Hàm lồi và một số ứng dụng trong giải toán sơ cấp

Trong đại số, tínhlồi, lõm của hàm số được giảng dạy trong các chương trình học về hàm số bậc 2 và dùng để khảo sát hàm số.. Do đó, việcbồi dưỡng và nâng cao kiến thức về hàm lồi và ứng

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HỒNG ĐỨC

——————————————–

LÊ THỊ THANH THỦY

HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

THANH HÓA, NĂM 2017

LÊ THỊ THANH THỦY

HÀM LỒI VÀ MỘT SỐ ỨNG DỤNG TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Chuyên ngành: Phương Pháp Toán Sơ Cấp

Mã số: 60.46.01.13

Người hướng dẫn khoa học:

TS Hoàng Văn Thi

THANH HÓA, NĂM 2017

ngày tháng 8 năm 2017 của Hiệu trưởng Trường Đại học Hồng Đức:

Học hàm, học

Chức danh tronghội đồng

PGS TS Cung Thế Anh Trường ĐHSP Hà Nội Phản biện 1

TS Nguyễn Hữu Hậu Trường ĐH Hồng Đức Phản biện 2

PGS TS Trần Đình Kế Trường ĐHSP Hà Nội Thư ký

Xác nhận của người hướng dẫn

Học viên đã chỉnh sửa theo ý kiến của hội đồng

Ngày tháng năm 2017

(ký ghi rõ họ tên)

TS Hoàng Văn Thi

Lê Thị Thanh Thủy

LỜI CẢM ƠN

Luận văn này được hoàn thành tại Khoa Tự Nhiên, Trường Đại học Hồng

Đức dưới sự hướng dẫn của Thầy TS Hoàng Văn Thi Tôi xin chân thành

bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới sự chỉ dạy của Thầy Tôi xin cảm ơn tất cảcác thầy cô đã giảng dạy tôi và cảm ơn tất cả bạn bè vì sự giúp đỡ chân tìnhcủa mọi người Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới phòng Sau đại học, TrườngĐại học Hồng Đức đã giúp đỡ về mặt thủ tục để hoàn thiện luận văn này.Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới ban giám hiệu trường THPT Nguyễn Hoàng

- Hà Trung đã tạo điều kiện tốt nhất cho tôi hoàn thành khóa học của mình

Thanh Hóa, tháng 8 năm 2017

Lê Thị Thanh Thủy

KÍ HIỆU TRONG LUẬN VĂN v

MỞ ĐẦU 1

Chương 1 : HÀM LỒI VÀ CÁC TÍNH CHẤT 3

1.1 Định nghĩa và ví dụ 3

1.1.1 Định nghĩa 3

1.1.2 Một số ví dụ 6

1.2 Tính chất cơ bản 10

1.2.1 Các tính chất 10

1.2.2 Các điều kiện đủ 15

1.3 Bất đẳng thức Jensen 24

Chương 2 : MỘT SỐ ỨNG DỤNG HÀM LỒI TRONG GIẢI TOÁN SƠ CẤP 2.1 Chứng minh các bất đẳng thức cổ điển 26

2.1.1 Bất đẳng thức Cauchy 26

2.1.2 Bất đẳng thức Bunhiacopxki 27

2.1.3 Bất đẳng thức Schwartz 28

2.1.4 Bất đẳng thức Holder 28

2.1.5 Bất đẳng thức Min-kop-xki 30

2.1.6 Mối liên hệ giữa trung bình cộng, trung bình nhân, trung bình toàn phương và trung bình điều hòa 31

2.2 Chứng minh bất đẳng thức đại số 32

2.3 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác 36

2.4 Chứng minh bất đẳng thức tích phân 41

2.5 Sử dụng hàm lồi tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số 44

2.6 Một số bài tập vận dụng 50

KẾT LUẬN 53

Tài liệu tham khảo 54

(a; b]: Nửa khoảng (a; b], hay tập hợp {x ∈ R|a < x ≤ b}

(a; b): Khoảng (a; b), hay tập hợp {x ∈ R|a < x < b}

X: Tập hợp con của tập R

epi( f ): Tập các điểm nằm phía trên đồ thị hàm số f trong mặt phẳng tọa độ.Dom( f ): Tập xác định của hàm số f

BĐT: Bất đẳng thức

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lí thuyết của các hàm lồi có vị trí quan trọng trong Toán học vì nó liên quanđến nhiều lĩnh vực của Toán học, như giải tích lồi, giải tích hàm, tối ưu, quyhoạch, và là đối tượng nghiên cứu của nhiều nhà Toán học Chúng tôi cũngđược biết hiện nay đã có nhiều luận án và luận văn bằng tiếng Việt về hàm lồi,nhưng các luận văn này hầu hết là thuộc chuyên ngành Toán ứng dụng, hay Toángiải tích

Trong chương trình Toán học ở bậc phổ thông, các em học sinh đã được làmquen với khái niệm "lồi" ngay từ cấp 2 khi học môn Hình học Hầu hết chươngtrình Hình học ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông đều giới hạntrong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, Trong đại số, tínhlồi, lõm của hàm số được giảng dạy trong các chương trình học về hàm số bậc

2 và dùng để khảo sát hàm số Hiện nay, các kiến thức về hàm lồi vẫn được dạycho các học sinh giỏi tham gia các đội tuyển quốc gia hay quốc tế Do đó, việcbồi dưỡng và nâng cao kiến thức về hàm lồi và ứng dụng của người dạy Toán

ở bậc Trung học phổ thông là cần thiết và bổ ích Đó là lí do tôi chọn đề tài:

"Hàm lồi và một số ứng dụng trong giải Toán sơ cấp."

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích của luận văn này là trình bày cơ sở lý thuyết của hàm lồi, nhữngvấn đề then chốt Chỉ ra một số hệ quả cũng như mở rộng, ứng dụng của hàmlồi và một số kỹ thuật thường sử dụng

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

Nghiên cứu tổng quan về cơ sở lý thuyết của hàm lồi; những vấn đề thenchốt của hàm lồi

Nghiên cứu phương pháp sử dụng bất đẳng thức của hàm lồi gồm một số kỹthuật thường sử dụng

4 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu lí thuyết: Dựa vào các giáo trình đã được học, các tài liệu liênquan đến hàm lồi Chú trọng phương pháp khái quát, đặc biệt, tương tự, tổng

minh đã được trình bày trong luận văn mang tính chia sẻ kinh nghiệm làm toán,hướng dẫn học sinh cũng như độc giả cách quan sát, suy luận, tìm tòi khi giảicác bài Toán, đem lại niềm đam mê, sáng tạo trong việc dạy và học Toán.

6 Bố cục luận văn

Ngoài các mục lời cảm ơn, lời cam đoan, bảng kí hiệu trong luận văn thì nộidung chính của luận văn gồm 2 chương

Chương 1 Trình bày cơ sở lí thuyết về hàm lồi

Chương 2 Trình bày một số ứng dụng của hàm lồi trong giải Toán sơ cấp

Chương 1 HÀM LỒI VÀ CÁC TÍNH CHẤT

Chương này đề cập đến vấn đề hàm lồi và hàm lõm, những tính chất cơ bảncủa chúng và bất đẳng thức Jensen Mục 1.1 trình bày định nghĩa của hàm lồi,hàm lõm và minh họa hình học Mục 1.2 là những tính chất cơ bản của hàm lồi,hàm lõm và các định lý về điều kiện đủ cho hàm số lồi hoặc lõm Mục 1.3 đềcập đến bất đẳng thức Jensen

Trong chương này, tập hợp X được hiểu là đoạn đóng [a, b] ⊂ R, khoảng nửa

mở nửa đóng (a, b] ⊂ R hay [a, b) ⊂ R, hoặc khoảng mở (a, b) ⊂ R

Định nghĩa 1.1.1 ([8]) Hàm số f xác định trên X và nhận giá trị thực được gọi

là lồi trên khoảng X ∈ R nếu với mọi x và y thuộc X, và t ∈ [0, 1], bất đẳng thức sau đúng

f(tx + (1 − t) y) ≤ t f (x) + (1 − t) f (y) (1.1)

Về mặt hình học, hàm số được gọi là lồi trên khoảng X nếu cát tuyến nối haiđiềm bất kỳ của đồ thị hàm số nằm phía trên của phần đồ thị giới hạn bởi haiđiểm mút của cát tuyến ấy

Thực vậy, ta biết rằng với hai điểm bất kỳ x và y ( giả sử x < y ) thuộc trụchoành Ox và với mọi t ∈ (0, 1) thì

tx+ (1 − t) y

Hình 1.1: Hàm lồi

là một điểm thuộc khoảng (x, y) trên trục hoành Nói cách khác, khi t thay đổi

và phủ kín khoảng (0, 1) thì

tx+ (1 − t) ythay đổi và phủ kín khoảng (x, y) ⊂ Ox Khi đó tập hợp các điểm sau trong mặtphẳng tọa độ

Cát tuyến AB của hàm lồi f nằm phía trên của cung đồ thị fAB

Bằng cách thay t bởi α và 1 −t bởi β , bất đẳng thức nói trên có thể được viếtdưới dạng khác như sau

f(αx + β y) ≤ α f (x) + β f (y) ,

Hình 1.2: Cát tuyến ở phía trên đồ thịvới mọi x, y ∈ X và với mọi α > 0, β > 0 thỏa mãn α + β = 1.

Tiếp theo, phát biểu định nghĩa cho hàm lõm

Định nghĩa 1.1.2 ([8]) Hàm số f xác định trên X và nhận giá trị thực được gọi

là lõm trên X nếu với mọi x và y thuộc X , và với mọi t ∈ [ 0, 1] bất đẳng thức sau

là đúng

f(tx + (1 − t) y) ≥ t f (x) + (1 − t) f (y) (1.2)Tương tự ý nghĩa hình học của hàm lồi, đồ thị của hàm lõm có đặc trưng sau:Cát tuyến AB của hàm lõm f nằm phía dưới của cung đồ thị fAB

Bằng cách thay t bởi α và 1 − t bởi β , bất đẳng thức nói trên có thể đượcviết dưới dạng khác như sau

f(αx + β y) ≥ α f (x) + β f (y) ,với mọi x, y ∈ X và với mọi α > 0, β > 0 thỏa mãn α + β = 1

Hàm số f được gọi là lồi chặt nếu

f(tx + (1 − t) y) < t f (x) + (1 − t) f (y)với mọi t ∈ (0, 1), và với mọi x 6= y

Nói cách khác, hàm số f được gọi là lồi chặt (hay lồi thực sự) trên X nếuđẳng thức xảy ra trong (1.1) khi và chỉ khi x = y

Tương tự, nếu hàm lõm f thỏa mãn điều kiện trên, và nếu đẳng thức xảy ra

Như vậy, hàm số − f lồi trên X

Vì vậy, ta chỉ cần phát biểu các tính chất và đặc trưng của hàm lồi Nhữngtính chất và đặc trưng của hàm lõm được suy ra trực tiếp từ hàm lồi

Ta đưa ra khái niệm tập lồi trong mặt phẳng, nhờ đó cũng có một minh họahình học khác cho hàm lồi

Định nghĩa 1.1.4 ([8])Tập hợp các điểm D ∈ R2 được gọi là lồi nếu hai điểm bất kỳ A, B ∈ D, đoạn thẳng nối hai điểm đó nằm trong D.

Ký hiệu: epi ( f ):=(x, µ) ∈ R2: x ∈ X , µ ≥ f (x)

Nói cách khác, epi ( f )gồm tất cả các điểm nằm phía trên đồ thị trong mặt phẳng tọa độ với các hoành độ thuộc X

Bây giờ ta có thể định nghĩa hàm lồi theo cách khác như dưới đây

Định nghĩa 1.1.5 ([8])Hàm số f được gọi là lồi trên X nếu epi( f ) là tập

lồi.(xem hình 1.3)

Ví dụ 1.1.6 Xét hàm số

f(x) = x2xác định trên R Khi đó f là hàm lồi trên R Thật vậy xét tam thức bậc hai

f(x) = [t (1 − t)] x2− 2 [t (1 − t) y] x + t (1 − t) y2,trong đó t ∈ (0, 1)và y ∈ R là tham biến Dễ dàng thấy rằng hệ số bậc hai củahàm bậc hai này là t (1 − t) > 0 và biệt thức của nó ∆, = 0

Từ đây ta suy ra f (x) ≥ 0 với mọi x ∈ R, hay

(tx + (1 − t) y)2≤ tx2+ (1 − t) y2,

x, y ∈ R và t ∈ (0, 1)

Vậy, hàm số f (x) = x2là lồi trên R Nhắc lại rằng, đồ thị hàm số

Hình 1.3: Hàm lồi nếu epi( f ) là tập lồi

y= x2 là parabol có đỉnh tại gốc tọa độ và nhận Oy làm trục đối xứng Chúng

ta thấy epi( f ) là tập lồi

Ta suy ra rằng, hàm f (x) = −x2 lõm trên R Hơn nữa, ta chứng minh rằnghàm số

f (x) =ax2lồi nếu a > 0 và lõm nếu a < 0 Thật vậy, ta có

f(αx + β y) = a(αx + β y)2,

α f (x) + β f (y) = α ax2+ β ay2

Từ đó suy ra rằng, bất đẳng thức sau đúng với mọi x, y

a(αx + β y)2≤ αax2+ β ay2khi và chỉ khi a > 0 Do vậy, bất đẳng thức sau đúng với mọi x, y

a(αx + β y)2≥ αax2+ β ay2khi và chỉ khi a < 0

Ví dụ 1.1.7 Xét hàm số

f(x) = ax2+ bx + cTương tự như ví dụ trên ta có thể chứng minh được rằng:

- Nếu a > 0, thì f lồi trên R (Xem Hình (1.4))

- Nếu a < 0, thì f lõm trên R (Xem Hình (1.5))

Chú ý rằng, tồn tại những hàm số lồi trên khoảng này nhưng laị lõm trênkhoảng khác, và tồn tại những hàm số không lồi mà cũng không lõm trên mọikhoảng thuộc R Ví dụ như hàm số sau:

f(αx + β y) ≥ α f (x) + β f (y)tương đương với các bất đẳng thức sau

Bất đẳng thức cuối này hiển nhiên đúng Vậy hàm số f (x) =√

x là lõm trên tậpxác định của nó

Ví dụ 1.1.12 Xét hàm số

f(x) = x3Tương tự ví dụ (1.1.7) ta chứng mình được rằng hàm số này lồi trên khoảng[0, +∞), và lõm trên khoảng (−∞, 0]

Sau đây là một ví dụ khác, ở đó hàm số có vô số khoảng lồi và vô số khoảnglõm

Ví dụ 1.1.13 Xét hàm số f (x) = s inx lồi trên các khoảng [(2k + 1) π, (2k + 2) π]

và lõm trên các khoảng [2kπ, (2k + 1) π], trong đó k ∈ Z

Tương tự, hàm số f (x) = cos x lồi trên các khoảng

Hình 1.7: Hàm lồi ở khoảng này và lõm ở khoảng khác

Định lý 1.2.1 ([1]) Tích của một hằng số dương với hàm lồi là hàm lồi Tích

của một hằng số âm với hàm lồi là hàm lõm.

Chứng minh. Giả sử f là hàm lồi trên [a, b] Khi đó

f(αx + β y) ≤ α f (x) + β f (y) ,với mọi x, y ∈ [a, b] và α > 0, β > 0 thỏa mãn

α + β = 1Nhân hai vế bất đẳng thức trên với c > 0 ta được

c f (αx + β y) ≤ cα f (x) + cβ f (y)

Từ đây ta suy ra hàm c f lồi trên [a, b] Tương tự, ta chứng minh được rằng nếu

c< 0 thì hàm c f lõm trên [a, b]

Dĩ nhiên, nếu f là hàm lồi thì g (x) = f (ax) cũng là hàm lồi với mọi hằng số

a6= 0

Thật vậy, ta có:

g(αx + β y) = f (αax + β ay) ≤ α f (ax) + β f (ay) = αg (x) + β g (y)

Định lý 1.2.2 ([1]) Tổng của hai hay nhiều hàm lồi là hàm lồi.

Chứng minh. Giả sử f và g là hàm lồi trên [a, b] Đặt

ϕ (x) = f (x) + g (x) ,với x ∈ [a, b] Ta sẽ chứng minh ϕ là hàm lồi trên [a, b] Từ định nghĩa của hàmlồi suy ra các bất đẳng thức sau:

f(αx + β y) ≤ α f (x) + β f (y) ;

g(αx + β y) ≤ αg (x) + β g (y) ;với mọi x, y ∈ [a, b] và α > 0, β > 0 thỏa mãn

α + β = 1Cộng các vế của bất đẳng thức trên ta thu được

f (αx + β y) + g (αx + β y) ≤ α [ f (x) + g (x)] + β [ f (y) + g (y)] ,

hay

ϕ (α x + β y) ≤ α ϕ (x) + β ϕ (y)Vậy, ϕ là hàm lồi trên [a, b]

Khẳng định rằng tổng của hữu hạn hàm lồi cũng là hàm lồi được suy ra từphép suy luận quy nạp

Ví dụ 1.2.3 ([1])Xét hàm số

f(x) = x +√

xĐây là tổng của hai hàm lõm f1(x) = x và f2(x) =√

x(xem ví dụ (1.1.9)) Suy

ra f là hàm lõm

Định lý 1.2.4 ([1])

1) Tổ hợp tuyến tính hữu hạn với các hệ số không âm của các hàm lồi là

một hàm lồi Nói cách khác, nếu fi(i = 1, 2, , n) là những hàm lồi, và nếu

ai(i = 1, 2, , n) là n số không âm, thì:

g= a1f1+ a2f2+ + anfn

là hàm lồi.

hàm số ta dùng ký hiệu Dom ( f ) là tập xác định của hàm số f cho trước.

Định lý sau đề cập đến các phép biến đổi a f ine, phép lấy minimum, phép lấy

maximum, phép lấy supremum (cực tiểu, cực đại, sup) liên quan đến hàm lồi

Định lý 1.2.5 ([1])

1) Nếu f là hàm lồi thì hàm g (x) = f (ax + b) cũng lồi Nói cách khác, tính

lồi của hàm số bất biến qua phép biến đổi a f ine.

2) Nếu f và g là các hàm lồi và nếu g là hàm không giảm thì h = g ( f ) là hàm

cũng lồi đối với g (x) > −∞.

5) Nếu f lồi thì hàm số g (x,t) = t f xt
có miền xác định {(x,t) |x/t ∈ Dom ( f ) ,t > 0}

là lồi trên Dom ( f ).

Chứng minh. 1) Theo giả thiết về tính lồi của hàm f ta có bất đẳng thức sau

f(αx + β y) ≤ α f (x) + β f (y)với mọi x, y ∈ [a, b] và α > 0, β > 0 thỏa mãn α + β = 1

Do ϕ là hàm đồng biến ta có

ϕ ( f (α x + β y)) ≤ ϕ (α f (x) + β f (y))Mặt khác, do ϕ là hàm lồi nên

ϕ (α f (x) + β f (y)) ≤ α ϕ f (x) + β ϕ g (y)

Từ hai bất đẳng thức cuối suy ra

ϕ ( f (α x + β y)) ≤ α ϕ ( f (x)) + β ϕ (g (y))Vậy hàm hợp ϕ ( f ) là lồi

2) Do hàm số f lõm ta có bất đẳng thức sau

f(αx + β y) ≥ α f (x) + β f (y)với mọi x, y ∈ [a, b] và α > 0, β > 0 thỏa mãn α + β = 1

Do ϕ là hàm nghịch biến ta có

ϕ ( f (α x + β y)) ≤ ϕ (α f (x) + β f (y))Mặt khác, do ϕ là hàm lồi nên

ϕ (α f (x) + β f (y)) ≤ α ϕ f (x) + β ϕ g (y)

Từ hai bất đẳng thức cuối suy ra

ϕ ( f (α x + β y)) ≤ α ϕ ( f (x)) + β ϕ (g (y))Vậy hàm hợp ϕ ( f ) là lồi

Sử dụng tính chất đã biết rằng nếu ϕ là hàm lồi thì −ϕ là hàm lõm và haiđiều vừa chứng minh trên ta dễ dàng chứng minh hai khẳng định còn lại

Định lý 1.2.7 ([1]) Giả sử y = f (x) là hàm số liên tục và đơn điệu (tăng hoặc

giảm) và x = g (y) là hàm số ngược của f (trong các khoảng tương ứng) Khi đó:

1) Hàm số f là lõm và đơn điệu tăng khi và chỉ khi hàm số g là lồi và đơn điệu

tăng.

f(x1) = y1, f (x2) = y2,Khi đó,

x1= g (y1) , x2= g (y2) ,

Vì f lõm nên

f(αx1+ β x2) ≥ α f (x1) + β f (x2)với mọi x1, x2∈ X và mọi α > 0, β > 0 thỏa mãn

Do đó, g là hàm lồi Vậy g là hàm lồi và đơn điệu tăng

Các khẳng định còn lại được chứng minh hoàn toàn tương tự

Sau đây là một số tính chất của hàm lồi chặt Giả sử f là hàm lồi chặt Khiđó:

1) Nếu tồn tại x0 ∈ X thỏa mãn f,(x0) = 0 thì x0 là điểm cực tiểu toàn cục(trên X) của f

2) Điểm cực tiểu địa phương của hàm lồi chặt cũng là cực tiểu toàn cục.3) Hàm f có nhiều nhất một cực tiểu toàn cục

R(x, y) đơn điệu không giảm theo biến y với mỗi x cố định).

Chứng minh. Xét x1, x2∈ X cố định Giả sử f là hàm lồi Ta có bất đẳng thứcsau

f(αx1+ (1 − α) x2) ≤ α f (x1) + (1 − α) f (x2) (1.4)với mọi α > 0 thỏa mãn α ∈ (0, 1)

Do ta chọn x1, x2 bất kỳ trong khoảng X , nên ta suy ra hàm số R (x, y) đơn

Mệnh đề 1.2.9 ([3])Giả sử f là hàm lồi trên khoảng (a, b) Khi đó:

1) f liên tục trên khoảng đó, và f liên tục Lipschitz trên mọi khoảng con đóngthuộc khoảng (a, b)

2) Hàm số f có đạo hàm một phía (đạo hàm trái và đạo hàm phải) tại mọi điểmthuộc khoảng này Hơn nữa, các hàm số đạo hàm một phía g (x) = f−0 (x)

và g (x) = f+0 (x) là đơn điệu không giảm trên X

3) Nếu tồn tại f0(x) tại mọi x ∈ (a, b) thì hàm số f0(x) là đơn điệu không giảmtrên (a, b)

Chứng minh. 1) Ta chỉ cần chứng minh hàm f thỏa mãn điều kiện Lipschitztrên mọi khoảng con đóng thuộc khoảng (a, b) Xét c, d ∈ R sao cho

a< c < d < bKhi đó: [c, d] ⊂ (a, b)

Ta sẽ chứng minh f thỏa mãn liên tục Lipschitz trên [c, d] Chọn hai số d1

và d2 sao cho

a< d1< c < d < d2< bCho bất kỳ x, y ∈ [c, d] với x 6= y Áp dụng Mệnh đề 1.2.8 cho hàm R (x, y)đơn điệu theo biến y trên khoảng (a, b) ( với x ∈ (c, d) cố định ) ta có

R(x, y) = f(x) − f (y)

x− y ≤

f(x) − f (d2)

x− d2 ,(chú ý rằng y < d2)

Vẫn theo mệnh đề vừa áp dụng, hàm R (x, y) đơn điệu theo biến y trênkhoảng (a, b) với x cố định ta có

R(x, y) = f(x) − f (d1)

x− d1 ≤

f (x) − f (y)

x− y ,

≤ max



f(c) − f (d1)

c− d1

,