Hệ thống bài tập chương chuyển động trường có tâm đối xứng

Cơ học lượng tử là một thuyết cơ học, nghiên cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng của các vật thể bé nhỏ, ở đó lưỡng tính són

LỜI CẢM ƠN

Sau thời gian thực hiện đề tài này, em đã học hỏi và tích lũy thêm được nhiều kiến thức quý báu về lĩnh vực mà mình đã nghiên cứu, để đạt được thành quả này, em đã nhận được sự giúp đỡ nhiệt tình của thầy cô và gia đình, bạn bè Do đó em xin dành trang đầu tiên của luận văn tốt nghiệp để gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến những người đã giúp đỡ em

Đầu tiên, em xin trân trọng cảm ơn Th.s Nguyễn Thị Thảo đã tận tình

hướng dẫn, đóng góp những ý kiến quý báu để em có thể hoàn thành luận văn tốt nghiệp của mình

Kế đến, em xin cảm ơn tất cả quý thầy cô thuộc bộ môn Vật Lý, khoa

sư phạm, trường đại học Hồng Đức đã hết mình giúp đỡ, hướng dẫn giúp đề tài của em được hoàn thiện hơn

Em cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới gia đình, tập thể lớp K16 ĐHSP Vật Lý trường ĐH Hồng Đức đã giúp đỡ em hoàn thành luận văn này

Em xin chân thành cảm ơn!

Thanh hóa, tháng 05 năm 2017

Sinh viên thực hiện

Võ Thị Bích

mò của con người về thế giới của chúng ta

Cơ học lượng tử được hình thành vào nửa đầu thế kỉ XX do Max Planck, Albert Einstein, Niels Bohr, Werner Heisenberg, Erwin Schrodiger, Max Born, Jon von Neumann, Paul Dirac, Wolfgang Pauli và một số người khác tạo nên

Cơ học lượng tử là khoa học nghiên cứu về chuyển động của vật chất ở thang các nguyên tử và các hạt nguyên tử Nó là lời giải đáp cho các nhà khoa họctrong nữa đầu thế kỉ XX cho hàng loạt những mâu thuẫn nổi lên trong vật

lý học ở thế kỉ XIX Từ đó thế giới cơ học lượng tử bùng nổ

Cơ học lượng tử là một trong những lý thuyết cơ bản của vật lý học Cơ học lượng tử là phần mở rộng và bổ sung của cơ học newton (còn gọi là cơ học cổ điển)

Cơ học lượng tử là một thuyết cơ học, nghiên cứu về chuyển động và các đại lượng vật lý liên quan đến chuyển động như năng lượng và xung lượng của các vật thể bé nhỏ, ở đó lưỡng tính sóng hạt được thể hiện rõ Lưỡng tính sóng hạt được giả định là tính chất cơ bản của vật chất chính vì thế cơ học lượng tử được coi là cơ bản hơn cơ học newton vì nó cho phép mô

tả chính xác và đúng đắn rất nhiều hiện tượng vật lý mà cơ học newton không thể giải thích được.Chính vì vậy mà sự ra đời của cơ học lượng tử giúp chúng

ta giải quyết được những khó khăn mà cơ học cổ điển còn ở trong bế tắc.Như

21

vậy, cơ học lượng tử có tầm quan trọng rất lớn nên việc nghiên cứu môn cơ học lượng tử còn giúp cho sinh viên có cơ sở để nghiên cứu các chuyên ngành khác của vật lý

Tuy nhiên lượng kiến thức về lý thuyết cũng như là bài tập phần cơ học lượng tử rất nhiều và khó Bản thân em cảm thấy bỡ ngỡ, khó khăn khi nghiên cứu về vấn đề này

Nhằm tạo điều kiện thuận lợi cho các sinh viên trong quá trình nghiên cứu môn cơ học lượng tử, em xin chọn đề tài “ Chuyển động của hạt trong trường có tâm đối xứng” để làm đề tài nghiên cứu cho khóa luận tốt nghiệp Với mong muốn, có thể làm tài liệu tham khảo cho sinh viên và các thầy cô trong quá trình nghiên cứu cơ học lượng tử nói riêng và Vật lý nói chung

II Mục đích nghiên cứu

- Hệ thống hóa cơ sở lí thuyết

- Xây dựng các bài tập cơ bản trong chương “Chuyển động của hạt trong trường có tâm đối xứng” rèn luyện phương pháp giải bài tập và nghiên cứu khoa học

III Phạm vi nghiên cứu

Chương “Chuyển động trong trường có tâm đối xứng”

IV Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết và một số bài tập liên quan đến “Chuyển động trong trường có tâm đối xứng”

V.Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu chủ yếu là phương pháp lí thuyết

Phương trình Schrodinger cho trạng thái dừng của hạt chuyển động trong trường có tâm đối xứng có dạng:

z

l l Dễ nhận thấy điều kiện giao hoán của các toán tử trên được thỏa mãn

Viết lại phương trình (1.1) trong tọa độ cầu:

ˆ 1

L , hình chiếu mômen trên một trục tùy ý L z của hạt là bảo toàn Điều đó có nghĩa là năng lượng, bình phương mômen động lượng

và hình chiếu mômen trên trục tùy ý làm thành một tập đầy đủ E l m, , xác định trạng thái của hạt trong trường có tâm đối xứng Tuy nhiên vì ˆ

z

L không

có mặt trong Hamiltonian nên trên cùng một mức năng lượng E của hệ, l zcó các trị riêng khác nhau bằng m Ứng với cùng một trị riêng E là tất cả các

21

trạng thái E l m, , với l m l, tất cả có 2l 1 trạng thái Sự suy biến theo các các số lượng tử từ mlà một đặc trưng của trường có tâm đối xứng Sự suy biến này có thể lý giải một cách hình thức như sau: Các toán tử ˆ ˆ,

Vì toán tử Hˆ có thể tách thành hai phần riêng biệt, một phần chỉ phụ

thuộc bán kính phần kia chỉ phụ thuộc góc, ta có thể giải phương trình Schrodinger bằng phương pháp tách biến số, nghĩa là viết hàm sóng cần tìm dưới dạng tích:

Phần phụ thuộc góc của hàm sóng Y lm , trùng với hàm riêng của toán tử ˆL2 chính là các hàm cầu mà ta đã thu được trước đây, coi như đã xác định Thay ˆ 2 2 1

L Y  l l Y vào phương trình (2.4), ta loại bỏ các thừa số phụ thuộc góc ta nhận được phương trình xác định hàm tia, hay hàm xuyên tâm R r :

2 2

1

0 2

Dạng của hàm tia R r được quyết định bởi thế U r và phụ thuộc vào l

Các hàm cầu Y lm , xác định bởi các số lượng tử l m, đã cho, nghĩa là bằng giá trị mômen xung lượng ( cho bởi số lượng tử l) và hình chiếu trên trục z ( cho bởi m) Người ta đặtl:

0 1 2 3 4 5

l

Trạng thái: s p d f g h

21

2.1.2Phân bố xác suất theo góc [1]

Một trong những thành công là hàm góc phản ánh đúng sự phân bố các mặt nút của hàm sóng trong không gian Xác suất tìm thấy hạt ở các yếu tố góc khối d theo phương xác định bởi các góc và d sin d d là:

Với p l m cos là các đa thức Legendre liên đới

Trạngtháivớil 0(trạng tháis) có đối xứng cầu vì khil 0thìm 0,hàm

0

1 w 4

Trong trạng thái p, phân bố được cho bằng:

2 ,

2 ,0

3

8 3

21

Do tính chất của trường cótâm đối xứng, hàm tia R r không thay đổi khi thay

r r nên tính chẵn lẻ của trạng thái được xác định bởi hàm phụ thuộc góc

0 2

l l m

2 2 0

1 2

1 2

l l

 được gọi là năng lượng li tâm Xét các tính chất

chung nhất của hàm xuyên tâm trong các trường hợp giới hạn:

r nhỏ

1 2

l l d

1 l 1 và 2 l(1.19) Nghiệm 2 l bị loại vì không thỏa mãn điều kiện khi r 0 Nghiệm của phương trình có dạng:

r lớn

Ở những khoảng cách lớn, lực tác dụng lên hạt tiến đến không, thế năng

U r tiến đến hằng số Chọn hằng số đó làm gốc tính thế năng ta có:

21

r U r và lim eff 0

r U (1.22) Phương trình (2.13) khi r rất lớn có dạng:

2 2

d k

21

Ở đây phụ thuộc vào và dạng cụ thể của U r Hàm tia phụ thuộc thời gian

có dạng:

sin ,

i Et

không gian trong trường hợp này E 0 Như đã biết từ định nghĩa hàm sóng, xác suất tìm hạt trong dV :

2

dV dV (1.29) Lấy một mặt cầu có tâm là tâm trường lực và bán kínhr rất lớn, xác suất tìm thấy hạt trong lớp mặt cầu có độ dầy dr thu được bằng cách lấy tích phân biểu thức (1.29) theo các góc ta có:

Như vậy trường hợp E 0, chúng ta có phổ năng lượng gián đoạn

2.2 Hạt chuyển động tự do với mômen xung lượng xác định [1]

Trong cơ học cổ điển, hạt có xung lượng xác định thì mặc nhiên có mômen xung lượng xác định Trong CHLT, sự việc không như vậy: hạt ở trạng thái có xung lượng xác định thì mômen xung lượng của nó lại bất định Ngược lại nếu mômen xung lượng và hình chiếu của mômen trên trục z của hạt xác định thì chiều của xung lượng lại không xác định Điều này dễ hiểu vì xung lượng và mômen xung lượng là hai đại lượng không thể xác định đồng thời Vấn đề ở đây là tìm hàm sóng mô tả các trạng thái dừng của hạt chuyển động tự do có năng lượng xác định, có mômen xung lượng và hình chiếu của mômen trên trục z xác định

Trường hợp U r 0, phương trình Schrodinger trong tọa độ cầu có dạng:

21

klm r R kl r Y lm (1.35) trong đó Y lm , là hàm cầu đã biết, còn hàm tia R kl với l 0 là nghiệm của phương trình:

1 1

0

kl

kl

l l dR

s (1.37) với s kr.Thay R kl vào phương trình (2.36) ta nhận được phương trình xác định Z s :

2 2

kr (1.39) Trường hợp ở xa gốc tọa độ r , từ dạng tiệm cận của hàm Bessel ta

có được biểu thức gần đúng của hàm tia:

sin

2 2

kl

l kr

kr (1.40) hằng số C được xác định từ điều kiện chuẩn hóa Biểu thức trên của hàm tia

ta sẽ còn gặp lại trong bài toán tán xạ Trường hợp gần tâm trường r 0

hàm tia (1.39) có dạng: R kl r ~r l phù hợp trường hợp tổng quát (1.21)

Tương tác giữa các hạt cho bởi thế trên được gọi là tương tác tầm ngắm,

nó thể hiện những lực tương tác là đáng kểtrong một khoảng cách a nào đó rất nhỏ kể từ tâm và giảm nhanh tới không ngoài khoảng trên

Một trong những tương tác dạng này là tương tác giữa các nucleon (lực hạt nhân) tạo thành hạt nhân nguyên tử Để đơn giản ta xét trường hợp hạt có mômen động lượng l 0 Có hai trường hợp:

a Năng lượng toàn phần của hạt E 0, hạt chuyển động hữu hạn, phổ năng lượng là gián đoạn

b Năng lượng toàn phần của hạtE 0chuyển động của hạt là vô hạn, phổ năng lượng liên tục

Trong tọa độ cầu, hàm sóng cho hạt có l 0chỉ phụ thuộc r, không phụ thuộc các góc , và Đặt r rR r ta có phương trình

2

0

0 2

2

0

m d

E U

2

0 2

2

0

m d

Từ điều kiện liên tục của hàm sóng và đạo hàm của nó trên mặt cầu

r a ta nhận được:

ctg a (1.47) Phương trình trên có thể biến đổi thành:

2 2

1 sin

1

a (1.48)

Hay:

2 2

21

từ giao điểm của đường y sin a với các đường 2 2

chỉ chọn các các giao điểm thỏa mãn điều kiện ctg a 0

Để xuất hiện các trạng thái liên kết, giếng thế phải đủ sâu Xác định độ sâu tối thiểu để giếng thế có thể giữ được hạt Điểm cắt đầu tiên của hai đường thỏa mãn điều kiện ctg a 0tại cực đại đầu tiên của hình sin, tại điểm a 2 Tại điểm đó, độ nghiêng của đường thẳng bằng 2 , ta có:

2 2

lượng đầu tiên và duy nhất của giếng thế

bằng không.Khi tăng độ sâu của giếng, mức

năng lượng đầu tiên sẽ giảm và trở nên âm

ứng với trạng thái liên kết, khi ấy độ dốc

điểm có cắt đường y sin a tăng lên, sẽ

xuất hiện nhiều hơn một mức năng lượng

liên kết (hình H 2.3)

a

2

3 2 2 1

H 2.3

21

Lưu ý rằng với các giếng thế có độ sâu U0 U0min giếng không thể giam giữ hạt cho dù năng lượng của hạt nhỏ thế nào, khác với trong cơ học cổ điển, hạt có thể rơi vào giếng và tồn tại trong đó lâu tùy ý miễn là động năng của nó nhỏ hơn độ sâu của giếng

2.4 Chuyển động trong trường COULOMB [1]

Chuyển động của hạt điện tử trong trường Coulomb của hạt nhân là trường hợp quan trọng nhất của bài toán chuyển động trong trường có tâm đối xứng Đây là bài toán chuyển động của hai hệ hạt: điện tử và hạt nhân trong nguyên tử hydro và các ion tương tự Bài toán chuyển động của hệ hai hạt tương tác coulomb như ta đã biết được đưa về hai bài toán độc lập, chuyển động tự do của khối tâm và chuyển động của một hạt trong trường coulomb với khối lượng thu gọn Chuyển động của điện tử trong nguyên tử hydro là một trong số rất ít các bài toán của CHLT mà phương trình Schrodinger có lời giải giải tích Những kết luận thu được từ lời giải của bài toán cho ta cái nhìn tổng thể về các quy luật lượng tử trong các hệ nguyên tử

2.4.1Phương trình Schrodinger [1]

Thế năng của điện tử chuyển động trong trường coulomb của hạt nhân

có diện tích Ze cho bằng biểu thức:

2

Ze

U r

r (1.52) Phân bố xác suất của điện tử theo các góc đã được xác định ở trên qua các hàm cầu Ở đây ta cần tìm phân bố xác suất của điện tử dọc theo bán kính được biểu thị qua các hàm tia R r Phương trình Schrodinger để xác định hàm tia có dạng:

trong đó m là khối lượng của điện tử

Chúng ta chỉ quan tâm đến chuyển động hữu hạn của điện tử quanh hạt nhân, nghĩa là đến trường hợp E 0 Để đơn giản chúng ta chuyển phương trình (2.53) sang dạng không thứ nguyên

Hệ đơn vị Coulomb:

Trong hệ đơn vị này người ta chọn các đơn vị cơ bản là điện tích của điện

tử e, khối lượng thu gọn và hàng số Plank  Các đơn vị dẫn xuất:

Đơn vị độ dài:

2 2

a

e



(bán tử Bohr)(1.54) Đơn vị vận tốc:

2 0

1 137

Nếu lấy m0 (khối lượng điện tử) ta được E0 27, 07eV

Đưa vào phương trình (2.53) những biến không thứ nguyên

;

a E (1.57) Khi ấy ta thu được phương trình:

21

. l 0.

const e R

ở đây u và u là đạo hàm bậc nhất và bậc hai của u theo

Đặt 2 l 1 Z l 1 phương trình xác định u có dạng một phương trình siêu bội:

Phương trình (1.63) còn có thể giải bằng cách tìm nghiệm thông qua việc xác định các hệ số của một chuỗi lũy thừa Cho rằng hàm u có thể tìm dưới dạng:

21

0

k k

Tính các đạo hàm:

1 0

k k k

0

1 k k

k

Để chuỗi (1.68) đúng với mọi , các hệ số phải đồng nhất bằng không,

ta thu được biểu thức truy hồi cho các hệ số a k:

1

n l (1.71)

21

Từ điều kiện (1.70) ta xác định được các mức năng lượng của hệ Vì

2 , từ (1.57) ta có:

2 2

xạ phôtôn Như vậy năng lượng của điện tử trong nguyên tử hydro bị lượng

tử hóa thành các mức gián đoạn Khi n 0, phổ gián đoạn của năng lượng chuyển thành phổ liên tục

Từ (1.71) ta nhận được điều kiện cho số lượng tử quĩ đạo l cho trường hợp chuyển động trong trường có tâm đối xứng:

1

l n (1.73) nghĩa là với số lượng tử chính n, số lượng tử l chỉ có thể nhận các giá trị

trong đó u là một đa thức, với độ chính xác đến hằng số nhân Đa thức

u với các hệ số xác định bằng (2.69) trùng với đa thức Languerre liên đới:

2 1 2

0 3 2

tử này không như nhau, có chỗ lớn có chỗ nhỏ, đám mây điện tử phân bố

21

không đều trongtrường của hạt nhân nguyên tử Ví dụ xét trạng thái cơ bản, điện tử có các số lượng tử n 1,l 0

0 2

Hàm w10 r đạt cực đại trên mặt cầu có khoảng cách tới tâm là r a0

được gọi là bán kính Bohr Điều này có nghĩa là quĩ đạo lượng tử bán kính a0

trong lý thuyết Bohr tương ứng với mặt cầu nơi mà ở đó xác suất tìm thấy điện tử là cực đại

Trên hình (H 1.4) biểu hàm phân bố xác suất theo khoảng cách tới tâm của điện tử trong nguyên tử hydro ở một vài trạng thái khác nhau

21

0, 2 0,1

21

2.4.3Suy biến của các mức năng lượng [1]

Chưa tính đến spin, trạng thái của điện tử hydro

n l m r R n l r Y l m

hoàn toàn xác định bằng ba số lượng tử n l m, , trong nguyên tử khi các mức năng lượng chỉ phụ thuộc số lượng tử chính n Như vậy các mức năng lượng của nguyên tử hydro là suy biến Sự suy biến theo m là tính chất chung của các chuyển động trong trường đối xứng tâm Trong trường Coulomb có thêm suy biến theo số lượng tử quĩ đạo l, một sự biến đổi của trường lực khỏi trường Coulomb, suy biến này mất đi, vì vậy suy biến theo l được gọi là suy biến ngẫu nhiên Với một giá trị l xác định, m nhận 2l 1 giá trị khác nhau Với số lượng tử n đã cho, l nhận n giá trị l 0,1 n 1 Như vậy bội suy biến của mức năng lượng E n được xác định bằng:

0,1

21

2 0

2 1

l

l n (1.79)

Như vậy, có 2

n trạng thái khác nhau ứng với cùng một mức năng lượng E n

2.4.4Quang phổ phát xạ của hydro [1]

Đặt Z 1, mức năng lượng cơ bản E1 13,5eV chính là năng lượng ion hóa của nguyên tử hydro Khi có sự chuyển từ E m E n, nguyên tử hydro bức

xạ sóng điện từ với tần số thỏa mãn hệ thức:

Dãy Lyman Balmer Paschen

H2.5 Quang phổ phát xạ các nguyên tử hydro

Mật độ dòng xác suất của điện tử trong nguyên tử hydro được xác định

từ biểu thức (2.11) ( khối lượng m được thay bằng khối lượng của điện tử m0):

0

, 2

21

,

e lz

j x t Sd

dJ x t S d

ở đây S là diện tích chắn bởi dòng điện, S rsin 2:

2 0

2 sin 2

0

2

lz

e m

e

l m c(1.90) được gọi là hệ số từ hồi chuyển của điện tử chuyển động trong không gian Vì mômen từ và mômen xung lượng của điện tử luôn ngược chiều nhau toán tử mômen từ thường được biểu diễn dưới dạng:

0

ˆ ˆ

2

l

e L

m c (1.91)