Một số đẳng thức đại số liên quan đến các yếu tố hình học trong tam giác

đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học, từ đó đẫnđến các bài toán đẳng thức liên quan trong tam giác.Trong hệ thống các đẳng thức cơ bản trong tam giác có nhiều dạn

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————– * ———————

MAI THỊ HÀ

MỘT SỐ ĐẲNG THỨC ĐẠI SỐ LIÊN QUAN ĐẾN CÁC YẾU TỐ HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương pháp toán sơ cấp

Mã số: 84 60 113

Người hướng dẫn khoa học:

GS.TSKH Nguyễn Văn Mậu

THANH HÓA, 2020

Mục lục

Mở đầu 1

Lời cảm ơn 5

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt 6

Chương 1 Các hệ thức hình học trong tam giác 7

1.1 Các hệ thức cơ bản trong tam giác 7

1.1.1 Các công thức tính diện tích tam giác 7

1.1.2 Công thức tính độ dài đường trung tuyến 7

1.1.3 Công thức tính độ dài các đường phân giác trong 8

1.1.4 Công thức tính bán kính các đường tròn nội, ngoại tiếp và bàng tiếp 8

1.1.5 Định lý hàm số sin và cosin trong tam giác 8

1.2 Mối liên hệ giữa độ dài các đường bên trong và cạnh của tam giác 9

1.2.1 Một số hệ thức liên quan đến các cạnh của tam giác 9 1.2.2 Một số hệ thức liên quan đến các đường cao trong tam giác 13

1.2.3 Một số hệ thức liên quan đến độ dài các bán kính đường tròn bàng tiếp 15

1.2.4 Một số hệ thức liên quan đến các đường khác nhau trong tam giác 18

Chương 2 Bài toán nhận dạng các đại lượng hình học trong tam giác 21

2.1 Các yếu tố xác định độ dài các cạnh của tam giác 21

2.2 Các yếu tố xác định độ dài các cạnh và đường cao của tam giác 22

2.3 Các yếu tố xác định độ dài các cạnh và trung tuyến của tam

giác 29

2.4 Các yếu tố xác định độ dài các cạnh và phân giác trong của tam giác 33

Chương 3 Một số dạng toán liên quan 38

3.1 Các yếu tố xác định độ dài của ba loại đường khác nhau trong một tam giác 38

3.2 Nhận dạng một số dạng tam giác đặc thù 61

3.2.1 Nhận dạng tam giác đều 61

3.2.2 Nhận dạng tam giác vuông 66

3.3 Một số đề thi Olympic liên quan đến hệ thức giữa các yếu tố trong tam giác 67

MỞ ĐẦU

Toán học là một trong những môn học quan trọng nhất trong chươngtrình học phổ thông Đây cũng là môn khoa học gắn liền với đời sống thựctiễn, vì thế việc lồng ghép các bài toán từ hoạt động thực tiễn vào trongquá trình dạy và học bộ môn, trước hết là tạo điều kiện cho việc học vàhành gắn liền với thực tế "học đi đôi với hành", giúp học sinh hình thành

và phát triển năng lực trong đó có kỹ năng vận dụng kiến thức vào giảiquyết vấn đề của đời sống mà chúng ta gặp hàng ngày

Trong quá trình đổi mới phương pháp dạy học môn toán ở trườngTHPT, việc dạy học giải bài tập có vai trò quan trọng và cơ bản vì dạytoán ở trường phổ thông là dạy hoạt động toán học và dạy để học sinh cóthể đạt chuẩn trình độ đầu ra tương ứng với từng cấp học Hoạt động giảibài tập toán là điều kiện để thực hiện được các mục đích đầu tiên trongdạy học toán ở trường phổ thông Việc giải toán là hình thức chủ yếu củahoạt động toán học, giúp học sinh phát triển tư duy, tính sáng tạo, tạohứng thú học tập cho học sinh Việc giải toán cũng yêu cầu học sinh có kỹnăng vận dụng kiến thức vào những tình huống mới đặc biệt là các tìnhhuống thực tế, có khả năng phát hiện và giải quyết vấn đề, có năng lực độclập trong suy nghĩ, sáng tạo trong tư duy và biết lựa chọn phương pháp

đã thu hút sự quan tâm nghiên cứu của rất nhiều nhà toán học, từ đó đẫnđến các bài toán đẳng thức liên quan trong tam giác.

Trong hệ thống các đẳng thức cơ bản trong tam giác có nhiều dạng toánliên quan đến Định lý Viète đối với phương trình bậc ba Nhiều phươngtrình bậc ba nhận với hệ số chứa các biểu thức theo R, p, r, p, và nhậncác yếu tố a, b, c; ha, hb, hc; làm nghiệm của chúng

Từ các lý do nêu trên, tôi chọn đề tài "Một số đẳng thức đại số liênquan đến các yếu tố hình học trong tam giác" để nghiên cứu với mongmuốn góp phần vào việc nâng cao chất lượng dạy và học chuyên đề đẳngthức đại số trong tam giác nói riêng và bộ môn Toán học ở trường THPTtrong giai đoạn hiện nay

2 Mục đích nghiên cứu

Trên cơ sở nghiên cứu lý luận và thực trạng của việc dạy và học giảitoán về đẳng thức đại số trong tam giác giúp thầy và trò có cái nhìn rộnghơn, sâu hơn về các đẳng thức trong tam giác ở bậc học phổ thông vàphương pháp giải phương trình bậc ba có nhận các yếu tố trong tam giáclàm nghiệm vận dụng chúng vào những bài toán cụ thể, giải tam giác

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các đẳng thức đại số có liên quan đến các yếu

tố trong tam giác như các cạnh, các đường cao, đường trung tuyến, đườngtròn nội tiếp, đường tròn ngoại tiếp, đường tròn bàng tiếp trong tam giác,phương trình bậc ba và hệ thức Viete Vận dụng các tính chất và các đẳngthức đại số có liên quan để xây dựng và giải các phương trình bậc ba nhậncác yếu tố trong tam giác làm nghiệm

- Các bài toán đẳng thức, bất đẳng thức có liên quan đến các yếu tốcủa tam giác

- Xây dựng các phương trình bậc ba có nhận các yếu tố trong tam giáclàm nghiệm, giải các phương trình đó

- Cách sử dụng hệ thống bài toán đó để phát triển cho học sinh kỹ nănggiải toán và vận dụng tính chất của nó khi gặp các bài toán trong thực tế.

4 Nhiệm vụ của đề tài

- Tổng hợp các hệ thức đại số trong tam giác Từ đó tìm tòi, khai tháccách dạy và học hiệu quả từ việc vận dụng các tính chất có được từ cácđẳng thức đó vào giải các bài toán liên quan ở mức độ cao hơn đối với họcsinh khá, giỏi ở trường THPT hiện nay

- Tìm hiểu nội dung về đẳng thức đại số trong tam giác, từ đó thiết kế

hệ thống bài tập, cách sử dụng các đẳng thức đó để phát triển năng lựcgiải toán, hình thành kỹ năng cho HS THPT khi gặp các dạng bài tươngtự

5 Phương pháp nghiên cứu

- Phân tích, tổng hợp tài liệu và hệ thống hóa các nội dung kiến thứccần thiết về tài liệu có liên quan đến đề tài trong các sách, các tiểu luậnkhoa học, báo chí, internet và nhiều tài liệu khác

- Vận dụng đẳng thức đại số trong tam giác để giải tam giác và áp dụngvào thực tế khi dạy học ở THPT

6 Dự kiến đóng góp của đề tài

- Về mặt lí luận: Góp phần hệ thống hóa các tính chất, bài tập về đẳngthức đại số trong tam giác, qua đó phát triển kỹ năng vận dụng tính chất

về đẳng thức đại số cho HS THPT trong quá trình học toán

- Về mặt thực tiễn: Góp phần hệ thống hóa các tính chất, bài tập vềđẳng thức đại số trong tam giác theo các yếu tố một cách đầy đủ và hệthống, từ đó vận dụng giải phương trình bậc ba nhận các yếu tố trong tamgiác làm nghiệm Từ đó phát triển kỹ năng giải toán, khơi gợi hứng thúhọc tập và sáng tạo cho HS ở trường THPT

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận vănđược trình bày trong 3 chương:

Chương 1 Các hệ thức hình học trong tam giác

Chương 2 Bài toán nhận dạng các đại lượng hình học trong tam giác.Chương 3 Một số dạng toán liên quan

LỜI CẢM ƠN

Với tấm lòng biết ơn sâu sắc, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhấtđến quý Thầy Cô của trường Đại học Hồng Đức, những thầy cô giáo vôcùng tâm huyết với vốn kiến thức sâu rộng đã hướng dẫn và truyền đạtcho chúng tôi những kiến thức quý báu suốt thời gian học tập tại trường.Tôi cũng xin cảm ơn ban giám hiệu và các thầy cô, anh chị em đồngnghiệp tại trường THPT Hậu Lộc 1 đã tạo điều kiện thuận lợi nhất đểtôi có thời gian tham gia và hoàn thành khóa học thạc sĩ tại trường Đạihọc Hồng Đức, cảm ơn các đồng nghiệp đã đóng góp ý kiến cho quá trìnhgiảng dạy thực nghiệm tại trường

Đặc biệt, em xin chân thành cảm ơn GS TSKH Nguyễn Văn Mậu,thầy đã tận tâm chỉ bảo hướng dẫn em qua từng buổi học, từng buổi nóichuyện, thảo luận, thầy đã gợi ý cho em các tài liệu tham khảo về đề tàinghiên cứu

Thanh Hóa, ngày tháng năm 2020

Người làm luận văn

Mai Thị Hà

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU VÀ CHỮ VIẾT TẮT

APMO Olympic Toán châu Á - Thái bình

dương HOMC Olympic Toán Hà Nội mở rộng

a, b, c Độ dài các cạnh của tam giác ABC

ha, hb, hc Độ dài các đường cao của tam giác

ABC

la, lb, lc Độ dài các đường phân giác trong của

tam giác ABC

ma, mb, mc Độ dài các đường trung tuyến trong

tam giác ABC

ra, rb, rc Độ dài các bán kính đường tròn bàng

tiếp của tam giác ABC

r Độ dài bán kính đường tròn nội tiếp

tam giác ABC

R Độ dài bán kính đường tròn ngoại tiếp

tam giác ABC

CHƯƠNG 1

CÁC HỆ THỨC HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC

Nội dung chương này nhằm trình bày một số hệ thức cơ bản trong tamgiác và mối liên hệ giữa các yếu tố độ dài các cạnh a, b, c và các đường bêntrong tam giác R, r, ra, rb, rc, ha, hb, hc, la, lb, lc, ma, mb, mc, gắn với nửachu vi p và diện tích S, Đặc biệt, từ một số hệ thức giữa các yếu tố độdài trong tam giác, ta thiết lập các phương trình bậc ba tương ứng nhận

bộ ba cạnh, bộ ba đường cao, bộ ba trung tuyến, bộ ba phân giác, bộ babán kính bàng tiếp, là các nghiệm của phương trình bậc ba đó

Một số kết quả trong chương này được trích dẫn từ các tài liệu [1]-[4]

1.1 Các hệ thức cơ bản trong tam giác

1.1.1 Các công thức tính diện tích tam giác

1.1.3 Công thức tính độ dài các đường phân giác trong

Định lý 1.1 (Định lý hàm số sin) Trong mọi tam giác ABC luôn có

asin A =

bsin B =

csin C = 2R.

Hệ quả 1.1 Trong mọi tam giác ABC thì ứng với cạnh lớn hơn luôn cógóc lớn hơn, tức là

(a − b)(A − B) ≥ 0

Hệ quả 1.2 Trong mọi tam giác ABC ta luôn có

1.2 Mối liên hệ giữa độ dài các đường bên trong và

cạnh của tam giác

1.2.1 Một số hệ thức liên quan đến các cạnh của tam giác

Bài toán 1.1 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

là các nghiệm của phương trình

là các nghiệm của phương trình

t3 − p

2 + r2 + 4Rr4pRr t

2 + 12Rrt −

14pRr = 0.

Lời giải Thay t bởi 1

t ta có ngay kết quả của Bài toán 1.2, điều phải

chứng minh

Nhận xét 1.1 Từ cách giải của hai bài toán 1.2 và 1.3 và sử dụng cáctính chất về nghiệm của phương trình bậc ba, ta thu được các hệ thức sautrong tam giác ABC.

Bài toán 1.4 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

Lời giải Theo kết quả Bài toán 1.1, ta có

a2b2 + b2c2 + c2a2 = (ab + bc + ca)2 − 2abc(a + b + c)

Trong tam giác ta có các hệ thức a2b2c2 = (4pRr)2

Vậy theo Định lý Viet, a2, b2, c2 là các nghiệm của phương trình

t3 − 2(p2 − r2 − 4Rr)t2 + ((p2 + r2 + 4Rr)2 − 8p2Rr))t − 16p2R2r2 = 0

Bằng phương pháp biến đổi tương tự, ta chứng minh được các kết quảsau:

Bài toán 1.7 Chứng minh rằng trong mọi tam giác ABC ta đều có

2 − p2 − r2 − 4Rr8p2R2r2 = p

2 − r2 − 4Rr8p2R2r2

Từ cách giải của hai bài toán 1.7 và 1.8 và sử dụng các tính chất vềnghiệm của phương trình bậc ba, ta thu được kết quả sau

Bài toán 1.9 Chứng minh rằng1/a2, 1/b2, 1/c2 là các nghiệm của phươngtrình

a2b2 + 1

b2c2 + 1

c2a2 = p

2 − r2 − 4Rr8p2R2r2

Trong mọi tam giác, ta có các hệ thức

1.2.2 Một số hệ thức liên quan đến các đường cao trong tam

Lời giải Theo kết quả các Bài toán ?? và Bài toán 1.12, thì

4p2r2 = 0

Lời giải Thay t bởi 1

t trong Bài toán 1.12 ta có ngay điều phải chứng

minh

Nhận xét 1.2 Từ đây, ta thu được các đẳng thức sau

Bài toán 1.14 Chứng minh rằng

1

h2 a

+ 1

h2b +

1

h2 c

= p

2 − r2 − 4Rr2p2r2

Lời giải Nhận xét rằng, từ công thức S = 1

2aha = pr, suy ra

1

h2 a

h2 c

= c

2

4p2r2

1

h2 a

+ 1

h2b +

1

h2 c

= a

2 + b2 + c24p2r2

= 2(p

2 − r2 − 4Rr)4p2r2 = p

2 − r2 − 4Rr2p2r2

+ 1

h2b +

1

h2 c

= p

2 − r2 − 4Rr2p2r2 1.2.3 Một số hệ thức liên quan đến độ dài các bán kính đường

Bài toán 1.16 Chứng minh rằng với mọi ∆ABC, ta luôn có

1(p − c)(p − a)

4r3p(p − a)(p − b)(p − c) =

Lời giải Thay t bởi 1

t trong phương tr?nh (1.3) ta có ngay điều cần

chứng minh

Từ hai bài toán trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phươngtrình bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong một tam giác ABC

+ 1

rb2 +

1

r2 c

Bài 1.14 Chứng minh rằng

1

r3 a

+ 1

r3b +

1

r3 c

+ 1

rb2r2 c

= (4R + r)

2 − 2p2

p4r2 1.2.4 Một số hệ thức liên quan đến các đường khác nhau trong

tam giác

Bài toán 1.19 Chứng minh rằng

(p − a)(p − b) + (p − b)(p − c) + (p − c)(p − a) = r(r + 4R) (1.4)Lời giải Viết (1.4) dưới dạng

Bài toán 1.20 Chứng minh rằng p − a, p − b, p − c là các nghiệm củaphương trình

Lời giải Thay t bởi 1

t, trong bài toán 1.20, ta có điều phải chứng minh.

Từ hai bài toán trên và sử dụng các tính chất về nghiệm của phươngtrình bậc ba, ta thu được các hệ thức sau trong một tam giác ABC.Bài 1.19 Chứng minh rằng

1(p − b)(p − c) +

1(p − c)(p − a) =

1

r2

Bài 1.21 Chứng minh rằng

(2a − p)(2b − p)(2c − p) = p[4r(4R − r) − p2]

p − c(p − a)(p − b) =

c(p − c)(p − a)(p − b) =

4R − 2r

r .

CHƯƠNG 2

BÀI TOÁN NHẬN DẠNG CÁC ĐẠI LƯỢNG

HÌNH HỌC TRONG TAM GIÁC

Trong chương này ta khảo sát bài toán về nhận dạng bộ ba số dươngcho trước là các đại lượng hình học trong một tam giác, xem [2]-[3]

2.1 Các yếu tố xác định độ dài các cạnh của tam

giác

Trong phần này ta xét xem khi nào thi bộ ba số dương (x, y, z) là bayếu tố trong một tam giác như(a, b, c), (ha, hb, hc), (ma, mb, mc), (la, lb, lc),(ra, rb, rc),

Trước hết, ta nhận thấy rằng nghiệm của phương trình vô địnhx2+y2 =

z2 trong tập các số thực dương có thể mô tả dưới dạng tham số như sau

Từ đây, ta có kết quả sau

Bài toán 2.22 Chứng minh rằng với mọi (u, v) trong đó u ∈ R+, v ∈

Lời giải Dễ thấy rằng

P1(u, v) > 0, P2(u, v) > 0, P3(u, v) > 0, ∀u ∈ R+, v ∈ (0;π

2)

và luôn có đẳng thức sau

[P1(u, v)]2 + [P2(u, v)]2 = [P3(u, v)]2

Từ đó suy ra P1(u, v), P2(u, v), P3(u, v) là độ dài các cạnh của một tamgiác vuông có độ dài cạnh huyền là P3(u, v)

Bài toán 2.23 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giácứng với các yếu tố (x, y, z) = (a, b, c) là x, y, z dương và

|z − y| < x < y + z

Lời giải

Điều kiện cần là hiển nhiên

Điều kiện đủ Giả sử x, y, z thỏa mãn bất đẳng thức tam giác Ta chứngminh tồn tại tam giácABC thỏa mãn điều kiệnBC = a, CA = b, AB = c

bằng cách chỉ ra cách dựng tam giác này

- Trước hết trên đường thẳng bất kì lấy BC = a

- Dựng đường tròn tâm C bán kính b, sau đó dựng đường tròn tâm B

bán kính c

- Dựng điểm A là giao điểm của hai đường tròn nói trên

- Ta được tam giác ABC thỏa mãn có tính chất đã cho

Điểm A luôn tồn tại vì b + c > a nên hai đường tròn luôn cắt nhau tạihai điểm A và A0 đối xứng nhau qua BC nên ta được hai tam giác ABC

vàA0BC nhưng hai tam giác này bằng nhau nên thực chất chỉ có một tamgiác (từ các bài toán sau hai tam giác như vậy thì ta coi là duy nhất)

2.2 Các yếu tố xác định độ dài các cạnh và đường

cao của tam giác

Bài toán 2.24 Điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giác ứng với các yếu

tố (x, y, z) = (a, ha, hb) là

x, y, z > 0, x> z (2.1)

2 ⇔ 4ABC vuông tại C.

Điều kiện đủ Giả sử a, ha, hb > 0 thỏa mãn điều kiện (2.1) Ta chứng

tỏ tồn tại tam giác ABC thỏa mãn điều kiện BC = a, các đường cao

AH = ha, BK = hb bằng cách chỉ ra cách dựng tam giác này

Giả sử dựng được tam giác ABC như vậy Khi đó BC = a dựng đượcngay, để xác định A trước hết ta xác định K Do BK vuông góc với KC

nên K thuộc đường tròn đường kính BC Mặt khác, BK = hb nên K

thuộc đường tròn tâmB bán kính hb Do đó K là giao điểm của hai đườngtròn nói trên Điểm A ∈ CK và cách BC một khoảng bằng ha

Từ đó ta có cách dựng sau:

- Trước hết trên đường thẳng bất kì lấy BC = a,

- Dựng đường tròn tâm B bán kính hb, sau đó dựng đường tròn đườngkính BC,

- Dựng điểm K là giao điểm của 2 đường tròn nói trên

- Dựng đường thẳng∆song song vớiBC và cách BC một khoảng bằng

Vậy các yếu tố (x, y, z) thỏa mãn điều kiện (2.1) là điều kiện cần và đủ

để tồn tại tam giác

Ta xét các bài toán tương tự sau đây

Bài toán 2.25 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giácứng với các yếu tố (x, y, z) = (a, hb, hc) là

x, y, z > 0, x> y, x > z (2.2)Lời giải

Ta có hb = a khi và chỉ khi 4ABC vuông tại C, suy ra hc < a.

Tương tự, hc = a nên hb < a Vậy dấu đẳng thức xảy ra ở chỉ mộttrong hai bất đẳng thức

Điều kiện đủ Giả sử a, hb, hc > 0 thỏa mãn điều kiện (2.2) Ta chứng

tỏ tồn tại tam giác ABC thỏa mãn điệu kiện BC = a, các đường cao

BH = hb, CK = hc bằng cách chỉ ra cách dựng tam giác này

Giả sử dựng được tam giác ABC như vậy Khi đó BC = a; các đườngcao BH = hb, CK = hc

Khi đó đỉnh A là giao điểm của CH và BK, ta cần xác định K và H

Vì CK = hc nên K thuộc đường tròn tâm C bán kính hc Mặt khác, CK

vuông góc với BK nên K thuộc đường tròn đường kính BC Do đó K

là giao điểm của hai đường tròn nói trên Tương tự, H là giao điểm củađường tròn tâm B bán kính hb với đường tròn đường kính BC

Từ đó ta có cách dựng sau:

- Dựng đoạn BC = a

- Dựng các đường tròn đường kính BC, đường tròn tâm B bán kính

hb và đường tròn tâm C bán kính hc

- Dựng K, H tương ứng là các giao điểm của đường tròn đường kính

BC với đường tròn tâm B bán kính hb và đường tròn tâm C bán kính hc.Các đường thẳng BK, CH cắt nhau tại A, ta được tam giác ABC.Thật vậy, do a > hb, a > hc nên các giao điểm H, K tồn tại Hơn nữa,dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở một trong hai bất đẳng thức trên nên BK và

CH cắt nhau Đặc biệt, nếu hb = a, hc < a hoặc (hc = a, hb < a) thì

CH là tiếp tuyến tại C của đường tròn đường kính BC (hoặc BK là tiếptuyến tại B của đường tròn đường kính BC) Do đó luôn tồn tại A

Rõ ràng theo cách dựng thì BC = a, BH vuông góc với CH nên BH

vuông góc với AC và BH = hb ; cũng vậy, CK vuông góc với AB và

CK = hc

Biện luận:

- Nếu hb < a, hc < a thì mỗi đường tròn tâm B bán kính hb, tâm C

bán kínhhc cắt đường tròn đường kínhBC tại hai điểmH, H0; K, K0 từngcặp đối xứng qua BC

Xét K, H nằm cùng phía đối với BC ta xác định được A

Xét K, H0 nằm khác phía đối với BC Khi đó, nếu BK//CH0 thì

\

KBC =BCH\0

Suy ra

4BKC = 4CH0B nên BK = CH0 hay hb = hc

Do đó nếu hB 6= hc thì BK ∦ CH0 nên BK cắt CH0 tại A0 Tam giác

A0BC thỏa mãn các yếu tố đã cho

- Nếu hb = a, hc < a thì tồn tại duy nhất một tam giác ABC với A làgiao điểm của BK và tiếp tuyến tại C của đường tròn đường kính BC.Tương tự cho trường hợp hc = a, hb < a

Vậy với (x, y, z) thỏa mãn điều kiện (2.2) đều tồn tại tam giác ABC

với các yếu tố đã cho

Bài toán 2.26 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giácứng với các yếu tố (x, y, z) = (a, b, ha) là

x, y, z > 0, y > z > 0 (2.3)Lời giải

Điều kiện cần Với tam giác 4ABC, đường cao AH = ha ta có

b > b sin C = havà

ha = b ⇔ C = π

2 ⇔ 4ABCvuông tại C ⇔ H ≡ C

Điều kiện đủ

Giả sửa, b, ha > 0thỏa mãn điều kiện (2.3) ta chứng tỏ tồn tại tam giác

ABC thỏa mãn điều kiện BC = a, AC = b, đường caoAH = ha, bằngcách chỉ ra cách dựng tam giác này Giả sử dựng được tam giác ABC nhưvậy Do AH vuông góc với BC nên H thuộc đường tròn đường kính AC.Mặt khác, AH = ha nên H thuộc đường tròn tâm A bán kính ha Do

đó H là giao điểm của hai đường tròn nói trên Điểm B ∈ HC sao cho

BC = a

Từ đó ta có cách dựng sau

- Trước hết trên đường thẳng bất kì lấy AC = b

- Dựng đường tròn tâm A bán kính ha, sau đó lại dựng đường trònđường kính AC

- Dựng điểm H là giao điểm của 2 đường tròn nói trên

- Dựng điểm B trên CH sao cho BC = a Ta được tam giác ABC cầndựng

Thật vậy, do b > ha nên H tồn tại Do vậy tam giác ABC tồn tại thỏamãn BC = a, AC = b, đường cao AH = ha

Biện luận:

- Nếu b > ha thì đường tròn tâm A bán kính ha cắt đường tròn đườngkính AC tại hai điểm H và H0 đối xứng qua AC nên ta coi như có mộttam giác AHB thỏa mãn AH = ha; AC = b Với điểm H đó, trên đườngthẳng CH có hai điểm B và B0 thỏa mãn CB = CB0 = a nên có hai tamgiác ABC và AB0C thỏa mãn giả thiết bài toán

- Nếu b = ha thì H ≡ C, khi đó CB là tiếp tuyến tại C của đườngtròn đường kính AC nên chỉ tồn tại một tam giác ABC với AC = b =

ha, BC = a

Vậy các yếu tố (x, y, z) thỏa mãn điều kiện (2.3) là điều kiện cần và đủ

để tồn tại tam giác

Bài toán 2.27 Điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giác ứng với các yếu

tố (x, y, z) = (b, c, ha) là

x> z > 0, y > z > 0 (2.4)Lời giải

Điều kiện cần Với tam giác 4ABC, đường cao AH = ha, ta có

2 ⇔ H ≡ C nên sin B ∈ (0; 1) nên ha < c

Lúc này tam giác ABC vuông tại C

Tương tự, nếu ha = b thì ha < c Do đó dấu đẳng thức chỉ xảy ra ởmột trong hai bất đẳng thức

Điều kiện đủ Giả sử(x, y, z)thỏa mãn điều kiện (2.4) Ta chứng tỏ tồn tạitam giác ABC thỏa mãn điều kiện AB = c, AC = b,đường cao AH = ha,

bằng cách chỉ ra cách dựng tam giác này

Giả sử dựng được tam giác ABC như vậy Khi đó, B là giao điểm củađường tròn tâm A bán kính c với đường thẳng ∆ vuông góc với AH tại

H, C là giao điểm của đường tròn tâm A bán kính b với ∆ Từ đó ta cócách dựng sau

- Dựng đoạn AH = ha

- Dựng đường thẳng ∆ vuông góc với AH tại H

- Dựng đường tròn tâm A bán kính lần lượt là b, c

- Đường tròn tâm A bán kính là b cắt ∆ tại C

- Đường tròn tâm A bán kính là c cắt ∆ tại B

Ta được tam giác ABC cần dựng

Thật vậy, do c > ha, b > ha (dấu đẳng thức chỉ xảy ra ở một trong haibất đẳng thức) nên các điểm B, C tồn tại Do vậy tam giác ABC tồn tạithỏa mãn yêu cầu bài toán

Biện luận:

- Nếu c > ha, b > ha thì đường tròn tâm A bán kính c cắt đường thẳng

∆ tại hai điểm B và B0 đối xứng qua AH Tương tự hai giao điểm C, C0

của đường tròn tâm A bán kính b với ∆ nên có hai tam giác ABC và

AB0C thỏa mãn giả thiết bài toán

- Nếu b = ha, c > ha hoặc (c = ha, b > ha) thì H ≡ C hoặc (H ≡ B )nên chỉ tồn tại duy nhất tam giác ABC với các yếu tố đã cho

Vậy các yếu tố (x, y, z) thỏa mãn điều kiện (2.4) là điều kiện cần và đủ

để tồn tại tam giác

Bài toán 2.28 Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tồn tại tam giácứng với các yếu tố (x, y, z) = (ha, hb, hc) là

x, y, z > 0,

x

y − xz

< 1 < x

y

z − yx

< 1 < y

z

x − zy