Ứng Dụng Phương Trình Dirac Để Giải Thích Một Số Hiện Tượng Lượng Tử.pdf

i LỜI CẢM ƠN Để hoàn thành khóa luận này, trƣớc tiên tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới cô giáo Nguyễn Thị Dung – là ngƣời đã trực tiếp hƣớng dẫn, tận tình chỉ bảo và dìu dắt tôi trong suốt quá t[.]

có thể hoàn thành khóa luận của mình

Cuối cùng bằng tình cảm chân thành nhất tôi xin gửi lời cảm ơn đến những người thân trong gia đình và bạn bè đã động viên, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và thực hiện khóa luận

Mặc dù đã rất cố gắng nhưng đề tài vẫn không tránh khỏi những thiếu sót Kính mong sự đóng góp quý báu từ phía các thầy cô và các bạn để đề tài của tôi

được hoàn thiện hơn

Tôi xin chân thành cảm ơn!

Thanh Hóa, tháng 05 năm 2017

Sinh viên

Mai Thị Hồng Duyên

MỤC LỤC

Trang

LỜI CẢM ƠN i

MỞ ĐẦU 1

I Lý do chọn đề tài 1

II Mục đích nghiên cứu 2

III Đối tượng nghiên cứu 3

IV Phạm vi nghiên cứu 3

V Phương pháp nghiên cứu 3

VI Cấu trúc của khóa luận 3

CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH DIRAC TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ TƯƠNG ĐỐI TÍNH 4

1 Đối xứng hóa tương đối tính Phương trình Klein – Gordon 4

1.1 Nguyên lý tương đối và các hệ quả quan trọng 4

1.2 Phương trình Klein – Gordon 4

1.4 Khó khăn của phương trình Klein – Gordon 6

2 Phương trình Dirac cho hạt tự do 7

2.1 Xây dựng phương trình Dirac 7

2.2 Dạng ma trận của phương trình Dirac 8

2.3 Phương trình Dirac trong giới hạn phi tương đối tính 11

2.4 Nghiệm của phương trình Dirac đối với hạt tự do 11

2.5 Phương trình liên tục trong lý thuyết Dirac 14

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG ĐIỆN TỪ TRƯỜNG 16

1 Phương trình Dirac trong điện - từ trường Phép liên hợp điện tích 16

2 Phương trình Dirac cho electron ở trường ngoài trong giới hạn phi tương đối tính 17

CHƯƠNG III: ỨNG DỤNG PHƯƠNG TRÌNH DIRAC ĐỂ GIẢI THÍCH MỘT SỐ HIỆN TƯỢNG LƯỢNG TỬ 21

1 Năng lượng âm và khái niệm phản hạt 21

2 Mô tả spin của hạt bằng phương trình Dirac 24

3 Tính spinor của hàm trạng thái trong phương trình Dirac 27

4 Hiệu ứng Zeeman dị thường 28

KẾT LUẬN 30

TÀI LIỆU THAM KHẢO 31

MỞ ĐẦU

I Lý do chọn đề tài

Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỷ 20 và là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học Nó là cơ sở của rất nhiều các chuyên ngành khác của vật lý và hóa học như vật lý chất rắn, hóa lượng tử, vật lý hạt Khái niệm lượng tử dùng để chỉ một số đại lượng vật lý như năng lượng không liên tục

mà rời rạc Cơ học lượng tử nghiên cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng, của các vật thể vi mô,

ở đó lưỡng tính sóng hạt được thể hiện rõ Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất, chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn

cơ học Newton vì nó cho phép mô tả chính xác và đúng đắn rất nhiều các hiện tượng vật lý mà cơ học Newton không thể giải thích được Các hiện tượng này bao gồm các hiện tượng ở quy mô nguyên tử hay nhỏ hơn Cơ học Newton không thể lý giải tại sao các nguyên tử lại có thể bền vững đến thế, hoặc không thể giải thích được một số hiện tượng vĩ mô như siêu dẫn, siêu chảy

Cơ học lượng tử là sự kết hợp chặt chẽ của ít nhất ba loại hiện tượng mà cơ học cổ điển không tính đến, đó là: (i) việc lượng tử hóa (rời rạc hóa) một số đại lượng vật lý, (ii) lưỡng tính sóng hạt, và (iii) vướng lượng tử Trong các trường hợp nhất định, các định luật của cơ học lượng tử chính là các định luật của cơ học cổ điển ở mức độ chính xác cao hơn

Cơ học lượng tử đồng nghĩa với vật lý lượng tử Tuy nhiên vẫn có nhiều nhà khoa học coi cơ học lượng tử có ý nghĩa như cơ học lượng tử phi tương đối tính, mà như thế thì nó hẹp hơn vật lý lượng tử Tuy nhiên, cơ học lượng tử phi tương đối tính chỉ giải thích các hiện tượng gắn với vận tốc của hạt chuyển động nhỏ hơn nhiều so với vận tốc ánh sáng Đó là một hạn chế cơ bản khi nghiên cứu chuyển động của các hạt vi mô Trong các máy gia tốc hiện đại vận tốc của các hạt nặng rất gần với vận tốc ánh sáng hoặc các quá trình bức xạ khác thì cơ học lượng tử phi tương đối tính không còn ứng dụng được để nghiên cứu chuyển động của các hạt Mặt khác, hạn chế nữa của phương trình Schrodinger phi

tương đối tính là không bao hàm được các tính chất spin của hạt vi mô – một đại lượng liên quan đến hầu hết cấu trúc của phổ nguyên tử Để khắc phục được khó khăn trên, người ta xây dựng các phương trình của cơ học lượng tử tương đối tính Cơ học lượng tử tương đối tính là sự kết hợp của cơ học lượng tử với thuyết tương đối, đối lập với cơ học lượng tử phi tương đối tính khi không tính đến tính tương đối của các vật thể Các cố gắng ban đầu để kết hợp cơ học lượng

tử với lý thuyết tương đối hẹp là thay thế phương trình Schrödinger bằng một phương trình hiệp biến như là phương trình Klein Gordon hoặc là phương trình Dirac

Cơ học lượng tử tương đối tình đã chỉ ra các thành phần của hàm sóng biến đổi lẫn nhau, phát hiện được phản hạt của electron, các hiệu ứng tách vạch quang phổ trong và giải quyết mâu thuẫn về mật độ năng lượng âm Với vị trí quan trọng đó của cơ học lượng tử tương đối tính, khóa luận này đặt mục đích xem xét một cách đầy đủ ứng dụng của phương trình Dirac trên cơ sở giải thích một số hiệu ứng lượng tử quan trọng, tìm ra một vài phương trình cơ bản và tìm nghiệm của nó trong trường ngoài Ứng dụng cơ học lượng tử tương đối tính để tìm các mức năng lượng của một hạt không có spin trong trường Culông, tìm các mức năng lượng của electron khi tính đến cả số hiệu chính tương đối tính của spin lên sự biến đổi của khối lượng theo vận tốc Đó là lý do vì sao tôi chọn đề

tài: “Ứng dụng phương trình Dirac để giải thích một số hiện tượng lượng tử”

II Mục đích nghiên cứu

Thiết lập được phương trình Dirac cho hạt tự do Từ đó xây dựng được phương trình Dirac cho hạt trong trường ngoài

Chứng tỏ rằng sự tồn tại của spin có thể được suy ra trực tiếp từ phương trình Dirac

Vận dụng phương trình Dirac để giải thích các hiện tượng lượng tử như

sự xuất hiện của phản hạt của electron, hay giải thích được vấn đề năng lượng

âm, hiệu ứng Zeeman dị thường

III Đối tượng nghiên cứu

- Cơ sở lý thuyết của cơ học lượng tử tương đối tính

- Phương trình Dirac

- Các giáo trình tài liệu tham khảo về cơ học lượng tử tương đối tính

IV Phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu lý thuyết: Tìm hiểu các khái niệm cơ sở của cơ học lượng tử tương đối tính; Nghiên cứu các hiện tượng lượng tử trong cơ học lượng tử tương đối tính

V Phương pháp nghiên cứu

Sưu tầm, đọc và nghiên cứu các tài liệu về lý thuyết Dirac trong cơ học lượng tử tương đối tính

VI Cấu trúc của khóa luận

Khóa luận bao gồm ba phần chính:

Phần mở đầu

Phần nội dung

Chương I: Phương trình Dirac của hạt tự do

Chương II: Phương trình Dirac cho electron trong điện từ trường

Chương III: Ứng dụng phương trình Dirac để giải thích một số hiệu ứng

lượng tử

Phần kết luận

CHƯƠNG I: PHƯƠNG TRÌNH DIRAC TRONG CƠ HỌC LƯỢNG TỬ

TƯƠNG ĐỐI TÍNH

1 Đối xứng hóa tương đối tính Phương trình Klein – Gordon

1.1 Nguyên lý tương đối và các hệ quả quan trọng

Ta đã biết, A.Einstein đã xây dựng lý thuyết tương đối, xuất phát từ hai tiên

đề sau:

Tiên đề 1: Mọi định luật của Vật lý học đều như nhau trong mọi hệ quy

chiếu quán tính Nói chính xác hơn, nếu phương trình mô tả mối liên hệ của một

số đại lượng vật lý ở trong hệ quy chiếu quán tính này có dạng như thế nào thì

khi chuyển sang hệ quy chiếu quán tính khác nó cũng phải như vậy

Tiên đề 2: Vận tốc ánh sáng trong chân không là như nhau đối với mọi hệ

quy chiếu quán tính

Hệ quả quan trọng:

Hệ quả 1: Giữa năng lượng E, xung lượng p và khối lượng m của một hạt

có mối liên hệ sau:

E cp m2 2 2 2 4c

Khi hạt có vận tốc bằng 0 thì ta có:

Đây là công thức vĩ đại của A.Einstein

Hệ quả 2: Trong mỗi phương trình Vật lý mô tả một định luật cơ bản, các

biến số không gian x, y, z và biến số thời gian t đều phải tham gia với cùng một bậc

1.2 Phương trình Klein – Gordon

Phương trình Schrodinger cho hạt tự do có dạng:

2

ˆ 2

p i

t m

 (1.1) Hay:

Phương trình này không bình đẳng về bậc đối với các biến số không gian

và thời gian, và điều này dẫn đến tính không bất biến của nó khi chuyển hệ quy chiếu Vì vậy, không thể dùng nó trong một lý thuyết tương đối tính

Để “đối xứng hóa tương đối tính” có hai cách:

Cách 1: Thay hàm Haminton

2 2 2 2

2 2 2

ˆ 2

Cách 2: Thay vế trái của (1.2) bởi biểu thức chứa

2 2

t sao cho phương trình phù hợp với các quan điểm của lý thuyết tương đối Ta sẽ thực hiện cách này và xem phương trình nhận được mô tả những hạt tự do nào

Tương ứng với hệ thức năng lượng: 2 2 2 2 4

E c p m c ta sẽ yêu cầu hàm trạng thái thỏa mãn phương trình:

(1.3) trong đó: Hˆ là toán tử năng lượng

Vì cp cp cp x, y, z và E là các thành phần của vecto bốn chiều, mà cp x i c

t nên theo

một nghĩa nào đó có thể coi i

t như toán tử năng lượng (Tuy nhiên, về mặt

toán học, từ đẳng thức i Hˆ

t ta không thể suy ra Hˆ i

t )

Như vậy, (1.3) trở thành:

Phương trình này gọi là phương trình Klein – Gordon Cũng có thể gọi nó

là phương trình Fock – Gordon – Klein – Schrodinger, do bốn người này tìm ra độc lập với nhau

Với m = 0, phương trình (1.4) trở thành phương trình truyền sóng điện từ trong chân không

Nếu chọn hệ đơn vị sao cho  c 1, phương trình (1.4)

có thể viết lại như sau:

2)

Đối với hạt không có spin, hàm được chọn là hàm vô hướng bốn chiều, nghĩa là bất biến đối với phép biến đổi Lorentz Đối với các loại hạt khác chứa vài thành phần và biến đổi theo hệ quy chiếu theo một số kiểu khác nhau (vectơ hoặc spin) tùy theo đặc trưng spin của hạt

1.4 Khó khăn của phương trình Klein – Gordon

Phương trình Klein – Gordon chỉ áp dụng cho hàm sóng chỉ có một thành phần, điều đó có nghĩa là hạt tham gia vào quá trình phải có spin bằng 0

Phương trình Klein – Gordon dẫn đến khái niệm mật độ xác suất tìm thấy hạt 0 Điều này hoàn toàn vô lý

2 Phương trình Dirac cho hạt tự do

2.1 Xây dựng phương trình Dirac

Như chúng ta đã biết phương trình Klein – Gordon khi mô tả hạt tương đối tính đã dẫn đến mật độ xác suất âm và không mô tả được các hạt có spin ½ Điều đó đã buộc phải tìm một phần tử khác thích hợp cho việc mô tả electron

Để khắc phục khái niệm mật độ xác suất âm và thỏa mãn phương trình phải nghiệm đúng trong mọi hệ tọa độ tương đối tính ( bất biến Lorents) nên Dirac đã xây dựng phương trình sau:

ˆ ˆ

ˆ ˆ

0 '

' '

z y

x t

i x y z (1.6) Đây là phương trình ở dạng tuyến tính tổng quát nhất, chỉ chứa đạo hàm bậc nhất đối với hàm cần tìm Để thuận tiện cho việc áp dụng, ta viết lại phương trình ấy dưới dạng sau:

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

0

z z y y x

Với ˆ i x,y,z,0 là các toán tử không thứ nguyên i

Ở điều kiện phi tương đối tính, phương trình (1.7) trở thành phương trình Schrodinger:

H (1.10) Phương trình (1.10) tương đương:

z z y y x

x z

z y y x

x y y z z x x z

z

z z y y x x y y z z x x y y x x z

z y y x x

p p

p p

p p

p p p

p

p p p

p p

p p

p p

p p

H

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 0

0 0 0

0

2 0 2 2 2 2 2 2 2

z z z

y y y

x x x

z y y z z

y

z x x z z x y x x y y x z

z y y x x

p p

p p

p

p p p

p p

p p

H

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

0 0 0

0 0

0

2 0 2 2 2 2 2 2 2

(1.11)

So sánh (1.9) và (1.11):

2 2 2 2

2 2 4 0

ˆ

m c

0 ˆ

ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ ˆ

ˆ

ˆ

0 0 0

0 0

0x y y z z x

z x x z y z z y x y

y

x

Đặt: ˆx cˆx ,

ˆ cˆ ,

ˆ cˆ , 2

0 ˆ mc ˆ , 2 2 2 2 x y z ˆ ˆ ˆ ˆ 1 Và: iˆx jˆy kˆz , p ipˆx jpˆy kpˆz Khi đó, phương trình (1.7) có thể viết dưới dạng: 2 ˆˆ ˆ .

i c pm c t    (1.12) Phương trình (1.12) được gọi là phương trình Dirac 2.2 Dạng ma trận của phương trình Dirac Để cụ thể hóa phương trình Dirac ta có thể biểu diễn các toán tử ˆ và ˆ dưới dạng các ma trận vuông như sau: nn n n n n a a a a a a a a a

2 1

2 22

21

1 12

11

Ma trận được giả thiết cùng cấp với các ma trận .

Dựa vào tính chất của định thức ma trận tích: det det det

Và quy tắc giao hoán: I (với I là ma trận đơn vị)

Ta rút ra được: det det det det I det det

Vì định thức là các số thông thường nên chúng giao hoán với nhau, nghĩa

là:

d e t d e t d e t d e t d e tI1 1n1 Suy ra n phải là một số chẵn

Xét n = 2 thì ma trận cần tìm là hạng 2 Có 4 ma trận hạng 2 độc lập tuyến tính gồm 3 ma trận Pauli và ma trận đơn vị

1 0

0 1

0 0 1 0

0 1 0 0

1 0 0 0

0 0 0

0 0 0

0 0

0

0 0 0

i i i i

0 0 1 0

0 0 0 1

1 0 0 0

0 1 0 0

z

,

1 0 0 0

0 1 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1

Sử dụng các ma trận Pauli ta có thể viết lại:

0 1

Dễ dàng nghiệm đƣợc lại rằng các ma trận , là các ma trận hermitic, nghĩa là nếu chuyển vị các ma trận rồi lấy liên hiệp phức, ma trận trở lại với ma trận ban đầu

4 3 2

Theo đó phương trình (1.17) có thể được viết lại:

00 0 1 ˆ

y x

y x

y x

z z z

z

i p p

i p p

i p p

i p p

p p

p



1 2 3 4

3 3

2 44

c p cp i p m c i

t

cp i p c p m c i

2 1

4 3 1

2 2

3 4 2

2 3

2 1 3

2 4

i c p ip cp mc t

i c p ip cp mc t

i c p ip cp mc t









Viết dưới dạng gọn hơn:

2

2

m cI c p t

i

c p m cI t

i m cI c p t







Trong trường hợp hạt tích điện chuyển động trong trường điện từ, nếu ta

2.3 Phương trình Dirac trong giới hạn phi tương đối tính

Ta viết lại phương trình (1.12) dưới dạng:

Đây chính là phương trình Klein – Gordon

2.4 Nghiệm của phương trình Dirac đối với hạt tự do

Để giải phương trình Dirac một cách đơn giản nhất ta xét chuyển động của một hạt tự do, khi đó phương trình Dirac có dạng:

i c pm ˆˆ c2ˆ.

t

 

 (1.13) Nếu thay hàm sóng

xác định và tìm nghiệm của phương trình (1.14) dưới dạng sóng phẳng:



r p i

e u

.

0 (1.15) Trong đó u là spin gồm 4 thành phần:

1 2 3 4

u u u u u

0 0

Trong cơ học cổ điển tất cả các biến số thay đổi liên tục nên hạt chỉ có thể

có hoặc năng lượng âm, hoặc năng lượng dương Vùng năng lượng có chiều rộng 2

u i 1,2,3,4 sau:

Với năng lượng E hạt có 2 hàm riêng tương ứng với 2 spin:

2 1

2

2

1 0

2

mc E E

c p ip

mc E

2 2

2

2

0 1 2

z

c p ip

mc E u

2

2

1 0

E mc E

2 2

4

2

.

2

0 1

E mc E

Lưu ý: Tại giới hạn cổ điển p mc

nên các thành phần thứ ba, thứ 4 của u , u1 2và thành phần thứ nhất, thứ hai của u ,u3 4 đều rất nhỏ và có cấp p

1

mc



2.5 Phương trình liên tục trong lý thuyết Dirac

Thay dạng của toán tử xung lượng vào phương trình (1.12) ta được:

t



 (1.21) Trong đó ta sử dụng quy tắc ab b a Vì các toán tử i là Hecmit nên:

i i h c ˆm c2 ˆ

t



 (1.22) Nhân phương trình (1.20) cho về bên trái và phương trình (1.22) cho

về bên phải rồi trừ cho nhau, ta được:

t

 (1.24) Như vậy, phương trình liên tục là:

 (1.25) Trong đó, mật độ xác suất tương đối tính:

1

2 2 2 2 2

* * * *

1 2 3 4 1 2 3 4

3 4

CHƯƠNG II: PHƯƠNG TRÌNH DIRAC CHO ELECTRON TRONG

ĐIỆN TỪ TRƯỜNG

1 Phương trình Dirac trong điện - từ trường Phép liên hợp điện tích

Trong lý thuyết cổ điển (phi lượng tử và phi tương đối tính), năng lượng của hạt tự do được cho bởi hàm Hamilton:

21p2x p2y p2z

m

H (2.1) Nếu hạt ở trong điện – từ trường với thế vô hướng và thế vecto thì (2.1) được thay bởi:

.

2

e A c

q p A c

q p A c

q p m

Trong đó q là điện tích của hạt

Theo nguyên lý Bohr, khi hạt ở trong điện – từ trường trong phương trình Dirac ta cũng thực hiện một phép thay thế như vậy Cụ thể với electron (có điện tích –e), phương trình trong trường hợp có điện – từ trường sẽ là:

.

4 2 3

2

c

e p A

c

e p A

c

e p c

2 1

'

.

e mc A

c

e p A

c

e p A

c

e p c

t