n.n. vorobiov.- números de fibonacci

Puesto que la primera pareja ars đa descendencia el primer mos, Pare inicial multipliquese por dos y resultan ya on rimey mes 2 parejas; de ellas, una pareja, la ; ve 2 parejas pr

de matematicas NUMEROS :

N N Vorobi0v

II8/LATPJILGEBO HAVRA

LECCIONES POPULARES DE MATEMATICAS

Traducido del ruso por Carlos Voga,

catndratico de Matomaticas Suporiores

candidato a doctor on cioncias fisico-matemiticas

EDITORIAL MIR MOSCU

1974

lĨa n€HAHGROM f35IKe

© Traduccién al espatiol, Editorial Mir, 1974

§ 2 Propiedades de los nimeros de Fibonacci

relacionadas con la Teoria de los números 34

INTRODUCCION

4 En la antigiiedad hubo muchos grandes matomaticos

Numerosos logros de la ciencia matematica antigua admiran hoy todavia por la penetracién de sus autores y toda perso-

na culla conoco los nombres de Euclides, Arquimedes y He-

rồn

Sucedié una época muy distinta para las Matematicas

y, hasta Vieta que vivié en el siglo XVI y matematicos més préximos a nuestros tiempos, en el curso escolar no se men- ciona ningiin matemdtico grande No es casual, claro esta Las MatemAticas se desarrollaron en eSa época con suma

lentitud y no dieron cientificos de’ talla

Por eso, tione aun mayor interés para nosotros la obra

«Liber abacci» (Libro del dbaco) escrita por el famoso mate- mắtico italiano Leonardo de Pisa conocido mas por su_apo-

do Fibonacci (abreviatura de filius Bonacci, o sea, hijo de Bonacci) Este libro, escrito en 1202, Iegé a nosotros on su segunda variante que data del afio 1228

«Liber abaccio, voluminoso tratado que contiene casi to- dos les conocimientos algebraicos y aritméticos de aquel

tiempo, desempefié un papel notable en el desarrollo de las Matematicas en Europa Occidental durante varios siglos

En particular, precisamente a través de esto libro conocieron los europeos las cifras hindies («ardbigas»)

El material de «Liber abacci» se explica por numerosos

Hop\siiss que constituyen una parte considerable de la

obra

Consideremos uno de ellos, el que aparece en las paginas

423 y 124 del manuscrito de 1228

«éCudntas parejas de conejos nacen, en el transeurso do

‘un ajio, de una pareja inicial?s

vAlguion metié una pareja de conejos en un lugar

total-mento cercado de muros para conocer cudntas parejas de

conejos nacerian en el curso de un afio si Ja naturaleza de los conejos es tal que cada pareja produce otra pareja al cabo

de un mes y las conejas pueden parir a los dos meses de haber

nacido Puesto que la primera pareja

ars đa descendencia el primer mos,

Pare inicial multipliquese por dos y resultan ya

on rimey mes 2 parejas; de ellas, una pareja, la ; ve

2 parejas primera, produce también al mes Segunda mes siguiento de modo que en el scgundo

3 parejas mes resultan 3 parejas; de ellas, al

‘Tercer mes mes siguiento dos parejas daran des-

5 parejas cendencia de modo que cn cl tercer Cuarto mes mes naceran, dos parojas mas y el ni-

_8 parejas mero de patojas Hegaré a 5; do cllas, Quinto ae ae eso mismo mes daran descendencia tres ais le „ parejas y al cuarto mes el niimero de

21 parejas parejas Ilegaré a 8; de ellas, cinco

éoti parejas producirdấn ofras cinco que

34 parejas sumadas a las ocho dardn al quinto

Oclavo mes mes 13 parejas; de ellas, cinco parejas

55 parejas nacidas ese mes no darén descenden- Noveno mes cia, pero las ocho restantes si, de modo

~84 parejas que al sexto mes resultardn 21 parejas; Độc H6 mes sumadas a las troce nacidas en el sép-

_ 14d parejas timo mes, dardén 34 parejas; sumadas Undécimo mes a las 24 nacidas on el octavo mes,

Duodéet darén 55 parojas; sumadas a las 34

hodecime mes 377 parojas nacidas en ol noveno mes, darin 89 pa- : Z

rejas; sumadas a las 55 que nacen en

el décimo mes, dardn 144 parejas; su- madas otra vez a las 89 que nacen en el undécimo mes, darán

233 parejas; sumadas otra vez a las 144 parejas nacidas en

el ultimo mes, daran 377 parejas; esta cantidad de parejas produce la pareja inicial en el lugar dado al cabo de un año

Al margen puede verse eémo lo hacemos: sumamos el primer numero y el segundo, o sea, 1 y 2; el segundo y el tercero;

el tercero y el cuarto; cl cuarto y el quinto y asi, sucesi- vamente hasta sumar cl décimo y el undécimo, 0 sca, 144

y 233 Obtenemos e] namero total de las parojas mencio- nadas, 0 sea, 377 Y así so puede hacer en él.mismo orden:

hasta un numero infinito de meses» ~ ~ %

9

2 Dasemos ahora đo los eonojos a los números y eonside-

remos la sucesién numérica

Wy Way voy Une ery ()

en la que todo tếrmino es igual a la suma de Jos dos anterio- Tes, es decir, para todo n> 2 se tiene

Sucesiones de este tipo, donde todo término se determina

en funcién de los anteriores, aparecen frecuentemente en las Mateméticas y se denominan sucesiones recurrentes El pro- ceso que consiste en cl célculo sucesivo de sus elementos se denomina proceso recurrente y la igualdad (2) se lama ecua-

cién recurrente El lector hallard los elementos de la teoria gencral de sucesiones recurrontes en cl libro do A I Marku-

shévich («Sucesiones recurrentes», Editorial Mir, 4974) Observemos, ante todo, que la relacién (2) no permite

por si sola calcular los términos de la sueesión (1) Se pueden

encontrar infinitas sucesiones numéricas diferentes que sa-

tisfagan esta condicién, por ejemplo,

Es decir, para determinar univocamento la sucesién (1)

no basta obviamente con la condicién (2) y es preciso sefialar

algunas condiciones adicionales Por ejemplo, podemos

indicar los valores de unos cuantos primeros términos de la sucesiôn Ñ dCuắntos primeros tếrminos đo la sueesión (1)

hay que definir para calcular, empleando sélo la condicién

(2), todos los demas términos?

Señalemos primeramente que la relación (2) no permite obtener eualquier término de In sucesién (1) porque no todo tốrmino de (1) tiene dos precedentes; por ejemplo, delante del primer término no figura ninguno y al segundo le prece-

de sélo uno Por eso, para determinar la sucesién (4) debe- mos sefialar, ademas de la condicién (2), sus dos primetos

términos

Obviamente, esto basta ya para poder oncontrar cual- quier término de la sucesién (1) En efecto, podemos cal- cular us sumando los valores escogidos para u, y ug, podemos

calcular u, sumando ug y el valor obtenido para wz, podemos

alcular u, sumando Jos valores obtenidos para us y Us

tc, y «en el mismo orden hasla un número infinito» de tếr-

minos Pasando as{ de dos términos consecutivos de la suce-

sién al término que Jes sigue inmediatamente, podemos Ile- gar hasta el término de cualquier indice fijado de antemano

y caleularlo

3 Consideremos ahora un caso de especial importancia:

la sucesién (1) cuando se toma uw = 1 y uz = 1 La condi- cién (2), como hemos sefialado, nos brinda la posibilidad de

calcular uno tras otro todos los términos de esta sucesién

Es fáci comprobar que los trece primeros 1érminos serén los números

1,1,2, 3, 5, 8, 13, 21, 3á, 55, 89, 144, 233 y 377

con los quo hemos tropezado en el problema do los conojos

En memoria del autor de este problema, la sucesién (1) con

uy = Hạ = 1 so Mama sucesién de Fibonacci y sus términos

se denominan niimeros de Fibonacci

Los nimeros de Fibonacci poseen una serie de propieda- des interesantes c importantes a las que esta dedicado nuestro libro

Uy-b Ug oe Un = Ung — ủy

y sdlo queda recordar que u, = 1:

11

2 Para la suma đe los números de Fibonacei de índices

impares se tiene

tị ua<+ usb tenet = Mane (1.2)

Para demostrar este resultado tomemos

tị Ua,

Ug = Uy Ue,

Us = Ug — Hạ, Uan-1 = Yan — Uan-2- Sumando miembro por miembro estas igualdades, obtenemos

como queriamos demostrar

Restando, ademds, miembro por miembro (1.3) de (1.2), encontramos

My — tạ + g— Uy ++ Un t— Un = Yani (1.4)

Sumemos ahora vy,4; a ambos miembros de (1.4):

Uy — Uạ<Ƒ ta— t,~Ƒ và — ten + ont = enti (1.5)

Uniendo (4.4) y (4.5), obtenemos la suma alternada de los

nameros de Fibonacci

4, Las fốrmulas (1.4) y (1.2) han sido deducidas sumando miembro por miembro varias igualdades evidentes Esta

misma idea se puede emplear, por ejemplo, para deducir la

formula de la suma do los cuadrados de los n primeros

núme-ros de Fibonacci

uy bug

Para ello fijémosnos cn que

tạ thụ — tuy, = Up (Uist — Mat) = Uh «

Sumando miembro por miembro las igualdades

La esencia del método de induccién completa (Hamado a menudo

método de induccién matematica) consiste cn Jo siguiente: para de-

mostrar que cierta afirmacién es valida para cualquicr nimero naty-

ral basta probar que:

a) es valida para el numero 1 y

ĐỒ do sự vaHdez paza em némero natural cualquiora n se des- prende su validez para el número ø -} 1

Toda demostracién industiva de una afirmacién que incluya un

némero natural x consta, por to tanto, de dos partes

En la primera parto (relativamente sencilla por lo general) se

derauestra quo la afirmacién es valida para 1 Esta primera parte so denomina a veces base de la induccién In la segunda parte (que suele

ser mas compleja) so supone que la afirmacién es valida para un ni

mero arbitrario (pero fijo) n y, a partir de esta hipétesis que frecuen-

temente se donomina hipdtesis inductiva, so demucstra que la afirma-

cién es valida también para el nimero n+ 4 Bsta segunda parte Leva el nombre de paso inductive

Una exposicién detallada de diferentes variantes det método do

induccién completa, acompaniada de méltiples ejemplos, so puedo

encontrar ep el libro de LS Sominski «Bl método ‘te le induceién matematicay (Fditorial MIR, o74y En particular, la yariante basa~

da en el paso inductivo «de ny n t an + 20 (que utilizaremos rei-

teradamente) aparece on ol libro de Sominski on el punto 4 do la in-

troduccién y so aclara con el ejemplo 7 y cl problema 12

A veces so aplica el razonamiento inductive que puede ser llamado

aso ede todos los mimeros menores-que r al niimero mo Bo este caso

Nga la baso induetiva ya que, hablando conveneiorialmente, la

1-conaiste en 6l paso dê atodss los núme-

demostracién para n

ros enteros positives menores que uno (quo simplemente uo existen)

al uno

Precisamente asi se demuestra quo todo nimero natural puede

ser descompuesto en factores primos

Supongamos quo todos los némoros menores quo n pueden ser

descompuestos en factores primos Si el nimoro n es primo, os des- composicién de si mismo Si el numero n os compustte puede ser, por definicién, representado como el producto de dos factores por lo Menos: n = mM, donde ny 1 y ng %41 Pero on este caso resulta que m <n y qu9 nạ < œ ÿ, de acuerdo con la hipétesis inductiva, tanto mạ como mạ se descomponen en factores primos Por lo tanto,

también n se descompone en factores primos

La demostracién đại teorema dol punto 36 del § 2 se basa en una

variante aun mas compleja del razonamicnto inductivo,

6 La realizacién mas sencilla de la idea de la induccién

en øl caso de los nimeros do Fibonacci es la propia defini- cién do estos nimeros Consisle, como hemos oxplicado en

la introduccién, en indicar los dos primeros números de Fibonacci, w = 1 y uv, = 4, y en aplicar el paso inductivo

de ty Y Unt, & Unt, Condicionado por la relaciénrecurrento

tứn Und = Uns

En particular, đo aqui resulta inmediatamente que es su- cesién de Fibonacci toda sucesién de nimeros que comienza con des unos y en Ja que cada nimero siguiente se obticne sumando los dos antoriores

A titulo de ejercicio, consideremos «cl problema del

saltador» que consiste en lo siguiente

El saltador puede desplazarse en una sdla diroccién a lo

largo de una franja cuadriculada saltando cada vez a la

casilla inmediata o por encima de clla a la siguiente ¢Cudn- tos modos de desplazarse en n — 4 casillas y, on parti-

cular, de 1a primera a la n-ésima tiene el saltador? (Se con-

sidera que dos modos son idénticos si en cada uno de ellos

el saltador se posa en las mismas casillas.)

Sea x, el numero buscado Es evidente que 2, = 4 (pues existe un s6lo modo de pasar de la primera casilla a la pri- mera, a saber, no realizar salto alguno) y que t, = 4 (ya quo existe un sdlo modo de pasar de la primera casilla a la

inmediata que consiste en un sdlo salto a osa casilla) Su-

pongamos quo el saltador quioro llegar a la (n -+ 2)-ésima casilla Por definicién, el numero total de modos que tiene para alcanzar este objetivo es 2,4 Pero estes modos se divi- den en dos clases: la quo comicnza con el salto a la segunda

casilla y la que comienza con el salto a la tercera, Para He-

gar a la (nm + 2)-ésima casilla el saltador tiene 2,4, modos

si arranca de Ja segunda y z, modos si arranca do la tercera Por lo tanto, la sucesién de los nimeros 2,, %, «+; Spy s+

verifica la relacién recurrente

Ung = Unt Untings> (1.8)

Para demostrarla aplicaremos la induccién segin m Si

m= 1, la formula da upy; = Ups Uy + Untlg y 05 evidente

Si m = 2, la formula (1.8) es también evidente porque

Unig = Unaslg + Unig =Unat + 2g = Uns + Unb Un = nà TT ác

Hemos demostrado asi la base de la induccién El paso

inductivo lo realizaremos en la forma siguiente: aceptando

que la formula (4.8) es valida para m = ky param=k-+4, demostraremos que también es valida pata m =k + 2

Es decir, sea

Ungh = Unaalty + Unllag, Y Unghed = Una n r Unllaga

Sumando miembro por miombro las dos Ultimas igual-

dades, obtenemos

Unansa = Un—tlnse + Untings

como queriamos demostrar

Es facil explicar (o incluso demostrar) la fórmula (1.8)

en términos del problema del saltador

En verdad, el mimero total de modos que tiene cl salta-

dor para desplazarse de la primera casilla a la (n + m)-

ésima es igual a Untm- Entre ellos habré modos en que el

saltador pasa por encima de la n-ésima casilla y otros en

que se detiene en ella

En todos los modos de la primera clasé, el saltador tiene que Ìlegar a la (œ — 4)-6sima casilla (puede hacerlo de

uy; modos), saltar después a la (nm -+ 4)-ésima casilla y, finalmente, desplazarse en las (œ-E m) — (m + 1) =

= im — 1 casillas rostantes (esto ultimo puede hacerlo de

15

Um modos) Por lo tanto, la primera clase comprende un tọtal de ứn _;ượ modos Andlogamente, en los modos’ de la segunda clase el saltador llega a la n-ésima casilla (u,, mo- dos) y después pasa a la (n + m)-ésima casilla (valiéndoso

de uno de los was, modos que tiene para ello) Por consi- guiente, la segunda clase comprende un total do watmsy

modos y con esto queda demostrada la formula (4.8)

8 Poniendo m =n en la férmula (1.8), obtenemos

lon = Unity + Unllres

© sea,

Hạn = Un (Unat-+ Uns): (1.9)

De esta igualdad rosulta que wg, es divisible por uy

En el pardgrafo siguiente demostraremos wn rosultado mucho mas gencral

Puesto que

Un = Und — Unaty

la férmula (1.9) puede ser exprosada asi

Yan = (Ung Una) (tate Han);

Con esto queda argumentado el paso inductivo y demostrada

la f6rmula (4.10) para cualquier ø

10 Igual que han sido demostradas estas propiedades de los nimeros de Fibonacci, se puede demostrar también estas otras

Hetty -[- Ugits -fe Ugtly Fo ee “fe ane an ©

Leyla} Ulglig + Ustty + + Uantionss = UEngi— |,

nữa + (0— 1) ta-H (8 — 2) gp ee He 20y—ï-Eu=uasy— (n3),

tị + 2g + Big o,f nity = Rng Unsa-f 2-

La demostraci6n queda al albedrio del lector

41 Tanto interés como los nimeros de Fibonacci tienen los Mlamados coeficientes binomiales

Los coeficientes binomiales son los coeficientes que tienen jas potencias de a en el desarrollo de (1 + 2)":

(1 +2)” =C2 4+ Cha+ Cia + Cha" (1.41)

Es obvio gue los nimeros C® se determinan univocamente para todos los valores enteros positivos de ø.y para todos los valores enteros no negativos de k que no pasan de n

En muchos razonamientos matematicos es funcional re- currir a los coeficientes binomiales También nos serdn Uti- les en of estudio de las propicdades de los nameros de Fibo-

uacci Ademas, existen vinculos directos entre los cocfi-

cienles binomiales y los nimeros de Fibonacci; mds adelante revelaremos cicrtas regularidades que existen entre ambas

1?

Lema ŒR -Ƒ Cậ†! = C}†1,

Demostracién Tenemos

o sea, empleando la definicién de los coeficientes binomiales

= (CECE + Cha") (Ita) =

= Cat (CR+Cm) at (ChtCa) rt

+ (Cñt+ Cá) #2” Cha, Por consiguiente,

ind = Chy

Cry =CA+Cn,

como queriamos demostrar

De este loma resulta que los coeficientes binomiales se

pueden calcular aplicando un proceso recurrente, andlogo al

que permite obtener los nimeros de Fibonacci, pero mucho més complejo Esto permite demostrar, empleando la in-

duccién, distintas propiedades de los cocficientes binomia-

les

12 Consideremos los coeficientes binomiales en forma

de la siguiente tabla lamada iridngulo de Pascal

as

eet

[216121

#~0308

es decir,

Se acostumbra namerar las filas del tridngulo de Pascal mpezando por arriba y aceplando que Ja fila superior com- than por un sélo uno es la fila cero,

De lo anterior resulla que los términos extremos de cada una de las filas del {ridngulo de Pascal son iguales a uno y que todos los demas se obticnen sumando los dos términos respectivos đe la fila anterior

13 La formula (1.41) permite obtener de inmediato dos importantes relaciones que vinculan Jos coeficientes bino- miales correspondientes a una misma fila del tridngulo de Pascal

44 Demostremos empleando ta inducoión según z que

Esta f6rmula suele emplearse como definicién do los coefi-

cienles binomiales Delermina cl cocficienle binomial como

cl numero de combinaciones de orden & formadas con n

clementos Lemos ido por olro camino, menos tradicional, que en nuestro caso es preferible

Si convenimos en que el producto de una cantidad nuia

de factores es siempre igual a1, obtencmos de (1.12) toman-

do k = 0 el resultado Ci = 1 que ya conocemos Teniendo esto en cuenta, podemos Jimilarnos al caso en que & >1

1ô

Para n = 4 resulta

A

1

Supongamos ahora que Ja fórmula (1.12) os valida para

un valor determinado de nr cualquiera que sca el valor de k

te (es decir, en la (x + 1)-ésima fila) del tridngulo de Pascal

45 Tracemos por los clementos del tridngulo do Pascal las lincas que forman 45° con sus filas llamdndolas diagonales ascendentes del tridngulo de Pascal Por ejemplo, serdén diagonales ascondentes la

recta quo pasa por los números 1, 4 y 3.6 la recta que pasa por los

wimeros 1, 5, 6 y 4

La suma đọ los números que portenecon a una misma diagonal ascenclente es un numero de Fibonacci

Efectivamente, la primera diagonal ascondente (1a superior) del

tridngulo de Pascal consta s6lo del uno También la segunda diagonal consta s6lo del uno Para demostrar el resu}tado que nos interesa basta-

r4 probar quo la suma de todos los olomentos que componen la n-

ésima y la (» -+ 1)-6sima điagonales del triángulo de Pascal es igual

a la suma de los nimeros pertonecicntes a su (n -+ 2)-ésima diagonal

Pero los nimeros de la n-ésima diagonal son

Chaty Chaar Chay +++

¥ los de ia (n + 4)-ésima diagonal son

Cy Cheats Chaar vee

La suma de estos niimeros es

Ch (Chant Chai) + (Chav + China) -b ees ý

© sea, recordando cl lema del punto 11,

Chart Ch + Chart +

La dltima expresién es Ja suma do los elementos que pertenecon a la

{n + 2)-6sữna diagonal ascendente del trifngulo

De aqui, basdindonos en la formula (1.1) obtenomos inmediatamen-

te que la suma de todos los coeficichtes binomiales que se encuentran

ven la n-Gsima diagonal ascendente del tridngulo de Pascal y por enci-

ma do ésta es igual a uyy, — 1

Empleando las férmulas (1.2), (1.3) y (4.4) y otras somejantes, el

lector podra encontrar sin dificultad otras identidades que vinculan los niimeros de Fibonacci y los cooficientes binomiales

16 Hasta aqui hemos definido los ntimeros de Fibonacci mediante la ecuacién recurronte, 0 sea, empleando la induc- cién segin cl indice Pero resulta que todo namero de Fibo- nacci puede ser definido de un modo directo, es decir, como funcién de su indice

Estudiemos con este fin las distintas sucesiones 14,

Uy ss ey Ray ++ Que satisfacen la ecuacién

Un Ung Unt (1.43)

Diremos que todas estas sucesiones son soluciones de la ecuacién (1.18)

En adelante indicaremos por V, V’ y V” las sucesiones

U4, Vay Ugy os Đạy Dạy Ugy 0 V

VEU, ve

Demostremos, primero, dos lemas clementales

Lema 1 Si V es una solucién de la ecuacién (1.13) y ¢

es una constante, también la sucesién cV (0 sea, la sucesién CVy, CUg, CVs, -) es una solucién, de esta ecuacién

Demostracién Multiplicandeo por ¢ ambos miembros

de la igualdad

Un = Unat + Vn-a

oblenemos

CV y = CUnen + CU nt como queriamos demostrar,

2t

Lema 2 Si las sucesiones V’ y V" son soluciones de la ecuacion (1.13), también la suma V' +- V" (0 sea, ta sucesién 0ý + vf, ¥, + Uv, + UL, .) es solucidn de esta ecuacién Demostracién Por hipstesis, tenemos

Đn=Un-i-LUa-s Y Un=Un-t-EUn-s

Sumando estas igualdades miembro por miembro, encon-

tramos

0n ti = (bn—1 +pn~¡) ~ (Đn~s + Vn~2)-

Con esto queda demostrado el lema

Sean ahora V’ y V“ dos Soluciones no proporcionales de

Ja ecuacién (1.13) (es decir, dos soluciones de la ecuacién

(1.13) tales que cualquiera que sea la constante ¢ habré un

numero 7 para el que” %5 = c) Mostremos que toda sucesién

V, solucién de la ecuacion (4.13), puede ser representada asi

V=qy’ +eV", (1.14)

donde ¢, y c, son unas constantes Por esta raz6n se sucle

decir que (1.14) es la solucién general de la ecuacién (1.13) Demostremos primero que siendo V’ y V” dos soluciones

no proporcionales de la ecuacién (1.13), se tiene

Análogamente comprobamos (iindueciĩnl) que

tr

Por consiguiente, de (1.46) resulta que las sucesiones ƒ' y V” son proporcionales lo que contradice la hipĩtesis;

es decir, es valida la relacién (1.15)

Tomemos ahora una sucesién V, solucién de la ecuacién (1.13) Segiin hemos explicado on el punto 2 de Ja introduc-

cién, esta sucesién queda perfeclamente determinada si se

iWWiean sus dos primeros tếrminos ủy y 0ạ

Busquemos los valores de ¡ y £; do modo que sea

cv, + Gd, = U4, : (4.17)

€0; *|- = Da

En este caso, la suma ¢,V‘ + c¿Ÿ” cọneidirả, debido a

los lemas 4 y 2, con la sucesién V

En virtud de la condicién (1.15), el sislema de ecuacio- nes (1.17) tiene solucién respecto a ¢, y ¢2 cualesquicra que

sean los nimeros ?ị ÿ Uạ:

eet To tạng

tự Đà

(La condieiĩn (1.15) significa que cl denominador de ambas

fracciones es distinto de cero.) Introduciendo en (1.44) los

valores obtenidos para c; y c, encontramos la reprosentacién

requerida de la sucesién V

Bs decir, para describir éodas las soluciones de la ecua~

cién (4.13) basta encontrar dos soluciones no proporcionales

de la misma

Busquemos estas soluciones entre las progresiones geo-

métricas Segin el lema 1, basta considerar.las progresiones cuyos primeros 1érminos son 4 Tomemos, pues, la progre- siốn

Para que sea una soluejĩn đe la ecuacién (4.43), es suficien-

te que para todo x se enmpla la igualdad

gt gr=g

0, dividienda por g’-?,

1+q= (148)

Indiquémoslas por @ y f, respectivamenle Los niimeros a

y B, como raices de la ecuacién (1.8), satisfacen las rolaciones 1 -++ œ = œ3, 1+ 8 = 6? y af = —t

Hemos obtenido de esta forma dos progresiones geométri- cas, soluciones ambas de (1.13) Por eso, todas sucesiones

de tipo

Cy Fee C1 + eof, ce? + cạ$, (1.19) son soluciones de la ecuacién (1.13) Las progresiones halla- das tienen distintas razones y, por onde, no son proporciona- Jes, o sea, Ja formula (4.19) con distintos valores de ey ¥

de cy ofrece todas las soluciones de (1.43)

In particular, para ciertos valores de ¢, y de cz la fér- mula (1.19) debe coincidir con la sucesion de Fibonacci Para ello, como hemos explicado, hay que determinar ¢,

La expresién (1.20) Neva el nombre de férmula de Binet (en memoria del matemático que la encontró)

Es evidente quo f6rmulas de este tipo se pueden encon- trar también para otras solucionos de (1.13) Proponemos

al lector deducirlas en el caso de las sucesiones indicadas en

el punto 2 de la introduccién

17 Hemos visto que a? = a ++ 4 Esta claro, por eso, que toda potencia entera positiva del númoro œ puede ser tepresentada en la forma aa + b, donde a y b son nimeros enteros Por ejemplo,

Sumando estas igualdades, obtenemos

th path = (uy feng seb (Una t ta),

o sea,

Ot? Un gott + Ung

y con esto queda argumentado el paso inductivo

18 La fórmula de Binet es apropiada para hallar la suma do muchas series relacionadas con los nimeros de Fibonacci

Determinemos, por ejemplo, la suma de

Obsorvomos, anto todo, quo

AE ug buat oo bean) $3 fur ta- bey (AH gh,

de donde, empleando la férmula (4.6) y los resultados del punto ante-

Es facil domostrar el teoroma siguiente

Teorema El mimero de Fibonacci u, es el entero mds prúximo al niimero a 0 sea, es eb entero més prézimo gl

n-ésimo término a, de la progresién geométrica cuyo primer término es

Pnesto que f= —0,68 , se tiene |B| <1, es decir,

IB" <4 para todo x; con mayor razén Bt (ya

que W5 > 2) Ilemos demostrado cl teorema

Modificando la demostracién de este teorema, el lector familiarizado con la Ceorfa de los limites podra ficilmente probar quo

Calcwlemos, por ejemplo, uj, (que es, dicho sea de paso,

la respuesta al problema de Fibonacci de los conejos):

En el caso de un nimero de Fibonacci de indice grande

no podremos determinar todas sus cifras basdndonos en las

tablas de logaritmos (sélo podremos calcular algunas de

sus primeras cifras) por lo cual el caleulo resulta aproxi- mado

Demostracién Limitémosnos a demostrar la primera dysigualdad;

Ja otra s¢ demuestra de un modo anitogo

De Ja formula do Binet resulta quo

at = 3a + 2,

(at — 1)? = (8a + 1)? ja? 4- Gar fF 1 = 156 + 10

y, por eso, la desigualdad (4.22) significa que

a? = 1804+ 8 < 15a + 10

lo cual es evidente En fin, para œ = 3 la desigualdad (1.21) dice

a8? <(as—-4)8

y so comprueba do modo anáÌoga

Supongamos ahora que x > 2 y gue (1.21) es valida; demostre-

mos quo

AOFM co (gant gyn,

Para ello basta probar que al aumentar n en uno, el segundo miembro

do (1.21) crece con mayor rdpiez quo o] prìmero Pero es obvio que

el primor miembro crece on œ*"*3 veces Estimemos el crecimiento

del segundo miembro

y queda domostrado ø] teorema

22 Consideremos una clase mas de sucesiones basadas

en los números de Fibonacci Sea « un niimero arbitrario Caleulemos la suma

Entre paréntesis aparecen las sumas de dos progresiones geométricas de razones ax y Bx La formula que so emplea para calcular la suma de una progresién geométrica es apli-

cable sélo si la razén es diferente del uno Si la razén es

igual al uno, todos los términos de la progresién coinciden

y la suma se calcula ficilmente,

29

Por eso, consideremos primero cl caso ax 341 y Br 1,

© sea ont =—B y# gf A == —a Sumando entonces

las progresiones geométricas que figuran en (1.23), obtenemos

_ A anttentt_—as 1 Brtigntd— pr

s(t Ye eT

o, después do transformaciones légicas,

A (artlantt— ax) (Be—1)— (Baan! — fix) (az—1)

En particular, tomando z = 1, encontramos

Si (A) = ty laf oe tly = AH tage — {

lo que concuerda con Jo dicho en el punto 4

Sỉ z = —1, tenemos

$ụ (— 1) =ui—u¿-E + (— 1)””Luưa =

"==-— - 4d

(véase la formula (1.6)),

Consideremos ahora los casos «especiales»

Sea a =i = —f Entonces todo término de la primera progresién de (1.23) es igual a uno y la suma do esta pro-

gresién es n Por otro lado, la segunda progresién es de ra-

: zốn —B*

A "(T)}= vi (eat (41 4 (— 1) a") iif — al

y de la misma forma enconlramos

4) 4 ata (=A gine

lim s, (#) = Mm Sg Max + ats + are")

(Pot peat pa" =

aig lin (Be Beat} Be"),

Aqui en ambos limiles nos encontramos con las sumas de dos progresiones geométricas Por eso, los propios limites repre- sentan las sumas do las progresiones geométricas infinitas

correspondientes Pero es sabido que so puede hablar dela

suma de una progrosión geométrica infinita si, y sélo si, cb

valor absoluto de la raz6én es menor que el uno, Las razones

de nuestras progresiones son ax y fx Puesto qua || >

>| BI, resulta que [ax|< 4 implica | Pr|<1 Es de- cir, el cumplimiento de la desigualdad | ax| <1 garan-

tiza la existencia de ambos Limiles que en este momento

nos ocupan

Por consiguiente, el limite

lim s, (2) (1.27)

tan

existe SỈ | # | < = Indiquemos este limite por s(x} Para

calcularlo podemos recurrir a Ja f6rmula (1.24)

Observemos con este fin que, como hemos explicado en el

Es decir, pasando en la férmula (1.24) al limite cuando x

crece indefinidamente, encontramos

#—unznt3 — up yycrtt sứ) =i Sn (x) = lin toe

Dando a la variable x unos u otros valores, obtendremos diferentes férmulas coneretas Por ejemplo, tomande « =

ua? ugt + pit .=as(z), — (1.30)

n=(l—2—2)s(a),

de donde se desprende (4.28)

33

25 Hasta aqui hemos aceptado que el indice x del at- mero de Fibonacci u, es un nimero entero positivo Pero la ecuacién recurrente principal que determina los nimeros de Fibonacci puede ser escrita asi

Unig = Un — net (1.32) permitiendo expresar los números do Fibonaeci de indices menoros a través de los números de índices mayoros Tomando en (4.32) sucesivamente = 2, 1, 0, —1, , podemos ver que

entero arbitrario a problemas donde se manejan niimeros de

Fibonacci corrientes (de indices naturales)

Por ejemplo, para hallar la suma de Jos 7 «primeros hacia

atrás» números de Fibonacci

t~iÈ tcạTE cài Un

basta representarla, basándose en (1.33), así

Mr T—tz-E +E (— “tua

y recordar la formula (1.6)

Urb ig bh oe tens (A) a t= ung tt Basandose en (1.32), todo razonamiento inductivo do tipo «de n y de n+ 4 an- 2» reforente a los nimeros de Fibonacci se puede realizar segiin el esquema ede n y de n—1an—2» En particular, asi se demuestra sin difi- cultad que la importante formula (1.8)

Unam = UnUmb Unllmts

es valida para todos los niimeros enteros m y m

26 Las formulas principales para a y B

đ/93 =g" La Hy 99p" 0,

demostradas para los valores enteros positivos de #, son vá¬

lidas para todo valor entero de z (subsisten incluso para los

30308

valores Íraocionarios do z, pero no nos đetendremos en ello)

De aqui os facil deducir que la formula de Binet

apn

V5 tiene lugar p todo valor entero de 2

Observemos, para coucluir, que el resultado del punto

47 también se puede demostrar (por induccién chacia atras»)

para tos valores negativos del indice:

Me Unt agate (1.34) Podemos expresav esta igualdad lambién asi

(=A) Bt (=A) ttn et (=A) tan

DE FIBONACCI RELACIONADAS CON LA TEORIA

DE LOS NUMEROS

1 Consideremos ahora algunas propiedades do los nú-

meros de Fibonacci relacionadas con su divisibilidad

Teorema Si n es divisible por m, también u, es divisible Por Ue

Supongamos que x es divisible por m, o

mk Basaremos la demostracién en la induc-

35

y consideremos Um ath: Pero tmaceti = mim Yo 0H virtud

de (1.8),

Umeheaty = Urah—tlim TƑ- man m+1-

Es evidente quo ư„ divide el primer sumando del segundo miembro El segundo sumando es miltiplo de tmx, 0 sea,

también es divisible por ư„ según la hipdtesis inductiva

De aqui se desprende que la suma de estos sumandos, 0 sea, Uncen 08 divisible por u, Hemos demostrado ¢! teorema

2 Tomemos ahora un nimero m Si existe un numero de Fibonacci uw, divisible por m, habra infinitos números de Fibonacci con esta propiedad, por ejemplo, ademas de u,, los nfimeros Yan, Usns Mand» ++

Es intoresanto, por eso, conocer si, dado un nimero m, exisle al menos un némero de Fibonacci divisible por my Resulta que si

Sea Kel resto de la division de k por m Consideremos la sucesién formada por los pares de restos de la divisién de

los números de Fibonacci por m:

Gis, ta), đa, mạ, War thady <0) Uns Maes cài - (9)

Aceptando que dos pares (a, 0) y (@q, bz) son iguales

si a =, y b, = be, tendremos que el niimero total de distintos pares de restos de la divisién por m es igual a m? Ello significa que entre los m? + 1 primeros términos de la sucesién (2.1) hay necesariamente dos iguales

Soa (ij, 41) el primer par repetido de la sucesién (2.1) Demostremos que es el par (1, 1) En efecto, suponga- mos lo contrario, o sea, que el primer par repetido es (tx, fin44), donde & > 1 Localicemos on (2.1) un par (ij, #y¿¡) (E> k) igual al par (ix, ps1) Puesto que wy = Litt —

Uy lang = Une Uns Hie = Gag YH, = tin, Tesulla

que también son iguales los restos de la divisién de us y

de uj,_, por m, 0 Sea, Hi4 = dx De aqui so deduce que también (&q-1, @,) = (Gy) @1); pero en la sucesién (2.1)

el par (ix, @,) precede al par (ip, p41); luego, („; ñx++)

no es ol primer par repetido y como esto contradice nuestra ĐẾN Men EEEB Hà que no puede ser k > 1, 0 sea, que debe

ser k =

Por consiguiente, (1, 1) es el primer par que se repite

en la sucesion (2.1) Aceptemos que se repite on la t-ésima

3

posicién {como hemos oxplicado debe ser 1<t<m?-+ 4):

Gey Hes) = (Ly 1)

Esto significa que uy y Ueyy, divididos por m, dan 1 como resto De aqui se despronde que la diferencia de estos nime-

ros es divisible por m Pero

tu — Bị = ĐỊ~1;

resullando asi que el namero de Fibonacci u,-, es divisible

por m

Hemos demostrado de esta forma el teorema siguiente

Teorema Cualquiera que sea el ntimero entero m, entre los m? — 1 primeros numeros de Fibonacci habré al menos

uno divisible por m

Subrayemos que este teorema no dice nada acerea de qué nimero de Fibonacci seré divisible por m Sélo deja constancia de que el primer ntimero de ‘Fibonacci divisiblo por m no debe ser muy grande Mas adelante volveremos a este problema

Puesto que (1, 4) es el primer par repetido de la suce- sién (2.4), resulta que la sucesién de reslos se repito a par- tir de dj, 0 sca, que esta sucesidn es periddica Por ejemplo, sim = 4, el periodo de la sucesién de restos os

En este caso la longitud del periodo es igual a 6 Por consi-

guiente, si x es Gk-+ 4, 6k +2 6 Gk +5, el rosto de la divisién do uw, por 4 es 1; si x es Ge + 3, ol resto es 2 y, si

nes 6k + 4, el resto es 3

3 Es de gran interés el estudio do la naturaleza aritrnế- tica de los mimeros de Fibonacci, o sea, el estudio do sus

divisores Domostremos que siendo m un numero compuesto

distinto de 4, cl niimero u, es compuesto

En cfecto, para tales n tenemos n = m„nạ, donde 1 <

<m<nyi<n,<nsiendo, ademas, m > 2 6 nạ > 3 Supongamos, para coneretar, que n, > 2 Del teorema ante- rior resulta entonces que u, es divisible por u,; con la parti- cularidad de que {<< uạy < Un y esto significa que u, es

un nimero compuesto

4 Antes de continuar el estudio de los números de Fibo-

nacci, veamos con el lector algunos resultados elementales de

la Teoria de los numeros

Fijémosnos en que para a <6 se tiene gg = 0

Dividamos ahora b por r, doterminande el cociente g,

y el resto 7: b = yg) + ry, donde O< ry, <r} Puesto que

ry <.b, debe sor g, £0 Dividiendo después r; por ra, en-

contraremos q,0 y ry tales que 7; = đ#; +©rạ y 0<

<r¿<<r¿ Procedamos de esie modo mientras so pueda prolongar el proceso

Este proceso, tarde o temprano, deberd interrumpirse ya

que todos los enteros positivos ry, 72, rs, - son distinlos

y menores que }; luego, la cantidad de estos ntimeros no pasa de b y cl proceso debera concluir no més tarde del b-ésimo paso Puede interrumpirse sélo si una de las divi- siones resulta exacta, o sea, si el resto correspondiente resul-

ta igual a cero y no se puedo dividir ya por él

El proceso descrito se conoce como el algoritmo de Eucli-

des Aplicdndolo a los ntimeros a y b, obtenemos la siguien-

su segundo miembro son divisibles por r, de modo que ry

divide también r,.3, Podemos comprobar sucesivamente de

la misma forma (jinduccién!) que ry divide rag, Tra +++ y; finalmente & y @ Por lo tanto, r, es un divisor común de

ay 6 Demostremos ahora que r, es el máximo comin divi- sor de ay b Para ello hasta probar que todo divisor comin

de ay b divide también r,

Sea @ un divisor comin de @ y 6 De la primera igual-

dad (2.3) resulta que d divide 7, La segunda igualdad (2.3) implica enlonces que d divide r, Analogamente (jinduc- cient) se demuestra que d divide rs, ., ra-y y, finalmen-

Fs evidente que a es divisible por b si, y sélo si, {a, hb) = b,

A Utulo de - ejemplo, determinemos (ugg, uss)

= (0765, 010):

6765 = 610-41 +55, G10,= 55-44 +5, She 541,

Bs decir,

(tan; tp) =5 Suy,

No es casual que el maximo eomún divisor de dos núme-

tos de Fibonacci: resilte ‘de nuevo un néimero de Fibonacci Mas adelante demostrarémos que siempre ocurre asi

5, ‘Un pioceso andlogo al algoritmo de Euclides sucle emplearse también en la Geometria al determinar Ja medida comin de dos seg- mentos conmensurabtes En efecto, consideremos dos segmentos: uno

de jongitud a y otro de longitud b Restemos el segundo del primero

tantas veces como sca posible (si 6 > a, es evidento que no podremos

hacerlo ni una ver) ¢ indiquemos por r, la longitud del resto Es obvio

que r; <b, Restemos ahora del segmento de longitud b ol sogmento

de longitud r, tantas veces como sea posible e indiquemos por rz cl

resto que resulla, Procediendy de la misma forma, obtendremos una

sucosiớn đo segmonLos cuyas longitudes dismimyen evidentemente

Coino yernys, hasta aqui I semejanza con el algoritmo de Euclides cs

total

Sin embargo, desde este momento se ohgerva una diferencia impor-

tre el proceso geométrico deserity y el algoritmo de Euelidos:

Ja sucesién de restos que se obliene en el caso de los segmentes puede

no interrumpirse prolongándose indofinidamente este proceso Ast

sucoderá, chviamente, si los segmentos iniciales son inconmensurables