Chuyên đề bất phương trình bất đẳng thức astedam

Chứng minh bất đẳng thức AB với điều kiện nào đó nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa biến "AB" đúng với tất cả các giá trị của biến thỏa mãn điều kiện đó.. Khi nói ta có bất đẳng thức AB

4 BẤT ĐẲNG THỨC –BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A–LÝ THUYẾT

Các mệnh đề "ab", "ab", "ab", "ab" được gọi là những bất đẳng thức

Chứng minh bất đẳng thức là chứng minh bất đẳng thức đó đúng (mệnh đề đúng)

Với A B, là mệnh đề chứa biến thì "AB" là mệnh đề chứa biến

Chứng minh bất đẳng thức AB (với điều kiện nào đó) nghĩa là chứng minh mệnh đề chứa

biến "AB" đúng với tất cả các giá trị của biến (thỏa mãn điều kiện đó) Khi nói ta có bất

đẳng thức AB mà không nêu điều kiện đối với các biến thì ta hiểu rằng bất đẳng thức đó

xảy ra với mọi giá trị của biến là số thực

2 Tính chất :

Tính chất

Tên gọi

a    b a c b c Cộng hai vế của bất đẳng thức với một số

0

Nhân hai vế của bất đẳng thức với một số

0

ab và cd    a c b d Cộng hai bất đẳng thức cùng chiều

0, 0

a c ab và cd acbd Nhân hai bất đẳng thức cùng chiều

a b a  b  Nâng hai vế của bất đẳng thức lên một lũy

thừa

0

Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

3 3

2.1 Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1 Cho các số thực a b c, , là số thực Chứng minh rằng:

1

c) 2 2 2

3 2( )

Lời giải

§BÀI 1 B ẤT ĐẲNG THỨC

3 Bất đẳng thức về giá trị tuyệt đối 3.1 Ví dụ minh họa: Ví dụ 2 Tìm giá trị nhỏ nhất cảu các biểu thức sau a) A   x 2 x 5 b) B       x 3 x 1 x 1 x 3 Lời giải

Ví dụ 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số y x2 1  x 1 x2 1  x1 Lời giải

4 Bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Bất đẳng thức Cauchy) a) Đối với hai số không âm Cho a0,b0, ta có 2 a b ab   Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi a b Hệ quả : Hai số dương có tổng không đổi thì tích lớn nhất khi hai số đó bằng nhau tức là Hai số dương có tích không đổi thì tổng nhỏ nhất khi hai số đó bằng nhau

Điều kiện Nội dung

Với mọi số thực x x 0, x x x ,  x

0

a

x a    a x a

x a

x a

  

a b    a b a b

2 2

a b

ab   

b) Đối với ba số không âm

Cho a0, b0, c0, ta có

Dấu '' xảy ra khi và chỉ khi a b c 

c) Ví dụ minh họa:

Ví dụ 4 Cho , , a b c là các số thực dương Chứng minh rằng

      

1 1 1 9

a  b c a b c

c) a2 b2 c2 1 1 1

Lời giải

3

3

a b c

abc

  

Ví dụ 5 Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau a)   2 1 f x x x    với x1 b)   2 2 f x x x    với x 2 Lời giải

B CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI DẠNG TOÁN 1: SỬ DỤNG ĐỊNH NGHĨA VÀ TÍCH CHẤT CƠ BẢN 1 Phương pháp Để chứng minh bất đẳng thức(BĐT) A B ta có thể sử dụng các cách sau: Ta đi chứng minh A B 0 Để chứng minh nó ta thường sử dụng các hằng đẳng thức để phân tích A B thành tổng hoặc tích của những biểu thức không âm Xuất phát từ BĐT đúng, biến đổi tương đương về BĐT cần chứng minh 2 Bài tập minh họa Loại 1: Biến đổi tương đương về bất đẳng thức đúng Bài tập 1 Cho ba số thực a b c, , Chứng minh rằng các bất đẳng thức sau a) 2 2 2 a b ab  b) 2 2 a b ab       c)  2 2 2  2 3 a b c  a b c  d). 2   3 a b c   ab bc ca  Lời giải

Nhận xét: Các BĐT trên được vận dụng nhiều, và được xem như là "bổ đề" trong chứng minh các bất đẳng thức khác Bài tập 2 Cho năm số thực a b c d e, , , , Chứng minh rằng 2 2 2 2 2 ( ) a b  c d e a b c  d e Lời giải

Bài tập 3 Chứng minh rằng a) a b c   ab bc cavới , , a b c là các số thực dương b) 2 2 2   3 2 a b   c a b c  với , , a b c là các số thực Lời giải

Bài tập 4 Cho ab1 Chứng minh rằng : 21 21 2 1 1 1 a b  ab    Lời giải

Nhận xét : Nếu   1 b 1 thì BĐT có chiều ngược lại : 21 21 2 1 1 1 a b  ab    Bài tập 5 Cho số thực x Chứng minh rằng a) 4 3 4 x   x b) 4 2 5 4 x   x  x c) 12 4 9 1 x x  x x Lời giải

Bài tập 6 Cho a b c, , là các số thực Chứng minh rằng a) 4 4 4 2 0 a b  ab  b)    2  2 4 2 2 a  1 b 1 2 ab1 c)  2 2  2 2  3 a b ab 4 2 a b  1 b a 1 Lời giải

Bài tập 7 Cho hai số thực ,x y thỏa mãn x y Chứng minh rằng; a)  3 3  3 4 x y  xy b) 3 3 3 4 3 x  x y  y Lời giải

Loại 2 Xuất phát từ một BĐT đúng ta biến đổi đến BĐT cần chứng minh 1 Phương pháp Đối với loại này thường cho lời giải không được tự nhiên và ta thường sử dụng khi các biến có những ràng buộc đặc biệt Chú ý hai mệnh đề sau thường dùng:  ;     0 a    a a   *

2 Bài tập minh họa

Bài tập 8 Cho a b c, , là độ dài ba cạnh tam giác Chứng minh rằng :

Lời giải

Nhận xét : Ở trong bài toán trên ta đã xuất phát từ BĐT đúng đó là tính chất về độ dài ba cạnh của tam giác Sau đó vì cần xuất hiện bình phương nên ta nhân hai vế của BĐT với c Ngoài ra nếu xuất phát từ BĐT |a b | c rồi bình phương hai vế ta cũng có được kết quả Bài tập 9 Cho tam giác ABC có cạnh , , a b c Chứng minh rằng nửa chu vi lớn hơn độ dài mỗi cạnh Lời giải

Bài tập 10 Cho a b c, , [0;1] Chứng minh : 2 2 2 2 2 2 1 a b c  a b b c c a Lời giải

Bài tập 11 Cho các số thực , ,a b c thỏa mãn : 2 2 2 1 a b c  Chứng minh : 2(1   a b c ab bc ca)abc0 Lời giải

Bài tập 12 Chứng minh rằng nếu a4,b5,c6 và 2 2 2 90 a b c  thì a b c  16

Lời giải

Bài tập 13 Cho ba số a b c, , thuộc 1;1 và không đồng thời bằng không Chứng minh rằng 4 2 4 201 1 2 4 2 2 20 2 2012 3 2 a a c b b c c a b       Lời giải

3 Bài tập luyện tập Bài 1 Cho a b c d, , , là số dương Chứng minh rằng a) a a c b b c    với 1 a b 

b) a b c 2 a bb cc a     c) 1 a b c d 2 a b c b c d c d a d a b              d) 2 a b b c c d d a 3 a b c b c d c d a d a b                  Lời giải

Bài 2 Chứng minh các bất đẳng thức sau a) 2 (ax by bx )( ay)(a b xy ) ( vớia b, 0; ,x yR) b) 2 2 2 2 c a c b c a c b      với a b 0; c ab c) 4 2 2 a b c b a b c b       với a b c, , 0 và 1 1 2 a c b d) 2 2 2 3 3 3 ( ) ( ) ( ) a b c b c a c a b a  b c với a b c, , là ba cạnh của tam giác Lời giải

Bài 3 Cho x  y z 0 Chứng minh rằng: a) 3 3 3 3 3 3 xy yz zx xz zy yx b) 2 2 2 2 2 2 x y y z z x x z y x z y z  x  y  y  z  x Lời giải

Bài 4 Cho bốn số dương a b c d, , , Chứng minh rằng: 1 1 1 1 1 1 1 1 1 a b c d a c b d        Lời giải

Bài 5 Cho a b c, ,  1;3 và thoả mãn điều kiện a b c  6 Chứng minh rằng 2 2 2 14 a b c  Lời giải

4 Câu hỏi trắc nghiệm Câu 1 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? A a b a c b d c d          B . a b a c b d c d          C a b a d b c c d          D 0 0 a b a c b d c d            Lời giải

Câu 2 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây sai? A 2 a b b c a a c         B . a b a c b a a c          C a    b a c b c. D a    b c a c b. Lời giải

Câu 3 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào đúng? A a b ac bd c d        B . a b ac bd c d        C. 0 0 a b ac bd c d          D . a b ac bd c d          Lời giải

Câu 4 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? A a b acbc B a b acbc C c  a b acbc D 0 a b ac bc c        Lời giải

Câu 5 Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sau đây đúng? A 0 0 a b a b c d c d          B . 0 0 a b a d d b c c          C . a b a b c d c d        D . 0 0 a b a c d d c b          Lời giải

Câu 6 Nếu a2c b 2c thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A 3a 3 b B 2 2 a b C 2a2 b D 1 1 a b Lời giải

Câu 7 Nếu a b a và b a b thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A ab0 B ba C a b 0 D a0 và b0 Lời giải

Câu 8 Nếu 0 a 1 thì bất đẳng thức nào sau đây đúng? A 1 a a  B a 1 a  C a a D 3 2 a a Lời giải

Câu 9 Cho hai số thực dương , .a b Bất đẳng thức nào sau đây đúng? A 2 4 1 1 2 a a   B 1 1 2 ab ab   C 2 2 1 1 2 2 a a    D Tất cả đều đúng Lời giải

Câu 10 Cho ,a b0 và 1 2 , 1 2 1 1 a b x y a a b b         Mệnh đề nào sau đây đúng? A xy B xy C xy D Không so sánh được Lời giải

DẠNG TOÁN 2: SỬ DỤNG BẤT ĐẲNG THỨC CAUCHY(côsi) ĐỂ CHỨNG MINH BẤT ĐẲNG THỨC

VÀ TÌM GIÁ TRI LỚN NHẤT, NHỎ NHẤT

1 Phương pháp

Một số chú ý khi sử dụng bất đẳng thức côsi:

Khi áp dụng bất đẳng thức côsi thì các số phải là những số không âm

BĐT côsi thường được áp dụng khi trong BĐT cần chứng minh có tổng và tích

Điều kiện xảy ra dấu ‘=’ là các số bằng nhau

Bất đẳng thức côsi còn có hình thức khác thường hay sử dụng

 Đối với hai số:

2 2

  

 

 Đối với ba số:

3

3 3 3

,

2 Các ví dụ minh họa

Loại 1: Vận dụng trực tiếp bất đẳng thức côsi

 Bài tập 14 Cho a b, là số dương thỏa mãn 2 2

2

a b  Chứng minh rằng a) a b a2 b2 4

Lời giải

 Bài tập 15 Cho a b c, , là số dương Chứng minh rằng a) a 1 b 1 c 1 8 b c a                b) 2 2 2 2 2 2 (1 ) (1 ) (1 ) 6 a b b c c a  abc c)  3 3 (1a)(1b)(1  c) 1 abc d) 2 2 2 3 3 3 a bcb acc aba  b c Lời giải

Bài tập 16 Cho a b c d, , , là số dương Chứng minh rằng a) 4 4 a b c d abcd     b) a3 b3 c3 d3 a b b c  16 b c d a             c) 3 8 4 ( )( )( ) a b c abc a b b c c a abc        Lời giải

Loại 2: Kĩ thuật tách, thêm bớt, ghép cặp 1 Phương pháp Để chứng minh BĐT ta thường phải biến đổi (nhân chia, thêm, bớt một biểu thức) để tạo biểu thức có thể giản ước được sau khi áp dụng BĐT côsi Khi gặp BĐT có dạng x    y z a b c(hoặc xyzabc), ta thường đi chứng minh 2 x y a(hoặc 2 abx ), xây dựng các BĐT tương tự rồi cộng(hoặc nhân) vế với vế ta suy ra điều phải chứng minh Khi tách và áp dụng BĐT côsi ta dựa vào việc đảm bảo dấu bằng xảy ra (thường dấu bằng xảy ra khi các biến bằng nhau hoặc tại biên) 2 Bài tập minh họa Bài tập 17 Cho a b c, , là số dương Chứng minh rằng: a) ab bc ac a b c c  a  b    b) a2 b2 c2 1 1 1 b c a   a b c Lời giải

Bài tập 18 Cho a b c, , dương sao cho 2 2 2 3 a b c  Chứng minh rằng a) 3 3 3 3 3 3 3 a b b c c a abc c  a  b  b) ab bc ca 3 c  a  b  Lời giải

Bài tập 19 Cho a b c, , là số dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng a) 8a b b c c a       3 a3b3c b) 3 2 a3 2 b3 2 cabc Lời giải

Bài tập 20 Cho a b c, , là số dương Chứng minh rằng 2 2 2 2 a b c a b c b c c a a b         Lời giải

Lưu ý : Việc ta ghép 2 4 a b c b c    và đánh giá như trên là vì những lí do sau: Thứ nhất là ta cần làm mất mẫu số ở các đại lượng vế trái (vì vế phải không có phân số), chẳng hạn đại lượng 2 a b c khi đó ta sẽ áp dụng BĐT côsi cho đại lượng đó với một đại lượng chứa b c Thứ hai là ta cần lưu ý tới điều kiện xảy ra đẳng thức ở BĐT côsi là khi hai số đó bằng nhau Ta dự đoán dấu bằng xảy ra khi a b c  khi đó 2 2 a a b c   và b c 2a do đó ta ghép như trên Bài tập 21 Cho a b c, , là số dương thỏa mãn a b c  3 Chứng minh rằng: a) 3 2 2 1 1 1 a b c b  c  a     b) 3 3 3 3 3 3 3 2 a b c b  c  a     Lời giải

Bài tập 22 Cho a b c, , là số dương thỏa mãn abc1 Chứng minh rằng 12 12 12   3 2 a b c a b c     Lời giải

Bài tập 23 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức a)  2 1 ( ) 2 x f x x    với x2 b)  2 1 ( ) 2 1 g x x x    với x 1 c)   3 h x x x   với x2 d)   12 2 k x x x   với 0 1 2 x   Lời giải

3 Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 11 Tìm giá trị nhỏ nhất m của hàm số   2

Lời giải

Lời giải

3

 

 

  Lời giải

Lời giải

Câu 31 Cho hai số thực x y, thỏa mãn 2 2

x y   x y xy Tập giá trị của biểu thức S x y là:

A 0; B ; 0 C 4; D  0; 4

Lời giải

Lời giải

Sa b c lần lượt là:

A 1 và 3 B 2 và 4 C 2 và 3 D 3 và 4

Lời giải

A 11

2 D 9 Lời giải

A LÝ THUYẾT

I Định nghĩa bất phương trình một ẩn

Cho hai hàm số y f x  và yg x  có tập xác định lần lượt là D f và D g Đặt DD f D g

Mệnh đề chứa biến có một trong các dạng f x g x , f x g x , f x g x ,f x g x 

được gọi là bất phương trình một ẩn ;

x được gọi là ẩn số và D gọi là tập xác định của bất phương trình

0

x D gọi là một nghiệm của bất phương trình f x g x  nếu f x 0 g x 0 là mệnh đề

đúng

Giải bất phương trình là tìm tất cả các nghiệm(hay tìm tập nghiệm) của bất phương trình đó

Chú ý : Trong thực hành, ta không cần viết rõ tập xác đinh D của bất phương trình mà chỉ cần

nêu điều kiện để x D Điều kiện đó gọi là điều kiện xác định của bất phương trình, gọi tắt là

điều kiện của bất phương trình

Ví dụ 1: Giải các bất phương trình sau: 2x 1 3x

Lời giải

II Bất phương trình tương đương, biến đổi tương đương các bất phương trình

1 Định nghĩa : Hai bất phương trình (cùng ẩn) được gọi là tương đương nếu chúng có cùng tập

f x h x g x h x nếu h x 0 với mọi x D

Hệ quả: Cho bất phương trình f x g x  có tập xác định D Khi đó

f x g x  f x g x với f x 0, g x 0, x D 

Lưu ý: Khi giải phương trình ta cần chú ý

Đặt điều kiện xác định(đkxđ) của phương trình và khi tìm được nghiệm của phương trình

phải đối chiếu với điều kiện xác định

Đối với việc giải bất phương trình ta thường thực hiện phép biến đổi tương đương nên cần

lưyu ý tới điều kiện để thực hiện phép biến đổi tương đương đó

Ví dụ 2.Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất

B PHÂN DẠNG VÀ BÀI TẬP MINH HỌA

DẠNG TOÁN 1: TÌM ĐIỀU KIỆN XÁC ĐỊNH CỦA BẤT PHƯƠNG TRÌNH

1 Phương pháp

Điều kiện xác định của bất phương trình bao gồm các điều kiện để giá trị của f x   , g x cùng

được xác định và các điều kiện khác (nếu có yêu cầu trong đề bài) Điều kiện để biểu thức

2 Bài tập minh họa

Bài tập 1 Tìm điều kiện xác định của phương trình sau:

Bài 2 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình sau rồi suy ra tập nghiệm của nó:

4 Câu hỏi trắc nghiệm

Câu 1 Tìm điều kiện xác định của bất phương trình 2   x x 2 1 2  x

  Lời giải



A x   1;  B x   1;  C x   1;   \ 2 D x   1;   \ 2

Lời giải

Câu 4 Tìm tất cả các giá trị thực của tham số m để hàm số y x m 62x có tập xác định

DẠNG TOÁN 2: XÁC ĐỊNH CÁC BẤT PHƯƠNG TRÌNH TƯƠNG ĐƯƠNG VÀ GIẢI BẤT PHƯƠNG

TRÌNH BẰNG PHÉP BIẾN ĐỔI TƯƠNG

1 Phương pháp

Để giải bất phương trình ta thực hiện các phép biến đổi để đưa về bất phương trình tương

đương với phương trình đã cho đơn giản hơn trong việc giải nó Một số phép biến đổi thường

sử dụng

Cộng (trừ) cả hai vế của bất phương trình mà không làm thay đổi điều kiện xác định của bất

phương trình ta thu được bất phương trình tương đương bất phương trình đã cho

Nhân (chia) vào hai vế của bất phương trình với một biểu thức luôn dương(hoặc luôn âm)

và không làm thay đổi điều kiện xác định của phương trình ta thu được bất phương trình

cùng chiều (hoặc ngược chiều) tương đương với bất phương trình đã cho

Bình phương hai vế của bất phương trình (hai vế luôn dương) ta thu được bất phương

trình tương đương với bất phương trình đã cho

Lập phương hai vế của bất phương trình ta thu được bất phương trình tương đương với

bất phương trình đã cho

2 Bài tập minh họa

Bài tập 3 Trong các bất phương trình sau đây, bất phương trình nào tương đương với bất

Bài tập 6 Bạn Nam giải bất phương trình x  1 x 1 như sau:

Bất phương trình tương đương với   2 2

Vậy bất phương trình có tập nghiệm là S [0;)

Theo em ban Nam giải như vậy đúng hay sai? Nếu sai hãy sửa lại cho đúng

Lời giải