xác định các thông số của xe chạy trên cầu từ tập số liệu đo dao động

Willis vàStoke từ 1849 đã nghiên cứu lời giải cho trường hợp tải là một chất điểm cókhối lượng di chuyển với tốc độ đều trên một dầm đơn không khối lượng.Dựa trên cơ sở các kết quả nghiê

MỞ ĐẦU

1 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn của đề tài

Cầu có vị trí quan trọng hàng đầu trong cơ sở hạ tầng vận tải của chúng

ta Tuổi thọ của cầu càng cao thì việc vận hành và bảo dưỡng cầu càng trở nênphức tạp Tầm quan trọng của việc giám sát quá trình làm việc của kết cấucầu ngày càng quan trọng trong thời gian gần đây Để duy trì và nâng cao chấtlượng, hiệu quả của quá trình khai thác, cần phải nắm vững quá trình làm việccủa kết cấu để bảo đảm độ bền và thời gian làm việc lâu dài

Từ quan điểm về liên kết động giữa phương tiện giao thông và kết cấucầu, sự dao động của một cây cầu phần lớn liên quan đến sự chuyển động củaphương tiện giao thông di chuyển trên nó Điều này được kiểm chứng rõ ràngthông qua các kết quả phân tích về động lực học cầu dưới tải trọng của cácphương tiện giao thông đang di chuyển Tất cả các phân tích động lực học đốivới cầu dưới sự di chuyển của các phương tiện giao thông đều được dựa trêngiả thiết rằng đã biết chính xác các thông số kỹ thuật của phương tiện giaothông Tuy nhiên, đối với việc vận hành thông thường và hoạt động giám sát

độ bền kết cấu đối với những cây cầu hiện vẫn đang được sử dụng, thì việccho rằng tất cả các thông số kỹ thuật chính xác của các phương tiện giaothông đã được biết trước là điều không thực tế Bởi thế cho nên việc xác địnhcác thông số kỹ thuật của phương tiện giao thông là một khâu rất quan trọngtrong quá trình nghiên cứu những biểu hiện động của các cây cầu hiện đang

sử dụng

Để đảm bảo an toàn cho kết cấu cầu, tải trọng xe lưu thông trên cầu đượcquy định rõ ràng Tuy nhiên, trong thực tế việc các xe có tải trọng vượt quáquy định đi qua cầu vẫn thường xuyên xảy ra và gây mất an toàn cho côngtrình Hiện nay, để hạn chế hiện tượng này, thường sử dụng phương pháp cân

xe Tuy nhiên, biện pháp này rất tốn kém do phải lắp đặt quá nhiều trạm cân

và không hiệu quả do mất nhiều thời gian, có thể gây ùn tắc cục bộ

Ngày nay, với sự phát triển của công nghệ xây dựng cầu, công nghệ đolường và công nghệ tin học, trạng thái làm việc của cầu được giám sát liên tụcbằng hệ thống cảm biến đặt trên cầu Từ các số liệu thu nhận được từ hệ thốngcảm biến giám sát, hàng loạt các thông số trạng thái làm việc của cầu đượccập nhật liên tục, giúp đánh giá khả năng làm việc của cầu và dự báo các hưhỏng có thể xuất hiện.

Sử dụng các số liệu từ kết quả đo giám sát hoạt động của cầu để xác địnhtải trọng xe lưu thông trên cầu là vấn đề có ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Để xác định được các tham số của xe di chuyển trên cầu đòi hỏi phảihiểu về tương tác động lực học của hệ cầu-xe và công tác giám sát trạng tháilàm việc của cầu

2 Tính toán tương tác động lực học của hệ cầu-xe

Tương tác động lực học của hệ kết cấu cầu và xe di chuyển trên cầu (gọitắt là hệ cầu – xe) là bài toán phức tạp Trong một số trường hợp, để đơn giản

và thuận tiện cho tính toán, hiệu ứng quán tính do tải trọng động của xe đượctính toán thông qua hệ số động so với tải trọng tĩnh, thường sử dụng tỷ sốgiữa phản ứng động với phản ứng tĩnh của kết cấu cầu

Trong trường hợp xe di chuyển với tốc độ tương đối nhỏ thì có thể tínhtoán tương tự như trong trường hợp hàng loạt tải tĩnh đặt ở các vị trí liên tiếpnhau

Khi xe di chuyển với tốc độ cao, kết cấu cầu sẽ dao động và có chứathành phần có tần số cao Các yếu tố ảnh hưởng đến phản ứng động của kếtcấu cầu bao gồm:

• Các thông số hình học, vật liệu, đặc trưng tiết diện, quán tính, cản củabản thân kết cấu cầu

• Các đặc tính của hệ di động: khối lượng, hệ thống treo, số lượng vàkhoảng cách các trục bánh xe

• Các thông số của hệ di động, sự di chuyển của tải: tốc độ, đều hoặckhông đều (nhanh dần hoặc chậm dần, phanh )

• Điều kiện tiếp xúc giữa tải và kết cấu: phẳng hoặc gồ ghề (ngẫunhiên), tiếp xúc liên tục hoặc không liên tục.

• Điều kiện ban đầu khi bắt đầu tiếp xúc với kết cấu

Các nghiên cứu mới đây chủ yếu khai thác khả năng của các công cụtính toán thường tập trung ở các hướng sau:

• Phân tích đầy đủ và sát thực tế hơn trạng thái dao động của cầu dướitác động của tải trọng di động

• Xây dựng các mô hình tải trọng di động sát thực tế hơn

2.1 Các kết quả nghiên cứu trên thế giới

Lý thuyết và thực nghiệm về phản ứng động của kết cấu chịu tác dụngcủa tải trọng di động đã được bắt đầu từ cách đây hơn 100 năm Willis vàStoke từ 1849 đã nghiên cứu lời giải cho trường hợp tải là một chất điểm cókhối lượng di chuyển với tốc độ đều trên một dầm đơn không khối lượng.Dựa trên cơ sở các kết quả nghiên cứu sơ bộ trước đây cùng với sự pháttriển của khoa học và phương pháp số trên máy tính, việc nghiên cứu bài toántải trọng di động đã có những bước tiến dài Các kết quả nghiên cứu gần đâycho các dạng kết cấu chịu tải trọng di động có thể tổng hợp và phân loại nhưsau

• Ảnh hưởng do sự mấp mô bề mặt cầu: Theo hướng này các tác giả đã

nghiên cứu xây dựng mô hình tương tác của xe và cầu với các kích động ngẫunhiên xuất hiện do sự mấp mô của bề mặt cầu Tính ngẫu nhiên của sự mấp

mô bề mặt cầu được các tác giả mô tả bằng các hàm mật độ phổ

• Ảnh hưởng của hệ thống treo: Nhiều nghiên cứu lý thuyết và thực

nghiệm đã được tiến hành tập trung vào ảnh hưởng của hệ thống treo đếncác phản ứng của cầu trong mô hình tương tác hai chiều

• Ảnh hưởng khi phanh xe trên cầu: Nghiên cứu phản ứng động của

cầu một nhịp và cầu nhiều nhịp dạng dầm liên tục dưới tác động phanh độtngột của xe với hệ thống treo gồm lò xo và phần tử cản

• Ảnh hưởng của dao động ban đầu của xe: Nhiều kết quả nghiên cứu

đã đưa ra kết luận rằng dao động ban đầu của xe có ảnh hưởng lớn nhất đếnbiến dạng cực đại Tư thế nằm ngang của xe và trọng lượng của nó có ảnh

hưởng chính, còn độ mềm của dầm cầu, tốc độ chuyển động của xe và độ dàycủa mặt sàn cầu có tác động phụ

• Ảnh hưởng của kiểu cấu trúc và phương pháp mô hình hoá: Các

tác giả đã nghiên cứu ảnh hưởng của hình dạng cầu đến dao động của cầukhi chịu tải trọng di động Các tác giả cũng nghiên cứu các phương pháp môhình hoá khác nhau cho kết cấu cầu như dầm đồng nhất, kết cấu thành mỏng,v.v…

• Cộng hưởng và chống lại cộng hưởng Nhiều nghiên cứu đi theo

hướng này với các biện pháp giảm dao động cho cầu bằng các cơ cấu giảmchấn

• Cầu đường sắt: Các tác giả đã xây dựng mô hình cho đường sắt trên

nền đàn hồi, nền được mô tả bằng các gối đỡ liên tiếp có phần tử đàn hồi vàphần tử cản nhớt, Khối lượng di chuyển đều với giả thiết điểm tiếp xúc khôngtách khỏi đường ray

2.2 Một số kết quả nghiên cứu ở trong nước

Từ những năm 80 trở lại đây, các nhà khoa học Việt nam cũng đã chú ýđến lĩnh vực nghiên cứu tải trọng di động Trong đó có thể kể đến các côngtrình nghiên cứu của GS Nguyễn Văn Khang và các cộng sự (ĐHBK Hà Nội).Trong đó, các tác giả chủ yếu sử dụng phương pháp giải tích để lập và giảicác hệ phương trình vi phân mô tả kết cấu có dạng dầm liên tục, các kết cấu

có dạng hệ thanh phức tạp hơn được đề cập nhiều

Trong công trình của TS Hoàng Hà và nhóm đề tài (2002) cũng tương tựnhư vậy, mô hình được đưa ra để mô tả cầu dây văng là một dầm liên tục gốicứng 2 đầu, tại các điểm liên kết với dây văng được thay bằng các gôi tựa đànhồi Mô hình tải trọng di động là một khối lượng liên kết với dầm thông quamột lò xo tuyến tính và một phần tử cản tỷ lệ bậc nhất với tốc độ Số lượng tảitham gia vào hệ thống có thể nhiều hơn một (nhiều xe chuyển động với vậntốc khác nhau, nhưng đảm bảo điều kiện không va đập vào nhau) Lực kíchđộng gây ra dao động ngoài chuyển động của tải trọng còn có thành phân lựckích động điều hoà tác động lên tải di động Tác giả sử dụng nguyên lý

D‘Alambe để xây dựng phương trình vi phân chuyển động cho tải di động và

cho dầm Hệ phương trình vi phân nhận được sẽ bao gồm n phương trình vi phân thường (n là số lượng tải trọng di động) và một phương trình vi phân

đạo hàm riêng Hệ phương trình vi phân hỗn hợp trên sẽ được đưa về hệphương trình vi phân thường và giải bằng phương pháp Runge-Kutta

Trong công trình của TS Đỗ Xuân Thọ (1996), vật thể đi động là vật rắnliên kết với dầm thông qua phần tử đàn hồi và phần tử cản Đối với dầm tácgiả có đưa ra 2 mô hình, mô hình thứ nhất cũng gồm một dầm liên tục tựa trêncác gối đỡ đàn hồi tuyến tính, mô hình thứ 2 tựa trên các gối đỡ phi tuyếndạng Duffing Tác giả tách cấu trúc trên thành các cấu trúc con trong đó gồmtải trọng di động và một dầm đơn, các gối tựa trung gian được thay bằng cácphản lực liên kết, sau đó tiến hành lập phương trình vi phân mô tả dao độngcủa hệ Hệ bao gồm các phương trình vi phân thường và phương trình vi phânđạo hàm riêng Tác giả sử dụng phương pháp Ritz để đưa hỗn hợp nói trên về

hệ các phương trình vi phân thường và giải bằng phương pháp Runge- Kutta.Trong công trình của TS Tạ Hữu Vinh (2005), tác giả đã sử dụngphương pháp phần tử hữu hạn để nghiên cứu dao động của hệ khung chịu tácdụng của tải trọng di động Trong công trình này, tác giả đã thiết lập phươngtrình vi phân mô tả dao động của phần tử hữu hạn thanh không gian chịu tácdụng của một tải trọng di động đối với các trường hợp giữa tải trọng di động

và dầm có và không có liên kết đàn hồi hoặc cản nhớt

2.3 Giới thiệu các mô hình tính toán cầu chịu tác dụng của tải trọng

di động

Tải trọng di động được được xét ở đây có thể là một trong ba dạng sau:

• Lực có điểm đặt di chuyển trên kết cấu với vận tốc v

• Vật mang khối lượng cùng với lực tác dụng vào nó di chuyển trên kết

cấu với vận tốc v

• Hệ dao động di chuyển trên kết cấu với vận tốc v, giữa hệ di động và

kết cấu có các liên kết đàn hồi và cản nhớt

Việc phân loại các mô hình kết cấu chịu tải trọng di động chủ yếu phụthuộc vào các yếu tố sau: khối lượng kết cấu, khối lượng tải trọng di động,điều kiện liên kết giữa kết cấu và tải trọng di động.

Mô hình 1

Khối lượng của kết cấu và tải trọng bị bỏ qua, hệ hoàn toàn không daođộng, đây là mô hình tính toán tĩnh với tải trọng có vị trí thay đổi

vc k

P

P

m

vm

P

Hình 0-1 Mô hình 1

Phương pháp "đường ảnh hưởng" được sử dụng để tính toán mô hìnhnày đã được trình bày trong các giáo trình Cơ học kết cấu Một số phần mềmphổ biến hiện nay như SAP-2000 có khả năng tính theo phương pháp này đốivới hầu hết các dạng kết cấu

Mô hình 2

Mô hình này kể đến khối lượng của tải trọng và bỏ qua khối lượng củakết cấu tức là đã xét dao động của kết cấu

vc k

P

P

m

vm

P

Hình 0-2 Mô hình 2

Phương trình vi phân dao động của hệ có dạng:

2 2

m – khối lượng của tải trọng di động,

w – chuyển vị của tải trọng di động theo phương thẳng đứng

Số hạng thứ hai trong biểu thức trên là lực quán tính của khối lượng củatải trọng trên chuyển động theo phương thẳng đứng của dầm.

Ý nghĩa thực tiễn của bài toán dao động dựa trên cơ sở mô hình nàykhông lớn vì khối lượng của kết cấu thường không thể bỏ qua

Mô hình 3

Mô hình này kể đến khối lượng của kết cấu, dầm được xem là có khốilượng phân bố

vc k

P

P

m

vm

w – chuyển vị của tải trọng di động theo phương thẳng đứng.

Từ các kết quả nghiên cứu của F Willis, S.A.Iliaxevic, A.N.Krưlov cóthể thấy hệ số động lực (tỷ số giữa các giá trị độ võng, mô men, … khi tínhtoán động kết cấu với các giá trị tương ứng khi giải bài toán tĩnh) phụ thuộcvào các yếu tố:

• Vị trí của tải trọng;

• Vị trí tiết diện khảo sát;

• Đại lượng nghiên cứu;

• Tính chất tác động và tốc độ di động của tải trọng;

Các mô hình 1, 2 và 3 được sử dụng khi điểm đặt của tải trọng di độngkhông tách rời kết cấu theo phương thẳng đứng, chủ yếu xét đến dao động củaphần kết cấu mà không quan tâm đến dao động của phần tải trọng di động

Mô hình 4

Mô hình này kể đến khối lượng của kết cấu và tải trọng, tương tác giữa

hệ dao động (gồm khối lượng tập trung, lò xo đàn hồi, cản nhớt) di động trênkết cấu (có khối lượng)

v c k

v

v

(1) (2)

(4) (3)

P

P

m

vm P

Hình 0-4 Mô hình 3

Tuỳ theo cấu trúc của hệ dao động bên trên mà có thể mô hình hoá nóthành các hệ một hay nhiều bậc tự do Tác dụng của hệ di động đối với kếtcấu được truyền qua các lò xo đàn hồi và cản, và chính những lực này lại gâydao động cho hệ di động Phương trình vi phân mô tả hệ như vậy có hệ số phụthuộc thời gian

Đây là mô hình phức tạp hơn cả, gần sát thực tế và phân tích đầy đủ cáchiệu ứng quán tính của hệ Đã có nhiều lời giải cho bài toán này nhưng chođến năm 1930 Meizel mới đưa ra lời giải đủ sức thuyết phục

Kể từ đó đến nay đã có hàng loạt công trình được công bố Cách đặt vấn

đề, xây dựng mô hình bài toán và cách giải quyết vấn đề của các công trìnhngày gấn sát với thực tế, song cũng đòi hỏi một khối lượng tính toán lớn vàcần có công cụ tính đủ mạnh

Trong luận văn này sẽ sử dụng mô hình 4 và phương pháp phần tử hữuhạn để tính toán tương tác động lực học của hệ cầu – xe

3 Công tác giám sát trạng thái làm việc của cầu

Tầm quan trọng của việc giám sát trạng thái làm việc của kết cấu ngàycàng được quan tâm trong thời gian gần đây Để duy trì và nâng cao chấtlượng, hiệu quả của quá trình khai thác công trình, cần phải nắm rõ trạng tháilàm việc của kết cấu trong suốt quá trình khai thác sử dụng để bảo đảm độbền và thời gian làm việc lâu dài

Điều quan trọng đối với hệ thống giám sát trạng thái làm việc của kếtcấu là dữ liệu chất lượng cao kết hợp với những mô hình nhận dạng thực Kếtquả của công tác giám sát có thể là chỉ số tin cậy, một mức an toàn, một hìnhảnh đồ họa, v.v Do tính phức tạp của vấn đề, công tác giám sát trạng tháilàm việc của kết cấu cũng có những giới hạn, các giới hạn này có thể thu hẹplại khi kết hợp với phương pháp chẩn đoán kỹ thuật không phá hủy Khi hệthống giám sát trạng thái làm việc của kết cấu được vi tính hóa sẽ tốt hơn kinhnghiệm của một kỹ sư cầu đường nhiều kinh nghiệm Hệ thống giám sát trạngthái làm việc của kết cấu được xem là công cụ và hỗ trợ cho các kỹ sư cầuđường cũng như là chỉ số cho các đơn vị khai thác cầu khi xẩy ra trường hợpkhẩn cấp và cần gọi chuyên gia đến giải quyết.

Toàn bộ các dữ liệu liên quan thường được lưu giữ trong cơ sở dữ liệu,

có thể được sử dụng cho các mục tiêu khác chẳng hạn như nguồn thông tindành cho công tác bảo dưỡng

Sử dụng hệ thống giám sát khả năng làm việc của kết cấu và kỹ thuậtkiểm tra không phá hủy để đánh giá chất lượng cầu, như một biện pháp thaythế cho phương pháp khảo sát trực quan trước đây là yêu cầu ngày càng cấpbách

Tại Mỹ, và Châu Âu, các hệ thống giám sát khả năng làm việc của kếtcấu đã được úng dụng rộng rãi

Tại Việt Nam, những cây cầu hiện đại được xây dựng trong thời giangần đây cũng được lắp đặt hệ thống giám sát khả năng làm việc của kết cấutheo tiêu chuẩn quốc tế

4 Bài toán nhận dạng

Lí thuyết nhận dạng hệ thống (System Identification) nhằm thiết lập lại

mô hình thực của một hệ thống dựa vào phản ứng của hệ dưới một nhóm cáctác động nào đó Ban đầu lí thuyết nhận dạng hệ thống được sử dụng để giảicác bài toán nhận dạng của lí thuyết điều khiển, mô phỏng Hiện nay lý thuyếtnày còn được áp dụng cho nhiều bài toán khác trong đó có bài toán thiết lập

mô hình thực trạng công trình Trong khoa học kỹ thuật hay trong các lĩnhvực của đời sống kinh tế xã hội, sự hoạt động của bất cứ đối tượng cụ thể nàocũng có thể mô hình hoá dưới dạng:

=

Ax d (a)

Trong đó:

d - ký hiệu các thông số đầu vào,

A - ký hiệu mô tả cấu trúc, đặc tính của đối tượng,

x - ký hiệu các thông số đầu ra.

Khi đó bài toán thuận được hiểu là cần phải xác định đầu ra x nếu đã biết được đầu vào d và mô hình hoá A của đối tượng Ngược lại, bài toán xác định

mô hình hoá A khi biết đầu vào d và đầu ra x của đối tượng là bài toán ngược

hoặc bài toán nhận dạng hệ thống (hay là bài toán chẩn đoán) Trong trường

hợp bài toán nhận dạng hệ cơ học công trình thì A là các đặc trưng hình học, khối lượng, độ cứng kết cấu và môi trường, còn d có thể là tải trọng, x là biến

trạng thái như chuyển vị, biến dạng, v.v của kết cấu

Phương pháp nhận dạng là phương pháp thiết lập lại mô hình thực trạngcủa kết cấu dựa vào sự đồng nhất các trạng thái của hệ xuất hiện dưới một tácđộng nào đó nhận được bằng đo đạc thực nghiệm và bằng tính toán trên môhình nhận dạng của hệ Việc đồng nhất này dẫn đến giải bài toán cực tiểu hoámột hàm mục tiêu phi tuyến có dạng:

G i (x) i= m e +1,…,m – các hàm ràng buộc bất đẳng thức đối với các thông số tối ưu x.

  – khoảng xác định của các tham số tối ưu x i (i=1,2, ,n).

Hiện nay, tồn tại nhiều phương pháp giải bài toán trên, nhưng phươngpháp tổng quát và chính xác nhất là phương pháp quy hoạch phi tuyến

Theo [13,14] hàm mục tiêu thường chọn là bình phương của sai số giữamột trạng thái cơ học của hệ khi thử tải tại hiện trường và qua phân tích tínhtoán

5 Mục tiêu của đề tài và các kết quả cần đạt được

Mục tiêu của đề tài là nghiên cứu phương pháp xác định các thông số(đặc biệt là trọng lượng) của xe di chuyển trên cầu từ các số liệu đo (giám sát)dao động của cầu kết hợp với phương pháp tính toán dao động của cầu khi có

xe di chuyển trên cầu

Nội dung luận án bao gồm phần mở đầu, phần nội dung gồm ba chương

và phần kết luận Cuối luận án trình bầy các kết luận và kiến nghị về hướngnghiên cứu tiếp theo, danh mục các công trình đã công bố, tài liệu tham khảo

và phụ lục chương trình tính

Trong phần mở đầu nêu lên tính thực tiễn và nhu cầu cấp thiết của đề tàinghiên cứu, trình bày tổng quan các kết quả nghiên cứu đối với các hệ daođộng chịu tác dụng của tải trọng di động của các tác giả trên thế giới và ở ViệtNam, các mô hình tính toán cầu chịu tác dụng của tải trọng di động Trongchương này cũng trình bày mục tiêu nghiên cứu của luận án

Chương 1 trình bày các cơ sở của phương pháp phần tử hữu hạn và thiếtlập phương trình dao động cho bài toán hệ dầm liên tục

Chương 2 thiết lập phương trình dao động của phần tử dầm có xét đến sựtương tác giữa đoàn xe và phần tử dầm bằng phương pháp phần tử hữu hạn.Trên cơ sở đó, xây dựng phương trình dao động cho toàn hệ cầu dầm liên lụcchịu tác dụng của đoàn tải trọng (xe) di động Trong chương này cũng xây

dựng thuật toán và lập chương trình tính dao động của kết cấu cầu dầm liêntục chịu tác dụng của đoàn tải trọng di động.

Chương 3 sử dụng chương trình đã thiết lập để khảo sát ảnh hưởng củađoàn xe đến dao động của cầu Dakrong Các yếu tố được xem xét gồm ảnhhưởng của tốc độ đoàn xe, giãn cách xe trong đoàn, v.v

Phần kết luận trình bày các kết quả đạt được trong luận án, các kết luậnchính của luận án và xác định các hướng phát triển tiếp theo cho luận án

Chương 1 TƯƠNG TÁC ĐỘNG LỰC HỌC CỦA HỆ CẦU - XE

Chương 11.1 Mô hình hoá và các giả thiết

Có nhiều dạng kết cấu nhịp cầu khác nhau như dàn, dầm đơn giản, dầmliên tục, … Trong luận văn này giới hạn nghiên cứu với dạng kết cấu nhịpthường gặp là dạng dầm đơn giản hoặc liên tục qua các gối tựa Các gối này làgối cứng trong trường hợp trụ, mố cầu hoặc được xem là gối đàn hồi trongtrường hợp dây treo

Để xây dựng phương trình dao động của cầu theo phương pháp phần tửhữu hạn, mô hình hoá kết cấu nhịp thành các phần tử dầm liên kết với nhau.Mỗi phần tử dầm có thể có chiều dài, đặc trưng tiết diện khác nhau

Mỗi xe chạy trên cầu được mô hình hoá như hệ một bậc tự do gồm mộtkhối lượng di động và liên kết với phần tử dầm bằng lò xo đàn hồi và cảnnhớt tuyến tính

Mô hình bài toán được xây dựng với các giả thiết sau:

• Các hệ số đàn hồi của gối đàn hồi được coi như đã biết

• Vật liệu kết cấu là đàn hồi tuyến tính

• Chuyển vị của kết cấu cầu là bé, dao động của xe là bé, chỉ xét đếndao động thẳng đứng của thân xe và các bánh xe không tách rời khỏi bề mặtcầu khi di chuyển

• Xe chuyển động trên các phần tử dầm theo phương ngang với vận tốc

v không đổi.

• Dọc theo cầu, các đặc trưng tiết diện có thể thay đổi

• Các điều kiện biên liên kết của cầu (gối, ngàm) có thể là các liên kếtcứng hoặc đàn hồi

1.2 Cơ sở phương pháp phần tử hữu hạn giải bài toán dao động của dầm liên tục

1.2.1 Nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần

Xét một hệ kết cấu ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các ngoạilực Giả sử trong hệ xuất hiện các chuyển vị vô cùng bé (được gọi là chuyển

vị khả dĩ) phù hợp với điều kiện liên kết của hệ Khi đó, ứng với các chuyển

vị khả dĩ này trong hệ xuất hiện các biến dạng và được gọi là biến dạng khả

dĩ Công do ngoại lực sinh ra trên các chuyển vị khả dĩ được gọi là công khả

dĩ và công do nội lực sinh ra trên các biến dạng khả dĩ gọi là năng lượng biến

dạng khả dĩ Nguyên lý chuyển vị khả dĩ được phát biểu như sau: Nếu một kết cấu đàn hồi ở trạng thái cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực và sau đó chịu một chuyển vị khả dĩ bất kỳ thì công khả dĩ δ1W của hệ phải bằng năng lượng biến dạng khả dĩ δ1A của hệ:

1W 1A

δ =δ

Trong đó, δ1 là số hạng thứ nhất của biến phân đối với đại lượng khảosát

Tiếp tục, xét một hệ kết cấu cân bằng dưới tác dụng của các ngoại lực P i

và chịu các chuyển vị khả dĩ δq i, thì độ biến thiên thế năng δ1A e của cácngoại lực chính là công khả dĩ của các ngoại lực đó với dấu ngược lại:

i i i

Trong đó, δ1V là độ biến thiên của thế năng toàn phần của hệ (gồm thế

năng của ngoại lực A e và năng lượng biến dạng A của hệ) Vì rằng theo biểu

thức này δ1W =0 cho nên thế năng toàn phần V ở trạng thái dừng, nghĩa là

lúc này nguyên lý chuyển vị khả dĩ trở thành nguyên lý giá trị dừng của thếnăng toàn phần đối với hệ bảo toàn

Hệ thức tương đương với điều kiện sau đây về mặt toán học:

Để ý rằng các chuyển vị khả dĩ δq i độc lập với nhau nên từ điều kiện

Hệ thức này biểu thị các điều kiện cân bằng tại các toạ độ i=1,2, ,n.

1.2.2 Hàm nội suy của phần tử hữu hạn dầm chịu uốn

Trong phương pháp phần tử hữu hạn, kết cấu dạng hệ dầm liên tục đượcrời rạc bằng các phần tử dầm chịu uốn thuần túy Trên mỗi phần tử này gắn

một hệ toạ độ địa phương xy (Hình 1 -5).

Hình 1-5 Phần tử dầm chịu uốn thuần tuý

Khảo sát một phần tử dầm chịu uốn thuần túy Vào thời điểm t, tại điểm

bất kỳ trên thanh có toạ độ địa phương x tồn tại một véc tơ chuyển vị u(x,t):

Tại các nút, véc tơ chuyển vị của dầm trùng với véc tơ chuyển vị nút

Gọi q là véc tơ chuyển vị nút của phần tử thanh:

u

Trong đó, u1, u2 – véc tơ chuyển vị tại các nút 1 và 2 của phần tử.

Trường chuyển vị trong thanh được xấp xỉ theo véc tơ của các chuyển vịtại nút:

Trong đó, L – chiều dài phần tử.

Thay vào nhận được:

1

2V x x

Trong đó

V – thể tích phần tử,

σ x – ứng suất pháp tại tiết diện có tọa độ x,

ϵ x – biến dạng dọc trục tại tiết diện có tọa độ x,

Theo lý thuyết dầm, mô men uốn M tại vị trí có tọa độ x trong hệ tọa độ

địa phương của dầm được tính bằng biểu thức:

,, d v x t

M x t EJ

dx

=

Trong đó,

E – mô đun đàn hồi của vật liệu,

J – mô men quán tính của tiết diện dầm.

Ứng suất tại toạ độ y của tiết diện có toạ độ x:

( ),( , , )

0

,2

L

S

d v x t E

,2

L d v x t EJ

Trong đó, Nv – ma trận hàm nội suy của độ võng tại x từ các thành phần

L qt

L c

W = − ∫c x t dxu&

Trong các công thức trên:

f(x,t) – véc tơ lực phân bố trên dầm gồm các thành phần lực phân bố

vuông góc với trục dầm và mô men phân bố trong mặt phẳng dầm:

( ) ( )

,( , )

,

y z

,( )

,

i i

i

P x t t

ρ – khối lượng phân bố trên một đơn vị chiều dài dầm,

c – hệ số cản nhớt phân bố trên một đơn vị chiều dài dầm.

Chú ý đến , viết lại như sau:

W =q N q∫ dx+q ∑N P − q&&∫ρN N&& &&dx− q&∫cN N& &dx

Theo nguyên lý giá trị dừng của thế năng toàn phần điều kiện cân bằngcủa hệ có dạng:

p(t) – véc tơ lực quy nút của các tải trọng tác dụng lên phần tử

Trong thực tế rất khó xác định chính xác được các tham số cản nhớt c

của kết cấu do các tham số này phụ thuộc vào các tần số dao động của hệ Do

đó trong thực tế tính toán động lực học của kết cấu thường giả thiết rằng ma

trận cản c là tổ hợp tuyến tính của ma trận khối lượng và ma trận độ cứng của

hệ [7]:

Trong đó, α và β là các hằng số và được gọi là các hệ số cản Rayleigh.

Thông thường ảnh hưởng của các tần số cao đến giá trị của hệ số cảnRayleigh là không đáng kể nên trong tính toán chỉ xét đến ảnh hưởng cản dohai tần số dao động riêng thấp nhất của hệ

Các hệ số cản liên hệ với tỷ số cản theo dạng riêng bằng phương trình:

1

2 2

ωω

ω1, ω2 – các tần số dao động riêng thứ nhất và thứ hai của hệ

ξ1, ξ2 – các tỷ số cản tương ứng với các tần số dao động riêng

Giải phương trình nhận được:

1.2.4 Biến đổi các đại lượng lực và chuyển vị từ hệ toạ độ địa phương sang hệ toạ độ tổng thể

Khi xây dựng các ma trận phần tử hữu hạn của phần tử, mỗi phần tửđược gắn với một hệ toạ độ địa phương (gọi là hệ toạ độ phần tử) Các thànhphần của các véc tơ lực và chuyển vị tại các nút của phần tử được chọn tươngứng với các phương của hệ toạ độ này Khi thiết lập phương trình chuyểnđộng của toàn kết cấu, các véc tơ trên cần được biến đổi về hệ tọa độ tổng thểcủa kết cấu

Dưới đây dẫn ra các công thức biến đổi giữa hai hệ toạ độ cho véc tơchuyển vị nút Việc chuyển đổi đối với các véc tơ lực cũng được thực hiệntương tự

Các véc tơ lực và chuyển vị trong hệ toạ độ địa phương và hệ toạ độ tổngthể có mối quan hệ như sau:

Nếu ký hiệu X i , Y i và X j , Y j lần lượt là các toạ độ của các nút i, j của phần

tử thanh trong hệ toạ độ tổng thể XY thì chiều dài L của phần tử được xác định

j i x

j i y

c

L

Y Y c

Trong đó, T – dạng chuyển trí của ma trận chuyển hệ tọa độ T.T

Thay vào nhận được:

Đối với bài toán dầm liên tục, trục X của hệ tọa độ tổng thể thường được

chọn là phương dọc theo kết cấu Khi đó, phương của hệ tọa độ cục bộ và

phương của hệ tọa độ tổng thể trùng nhau, ma trận T trở thành ma trận đơn vị:

Khảo sát sự làm việc của toàn bộ kết cấu gồm nhiều phần tử hữu hạn liênkết nhau tại các nút Tại các nút có các tải trọng tác dụng và các chuyển vị nút

tương ứng Đối với một kết cấu có n nút thì véc tơ chuyển vị của toàn kết cấu

được biểu diễn như sau:

1 2

Tương tự có véc tơ tải trọng nút toàn kết cấu:

1 2

i

P M

Trong đó, K là ma trận độ cứng của kết cấu.

Nếu khảo sát riêng từng phần tử của hệ thì ứng với mỗi phần tử j bất kỳ

ta sẽ có mối liên hệ giữa véc tơ ứng lực đặt tại các nút rj với véc tơ chuyển vị

nút của phần tử qj như sau:

r

M ;

1 2

K

O

Trong hệ thức trên số chuyển vị nút U% và ứng lực nút R được tính lặp lại

nhiều lần vì nếu tại một nút bất kỳ nào đó có k phần tử liên kết thì khi xét cả

hệ ta sẽ tính số chuyển vị tại nút đó lên k lần làm cho biểu thức này trở nên

cồng kềnh Xem xét các véc tơ U% và U , rõ ràng giữa chúng có thể thiết lập

quan hệ có dạng:

=

U HU%

trong đó, H – ma trận hình dạng kết cấu.

Để hình dung cấu trúc của ma trận H, chúng ta xem xét một ví dụ cụ thể

cho một kết cấu dầm liên tục Trên Hình 1 -1 là một kết cấu dầm liên tục

được cấu tạo từ các phần tử dầm (1), (2) và (3) Kết cấu gồm bốn nút A, B, C,

D Các phần tử dầm liên kết với nhau tại các nút B, C Tại mỗi nút có 2 thành

phần chuyển vị

Hình 1-1 Thí dụ minh họa xây dựng ma trận hình dạng kết cấu

Véc tơ chuyển vị nút của phần tử (1) có dạng:

( )

1

3 4

q q q q

Tương tự đối với các phần tử (2) và (3):

5 3

6 5 6 7 8

q q q q q q q q q q q q

1 2 3 4 3 4 5 6 5 6 7 8

q q q q q q q q

Giả thiết rằng m phần tử của hệ được liên kết với nhau tại n điểm nút.

Dưới tác dụng của ngoại lực P , giữa các phần tử xuất hiện nội lực tương tác

R đặt tại các điểm nút Nếu khảo sát riêng từng nút của hệ thì mỗi nút phải

thỏa mãn điều kiện cân bằng giữa các ngoại lực đặt ở nút và các nội lực tươngtác giữa các phần tử ở chính nút đó Nếu xét toàn bộ kết cấu thì phải có hệphương trình cân bằng ở tất cả các nút của kết cấu Vận dụng nguyên lý

chuyển vị khả dĩ cho kết cấu: nếu cho kết cấu chịu một chuyển vị khả dĩ δq ở

tất cả các nút thì công khả dĩ δ1w của ngoại lực P đặt tại các nút phải bằng độ

biến thiên thế năng biến dạng δ1A của nội lực tương tác R giữa các phần tử

trên các chuyển vị khả dĩ tương ứng:

P – véc tơ tải trọng tác dụng lên toàn hệ.

1.2.6 Điều kiện biên

Các điều kiện biên của bài toán được mô tả bằng các điều kiện ngăn cảnchuyển vị của các bậc tự do tại nút Cụ thể ở bài toán này là các liên kết củacầu Trong bài toán đang xét, có hai dạng liên kết:

• Liên kết cứng (tương ứng với các trụ, mố cầu): với các liên kết dạng

này, điều kiện biên chuyển vị tại các bậc tự do bị liên bằng không Gọi i là

bậc tự do tại đó có liên kết:

0

i

Để xử lý các điều kiện biên dạng này, khi giải hệ phương trình cho trướcnghiệm u i =0 hoặc loại bỏ các phương trình tương ứng ra khỏi hệ.

• Liên kết đàn hồi (tương ứng với các dây treo): với các liên kết dạngnày, tại bậc tự do bị liên kết xuất hiện phản lực tỷ lệ với chuyển vị nút và độ

cứng của liên kết Gọi i là bậc tự do tại đó có liên kết phản lực r i được tínhtheo biểu thức:

l

i k i

Để xử lý các điều kiện biên dạng này, độ cứng của liên kết sẽ được cộng

vào phần tử tương ứng trên đường chéo chính của ma trận K:

M – ma trận khối lượng toàn hệ đã khử điều kiện biên,

C – ma trận cản nhớt toàn hệ đã khử điều kiện biên,

K – ma trận cứng toàn hệ đã khử điều kiện biên,

P – véc tơ tải trọng tác dụng lên toàn hệ.

Q M Q M

1.3 Dao động của cầu dầm liên tục chịu tác dụng của tải trọng xe chạy trên cầu

1.3.1 Dao động của phần tử dầm khi có các khối lượng di chuyển trên dầm – bài toán tương tác của phần tử hữu hạn dầm chịu uốn và tải trọng di động

Nghiên cứu trường hợp xe chạy trên cầu dầm liên tục với vận tốc v x

không đổi Xe được mô hình hoá bằng như hệ một bậc tự do gồm một khối

lượng di động m và liên kết với phần tử dầm bằng lò xo đàn hồi có độ cứng k

và cản nhớt tuyến tính với hệ số cản c Từ đây trở đi sẽ gọi là khối lượng di

tử dầm cùng với các khối lượng di động trên dầm

Xét phần tử dầm có chiều dài L, độ cứng chống uốn EJ và hệ toạ độ cục

bộ gắn với phần tử dầm như hình vẽ Giả thiết rằng, tại thời điểm t có n khối

lượng di động chạy trên phần tử này

Gọi ξ i là toạ độ của vị trí khối lượng di động thứ i trong hệ toạ độ cục bộ

của dầm:

( 0)

Trong đó, t là thời điểm khối lượng di động m i0 i bắt đầu đi vào dầm

Gọi u i (t) là dịch chuyển theo phương thẳng đứng của khối lượng m i sovới vị trí cân bằng tĩnh của nó trong hệ toạ độ tổng thể

Phương trình vi phân dao động của khối lượng di động m i có kể đến

chuyển động của phần tử dầm tại vị trí ξ i có dạng:

m i g – trọng lượng của khối m i,

Q i – tải trọng động tác dụng lên khối lượng di động,

δ i – biến dạng tĩnh của lò xo do trọng lượng m i g, tức là:

Tải trọng từ khối lượng di động m i tác dụng lên dầm tại toạ độ ξ i gồm lựcđàn hồi và lực cản của hệ liên kết lò xo – cản:

R i (t) là tải trọng tập trung tác dụng vuông góc với dầm Theo , tải trọng

R i (t) quy về thành tải trọng nút của phần tử theo công thức:

i t = ξi R t i = ξi Q t i −m g m u t i − i i 

Từ , phương trình dao động của phần tử dầm chịu tác dụng của lực các

q&& – véc tơ gia tốc chuyển động tại nút của phần tử dầm,

q& – véc tơ vận tốc chuyển động tại nút của phần tử dầm

q – véc tơ chuyển vị nút của phần tử dầm,

F – véc tơ tổng tải trọng quy nút của các thành phần tải trọng tác dụng

lên phần tử dầm:

1( )

n i i

=

p – véc tơ tải trọng quy nút của các tải trọng tác dụng trên phần tử dầm.

Lưu ý tới , chuyển vị và vận tốc theo phương thẳng đứng của dầm tại toạ

độ ξ được nội suy từ các véc tơ chuyển vị q( )t và vận tốc q&d( )t tại các nút

dầm:

,,

Trong đó, Nv – ma trận các hàm nội suy độ võng của phần tử dầm tại tọa

độ ξ i từ các chuyển vị tại nút của phần tử:

Ta thấy rằng, phương trình vi phân dao động của phần tử dầm cho bởi với véctơ tải trọng quy nút chứa thành phần gia tốc chuyển động đứng u&& của i

các khối lượng di động, mặt khác, phương trình vi phân dao động của khối

lượng di động lại chứa các véc tơ chuyển vị q và véc tơ vận tốc của dầm,

điều đó thể hiện tính chất tương tác của hệ dầm – khối lượng di động Từ và ,

mở rộng các ma trận phần tử hữu hạn cho dầm chịu uốn với số bậc tự do tănglên bằng số khối lượng di động trên dầm, hệ phương trình dao động mở rộngcho dầm và các khối lượng di động trên dầm có dạng:

q – véc tơ chuyển vị mở rộng của dầm có kể đến các bậc tự do của các

khối lượng di động trên dầm:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

q& – véc tơ vận tốc mở rộng của dầm có kể đến các bậc tự do của các

khối lượng di động trên dầm:

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1 2

1 2

m – ma trận khối lượng mở rộng của dầm có kể đến các bậc tự do của

các khối lượng di động trên dầm:

1 2

n T

i x

n

Q t m g

Q t t

Biểu thức là hệ phương trình vi phân tuyến tính có các hệ số phụ thuộc

thời gian vì chứa đại lượng ξ(t).

Từ công thức của các ma trận phần tử hữu hạn trên, có thể nhận thấyrằng các ma trận này có dạng không đối xứng Điều này sẽ gây khó khăn đếnquá trình giải bài toán dao động sau này.

Các ma trận phần tử hữu hạn trên được xây dựng trong hệ tọa độ cục bộcủa phần tử Để tập hợp được các ma trận tổng thể của toàn kết cấu, các matrận này phải được chuyển về hệ tọa độ tổng thể theo các công thức đã dẫntrong chương trước

1.3.2 Phương trình dao động của hệ cầu dầm có xe chạy trên

Phương trình dao động của toàn hệ kết cấu cầu dầm có xe chạy trêntrong hệ tọa độ tổng thể khi chưa xét đến các điều kiện biên có dạng:

P – véc tơ lực quy nút tác dụng lên cầu do tải trọng xe chạy và các tải

trọng khác đặt trên cầu tập hợp từ các véc tơ tải của phần tử và các tải trọngđặt trực tiếp trên các nút của hệ,

U&& – véc tơ gia tốc nút của toàn kết cấu có kể đến bậc tự do của các khốilượng di động trên cầu

U& – véc tơ vận tốc nút của toàn kết cấu có kể đến bậc tự do của các khối

lượng di động trên cầu

U – véc tơ chuyển vị nút của toàn kết cấu có kể đến bậc tự do của các

khối lượng di động trên cầu

Các ma trận này được viết trong hệ toạ độ tổng thể của kết cấu

Trong hệ phương trình trên, số ẩn số của phương trình bao gồm số bậc tự

do của kết cấu và tổng số bậc tự do của các xe (khối lượng di động) trên cầu

Cụ thể, đối với bài toán xe chạy trên cầu dầm liên tục, số ẩn số của phươngtrình được tính theo công thức:

1.3.3 Phương pháp Newmark giải hệ phương trình chuyển động

Có nhiều phương pháp để giải hệ phương trình vi phân chuyển động của

hệ kết cấu rất hiệu quả như phương pháp chồng mode, phương pháp tíchphân trực tiếp,

Như đã trình bày trong phần trước, hệ phương trình có các ma trận hệ số

K, M, C không đối xứng Do vậy, không thể sử dụng được phương pháp

chồng mode Trong luận án chọn phương pháp tích phân trực tiếp để giải hệphương trình , cụ thể là chọn phương pháp tích phân Newmark

Theo phương pháp Newmark nghiệm của phương trình được tìm nhưsau

Giả sử đã biết chuyển động của hệ tại thời điểm t là Ut, U& ,t U&& Phươngt

trình chuyển động viết tại thời điểm t+ ∆t có dạng:

& && && L

& & && && L

Loại bỏ các thành phần bậc cao trong các phương trình và viết lại theodạng sau:

( )

2

3 2

& && &&

& & && &&

Trong đó α và δ là các tham số được xác định trước để đảm bảo độ chính

xác và ổn định của lời giải

Theo Newmark gia tốc của hệ được giả thiết là tuyến tính trong phạm vimỗi bước thời gian, theo đó:

U&& U&& U&&

Thay biểu thức vào sẽ nhận được:

& & && &&

& && &&

Các tham số α và δ được chọn như sau:

Để đảm bảo sự ổn định và độ chính xác của lời giải theo phương pháp

tích phân trực tiếp Newmark, chọn α=0,25 và δ=0,5.

Đưa vào một số ký hiệu mới:

Từ biểu thức ta có thể biểu diễn gia tốc và vận tốc tại thời điểm (t t+ )

qua chuyển vị tại thời điểm (t t+ ) và các đại lượng đã biết tại thời điểm t như

&& & &&

Thay các giá trị U&& và t+∆t U& từ biểu thức vào phương trình ta có hệt+∆t

phương trình chuyển động tại thời điểm t+ ∆t chỉ chứa các ẩn số là chuyển vị

t+∆t

U tại thời điểm đó:

Giải ta tìm được Ut+∆t Thay giá trị này vào sẽ tìm được U& và t+∆t U&& t+∆t

1.3.4 Thuật toán giải bài toán dao động của cầu dầm liên tục chịu tác dụng của đoàn tải trọng di động

Từ các công thức tính toán đã trình bày ở trên, trong mục này xây dựngthuật toán giải bài toán dao động của cầu dầm liên tục chịu tác dụng của đoàntải trọng di động

Các bước tính toán được thực hiện theo trình tự sau:

Bước 1: Nhập số liệu

• Nhập các thông số chung cho chương trình

 Các hằng số vật lý

 Các tham số cản tỷ lệ của kết cấu α và β

 Thời gian tính toán:

 Bước thời gian Δt

 Tổng thời gian tính toán

• Nhập các số liệu của cầu bao gồm:

 Số liệu cho mỗi phần tử:

 Liên kết phần tử (nút đầu, nút cuối)