Tính Điều Khiển Được Của Hệ Ngẫu Nhiên Tuyến Tính Và Ứng Dụng.pdf

ỦY BAN NHÂN DÂN TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC BÙI THỊ HUỆ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành Toán Giải tích Mã số 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC[.]

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

BÙI THỊ HUỆ

TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC CỦA HỆ

NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Toán Giải tích

Mã số: 60.46.01.02

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Hoàng Văn Thi

THANH HÓA, NĂM 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóaluận, luận văn, luận án và các công trình khoa học đã công bố

Người cam đoan

Bùi Thị Huệ

LỜI CẢM ƠN

Trước hết, tác giả xin gửi đến thầy giáo - TS Hoàng Văn Thilòng biết ơn sâu sắc về sự hướng dẫn và giúp đỡ của thầy đối với tác giảtrong suốt thời gian học tập cũng như trong việc hoàn thành luận vănnày Thầy đã truyền đạt cho tác giả ý tưởng, cảm hứng về đề tài nghiêncứu này Thầy không những giúp đỡ về mặt chuyên môn mà còn giúp

đỡ tác giả về mặt tinh thần những lúc tác giả gặp khó khăn

Tác giả xin chân thành cảm ơn các thầy cô đã giảng dạy và truyềnđạt cho tác giả những kiến thức trong những năm học cao học; cảm ơnquý thầy cô trong khoa Khoa Học Tự Nhiên trường Đại học Hồng Đức

đã tận tình hướng dẫn, cung cấp tài liệu, trang bị những kiến thức cầnthiết cho tác giả trong suốt những năm học cao học

Tác giả cũng xin chân thành cảm ơn các học viên lớp cao học Toángiải tích trường Đại học Hồng Đức đã hỗ trợ về mọi mặt trong thời gianqua

Cuối cùng, tác giả xin chân thành cảm ơn các bạn bè và gia đình

đã giúp đỡ và hỗ trợ tinh thần cho tác giả trong suốt thời gian học tập

và nghiên cứu

Thanh Hóa, ngày 20 tháng 10 năm 2013

Tác GiảBùi Thị Huệ

MỤC LỤC

Lời cam đoan i

Lời cảm ơn ii

Kí hiệu dùng trong luận văn iii

Mở đầu 1

Chương 1.Hệ ngẫu nhiên và một số khái niệm về điều khiển được 4 1.1 Một số khái niệm cơ sở 4

1.2 Hệ ngẫu nhiên quan sát được 5

1.3 Toán tử điều khiển được ngẫu nhiên 7

1.4 Các định nghĩa về tính điều khiển được 9

1.5 Nguyên lí năng lượng cực tiểu 13

Chương 2 Một số kết quả về tính điều khiển được của hệ ngẫu nhiên tuyến tính 15

2.1 Tính điều khiển được hoàn toàn 15

2.2 Tính điều khiển được xấp xỉ 17

2.3 Tính S-điều khiển được 19

2.4 Ứng dụng 23

Kết luận 27

KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN VĂN

R: Tập các số thực

Rn: Không gian Euclide n chiều

D(A): Miền xác định của A

δ(A): Phổ của A

L(X, Y ): Tập các toán tử tuyến tính liên tục từ X vào Y

L0(X, Y ): Tập các toán tử tuyến tính liên tục có miền xác định là

toàn bộ không gian X

dt: Đạo hàm bậc nhất của y theo t.

dˆx(t): Đạo hàm bậc nhất của biến ngẫu nhiên x theo t

Dtx(t, · ): Đạo hàm riêng bậc nhất của hàm x(t, · ) theo t

Rb

a f (t)dt: Tích phân Bochner Lebesgue của hàm f (t) : [a, b] → X

MỞ ĐẦU

Lý thuyết điều khiển toán học là một trong những lĩnh vực toánhọc có nhiều ứng dụng quan trọng, mới được xuất hiện và phát triểntrong mấy thập kỉ gần đây Trong thực tiễn cũng như trong khoa học

kĩ thuật, có nhiều bài toán về điều khiển hệ thống được mô tả bằng cácphương trình toán học có chứa mối quan hệ vào-ra Một trong nhữngmục đích chính của bài toán điều khiển hệ thống là tìm điều khiển (đầuvào) sao cho hệ thống (đầu ra) có những tính chất mà ta mong muốn.Thông thường, việc chuyển một hệ thống có điều khiển từ vị trí này tới

vị trí khác có thể thực hiện bằng nhiều phương pháp dưới tác động củacác biến điều khiển Căn cứ vào các mục đích cụ thể của hệ thống để xácđịnh các bài toán điều khiển khác nhau (như Bài toán điều khiển được,Bài toán điều khiển tối ưu, Bài toán ổn định và ổn định hóa, .) Tínhđiều khiển được của các hệ động lực được bắt đầu bởi những ý tưởng

và kết quả quan trọng của R Kalman (xem [2]) từ đầu thập kỉ 60 củathế kỉ XX, đã chỉ ra một tiêu chuẩn đại số (còn gọi là tiêu chuẩn hạngKalman) về điều kiện điều khiển được đối với hệ vi phân tuyến tính có

hệ số hằng số Sau đó đã được mở rộng cho hệ vô hạn chiều (xem [3],[4]) và đã nhận được nhiều kết quả thú vị (xem [5],[6],[7]) Sau này cũng

có nhiều công trình về tính điều khiển được của hệ ngẫu nhiên đã đượcnghiên cứu (xem [8],[9],[10],[11],[12],[13],[14],[15])

Trong lí thuyết điều khiển, đối với các hệ vô hạn chiều người tathường phân biệt tính điều khiển được hoàn toàn và tính điều khiểnđược xấp xỉ Nguyên do, đối với hệ điều khiển vô hạn chiều, việc tìm cácđiều khiển để hệ điều khiển được hoàn toàn là khó khăn hơn và không

phải hệ nào cũng điều khiển được hoàn toàn Một hệ được gọi là điềukhiển xấp xỉ nếu từ bất kì trạng thái nào đó có thể điều khiển được vềlân cận của một trạng thái khác bởi một điều khiển chấp nhận được.Đối với tính điều khiển được của các hệ ngẫu nhiên, có ít nhất bakhái niệm về tính điều khiển được, đó là: điều khiển được hoàn toàn,điều khiển được xấp xỉ và S-điều khiển được Một trong ba khái niệm

về tính điều khiển đối với hệ ngẫu nhiên tuyến tính được nghiên cứu bởiBashirov, A.E, và Mahmudov, N.I (xem [13],[14]).Khi xét đến khônggian Hilbert vô hạn chiều, ba loại điều khiển được nói trên đã tổng quáthóa nên một lớp các hệ xác định trong không gian vô hạn chiều Cácphân tích của nhiều nhà toán học chỉ ra rằng:

(i) Xét tính điều khiển được hoàn toàn của hệ ngẫu nhiên tuyến tínhtại thời điểm T, thì tính điều khiển được hoàn toàn với thời gian

đủ nhỏ của hệ ngẫu nhiên tuyến tính và của hệ xác định là tươngđương

(ii) Xét tính điều khiển được xấp xỉ của hệ ngẫu nhiên tuyến tính tạithời điểm T, thì tính điều khiển được xấp xỉ với thời gian đủ nhỏcủa hệ ngẫu nhiên tuyến tính và của hệ xác định là tương đương.(iii) Điều khiển được xấp xỉ của hệ ngẫu nhiên tuyến tính tại thời điểm

T với S-điều khiển được trong cùng hệ với tập Gauss-điều khiểnđược

Trong luận văn này, chúng tôi nghiên cứu về tính điều khiển đượccủa hệ ngẫu nhiên tuyến tính và ứng dụng Mục đích của luận văn làtrình bày có hệ thống những khái niệm về tính điều khiển được đối với

hệ động lực ngẫu nhiên được mô tả bởi các phương trình vi phân ngẫu

nhiên tuyến tính trong không gian Hilbert vô hạn chiều.

Luận văn bao gồm phần Mở đầu, hai chương, phần Kết luận vàphần Tài liệu tham khảo

Chương 1 trình bày các khái niệm cơ bản, các hệ ngẫu nhiên quansát được, toán tử điều khiển ngẫu nhiên, các định nghĩa cơ bản và nguyên

lí năng lượng cực tiểu

Chương 2 chứng minh các điều kiện cần và đủ về tính điều khiểnđược đối với hệ ngẫu nhiên tuyến tính

Chương 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này, trình bày một số khái niệm cơ bản; các hệngẫu nhiên quan sát được; toán tử điều khiển ngẫu nhiên; các định nghĩa

cơ bản và nguyên lí năng lượng cực tiểu

Cho (Ω, F , P) là một không gian xác suất với phép lọc {Ft : 0 ≤ t ≤

T }, X, H, E và U là các không gian Hilbert tách được; ω(t) là một quátrình Wiener trên E với toán tử hiệp phương sai Q và x0 là một biếnGauss-giá trị H với trung bình 0 và toán tử hiệp phương P0; ω1(t) là mộtvector giá trị quá trình Wiener trên Rk với ma trận hiệp phương sai Q1.Chúng ta giả sử rằng x0, ω, ω1 độc lập với nhau L2(Q1/2E, H)

là không gian tất cả các toán tử Hilbert-Schimidt từ Q1/2 vào H vớichuẩn Hilbert-Schimidt k· k2 L(U, H) là không gian tất cả các toán

tử tuyến tính bị chặn từ U vào H LF2 (0, T ; X) là không gian tất cảcác Ft thích nghi, X-giá trị đo được của ϕ(t, ω) trên (0, T ) sao cho

ER0T kϕ(t, ω)k2dt < +∞, và U = LF2 (0, T ; U )

B2(∆; L(Rk, U )) là không gian các hàm giá trị L(Rk, U ) trên ∆ ={(t, s) : 0 ≤ s ≤ t ≤ T }-đo được mạnh và bình phương khả tích tươngứng với độ đo Lebesgue trên ∆ L2(FT, H) := L2(Ω, FT, H)

Kí hiệu D(R) là miền xác định và ImR là ảnh của toán tử tuyếntính R

Mỗi toán tử tự liên hợp R trên không gian Hilbert H được gọi là

không âm (R ≥ 0), nếu hRz, zi ≥ 0 với mọi z ∈ D(R); R gọi là cưỡngbức (R − γI ≥ 0) nếu tồn tại γ > 0 sao cho hRz, zi ≥ γkzk2.

Lấy f và một hàm P-đo được từ Ω tới L2(0, T ; Y ) Với 0 < t ≤ T ,

ta kí hiệu ft là hạn chế của f lên [0, t] × Ω và σ(ft) là σ-đại số sinh bởi

ft(s), 0 ≤ s ≤ t

Cho Xft = L2(Ω, σ(ft), P, X) Khi đó, tậpRφXftdt = {x ∈ L2(0, T ; X) :

xt ∈ Xft với ∀t ∈ [0, T ]} là tổng Hilbertian của các không gian con Xft

Chúng ta xem xét một lớp các hệ ngẫu nhiên quan sát được vô hạnchiều sau trên đoạn [0, T ] dạng:

dx(t) = [Ax(t) + Bu(t)]dt +Xdw(t), x(0) = 0,dz(t) = Cx(t) + F dw1(t),

ở đây z0(· ) là quá trình quan sát dưới điều khiển 0

Đối với các điều khiển chấp nhận được, u ∈ Uad này, nó được chỉ ratrong [17] rằng Uz0

t = Uzt và do đó không phụ thuộc vào việc chọn cácđiều khiển Vì vậy, với u ∈ Uad, (1.1) là một quá trình ngẫu nhiên hoàntoàn được xác định và u là một điều khiển ngược lại được xác định bởi

u(t) = ψ(t, zt), với ψ đo được, không âm và thỏa mãn điều kiện Lipschitzđều.

Cho I(t) = [z0(t) −R0tC ˆx0(s)ds] là một quá trình cải tiến và lấyZ(t) = σ(zt), Zt0 = σ(zt0) và It = σ(It) là các σ-đại số sinh bởi zt(.), zt0(.)

S(t − s)Bu(s)ds +

Z t 0

S(t − s)D(s)d ˆw(s) (1.5)

Ta cũng có thể xem xét một hệ xác định tương ứng với (1.5) dạng

d

dty(t) = [Ay(t) + Bv(t)], y(0) = y. (1.6)

Xét các toán tử L : U → L2(ZT, H), toán tử điều khiển ΠsT :

L2(ZT, H) → L2(ZT, H) liên kết với hệ (1.4), và toán tử điều khiển ΓTsđược liên kết với (1.6) xác định bởi:

LT0u =

Z T 0

ΠTs =

Z T s

S(T − t)BB∗S∗(T − t)E{· |Zt}dt, (1.8)

ΓTs =

Z T s

S(T − t)BB∗S∗(T − t)dt (1.9)

Dễ dàng thấy rằng các toán tử LT0, ΠTs, ΓTs là các toán tử tuyến tính

bị chặn, và toán tử liên hợp(LT0)∗ ∈ L(L2(ZT, H)U ) của LT0 được xácđịnh bởi:

(LT0)∗ = B∗S∗(T − t)E{z|Zt},và

ΠT0 = LT0(LT0)∗

Bây giờ, chúng ta kí hiệu tập như sau:

R(t, x0) = S(t)x0 + ImLt0 +

Z t 0

Trước khi nghiên cứu bài toán điều khiển ngẫu nhiên, chúng ta hãyđánh giá mối quan hệ giữa ΠTs và Γtr, s ≤ r < T ; R(λ, ΠTs) = (λI +ΠTs)−1

và R(λ, ΓTr) = (λI + ΓTr)−1, s ≤ r < T với λ > 0 tương ứng

Bổ đề 1.3.1 Đối với mỗi z ∈ L2(ZT, H), tồn tại ϕ(· ) ∈ LZ2 (0, T ; L(Rk, H))sao cho

ϕn(s)d ˆw(s) (1.10)

kϕn(s) − ϕm(s)k2ds,chúng ta thu được dãy {ϕn(· )} cũng là dãy cơ bản Do đó, tồn tại mộthàm ϕ(· ) ∈ LZ2 (0, T ; L(Rk, H)) sao cho ϕn(· ) → ϕ(· ) hội tụ mạnh trong

LZ2 (0, T ; L(Rk, H)) Bây giờ, để thu được biểu diễn như mong muốn, chỉcần lấy giới hạn của (1.10) khi n → ∞

(b) Cho z ∈ L2(ZT, H) Từ phần (a), ta chỉ ra rằng sẽ tồn tại ϕ ∈

LZ2 (0, T ; L(Rk, H)) sao cho

E{z|Zt} = E{z} +

Z t 0

S(T − t)BB∗(S)∗(T − t){z|Zt}dt

= ΓTsE{z|Zs} +

Z T s

ΓTrϕ(r)d ˆw(r)

Định nghĩa 1.4.1 Hệ ngẫu nhiên tuyến tính (1.2) được gọi là:

(a) Điều khiển được hoàn toàn trên [0, T ] nếu tất cả các điểm trong

L2(Z, H) có thể đạt được từ trạng thái gốc tại thời điểm T Nghĩa

là, nếu R(T, x0) = L2(Z, H)

(b) Điều khiển được xấp xỉ trên (0, T ) nếu R(T, x0) = L2(Z, H),

nghĩa là, có thể dời điểm x0 tới mọi điểm trong không gian trạng thái

L2(Z, H)với khoảng cách không quá ε > 0 tại thời điểm T

Để giới thiệu về khái niệm S-điều khiển được ta cần hai định lí:Định lí đầu tiên chỉ ra rằng ta không cần giới thiệu các khái niệm vềđiều khiển được xấp xỉ và điều khiển được hoàn toàn một cách rời rạctheo nghĩa ngẫu nhiên Định lí thứ hai nói rằng một điểm ngẫu nhiên

h ∈ L2(Z, H) là có thể đạt được từ một điểm bất kỳ nếu và chỉ nếu cómột điểm không ngẫu nhiên h ∈ H là có thể đạt được từ một điểm bấtkỳ

Lấy h ∈ T

ε>0,0≤p<1

Sεp(T, x0) và cố định ε0 > 0, 0 ≤ p0 < 1 Rõ ràngtồn tại một số tự nhiên m > 1 sao cho p0 + ε0

m < 1 Do đó, tồn tại

hn ∈ Sp

ε(T, x0) và N (ε0) > 0 sao cho với mọi n > N (ε); thì

Ekhn − hk2 ≤ ε20(m − 1)2/m3đối với mọi ε > 0, 0 ≤ p < 1, và

ε 0 /m 2 (T, x0) nên tồn tại u ∈ U vớiP{kˆx(T ; x0, u) − hnk2 > ε0/m2} ≤ 1 − p0 − ε0/m

Định lí 1.4.3 A(T, x0) = H ⇔ S(T, x0) = L2(ZT, H).

Chứng minh Ta chỉ cần chứng minh phần thuận

Cho h ∈ LZ2(0, T, H) và cho ε > 0, 0 ≤ p < 1 là các số thực tùy

ở đây m ≥ 1 được chọn sao cho 0 < 1/l − p/l − ε/m < 1

Mặt khác, do A(T, x0) = H, nên tồn tại uj(· ) ∈ Uad sao cho

l+1

P

j=1

ˆx(t; x0, uj)χΩj là nghiệm của phương trình(1.2) tương ứng với u(t) =

Định lí này thúc đẩy chúng ta đưa ra khái niệm sau:

Định nghĩa 1.4.4 Hệ ngẫu nhiên tuyến tính (1.4) được cho là S-điềukhiển được nếu A(T, x0) = A(T, x0) = H,

Nghĩa là, cho một giá trị ε > 0 tùy ý có thể dời điểm ˆx0 để mọiđiểm trong không gian H tại thời điểm T một khoảng √

ε và xác suất

đó gần tới 1

Nếu T > 0 có thể nhỏ tùy ý, ta thêm vào từ "thời gian nhỏ" sau

từ "điều khiển được" Ta nói rằng điều khiển được hoàn toàn thời giannhỏ, điều khiển được xấp xỉ thời gian nhỏ, S-điều khiển được thời giannhỏ

Xác định bài toán điều khiển tuyến tính để cực tiểu hóa

J (u) = Ekˆx(T ; x0, u) − hk2 + λE

Z T 0

ku(t)k2dt, (1.11)với mọi u(· )Uad, với ˆx(t; x0, u) là một quá trình trạng thái xác định bởi(1.2) và h ∈ L2(ZT, H), λ > 0 là tham số

Bổ đề 1.5.1 Tồn tại duy nhất một điều khiển tối ưu uλ(· ) ∈ Uad tại đóphiếm hàm (1.11) nhận giá trị nhỏ nhất và

uλ(t) = −B∗S∗(T − t){R(λ, ΓT0)(S(T )x0 − Eh)}

+

Z t 0

R(λ, ΓTs)[S(T − s)Σ(s) − ϕ(s)]d ˆw(s)

(1.12)

ˆx(T ; x0, uλ) − h = λR(λ, ΓT0)(S(T )x0 − Eh)

Z T 0

Z t 0

(ΓTs)−1[S(T − s)σ(s) − ϕ(s)]d ˆw(s)}

chuyển x0 tới h tại thời điểm T

(ii) Trong tất cả các điều khiển u chuyển x0 tới h tại thời điểm T thìđiều khiển u0(· ) cực tiểu hóa tích phân ER0T ku(t)k2dt

Chương 2

CÁC KẾT QUẢ VỀ TÍNH ĐIỀU KHIỂN ĐƯỢC

CỦA HỆ NGẪU NHIÊN TUYẾN TÍNH

Trong chương này, trình bày một số điều kiện cần và đủ về tínhđiều khiển được đối với hệ điều khiển ngẫu nhiên tuyến tính

Trong phần này, chúng ta xem xét điều kiện cần và đủ cho tính điềukhiển được hoàn toàn

Định lí 2.1.1 [15] Hệ điều khiển (1.4) là điều khiển được hoàn toàntrên [0, T ] nếu và chỉ nếu một trong những điều kiện sau nghiệm đúng:(a) EhΠT0z, zi ≥ γEkzk2 với mỗi γ > 0 và với mọi z ∈ L2(ZT, H);

(b) R(λ, ΠT0) hội tụ khi λ → 0+ trong toán tử tôpô đều;

(c) λR(λ, ΠT0) hội tụ tới toán tử 0 khi λ → 0+ trong toán tử tôpô đều.Định lí 2.1.2 Các điều kiện sau là tương đương:

(a) Hệ ngẫu nhiên (1.4) là điều khiển được hoàn toàn trên (0, T )

(b) Hệ xác định (1.6) là điều khiển được hoàn toàn trên với mọi [s, T ], 0 ≤

s < T

(c) Hệ xác định (1.6) là điều khiển được hoàn toàn thời gian nhỏ

(d) Hệ ngẫu nhiên (1.4) là điều khiển được hoàn toàn thời gian nhỏ

Chứng minh Rõ ràng rằng (b) ⇔ (c) và (d) ⇒ (a) Ta chỉ đi chứngminh (a) ⇒ (b) và (b) ⇒ (d).

(a) ⇒ (b): Giả sử rằng hệ ngẫu nhiên (1.4) là điều khiển được hoàntoàn trên [0, T ] thì theo Định lí 2.1.1:

EhΠT0z, zi ≥ γEkzk2với mỗi γ > 0 và với mọi z ∈ L2(ZT, H) Để chỉ ra tính điều khiển đượchoàn toàn của hệ xác định (1.6) ta viết vế trái của bất đẳng thức trêntheo các phần tử của ΓTs Để làm điều đó, ta sử dụng Bổ đề 1.3.1:

Z r+ε r

hΓTsϕ1(s), ϕ1(s)ids ≥

Z r+ε r

kϕ1(s)k2ds

Lấy giới hạn khi ε → 0+ ta thấy rằng

hΓTrh, hi ≥ γkhk2, với γ > 0 nào đó ,nghĩa là hệ (1.6) là điều khiển được hoàn toàn trên mỗi đoạn [r, T ]

(c) → (d): Nếu hệ xác định (1.6) là điều khiển trên mọi [s, τ ], thì

toán tử Γτs là khả nghịch và một toán tử xác định bởi

Aτ0z = (Γτ0)−1Ez +

Z τ 0

(Γτs)−1ϕ(s)d ˆw(s)

là nghịch đảo của Πτ0 Từ tính khả nghịch của Πτ0 với mọi τ > 0 chúng tathu được hệ điều khiển được hoàn toàn thời gian nhỏ của hệ (1.4) ♦

Định lí 2.2.1 [15] Hệ điều khiển (1.4) là điều khiển được xấp xỉ trên[0, T ] nếu và chỉ nếu một trong những điều kiện sau nghiệm đúng:(a) ΠT0 > 0

(b) λR(λ, ΠT0) hội tụ tới toán tử 0 khi λ → 0+ trong toán tử tôpô mạnh.(c) λR(λ, ΠT0) hội tụ tới toán tử 0 khi λ → 0+ trong toán tử tôpô yếu.Định lí 2.2.2 Các điều kiện sau là tương đương:

(a) Hệ ngẫu nhiên (1.4) là điều khiển được xấp xỉ trên [0, T ]

(b) Hệ xác định (1.6) là điều khiển được xấp xỉ trên mọi [s, T ], 0 ≤ s <

T

(c) Hệ xác định (1.6) là điều khiển được xấp xỉ thời gian nhỏ

(d) Hệ ngẫu nhiên (1.4) là điều khiển được xấp xỉ thời gian nhỏ

Chứng minh Rõ ràng rằng (b) ⇔ (c), (d) ⇒ (a)

(a) ⇒ (b): Cho hệ ngẫu nhiên (1.4) là một điều khiển được xấp xỉtrên [0, T ] thì

EkλR(λ, ΠT0)zk2 → 0