(Luận văn) bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường

BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH .... Lý do ch ọn đề tài Lý thuyết bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường được xây đây, với sự phát triển của ph

Trang 1

B Ộ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Vilavong Vanthong

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Thành phố Hồ Chí Minh – 2015

luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trang 2

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM TP HỒ CHÍ MINH

-

Vilavong Vanthong

PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN THƯỜNG

Chuyên ngành: Toán Gi ải Tích

Trang 3

Trang

LỜI CẢM ƠN 1

LỜI NÓI ĐẦU 2

CÁC KÝ HIỆU 4

Chương I BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 7

1.1 Bài toán Cauchy, các bổ đề về bất đẳng thức vi phân và tích phân 7

1.1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính 7

1.1.2 Bổ đề về bất đẳng thức tích phân và vi phân 9

1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 11

1.3 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tuần nhất 15

1.4 Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy 24

1.5 Đinh lý về tính xấp xỉ của bài toán ( 1.1 ), ( 1.2 ) 26

Chương II.BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 32

2.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán biên tổng quát 32

2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát 46

Chương III BÀI TOÁN BIÊN NHIỀU ĐIỂM CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN TUYẾN TÍNH 51

3.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm 51

3.2 Tập hợp U t t( 1, ,2 …,t n), bổ đề đánh giá tiệm cận 54

3.3 Các định lý tồn tại và duy nhất nghiệm của các bài toán biên (3.1),

(3.3) và (3.1), (3.4) 58

KẾT LUẬN 60

TÀI LIỆU THAM KHẢO 61

Trang 4

L ỜI CẢM ƠN

chân thành vì đã tận tình giúp đỡ và chỉ bảo tôi trong suốt thời gian làm luận văn

tốt nghiệp và hỗ trợ tôi rất nhiều trong suốt thời gian thực hiện đề tài

đã tận tình giảng dạy và hướng dẫn tôi trong suốt khóa học

đại học trường Đại học Sư phạm TP.Hồ Chí Minh đã giúp đỡ và tạo điều kiện cho tôi trong thời gian học tại trường

thời gian quý báu để đọc, chỉnh sửa, góp ý và phản biện cho tôi hoàn thành luận văn này một cách hoàn chỉnh nhất

trong gia đình cùng bạn bè và đồng nghiệp, những người đã luôn động viên,luôn

tạo điều kiện tốt nhất về tinh thần và vật chất, giúp đỡ tôi trong thời gian tôi học

tập và làm luận văn này

Một lần nữa, tôi xin gửi đến tất cả mọi người lòng biết ơn chân thành và sâu sắc nhất

Trang 5

L ỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do ch ọn đề tài

Lý thuyết bài toán biên cho hệ phương trình vi phân thường được xây

đây, với sự phát triển của phương pháp đánh giá tiên nghiệm, cho phép chúng ta thiết lập các dấu hiệu giải được và xấp xỉ nghiệm của bài toán biên với điều kiện biên khác nhau như: điều kiện dạng tuần hoàn, điều kiện biên nhiều điểm, điều

kiện biên dạng tích phân,…

Mục đích chính của luận văn là xem xét sự tồn tại, duy nhất và tính xấp xỉ nghiệm của bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường

thường” để thực hiện nghiên cứu cho luận văn thạc sĩ của mình

2 Ý nghĩa của luận văn

Luận văn là tài liệu tham khảo cho sinh viên và học viên cao học khi nghiên cứu về bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân thường

3 Mục tiêu nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu “ Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến tính ”

4 N ội dung của luận văn

Chương I: Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Trong chương này ta xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại duy nhất

cứu tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này

Chương II: Bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến

tính

Trong chương này, chúng ta xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy

nhất nghiệm của bài toán biên tổng quát cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Trang 6

Hơn nữa, chúng ta còn xem xét tính xấp xỉ nghiệm cho bài toán này

Chương III: Bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân tuyến

tính

Mục đích chính của chương này là xây dựng các điều kiện đủ cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên nhiều điểm cho hệ phương trình vi phân

chuẩn hiệu quả cho việc tồn tại và duy nhất nghiệm của bài toán biên nhiều điểm

tính xấp xỉ nghiệm của bài toán này do thời gian còn hạn chế

Trang 7

• Cho I⊂ R Ta gọi mỗi ánh xạ

Trang 9

tập con compắc của I

• E – ma trận đơn vị

• θ – ma trận không

Trang 10

Chương I BÀI TOÁN CAUCHY CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN

TUY ẾN TÍNH 1.1 Bài toán Cauchy, các bổ đề về bất đẳng thức vi phân và tích phân 1.1.1 Bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Giả sử I⊂Rlà một khoảng (đoạn, bán đoạn, khoảng hữu hạn hay vô hạn)

gọi là bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phân tuyến tính

Với n 1= hiển nhiên ta có kết quả sau:

Trang 11

là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2)

bài toán (1.1), (1.2) và (1.5), (1.6) Theo mệnh đề1.1 thì bài toán (1.5), (1.6) có nghiệm duy nhất là:

Trang 12

Giả sử p, q∈Lloc( )I, R , t0∈I, C0 ∈Rvà hàm số x∈ Cloc( )I, R hầu khắp

nơi trên I thỏa bất đẳng thức:

Trang 13

x t ≤C + ∫p τ x τ q τ dτ t I+  ∀ ∈ (1.11) Khi đó ∀ ∈t I ta có

Ch ứng minh:

0

t 0 t

Trang 14

Ta có điều phải chứng minh.

1.2 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm

Trang 15

x t =C +∫P τ x τ +q τ dτ t I ∀ ∈ (1.13) Phương trình (1.13) là phương trình tích phân dạng Volter

Ta chứng minh tồn tại nghiệm của (1.13) bằng xấp xỉ Picard

Xét dãy vectơ hàm {xk( )t }k 1+∞= xác định như sau:

Trang 16

k 1 t

0 t

k 1 t

0 t

Trang 17

Vậy theo nguyên lý qui nạp (1.18) đúng với ∀ ∈k N

( ) ( ) ( )0

t 0 t

Trang 18

( ) ( )

x t =y t ∀ ∈t IĐịnh lý đã được chứng minh.

1.3 Không gian nghiệm của hệ phương trình tuyến tính tuần nhất

(1.20) gọi là hệ phương trình tuyến tính thuần nhất của (1.1)

Ta biết tập các nghiệm của hệ (1.20) làm thành một không gian vectơ

Ta nhắc lại: Các vectơ hàm x t , x1( ) ( )2 t ,…, xm( )t gọi là độc lập tuyến tính trên I nếu α x t α x t , , α x t1 1( )+ 2 2( )+ … + m m( )= ∀ ∈θ, t I thì

α α= = … = α = 0Trong trường hợp ngược lại thì {x t , x1( ) ( )2 t ,…, xm( )t } là phụ thuộc tuyến tính trên I

Cho hệ vectơ {x t , x1( ) ( )2 t ,…, xm( )t } Ta biết rằng điều kiện đủ để hệ vectơ đó là độc lập tuyến tính là tồn tại t0∈ sao cho: I

Trang 20

( ) ( )0

dx

P t xdt

Thật vậy, giả sử {x t , x1( ) ( )2 t ,…, xm( )t } là các nghiệm độc lập tuyến tính

của (1.20) Theo mệnh đề 1.3thì hệ{x t , x1( ) ( )0 2 t ,0 …, xm( )t0 } là độc lập tuyến tính trong Rn nên m≤ n Ngược lại nếu lấy hệ {x t , x1( ) ( )0 2 t ,0 …, xn( )t0 } là độc

lập tuyến tính thì hiển nhiên hệ vectơ {x t , x1( ) ( )2 t ,…, xn( )t } là độc lập tuyến tính Ta có điều phải chứng minh.

của hệ (1.20) gọi là ma trận cơ bản của hệ (1.20)

Từ mệnh đề 1.3 ta có hệ quả sau:

Trang 21

Giả sử X(t) là một ma trận cơ bản của hệ (1.20) Khi đó mọi nghiệm x(t)

của hệ (1.20) đều có thể viết dưới dạng:

( ) ( )

C∈R vectơ x(t) cho bởi công thức (1.27) là nghiệm của hệ (1.20)

Trang 23

Nếu các cột của X(t) là phụ thuộc tuyến tính thì det X t( ( ) )= ∀ ∈0, t I Khi

đó ta có điều phải chứng minh

Nếu X(t) là ma trận cơ bản của hệ(1.20) thì gọi I′ ⊂ mà trên đó X(t) có đạo Ihàm, không mất tính tổng quát ta giả sử

X (t)′ =P(t).X(t) t∀ ∈ I′(I khác I’ một tập có độ đo không)

Trang 24

Với t+ ∆ ∈t I′ và Y t, t( ∆ →) θkhi ∆ →t 0

Giả sử X t , X t( ) ( )0 là 2 ma trận cơ bản của (1.20) Khi đó ta có:

Trang 27

có dạng:

1.4 Phương pháp biến thiên hằng số, công thức Cauchy

Xét bài toán Cauchy (1.1), (1.2):

Gọi X(t) – ma trận cơ bản của hệ thuần nhất (1.20)

Trang 28

( ) ( )

dxP

Trang 29

1.5 Đinh lý về tính xấp xỉ của bài toán (1.1), (1.2)

Cùng với bài toán (1.1), (1.2) ta xét bài toán:

Bài toán (1.1), (1.2) được gọi là xấp xỉ được nếu với mỗi ε 0> (đủ bé),

ξ 0> (đủ lớn) đều tồn tại δ 0> sao cho:

Trang 30

t t

Ch ứng minh:

Do (1.57) nên nghiệm x(t) của bài toán (1.1), (1.2) thuộc không gian

( n)

C I, RĐặt

Do (1.59) nên với ε 0, > ξ > t0 ồn tại δ >0 sao cho:

Trang 31

thỏa các điều kiện (1.53), (1.54), (1.55)

Giả sử y(t) là nghiệm của bài toán (1.51), (1.52) và:

Trang 33

Áp dụng bổ đề 1.2 ta có:

0

t 0

Nếu ta định nghĩa khái niệm hệ xấp xỉ được theo nghĩa sau:

Bài toán (1.1), (1.2) gọi là xấp xỉ được nếu với mọi dãy

θθ

t k k

t t k k

Trang 34

Với x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2) và xk là nghiệm của bài toán

thực hiện với x là nghiệm của bài toán (1.1), (1.2), xk là nghiệm của bài toán

( ) (1.1 , 1.2 k k)

Trang 35

Ch ương II.BÀI TOÁN BIÊN TỔNG QUÁT CHO HỆ PHƯƠNG TRÌNH

VI PHÂN TUY ẾN TÍNH 2.1 Định lý tồn tại và duy nhất nghiệm cho bài toán biên tổng quát

Cho I = [a, b], xét hệ phương trình vi phân

q(t) x P(t) dt

dx= +

(2.1) với P ∈ L(I, R n×n), q∈ L( )I, R n

x(t) C(I, R )∈  thỏa (2.1) hầu khắp nơi trên I

Bài toán đặt ra: Tìm nghiệm x(t) của hệ (2.1) thỏa điều kiện biên

Bài toán (2.1), (2.2) gọi là bài toán biên tổng quát

Trường hợp riêng của bài toán (2.1), (2.2) là

• Bài toán Cauchy: x t(0 ) = C0

• Bài toán biên hai điểm: A 1 x ( a ) + A 2 x ( b ) = C 0

1

C ) t ( x

x ) t(

dx=

(2.10)

0 ) x ( =

Định nghĩa 2.1

Ánh xạ G : I 2→ Rn×n gọi là ma trận Green của bài toán (2.10), (2.20) nếu

Trang 36

1 Với mỗi τ∈ (a, b), các cột của ma trận G ⋅ ( , τ) là nghiệm của bài toán (2.10) trên các khoảng [a, τ), (τ, b] và G(τ+,τ)-G(τ-,τ)=E

Nếu Y ∈ C(I, Rn ×n)và Y =(y1 ,y2, ,yn), yk∈ C(I, Rn) thì đặt

n 2

1 ) , ( y ) , , (y ) R y

( ) Y

) t(

Với

x0(t) là nghiệm của (2.10), (2.2)

τ) ,

t (

Y ) , t(

) t(

Y x(a) Y(t)

Trang 37

Đặt

C ) a (

Y(t) ) t(

) q (

thì

(A(q))( )tC

Y(t))t(

x = + (2.5) Khi đó x(t) là nghiệm duy nhất của bài toán (2.1), (2.2) khi và chỉ khi C là nghiệm duy nhất của hệ

(A ( q )) C0C

(Y) )

x ( =  +  =

(2.6) là hệ phương trình tuyến tính có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi

0 ) Y (

Nhưng điều kiện (2.7) tương đương với điều kiện bài toán (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường.Vậy bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất khi và chỉ khi bài toán (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường

Nếu bài toán (2.10), (2.20) chỉ có nghiệm tầm thường thìdet ( ) Y  ≠ 0. Khi đó

(A ( q ))

C C (Y) 0 

) t (

Khi đó

(A ( q ))t( ) )

q ( h ) t(

Y (t) x ) t(

Trang 38

Do (2.9) nên h : L I , R n ) → R n là toán tử tuyến tính liên tục Theo định lý Reez tồn tại ma trận hàm H ∈ L+∞(I, Rn×n) sao cho

q ) t(

H ) q ( h

τ τ τ

Với

1

Y(t) H(τ) Y (τ) khi a τ t bG(t, τ)

Dễ thấy G ( t , τ)là hàm Green của (2.10), (2.20)

Vậy định lý được chứng minh.

Công thức (2.3) gọi là công thức Green cho bài toán (2.1), (2.2)

Do  : C I , R n ) → R n là toán tử tuyến tính liên tục nên theo định lý Riess tồn tại ma trận hàm λ : I → R n×n mà các thành phần của nó có biến phân bị chặn sao cho

θ λ(b) = (2.11)

x ) t(

d (x) λ

x C(I, R )∈  áp dụng tích phân từng phần và lưu ý đến (2.11) ta có

Trang 39

x ) t(

x(a) (a) )

=

b

1 k

1 m 1 i

ds ) s ( P (s) M ds

i ) s ( P E

ds ) s ( P M

Trang 40

Giả sử các điều kiện (2.16), (2.17) được thực hiện Ta chứng minh bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất

Đặt

C ) a (

x =

Khi đó

(p (x))( )tC

)t(

[C p (x )]( )t p

C ) s ( P C luan van tot nghiep download luanvanfull moi nhat z z @gmail.com Luan van thac si

Trang 41

ds (s) (x) p ) s ( P ds C ) s ( P C

(p (x))(t) C

ds ) s ( P E

) t(

1 j 1 i

) s ( P ) s ( C M

b

a

1 k

Do Mk là ma trận chính qui nên

b 1

Trang 42

C a

P(s) ds x

1 i C i

) s ( P

a

≤ ∫ P(s)  ds xBằng phương pháp qui nạp ta chứng minh được

a

p (x) (t) ≤ ∫ P(s)  ds xVới ∀ t ∈ I và ( = i 1, n )

Áp dụng điều trên vào (2.20) ta có

a

1 k

1 m 1 i

i ) s ( P E

ds m ) s ( P ) t(

Trang 43

Giả sử bài toán (2.1), (2.2) có duy nhất một nghiệm Ta chứng minh tồn tại các

số tự nhiên k, m sao cho (2.15), (2.16) đúng

P

Trang 44

d ) ( P

) t(

P

t

a

2 s

a 3

P(s) ds P(t) P(t)

a j

P(s) ds P(t) P(t)

Gọi Y – ma trận cơ bản của (2.10), (2.20) thỏaY ( a ) = E

Do bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất nên det  ( Y ) ≠ 0

Đặt

[ ]P ( s ) i ds E

) t(

1 i

t (

1 i

Suy ra {Yk′(t)} hội tụ đều trên I.Do đó {Yk(t)} hội tụ đều trên I tới X(t)

Ta có

Trang 45

k(t ) P(t) i Y

P

=

2 k 1 i

t

a

ds 2 k ) s ( P E

) t(

P

1 k Y ) t(

P = −

Cho k → + ∞ ta có

X(t) ) t(

P ) t(

X ′ =

Hơn nữa Yk(a )=ESuy ra X ( a ) = E

Do đó X = t( ) Y t( )

Vậy Y (t) k hội tụ đều về Y(t)trên I hay

0 Y Y

∞ +

→

Theo (2.13) ta có

( )Yk =−Mk

Vậy

(Y) M

∞ +

→

∞ +

Do đó, tồn tại số tự nhiên k0 và số α sao cho

( )M 0det k ≠ , M−k1 < α, ( k = k0, k0+ 1, )(2.23)

Do chuỗi bên phải (2.22) hội tụ đều nên

Trang 46

lim k ,m

m ,

∞ +

k t

a

d ) ( d

) f(

exp

τ τ τ

/ k t

a

d ) ( d

) f(

exp ) t(

f

τ τ τ

1 k t

a

! 1 k (

d ( ) t(

f

τ τ)

vàcũng là hội tụ đều trên I

Cùng với hệ (2.1) ta xét hệ

q(t) x P(t) dt

Trang 47

Hệ quả 2.1

Giả sử

( ) 0det λ(a) ≠ (2.25)

) s ( det

t, (

Trang 48

k, ( ) M

M ε = ε

Với Mk , Mk,1như trong định lý 2.2

Theo (2.25) hoặc (2.26), (2.27) thì detMk ≠0Chọn

(M k, 1 )

r

1 =

(t, G

Trang 49

Giả sử ( )n

1 i

i (t) x ) t(

[P(t) P (t)] x(t) x(t)

P x P(t) dt

) t(

Từ đó cùng với (2.29) ta có

x M ) t(

x ≤ C ∀ t ∈ I

1 i C i

2.2 Định lý xấp xỉ nghiệm của bài toán biên tổng quát

Cùng với bài toán (2.1), (2.2) ta xét các bài toán sau

(t) q x (t) P dt

t

a k

Trang 50

ds ) s ( q

t

a k

→ ∀ y ∈ C(I, Rn)

0 k

k lim C = C

∞ +

Khi đó tồn tại số tự nhiên k0 sao cho ∀ ≥k k0 bài toán (2.1k), (2.2k) có duy nhất nghiệm xk và

0 x

x

∞ +

Định lý 2.4

Nếu bài toán (2.1), (2.2) có nghiệm duy nhất thì nó là xấp xỉ được

Trước khi chứng minh định lý 2.4 ta cần bổ đề sau

Bổ đề 2.1

Giả sử uk∈C(I,R), vk∈L(I,R), ( = k 0 , 1, 2 , , n, )

ds ) s ( v

t

a k

∫ v ( s ) ds

t

a 0

u

∞ +

→ (2.37) Khi đó

ds (s) u ) s ( v

t

a

k k

∫ v ( s ) u (s) ds

t

a

0 0

Tiêu đề	Bài Toán Biên Nhiều Điểm Cho Hệ Phương Trình Vi Phân Thường
Tác giả	Vilavong Vanthong
Người hướng dẫn	PGS. TS. Nguyễn Anh Tuấn
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Thành phố Hồ Chí Minh
Chuyên ngành	Toán Giải Tích
Thể loại	Luận văn thạc sĩ toán học
Năm xuất bản	2015
Thành phố	TP. Hồ Chí Minh

Định dạng
Số trang	64
Dung lượng	891,28 KB