Một số hàm đặc biệt ứng dụng trong kỹ thuật

Trong đề tài này tôi đề cập tới một số hàm đặc biệt có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật cụ thể như trong xác suất thống kê, trong việc xử lý bộ lọc truyền tín hiệu, trong phương t

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO- UBND TỈNH THANH HÓA

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

NGUYỄN TẤT ĐẢM

MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT ỨNG DỤNG TRONG KỸ

THUẬT

LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC

THANH HÓA, NĂM 2019

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO- UBND TỈNH THANH HÓA

Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

THANH HÓA, NĂM 2019

Danh sách Hội đồng chấm luận văn Thạc sĩ khoa học

Theo Quyết định số 1896/QĐ-ĐHHĐ ngày 21/11/2019 của Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức

Học hàm, học vị

Họ và tên

Cơ quan công tác Chức danh trong

Hội đồng

GS.TS Đặng Quang Á Viện hàn lâm KH&CN Việt Nam Chủ tịch

GS.TSKH Đinh Dũng Viện CNTT-ĐHQG Hà Nội Phản biện 1

TS Hoàng Văn Thi Sở GD&ĐT Thanh Hóa Phản biện 2

TS Nguyễn Văn Lương Trường ĐH Hồng Đức Uỷ viên

TS Mai Xuân Thảo Trường ĐH Hồng Đức Thư ký

Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của Hội Đồng

Ngày 22 tháng 12 năm 2019

Xác nhận của Người hướng dẫn

PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn

*Có thể tham khảo luận văn tại Thư viện trường và Bộ môn

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khoá luận, luận văn, luận án đã công bố Các nội dung được trích dẫn rõ ràng từ các tài liệu tham khảo Cách trình bày hành văn không trùng lặp với những tài liệu đã biết

Người cam đoan

Nguyễn Tất Đảm

LỜI CẢM ƠN

Để hoàn thành luận văn này, tôi đã nhận được sự giảng dạy hết sức nhiệt tình của các giảng viên lớp cao học toán giải tích K -10, Đại học Hồng Đức, sự giúp đỡ của trường THPT Đặng Thai Mai, gia đình và các bạn cùng khóa

Đặc biệt, tôi xin chân thành cảm ơn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn giảng viên trường Đại học Quốc Gia Hà Nội, người thầy đã trực tiếp hướng dẫn và tạo mọi điều kiện giúp tôi hoàn thành luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu, Phòng Đào tạo sau Đại học, khoa Khoa học Tự nhiên trường Đại học Hồng Đức và các thầy giáo, cô giáo

đã trực tiếp giảng dạy, giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập tại trường Tôi xin trân trọng cám ơn BGH và các đồng nghiệp thuộc tổ Toán trường THPT Đặng Thai, xã Quảng Bình, huyện Quảng Xương, tỉnh Thanh Hóa đã tạo mọi điều kiện thuận lợi để giúp tôi có thể tham gia khóa học thạc

sỹ này

Cuối cùng tôi xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến cha mẹ, người thân, bạn bè và tất cả những người đã giúp đỡ, động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Thanh Hóa, tháng 11năm 2019

Kí tên

Nguyễn Tất Đảm

MỤC LỤC

Cam đoan ……… i

Lời cảm ơn ……… ii

Mục lục ……… iii

MỞ ĐẦU……… 1

Chương I HÀM SỐ VÀ KHÔNG GIAN HÀM 3

1.1 Không gian hàm……… 3

1.1.1 Các ký hiệu……… 3

1.1.2 Các không gian hàm……… 4

1.2 Các hàm đặc biệt cơ bản……… 5

1.2.1 Hàm delta Dirac ……… 6

1.2.2 Hàm Heaviside ……… 6

1.2.3 Hàm gamma ……… 7

1.3 Hàm Gauss ……… 14

1.3.1 Định nghĩa ……… 14

1.3.2 Tính chất ……… 17

1.3.3 Hàm Gauss hai biến ……… 18

1.3.4 Hàm Gauss rời rạc ……… 20

1.3.5 Ứng dụng ……… 21

1.4 Hàm Hermite ……… 22

1.4.1 Đa thức Hermite ……… 22

1.4.2 Tính chất ……… 24

1.4.3 Hàm Hermite ……… 27

1.4.4 Trường hợp nhiều biến ……… 29

1.5 Hàm sai số ……… 30

1.5.1 Định nghĩa ……… 30

1.5.2 Tính chất ……… 31

1.5.4 Ứng dụng ……… 32

1.5.5 Những hàm khác liên quan ……… 32

Chương II ỨNG DỤNG MỘT SỐ HÀM ĐẶC BIỆT TRONG KỸ THUẬT 35 2.1 Ứng dụng của hàm heaviside ……… 35

2.1.1 Bài toán tín hiệu cho phương trình sóng ……… 35

2.1.2 Bài toán truyền nhiệt trên thanh nửa hữu hạn……… 36

2.2 Ứng dụng của hàm Gauss ……… 38

2.2.1 Sử dụng hàm Gauss xác định bề rộng trung bình đường nhiễu xạ của mẫu thép được tôi cao tần………

38 2.2.1.1 Cơ sở lý thuyết ……… 38

2.2.1.2 Trình tự thí nghiệm ……… 38

2.2.1.3 Kết quả khảo sát ……… 39

2.2.1.4 Kết luận ……… 44 2.2.2 Ứng dụng của phân phối chuẩn trong thực tế và trong kinh 44

tế ……… …

2.2.2.1 Ứng dụng của phân phối chuẩn trong thực tế …… 47

2.3 Ứng dụng của hàm delta Dirac ……… 51

2.3.1 Ứng dụng 1 ……… 51

2.3.1 Ứng dụng 2 ……… 52

2.3.1 Ứng dụng 3 ……… 54

2.3.1 Ứng dụng 4 ……… 56

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ……… 59

Tài liệu tham khảo ……… 60

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Trong cuộc sống ta luôn bắt gặp nhiều thiết bị khoa học công nghệ, nhiều sản phẩm công nghệ cao với quy trình điều khiển rất tinh vi Nhưng thực tế rất ít người biết được nó được điều khiển thế nào và có liên quan gì đến môn toán hay không Trong đề tài này tôi đề cập tới một số hàm đặc biệt

có nhiều ứng dụng trong khoa học, kỹ thuật cụ thể như trong xác suất thống

kê, trong việc xử lý bộ lọc truyền tín hiệu, trong phương trình điều khiển

Vì vậy trong khuôn khổ của một luận văn thạc sĩ, tôi đi nghiên cứu đề

tài “Một số hàm đặc biệt ứng dụng trong kỹ thuật” với mục tiêu cung cấp

thêm cho độc giả biết thêm được nhiều ứng dụng rất có giá trị của hàm số trong cuộc sống

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của đề tài là nghiên cứu, trình bày một cách có hệ thống một

số hàm đặc biệt và các tính chất, ứng dụng của nó trong khoc học, kỹ thuật, trong cuộc sống

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là các hàm gồm: Hàm Gauss, hàm Hermite, hàm gamma, hàm Heaviside, hàmdelta Dirac

Phạm vi nghiên cứu là tính chất của các hàm như hàm Gauss, hàm Hermite, hàm sai số

4 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp phân tích, tổng hợp từ việc nghiên cứu định nghĩa, định

lí, tính chất để rút ra các ứng dụng trong khoa học ký thuật và trong cuộc sống

Phương pháp đọc sách, tài liệu…nhằm tổng hợp cách rút ra các tính chất, cách chứng minh các tính chất, tìm ra mối liên hệ giữa các hàm số với nhau và mối liên hệ giữa chúng với các nghành khoa học khác

5 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và phụ lục, luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Hàm số và không gian hàm Chương này trình bày một số hàm số

đặc biệt cơ bản như: hàm delta Dirac, hàm Heaviside, hàm gamma, hàm Gauss, hàm Hermite, hàm sai số và các ứng dụng của chúng

Chương 2 Ứng dụng của các hàm đặc biệt trong kỹ thuật và trong thực tế

Chương này trình bày ứng dụng của các hàm delta Dirac, hàm Heaviside, hàm

Gauss

CHƯƠNG 1 HÀM SỐ VÀ KHÔNG GIAN HÀM 1.1 Không gian hàm

Nội dung của chương này được tham khảo chủ yếu trong tài liệu [3]

1.1.1 Các ký hiệu

Tập hợp các số tự nhiên :0;1;2;3; .

Tập hợp các số nguyên :0; 1; 2; 3; .   

Trường số thực được ký hiệu , trường số phức được ký hiệu Đơn

vị ảo được ký hiệu i với i2  1

Ký hiệu không gian Euclid thực hữu hạn chiều là d Với hai cặp vector ,x y d, ký hiệu: xy: x y, là tích vô hướng thông thường của chúng, và x  x x, là bán kính của vector x (đôi khi, x còn được gọi là

chuẩn euclid của x) Do đó sau này ta có thể viết

cosxy: cos x y, , sinxy: sin x y, ,

,: i x y

ixy

e e x y,  d,

do hàm mũ một biến e it costisint

Giải sử pp p1; 2; ;p d p k , k1,2,3, ,d là một bộ có thứ tự gồm d số nguyên không âm Khi đó, p được gọi là một d -bó, hoặc gọi là đa

chỉ số Ký hiệu p : p1  p d

Giả sử hai đa chỉ số p q thỏa mãn tính chất: , p j q j với mọi j1,2,3, d

Ta nói rằng đa chỉ số p thấp hơn da chỉ số q , và ký hiệu pq Như vậy tồn tại thứ tự bộ phận trong tập hợp tất cả các d -bó, nhưng ở đó không có thứ tự

và gọi x là một đơn thức Với mỗi p pp p1; 2; ;p d ta viết

1

1 d d

p p

x x

D  

là toán tử đạo hàm riêng theo biến x

Hàm Hermite một biến, và d -biến là hàm số lần lượt xác định trong

khồn gian , d được định nghĩa bởi các công thức sau

2

1 2

n x

1

   

1.1.2 Các không gian hàm

Trong luận văn này, d được ký hiệu là không gian Euclid thực d

chiều với độ đo Lebesgue Hơn nữa nếu không ấn định trước, không gian tuyến tính của các hàm số được ngầm hiểu là không gian trên trường số phức Ngoài ra, hàm số trong tài liệu này là hàm biến thực và nhận giá trị phức Với mỗi số tự nhiên p1, ký hiệu

là không gian tất cả các hàm khả tích Lebesgue bậc p trên Đây là không gian

Banach, ở đó chuẩn của hàm p d

2

d

p p d

   

1

2

1:

2

1:

L trở thành một không gian Hilbert

Nhận xét rằng không gian Schwartz trù mật trong 2 d

L Thực vậy, ta biết rằng không gian các hàm khả vi vô hạn và có giá compac, được ký hiệu

Sau đây ta xét hàm delta Dirac từ góc độ của các hàm Gauss cổ điển Xét hàm

Gaussian d -chiều có dạng

 

2 2

2 2 2

1

.2

2 2 2 0

f t t  e là hàm số the biến

t, còn x là tham biến

Xét x 1;  Dễ thấy  1 1 Mặt khác, f là hàm liên tục trên khoảng

Như vậy, nửa khoảng 1; thuộc tập xác định của 

Xét x 0;1 Tương tự như trường hợp vừa nêu, tại lân cận của vô cùng ta cũng có

*Hàm gamma khả vi vô hạn lần Thật vậy hàm dưới dấu tích phân khả vi liên tục vô hạn lần, và có các tích phân      x ,' x , '' x ,  n  x hội tụ đều

Như vậy, ta có thể cho rằng hàm gamma xác định trên tập

Thác triển phức Tiếp theo, do tính liên tục và bị chặn của hàm số e i với

 mà miền xác định của hàm gamma được mở rộng lên mặt phẳng phức, trừ các điểmmà phần thực của chúng có tọa độ nguyên âm:

h t e liên tục và bị chặn đều với mọi

y Do đó, tính khả tích của hàm dưới dấu tích phân trong vế phải của (1.2.7) tương đương với tính tồn tại của tích phân(1.2.5) tùy thuộc vào tham biến x0 Tóm lại, ký hiệu

dương sang nửa trục âm như đã trình bày ở trên Thật vậy do z x yi  cố định nên với x0ta vẫn có thể sử dụng công thức Newton-Leibnitz để nhận được dãy các đẳng thức sau:

x b c

Hình 1.9 là đồ thị của hàm Gauss ứng với các hệ số khác nhau Như ta thấy,

đồ thị hàm Gauss giống như cái chuông, giảm rất nhanh về 0 tại vô cực Hơn nữa, ta thấy

2 0

1lim

Nếu a0 thì hàm số luôn nhận giá trị âm, đồ thị của nó nằm phía dưới trục hoành , trong trường hợp này ta có

 

min

  , khi xb

Từ đó suy ra rằng, tham biến a quyết định độ cao của đỉnh chuông, b là

hoành độ của đỉnh chuông

Ta sẽ chỉ ra rằng, tham số c liên quan đến độ rộng của chuông, theo nghĩa xác định dưới đây

Ta có các đạo hàm bậc nhất và bậc hai

2 2

2 2

'

x b c

2 2

x b c

a e c

mà hàm này đổi dấu tại các nghiệm của nó Vậy các điểm trên đồ thị có hoành

độ b c là điểm uốn của đồ thị hàm Gauss

Khoảng cách giữa hai điểm uốn bằng 2c không phụ thuộc vào a và b Ta

thấy trong khoảng giữa hai điểm uốn thì dáng điệu đường cong dốc đứng hơn nhiều so với khoảng ngoài hai điểm uốn

Thực ra chuông Gauss là vô hạn Tuy thế ta gọi chuông Gauss hữu hạn là phần đồ thị được giới hạn bởi khoảng giữa hai điểm uốn Khi đó, độ rộng của

chuông Gauss hữu hạn là khoảng cách giữa hai điểm uốn, luôn bằng 2c

Dễ ràng tính được tỷ lệ giữa độ rộng và độ cao của chuông Gauss Ta chỉ cần xét trường hợp a0, và giả thiết b0 Cụ thể, xét đường cong chuông

 

2 2

2

x c

H  g  a H  g   a e

Do đó, tỷ lệ đó luôn bằng

u ) Trong hình này có ba đồ thị của hàm Gauss ứng với những giá trị 

nhỏ dần  1, 0.2, 0.06 Như ta đã thấy, khi  càng nhỏ thì độ rộng của chuông Gauss nhỏ dần về 0 nhưng độ cao lại tăng lên đến vô cùng

Khi  đủ nhỏ thì đồ thị chuông Gauss gần giống như một trục thẳng đứng xung quanh trục tung, và gần trùng khít lên trục hoành tại những điểm có hoành độ không quá nhỏ

1.3.2 Tính chất

Liệt kê dưới đây là những tính chất cơ bản của hàm Gauss:

1 Hàm Gauss là hàm mũ cơ số e của hàm bậc hai xác định âm Do vậy, phép toán nhân các hàm Gauss được chuyển thành phép cộng các hàm bậc hai xác định âm

2 Hàm Gauss là hàm giải tích (có khai triển Taylor) và triệt tiêu tại vô cùng Thực ra hàm Gauss thuộc lớp hàm giảm nhanh, và thuộc không gian Schwartz

Hình 1.4: Hàm delta Dirac là giới hạn của hàm Gauss

3 Hàm Gauss là hàm sơ cấp, nhưng nguyên hàm của nó không tính được tường minh Dù vậy, bằng một số phương pháp khác nhau , chẳng hạn công

cụ thặng dư trong hàm biến phức, người ta vẫn tính được giá trị tích phân của hàm Gauss trên toàn trục số

x b c

x b c

b la hàm riêng của biến đổi Fourier với giá trị riêng thực

6 Nguyên hàm của hàm Gauss được gọi là hàm sai số( error function) xem mục (1.5)

7 Tích phân của hàm Gauss với đa thức Hermite được gọi là hàm Hermite (xem mục 1.4.3)

1.3.3 Hàm Gauss hai biến

Hàm Gauss hai biến là hàm mũ cơ số e của dạng toàn phương xác định không âm Ta xét từng trường hợp cụ thể

1 Hàm Gauss eliptic hai biến có dạng

trong đó hệ số A là biên độ, x y0, 0 là tâm và  x, y là độ rộng của

“chuông Gauss dọc theo trục x và y tương ứng”

Trong trường hợp x y, đồ thị của f x y giống như một cái chuông  ,thực sự (cân đối) Trong trường hợp tổng quát x y, chuông Gauss không cân đối theo hai tọa độ x và y Nói nôm na, đồ thị của nó thu được bằng cách nén theo mặt phẳng ngang (mặt phẳng xOy ) theo một chiều nào đó,

tương đương như nén một hình cầu để thu được một ellipsoid

Hình 1.5: Hàm Gauss hai biến

Ý nghĩa của các tham số

Nếu A0 thì f x y , 0 với mọi ,x y Do đó, đồ thị chuông Gauss

thuộc nửa trên của không gian (phía trên mặt phẳng nằm ngang xOy ) Ta có

Nếu A0 thì f x y , 0 với mọi ,x y Do đó, đồ thị chuông Gauss

thuộc nửa dưới của không gian(phía dưới mặt phẳng nằm ngang xOy ) Tương

tự như trường hợp vừa nêu, ta có

- Cách xây dựng đơn giản các hàm Gauss rời rạc là: rời rạc hóa hàm Gauss liên tục tương ứng(số hóa, hoặc tuyến tính hóa từng khúc) Tuy nhiên những hàm rời rạc đó sẽ không có tính chất tương tự như hàm Gauss liên tục nữa, và có thể chúng lại có các tính chất mà ta không mong muốn Chúng ta

sẽ bỏ qua cách tiếp cận này

- Ta xét một cách tiếp cận khác để xây dựng hàm Gauss rời rạc bằng cách sử dụng nhân Gauss rời rạc Trước hết, ta ký hiệu

2

0

12

k v k

1.3.5 Ứng dụng

Hàm Gauss có nhiều ứng dụng trong khoa học tự nhiên, trong khoa học xã hội, trong toán học và trong khoa học công nghệ Liệt kê dưới đây là những ứng dụng chủ yếu của hàm Gauss

1 Hàm Gauss là hàm mật độ của phân bố chuẩn trong lý thuyết xác suất và thống kê, nghĩa là hàm Gauss được sử dụng rộng rãi trong thống kê khi mô tả những phân bố chuẩn

2 Trong xử lý tín hiệu, hàm Gauss được sử dụng trong bộ lọc Gauss

3 Hàm Gauss được sử dụng để giải phương trình khuếch tán, phương trình truyền nhiệt Cụ thể, hàm Gauss là hàm Green đối với phương trình khuếch tán cũng như phương trình truyền nhiệt trong môi trường thuần nhất

và đẳng hướng Thật vậy, giả sử tại thời điểm t0 là giá trị rất lớn (có nghĩa

là lượng vật chất tập trung tại thời điểm ban đầu đủ lớn), nên có thể xem đó là hàm delta Dirac Khi đó, sự khuếch tán vật chất tại thời điểm t biến thiên tương tự sự biến thiên của hàm Gauss Tổng quát, nếu mật độ vật chất ban đầu được biểu thị bởi hàm  x thì mật độ vật chất tại các thời điểm sau đó thu được bằng cách lấy chập của  với hàm Gauss Bởi vậy, những tính toán chi tiết trong Mục 1.3.1 cho ta nhiều thuận tiện trong việc xác định các tham

số , ,a b c để hàm Gauss là mô hình của những bài toán khuếch tán vật chất,

bài toán truyền nhiệt, cũng như những bài toán ứng dụng khác

4 Hàm Gauss là hàm sóng trong trạng thái phát triển của dao động điều hòa lượng tử

5 Tổ hợp tuyến tính của các hàm Gauss mô phỏng quỹ đạo phân tử trong hóa học, được gọi là quỹ đạo Gauss

6 Đạo hàm(các cấp) của hàm Gauss là hàm Hermite Cụ thể, hàm Hermite là tích phân của hàm Gauss với đa thức Hermite và một hằng số hiệu chỉnh Bởi vậy, hàm Gauss cũng liên quan tới trạng thái chân không trong lý thuyết trường lượng tử

1.4 Hàm Hermite

Mục này trình bày các tính chất cơ bản như tính trực giao, mối quan hệ của

đa thức và đạo hàm, tính chất nghiệm và các dạng thức biểu diễn của đa thức Hermite và hàm Hermite

1.4.1 Đa thức Hermite

Đa thức Hermite là một trong các hệ đa thức trực giao cổ điển mang tên nhà toán học nổi tiếng người Pháp Charles Hermite (1822-1901) Điểm đặc biệt là ở chỗ: hàm Hermite ra đời và phát triển từ những ứng dụng trong cơ học lượng tử và nhiều lĩnh vực quan trọng khác

Có hai cách thức khác nhau để định nghĩa đa thức Hermite

Trong cơ học lượng tử, người ta định nghĩa đa thức Hermite một biến dưới dạng sau

x n x n

Hermite H n x trong cơ học lượng tử bẳng 2 n trong khi đa thức He x theo n 

định nghĩa trong xác suất lại bằng 1 Tuy thế, những tính chất giải tích cơ bản của những đa thức Hermite theo (1.4.9) cũng giống với đa thức Hermite theo định nghĩa (1.4.10) nhờ công thức sau

Sau đây là những tính chất của đa thức H n x tương ứng với công thức

(1.4.9) Những tính chất tương ứng của đa thức Hermite trong xác suất được suy ra trực tiếp từ đẳng thức (1.4.11)

- Công thức truy hồi Đa thức Hermite H n x thỏa mãn hệ thức truy hồi:

trong đó nm là ký hiệu Kronecker

- Tính chất nghiệm Do là những đa thức trự giao, đa thức Hermite có đúng n

nghiệm thực đơn Cụ thể, ta chứng minh dịnh lý sau cho đa thức Hermite

Định lý 1.4.1 Đa thức Hermite H n x có đúng n nghiệm thực phân biệt Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng quy nạp toán học

Dễ dàng kiểm tra được rằng, khẳng định đúng với H H H0, 1, 2 Giả sử định

lý đúng với n2, nghĩa là phương trình H n x 0 có n nghiệm thực phân biệt Điều này tương đương với phương trình

 

2

0

x n

e H x 

có n nghiệm thực phân biệt Ký hiệu x1x2   x n là các nghiệm của phương trình này Ta sẽ chứng minh đa thức H n1 x có đúng n1 nghiệm thực phân biệt

a a; 

Ta sẽ chứng minh rằng, H n1 x có hai nghiệm thực trong đó có một

nghiệm thộc khoảng  ; a và một nghiệm thuộc khoảng a; Thật vậy, đặt

Với mọi xN; Trên đoạn compac a N , tồn tại điểm ;  x1 trong

khoảng này để hàm f x đạt giá trị lớn nhất Do hàm   H n x chẵn hoặc lẻ

nên a{ }x k k1, ,n Suy ra x1 a, hay x1a N;  Đặt

Do x0a N;  nên y1 y0 Như vậy, y1 y0   f x  với mọi x0a,

Điều này có nghĩa y1 là điểm cực trị của hàm f x hay   f   x1 0 Từ đây suy ra x1 là nghiệm của đa thức H n1 x trong khoảng a;

Chứng minh tương tự ta đi đến kết luận tồn tại x2là nghiệm của đa thức

Đa thức Hermite trong xác suất He x là nghiệm của phương trình vi phân n 

với điều kiện là hàm tăng cấp đa thức

- Các hệ số của da thức Giả sử đa thức Hermite H n x có dạng

Dao động điều hòa lượng tử đơn là một mô hình hữu dụng trong cơ học lượng tử Việc giải phương trình vi phân Schrodinger cho dao động điều hòa lượng tử đơn là tìm tập các hàm sóng là một công việc không đơn giản, và điều đó liên quan đến giải phương trình vi phân cấp hai

trong đó h là hằng số Planck, m là khối lượng của hạt, k là hệ số đàn hồi và

E là năng lượng của hạt