Xấp xỉ hàm tuần hoàn bằng đa thức lượng giác

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC HÀ SỸ TIẾN XẤP XỈ HÀM TUẦN HOÀN BẰNG ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán giải tích Mã số: 60.46.01.02 Người hướng dẫn khoa học: G

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

HÀ SỸ TIẾN

XẤP XỈ HÀM TUẦN HOÀN BẰNG ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, 2015

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

HÀ SỸ TIẾN

XẤP XỈ HÀM TUẦN HOÀN BẰNG ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Toán giải tích

Mã số: 60.46.01.02

Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đinh Dũng

THANH HÓA, 2015

ngày tháng năm … của Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức:

Học hàm, học vị,

Chức danh trong Hội đồng

* Có thể tham khảo luận văn tại Thư viện trường và Bộ môn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố

Người cam đoan

Hà Sỹ Tiến

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên em xin chân thành cảm ơn GS TSKH Đinh Dũng, người đã giảng dạy chỉ bảo cho em nhiều kiến thức sâu sắc, người đã tin tưởng giao đề tài và tận tình hướng dẫn em trong quá trình làm luận văn Thầy đã động viên, nhắc nhở, khích lệ em, giúp em vượt qua nhiều khó khăn để hoàn thành luận

văn này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo ở Viện toán học cao cấp, Viện CNTT, các trường Đại học và Khoa "Khoa học tự nhiên" trường Đại học Hồng Đức đã truyền đạt cho chúng em những kiến thức chuyên môn quý báu cũng như phương pháp làm việc Từ đó tạo điều kiện cho chúng em học tập tốt trong hai năm cao học tại trường Đại học Hồng Đức

Em xin chân thành cảm ơn Đảng ủy, BGH và các thầy cô giáo trường THPT Lê Lợi Thọ Xuân - nơi em đang công tác, đã tạo điều kiện, giúp đỡ trong quá trình em học cao học

Tôi xin cảm ơn tập thể lớp cao học 2012 – 2014, đặc biệt là các bạn trong nhóm Toán ứng dụng, các bạn đã giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập

và soạn thảo luận văn

Cuối cùng con xin được gửi lời cảm ơn sâu sắc tới bố mẹ, gia đình, người thân những người đã luôn sát cánh động viên con trong quá trình học tập và công tác

Luận văn được thực hiện và hoàn thành tại trường Đại học Hồng Đức, tỉnh Thanh Hóa dưới sự hướng dẫn của GS TSKH Đinh Dũng

Thanh Hóa, tháng 9 năm 2015

Tác giả

MỤC LỤC

Trang

MỞ ĐẦU 1 Chương 1.SƠ LƯỢC LỊCH SỬ XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC 2Chương 2 ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC VÀ TÍNH CHẤT 72.1 Một số đa thức lượng giác quan trọng 72.2 Bất đẳng thức Bernstein- Nikol'

skii 182.3 Định lý Marcinkiewicz 24Chương 3 XẤP XỈ CÁC HÀM SỐ TRONG LỚP Wr

q, VÀ Hr q 27KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 38TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

MỞ ĐẦU

Vấn đề cơ bản trong thuyết xấp xỉ là việc lựa chọn phương pháp xấp xỉ thích hợp Trong luận văn chúng ta sẽ sử dụng một số cách tiếp cận khác nhau

để đánh giá các phương pháp xấp xỉ Chúng ta sẽ nghiên cứu vấn đề này với

xấp xỉ hàm số tuần hoàn một biến

Theo định lý Weierstrass thì với mỗi hàm f liên tục trên có thể xấp xỉ bằng một đa thức lượng giác với độ chính xác tùy ý, nghĩa là với mỗi  0,

tồn tại một đa thức lượng giác T sao cho f  T .

Trên cơ sở đó nội dung chính của luận văn là trình bày chương I xấp xỉ hàm số một biến của sách chuyên khảo "V.N Temlyakov, Approximation of periodic functions, Nova Science Publishers Inc Commack, NY, 1993"

Bố cục của luận văn như sau:

Chương 1 Sơ lược lịch sử xấp xỉ bằng đa thức lượng giác

Chương 2 Đa thức lượng giác và tính chất

2.1 Một số đa thức lượng giác quan trọng

2.2 Bất đẳng thức Bernstein- Nikol'skii

Chương 1

SƠ LƯỢC LỊCH SỬ XẤP XỈ BẰNG ĐA THỨC LƯỢNG GIÁC

Vấn đề đầu tiên trong lý thuyết xấp xỉ là sự lựa chọn một phương pháp xấp xỉ hiệu quả Chúng ta sẽ nghiên cứu vấn đề này đối với xấp xỉ hàm một biến bằng đa thức lượng giác Hai tham số chủ yếu trong nghiên cứu các phương pháp xấp xỉ là độ chính xác và độ phức tạp Những khái niệm này có thể được xử lý bằng những cách khác nhau phụ thuộc vào đặc thù của các bài toán xấp xỉ cụ thể Ở đây chúng ta sẽ bắt đầu từ một ý tưởng cổ điển về sự xấp xỉ hàm số bằng đa thức lượng giác Sau bài báo của Fourier (1807) sự biểu diễn của hàm số tuần hoàn với chu kỳ 2 bởi chuỗi Fourier đã trở thành một điều tự nhiên Nói cách khác hàm số f x( ) được biễu diễn xấp xỉ bởi tổng của chuỗi Fourier:

ta sẽ dùng chuẩn đều Để xác định độ chính xác của phương pháp xấp xỉ hàm

số tuần hoàn bằng tổng của chuỗi Fourier là chúng ta sẽ nghiên cứu đại lượng

( )

f S f p Độ phức tạp của phương pháp xấp xỉ chứa trong hai đặc trưng sau đây Bậc của đa thức lượng giác S n( )f là đặc trưng định lượng Nhận xét sau đây cho chúng ta đặc trưng định tính Các hệ số của đa thức này được tìm bởi công thức Fourier có nghĩa là toán tử Sn là phép chiếu trực giao trong không gian con các đa thức lượng giác bậc n

Năm 1854 Chebyshev đã đề xuất biểu diễn một hàm số liên tục f bằng xấp

xỉ tốt nhất bằng đa thức, tức là bằng đa thức t n( )f sao cho:

Ông ấy đã chứng minh được sự tồn tại và duy nhất của đa thức đó Chúng ta

sẽ xem xét phương pháp xấp xỉ này không chỉ trong chuẩn đều mà tất cả các chuẩn trong không gian L p,(1  p )

Độ chính xác của phương pháp Chebyshev có thể dễ dàng so sánh với độ chính xác của phương pháp Fourier:

E n( )f p  f S n( )f p

Tuy nhiên, thật khó để so sánh độ phức tạp của hai phương pháp này Đặc trưng định lượng trùng nhau nhưng đặc trưng định tính lại khác nhau (ví dụ: không khó để hiểu rằng khi p  ánh xạ f t n( )f không phải là toán tử tuyến tính) Năm 1873 Du Bois – Reymond đưa ra ví dụ về một hàm liên tục

f mà f S n( )f    khi n, và định lý Weierstrass nói rằng với mỗi hàm số liên tục f ta có E n( )f  0 khi n, đã chỉ ra tính ưu việt của phương pháp Chebyshev so với phương pháp Fourier

Với mong muốn xây dựng các phương pháp tính xấp xỉ có ưu điểm của phương pháp Fourier và Chebyshev đã dẫn tới sự nghiên cứu nhiều phương pháp khác nhau dựa trên chuỗi Fourier Trên quan điểm xấp xỉ, quan trọng nhất là các phương pháp de la Vallée – Poussin, phương pháp Fejer và phương pháp Jackson đã được xây dựng đầu thế kỷ 20 Tất cả các phương pháp này là tuyến tính Ví dụ như phương pháp de la Vallée – Poussin là phương pháp xấp xỉ một hàm f bởi đa thức

Trên quan điểm độ phức tạp nó gần với phương pháp Fourier và tính tuyến tính là điều cơ bản để phân biệt với phương pháp Chebyshev

Chúng ta thấy rằng điểm chung của tất cả các phương pháp này là xấp xỉ bằng các đa thức lượng giác; hơn nữa các cách xây dựng những đa thức này là khác nhau: các phép chiếu trực giao trong không gian con các đa thức lượng giác

có bậc cố định, toán tử xấp xỉ tốt nhất, và các toán tử tuyến tính

Vì vậy xấp xỉ các hàm số tuần hoàn bằng các đa thức lượng giác là điều rất tự nhiên và vấn đề này đã được nghiên cứu một cách nghiêm túc Việc xấp xỉ một hàm số bởi các đa thức đại số đã được nghiên cứu song song với đa thức lượng giác Ngay bây giờ chúng ta đưa ra một số kết quả đã được xác định rõ trong nghiên cứu một số vấn đề liên quan tới thuyết xấp xỉ Những vấn đề này vẫn còn được quan tâm cho tới tận ngày nay

De la Vallée – Poussin đã chứng minh vào năm 1908 rằng xấp xỉ tốt nhất của

hàm số x trong đoạn 1,1  bởi đa thức đại số bậc n được đánh giá trên như sau

e n( )x C

n

 Ông đặt ra câu hỏi về khả năng làm tốt hơn cách đánh giá này Bernstein (1912) đã chứng minh rằng đánh giá này là chính xác Hơn nữa, sau đó ông ấy

đã thiết lập dáng điệu tiệm cận của dãy e n( )x như sau:

Hệ thức này thể hiện sự đánh giá trên với sự xấp xỉ tốt nhất các hàm số dựa vào độ trơn mà bây giờ gọi là bất đẳng thức Jackson, và những hệ thức có ý nghĩa tương tự như thế được gọi là định lý thuận của lý thuyết xấp xỉ

Từ kết quả của Bernstein (1912) và de la Vallée – Poussin (1919), chúng ta có thể trình bày chính xác khẳng định sau được gọi là định lý đảo của thuyết xấp

xỉ Đặt W H r  : { f có đạo hàm f r( ) liên tục, f r( )Lip}

Khi đó nếu

E n( )f Cn r 

 , 0r là số nguyên , 0  1, thì f có đạo hàm liên tục bậc r , f r( ) thuộc lớp Lip, nghĩa là f W H r  Như vậy các kết quả của Jackson, Bernstein và de la Vallée – Poussin chỉ ra rằng những hàm số trong lớp W H r  , 0< <1 có thể đặc trưng bởi tốc độ hội

tụ của các dãy xấp xỉ tốt nhất

Chúng ta nhận xét rằng các lớp hàm số tương tự như W H r  đã được dùng

trong một lĩnh vực khác của toán học và đã đạt được một số kết quả khác nhau Đây là một ví dụ, chúng ta có thể trình bày một kết quả của Fredholm Cho f x y( , ) là hàm liên tục trong a b,    a b,  và

,

x y f x y t  f x y C t   Khi đó đối với giá trị riêng ( J f ) của toán tử tích phân

( )( ) b ( , ) ( )

a f

t ( f ,x )  f ( x t )  f ( x ) Mt , t 0. C( A ) là không gian con của

C( A ), gồm tất cả các hàm f liên tục đều trên A

Khi đó Lebesgue đã chứng minh rằng:

Vấn đề xấp xỉ các hàm số trong lớp W H r  bằng các đa thức lượng giác tự

nhiên tới mức đã xuất hiện một hướng nghiên cứu tìm bậc tiệm cận hoặc chính xác giá trị của r

n

 và đại lượng

T n là tập các đa thức với biến số thực

Sau đây là một số đa thức lƣợng giác giữ vai trò quan trọng trong xấp xỉ

1 Nhân Dirichlet bậc n:

12

Chúng ta nhắc đến mối quan hệ đã biết



Rõ ràng nhân Dirichlet Dn trong đoạn 0;2  tại các điểm x l, l0,1, ,2n

D n q C q n( ) 1 1/ q (1.7)

đƣợc suy từ (1.2)

Xin đƣợc nhắc lại bất đẳng thức Holder ( xem [1], trang 7 - 8) với hai hàm số:

Giả sử 1 p p, ' , , sao cho 1/ 1/ ' 1, 1 , 2 '

Dn q n1 1/q

(1.9) Mối quan hệ (1 9) với q  là dễ thấy

Chúng ta ký hiệu toán tử S n biễu diễn tổng Fourier bậc n Sau đó với f L1

ta có

 là toán tử bị chặn từ không gian L p đến L p với 1  p

Áp dụng định lý này và mối quan hệ (1.3) nhà toán học M Riesz đã chứng

HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ 1.1 Với 1  p và với mọi n ta có

Từ đây ta suy ra kết luận cho hệ quả của Định lý 1.1

Ta gọi toán tử lƣợng giác liên hợp là toán tử ánh xạ từ hàm số f x( ) vào hàm

m n m

Giả sử 1    a p b ,1     a p b , (1/ p1/ )(1/b a1/ )b 1, khi đó: f p f a f 1b  (xem [1] trang 9)

=( cos mx cos nx )(2( n m )(sin( x / )) )  2 2 1

Nhân de laVallee – Poussin m,n là đa thức lƣợng giác chẵn bậc n1 với đánh giá trên

m,n ( x ) C min( n,1 , 1 2 ), x

 (1.12) Quan hệ (1.12) kéo theo ƣớc lƣợng:

Toán tử m đƣợc xác định trong L 1 bởi biểu thức V m( )f  f m

đƣợc gọi là toán tử de la Vallée – Poussin

Định lý sau đây là hệ quả của định nghĩa về nhânm và quan hệ (1.13)

ĐỊNH LÝ 1.2 Toán tử V m không làm thay đổi các đa thức T m( ) và với mọi

1 q   ta có

m p q  3, m 1, 2,

Mặt khác ta chú ý tới hai tính chất của nhân de la Vallec – Poussin

10 Quan hệ (1.12) với n2m kéo theo bất đẳng thức

m( )x Cmin( ,m 12), x

Dễ dàng suy ra từ bất đẳng thức này tính chất sau đây

20 Với mỗi h thỏa mãn điều kiện C1mhC2 ta có:

J  (1.16)

Để chúng ta ước lượng J a n, từ dưới Ta có

/ 0

0

a n

Chúng ta định nghĩa cặp đa thức lƣợng giác một cách đệ quy P x j( ) và Q x j( )

( 1) / 2

2n

n

P   (1.20) Rất hiển nhiên từ định nghĩa đa thức P n ta có

m j

Quan hệ ở (1.22) là dễ thấy Quan hệ này có nghĩa là hệ các đa thức

( ) i lx

l l

(1) ( 1)l 0

l l

Sử dụng quan hệ (1.24) và (1.26) từ đây ta có quan hệ (1.23)

Các tính chất của các nhân Dirichlet, Fejer, Valle – Poussin, Jackson chúng ta

có thể tìm đọc trong sách của Dzvadyk

7 Các đa thức lượng giác được xét từ Mục 1 đến Mục 6 đã xây dựng xong: hoặc chúng đã được cho bởi một công thức như mục 1, 4, 6 hoặc một phương pháp xây dựng được cho bởi mục 5 (Đa thức Rudin – Shapiro)

Trong mục này chúng ta sẽ thiết lập công thức của một định lý mà nó sẽ cho

ta biết sự tồn tại của các đa thức với một số tính chất cho trước

ĐỊNH LÝ 1 3 Cho  0 và không gian con  T n( ) sao cho

dim  (2n1) Khi đó tồn tại một hàm t sao cho

Tiếp theo ta sẽ tiếp cận một định lý là một kết quả cổ điển của Gauss

ĐỊNH LÝ 1.4 Cho q2 là một số nguyên tố, l0 là một số nguyên, và k

1

2 ( )/

( , , )

q j

CHỨNG MINH: Đầu tiên ta xét trường hợp k0 Chú ý rằng S q l( , ) không thay đổi nếu ta lấy tổng trên hoàn toàn hệ thống các phần dư theo mô đun q

thay cho đoạn [1;q] Dễ dàng suy ra, với bất kỳ số nguyên h nào thì

Bây giờ xét k khác 0, vì q là một số nguyên tố khác 2 từ các số

2 ,lb b1, ,q chạy hết một hệ đầy đủ của phần dư theo mô đun q Dễ dàng suy ra là tồn tại một số b sao cho 2lbk(mod )q Khi đó

ĐỊNH LÝ 1.5 Cho q là một số nguyên tố và q 2a 1 Với bất kỳ số n[1,a]

có một đa thức lượng giác t nT a( ) sao cho chỉ có duy nhất hệ số Fourier n của tn là khác 0 và với mọi k ta có t k( ) 1 và hơn nữa

n

t  n t l q Cq l a

CHỨNG MINH Việc chứng minh định lý này có thể dễ dàng bắt nguồn từ

một kết quả sâu sắc của số học của Hardy và Littlewood về ước lượng các tổng Gaussian không đầy đủ: với mỗi n[1,q]

j theo mô đun q,

2.2 Bất đẳng thức Bernstein- Nikol '

skii

Bất đẳng thức Bernstein – Nikol'skii là bất đẳng thức nối tiếp dạng L p từ việc đạo hàm một số đa thức dạng L q, 1    q p Ở đây chúng ta sẽ đạt đƣợc các bất đẳng thức từ việc đạo hàm một biểu thức kém tổng quát hơn đạo hàm phân thức Weyl Đầu tiên xét một số kiến thức bổ trợ

Với mỗi dãy {a } 0 ta ký hiệu

Đầu tiên chúng ta chứng minh bất đẳng thức Bernstein

Chúng ta hãy xét các đa thức lƣợng giác đặc biệt sau Giả sử slà số nguyên không âm Ta xác định

Giả sử 1 và A s (x) ký hiệu là đa thức liên hợp với đa thức A s (x) có nghĩa

rằng trong biểu thức của A s (x) các hàm số coskxđƣợc thay thế bởi hàm

sin kx.Ta chứng minh rằng

Ta có bất đẳng thức Young nhƣ sau (xem [1] trang 10)

Giả sử p q, và a là các số thực thỏa mãn điều kiện

0 1

m

rs r s

Chúng ta định nghĩa toán tử r, 0,

D r   , trên tập hợp các đa thức lượng giác sau, giả sử f T n( ); khi đó

Để kết luận phần còn lại của chứng minh ta sử dụng bất đẳng thức (2.3) Chúng ta hãy xét trường hợp r0, là trường hợp bị loại trừ trong Định lý 2.2 Trong trường hợp r 0 và  là số nguyên chẵn ta có

từ đây suy ra đánh giá dưới trong trường hợp p 

Giả sử p1 và mn/ 2 Khi đó hàm số mT n( ) có các tính chất sau: m 13, (2.15) (0)

1

m x C m

   (2.16) Chúng ta hãy chứng minh (2.16) Với mỗi t, từ nhận định ở trên ta có khi





   (2.18)

Từ các quan hệ (2.14), (2.17) và (2.18) ta thu được (2.16) Khi đó (2.15) và (2.16) cho ta cho ta đánh giá dưới cần tìm khi p1

Bây giờ chúng ta sẽ nghiên cứu bất đẳng thức Nikol'skii

ĐỊNH LÝ 2.3 (Bất đẳng thức Nikol ' skii) Với bất kỳ t T n ( ), n0, ta có bất đẳng thức

CHỨNG MINH Đầu tiên xét p , khi đó t t n

và qua bất đẳng thức Holder ta có: t   t q n q', cùng với (1.14) kéo theo 1/ q

q

t  C t n (2.19) Hơn nữa, với q  p ta luôn có bất đẳng thức

t p  t q p q/ t 1q p/ (2.20) Kết luận của định lý được suy ra từ quan hệ (2.19) và (2.20)

Trong trường hợp p  định lý trên được chứng minh bởi Jackson

HỆ QUẢ CỦA ĐỊNH LÝ 2.2 VÀ 2.3 ( BẤT ĐẲNG THỨC BERNSTEIN –