Toán Học, Phương Pháp Giảng Dạy, Phương Pháp Giải Toán, Số Phức, Lượng Giác, Tổ Hợp.docx

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI –[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM

TOÁN

HÀ NỘI – 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

(BỘ MÔN TOÁN)

Mã số: 60 14 01 11

Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Cung Thế Anh

HÀ NỘI – 2015

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy giáo, Cô giáo Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã truyền đạt kiến thức cho tác giả, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian học cao học.

Tác giả xin tỏ lòng biết chân thành tới PGS TS Cung Thế Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho tác giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, các giáo viên, học sinh trường Trung học phổ thông Trung Văn, Hà Nội đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian đi học và làm luận văn tốt nghiệp.

Xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên, khích lệ, giúp đỡ để tác giả tập trung học tập.

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 5 tháng 11 năm 2015

Tác giả

Lê Thị Hà

1.1.1 Mục đích, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông 5

1.3 Tình hình dạy học số phức và vấn đề bồi dưỡng năng lực ứng dụng

số phức để giải toán lượng giác và tổ hợp trong trường phổ thông 20

1.3.1 Các nội dung Số phức trong chương trình Giải tích lớp 12 THPT 211.3.2 Thực trạng dạy học nội dung số phức ở trường THPT hiện nay 241.3.3 Sự cần thiết của việc dạy học ứng dụng số phức vào giải toán lượng

3.1 Mục đích và nhiệm vụ của thực nghiệm sư phạm 69

3.3.3 Nội dung giảng dạy chuyên đề và đề kiểm tra 72

5

1 Lí do chọn đề tài MỞ ĐẦU

Hiện nay, nội dung Số phức được đưa vào chương trình Toán THPT ởlớp 12 nhằm hoàn thiện việc xây dựng hệ thống số ở chương trình toán phổthông và để phù hợp với thông lệ quốc tế Tuy nhiên, vì là chương cuối cùngtrong chương trình Giải tích 12 và việc giảng dạy vẫn theo lối cũ, chủ yếu làcác khái niệm và các dạng toán cơ bản liên quan đến nội tại số phức, chưaquan tâm nhiều đến việc liên hệ với các nội dung khác trong chương trình,nên học sinh và có lẽ là cả phần lớn giáo viên không hiểu tại sao lại đưa nộidung số phức vào chương trình toán phổ thông Sự tồn tại của số phức trongđời sống cũng khó hình dung hơn so với các loại số khác như số tự nhiên, sốnguyên, số hữu tỉ, số thực Có lẽ rằng nếu nội dung số phức không phải là mộtcâu hỏi thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi vào đại học thì nó đãkhông được chú trọng giảng dạy trên lớp

Chúng ta biết rằng số phức ra đời từ nhu cầu giải các phương trìnhđại số bậc cao và sau đó đã phát triển mạnh mẽ trở thành một chuyênngành độc lập trong toán học gọi là Giải tích phức, nhờ đóng góp củanhững nhà toán học kiệt xuất như Euler, Gauss, Cauchy, và ngày nayGiải tích phức đã trở thành một ngành có rất nhiều ứng dụng, trong cả toánhọc và trong nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác Tất nhiên với trình độcủa học sinh phổ thông, và có lẽ kể cả giáo viên toán ở phổ thông, khó cóthể trình bày được hết ý nghĩa và tầm quan trọng của số phức Tuy nhiên,với trình độ đó, ta có thể làm cho họ thấy ý nghĩa và ứng dụng của số phứcnhư là một công cụ hữu hiệu để giải và sáng tác những bài toán phổ thông,

từ những bài toán cơ bản đến những bài toán khó Từ đó sẽ góp phần giúpviệc giảng dạy và học tập nội dung số phức ở trường phổ thông hiệu quảhơn Điều này cũng thể hiện tư tưởng dạy học tích hợp, một xu hướng tiêntiến trong dạy học hiện nay

Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài “Bồi dưỡng năng lực ứng dụng Số phức vào giải toán Lượng giác và Tổ hợp cho học sinh Trung học phổ thông” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình.

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp

Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toánlượng giác và tổ hợp cho học sinh THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán: năng lực và năng lực giải toán

- Điều tra, tìm hiểu thực tiễn tiễn việc sử dụng số phức như một công

cụ để giải toán lượng giác và tổ hợp ở THPT

- Nghiên cứu ứng dụng của số phức trong việc giải các dạng toán vềlượng giác và tổ hợp (còn gọi là “phương pháp số phức trong lượng giác và

tổ hợp”)

- Xây dựng hệ thống bài tập chuyên đề nhằm bồi dưỡng năng lực giảitoán lượng giác và tổ hợp cho học sinh bằng phương pháp số phức góp phầnbồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

-Trên cơ sở thực tế giảng dạy và thực nghiệm, rút ra các kết luận sưphạm và khuyến nghị về việc giảng dạy nội dung số phức trong chương trìnhToán THPT và quan hệ của nó với các nội dung khác, nói riêng là với lượnggiác và tổ hợp

4 Đối tượng nghiên cứu

Trên cơ sở lý luận của năng lực giải toán, áp dụng vào dạy ứng dụng sốphức trong giải toán lượng giác và tổ hợp Từ đó phân loại và phát triển hệthống bài tập nhằm rèn luyện và bồi dưỡng năng lực giải toán, phát triển tưduy sáng tạo, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh

5 Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu việc phát triển năng lực ứng dụng của số phức tronglượng giác và tổ hợp

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được một số chuyên đề ứng dụng của số phức để giải cácbài toán lượng giác và tổ hợp, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm phùhợp thì sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán cho học sinh, nâng cao chấtlượng dạy và học ở trường phổ thông

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý

luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan dến đề tài luận văn

- Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước vànước ngoài có liên quan đến bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giảitoán lượng giác và tổ hợp

7.2 Phương pháp điều tra, quan sát

- Phỏng vấn, điều tra thu thập ý kiến giáo viên về thực trạng việc dạy

nội dung số phức và ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp

- Mẫu khảo sát: Học sinh lớp 12A1 trường THPT Trung Văn, Hà Nội;

Giáo viên tổ toán trường THPT Trung Văn

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Dạy thực nghiệm và kiểm tra kết quả sau khi thi thực nghiệm.

- Xử lý số liệu thu được từ bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm

nhằm bước đầu kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của giả thuyết nghiêncứu

8 Những đóng góp của Luận văn

- Trình bày cơ sở lý luận về dạy học bài tập toán, năng lực giải toán củahọc sinh

- Thực trạng về việc dạy học ứng dụng số phức trong giải toán lượnggiác và tổ hợp ở THPT

- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho họcsinh bằng số phức góp phần rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho họcsinh THPT

- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh và giáo viên Toán ở các trường THPT, sinh viên toán ở các trường ĐHSP.

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo và phụlục, luận văn được trình bày theo 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn.

Chương 2: Xây dựng chuyên đề nhằm bồi dưỡng năng lực ứng dụng

số phức vào giải một số dạng toán lượng giác và tổ hợp

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm.

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Lý luận về dạy học giải bài tập toán

1.1.1 Mục đích, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông

G.Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng

hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ mộtcuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trongcác trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiếnthức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độnào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biếtgiải toán!” [8, tr 82] Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn mục đích, vị trí, vaitrò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT như sau

1.1.1.1 Mục đích

Để đào tạo được những con người đáp ứng được đòi hỏi của xã hộingày nay, những con người năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, cótrí tuệ, có khả năng lao động kĩ thuật cao, trong các nhà trường THPT đã đặt

ra nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo Vì vậy, trong dạy toánnói chung, giải bài tập toán nói riêng cần xác định những mục đích cụ thể, sátthực Có thể thấy rõ một số mục đích bài tập toán ở trường phổ thông là:

- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, học sinhbiến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức củabản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnhvực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này

- Làm cho học sinh từng bước nắm được một cách chính xác, vữngchắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản,hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào

những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc họctập các bộ môn khoa học khác.

- Thông qua việc giải bài tập, học sinh khắc sâu các kiến thức đã học,biết xâu chuỗi các kiến với nhau, kích thích sự tìm tòi, sáng tạo các kiến thứcmới đối với học sinh Qua đó học sinh rèn luyện tư duy lôgic, sáng tạo, tínhkiên trì, cần cù, chịu khó

- Bồi dưỡng thế giới quan duy vật biện chứng, hình thành những phẩmchất đạo đức của người lao động mới

1.1.1.2 Vai trò của bài tập toán

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, khoa học và công nghệ hiện đại,kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp họcsinh hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các-Mác nói: “Một khoa học chỉthực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp của toán học” [3,tr

5].Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trítuệ như phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa Mặt khác,môn toán cũng rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mớinhư tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo,…

1.1.1.3 .3 Ý nghĩa

Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố,

hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụngnhững kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đềmới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểmtra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học

Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, pháttriển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về rất nhiều mặt

1.1.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán

1.1.2.1 Vị trí

“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối vớihọc sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán

học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệuquả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững nhữngtri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán họcvào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt cácnhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quảviệc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạyhọc toán” [7, tr 201]

1.1.2.2 Các chức năng của bài tập toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với nhiều dụng

ý khác nhau Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làmviệc với một nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra, Mỗi bài tập cụ thểđược đặt ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng mộtcách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Các chức năng đólà:

- Chức năng dạy học;

- Chức năng giáo dục;

- Chức năng phát triển;

- Chức năng kiểm tra, đánh giá

Các chức năng đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học

- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinhnhững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trìnhdạy học

- Chức năng giáo dục: Thông qua giải bài tập mà học sinh hình thànhthế giới quan duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạoniềm tin ở bản thân học sinh và phẩm chất của con người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập giúp học sinh ngày càng nâng cao khảnăng suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy hình thành phẩm chất tư duykhoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập giúp giáo viên và học sinh đánh giá đượcmức độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá mức

độ tiếp thu tri thức, khả năng độc lập học toán và trình độ pháp triển của họcsinh cũng như hiệu quả giảng dạy của giáo viên.

Thông qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm thấy những điểm mạnh,những hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của học sinh Qua đó

có thể bổ sung, rèn luyện, và bồi dưỡng tiếp cho học sinh

1.1.3 Dạy học phương pháp giải bài toán

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêucầu quan trọng đối với học sinh Có thể chia bài tập toán ra làm hai loại:

Loại 1 : Loại có sẵn thuật toán.

Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rènluyện kỹ năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạphơn Yêu cầu cho học sinh là:

 Nắm vững quy tắc giải đã học;

 Nhận dạng đúng bài toán;

 Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

Loại 2 : Loại chưa có sẵn thuật toán.

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gâycho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khảnăng của mình Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong họctập của học sinh Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuầncung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩtìm ra con đường hợp lý để giải bài toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹnăng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phầnkhông thể thiếu trong dạy học giải toán

Theo G Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường đượctiến hành theo 4 bước sau:

Bướ c 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán.

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và hơn nữa cònphải có hứng thú để giải bài toán đó Vì thế giáo viên cần chú ý gợi động cơ,kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và hướng dẫn học sinh hiểu bàitoán Muốn vậy để tìm hiểu bài toán đã cho cần chú ý các yếu tố cơ bản sau:

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, cái phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để diễn tả đề bài

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn tả cácđiều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?

Bướ c 2 : Xây dựng chương trình giải.

Yếu tố quan trọng khi giải được bài toán chính là việc xây dựngchương trình giải cho bài toán đó Vì vậy khi thực hiện, chúng ta cần chú ý:

- Phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản quen thuộc

- Huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc ) cóliên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán sau đó lựa chọntrong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mòmẫm dự đoán kết quả

- Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứngminh (phản chứng, qui nạp toán học ), toán quỹ tích

Bướ

c 3 : Thực hiện chương trình giải.

- Trình bày lại lời giải sau khi đã điều chỉnh ở Bước 2

Bướ c 4 : Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải mộtbài toán nào đó

- Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể)

- Khai thác kết quả có thể có của bài toán

- Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hoá bàitoán

1 3 5 2011

A C C C

Như vậy, có thể nói “Quá trình học sinh học phương pháp chung đểgiải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thànhkinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bàitoán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụthể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh,trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo” [9, tr 423]

Sau đây là ví dụ sử dụng 4 bước giải bài toán của G.Polya để làm bài

Bước 1 : Tìm hiểu nội dung bài toán.

Giáo viên: Nhận xét về các số hạng trong tổng A, B?

Học sinh: Các chỉ số chập của các số tổ hợp cách nhau hai đơn vị, các

số hạng trong mỗi tổng đan dấu nhau và hai số hạng cách đều số hạng đầu vàcuối có trị tuyệt đối bằng nhau

Bướ c 2 : Xây dựng chương trình giải.

Giáo viên: Để tính các tổng A, B ta sử dụng khai triển nào?

Học sinh: Khai triển (1

x)2014 theo công thức nhị thức Newton với x

Bướ c 3 : Thực hiện chương trình giải.

Bướ c 4 : Kiểm tra và nghiên cứu lời giải.

Giáo viên: Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình

Học sinh:…

Giáo viên: Có thể tính

(1 +i)2014 theo cách khác không?

Học sinh: Có thể biển đổi (1 +i)2014 như sau:

(1 +i)2014 

Học sinh:

Giáo viên: Từ đó ta có thể tạo ra nhiều bài toán mới như bài toán tínhtổng trên

1.2 Lý luận về năng lực giải toán của học sinh

1.2.1 Nguồn gốc của năng lực

Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất

và nguồn gốc của năng lực, tài năng Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trênmột số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như về thực tiễn

Một

là : Những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu

cho sự phát triển năng lực Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậccao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vìchúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triểnnăng lực)

Hai

là : Năng lực con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử Mỗi một con

người của thế hệ sau được sinh ra và phát triển trong thế giới tự nhiên và xãhội mà đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đótrong môi trường văn hóa - xã hội cho thế hệ sau Có người khi đã sinh ra đã

có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưngnếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được

Ba

là : Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt

động Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra vàchịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụnghay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn chiếm lĩnh

chúng và quan trọng hơn là cải tạo chúng để không chỉ đạt được các kết quả

“vật chất” mà còn tạo ra tiền đề mới cho hoạt động tiếp theo

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng

có bản chất nguồn gốc phức tạp Các tố chất và hoạt động của con ngườitương tác qua lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng Vậy đào tạo cóhiệu quả nhất là đưa học sinh vào các dạng hoạt động tương thích, thích hợp

1.2.2 Khái niệm về năng lực, năng lực Toán học

1.2.2.1 Khái niệm về năng lực

Khái niệm năng lực có nguồn gốc tiếng La tinh “competentia” Ngàynay khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau Năng lực đượchiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với một côngviệc Năng lực cũng được hiểu là khả năng, công suất của một doanh nghiệp,thẩm quyền pháp lý của một cơ quan

Khái niệm năng lực được dùng trong toán học là đối tượng của tâm lý,giáo dục học Một số công trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ

ra rằng qua quá trình hoạt động học sinh dần hình thành tri thức, kĩ năng, kĩxảo cho bản thân Từ những nền tảng đó, họ bắt đầu phát triển những khảnăng của mình ở mức độ từ thấp đến cao Cho đến một lúc nào đó sự pháttriển bên trong đủ khả năng giải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập

và trong cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có những năng lực nhất định

Theo nhà tâm lý học Nga nổi tiếng V.A.Cruchetxki thì: "Năng lực được

hiểu như là: Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đápứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiệnthành công hoạt động đó" [4, tr 15]

Phần lớn các công trình nghiên cứu của tâm lý học, giáo dục học đềuthừa nhận rằng con người có những năng lực khác nhau, vì có những tố chấtriêng, thừa nhận sự tồn tại những của những tố chất tự nhiên của cá nhân

thuận lợi cho sự hình thành và phát triển những năng lực khác nhau Người tathường phân biệt ba trình độ của năng lực sau:

- Năng lực là tổng hoà các kĩ năng, kĩ xảo

- Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạtđộng có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổcủa những thành tựu đạt được của xã hội loài người

- Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt đượcnhững thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhấtđịnh của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt độnggiải quyết những yêu cầu đặt ra

1.2.2.2 Khái niệm năng lực Toán học

Về khái niệm năng lực Toán học, theo nhà tâm lý học người Nga

V.A.Cuchetxki được hiểu theo hai mức độ:

- Năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, nănglực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao cáckiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

- Năng lực sáng tạo (khoa học), tức là các năng lực hoạt động toán họctạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có giá trị lớn đối với xãhội loài người

Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết làcác đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động họctoán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toánhọc tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó mặc dầu không có một sự ngăncách tuyệt đối tuy nhiên đối tượng ở mức năng lực sáng tạo chỉ chiếm mộtphần nhỏ Do việc nghiên cứu với đối tượng là học sinh THPT nên luận vănchủ yếu tiếp cận năng lực toán học theo mức độ thứ nhất (năng lực học tập)

- Khả năng tư duy có tính khái quát hoá nhanh và rộng.

- Xu thế suy nghĩ bằng những suy lý rút gọn

- Sự tư duy lôgíc lành mạnh

- Tính linh hoạt cao của các quá trình tư duy thể hiện ở: Sự xem xétcách giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau Sự di chuyển dễ dàng

và tự do từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, từ tiến trìnhsuy nghĩ thuận sang tiến trình suy nghĩ nghịch

- Xu hướng tìm tới cách giải tối ưu cho một vấn đề toán học, khát vọngtìm ra lời giải rõ ràng, đơn giản, hợp lý, tiết kiệm

- Trí nhớ có tính chất khái quát về các kiểu bài toán, các phương thứcgiải, sơ đồ lập luận, sơ đồ lôgic

- Khả năng tư duy lôgic, trừu tượng phát triển tốt [4, tr 159, 160]

1.2.3 Năng lực giải toán

1.2.3.1 Khái niệm về năng lực giải toán

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học Năng lựcgiải toán là một phần của năng lực toán học Vậy năng lực giải toán là gì vàthể hiện như thế nào?

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giảiquyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duytích cực và sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện [10, tr.20]

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đónắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kếtquả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũngtiến hành hoạt động giải toán đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương

đương.

Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học

và khái niệm về năng lực giải toán chúng ta có thể rút ra một số đặc điểm vàcấu trúc của năng lực giải toán như sau:

- Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêucầu của một lời giải, biết trình bày lời giải rõ ràng, đẹp đẽ

- Sự phát triển mạnh của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khảnăng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán

- Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các kýhiệu, ngôn ngữ toán học Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sangngôn ngữ: Ký hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết

- Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành được một

số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫntrong quá trình giải toán

- Có khả năng nêu ra được một số những bài tập tương tự cùng với cáchgiải (có thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuậttoán để giải bài toán đó)

- Có khả năng khái quát hoá từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát,

từ bài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát,nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệthống hoá, đặc biệt hoá

Thông thường khi nói đến một học sinh nào đấy có năng lực toán học

là nói đến học sinh đó có trí thông minh trong việc học tập môn toán Tuynhiên ở mọi học sinh ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng có năng lực, nhưngvới năng lực thấp hơn tùy thuộc vào khả năng của học sinh Qua quá trìnhhọc tập học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phươngpháp, từ đó năng lực giải toán được tăng lên Hơn nữa, học sinh phải có ý thức

tự tăng thêm năng lực cho mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rènluyện

1.2.3.2 Đặc trưng của năng lực giải toán

Đặc trưng của năng lực giải toán là tập hợp tất cả các nét riêng biệt vàtiêu biểu được xem là dấu hiệu để phân biệt với các năng lực khác gồm:

- Năng lực giải toán là một dạng năng lực hoạt động của các cá nhânđược nảy sinh xuất hiện những tình huống có vấn đề, có nhu cầu hay mâuthuẫn cần giải quyết; được hiểu là một biểu hiện của năng lực khám phá quátrình giải một bài toán cụ thể

- Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độclập, sáng tạo của học sinh, tận lực huy động trí thức và kinh nghiệm trong tiếntrình giải toán để đi đến lời giải, để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho

và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu

Năng lực giải toán của chủ thể (học sinh) luôn thể hiện ở “trạngthái động” bởi tính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi cácphương thức khác nhau để khám phá giải bài toán

Năng lực giải toán được đặc trưng bởi tính hướng đích và tính kết quảcao: phát hiện, tiếp cận vấn đề, áp dụng mọi kiến thức để đi đến kết quả bàitoán Thông qua quá trình học tập, học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức,được trang bị các phương pháp trên cơ sở một phần do học sinh tự nâng thêmnăng lực của mình, một phần do thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồidưỡng Từ đó, năng lực giải toán của các em từ từ được nâng lên Để rènluyện năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốt nhất là đưa ra một hệthống bài tập cơ bản có chọn lọc và tốt, phù hợp với đối tượng, nâng cao dần

về mức độ khó khăn nhằm giúp học sinh nắm vững trí thức, phát triển tư duy,hình thành kỹ năng, kĩ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

1.2.4 Bồi dưỡng năng lực giải toán

Do đặc thù của bộ môn toán nên hoạt động giải toán là hoạt độngkhông thể thiếu được của người học toán, dạy toán, nghiên cứu về toán Trong

cuốn “Sáng tạo toán học” G.Polya đã viết: “ quá trình giải toán là đi tìm

kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại,

đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn dường như khôngthể đạt được ngay Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ

có ở con người Vì vậy giải toán có thể xem như một trong những biểu hiệnđặc trưng nhất trong hoạt động của con người ’’ [8, tr 5]

Trong khi say mê giải toán, trí tuệ con người được huy động tới mứctối đa, khả năng phân tích và tổng hợp được rèn luyện, tư duy trở nên nhanhnhẹn Bài toán mà chúng ta có thể bình thường không giải được nhưng nó cókhêu gợi tính tò mò và buộc ta phải sáng tạo và nếu tự mình giải bài toán đóthì ta có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi

Bài tập toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyệncác thao tác trí tuệ Vì vậy trong quá trình dạy học người thầy giáo phải chútrọng đến bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Năng lực giải toán làkhả năng thực hiện bốn bước trong phương pháp tìm tòi lời giải bài toán củaPôlya

Một điểm chú ý nữa là: trong quá trình giải bài tập toán cần khuyếnkhích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựavào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải làluyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnhkhác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy

Ví dụ 2: Chứng minh rằng

Để giải bài toán này học sinh có thể biến đổi theo nhiều hướng khácnhau trên sự biến đổi linh hoạt các công thức lượng giác hoặc kết hợp vớikiến thức về đại số và số phức

Lời giải

Cách 1: Ta có

(3sin  4sin 3  ).(12sin 2  ) 2(4cos 2 3)sin

cos 2  20sin 3 sin 

(3sin  4sin 3  ).(12sin 2  ) 2(1 4sin 2  )(1

sin 2  )sin 20sin 3 sin 

16sin 5 .Vậy đẳng thức được chứng minh

32i (z5 z5 ) 5(z3 z3 ) 10(z z1 )



32i

2 i sin 5    10 i sin 3     20 i sin 

32i

sin 5     5 sin 316    10 sin    .

Trong hai cách giải trên, cách thứ hai đơn giản hơn cách thứ nhất vì nóchỉ cần sử dụng một số kiến thức cơ bản về số phức kết hợp với công thứcMoivre trong khi đó ở cách thứ nhất học sinh phải vận dụng linh hoạt cáccông thức lượng giác mới chứng minh được Hơn nữa, ta có thể xây dựng một

số bài toán tương tự hay bài toán tổng quát từ ví dụ trên

1.3 Tình hình dạy học số phức và vấn đề bồi dưỡng năng lực ứng dụng

số phức để giải toán lượng giác và tổ hợp trong trường phổ thông

Trong chương trình Toán THPT, nội dung số phức được giảng dạytrong 15 tiết và 1 tiết kiểm tra

1.3.1 Các nội dung kiến thức về số phức trong chương trình Giải tích lớp 12

1.3.1.1 Kiến thức

 Định nghĩa

- Định nghĩa số phức: Một biểu thức dạng z

những số thực và i thỏa mãn i2 1được gọi là một số phức

a được gọi là phần thực,

b được gọi là phần ảo,

i được gọi là đơn vị ảo.

Tập các số phức được kí hiệu là £ .

Mỗi số thực được coi là một số phức có phần ảo bằng 0 nên mỗi sốthực cũng là một số phức Ta có ¡ £ .

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số thuần ảo

- Định nghĩa hai số phức bằng nhau

Cho hai số phức : z = a+bi (a, b¡ ) và z’ = a’+b’i (a,b¡

)

a a'

b b'

 Cộng, trừ hai số phức

Khi đó zz’ = (aa’ – bb’)+(ab’+a’b)i.

 Môđun của số phức, số phức liên hợp

 Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z = a + bi (a, b¡ ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b)

trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức. y

Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, M( z

) trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo.

Số phức z = a + bi (a, b¡ ) cũng được biểu diễn O x

ku (k

¡ ) r

biểu diễn số phức kz,

u biểu diễn số phức –z,

uuuur r

OM u z , với M là điểm biểu diễn số phức z.

 Căn bậc hai của số phức và phương trình bậc hai

Cho số phức w Mỗi số phức z thỏa

z2 w được gọi là một căn

- Nếu w >0 thì căn bậc hai của w là

- Nếu w <0 thì căn bậc hai của w là

a 2  b 2

Cho số phức z 0 Gọi M là điểm trong mặt

M(z) phẳng phức biểu diễn số phức z Khi đó số đo (radian) 

của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM được O x

gọi là một acgumen của z.

+ Nếu là acgumen của z thì mọi acgumen của z đều có dạng

+ k2

Dạng z = r (cos+isin), trong đó r>0 được gọi là dạng lượng giác của số phức z 0, còn dạng z = a + bi (a, b¡ ) được gọi là dạng đại số của số

 Căn bậc hai của số phức

Số phức z = r (cos+isin) (với r>0) có hai cănbậc hai là

1.3.1.2.Các dạng toán về số phức ở trường phổ thông hiện nay

Số phức được đưa vào giảng dạy ở phần cuối trong chương trình Giảitích lớp 12 bậc THPT và với thời lượng không nhiều (16 tiết) nên các bài tập

ng 2: Tính mô đun của số phức.

Ví dụ 4: a) Tính mô đun của số phức z biết rằng:

2z 11iz 11i2 2i ;

Dạ ng 4 : Giải phương trình trong tập hợp số phức.

Ví dụ 6: a) Gọi z1 và z2 là hai nghiệm phức của phương trình z2 2z

Tính giá trị biểu thức A z z ;

1 2b) Giải phương trình

phương trình có 1 nghiệm thực

z3 3 iz2 2

iz 16 2i 0 biết rằng

Dạ ng 5 : Dạng lượng giác của số phức.

Ví dụ 7: a) Viết dưới dạng lượng giác của số phức z sao cho z 1 và

một