H€Àm splines cốt yếu và toán tử giả nội suy

Lời cảm ơnTrước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới các thầy, các cô đã giảng dạy trong chương trình của lớp Cao họcK8 - Toán Giải tích

Lời cam đoan

Tôi xin cam đoan luận văn này không trùng lặp với các khóa luận, luận văn, luận án và các công trình nghiên cứu đã công bố.

Người cam đoan

Trần Văn Long

Lời cảm ơn

Trước khi trình bày nội dung chính của luận văn, tác giả xin bày tỏ lòng biết

ơn sâu sắc tới các thầy, các cô đã giảng dạy trong chương trình của lớp Cao họcK8 - Toán Giải tích tại trường Đại học Hồng Đức – Thanh Hoá, khoá học 2015– 2017, những người đã truyền đạt cho tôi những kiến thức hữu ích về chuyênngành Toán giải tích làm cơ sở cho tôi thực hiện tốt luận văn này Tác giả xinchân thành cảm ơn thầy GS.TSKH Đinh Dũng người thầy đã tận tình hướngdẫn, động viên và giúp đỡ tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn, mặc

dù hoàn cảnh xa xôi nhưng thầy rất tận tình và chu đáo thông qua các phươngtiện thông tin liên lạc để giúp tôi hoàn thành tốt luận văn của mình

Tác giả cũng xin bày tỏ lòng biết ơn tới các thầy, các cô làm công tác phảnbiện đã đọc kỹ bản luận văn và cho những ý kiến quý giá Tác giả cũng xin bày

tỏ lòng biết ơn chân thành tới toàn thể các thầy, các cô trong khoa Khoa học

Tự nhiên trường Đại học Hồng Đức đã tạo điều kiện giúp đỡ tận tình trong suốtquá trình tôi học tập tại khoa, tại trường

Nhân dịp này tôi cũng xin được gửi lời cảm ơn tới Ban Giám Hiệu TrườngTHPT Triệu Sơn 1 cùng tập thể cán bộ giáo viên và công nhân viên nhà trường

đã liên tục động viên, giúp đỡ và tạo mọi điều kiện để tôi tham gia và hoànthành tốt khoá học

Cuối cùng tác giả xin được gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đồng nghiệp

đã luôn cổ vũ, động viên và giúp đỡ tôi trong suốt quá trình học tập và hoànthành luận văn tốt nghiệp

Thanh Hóa, tháng 8 năm 2017

Tác giả

Trần Văn Long

Mục lục

Mở đầu 1

Chương 1 Không gian hàm spline cốt yếu 3

1.1 Định nghĩa hàm spline cốt yếu 3

1.2 B - spline và các tính chất cơ bản 8

Chương 2 Quan hệ hai thang bậc và tính toán hàm spline cốt yếu 14

2.1 Quan hệ hai thang bậc 14

2.2 Biểu diễn B - lưới và tính toán hàm spline cốt yếu 18

Chương 3 Toán tử giả nội suy 25

3.1 Toán tử giả nội suy và tính chất 25

3.2 Xấp xỉ bằng toán tử giả nội suy 30

3.3 Công thức nội suy bằng hàm spline 35

Kết luận 40

Tài liệu tham khảo 41

Mở đầu

1 Tính cấp thiết của đề tài

Cùng với đa thức đại số và đa thức lượng giác, hàm spline là một công cụxấp xỉ hữu hiệu trong cả lý thuyết lẫn ứng dụng

Trong các hàm spline, hàm spline cốt yếu đóng vai trò đặc biệt quan trọngtrong lý thuyết xấp xỉ Vì vậy nghiên cứu các tính chất xấp xỉ của hàm spline cốtyếu là đề tài cần thiết và mang tính chất thời sự Toán tử giả nội suy được xâydựng trên cơ sở hàm spline cốt yếu là một trong những công cụ cơ bản trongcác bài toán khôi phục hàm số từ giá trị lấy mẫu Vì thế việc nghiên cứu toán

tử giả nội suy và tính chất xấp xỉ của toán tử này sẽ giúp hiểu rõ hơn ứng dụngcủa hàm spline cốt yếu

2 Mục đích đề tài

Mục đích của đề tài là nghiên cứu các tính chất của hàm spline cốt yếu,trong đó có B – spline, toán tử giả nội suy cùng với các tính chất của nó và xấp

xỉ bằng toán tử giả nội suy

3 Phương pháp nghiên cứu

Nghiên cứu các tài liệu chuyên khảo về hàm spline cốt yếu, tổng hợp các kếtquả và chứng minh Sau đó trình bày một cách có hệ thống các kiến thức thànhmột tài liệu khảo cứu về hàm spline cốt yếu và toán tử giả nội suy

4 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Luận văn là một tài liệu tham khảo bổ ích cho học viên cao học toán giảitích, đặc biệt những người bắt đầu tiếp cận lý thuyết xấp xỉ thông qua việcnghiên cứu tính chất của spline và toán tử giả nội suy

5 Nội dung nghiên cứu

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương:

Chương 1: Không gian hàm spline cốt yếu

1.1 Định nghĩa hàm spline cốt yếu

1.2 B – spline và các tính chất cơ bản

Chương 2: Quan hệ hai thang bậc và tính toán hàm spline cốt yếu

2.1 Quan hệ hai thang bậc

2.2 Biểu diễn B – lưới và tính toán hàm spline cốt yếu

Chương 3: Toán tử giả nội suy

3.1 Toán tử giả nội suy và tính chất

3.2 Xấp xỉ bằng toán tử giả nội suy

3.3 Công thức nội suy bằng hàm spline

Chương 1

Không gian hàm spline cốt yếu

1.1 Định nghĩa hàm spline cốt yếu

Khi nói đến hàm "spline cốt yếu", có nghĩa là chúng ta đề cập đến "các hàm

spline đa thức cùng với các nút cách đều" Để dễ hiểu hơn đầu tiên chúng ta xéttập hợp Z− tập hợp các số nguyên như một dãy nút

Ký hiệu Πnlà tập tất cả các đa thức đại số có bậc cao nhất là n và Cn= Cn(R)

là tập hợp tất cả các hàm f sao cho f , f0, f00, f(n) là liên tục trên R, quy ước

C= C0 là không gian các hàm liên tục và C−1 là không gian các hàm liên tụctừng khúc (liên tục trên các khoảng (xj, xj+1))

Định nghĩa 1.1.1 [1] Với mỗi số nguyên dương m, không gian Sm của các hàmspline cốt yếu bậc m cùng với dãy nút nguyên Z là tập tất cả các hàm f ∈ Cm−2sao cho thu hẹp của f trên các nửa khoảng [k, k + 1), k ∈ Z là các đa thức đại

số bậc cao nhất là m − 1, tức là

f

Từ định nghĩa ta có:

S1 là không gian các hàm bậc thang với cơ sở là {N1(x − k) : k ∈ Z} trong đó

N1 là hàm đặc trưng của nửa khoảng [0, 1)

Để đưa ra được một cơ sở cho Sm, m ≥ 2, chúng ta xét không gian Sm,N baogồm các hạn chế trên đoạn [−N, N] của các hàm f ∈ Sm, trong đó N là một sốnguyên dương Mặt khác chúng ta có thể xét Sm,N như không gian con của cáchàm f ∈ Sm sao cho các hạn chế

f

[N−1,∞)

của f là đa thức trong Πm−1 Không gian con này là dễ đặc trưng Thật vậy, vớimột hàm f tùy ý thuộc Sm,N, đặt pm, j:= f

Nbm(2x + 2πk)

1(2m − 1)!

d2m−1

dx2m−1cot x (1.27)

Nbm(2x + 2πk)

2

= − sin2mx(2m − 1)!

Nb1(ω + 2πk)

Nb2(ω + 2πk)