Ba bước cơ bản Chia miền khảo sát thành một lưới các nút Xấp xỉ phương trình vi phân bởi sai phân hữu hạn Giải các phương trình sai phân theo các điều kiện biên và/hoặc điều kiện đầu đã
Trang 11 Bài giảng 3
Bài gi ả ng Dây qu ấ n máy đ i ệ n xoay chi ề u;
Gi ớ i thi ệ u v ề SPHH và PTHH
2013 – 2014, HK 2
http://www4.hcmut.edu.vn/~nqnam/lecture.php
nqnam@hcmut.edu.vn
Dây qu ấ n t ả i dòng đ i ệ n nh ỏ và v ừ a có th ể đượ c th ự c
hi ệ n t ừ m ộ t hay nhi ề u s ợ i ch ậ p s ử d ụ ng dây đồ ng đ i ệ n t ừ
ho ặ c dây nhôm.
Nhi ề u vòng dây qu ấ n chung v ớ i nhau t ạ o thành b ố i dây Các b ố i dây k ế t h ợ p v ớ i nhau thành dây qu ấ n c ủ a m ộ t pha (xem video minh h ọ a).
V ớ i dây qu ấ n t ả i dòng đ i ệ n l ớ n, các vòng dây đượ c ch ế
t ạ o s ẵ n t ừ các thanh d ẫ n c ứ ng, và sau đ ó đượ c l ồ ng vào các rãnh (xem video minh h ọ a).
Trang 23 Bài giảng 3
4 Bài giảng 3
Sau khi các vòng dây đượ c đặ t vào rãnh (stato ho ặ c
rôto), các nêm đượ c đặ t vào để gi ữ các vòng dây n ằ m trong rãnh.
Ph ầ n đầ u n ố i s ẽ đượ c đ ai ch ặ t v ớ i nhau để gi ữ nguyên v ị
trí khi rôto quay.
Dây qu ấ n đượ c nhúng verni để ch ố ng ẩ m, và gi ữ ch ặ t các vòng dây v ớ i nhau.
Trang 35 Bài giảng 3
Phương pháp dựa trên việc xấp xỉ các phương trình vi phân bởi các phương trình sai phân
Ba bước cơ bản
Chia miền khảo sát thành một
lưới các nút
Xấp xỉ phương trình vi phân
bởi sai phân hữu hạn
Giải các phương trình sai
phân theo các điều kiện biên
và/hoặc điều kiện đầu đã cho
Việc xấp xỉ được dựa trên khai triển Taylor của hàm f(x) quanh điểm x0
x0
x0- ∆ x x0+ ∆ x x
f(x)
P
B
A
Sai phân tiến
x
x f x x
f x
f
∆
−
∆ +
0
'
Sai phân lùi
x
x x
f x f x
f
∆
∆
−
−
≅ 0 0
0
'
Sai phân điểm giữa
x
x x
f x x
f x
f
∆
∆
−
−
∆ +
≅
2
0
Trang 47 Bài giảng 3
Đạo hàm bậc hai
xi xi+1
xi-1
∆ x
x
x f x
f x
∆
−
≅ + 1
'
x
x f x f x
i
∆
−
x
x f x
f x
∆
−
2
( ) ( )2 2 ( ) ( ) ( )2 1
''
x
x f x
f x
f
x
i
∆
+
−
''
x
x f x
f x
f x
i
∆
+
−
1
''
x
x f x f x
f x
i
∆
+
−
8 Bài giảng 3
y
P
(i,j) (i+1,j) (i-1,j)
(i,j+1)
(i,j-1)
∆ y
x
j i
j i
x
f
j
−
− +
≅
∂
∂
2
, 1 ,
1 ,
φ φ
y
j i j
i y
f
j
−
− +
≅
∂
∂
2
1 , 1
,
,
φ φ
Ký hiệu φ(i, j) = f(xi, yj)
( )2 ,
2
2
, 1 ,
2 ,
1
x
j i j
i j
i x
f
j
− +
− +
≅
∂
( )2 ,
2
2
1 , ,
2 1 ,
y
j i j
i j
i y
f
j
− +
− +
≅
∂
Trang 59 Bài giảng 3
Ví d ụ - Phương tr ình Poisson 1D
Bài toán giá trịbiên ∆ x
xi xi+1
x0
f
x
u
=
∂
∂
− 22 trên Ω = (0,1)
u(0) = u(1) = 0, ui≈ u(xi), fi= f(xi), xi= i ∆ x, ∆ x = 1/N, i = 0, 1, … N
Xấp xỉ điểm giữa
( )
=
=
−
=
∀
=
∆
+
−
0
1 , ,
1 ,
2
0
2 1 1
N
i i
i i
u u
N i
f x
u u u
Đ i ề u ki ệ n biên Dirichlet
Như vậy, phương trình vi phân đạo hàm riêng ban đầu được chuyển thành hệ phương trình tuyến tính cho các giá trị tại các nút
C ơ b ả n v ề ph ầ n t ử h ữ u h ạ n (cho k ỹ sư )
Nhiều bài toán trong kỹ thuật và khoa học ứng dụng được mô tảbởi các phương trình vi phân hay tích phân
Nghiệm của các phương trình này cho biết nghiệm chính xác của bài toán cụthể được nghiên cứu
Tuy nhiên, sự phức tạp của dạng hình học, tính chất và các điều kiện biên trong các bài toán thực tế thường cho thấy nghiệm chính xác là
không thểcó được hoặc không thể có được trong một thời gian hợp lý Thời gian cho chu kỳ thiết kếhiện đại thường đòi hỏi kỹ sư thiết kế phải tìm ra giải pháp trong một thời gian ngắn Do đó, các kỹ sư nhắm đến một lời giải gần đúng với công sức và thời gian bỏra hợp lý Và phương pháp phần tửhữu hạn là một kỹ thuật giải như vậy
Trang 611 Bài giảng 3
C ơ b ả n v ề ph ầ n t ử h ữ u h ạ n (cho k ỹ sư )
Phương pháp phần tử hữu hạn (FEM) là một phương pháp tính số để tìm nghiệm gần đúng cho các bài toán kỹ thuật
Trong FEM, một miền liên tục có hình dạng phức tạp được chia nhỏ thành các phần nhỏ hơn có hình dạng đơn giản, gọi là các ph ầ n t ử
Các tính chất và các quan hệ được coi là áp dụng cho các phần tử này, và được biểu diễn toán học là các hàm của các biến tại một số điểm
cụthểcủa phần tử, được gọi là nút
Một quá trình tập hợp được dùng để liên kết các phần tửtrong một hệ thống đã có Khi xem xét các ảnh hưởng của tải, và các điều kiện biên, người ta thường rút ra được một hệ phương trình đại sốtuyến tính, hoặc phi tuyến
12 Bài giảng 3
C ơ b ả n v ề ph ầ n t ử h ữ u h ạ n (cho k ỹ sư )
Nghiệm của hệ phương trình cho biết đáp ứng gần đúng của hệ
Miền liên tục có sốbậc tự do là vô hạn, còn mô hình được rời rạc hóa
có số bậc tự do là hữu hạn, dẫn đến tên gọi pp ph ầ n t ử h ữ u h ạ n
Số phương trình thường khá lớn với hầu hết các ứng dụng thực tế của FEM, do đó cần sức mạnh tính toán của máy tính Nếu không có máy tính thì FEM có rất ít giá trịthực tế
Hai tính chất đáng chú ý: Sựxấp xỉtừng đoạn của trường trên các phần tửcó độ chính xác cao, ngay cả với các hàm xấp xỉ đơn giản Chỉ cần tăng sốphần tử là có thể tăng độchính xác Tính cục bộcủa việc xấp xỉdẫn đến hệ phương trình thưa đối với bài toán được rời rạc hóa Điều này cho phép dễ dàng giải các hệthống với sốnút rất lớn
Trang 713 Bài giảng 3
Ngu ồ n g ố c c ủ a FEM
FEM đã phát triển trong hơn 150 năm, và khó xác định nguồn gốc
Clough sử dụng thuật ngữ ph ầ n t ử h ữ u h ạ n đầu tiên vào năm 1960 Những năm đầu 1960, FEM được dùng để tính toán ứng suất, dòng chảy lưu chất, truyền nhiệt, và các vấn đềkhác
Quyển sách đầu tiên về FEM được xuất bản năm 1967
Cuối những năm 1960 và đầu những năm 1970, FEM được áp dụng cho nhiều bài toán kỹ thuật
Hầu hết những phần mềm FEM thương mại khởi đầu vào những năm
1970 (ABAQUS, ADINA, ANSYS, MARK, PAFEC) và những năm 1980 (FENRIS, LARSTRAN ’80, SESAM ’80)
FEM có th ể h ỗ tr ợ gì cho k ỹ sư thiế t k ế
Dễdàng áp dụng cho các đối tượng có hình dạng phức tạp, bất thường làm bằng cùng lúc nhiều loại vật liệu, với các điều kiện biên phức tạp
Có thểáp dụng cho các bài toán xác lập, theo thời gian, và trịriêng
Có thểáp dụng cho các bài toán tuyến tính và phi tuyến
Một phương pháp có thểgiải nhiều loại bài toán, lấy ví dụ như các bài toán trong cơ học chất rắn, cơ học chất lỏng, phản ứng hóa học, điện từ,
cơ sinh học, truyền nhiệt và truyền âm,
Các gói phần mềm FEM đa dụng có giá phải chăng, và chạy được trên máy vi tính (máy tính cá nhân và trạm làm việc) Giao diện của các gói phần mềm là thân thiện người dùng, với nhiều công cụtiền xửlý và hậu
xửlý Dễdàng ghép với các phần mềm CAD để mô phỏng và sinh lưới
Trang 815 Bài giảng 3
C ơ b ả n v ề FEM – L ậ p công th ứ c ph ầ n t ử
Có vài ph ươ ng pháp chuy ể n công th ứ c mô t ả h ệ v ậ t lý
thành công th ứ c cho ph ầ n t ử r ờ i r ạ c.
N ế u mô t ả v ậ t lý c ủ a h ệ đượ c kh ả o sát là m ộ t ph ươ ng trình
vi phân, ph ươ ng pháp gi ả i ph ổ bi ế n nh ấ t là phương ph áp
th ặ ng d ư có tr ọ ng s ố ( Method of Weighted Residuals ).
N ế u bài toán v ậ t lý có th ể l ậ p công th ứ c ở d ạ ng c ự c ti ể u hóa c ủ a m ộ t phi ế m hàm, Variational Formulation thườ ng
đượ c dùng.
16 Bài giảng 3
C ơ b ả n v ề FEM – Phương ph áp th ặ ng d ư có tr ọ ng s ố
Q = R , v ớ i R là m ộ t s ố dư kh ác 0 MWR khi đ ó yêu c ầ u
c ủ a nghi ệ m x ấ p x ỉ
( ) ( ) = 0
∫Wi x R x
Trang 917 Bài giảng 3
C ơ b ả n v ề FEM – Phương ph áp Galerkin
Có vài cách l ự a ch ọ n các hàm tr ọ ng s ố Wi.
Trong phương ph áp Galerkin, các hàm tr ọ ng s ố c ũ ng
chính là các hàm đượ c dùng trong ph ươ ng trình x ấ p x ỉ
Phương ph áp Galerkin cho ra cùng k ế t qu ả như
Variational Formulation khi áp d ụ ng cho các ph ươ ng trình vi phân t ự liên h ợ p.
MWR do đ ó là m ộ t ph ươ ng pháp tích phân.
C ơ b ả n v ề FEM – Variational Formulation
Phương pháp này dựa vào việc tính tích phân một hàm để thu được một số Mỗi hàm mới sẽ tạo ra một số mới
Hàm tạo ra sốnhỏnhất có thêm tính chất là thỏa mãn một phương trình
vi phân cụthể
Xét tích phân
Giá trịcủa π có thể được tính toán nếu được cho y = f(x) Tích phân biến thiên cho thấy phương trình cụthểy = g(x) ứng với giá trịnhỏnhất của π sẽlà nghiệm của phương trình vi phân
( )
= D / 2 y '' x Qy dx
π
'' x + Q =
Dy
Trang 1019 Bài giảng 3
Sai s ố trong FEM
Có 3 nguồn sai sốchính trong nghiệm FEM: sai sốrời rạc hóa, sai số công thức, và sai sốtính số
Sai sốrời rạc hóa bắt nguồn từviệc chuyển hệvật lý (liên tục) thành mô hình phần tửhữu hạn, liên quan đến mô hình biên, các điều kiện,
20 Bài giảng 3
Sai s ố trong FEM (tt)
Sai sốcông thức được tạo ra do việc sử dụng các phần tử không mô tả chính xác hành vi của bài toán vật lý
Các phần tử được dùng đểmô phỏng các bài toán vật lý một cách
không thích hợp thường được gọi là các phần tử ill-conditioned hay không phù hợp toán học cho bài toán
Sai sốtính sốxuất hiện do kết quảcủa các quá trình tính số, và bao gồm sai sốdo cắt giảm hay làm tròn
Sai sốtính số thường chỉ liên quan đến nhà phát triển và sản xuất các gói phần mềm FEM Người dùng cũng có thể đóng góp cho sai sốtính số, khi mô tảcác đại lượng với quá ít chữ số có nghĩa
Trang 1121 Bài giảng 3
Các b ướ c trong FEM
Bước 1 – Rời rạc hóa: Miền khảo sát được chia thành một tập các hình hay phần tử đơn giản
Bước 2 – Xây dựng phương trình phần tử: Dựa vào bản chất vật lý của bài toán, sửdụng các phương pháp điển hình (Galerkin, biến thiên)
Bước 3 – Tập hợp: Các phương trình cho mỗi phần tử trong lưới FEM được tập hợp thành một hệ phương trình toàn cục mô tảtoàn bộhệ
Bước 4 – Áp dụng các điều kiện: Để có thể giải được, hệ phương trình toàn cục sẽbị thay đổi
Bước 5 – Giải các biến chính (tại các nút)
Bước 6 – Tính các biến liên quan (dựa vào các biến chính)
L ư u đồ c ủ a m ộ t phân tích FEM đ i ể n hình
bài toán
Ti ề n x ử lý
X ử lý
biên vào
t ụ c gi ả i
H ậ u x ử lý
Phân tích và
B ướ c 2, 3, 5
Trang 1223 Bài giảng 3
1
2
3
4
5
6
7
8
Phân tích độ ng h ọ c c ủ a 1 cây n ĩ a ở 8 ki ể u dao độ ng
24 Bài giảng 3
Các công ngh ệ c ạ nh tranh v ớ i FEM
Các phương pháp giải số khác:
Sai phân hữu hạn: thích hợp với truyền nhiệt và cơ học lưu chất, áp dụng tốt cho các miền 2D có biên song song với các trục tọa độ, gặp khó khăn với biên cong
Các phương pháp thặng dư có trọng số (không bị giới hạn cho các miền con nhỏ): collocation, miền con, bình phương tối thiểu, Galerkin Các phương pháp biến thiên (không bịgiới hạn cho các miền con nhỏ)
Thửnghiệm trên mẫu: tin cậy, thiết yếu cho việc hiệu chỉnh phần mềm
mô phỏng, kiểm chứng kết quảmô phỏng, đắt tiền, tốn thời gian, …