Tính Ổn Định Của Một Lớp Phương Trình Sai Phân Cấp Phân Thứ Trừu Tượng.pdf

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC ——————————————– HÀ VĂN QUYỀN TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN CẤP PHÂN THỨ TRỪU TƯỢNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THANH H[.]

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————————————–

HÀ VĂN QUYỀN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI

PHÂN CẤP PHÂN THỨ TRỪU TƯỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, 2021

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————– * ———————

HÀ VĂN QUYỀN

TÍNH ỔN ĐỊNH CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH SAI

PHÂN CẤP PHÂN THỨ TRỪU TƯỢNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 8.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học:

TS Đỗ Văn Lợi

THANH HÓA, 2021

Danh sách hội đồng chấm thi luận văn thạc sĩ theo Quyết định số969/QĐ-ĐHHĐ ngày 27 tháng 5 năm 2021 của Hiệu trưởng Trường Đạihọc Hồng Đức:

Học hàm, học vị, Họ tên Cơ quan công tác Chức danh

trong hội đồng

TS Hoàng Văn Thi Trường ĐH Hồng Đức Chủ tịch HĐ

GS TSKH Vũ Ngọc Phát

Viện Toán họcViện HLKHCNVN UV Phản biện 1

TS Mai Xuân Thảo Trường ĐH Hồng Đức UV Phản biện 2PGS TS Vũ Trọng Lưỡng Trường ĐHGD-ĐHQGHN Ủy viên

TS Nguyễn Văn Lương Trường ĐH Hồng Đức Thư ký

Xác nhận của người hướng dẫnHọc viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của hội đồng

Ngày 06 tháng 8 năm 2021(ký, ghi rõ họ tên)

TS Đỗ Văn Lợi

* Có thể tham khảo luận văn tại Thư viện trường Đại học Hồng Đức và

Bộ môn Giải tích - PPGD Toán

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của tôi, được hoàn thànhdưới sự hướng dẫn khoa học của TS Đỗ Văn Lợi Các kết quả trình bàytrong luận văn là trung thực, nội dung của luận văn không trùng lặp vớicác khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Hà Văn Quyền

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Trường Đại học Hồng Đức dưới

sự hướng dẫn của TS Đỗ Văn Lợi Ngoài những chỉ dẫn về mặt khoa học,thầy còn là động lực giúp tác giả tự tin và say mê nghiên cứu Tác giả bày

tỏ lòng biết ơn và sự kính trọng đối với thầy

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, phòng QLĐTSĐH, bộmôn Giải tích - PPGD Toán, các thầy cô giáo và các bạn đồng nghiệp đãtạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong quá trình học tập, nghiêncứu khoa học và hoàn thành luận văn này

Tác giả bày tỏ lòng biết ơn đến Ban giám hiệu, bộ môn Toán trườngTHPT Triệu Sơn 3- nơi tác giả công tác đã tạo mọi điều kiện thuận lợicho tác giả trong quá trình công tác và giảng dạy để có thời gian hợp lýhoàn thành khóa học và luận văn thạc sĩ này

Trong quá trình viết và chỉnh sửa bản thảo luận văn, tác giả nhận được

sự quan tâm và góp ý của các nhà khoa học, bạn bè đồng nghiệp Tác giảchân thành cảm ơn về sự giúp đỡ quý báu này

Thanh Hóa, tháng 8 năm 2021

Hà Văn Quyền

Mục lục

Chương 1 Phương trình sai phân trên không gian Banach 3

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert 3

1.2 Toán tử tuyến tính 5

1.3 Các ví dụ về phương trình sai phân trên các không gian trừu tượng 8

1.4 Các khái niệm về tính ổn định của nghiệm 9

1.5 Tiêu chuẩn so sánh 10

1.6 Hàm Lyapunov 13

1.7 Tính ổn định của phương trình sai phân tuyến tính ôtônôm 17 1.7.1 Phương trình thuần nhất 17

1.7.2 Phương trình không thuần nhất 18

1.7.3 Phương trình dạng có nhiễu 19

Chương 2 Tính ổn định của phương trình sai phân cấp phân thứ 23 2.1 Các kết quả bổ trợ 23

2.2 Sự tồn tại và công thức biểu diễn nghiệm đủ tốt 332.3 Tính chất ổn định của nghiệm đủ tốt 39

Rλ(A): Toán tử giải.

ρ(A): Tập các giá trị chính quy của toán tử A

σ(A): Tập các giá trị phổ của toán tử A

rs(A): Bán kính phổ của toán tử A

σp(A): Tập phổ điểm của toán tử A

σc(A): Tập phổ liên tục của toán tử A

σr(A): Tập phổ dư của toán tử A

∆: Toán tử sai phân

C∆α: Toán tử sai phân kiểu Caputo cấp α

ˆ

S: Khai triển Laplace của S

e

S: Khai triển Z của S

B(X): Không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục trên X

MỞ ĐẦU

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong những thập kỷ gần đây, nhiều nhà Toán học quan tâm nghiên cứu

sự tồn tại và tính chất định tính của nghiệm (rời rạc) đối với phương trìnhsai phân cấp phân thứ, chẳng hạn [2, 3, 12, 13] Năm 1974, Kutter [16]Diaz và Osler [9] lần đầu tiên nghiên cứu toán tử sai phân cấp phân thứdạng rời rạc dưới dạng chuỗi Grey và Zhang [14] đề xuất phép tính cấpphân thứ cho toán tử sai phân ngược Sau đó, nhiều nhà toán học đãphát triển và ứng dụng các công cụ của giải tích phân thứ (rời rạc) vào cácphương trình sai phân cấp phân thứ Mặc dù, có nhiều công trình đã đượccông bố liên quan đến lĩnh vực này, tuy nhiên vẫn còn nhiều câu hỏi vẫncòn mở và cần giải đáp Đặc biệt, là đối với tính ổn định của nghiệm củamột lớp các phương trình sai phân cấp phân thứ với toán tử tuyến tínhkhông bị chặn Lý thuyết về phương trình sai phân cấp phân thứ là công

cụ hữu ích cho các ứng dụng trong sinh học và vật lý mà trong đó có xuấthiện các hiệu ứng “trễ” Do đó, chúng tôi chọn đề tài nghiên cứu là “Tính

ổn định của một lớp phương trình sai phân cấp phân thứ trừu tượng”

2 Mục tiêu nghiên cứu

ˆ Tính ổn định của các dạng phương trình sai phân phi tuyến, tuyếntính thuần nhất, tuyến tính không thuần nhất và dạng có nhiễu (vớiphần tuyến tính bị chặn) trên các không gian Banach

ˆ Tính ổn định của nghiệm của bài toán giá trị ban đầu







C∆αu(n) = Au(n + 1), n ∈N0u(0) = u0 ∈ X,

trong đó A là toán tử tuyến tính đóng có miền xác định trù mật trongkhông gian Banach và C∆α là toán tử sai phân kiểu Caputo

3 Đối tượng nghiên cứu

Giải tích cấp phân thứ; Phương trình sai phân trên các không gian Banach

5 Phương pháp nghiên cứu

Đọc tài liệu, seminar bộ môn, nhóm dưới sự hướng dẫn của người hướngdẫn khoa học Sử dụng các phương pháp, kỹ thuật, kết quả của giải tích

6 Ý nghĩa của luận văn

Luận văn tổng hợp và trình bày một cách chi tiết, có hệ thống tính chất ổnđịnh của phương trình sai phân trên không gian Banach và phương trìnhsai phân cấp phân thứ trên không gian Banach

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, nội dung chính củaluận văn gồm hai chương

ˆ Chương 1 Phương trình sai phân trên không gian Banach Chương nàychúng tôi trình bày các khái niệm và các kết quả cơ bản về không gianBanach, không gian Hilbert, toán tử tuyến tính và phổ của toán tửtuyến tính trên không gian Banach phương trình sai phân và tính chất

ổn định của một số lớp phương trình sai phân trên không gian Banach

ˆ Chương 2 Tính ổn định của phương trình sai phân cấp phân thứChương này chúng tôi trình bày các kết quả về sự tồn tại nghiệm

đủ tốt và tính ổn định của nghiệm đủ tốt của một lớp các phươngtrình sai phân cấp phân thứ trên không gian Banach

Chương 1 PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN

TRÊN KHÔNG GIAN BANACH

Chương này trình bày một số kiến thức cơ sở của giải tích hàm (khônggian Banach, không gian Hilbert, toán tử tuyến tính) và tính ổn định củamột số lớp phương trình sai phân trên các không gian hàm trừu tượng.Các kết quả của chương này được tham khảo từ các tài liệu [1, 10, 11]

1.1 Không gian Banach và không gian Hilbert

Trong luận văn này, ta ký hiệu tập các số phức là C, tập các số thực là R

và K là tập các số thực hoặc là tập các số phức

Định nghĩa 1.1.1 ([1]) Cho X là một K - không gian véctơ Một chuẩntrên X là một hàm x 7→ ∥x∥ từ X vào R thỏa mãn các điều kiện sau vớimọi x, y ∈ X, mọi λ ∈ K

(i) ∥x∥ ≥ 0, ∥x∥ = 0 khi và chỉ khi x = 0,

(ii) ∥λx∥ = |λ| · ∥x∥,

(iii) ∥x + y∥ ≤ ∥x∥ + ∥y∥

Định nghĩa 1.1.2 ([11]) Một dãy (xn)∞n=1 các phần tử thuộc X gọi làhội tụ mạnh (hội tụ theo chuẩn) đến x ∈ X nếu

lim

n→∞∥xn − x∥ = 0

Định nghĩa 1.1.3 ([11]) Một dãy (xn)∞n=1 các phần tử thuộc X được gọi

là dãy cơ bản (dãy Cauchy) nếu

∥xn− xm∥ → 0 khi m, n → ∞

Định nghĩa 1.1.4 ([11]) Nếu mọi dãy cơ bản gồm các phần tử thuộc

X hội tụ đến một phần tử thuộc X, thì X được gọi là một không gianBanach

Ví dụ 1.1.5 (Ví dụ về không gian Banach) Các không gian sau là khônggian Banach.

i) Không gian ℓp (1 ≤ p < ∞) gồm tất cả các dãy số x = (xk)∞k=1 thỏamãn

Định nghĩa 1.1.6 ([11]) Cho H là một không gian véctơ trên K Ánh

xạ (·, ·) : H × H →K được gọi là một tích vô hướng trên H nếu các điềukiện sau được thỏa mãn với mọi x, x1, x2, y ∈ H và với mọi λ ∈ K

(i) (x, x) > 0 nếu x ̸= 0, và (x, x) = 0 nếu x = 0,

Hơn nữa, nếu H với chuẩn cảm sinh như trên là một không gian Banach,thì ta gọi H là một không gian Hilbert.

Giả sử H là một không gian Hilbert vô hạn chiều Khi đó, H được gọi làtách được nếu tồn tại một tập con thực sự của H đếm được và trù mậttrong H Hơn nữa, nếu H là một không gian Hilbert tách được thì tồn tạimột dãy (ek ∈ H)∞k=1 thỏa mãn

Định nghĩa 1.2.1 ([11]) Cho X và Y là các không gian Banach Toán

tử A : X → Y được gọi là tuyến tính nếu

A(αx1 + βx2) = αAx1 + βAx2, ∀x1, x2 ∈ X, ∀α, β ∈ K

Nếu tồn tại hằng số M sao cho

∥Ax∥ ≤ M ∥x∥, ∀x ∈ X

thì ta nói A là bị chặn Khi đó, đại lượng

∥A∥X→Y := sup

Định nghĩa 1.2.2 ([11]) Một toán tử tuyến tính gọi là compact nếu nó

bị chặn và biến một tập bị chặn trong X thành một tập compact trong Y.Định nghĩa 1.2.3 ([11]) Một điểm λ ∈C gọi là điểm chính quy của toán

tử A nếu toán tử giải

Chú ý 1.2.5 ([10], Về sự phân lớp tập phổ) Cho A là toán tử tuyến tính

bị chặn trên không gian Banach X có tập phổ là σ(A) Khi đó

(a) Phổ điểm σp(A) là tập gồm tất cả các giá trị riêng của A; tức là,

λ ∈ σp(A) khi và chỉ khi tồn tại ∈ X \ {0} sao cho Ax = λx Nói cáchkhác, λ là một giá trị riêng và x là một véctơ riêng của A ứng với giátrị riêng λ Điều này tương đương với ker(A − λI) ̸= 0 (hay A − λI

không phải là đơn ánh) Số chiều của ker(A − λI) được gọi là "bội"(multiplicity) của giá trị riêng λ

(b) Phổ liên tục σc(A) được định nghĩa bởi

(c) Phổ dư σr(A) được định nghĩa bởi

σr(A) = σ(A) \ (σp(A) ∪ σc(A))

Như vậy, nếu λ ∈ σr(A) thì Im(A − λI = X và ker(A − λI) = 0

Ví dụ 1.2.6 Xét Sr, Sl lần lượt là toán tử dịch chuyển phải và dịchchuyển trái trên ℓ2, tức là với mọi x = (x1, x2, · · · ) ∈ ℓ2 ta xác định

1.3 Các ví dụ về phương trình sai phân trên các không gian

trừu tượng

Ví dụ 1.3.1 Xét phương trình truyền nhiệt rời rạc

xm(n + 1) = xm(n) + r [xm−1(n) − 2xm(n) + xm+1(n)] (1.1)trong đó r là một hằng số, n ∈N và m = 1, 2,

Ta chọn X = ℓ2 và định nghĩa toán tử A là ma trận vô hạn (aml)∞m,l=1

Khi đó, (1.3) được viết lại dưới dạng

Định nghĩa 1.4.1 ([11]) Điểm u1 ∈ X được gọi là điểm cân bằng củaphương trình (1.4) nếu

Định nghĩa 1.4.3 ([11]) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.4)được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định và với s ≥ 0 tùy ý, tồn tại

η(s) sao cho từ ∥u(s)∥ ≤ η(s) thì ta có u(n) → 0 khi n → ∞

Định nghĩa 1.4.4 ([11]) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.4)được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó ổn định và với s ≥ 0 tùy ý luôntồn tại η không phụ thuộc s sao cho

∥u(s)∥ ≤ η ⇒ u(n) → 0 khi n → ∞

Định nghĩa 1.4.5 ([11]) Nghiệm tầm thường của phương trình (1.4) gọi

là ổn định mũ nếu: với s ≥ 0 tùy ý, tồn tại các hằng số η(s), M > 0 và

c0 ∈ (0, 1) sao cho ∥u(s)∥ ≤ η(s) thì

∥u(n)∥ ≤ M ct−s0 ∥u(s)∥, n ≥ s, (1.6)

1.5 Tiêu chuẩn so sánh

Định lý 1.5.1 ([11]) Cho g(n, v) : N × [0, ∞) → [0, ∞) là hàm khônggiảm theo biến v khi ta cố định n Giả sử với n > 0, các dãy số u(n) và

y(n) thỏa mãn

y(n + 1) ≤ g (n, y(n)) (1.7)và

u(n + 1) ≥ g (n, u(n)) (1.8)Khi đó, nếu

y(0) ≤ u(0) (1.9)thì

y(n) ≤ u(n), n > 0 (1.10)Chứng minh Giả sử (1.10) là sai Khi đó, theo (1.9) tồn tại một hằng số

k sao cho

y(k) ≤ u(k) và y(k + 1) > u(k + 1)

Sử dụng (1.7), (1.8) và tính đơn điệu của hàm g ta có

g (k, u(k)) ≤ u(k + 1) < y(k + 1) ≤ g (k, y(k)) ≤ (k, u(k))

Mâu thuẫn trên suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 1.5.2 ([11]) Cho a(n), p(n), n ∈ N là các dãy số không âm, và

dãy y(n) thỏa mãn

thì u(0) = y(0) và điều kiện (1.10) được thỏa mãn Áp dụng Định lý 1.5.1

ta được điều phải chứng minh

Định lý 1.5.3 ([11]) Cho g(n, k, v) là hàm số dương xác định trên N2 ×[0, ∞) và không giảm theo biến v Giả sử p(n) là một hàm số dương xácđịnh trên N Hơn nữa, giả sử y(n) là dãy số thỏa mãn

Chứng minh Giả sử điều khẳng định của Định lý là sai Khi đó, tồn tại

số nguyên j sao cho

y(j) ≤ u(j) và y(j + 1) > u(j + 1)

Điều này kéo theo

Mâu thuẫn trên suy ra điều phải chứng minh

Hệ quả 1.5.4 (Bất đẳng thức Gronwall dạng rời rạc, [11]) Cho a(n), p(n)

với n ∈ N là các dãy số không âm và dãy y(n) thỏa mãn

Khi đó, áp dụng Định lý 1.5.3 ta có điều phải chứng minh

Định lý 1.5.5 ([11]) Cho g(n, v) là hàm số không âm với n = 0, 1, 2,

và v ∈ [0, ∞) Giả sử g không giảm và g(n, 0) ≡ 0 Hơn nữa, cho hàm

f :N× Ω(R) → X thỏa mãn bất đẳng thức

∥f (n, y)∥ ≤ g (n, ∥y∥) , (y ∈ Ω(R), n ∈ N, R ≤ ∞)

Khi đó, từ tính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình

xn+1 = g(n, xn) (1.13)suy ra tính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình (1.4)

Chứng minh Giả sử ∥u(0)∥ < R Từ (1.4) ta có

∥u(n + 1)∥ ≤ ∥f (n, u(n))∥ ≤ g(n, ∥u(n)∥) với u(n) ∈ Ω(R), n ∈ N

Khi đó, nếu nghiệm tầm thường của phương trình (1.13) là ổn định thì với

ε > 0 tùy ý tồn tại δ sao cho xn ≤ ε, n > δ Lúc này, giả sử ∥u(0)∥ ≤ x0,

áp dụng Định lý 1.5.1 ta được ∥u(n)∥ ≤ xn Từ đó suy ra điều phải chứngminh

1.6 Hàm Lyapunov

Một trong những phương pháp hữu hiệu để nghiên cứu tính chất ổn địnhcủa các nghiệm dừng là phương pháp thứ hai Lyapunov Phương pháp nàyxây dựng một hàm bổ trợ, hàm này có vai trò giống như hàm năng lượngtrong một hệ cơ học Từ năm 1892 phương pháp này đã được sử dụng chocác phương trình vi phân, và gần đây đã được xây dựng tương tự để sửdụng nghiên cứu tính ổn định của các phương trình sai phân

Định nghĩa 1.6.1 ([11]) Hàm V (n, y) : N× Ω(R) → [0, ∞) được gọi làxác định dương nếu tồn tại một hàm liên tục ϕ : [0, R] → [0, ∞) sao cho

ˆ ϕ(0) = 0

ˆ ϕ tăng nghiêm ngặt trên [0, R],

ˆ ϕ (∥y∥) ≤ V (n, y), ∀n = 0, 1, , ∀y ∈ Ω(R)

Ta xét sự biến thiên của V dọc theo nghiệm của phương trình (1.4) Tađặt

∆V (n, y) = V (n + 1, f (n, y)) − V (n, y), (y, f (n, y)) ∈ Ω(R)

Khi đó, nếu y = u(n) thỏa mãn phương trình (1.4) thì

∆V (n, u(n)) = V (n + 1, u(n + 1)) − V (n, u(n))

Ta giả sử tồn tại hàm ω : N×R → R sao cho

∆V (n, y) ≤ ω(n, V (n, y)) (y ∈ Ω(R)),

và với (y, f (n, y)) ∈ Ω(R) ta xét bất đẳng thức

V (n + 1, f (n, y)) ≤ V (n, y) + ω(n, V (n, y)) := g(n, V (n, y)) (1.14)Khi đó, nếu y = u(n) thỏa mãn phương trình (1.4) thì theo (1.14) ta có

V (n + 1, u(n + 1)) ≤ V (n, u(n)) + ω(n, V (n, u(n))) = g(n, V (n, u(n)))

(1.15)Đồng thời, ta xét phương trình "đối sánh" của phương trình (1.15) có dạng

xn+1 = xn + ω(n, xn) = g(n, xn) (1.16)Khi đó, ta có kết quả sau

Định lý 1.6.2 ([11]) Giả sử tồn tại một hàm xác định dương V trên

N× Ω(R) liên tục theo biến thứ hai và tồn tại hàm g(n, x) : N× [0, ∞) →[0, ∞) sao cho

i) g(n, 0) ≡ 0;

ii) g(n, x) là hàm không giảm theo x;

iii) bất đẳng thức (1.14) được thỏa mãn

Khi đó, tính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình (1.16) suy

ra được tính ổn định của nghiệm tầm thường của phương trình (1.4) Đặcbiệt, nếu nghiệm tầm thường của phương trình (1.16) là ổn định tiệm cậnthì nghiệm tầm thường của phương trình (1.4) cũng ổn định tiệm cận.Chứng minh Theo Định lý 1.5.1 ta có

V (n, u(0)) ≤ x0 ⇒ V (n, u(n)) ≤ xn

Từ định nghĩa tính xác định dương của V, tồn tại ϕ sao cho

sao cho nếu ∥u(0)∥ ≤ δ1(ε) thì V (0, u(0)) < x0

Đối với trường hợp ổn định tiệm cận, từ

ϕ (∥u(n)∥) ≤ V (n, u(n)) ≤ xn

ta cóϕ (∥u(n)∥) → 0 và do đó ∥u(n)∥ → 0 khi n → ∞ Từ đó suy ra điềuphải chứng minh

Hệ quả 1.6.3 Nếu tồn tại một hàm xác định dương V trên N× Ω(R)

liên tục theo biến thứ hai thỏa mãn

V (n + 1, f (n, y)) − V (n, y) ≤ 0, (y, f (n, y) ∈ Ω(R)) , (1.18)thì nghiệm tầm thường của (1.4) là ổn định

Thật vậy, trong trường hợp này ω(n, x) ≡ 0 và phương trình đối sánh

có dạng xn+1 = xn Do đó, nghiệm tầm thường là ổn định Lưu ý rằng,hàm bổ trợ V (n, y) như trên được gọi là hàm Lyapunov

Tiếp theo, ta xét tính ổn định đều

Định lý 1.6.4 Giả sử tồn tại hàm V :N×Ω(R) → [0, ∞)và các hàm liêntục tăng nghiêm ngặt a(·), b(·) : [0, R] → [0, ∞)thỏa mãn a(0) = b(0) = 0.Hơn nữa, giả sử điều kiện (1.18) đúng và

a (∥h∥) ≤ V (n, h) ≤ b (∥h∥) (h ∈ Ω(R), n ∈ N) (1.19)Khi đó, nghiệm tầm thường của (1.4) là ổn định đều

a (∥u(n)∥) ≤ V (n, u(n)) ≤ V (s, u(s)) ≤

≤ b (∥u(s)∥) ≤ b b−1(a(ε)) = a(ε)

Như vậy, ∥u(n)∥ ≤ ε với n ≥ s và ta có điều phải chứng minh

Ví dụ 1.6.5 Xét phương trình sai phân

u(n + 1) = M (n, u(n)) u(n) (1.20)

trong đó M (n, y) là một toán tử tuyến tính phụ thuộc liên tục theo n ∈ N

1.7 Tính ổn định của phương trình sai phân tuyến tính ôtônôm

1.7.1 Phương trình thuần nhất

Cho X là một không gian Banach, trong phần này ta xét phương trình saiphân

u(n + 1) = Au(n), n = 0, 1, (1.21)với A là toán tử tuyến tính bị chặn không phụ thuộc n

Nhận thấy nghiệm của phương trình (1.21) có thể biểu diễn dưới dạng

u(n) = Anu(0), n = 1, 2, (1.22)Giả sử ε là một số dương tùy ý, ta xét đường cong

∥u(n)∥ ≤ Mε(ε + rs(A))n∥u(0)∥, n ≥ 0

Bổ đề này giúp ta chứng minh được kết quả sau về sự ổn định mũ củaphương trình (1.21)

Định lý 1.7.2 ([11]) Phương trình (1.21) là ổn định mũ khi và chỉ khi

rs(A) < 1 (1.25)

Chứng minh Giả sử (1.25) đúng Khi đó, ta chọn

∥u(n)∥ ≤ ∥A∥n· ∥u(0)∥, n ≥ 0

1.7.2 Phương trình không thuần nhất

Tiếp theo, ta xét phương trình tuyến tính không thuần nhất

u(n + 1) = Au(n) + f (n), n = 0, 1, (1.26)với {f (n) ∈ X} là dãy cho trước

Bổ đề 1.7.4 ([11]) Giả sử u(·) là nghiệm của phương trình (1.26) Khiđó