xác suất khỏi bệnh 0,8 cho bệnh A, 0,6 cho bệnh B và 0,3 cho cả hai bệnh Trong khi đó, thuốc N có xác suất khỏi bệnh 0,6 cho bệnh A, 0,7 cho bệnh B và 0,4 cho cả hai bệnh.
Khả năng chữa khỏi bệnh cho lợn bằng thuốc M và N, loại nào tốt hơn?
Gọi biến cố A:"Lợn bị mắc bệnh A" B:"Lợn bị mắc bệnh B" AB:"Lợn bị mắc bệnh Avà B".
Suy ra P(AB) = P(A).P(B) = 0,7.0,5 = 0,35 Ba biến cố đôi một xung khắc.
Gọi biến cố C:"Lợn bị mắc bệnh" Suy ra C = A∪B ∪AB.
Giả sử H là biến cố "Lợn khỏi bệnh bằng thuốc M" và K là "Lợn được chữa khỏi bằng thuốc N" Biến cố CH đại diện cho việc lợn mắc bệnh và được chữa khỏi bằng thuốc M, được biểu diễn dưới dạng CH = (A∪B ∪AB)H = AH ∪BH ∪ABH.
Hoàn toàn tương tự, giả sử CK là biến cố lợn mắc bệnh và được chữa khỏi bằng thuốc N Ta có P(CK) = 0,91.
Suy ra, khả năng chữa khỏi bệnh cho lợn bằng thuốc M tốt hơn.
2.2.3 Bài toán xác suất về số các chữ số thỏa mãn điều kiện cho trước
2.2.3.1 Bài toán xác suất liên quan đến tính chia hết
A Một số bài toán tự luận.
Một số ứng dụng của xác suất trong thực tiễn cuộc sống
2.3.1 Ứng dụng của xác suất trong việc dự báo, trù bị kết quả sẽ xảy ra
A Một số bài toán tự luận.
Bài toán 2.3.1 VN-index đưa ra phân tích nhận định về triển vọng cổ phiếu của các doanh nghiệp đang phát hành sau một năm như sau
20%số cổ phiếu tỏ ra tốt hơn nhiều so với trung bình của thị trường.
30% số cổ phiếu tỏ ra xấu hơn nhiều so với trung bình thị trường.
50% bằng trung bình của thị trường.
VN-index nhận định cổ phiếu mua tốt như sau
Trong số những cổ phiếu trở nên tốt có 25% được đánh giá là mua tốt.
Trong số những cổ phiếu trở nên xấu có 10% được đánh giá là mua tốt.
Trong số những cổ phiếu trung bình có 15% được đánh giá là mua tốt.
Xác suất một cổ phiếu được đánh giá là mua tốt sẽ tiếp tục duy trì giá trị tốt, trong khi đó, xác suất một cổ phiếu được đánh giá là mua tốt sẽ chuyển biến xấu cũng cần được xem xét.
Giả sử có n cổ phiếu đang được phát hành trên thị trường Gọi A là biến cố mà một cổ phiếu được đánh giá là mua tốt sẽ trở nên tốt, với n(A) = n.
Do đó, xác suất một cổ phiếu được đánh giá là mua tốt sẽ trở nên tốt là P(A) = 10
31. b Gọi B là biến cố một cổ phiếu được đánh giá là mua tốt sẽ trở thành xấu.Ta có n(B) = n
Việc tham gia vào các lĩnh vực kinh doanh và đầu tư luôn tiềm ẩn rủi ro Để giảm thiểu rủi ro và tăng cường khả năng thành công, nhà đầu tư cần thực hiện phân tích, phán đoán và đưa ra quyết định chính xác nhằm thu về lợi nhuận Theo nghiên cứu, trong số các cổ phiếu được đánh giá là mua tốt, chỉ có khoảng 1/3 khả năng cổ phiếu sẽ phát triển tích cực, trong khi tỷ lệ cổ phiếu xấu cũng không cao Do đó, nhà đầu tư cần cân nhắc kỹ lưỡng khi lựa chọn cổ phiếu để đầu tư.
Cơn bão Nesat đang tiến vào vùng biển Việt Nam và dự kiến sẽ đổ bộ sau 72 giờ Đường đi của bão rất phức tạp và liên tục thay đổi, khiến cơ quan khí tượng thủy văn chưa thể xác định chính xác tỉnh ven biển nào sẽ bị ảnh hưởng Hãy tính xác suất bão sẽ đổ bộ vào tỉnh Thanh Hóa.
Trong cuộc tranh luận giữa Nam và Bắc về việc học tập và thi cử, Nam cho rằng các môn thi trắc nghiệm không cần học vẫn có thể đạt điểm cao, trong khi Bắc khẳng định rằng không học sẽ không thể đạt điểm cao và không có khả năng đạt điểm tuyệt đối Điều này phản ánh sự khác biệt trong động lực học tập của hai bạn: Nam không chú tâm do điều kiện gia đình, trong khi Bắc nỗ lực vì mong muốn có cuộc sống tốt hơn Qua cuộc tranh luận, ta nhận thấy rằng việc học tập nghiêm túc là cần thiết để đạt được kết quả cao trong kỳ thi THPT quốc gia, và sự chuẩn bị kỹ lưỡng sẽ giúp các em có cơ hội tốt hơn trong tương lai.
Mỗi câu trắc nghiệm có 4 đáp án, trong đó chỉ có một đáp án đúng Nếu học sinh chọn ngẫu nhiên đáp án cho 50 câu thi, khả năng trả lời đúng sẽ phụ thuộc vào sự ngẫu nhiên này.
Xác suất để đạt 10 điểm bài thi trắc nghiệm khách quan là: (1
Xác suất để đạt 0 điểm là (3
Xác suất để đạt 3 điểm là 8,9.10 −2
Xác suất để đạt 4 điểm là 7,65.10 −3
Xác suất để đạt 5 điểm là 8,45.10 −5
Xác suất để đạt 6 điểm là 1,3.10 −7
Nhìn vào các số liệu tính toán trên, chúng ta có thể thấy rằng hai bạn Nam và Bắc đều trả lời có ý đúng và có ý sai Cụ thể
Bạn Nam cho rằng việc điền ngẫu nhiên có thể đạt 10 điểm là đúng, nhưng xác suất xảy ra rất nhỏ, gần như không thể Tuy nhiên, bạn khẳng định rằng việc không thể bị điểm 0 là sai, mặc dù xác suất xảy ra cũng rất thấp.
Bạn Bắc đúng khi cho rằng có thể không bị điểm 0, nhưng không thể đạt điểm 10 là sai dù thực tế gần như không khi nào xảy ra.
Khả năng bị điểm kém của học sinh khi chọn ngẫu nhiên các đáp án cao hơn nhiều so với khả năng đạt điểm trung bình hoặc điểm khá Nếu học sinh không học và chỉ trả lời ngẫu nhiên, xác suất bị điểm kém sẽ tăng lên đáng kể Bài toán 2.3.5 trình bày sơ đồ hệ thống điện của khu dân cư EF.
Dòng điện di chuyển từ E đến F thông qua năm trạm biến áp A, B, C, D, G Các trạm biến áp này hoạt động độc lập, với xác suất xảy ra sự cố kỹ thuật ở mỗi trạm A, B, C là 0,2 sau một thời gian hoạt động.
D, G là 0,1 Tính xác suất để khu vực F không mất điện.
Gọi F là biến cố khu vực F không mất điện và A, B, C, D, G lần lượt là các biến cố trạm biến áp A, B, C, D, G gặp sự cố kĩ thuật Khi đó,
2.3.2 Ứng dụng của xác suất đối với các trò chơi
A Một số bài toán tự luận.
Bài toán 2.3.6 Có nên mua số đề hay không?
Luật chơi đề yêu cầu người chơi đặt một số tiền X (đồng) vào một số từ 00 đến 99 Mục tiêu là số hai chữ số này phải trùng với hai chữ số cuối cùng của giải xổ số đặc biệt do xổ số kiến thiết miền Bắc phát hành trong ngày Nếu trúng, người chơi sẽ nhận được 70 lần số tiền đã đầu tư, còn nếu không trúng, số tiền đặt cược ban đầu sẽ bị mất.
Vì có 1 số trúng trong 100 số nên xác suất trúng là: 1
100 Và xác suất thua là: 99
Như vậy, nếu ta đánh 100.000 đồng chia đều cho 100 số, thì ta sẽ lỗ 30.000 đồng.
Nhiều người chơi nghĩ rằng đầu tư 100.000 đồng vào số đề có thể mang lại lợi nhuận 6,9 triệu đồng nếu trúng Tuy nhiên, khả năng trúng thưởng rất thấp, và người chơi có thể thua nhiều lần, dẫn đến việc mất một số tiền lớn Điều này cho thấy rằng việc chơi số đề có thể gây ra lỗ nặng cho người chơi.
Vì vậy, chúng ta không nên mua số đề.
Việc tham gia vào các trò chơi đỏ đen như mua vé số, chơi bầu cua, cá cọp, hay chơi bài đang trở thành một vấn nạn trong xã hội hiện nay Chúng ta cần phải giải thích rõ ràng về những rủi ro và hệ lụy mà những trò chơi này gây ra, đồng thời cảnh báo và vận động mọi người tránh xa để bảo vệ bản thân và gia đình.
Bài toán 2.3.8 Chia giải thưởng thế nào cho công bằng?
Trong một trận đấu tranh chức vô địch giữa hai đối thủ ngang tài, người thắng cuộc là người đầu tiên đạt 6 ván thắng Tuy nhiên, do lý do bất khả kháng, trận đấu phải dừng lại khi người thứ nhất đã thắng 5 ván và người thứ hai chỉ mới thắng 3 ván Vấn đề đặt ra là cách phân chia phần thưởng một cách hợp lý trong tình huống này.
Có người cho rằng, nên chia giải thưởng theo tỉ lệ 5 : 3, vì theo như tỉ lệ thắng của người chơi.
Một quan điểm khác cho rằng nên chia giải theo tỉ lệ 2:1, vì người thứ nhất thắng người thứ hai 2 trận Hai trận này tương đương với 1/3 tổng số trận, do đó người thứ nhất sẽ nhận 1/3 giải thưởng, trong khi phần còn lại sẽ được chia đôi giữa hai người, tức là cả người thứ nhất và người thứ hai sẽ nhận thêm 1/3 giải.
Để phân chia giải thưởng một cách công bằng, cần dựa vào khả năng thắng thua của hai đối thủ Điều này có nghĩa là người có xác suất thắng cao hơn sẽ nhận được phần thưởng lớn hơn Vậy, câu hỏi đặt ra là xác suất thắng thua của hai đối thủ được xác định như thế nào?
