Chuyên đề 9: Nguyên hàm, tích phân - GV. Nguyễn Bá Trung

TRÊN CON ĐƯờng vinh quang không có dấu chân của kẻ lười biếng 1ln...  Làm mất biểu thức trong căn bằng phương pháp lượng giác hoá *Các trường hợp riêng : nhiều bài toán chứa tam thức b

Trang 1

TRÊN CON ĐƯờng vinh quang không có dấu chân của kẻ lười biếng

1ln

lncos sin

cos

cotsin

x x

dx

gx C x

1ln

.lncos sin

cos

cotsin

u u

du u C

u

u du du

u C u

du

gu C u

2 2

1ln

1

1cotsin

tg ax b C

ax b a dx

Phương pháp: - Giải phương trình f(x) = 0 lấy các nghiệm thuộc (a;b) được x1,x2, xn

- Chia khoảng tích phân rồi bỏ dấu giá trị tuyệt đối

2

2 dx x

1 0

.2

1.x dx x

x b) J =     

2 1

2

1 x a dx a

Bài 3 : Tính các tích phân :

Trang 2

6 3 5

1 0

20

1 x dx x

b ax d

.533

3

.1

23

dx x

x x

b) B =  

1 0

.121

dx x

x

c) C =  

1 0

2

1dx

x x

Bài 3 : Tính các nguyên hàm sau:

x  dx

x x

  6

2132

Trang 3

;2

2 2)31

dx I

x

dx

b) B =  

1 0 23

x

dx

c) C =   

1 0 2

1

x x

dx

d) D =   

1 0 21

x x dx

dx dx

c bx ax

b ax dx

c bx ax

b ax

2 2

2

)2

(2









Trang 4

x

.65

1141

0

2

x x

x

.86

71

0 2

Bài 2 : Tính tích phân sau (ĐHYHN 2000)

I = dx

x x

x

.23

142 1

0 2

32

dx x

x

b) J =  

1 0

1

23

dx x x

x

x x

x

.1

651 0 2

   d ) L =  

1 0 23

34

dx x

x

Bài 4 : Tính tích phân sau:

x x

x

92

1102

1 0 2

2 3

x x

92

1031

0 2

2

  

1 0 2 51

x

dx x

Tích phân với mẫu là đa thức bậc lớn hơn 2

Phương pháp : Biến đổi mẫu số về dạng tích của các nhân tử bậc nhất và bậc 2 sau đó sử dụng

phương pháp hệ số bất dịnh để chuyển về các tích phân dạng trên Nhân, chia, cộng, trừ thêm vào

tử để làm xuất hiện thừa số ở mẫu, sau đó giản ước để giảm bậc, Nhân, chia, cộng, trừ thêm vào tử

để tạo ra đạo hàm của mẫu, nhằm đặt mẫu bằng t (đổi biến)

dx x p x

(

)

(

2 2 1 1

*

n n

A b

x a

A b

x a

A b

x a b x a b x

a

x p

2 2 2 1

1 1 2

2 1 1

*

C b

ax

B b

ax

A b

ax

A p

nx mx b

ax

x p

*

E Dx p

nx mx

C Bx b

ax

A p

nx mx b

ax

x p

*

D Cx b

ax

B b

ax

A p

nx mx b ax

x p

x

44

1452

x x x

x

48

5 23

2

Trang 5

x

23

22

x x x x x

x x x

1

13

2 3 4 5

3 4

   dx

x x

.23

3333

2

g) G =  3  5

x x

dx

h) H=   2

)1

2x

xdx

b) B =   

1 0

2 4

3

4x x

2 2

2

3x x dx

x x

dx

e) E=   

1 0

2 4

1

x x

xdx

f) F =  

1 0 31

2 21

x dx

Bài 3 : Tính nguyên hàm sau:

x x x x

x

.)13.(

15

12 2

x x

1003 0

11

Trang 6

6

Giáo viên: nguyễn bá trung – trường thpt xuân giang Mobile: 012469.15999

CHUYÊN Đề: 9 nguyên hàm – tích phân 9.2.3 Một số bài toán tích phân hữu tỷ có cách giải đặc biệt

1

x x

x

   2

1

2 4 21

1

x x

5 1

1

2 4 211

Hướng dẫn: Chia cả tử và mẫu cho x2 sau đó đặt ẩn phụ t = x 

x

1

kx x

x

b

a

.1

12 4

6

x

dx x

K =

5 81

x x dx x

 Viết biểu thức trong căn dưới dạng bình phương đúng

 Làm mất biểu thức trong căn bằng phương pháp lượng giác hoá

*Các trường hợp riêng : nhiều bài toán chứa tam thức bậc 2 nếu giải theo phương pháp chung sẽ rất phức tạp, do vậy với những bài toán cụ thể ta có một số cách làm riêng

a) Dạng 



bx c ax

dx B Ax

2 Biến đổi thành 2 tích phân sao cho một tích phân có tử là đạo hàm của tam thức bậc hai của mẫu một tích phân có tử là hằng số

dx B Ax

Chú ý: Cách giải đặt t là toàn bộ căn thức là cách giải trọng tâm cần chú ý Thông thường cách

giải này thường là ngoài căn bậc lẻ biểu thức trong căn là bậc chẵn

I Nhận dạng đổi biến số loại 1

sin hoặc đặt u = xa x a

Trang 7

x

a e e

Trang 8

8

CHUYÊN Đề: 9 nguyên hàm – tích phân 9) Nếu tích phân là

2 2

3

4 x dx x

LG:

Đặt :

3 1

; 0 0

; cos 2 sin 4 4 3 4

; cos 3

2 2

; 2

; sin 3

3 0

3 0 2

3 0

2

4

133

2

)4cos1(33

2

2sin33

4

cos.sin4334

1 2 3

1 3

1

2

643

162

3

2

I dt

t

dt t

dx

đặt t=x-1+ x2  x2 3 ta có I2= lnx1 x2 2x3

t dt

Trang 9

1 x dx

1 0

1 x dx

1 0

2 3

1 x dx x

5 x x2 4

dx

C = 

4

0 3 2

31

x

dx x

B =

7 3 3 0

1

1 3

x dx x

Bài 5 : Tính các nguyên hàm sau:

A = dx

x

.11

11

x

dx x

a

dx x a x

0

2 2

2

C =    

1 0

3 2

2

1 dx

3 2

2

1 dx

4 1

2 3

2x x dx x

21

.1

x

dx x

C = 

2

1 x 1 x3

dx

D =

ln 2 20

.1

x

e dx e

Trang 10

10

CHUYÊN Đề: 9 nguyên hàm – tích phân a)  f sinx.cos x dx đặt t = sinx

b)  f cosx.sin x dx đặt t = cosx

x hoặc sin2

x thì tích phân không xác định vì vậy phải tách như sau

x cosx dx



II Nhận dạng đổi biến số loại 2:

xcosxdx

a x b cos x

đặt u = a2sin2x b cos x 2 2 hoặc u= a2sin2 x b cos x 2 2

2) Nếu tích phân là cos ; cos

Trang 11

 đưa về

2

ln tan2

đặt u = costanxsin

9.4.1 Sử dụng biến đổi lượng giác để đưa về các tích phân cơ bản

Bài 1: Tìm các nguyên hàm sau:

Trang 12

12

CHUYÊN Đề: 9 nguyên hàm – tích phân

A = tan x dx B = tan2 x dx C = tan3x dx D = tan4 x dx E = tan5x dx

Bài 4: Tìm các nguyên hàm sau:

A = cot x dx B = cot2x dx C = cot3x dx D = cot4 x dx E = cot5x dx



dx x

.sincos

2

cos



dx x x

 0

2 2

.coscos

.sinsin

tan 1

.tan 1

o

x

dx x

4 2

.cossin



dx x x

Bài 8 : Cho hai tích phân I = 

2 0

2 2

.2coscos



dx x

2 0

2 2

.2cossin



dx x

 b) B =  sin4 xcos4 x.sin6 xcos6 xdx

c) C = sinx.sin3x.sin2 x.dx d) D =  sin3 x.cos3xcos3 x.sin3x.dx



x

dx x

2 6

cossin

.2cos2

sin1



dx x x

Bài 11: Tính I = (sin x cos x sin x.cos x).dx

2 0

4 4

10 10

Trang 13

15.cotg6xdx

16

 3 x dx 5 x

cossin

17

x

x x

2sin

sin

cos

2sin

21



2

cos2

x

cos2sinsin2

25

 4 x dx 4 x

cossin

26

)cos2

28

) cos sin

x x

cos sin

9.4.2 Sử dụng phương pháp đổi biến đưa về hàm đại số:

.sin



x

dx x

2 0 2 31cos

.sin4



x

dx x

4 0 4 31cos

.sin4



x

dx x

2 0 2 31cos

.sin



x

dx x



x

dx x

B =   

6 0

2sinsin

56

.cos



x x

dx x

cossin



dx x x

x x

B =  3 0

2cos4

.2sin



x

dx x

Bài 4: Tỡm nguyên hàm: sin2x dx2sinx

Trang 14

14

Bài 5 : Tính tích phân:

A = 2

2

3 0

6 6

cossin

.4sin



x x

dx x

Bài 6 : Tính nguyên hàm và tích phân sau:

x x

Hướng dẫn : Nhân thêm vào tử và mẫu với sin và biến đổi sin ở tử như sau :

sin = sinx x = sin ( x+ ).cosx – sinx.cos( x+) Sau đó đưa tích phân A về tổng hoặc hiệu hai tích phân có dạngtan u duhoặc cot u du

x

 0

4 4

4sincos

cos

x x

6sincos

cos



D = dx

x x

x

n n

n

2

0 cos sincos

.sincos

sin4cos5

3cossin

sin4



x x

x

.cossin

cos2

x

.cos3sin

sin6

x

.cos3sin

cos6

Trang 15

0

))()(()

( Chứng minh tính chất này bằng cách đặt x=-t

VD1 Cho f(x) là hàm số liên tục trên R thoả mãn: f(x)+f(-x)= 2 2cos2x

Tính I = 





2 3

2 3)(



dx x f

HD:

Áp dụng tính chất trên ta có: I= 2 2cos2 2 sin 2 sin sin 6

2 3 0

dx x dx

x f

1

)(

=2

a t

b

dt t f b dt b

t f

1

)(.1

)(

b

dx x f b

1

)(

f( ) (ĐPCM)

VD3: Tính I= 

2 2

1

5cos.2sin.sin



dx e

x x x

Trang 16

2sin

221

sin



dx x x

3

6 6

61

cossin

.)()

( Đổi biến số t=a-x ,ta nhận được KQ trên

/ 4 0

2)

2

0

2

)(sin)

(sin)

Trang 17

)(sinx dx f

)(sin2

)(sinx dx f x dx

2

-t

2 0

)(cos)

(sin)

f

VD6 Tính I=

 0

2.cos.sin

cos.sin

3 0

2

2 tan (sin )))

(coscos

1(



dx x x

LG:

2 0

2

2(cos ) tan (sin ))tan

1(



dx x

x Xem hàm f(cosx)=tan2(cosx) và f(sinx)=tan2(sinx)

Sử dụng kết quả 9.5.5 ta có:  

2 0

2)(costan



dx

2 0

2)(sintan



dx

x Do đó I=

22

2 2

)()

()

f( ) ,J2=

T

dx x f

0)( , J3= 

 2 2

)(

T

dx x f

f( ) =

0)(

a

dx x

T

dx x f

0)

f( ) đổi biến x=t+T đối với tích phân 

T

a

dx x

2)sin1

LG:

Nhận xét rằng f(x) = ln(sinx+ 1sin2 x) là hàm liên tục,tuần hoàn với chu kỳ T=2

Trang 18

f( ) mặt khác f(x) là hàm số lẻ do đó I=0

VD12: Tính I= 

 2008 0

2007.sin x dx

2007 sin x dx+…+ 



 2008 2006

2007 sin x dx sử dụng nhiều lần kết quả 9.5.6 ta thấy các số

x 1004 sin

2 0

2007

do f(x)=sin2007x là hàm số lẻ nếu I=0

a

du v uv

9.5.1 Nếu hàm số dưới dấu hàm số tích phân có dạng p(x).f(x)

trong đó p(x) là một đa thức, f(x) là một hàm lượng giác thì cách giải chung đặt:

dx x p du dx

x f dv

x p

u

)

(

)()

.2cossin



dx x x x I

LG:

Trang 19

1



dx x x x

v

dx du

dx x x dv

x u

cos3cos31

2)

sin3(sin2

9

5sin

2

13sin18

10)cos3cos3

1(2

1cos

3cos3

12

2 0

2 0 2 0

dx x x

x x

x

I

9.5.2 Nếu hàm số dưới dấu tích phân có dạng p(x).f(e x)

trong đó p(x) là một đa thức thì cách giải chung là đặt:

dx x p du dx

e f dv

x p u

x ẽ

)

(

)()

)

12( x e dx

e v

dx du dx

e dv

x

12

3

21

.2)

12

0 1

dx x f

x f du dx

x p dv

x f u

)

(

)(

)()

(

))(ln(

,

VD3: Tính  

1 0

2)2(

)1ln(

x

x I

2(

)1ln(

2

x v x

dx du

x

dx dv

x u

1 0

2ln3

1)2)(

1()1ln(

.2

1

I x

x

dx x

3

4ln2

1ln2)

2)(

1(

1 0 1

0 1

Trang 20



xdx

2 0

2sin)1(



xdx

x C = 

 0

2

sin xdx x

Bài 2: Tính

I =

4

2 0

2

sin



dx x

4 0

2)1cos2(



dx x x

L =  



0

2 2

cos)

1

 0

2cos.sin

2

2sin4

.cos



dx x x

B =  x2 2.sin2xdx C =

3 2 3

sincos



B = 2 0

23sin



xdx

 0

2 2

.cos1

sin1



dx e x

x x

Bài 4: Tính:  

 0

cos

.sin)

2)

1(x e x dx

Bài 2 Tính:

Trang 21

)1(

.)

1(

x

dx e

x

C = 

2 1

ln

dx x

x

D =  

2 1

)1ln( x dx

1

2)1(ln G =  

2 1 2

ln

dx x

x

3 0

2)

3ln( x dx x

e

dx x x

1

.ln)

1(

dx x

e

dx x

x

C = 



0

3

)

1ln(

e

dx x

x

1 3ln

1

)

4 3sin ln(tan )x x dx

0

cos 1cos1

)sin1(ln



dx x

B = 4 0ln(1 tan )x dx





3 6

2cos

)ln(sin



dx x x



dx x

2 3

)

cos1ln(

.cos



dx x



e

dx x

0

)cos(ln D =

3

2 1cos (ln )

f( ) ( )

Trang 22

22

CHUYÊN Đề: 9 nguyên hàm – tích phân Trước hết cần tìm các nghiệm x1, x2, , xn của phương trình f(x) = g(x) thuộc đoạn [a,b]

Từ đó suy ra :

b

x x

dx x h dx

x h dx x

x x

dx x f dx

x f dx x

2

1 1

Bài 1 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) x = 0, x = 1, y = 0, y = x3

+ 3x2 +1 b) x =-2, x = 1, y = 0, y = x3

x, y = 0, x =1, x =e

c) y = x2

, y =227

1 , y =

x

2cos

1, x = 6

, x = 3



Bài 7 Tính diện tích phần mặt phẳng hữu hạn được giới hạn bởi các đường thẳng:

Trang 23

x x

x



Bài 8 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

1

32

a

a ax x



Bài 1 Gọi D là miền giới hạn bởi các đường y = 0 và y = 2x- x2

Tính thể tích vật thể được tạo thành do quay D quanh Ox ; hoặc Oy

Bài 2 Gọi D là miền giới hạn bởi các đường y = 0 và y = x.lnx, x = 1, x = e

Tính thể tích vật thể được tạo thành do quay D quanh Ox

Bài 3 Gọi D là miền giới hạn bởi các đường y = x2

và y = x

Tính thể tích vật thể được tạo thành do quay D quanh Ox

Bài 4 Tính thể tích hình xuyến được tạo nên khi quay hình tròn x2

+ (y -1)2

=1 quanh 0x

Bài 5 Tính thể tích hình elipxôit tròn xoay sinh ra bởi hình elip 1

2 2 2

x

khi nó quay quanh

0x Đ/S:

243

a b



Bài 6 Tìm thể tích của vật thể tạo bởi hình elip  

1164

Trang 24

24

Bài 7 Gọi D là miền giới hạn bởi các đường y = 0 và y = lnx, x = 2

Tính thể tích vật thể được tạo thành do quay D quanh Ox Đ/S:2ln 2 1 2

Bài 8 Gọi D là miền giới hạn bởi các đường y = 0 và y = x.ex

, x = 1

Tính thể tích vật thể được tạo thành do quay D quanh Ox : Đ/S:  2 

14

0

I x x  dx b) I5

2 24 1

11

x dx x

tancos cos sin

6

cossin

x dx x

2 10 6

4 21

1

dx x

x

h) I4

2 0

1cosx dx

x dx x

2 3 2

9 2x x



  h) I8

0 3

33

x dx x

1 2

2

0 4

x dx x

Trang 25

25

CHUYÊN Đề: 9 nguyên hàm – tích phân e) I10

2 2 2 3

0 1

x dx x

sin

1 sin

xdx x

cos sin

2 sin

dx x

sin

dx x

x x

b) I2 = 

 0

2cos1

sin

dx x

x x

1

2 3

)1(

ln

g) I7 = 

 3

0

3sin2sinsinx x xdx h) I8 =   x dx

 100 0

2cos1

Lời giảI hoặc đáp số

Bài 1:

a)

1

3 4 5 1

2 1 3 1

Trang 26

6

cossin

x dx x



 Biến đổi I4 = 

2 0

2sin1cos



dx x x

Đặt t=sinxthì I4

2 2

11

x dx x

111

x dx x

2 2

/ 3 2 0

tancos cos sin

tancos (1 tan )

3

0 1

udu u

2 10 6

4 21

1

dx x

2 10 6

2 2

21

11

dx x x

t

dt

đặt t= 2tanu ta có I7=

23

Trang 27

x u

=>

1/ 2 1

2 1/ 2 1

du I

/ 6/ 4 12

x dx x

0

(1 )4

1

3 2

2

2 0

11

2

2 ln 2 4

dt t





 Đặt x = 2cost =>

/ 2 2 5

2 3 2

9 2x x

x dx x

Trang 28

28

CHUYÊN Đề: 9 nguyên hàm – tích phân i) I9

2 sin

cos d cos

0 1

x dx x

xdx I

Trang 29

1

(x dx

332ln

/ 4 0

cos sin

2 sin

dx x

Trang 30

30

CHUYÊN Đề: 9 nguyên hàm – tích phân a) I1= 



0

2cos4

sin

dx x

x x

HD: đặt x=-t

8

9ln1

sin

dx x

x x

HD: đặt x=-t

4

2 2

1

2 3

)1(

ln

Xét hàm số f(x) = ln3x x2 1

TXĐ thoả mãn x + x1 0 <=> x2  1x

=> x R Trên R: f(-x) = ln3x x2 1 => f(x) = -f(-x)

f( ) 0 I6 = 0

e) Tính I7 = 

 3 0

3sin2sin

Xét hàm số y = f(x) = sinx sin2x sin3x

Thấy f(x) liên tục / [0; 3 ] => áp dụng kết quả    

dx x a f x f dx x f

2

))2()(()

(

2 / 3

0

)3sin2sin3

sin2sin(sin



dx x x six x x

f) Tính I8 =   x dx

 100 0

2cos1Xét hàm số y = f(x) = 1cos2x  2sinx

 f(x) tuần hoàn với chu kỳ , liên tục trên R

Vậy I8    x dx

 0

2cos1100



0 0

cos.2100sin

2 x dx t = 200 2

Trang 31

dx

1

2ln4

2) 

2 / 0

5.cos



dx x



2)

3 2 1

31

1

dx x

x x

4 3

2 4

x dx

5)

3 2

65

114

dx x x x

2 1 2

2

.12

7x dx x

x

8)

2 22 0

2

)23

11

2 2 2 3

0 3 2

3

1 x

dx x

11)

2 2 1

2 2

2 0

1 2 2

21

1

dx x

x x

1 0

21

)

1(

x

dx x

I

1

11 x x2 1

dx I



1

31

x x

dx x I

Trang 32

32

CHUYÊN Đề: 9 nguyên hàm – tích phân 6)

3 3 1

1

dx x x

Bài 4: Tính các tích phân sau:

3 0

3 1 1

4 3

4

dx x x

a

dx x a x

0

2 2

2 1

0 1 x4

dx x

5 0 25

1

dx x

1 2

dx

x  x

13)

1 2

x x

1

ln.ln31

e

dx x x

x

1 1 2ln

ln23

3

1

21ln

ln

e

dx x x x

4)

1 lnln

e

x dx

x

e

1 1 lnln

2 ln

0 1

1

dx e

9)

2 sin 4

12)

/ 2 sin 0(e x cos ) cosx x dx

dx e

e

x x



3 ln

0 ( x 1)3

x

e

dx e



2 ln 0

22

dx e

e

x x



2 ln 0

21

dx e

2

1e dx

e x x

Tiêu đề	Chuyên đề 9: Nguyên hàm, tích phân - GV. Nguyễn Bá Trung
Tác giả	Nguyễn Bá Trung
Người hướng dẫn	P. T. S. Nguyễn Văn A
Trường học	Trường THPT Xuân Giang
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Chuyên đề

Định dạng
Số trang	39
Dung lượng	503,67 KB