Cái nhìn sơ lược về nền toán học hiện đại

Nền toán học hiện đại là một lĩnh vực nghiên cứu toán học phát triển từ thế kỷ 20 đến nay, đặc trưng bởi sự mở rộng và sự phức tạp hơn so với các hệ thống toán học truyền thống. Nó tập trung vào việc khám phá và phân tích các khái niệm trừu tượng, sử dụng các phương pháp logic và lý thuyết tập hợp để xác định các quy tắc và mối quan hệ giữa các khái niệm này. Nền toán học hiện đại đặc biệt quan tâm đến việc xác định các khái niệm cơ bản, xây dựng các hệ thống lý thuyết chặt chẽ và chứng minh các định lý. Nó đã đóng góp mạnh mẽ cho sự phát triển của các lĩnh vực ứng dụng như khoa học máy tính, vật lý, kỹ thuật, kinh tế học và nhiều lĩnh vực khác.

CÁI NHÌN SƠ LƯỢC

VỀ NỀN TOÁN HỌC

HIỆN ĐẠI

THỜI KÌ TOÁN HỌC

GẮN LIỀN VỚI CÁC

YẾU TỐ , ĐẠI

LƯỢNG BẤT BIẾN

Thời kỳ đầu, thời kỳ của toán

học về các đại lượng bất biến,

tức là các đại lượng lấy những

giá trị cố định Trước hết, toán

học đã đóng góp vào sự hình

thành cơ sở của lôgic hình thức,

nhờ vậy tư duy có lập luận

chính xác, chặt chẽ Điều đó

góp phần hình thành nên các

nguyên tắc của tư duy khoa

học

Thí dụ từ quan hệ a=b,b=c suy

ra a=c Tuy nhiên, khái niệmbằng nhau ở đây là bất biến,bất động, cố định

Đối với các lĩnh vực tri thứckhác, ở thời kỳ này mới chỉ có

cơ học và thiên văn học làtương đối phát triển Toán học

đã thông qua hai khoa học nàygóp phần vào cuộc cách mạngcủa Copecních thay hệ địa tâmbằng hệ nhật tâm Sự phát

triển của một thế giới quan mớigắn liền với cuộc cách mạng

mà Copecních thực hiện đòi hỏiphải có một nền toán học mangnhững tư tưởng mới về chất rađời (đó là toán học về các đạilượng biến đổi ở thời kỳ cổ

điển)

THỜI KÌ CỔ ĐẠI

T O Á N H Ọ C S Ơ C Ấ P

GIAI ĐOẠN PHÁT TRIỂN CỦA

TOÁN HỌC GẮN LIỀN VỚI

HƠI THỞ CỦA TRIẾT HỌC

CHƯƠNG 1

QUÁ TRÌNH PHÁT TRIỂN

Đ Ư Ợ C C H I A L À M 3 T H Ờ I K Ì

THỜI KÌ CỔ ĐẠI

Đây là giai đoạn toán học về

các đại lượng bất biến (từ thế

kỷ thứ V trước công nguyên

đến thế kỷ XVII)

TOÁN HỌC SƠ CẤP

T H Ờ I K Ì C Ổ Đ I Ể N

Giai đoạn toán học nghiên cứu

về các đại lượng biến đổi (từthế kỷ XVIII đến cuối thế kỷXIX)

TOÁN HỌC CỔ ĐIỂN

THỜI KÌ HIỆN ĐẠI

Trong giai đoạn hiện đại,

thành tựu nổi bật của toán

học là tư tưởng cấu trúc Thực

chất của tư tưởng này là cho

Tuy nhiên, ở thời kỳ này, các quan niệm của cơ học Niutơn chi phối hầu hết cáchxem xét các sự vật, hiện tượng của thế giới xung quanh Do cơ học Niutơn lấy sốlượng bất biến, cố định của toán học làm chuẩn mực để tính toán khối lượng của

nó, nên quan điểm này tạo cơ sở cho hình thành chủ nghĩa duy vật siêu hình máymóc Thế giới quan của chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc đã ảnh hưởng lâudài đến sự phát triển của toán học và các lĩnh vực khác của khoa học tự nhiên

Mặt khác, những thành tựu trong sự phát triển của số học, hình học cũng đã tạo

ra mối liên hệ đầu tiên với những quan niệm của phép biện chứng ngây thơ cổ

đại Chẳng hạn, vấn đề quan hệ giữa số thực và số ảo, giữa vô hạn và hữu hạn Như vậy ở thời kỳ này, mặc dù toán học có đóng góp vào sự hình thành và pháttriển một số yếu tố biện chứng, song nhìn chung nó chỉ dừng lại ở việc góp phầnhình thành và củng cố thế giới quan chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc Do sựphát triển của thực tiễn và nhận thức, tất yếu dẫn tới sự ra đời của toán học vềcác đại lượng biến đổi

CÁC KHUYẾT ĐIỂM TOÁN HỌC CỔ ĐẠI

SỰ PHÁT TRIỂN

TOÁN HỌC GẮN

LIỀN VỚI CÁC ĐẠI

LƯỢNG BIẾN ĐỔI

Ở thời kỳ này, các nhà kinh

điển chú ý đến toán học, trước

hết vì những tư tưởng về vận

động, về các mối liên hệ, được

phát triển trong toán học sớm

hơn ở các khoa học tự nhiên

thực nghiệm khác Thật vậy,

trong lập luận của giải tích

toán và phép tính vi phân,

người ta đã dùng các khái niệm

như hàm số, giới hạn, liên tục,

gián đoạn vô hạn, hữu hạn

Nói theo ngôn ngữ toán học,tức là có sự tương tự về cấutrúc hay sự đẳng cấu giữa cáclĩnh vực có bản chất khác nhau

Có thể nói rằng tư tưởng cấutrúc là một trong những cơ sở

lý luận cho sự ra đời của cáckhoa học tổng hợp như logictoán, điều khiển học, tin học,toán lý, toán sinh, toán kinhtế

Về phương diện thực tiễn, trên

cơ sở sự tương tự về cấu trúcgiữa các quá trình diễn ra

trong giới tự nhiên vô sinh, sựsống và xã hội (tư duy) người

Vào thời kỳ trước đó, do những điều kiện lịch sử nhất định, thế giới quan siêu hìnhmáy móc đang thống trị trong khoa học tự nhiên, sự ra đời và phát triển tư tưởngvận động, liên hệ của toán học đã giáng một đòn mạnh mẽ vào thế giới quan

siêu hình “mà điểm trung tâm là quan niệm về tính bất di bất dịch tuyệt đối của

tự nhiên” Thật vậy, sự ra đời của phép tính vi phân, giải tích toán học đã tạo chocác nhà khoa học một phương tiện mới trong nhận thức về các hiện tượng, sự vật,quá trình trong tự nhiên Nhờ đó, người ta mới phát hiện ra định luật vạn vật hấpdẫn ở thế kỷ XVII, quy luật truyền sóng và truyền nhiệt ở thế kỷ XVIII Sự ra đờithuyết tương đối của Anhxtanh ở thế kỷ XIX chính là nhờ sự phát triển từ trước

của hình học phi Ơclít Như vậy, toán học đã thông qua vật lý học, đóng góp vàocuộc cách mạng thế giới quan, thay chủ nghĩa duy vật siêu hình máy móc dựa

trên cơ học Niutơn (với đặc điểm là khối lượng bất biến, không gian và thời giantách biệt nhau) bằng chủ nghĩa duy vật biện chứng mà sự ra đời của thuyết

tương đối Anhxtanh và những lý thuyết khoa học hiện đại khác là ví dụ (với đặcđiểm là khối lượng, không gian và thời gian không tách rời nhau)

CÁI HAY CỦA THỜI KÌ CỔ

ĐIỂN SO VỚI CỔ ĐẠI

Một thành tựu quan trọng khác của toán học thời kỳ này là sự ra đời của

tưởng thống kê – xác suất Tư tưởng thống kê – xác suất khẳng định sự tồntại khách quan của cái ngẫu nhiên Thế giới không chỉ có những cái tất

nhiên mà có cả những cái ngẫu nhiên Ngẫu nhiên và tất nhiên liên hệ chặtchẽ và bổ sung cho nhau Tư tưởng thống kê- xác suất cho ta một quan niệmmới mềm dẻo và chính xác hơn về sự phụ thuộc lẫn nhau, giữa các sự vật,

hiện tượng, quá trình Nó vượt hơn hẳn quan điểm quyết định luận chặt chẽcoi sự phụ thuộc liên hệ giữa các sự vật chỉ là đơn tại chặt chẽ và tính tất

nhiên thống trị tuyệt đối trong giới tự nhiên Sự tồn tại cái ngẫu nhiên bổ

sung vào bức tranh khoa học chung về thế giới

XÁC SUẤT

NHẬN XÉT

CHUNG

Như vậy, các tư tưởng vận động, liên hệ

và thống kê – xác suất đã góp phầnhình thành tư duy biện chứng và là cơ

sở khoa học để luận chứng cho thế giớiquan duy vật biện chứng

GIẢI PHÁP MẠNH HÙNG

khoa học cao cấp cổ điển vẫn

tiếp tục phát triển Tuy nhiên

sự tiến hóa từ trực giác sang

trừu tượng trở thành một trong

những khuynh hướng chính của

thời đại

Nói theo ngôn ngữ toán học,tức là có sự tương tự về cấutrúc hay sự đẳng cấu giữa cáclĩnh vực có bản chất khác nhau

Có thể nói rằng tư tưởng cấutrúc là một trong những cơ sở

lý luận cho sự ra đời của cáckhoa học tổng hợp như logictoán, điều khiển học, tin học,toán lý, toán sinh, toán kinhtế

Về phương diện thực tiễn, trên

cơ sở sự tương tự về cấu trúcgiữa các quá trình diễn ra

trong giới tự nhiên vô sinh, sựsống và xã hội (tư duy) người

ta đã chế tạo ra hệ thống máy

tự động, hoạt động theo cơ chếtương tự bộ não và các giác

quan con người

THỜI KÌ HIỆN ĐẠI

S Ự H Ì N H T H À N H T Ư D U Y T R Ừ U T Ư Ợ N G

Sự thống nhất của toán học với thế giới quan triết học biểu hiện ở chỗ

chúng xác nhận những tư tưởng cơ bản của chủ nghĩa duy vật: tư tưởng

về sự thống nhất vật chất của thế giới và tính có thể nhận thức được của

thế giới đó Các khoa học khác như vật lý học, sinh học đã có những đóng

góp quan trọng vào việc luận chứng cho sự thống nhất này Có thể nói

rằng cùng với sự phát triển của khoa học và thực tiễn các lý thuyết toán

học ngày càng có khả năng đi sâu vào việc luận chứng cho tư tưởng về

sự thống nhất vật chất của thế giới Chẳng hạn, cùng một phương trình

có thể diễn tả sự phân huỷ chất phóng xạ, sự sinh sản của vi khuẩn, sự

tăng trưởng của nền kinh tế Như vậy, tư tưởng cấu trúc của toán học

hiện đại góp phần quan trọng vào sự nhận thức những cơ sở nền tảng

của sự tổng hợp tri thức vốn chứa đựng nội dung thế giới quan, phương

pháp luận sâu sắc Đồng thời nó là một trong những cơ sở khoa học để

luận chứng cho thế giới quan duy vật biện chứng về sự thống nhất vật

chất của thế giới

Như vậy cả về phương diện lý luận và thực tiễn, toán học hiện

đại đóng vai trò nền tảng trong quá trình nhất thể hoá các

khoa học Hơn nữa, tư tưởng cấu trúc của toán học còn phản

ánh sâu sắc sự thống nhất vật chất của thế giới.

Những kết quả trên đây được củng cố vững chắc hơn khi xem xét ảnh

hưởng của toán học đối với sự phát triển của khoa học tự nhiên hiện đại,đặc biệt đối với những ngành tiếp cận thế giới vi mô Dựa vào sự tương tự

về cấu trúc, người ta phát hiện ra mối liên hệ, quan hệ và sự thống nhất

giữa các lý thuyết vật lý khác nhau Đặc biệt, trên cơ sở những lý thuyết

hình thức (trừu tượng) của toán học, người ta đã phát hiện ra những hạtmới trước khi chúng được phát hiện nhờ thực nghiệm

Điển hình là việc phát hiện ra positrontrong cơ học lượng tử nhờ biểu diễn nóbằng một phương trình z căn bậc hai

Trong sinh học (lý thuyết di truyền), sinh học phân tử

KẾT LUẬN

Đối với khoa học nhân văn, khả năng hình thành toán kinh tế, toán tâm lý,toán xã hội sẽ góp phần củng cố thế giới quan duy vật biện chứng trongnhận thức nhân văn và xã hội

Các cuộc cách mạng trong hoá học (hoá học lượng tử)

NGƯỜI MANG TOÁN

HỌC HIỆN ĐẠI VÀO

PHÍA NAM

Ông là người đã mang toán học hiện đại vào phíaNam đầu thập niên 60, được giao chức vụ Khoatrưởng Khoa Toán của ĐH Khoa học Sài gòn lúc 34tuổi để làm cuộc cải cách giáo dục toán ở đại học,cùng với cuộc cải cách đại học, phong trào chuyểnngữ cả miền Nam đang diễn ra lúc đó Ông đã

đem ngọn gió mới vào đại học, gây một sự hưngphấn trong các sinh viên toán

Toán học không những được hiện đại hoá mà cònđược nâng cấp lên bậc cao học Sinh viên được

hướng dẫn bước vào đường nghiên cứu và có thểcông bố kế quả nghiên cứu của mình ở những tạpchí quốc tế, dưới sự hướng dẫn của vị giáo sư trẻvừa tốt nghiệp Ông vừa dạy, vừa nghiên cứu, vừa

tự học thêm Tinh thần đại học của Humboldt – sựkết hợp nghiên cứu và giảng dạy − thấm đượm ởông

GIỚI THIỆU VỀ

GIÁO SƯ ĐẶNG

ĐÌNH ÁNG

Giáo sư đầu tiên của

nước Việt Nam

Ông đã có hơn 130 công

trình nghiên cứu toán học có

giá trị được công bố ở nước

ngoài, nhiều sách giáo khoa

và chuyên đề., đã đào tạo 12

tiến sĩ trong nước có những

công trình tương đương với

của ông, giống như chiếc đàn

vĩ cầm của Einstein Ông

không những thích âm nhạc

riêng cho mình, "mà ông thật

sự quan tâm tới đời sống,

sinh hoạt âm nhạc, với giới

hoạt động âm nhạc tại thành

Ông đã tự học để thi tú tài I

ở Hà nội, rồi Tú Tài II ở Sài

Gòn, tự học Anh ngữ, rồi tự

học tại đại học Kansas để rút

ngắn chương trình cử nhân,

tự tìm tòi học hỏi khi về Việt

Nam làm việc, và cứ như thế

trong suốt cuộc đời nghiên

cứu và giảng dạy của ông.

MỘT SỐ THÀNH TỰU TIÊU BIỂU TRONG GIAI ĐOẠN

HIỆN ĐẠI

CHƯƠNG 2

Trong thế kỉ XIX, các ngành khoa học cao cấp cổ điển vẫn

tiếp tục phát triển Sự tiến hóa từ trực giác sang tính chặt

chẽ đã có những thành tựu đáng kể, toán học dần dần

được giải phóng khỏi những ràng buộc truyền thống và sự

khái quát và sự trừu tượng trở thành một trong những

khuynh hướng chính của thời đại

Ba sự kiện nổi bật thế kỉ XIX thể hiện rõ khuynh hướng

trừu tượng hóa rất cao là: một trong những lĩnh vực hình

học, một trong những lĩnh vực đại số học, và một trong

những lĩnh vực giải tích

NHẬN XÉT CHUNG

Sự kiện đầu tiên

HÌNH HỌC PHI EUCLIDE

NĂM 1829

Sự kiện hình học là sự kiện xảy ra đầu tiên trong các sự kiện nêu trên, đó là sự khám phá ra môn hình học phi mâu thuẫn

và tự nhất quán với hình học Euclide : hình học phi Euclide.

Vào năm 1829 ba nhà toán học Lobachevsky, Bolyai, Gauss đã thay tiên đề V của Euclide“ Từ một điểm ngoài đường thẳng

ta có thể dựng duy nhất một đương thẳng song song với

đường thẳng ấy” bởi tiên đề“ Từ một điểm nằm ngoài đường thẳng ta dựng được ít nhất hai đường thẳng song song với

đường thẳng ấy”, và như vậy một lĩnh vực hình học mới ra đời.

Sự ra đời của hình học phi Euclide có ý nghĩa quan trọng là giải phóng khỏi quan điểm cổ truyền tồn tại ở thế kỉ trước đó

là chỉ có một thứ hình học duy nhất là hình học Euclit.

Con người có khả năng sáng tạo ra

nhiều hình học“nhân tạo” nên hình học không còn nhất thiết phải gắn

bó với không gian vật lý của thế giới

thực tại

Như vậy, từ nay con đường thênh thang rộng mở cho hình học là có thể sáng tạo ra kiểu hình học khác

nhau

Các nhà toán học không còn lo lắng cho các tiên đề của mình đưa ra có phù hợp với không gian vật lý hay không hoặc đúng sai ra sao mà từ lúc này họ có quyền tự do dưa ra tiên

đề của mình

VỀ MẶT TƯ DUY

Đây là “định đề hai đường song song” nổi tiếng Nó thể hiện sự thiên tài của

Euclid vì đã nhận ra sự cần thiết của nó

Một hệ quả logic của định đề này là Định lí Pythagoras phát biểu rằng tổng bagóc của một tam giác luôn bằng 180 độ

Định đề vừa nói ở trên có vẻ quá hiển nhiên nên người ta chưa từng nghĩ nó cóthể hoặc có lẽ nên thay đổi Nhưng một vài nhà toán học, Lobachewsky là mộttrong số đó, đã nghĩ tới cái xảy ra khi định đề trên được thay thế bởi định đề

sau đây:

" Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, có thể vẽ

hai đường thẳng khác nhau cùng song song với đường thẳng đã cho"

Chúng ta có thể vẽ một hình như sau, trong đó hai đường thẳng tách biệt được

vẽ qua điểm P, một hướng sang trái và một hướng sang phải

Qua một điểm cho trước nằm ngoài một đường thẳng cho trước, ta vẽ đượcmột và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho

Định đề hai đường song song

Hình học Lobachewsky

Nói cho hợp lí thì chẳng có gì sai khi giả sử

người ta có quyền tự do lựa chọn những giả

thiết căn bản bất kì miễn là chúng không mâu

thuẫn nhau Nhưng hai đường thẳng trong

hình vẽ ở trên trông không có vẻ gì song song

với đường thẳng đã cho! Nguyên nhân hai

đường thẳng trong hình vẽ ở trên, một hướng

sang phải và một hướng sang trái, không có

vẻ song song với đường thẳng đã cho là vì

hình được vẽ trong một mặt phẳng bình

thường, nơi chỉ có hình học Euclid đúng còn

hình học mới thì không!

Nó chẳng phải là một giả thiết lạ hay sao?

Vậy tại sao lại gọi là hình học Lobachewsky?

Gauss, nhà toán học nổi

tiếng nhất thời ấy,

không dám mạo hiểm

với những quan niệm

mới này vì sợ ảnh

hưởng đến danh tiếng

của ông

Bolyai thì dũng cảmxông pha, nhưng ông

đã không phát triểnnhững khái niệm mớisâu sắc và trọn vẹnnhư Lobachewsky

Lobachewsky là ngườiđầu tiên giới thiệu cáckhái niệm một cách

rộng rãi, và còn pháttriển chúng sau đótrong một số bài báo

Vì thế, bộ môn hình họcmới được gọi là hình

học Lobachewsky

Riemann, một nhà toán học người Đức, vào khoảng năm 1854, đã nghĩ tới việcthay thế định đề hai đường song song bằng định đề sau đây:

" Qua một điểm cho trước không thuộc một đường thẳng cho trước, không vẽđược đường thẳng nào song song với đường thẳng đã cho"

Một hệ quả logic của giả thiết này đưa ông đến với một bộ môn hình học

trong đó tổng ba góc của một tam giác lớn hơn 180 độ

Bộ môn hình học này được gọi là hình học Riemann

Những định lí hình học Euclid không phụ thuộc vào định đề hai đường songsong thì vẫn không thay đổi Ví dụ, các định lí sau đây là đúng trong cả ba

bộ môn hình học:

(i) Hai góc đối đỉnh thì bằng nhau

(ii) Hai góc đáy của một tam giác cân thì bằng nhau

Hình học Riemann là gì?

Những định lí nào đúng trong cả ba bộ môn hình học?

Trong hình học Euclid:

(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn bằng 180 độ

(ii) Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, cho dù có kéo

dài ra bao xa, và luôn luôn cách nhau một khoảng không đổi

(iii) Hai tam giác có thể có ba góc bằng nhau nhưng diện tích khác nhau Haitam giác như vậy được gọi là tam giác đồng dạng, và tam giác này là hình

phóng to của tam giác kia

(iv) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuônggóc với đường thẳng đó

(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó bằng p

Trong hình học Lobachewsky:

(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn nhỏ hơn 180 độ, và lượng nhỏ hơn tỉ lệvới diện tích của tam giác

(ii) Hai đường thẳng song song thì không bao giờ gặp nhau, nhưng khoảng

cách giữa chúng nhỏ dần đi khi kéo dài chúng ra xa

(iii) Chỉ hai tam giác bằng nhau về diện tích mới có ba góc bằng nhau, cho

nên hai tam giác có diện tích khác nhau không bao giờ có thể đồng dạng

Trong bộ môn hình học này, khi một tam giác tăng diện tích, thì tổng số đo bagóc của nó giảm

(iv) Qua một điểm nằm ngoài một đường thẳng, chỉ vẽ được một đường vuônggóc với đường thẳng đó giống như trong hình học Euclid

(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn lớn hơn p,

và tỉ số đó càng lớn khi diện tích vòng tròn càng lớn

Trong hình học Riemann:

(i) Tổng ba góc của một tam giác luôn lớn hơn 180o

(ii) Mỗi cặp đường thẳng nằm trong một mặt phẳng phải cắt nhau

(iii) Tam giác càng lớn thì góc càng lớn

(iv) Có thể vẽ vô số đường vuông góc từ một điểm đến một đường thẳng chotrước

(v) Tỉ số của chu vi của một đường tròn và đường kính của nó luôn nhỏ hơn p,

và giảm khi diện tích của vòng tròn tăng

Đâu là chỗ khác nhau giữa

ba bộ môn hình học?