Một số vấn đề triết học trong sự phân tích đối tượng của toán học

đối tợng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ đối với sự pháttriển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội.Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tợng của toán học là các

1 Tính cấp thiết của đề tài

Trong thời đại ngày nay không một ai có thể nghi ngờ về vai tròquan trọng của toán học trong đời sống xã hội cũng nh trong sự phát triểncủa khoa học, kinh tế và kỹ thuật v.v Chính sự thâm nhập ngày càng sâurộng của toán học vào hầu hết các lĩnh vực của khoa học hiện đại là bằngchứng sinh động nhất để khẳng định điều đó Đặc biệt, khi loài ngời bớcsang thế kỷ XXI, thì nền kinh tế tri thức đã bắt đầu phát triển và có ảnh h-ởng mạnh mẽ trong phạm vi quốc tế Đặc điểm nổi bật của nền kinh tế trithức là vai trò ngày càng to lớn của những đổi mới liên tục về công nghệtrong sản xuất và vị trí chủ đạo của thông tin và tri thức với t cách là nguồnlực cơ bản tạo nên sự tăng trởng và năng lực cạnh tranh của nền kinh tế Dovậy, việc sử dụng toán học nh một công cụ không thể thiếu đợc trong nềnkinh tế tri thức là một thực tế quá rõ ràng

Thực trạng trên đã chứng tỏ rằng, toán học có vai trò to lớn trongnhận thức khoa học Nhng lý do nào đã làm cho toán học có đợc sức mạnh

đó? Theo chúng tôi, điểm mấu chốt là ở chỗ, đối tợng của toán học cónhững nét đặc thù rất khác biệt so với các đối tợng của các khoa học khác.Chính vì vậy, hơn lúc nào hết, chúng ta phải phân tích đợc một cách đúng

đắn, nghiêm túc và rõ ràng bản chất của đối tợng toán học từ lập trờng củachủ nghĩa duy vật mác-xít

Thực tế đã khẳng định rằng, cùng với sự phát triển của sản xuất xãhội, của khoa học và công nghệ cũng nh trí tuệ của con ngời, chính bảnthân các đối tợng toán học đã không ngừng phát triển từ đơn giản đến phứctạp, từ sự trừu tợng ở trình độ thấp đến sự trừu tợng ở trình độ cao hơn Nhvậy, vấn đề nhận thức đúng đắn nguồn gốc và bản chất của đối tợng toánhọc, tìm hiểu những khía cạnh triết học trong toán học trên cơ sở phân tích

đối tợng của nó là vấn đề có ý nghĩa rất lớn không những chỉ đối với sự pháttriển của khoa học, mà còn cả trong thực tiễn xã hội.

Từ quan niệm của Ph.Ăngghen: Đối tợng của toán học là các quan

hệ số lợng và các hình thức không gian của thế giới hiện thực, chúng ta đi

đến một kết luận hết sức quan trọng, đó là đối tợng của toán học dù có trừutợng đến đâu cũng đều có nguồn gốc từ hiện thực khách quan và mọi trithức toán học đều là kết quả phản ánh tích cực, đúng đắn, sáng tạo hiệnthực khách quan Đồng thời, cũng xuất phát từ quan niệm cho rằng, đối t-ợng trực tiếp của toán học là hệ thống những khách thể lý tởng trừu tợng,không tồn tại trong hiện thực khách quan, mà giữa các trờng phái triết họckhác nhau, thậm chí cả trong giới toán học với nhau đã diễn ra không ít cáccuộc tranh luận về bản chất của đối tợng toán học cũng nh vai trò của toánhọc trong quá trình nhận thức Vì vậy, vấn đề đặt ra trong luận án luôn luôn

là một vấn đề mang tính thời sự không phải chỉ riêng đối với toán học, mà

là đối với tất cả các lĩnh vực khoa học nói chung Từ đó, việc làm sáng tỏnhững vấn đề triết học khi phân tích đối tợng của toán học sẽ góp phần làmsáng tỏ bản chất, vai trò của sự phát triển toán học nói riêng và khoa họcnói chung, đáp ứng các yêu cầu hiện nay của cuộc cách mạng khoa học vàcông nghệ hiện đại Đồng thời, việc làm đó cũng chính là cơ sở chỉ ra sựthống nhất biện chứng giữa các tri thức toán học với thực tại khách quan, từ

đó chúng ta mới có căn cứ để xác lập giá trị nhận thức của toán học thôngqua đối tợng của nó Điều này phù hợp với nhận xét của Lênin: "Tất cả cáctrừu tợng khoa học (đúng đắn, nghiêm túc, không tùy tiện) phản ánh giới tựnhiên sâu sắc hơn, đầy đủ hơn"

Chính vì những lý do nêu trên, chúng tôi đã chọn đề tài "Một số vấn

đề triết học trong sự phân tích đối tợng của toán học" làm đề tài cho luận

án của mình

2 Tình hình nghiên cứu đề tài

Những vấn đề triết học đợc rút ra từ sự phân tích bản chất của các

đối tợng toán học đã đợc các nhà kinh điển của chủ nghĩa Mác - Lênin đềcập đến trong các tác phẩm của mình Cụ thể nhất là, Ăngghen trong các

tác phẩm "Chống Đuyrinh", "Biện chứng của tự nhiên", C.Mác trong các tập "Bản thảo toán học" Lênin trong các tác phẩm "Chủ nghĩa duy vật và chủ nghĩa kinh nghiệm phê phán" và "Bút ký triết học" Nhìn chung, trong

các tác phẩm kinh điển nói trên các tác giả đã đề cập đến những vấn đềtriết học trong toán học nhằm chỉ ra mối quan hệ của các tri thức toán họcvới thế giới hiện thực, khẳng định vai trò tích cực của toán học trong nhậnthức khoa học, đồng thời phủ định các quan điểm sai lầm về bản chất củatoán học

- Trong điều kiện hiện nay, các sách xuất bản ở nớc ngoài có các

cuốn của các tác giả Liên Xô (cũ) nh A.Nsanbaev và G.Shliakhin: Sự phát triển của nhận thức và toán học, Nxb Kazacxtan, 1971 G.I.Ruzavin: Về bản chất của tri thức toán học, Nxb T tởng, Matxcơva, 1968.

- ở nớc ta có một số tác phẩm của các nhà nghiên cứu toán học vàtriết học, điển hình là:

+ Giáo s Phan Đình Diệu với các bài phát biểu về "Những vấn đề triết học của toán học", Viện Triết học, 1993.

+ Giáo s Nguyễn Cảnh Toàn với hai tập "Phơng pháp duy vật biện chứng với việc học, dạy và nghiên cứu toán học", Nxb Đại học Quốc gia,

ở đây, tác giả của luận án không đề cập đến tất cả mọi vấn đề vềtriết học của toán học, mà chỉ trên cơ sở của các tác giả đi trớc, đi sâu vàotìm hiểu những khía cạnh triết học, chủ yếu là giá trị nhận thức thông quaviệc phân tích bản chất của các đối tợng toán học.

3 Mục đích và nhiệm vụ của luận án

Mục đích của luận án là làm sáng tỏ nguồn gốc và bản chất của đốitợng toán học từ lập trờng duy vật mácxít, đồng thời chỉ ra vai trò của toánhọc trong nhận thức khoa học trên cơ sở phân tích đối tợng của toán học vànhững yếu tố ảnh hởng đến sự phát triển của đối tợng toán học

Để thực hiện mục đích trên, luận án tập trung giải quyết nhữngnhiệm vụ sau đây:

- Phân tích và làm rõ bản chất đối tợng của toán học, chỉ ra đợc mốiquan hệ chặt chẽ giữa toán học với thế giới hiện thực cũng nh giữa toán họcvới các khoa học khác theo lập trờng của chủ nghĩa duy vật biện chứng

- Phân tích vai trò của tri thức toán học đối với nhận thức khoa họcthông qua các quan điểm khác nhau trong lịch sử triết học cũng nh thực tếvận dụng của toán học trong các khoa học cụ thể

- Phân tích những ảnh hởng của hoàn cảnh thực tiễn xã hội, khảnăng phát triển nội tại cũng nh các lĩnh vực hoạt động khoa học khác với tcách là động lực của sự phát triển toán học Từ đó xác định đợc con đờngbiện chứng của sự phát triển các tri thức toán học

Phạm vi nghiên cứu của luận án: Luận án chỉ tập trung phân tích

đặc điểm, bản chất của đối tợng toán học qua các thời kỳ phát triển khácnhau, từ đó làm rõ những ảnh hởng của toán học - xét từ khía cạnh đối tợngcủa nó đến sự phát triển của nhận thức khoa học

4 Cơ sở lý luận, thực tiễn và phơng pháp nghiên cứu của luận án

- Luận án dựa trên cơ sở lý luận là quan điểm triết học mác-xít về vịtrí và vai trò của các khoa học đối với quá trình phát triển của xã hội

- Luận án đợc trình bày dựa trên thực tiễn hoạt động của các nhàtoán học qua các thời đại lịch sử khác nhau, dựa vào các tác phẩm kinh

điển, sách báo, tạp chí, những công trình khoa học trong nớc và ngoài nớc

- Luận án vận dụng phơng pháp luận chung là phơng pháp duy vậtbiện chứng và các phơng pháp khác nh mô tả, phân tích, tổng hợp, lôgíc vàlịch sử, so sánh v.v

5 Những đóng góp về mặt khoa học của luận án

- Luận án góp phần làm sáng tỏ và sâu sắc bản chất đối tợng củatoán học trong quá trình lịch sử phát triển của nó

- Xét từ khía cạnh đối tợng của toán học, luận án góp phần làm rõvai trò của toán học đối với sự tiến bộ của khoa học nói riêng và với sự pháttriển của nhận thức khoa học nói chung, từ đó rút ra đợc những nét đặc thùcủa việc vận dụng các phơng pháp toán học đối với các khoa học khác

- Luận án bớc đầu làm rõ những yếu tố cơ bản tác động đến sự pháttriển của toán học cũng nh nhu cầu nội tại của sự phát triển toán học

6 ý nghĩa của luận án

- Những kết quả nghiên cứu của luận án đã góp phần làm sáng tỏquan điểm khoa học của chủ nghĩa duy vật biện chứng về sự khẳng địnhtoán học là một bộ môn khoa học rất hiện thực Từ đó làm rõ vai trò củatoán học trong nhân thức khoa học

- Luận án có thể dùng làm tài liệu tham khảo trong nghiên cứu,giảng dạy và học tập các bộ môn Lý luận Mác - Lênin, đặc biệt là triết họctrong khoa học tự nhiên ở các trờng đại học, cao đẳng

- Luận án có thể dùng làm tài liệu bồi dỡng giáo viên, nhất là đốivới những giáo viên giảng dạy và nghiên cứu toán học

7 Kết cấu của luận án

Ngoài phần mở đầu, kết luận và danh mục tài liệu tham khảo, luận

án bao gồm 3 chơng, 7 tiết

Chơng 1

quan điểm duy vật biện chứng

về đối tợng của toán học

1.1 Sự phê phán quan điểm phi mác-xít về đối tợng của toán học

Theo quan điểm duy vật biện chứng, đối tợng trực tiếp của toán học

là các hệ thống những khách thể tinh thần trừu tợng, không tồn tại tronghiện thực khách quan, chúng phản ánh nội dung phong phú của toán học.Chính điều này đã tạo ra một chứng cớ cho chủ nghĩa duy tâm khẳng địnhtính thứ nhất của t tởng và hình thành quan niệm duy tâm triết học về toánhọc Bởi vậy, trong lịch sử phát triển của khoa học không phải ngẫu nhiên

mà số lợng những nhà toán học nổi tiếng, thậm chí rất lỗi lạc là những nhàduy tâm triết học lại lớn hơn rất nhiều so với số lợng những nhà duy tâmcủa các khoa học tự nhiên khác Điều này cũng dễ hiểu, bởi vì các khoa học

tự nhiên nh Vật lý học, Hóa học, Sinh vật học v.v khác với toán học ở chỗ,

đối tợng trực tiếp của chúng là những khách thể vật chất, chứ không phải lànhững khách thể tinh thần Trong các khoa học đó, các đối tợng của chúngtồn tại trong hiện thực khách quan, vì vậy chúng đợc xem xét dễ hơn rấtnhiều so với đối tợng của toán học

Xuất phát từ quan niệm về tính thứ nhất của t tởng, triết học duytâm đã khẳng định rằng, các khách thể toán học trừu tợng tồn tại độc lậpvới thế giới vật chất, có trớc thế giới vật chất, thậm chí sinh ra thế giới vậtchất, do đó đối tợng trực tiếp của toán học không liên hệ gì với hiện thựckhách quan Chẳng hạn nh Platôn quan niệm rằng, những khái niệm toánhọc ở vị trí trung gian giữa thế giới của các vật có tri giác và thế giới củanhững ý niệm, đồng thời chúng là những hình bóng yếu ớt của những ý

niệm đó Điều này chứng tỏ rằng, triết học duy tâm đã đa ra cách giải quyếtvấn đề mối liên hệ của toán học với hiện thực khách quan hoàn toàn trái ng-

ợc với triết học mác-xít Ví dụ, theo quan điểm của Hê-ghen, tất cả các địnhnghĩa toán học và mọi sự phân chia các đối tợng thực tế do ý thức thực hiện

đều không phù hợp cho bản thân đối tợng, mà đợc ý thức đem đến một cáchtùy ý và đều ở ngoài các đối tợng đó Ông khẳng định rằng, các số kết hợplại và phân chia ra nh thế nào, điều đó hoàn toàn chỉ phụ thuộc vào sự giả

định của ngời nhận thức

Trong thời kỳ cổ đại, khuynh hớng nổi bật là khuynh hớng coi toánhọc và các đối tợng của nó không phải nh là những kiến tạo có cái gì đó xalạ với thế giới hiện thực đợc tri giác cảm tính, mà trái lại nh là các bộ phậncấu thành thế giới đó Quan điểm này thể hiện đặc biệt rõ nét trong quanniệm của trờng phái Pitago về các số

Trờng phái Pitago đã coi các số là khởi thủy của toàn bộ những cái

đang tồn tại Những ngời thuộc trờng phái này đã cố gắng chỉ ra trong các

số và các quan hệ về số những nét tơng tự với các hiện tợng của thế giới bênngoài đợc tri giác cảm tính Đối với họ, tất cả các sự vật cảm giác đợc, đều

do các số hợp thành Còn đối với Platôn, trong các đối thoại của ông đã thểhiện rất rõ khuynh hớng xây dựng vũ trụ theo mẫu các dạng thức toán học

Theo quan điểm duy tâm, toán học đợc thừa nhận là khoa học tiênnghiệm, không phụ thuộc vào kinh nghiệm, thậm chí có trớc kinh nghiệm,

có nghĩa là toán học nằm ngoài mối liên hệ với hiện thực Đó là một sai lầmnghiêm trọng trong việc giải quyết vấn đề về mối quan hệ của toán học vớithế giới khách quan Ăngghen, trong khi phê phán triết học duy tâm về toánhọc đã chỉ ra một tình tiết rất quan trọng để đi tới một quan niệm đúng đắn

về mối quan hệ của toán học và hiện thực Tình tiết đó đợc thể hiện ở chỗ,những quan hệ số lợng trong thế giới khách quan đợc tách ra ở dạng thuầntúy đòi hỏi phải đợc trừu tợng hóa khỏi nội dung nh là một đối tợng nghiêncứu Tuy nhiên điều đó không có nghĩa là, sự tồn tại của những quan hệ sốlợng hoàn toàn ở ngoài nội dung và ở ngoài hiện thực khách quan Trongkhi trừu tợng hóa nội dung, chủ nghĩa duy tâm đã tuyệt đối hóa khả năngtrừu tợng hóa hình thức khỏi nội dung, thậm chí xem việc nghiên cứu hìnhthức là riêng biệt Từ đó, chủ nghĩa duy tâm đã hoàn toàn tách rời các quan

hệ số lợng khỏi thế giới hiện thực và coi chúng là tiên nghiệm, là độc lậptuyệt đối với hiện thực Chẳng hạn nh Poanh ca rê là một nhà toán học, lýhọc nổi tiếng nhng lại là một nhà triết học tầm thờng, ông đã đa ra quan

điểm mang tính chất nhận thức luận duy tâm nh sau: "không phải giới tựnhiên đem lại cho chúng ta (hay ép buộc chúng ta phải nhận) những kháiniệm về không gian và thời gian, mà chính chúng ta đem những khái niệm

ấy lại cho giới tự nhiên"; "phàm cái gì, không phải là t tởng đều là h vôthuần túy" [20, tr 312] Xuất phát từ cơ sở đó, ông quan niệm rằng, toánhọc chỉ là sản phẩm của hoạt động tự do của trí tuệ con ngời

Nh vậy, nếu nh quan điểm duy tâm là đúng thì bắt buộc chúng taphải thừa nhận rằng, lịch sử toán học cũng nh lịch sử của toàn bộ khoa họckhông phải là một quá trình hợp quy luật Đồng thời cũng phải thừa nhậnrằng sự phát triển của toán học là một dãy những khám phá ngẫu nhiên, cái

nọ theo sau cái kia, không một ai và không khi nào có thể thấy trớc đợc tínhchất liên tục và vị trí của chúng

Nói tóm lại, nếu nh toán học chỉ là sản phẩm của t duy thuần túy, làtiên nghiệm, là không cần phải liên quan gì đến các tính chất và các mốiquan hệ của thế giới hiện thực, thì câu hỏi xác đáng sau đây sẽ đợc trả lời rasao: Vì sao toán học lại đợc áp dụng một cách rộng rãi để giải quyết nhữngnhiệm vụ thực tiễn khác nhau? Từ lập trờng của chủ nghĩa duy tâm, chúng

ta không thể nói gì về bất cứ mối liên hệ nào giữa toán học với hiện thực và

do đó đành phải thừa nhận rằng, nếu có mối liên hệ thì đó chỉ là ngẫunhiên Sự thật là toán học không nghiên cứu các quan hệ trực tiếp giữa các

đối tợng hiện thực và chính bản thân các đối tợng đó, mà chỉ nghiên cứucác khách thể trừu tợng Chính điều này đã là nguyên nhân đa nhiều nhàkhoa học giỏi về chuyên môn nhng yếu kém về triết học đi đến những kếtluận duy tâm về mối tơng quan giữa toán học và hiện thực khách quan Ví

dụ, chủ nghĩa trực giác đã tuyên bố toán học là khoa học hoạt động sángtạo, phong phú về sự thiết lập các cấu trúc tởng tợng, mà không phải là khoahọc nghiên cứu khía cạnh này hay khía cạnh khác của thế giới vật chất Mộttrào lu triết học khác là chủ nghĩa quy ớc luận đã khẳng định rằng, các kháchthể nghiên cứu của toán học không có quan hệ gì với thế giới vật chất, màchúng chỉ là sự thỏa thuận có điều kiện của các nhà toán học với nhau,chúng không phải là cái gì khác, mà chỉ là các quy tắc của trò chơi độc đáo

Theo lập trờng của chủ nghĩa duy vật biện chứng, suy cho cùng toánhọc cũng nh các khoa học khác chỉ là sự phản ánh hiện thực Chính vì vậy,những khái niệm toán học đều có nguồn gốc từ thế giới hiện thực và liên hệchặt chẽ với thế giới hiện thực Trong tác phẩm "Chống Đuy rinh", Ăngghen

đã viết: "Những khái niệm về số lợng và hình dáng không thể rút ra từ đâukhác, mà chỉ là từ thế giới hiện thực mà thôi Mời ngón tay mà ngời ta dùng đểtập đếm, nghĩa là để làm bài toán số học đầu tiên, có thể là gì cũng đợc, nh-

ng không phải là sản phẩm mà lý tính tự do sáng tạo ra" [26, tr 58] Từ đóchúng ta nhận thấy rằng, bản chất của toán học nh là một khoa học nhận

thức chính là ở sự phản ánh các quan hệ số lợng của thế giới hiện thực,những quan hệ này đợc tách khỏi hiện thực để nghiên cứu ở dạng thuần túy.Nếu chỉ bằng cảm xúc thì chúng ta không thể nhận thấy đợc những quan hệ

đó, mà ta chỉ có thể tách chúng ra nhờ t duy trừu tợng trên cơ sở tổng hợp

và lý tởng hóa

Để có đợc một quan niệm đúng đắn về đối tợng của toán học, cùngvới việc phê phán chủ nghĩa duy tâm, chúng ta cũng cần phải chỉ ra nhữngsai sót cơ bản của cách tiếp cận siêu hình về bản chất của các lý thuyết toánhọc Theo quan điểm duy vật biện chứng, sự áp dụng rộng rãi của toán họcvào việc giải quyết những vấn đề cụ thể của thực tiễn và của các khoa họckhác đã đợc quy định bởi tính thống nhất vật chất của thế giới, bởi mốiquan hệ qua lại của các mặt: Nội dung và hình thức, cụ thể và trừu tợng, sốlợng và chất lợng v.v Toán học nghiên cứu các quan hệ số lợng và cáchình dạng không gian của thế giới hiện thực, những quan hệ và hình dạngnày phù hợp với những phạm vi đặc trng về phơng diện chất lợng của hiệnthực Đồng thời, chính những quan hệ rất đa dạng về mặt chất lợng đã yêucầu những lý thuyết toán học đợc thiết lập phải mô tả chúng một cách phùhợp Nh vậy, sự thống nhất, mối liên hệ qua lại và tính toàn vẹn tồn tạitrong thế giới khách quan đã tìm đợc sự thể hiện của mình trong sự thốngnhất và đa dạng của tri thức toán học

Sự đa dạng về chất của các hiện tợng trong thế giới hiện thực, mốiliên hệ và sự thống nhất của chúng đã tìm đợc sự mô tả gián tiếp của mìnhtrong các bộ môn toán học khác nhau Chẳng hạn, toán học sơ cấp nghiêncứu các quan hệ số lợng giữa những đại lợng bất biến Việc chuyển sangnghiên cứu những đại lợng biến thiên đã dẫn đến thành lập bộ môn giải tíchtoán học Toán học hiện đại có thể đợc định nghĩa nh một khoa học về cácquan hệ cấu trúc số lợng với bản chất đa dạng nhất Trong phạm vi mỗi giai

đoạn phát triển của toán học, ta có thể phân ra những bộ môn và những

phần tơng ứng Chẳng hạn, số học và hình học, Đại số và giải tích, Tôpôhọc và lý thuyết tập hợp, v.v Một số vấn đề cần phải lu ý ở chỗ, trong khixem xét sự đa dạng về chất của các lý thuyết toán học, chúng ta thờng nhậnthấy nổi lên một số sai lầm cơ bản do quan niệm siêu hình Thứ nhất, đằngsau sự đa dạng đó, ngời ta không nhìn thấy sự thống nhất và mối liên hệchặt chẽ giữa các lý thuyết toán học Từ đó những nhà triết học siêu hình đã

đi đến kết luận rằng, dờng nh toán học hiện đại đã bắt đầu nghiên cứunhững đặc điểm chất lợng của các đối tợng và các quá trình Trong khi nhìnthấy một cách đích thực những biến đổi cơ bản trong toán học ngày nay,những nhà siêu hình đã quên mất một điều, trong toán học hiện đại và tất cảtoán học các giai đoạn trớc đó, những khách thể của chúng đã đợc trừu tợnghóa khỏi nội dung cụ thể của mình, đồng thời họ cũng quên luôn cả mốiliên hệ và sự phân biệt sâu sắc đang tồn tại trong việc nghiên cứu các đại l-ợng và các khách thể toán học trừu tợng hơn Một sai lầm nữa của các nhàsiêu hình là ở chỗ xem thờng sự phân biệt về chất giữa những quan hệ số l-ợng đợc nghiên cứu bởi những lý thuyết toán học khác nhau Từ đó, họ đã

bỏ qua luôn những sự phân biệt về chất vốn có trong chính các quan hệ số l ợng

-ở đây cần phải thấy rằng, cách tiếp cận đúng đắn, khoa học đến vấn

đề đã cho là ở sự xem xét một cách biện chứng mối quan hệ không nhữnggiữa toán học và các khoa học khác, mà còn giữa chính các lý thuyết toánhọc với nhau Cách nhìn nhận nh thế đòi hỏi phải tính đến các mối liên hệ,

sự thống nhất và sự phân biệt giữa các lý thuyết toán học và các môn khoahọc khác Điều này đã đợc thể hiện rất rõ trong tác phẩm "Biện chứng của

tự nhiên" của Ăngghen:

Phép biện chứng đợc coi là khoa học về những quy luậtphổ biến nhất của mọi vận động Điều đó có nghĩa là những quyluật ấy phải có hiệu lực đối với vận động trong giới tự nhiên và

trong lịch sử loài ngời cũng nh đối với vận động của t duy Mộtquy luật nh thế có thể đợc nhận thức trong hai lĩnh vực của balĩnh vực đó, hay thậm chí trong cả ba lĩnh vực, mà anh chàng siêuhình cổ hủ vẫn không thể biết đợc rằng anh ta chỉ gặp cùng mộtquy luật mà thôi [26, tr 768].

Theo nhận định của Lênin, sự nhận thức của con ngời không đi theo

đờng thẳng, mà theo một đờng cong tiến dần vô hạn tới một loạt các vòngtròn, theo một đờng xoắn ốc Trên đờng cong ấy, một đoạn bất kỳ, mộtmảnh, một mẩu của nó cũng có thể biến thành một đờng thẳng độc lập mộtcách phiến diện Nếu nh lúc ấy chúng ta đứng ở đằng sau những cây lớnkhông thể nhìn thấy rừng, nó sẽ dẫn ta tới một vùng lầy, đến những địnhkiến tôn giáo thần bí Đồng thời, Lênin nhấn mạnh rằng tính chất theo đờngthẳng và phiến diện, tính mộc mạc và thoái hóa, chủ nghĩa chủ quan và sự

mù quáng chủ quan, đó là những nguồn gốc của chủ nghĩa duy tâm

Tóm lại, để có một quan niệm khoa học về đối tợng của toán học,chúng ta phải đứng trên lập trờng mác-xít phân tích một cách duy vật biệnchứng sự phát triển theo quy luật của toán học, xác định đối tợng nghiêncứu của nó, đồng thời cần phải chỉ ra đợc những mặt nào của nhận thứctoán học mà chủ nghĩa duy tâm đã cho là tuyệt đối tách khỏi tự nhiên vàtách khỏi những hoạt động thực tiễn của con ngời Trên cơ sở đó chúng ta

đi tới khắc phục những mặt hạn chế của quan điểm duy tâm và siêu hình về

đối tợng và sự phát triển theo quy luật của toán học

1.2 Phân tích quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng về đối tợng của toán học

1.2.1 Quan niệm mác-xít về đối tợng trực tiếp của toán học

Trong khoảng thời gian nhiều thế kỷ giữa những ngời đại diện choquan điểm duy vật và duy tâm về đối tợng của toán học đã diễn ra một cuộc

đấu tranh rất quyết liệt Nhng dù ở đâu và cho dù cuộc đấu tranh ấy mởrộng đến đâu đi chăng nữa, nó vẫn xoay quanh vấn đề: Đối tợng của toánhọc là gì? và mối quan hệ giữa toán học với thế giới hiện thực diễn ra nh thếnào?

Nh chúng ta đã biết, đối với những nhà duy tâm chủ quan, nhữngkhái niệm cơ bản và những quy luật toán học chỉ là sản phẩm sáng tạo tự docủa t duy thuần túy, là những ký hiệu thuận tiện cho hoạt động nhận thức vàthực tiễn, còn đối với những nhà duy tâm khách quan thì chúng có bản chấtriêng, tồn tại độc lập với thế giới hiện thực

Những nhà duy vật biện chứng đã chứng minh rằng những kháiniệm và những quy luật của toán học là những điều ghi chép, những sựphản ánh thu đợc do kết quả của sự trừu tợng hóa từ những sự vật cụ thể vàcác tính chất của chúng Trong tác phẩm "Biện chứng của tự nhiên",

Ăngghen đã đa ra định nghĩa kinh điển về đối tợng của toán học nh sau:

"Đối tợng của toán học thuần túy là những hình không gian và những quan

hệ số lợng của thế giới hiện thực" [26, tr 29] Để hiểu rõ bản chất của địnhnghĩa này, chúng ta hãy đi sâu tìm hiểu một số thuật ngữ trong đó nh: Số l-ợng, quan hệ, hình dạng v.v Theo quan điểm duy vật biện chứng thì "số l-ợng" là phạm trù triết học dùng để chỉ độ lớn nhỏ, quy mô, trình độ, tốc

độ của sự vật Số lợng là tính quy định khách quan của sự vật, nhờ đó ta

có thể phân chia nó (trên thực tế hoặc trong t duy) thành những bộ phậncùng loại và có thể tập hợp các bộ phận đó lại làm một "Quan hệ" cũng làmột phạm trù triết học nói lên sự phụ thuộc lẫn nhau của các yếu tố trongmột hệ thống nhất định, đó là một trong những hình thức của sự thống nhấtcủa các đối tợng và các thuộc tính của chúng "Hình dạng" là đờng viền t-ởng tợng bao quanh một vật thể hữu hình, cho ta cảm nhận chung về sựhiện diện trớc mắt, còn "không gian" dới góc độ triết học đợc quan niệm làhình thức tồn tại cơ bản của vật chất Khái niệm "không gian" dùng để chỉ

sự cùng tồn tại và tính tách biệt của các sự vật với nhau, quảng tính, tính cócấu trúc và trật tự phân bố của chúng Xuất phát từ những quan niệm trênchúng ta nhận thấy rằng, đối tợng của toán học có nguồn gốc từ thế giớihiện thực và định nghĩa của Ăngghen là hoàn toàn có cơ sở khoa học Đểgiải quyết vấn đề cơ sở của toán học, Ăngghen đã đứng trên lập trờng củachủ nghĩa duy vật biện chứng khẳng định rằng, lao động giữ vai trò quyết

định trong quá trình phát triển t duy của con ngời Đồng thời, theo

Ăngghen, cơ sở chủ yếu nhất và gần gũi nhất của t duy con ngời chính là sựcải tạo tự nhiên do bàn tay con ngời, cùng với điều đó trí tuệ của con ngời

đợc phát triển phù hợp với việc họ đã học tập, cải tạo tự nhiên nh thế nào

Từ cơ sở đó, khi giải quyết vấn đề đối tợng của toán học, Ăngghen đã chú ý

đến tính hai mặt của nó Theo ông, toán học là một khoa học trừu tợng, nónghiên cứu những công trình trí óc, mặc dù những công trình ấy cũng lànhững phản ánh của thực tế Những công trình trí tuệ mà toán học nghiêncứu đợc gọi là những khách thể toán học, đó là những số, điểm, đờng, cácnhóm, các cấu trúc v.v Những khách thể đó cũng chính là đối tợng trựctiếp của toán học Đồng thời, Ăngghen cũng nhấn mạnh rằng, sự nghiêncứu các khách thể toán học không phải là mục đích tự thân của toán học,

mà chung quy lại toán học có nhiệm vụ của mình là phản ánh hiện thực Từ

đó, đối tợng trực tiếp của toán học có mối liên hệ chặt chẽ với sự nghiêncứu những hình thể xác định của các mặt của thế giới hiện thực, đó là: Tựnhiên, xã hội và nhận thức của con ngời Tất cả những cái đó có thể xem

nh là đối tợng gián tiếp của toán học

Tóm lại, đối tợng trực tiếp của toán học chính là các hệ thống kháchthể toán học trừu tợng, chúng đợc hiểu là tập hợp các khách thể cùng vớicác quan hệ tồn tại giữa các khách thể đó Những khách thể nói trên đợc lýtởng hóa, có nghĩa là chúng là những khách thể tinh thần không tồn tạitrong hiện thực khách quan, mà toán học thiết lập chúng để phản ánh thế

giới hiện thực Các khách thể toán học trừu tợng là những khách thể màchúng ta nhận đợc nhờ các tính chất có trong định nghĩa của chúng Nếu

nh khách thể trừu tợng là cái tơng tự với khách thể vật chất, thì nó chỉ mô tảmột cách phiến diện khách thể vật chất bằng các tính chất đặc biệt nào đó

đợc trừu tợng hóa khỏi tất cả các tính chất còn lại của khách thể vật chất đó.Những khách thể vật chất là những khách thể tồn tại một cách khách quan,chúng luôn luôn có nội dung và hình thức xác định Nhng toán học chỉnghiên cứu những hình dạng và các quan hệ đợc tách khỏi nội dung mộtcách hoàn toàn và chỉ giữ lại trong chúng những cái gì có trong định nghĩacủa chúng Ăngghen viết:

Nhng để có thể nghiên cứu những hình thức và nhữngquan hệ ấy dới dạng thuần túy thì ngời ta phải hoàn toàn táchchúng ra khỏi nội dung của chúng, gạt nội dung ấy sang một bên

và coi nó nh một cái gì đó không quan trọng, làm nh vậy, ta có

đ-ợc những điểm không có kích thớc, những đờng không có chiềudài và chiều rộng, những a và b, x và y, những hằng số và nhữngbiến số và chỉ sau cùng ngời ta mới đi đến những sản vật của sựsáng tạo tự do và những t tởng tự do của bản thân lý tính, tức lànhững số ảo [26, tr 59]

Nh vậy, rõ ràng rằng, trên thực tế cả khái niệm và cả khách thể trừutợng đợc thiết lập nhờ khái niệm đó đều dựa vào cùng một số dấu hiệu xácthực Vì vậy, chúng ta có thể suy luận về các khách thể trừu tợng trên cơ sở

định nghĩa các khái niệm tơng ứng Ví dụ, chúng ta có thể suy luận về hìnhvuông dựa vào định nghĩa khái niệm hình vuông Trên cơ sở đó, trong toánhọc ngời ta thờng nhận đợc những tri thức mới bằng con đờng suy luậnlogic từ những định nghĩa và từ những khái niệm về các hình dạng tơngứng Nh vậy, toán học thuần túy có tính chất suy luận trừu tợng một cáchthuần túy

Các khách thể toán học không chỉ đơn thuần là những khách thể trừutợng mà chúng còn là những khách thể đợc lý tởng hóa Những khách thể đợc

lý tởng hóa là những khách thể trừu tợng, chúng đợc xác định dựa vào cácdấu hiệu, mà các dấu hiệu này có thể hữu hạn hoặc vô hạn Trong toán học

sự lý tởng hóa thờng có ở việc đa các đặc điểm số lợng của các khách thểhiện thực tới không hoặc vô hạn Ví dụ, các khách thể nh điểm thì cả bakích thớc của khách thể hiện thực đợc đa tới 0, còn đối với đờng thì mộtkích thớc đi tới vô hạn, còn hai kích thớc tiến tới 0

Trên thực tế, những sự lý tởng hóa ở các mức độ khác nhau thờngdiễn ra trong tất cả các khoa học Điều này đợc giải thích rằng, các khoahọc trong khi nghiên cứu các khách thể vật chất, đã thiết lập trực tiếp cácquy luật của mình cho các khách thể đợc lý tởng hóa ở một mức độ nhất

định nào đó Khoa học càng chính xác thì sự lý tởng hóa các khách thể đợcnghiên cứu bởi nó càng có tính chất hệ thống hơn Chẳng hạn, cơ học cổ

điển chỉ có quan hệ với các trừu tợng hóa của vật thể nh: điểm vật chất, vậtthể rắn tuyệt đối và chất lỏng lý tởng Nh vậy, trong toán học sự lý tởng hóa

có ý nghĩa đặc biệt, bởi vì đối với toán học, khi nghiên cứu các khách thểhiện thực, chỉ có hình dạng hoặc các quan hệ số l ợng của chúng đợc tách

ra ở dạng thuần túy, tức là đợc trừu tợng hóa khỏi nội dung của chúng mới

đợc coi là điểm cốt yếu nhất Nhà toán học ngời Nga là Alecxanđrov đã nhậnxét rằng, hình thức đợc trừu tợng hóa khỏi nội dung với t cách nh mộtkhách thể độc lập, do đó, đối tợng trực tiếp của toán học chính là những số,chứ không phải tổng số các đối tợng và là những hình hình học chứ khôngphải là vật thể hiện thực trong tự nhiên Ví dụ, trong tự nhiên có những mốiliên hệ đa dạng của các đại lợng biến thiên, dạng thuần túy của mối liên hệ

đó đợc thể hiện trong toán học nh là những khách thể lý tởng - đó là hàm số

và v.v

Các khách thể toán học đóng vai trò quan trọng trong việc hìnhthành các quy luật của lý thuyết toán học, bởi vì các mối quan hệ trong toánhọc luôn luôn hiện diện một cách trực tiếp nh là hệ thống các mối quan hệgiữa các khách thể trừu tợng nào đó Ví dụ, các tiên đề hình học đợc thiếtlập một cách trực tiếp để phản ánh các mối quan hệ nh tính liên thuộc, tínhthứ tự, tính song song, tính liên tục, tính toàn đẳng v.v của các khách thểhình học lý tởng nh các điểm, các đờng, các mặt v.v Những mối quan hệ

đó đã phản ánh một cách gần đúng các quan hệ của các vật thể hiện thực

1.2.2 Các phơng pháp trừu tợng hóa toán học và sự thiết lập những khái niệm xuất phát của toán học

Nh chúng ta đã biết, đối tợng của toán học chính là các hình dạngkhông gian và những quan hệ số lợng của thế giới hiện thực Đó là nhữnghình dạng và những quan hệ đợc tách ra ở dạng thuần túy và hoàn toàn đợctrừu tợng hóa khỏi nội dung của chúng Vì vậy, ở đây có một vấn đề cầnphải làm sáng tỏ, đó là: Những quan hệ số lợng và những hình dạng khônggian đợc tách ra một cách thực sự khỏi nội dung của chúng bằng cách nào?Chính việc khảo sát các phơng pháp cơ bản của sự trừu tợng hóa trong toánhọc, mà nhờ đó ta có thể thiết lập đợc những khái niệm xuất phát của toánhọc nh số, hình v.v đã cho phép chúng ta khả năng hiểu tốt hơn quan hệcủa các khái niệm toán học với hiện thực, đồng thời phân biệt đợc sự trừu t-ợng hóa trong toán học với sự trừu tợng hóa trong các khoa học khác

Từ việc xem xét quá trình lịch sử phát triển của toán học, chúng tanhận thấy rằng, các phơng pháp trừu tợng hóa phổ biến nhất trong toán học

là sự trừu tợng đồng nhất hóa, sự trừu tợng phân tích hoặc cô lập và các sựtrừu tợng khác nhau về khả năng thực hiện đợc, nhng trong dó sự trừu tợng

đồng nhất hóa là phơng pháp cơ bản nhất, nhờ đó ta suy ra đợc tính chấthoặc quan hệ chung cho tất cả các đối tợng đợc xét Chính vì vậy, trừu tợng

đồng nhất hóa thờng đợc gọi là trừu tợng khái quát hóa

Đứng trên quan điểm của lý thuyết kinh nghiệm về trừu tợng hóa,quá trình tách các tính chất toán học của các đối tợng nh là số và hình đợcthực hiện ở việc tớc bỏ dần dần tất cả những tính chất không toán học vàcuối cùng đi đến các tính chất toán học phải tìm Nhng phơng pháp nh vậycực kỳ đơn giản hóa bức tranh thực tế, bởi vì sự vật có một tập hợp vô sốcác tính chất, đồng thời các tính chất toán học lại không tồn tại dới dạng

"thuần túy" trong bản thân các đối tợng Hạn chế này của lý thuyết kinhnghiệm đã bị các nhà duy tâm sử dụng để chống đối quan điểm duy vật đốivới toán học Trong khi đó, việc nghiên cứu chi tiết các phơng pháp của sựtrừu tợng hóa đợc áp dụng để hình thành các khái niệm toán học đã chứng

tỏ một cách rõ ràng tính chất duy vật biện chứng của các phơng pháp này và

sự sai lầm của các quan niệm duy tâm về nhận thức tiên thiên, đặc biệt làtrong toán học Để hiểu rõ thực chất sự trừu tợng hóa của phép đồng nhất,chúng ta quay trở lại phân tích quá trình hình thành khái niệm số tự nhiên,

đó là điểm xuất phát của sự phát triển toàn bộ toán học

Đối với mọi ngời hiện nay, khái niệm số hầu nh rất quen thuộc, mặc

dù không phải ai cũng hiểu tờng tận về nó Hầu nh ngời ta đều xem nh mọiphép so sánh và phép đếm các đồ vật đều đợc giả thiết là đã có các số tựnhiên rồi Trong khi đó, nhiều sự kiện lịch sử đã chứng tỏ chắc chắn rằng,trong sự phát triển của xã hội loài ngời đã có thời kỳ mà con ngời không hề

có chút quan niệm rõ ràng nào về số, nhng vẫn làm đợc phép so sánh vàphép đếm các tập hợp khác nhau Khái niệm số xuất hiện rất muộn, bởi vì

sự suy nghĩ trừu tợng cũng cần phải có một khả năng nhất định Chúng ta

có thể nói về quá trình hình thành khái niệm số nh sau: Khi nói về một sốnào đó, chúng ta biết rất rõ nhiều tập hợp khác nhau của các sự vật có thểcùng ứng với số đó Chẳng hạn, số 5 có thể là 5 ngón tay, 5 bó hoa hoặc số

đỉnh của một ngũ giác v.v Do đó, khái niệm này phản ánh đặc điểm về ợng xác định của các tập hợp đó Dù rằng, các tập hợp nêu ra khác nhau về

l-bản chất, nhng tất cả chúng đều có một tính chất chung đợc đặc trng bởicon số 5.

Vấn đề cần phải giải quyết là ở chỗ, bằng con đờng nào trong quátrình hoạt động thực tiễn, con ngời đã đi đến sự trừu tợng hóa một tính chấtchung cho các tập hợp nh là con số Chúng ta hoàn toàn dễ nhận thấy rằng,một sự trừu tợng hóa nh thế không thể thực hiện đợc nếu không tồn tại cáctập hợp xác định các sự vật Trên thực tế, muốn so sánh hai tập hợp các sựvật ta chỉ cần bằng cách này hay cách khác sắp đặt các phần tử của chúng t-

ơng ứng với nhau, chẳng hạn, nếu cho mỗi ngón tay của chúng ta ứng vớimột và chỉ một đối tợng thì chúng ta có thể thiết lập đợc một tập hợp gồm 5phần tử, ví dụ nh: 5 con gà tơng đơng với tập hợp 5 ngón tay, còn tập hợp

10 con gà sẽ không tơng đơng Mặc dù trong khi thực hiện việc làm trênchúng ta sử dụng các số, nhng về nguyên tắc ta có thể so sánh các tập hợp

mà không cần tới các số Nhiều nhà nghiên cứu đã khẳng định rằng, ở nhiềuvùng thổ dân, ngời ta không có tên gọi cho các số lớn hơn 5, song họ lại

đếm đợc các tập hợp khác nhau của các đối tợng mà số lợng vợt quá 5 Họ

đếm theo các ngón chân và các ngón tay, và với điều đó họ chỉ cần có trớcmặt họ các đồ vật phải đếm Chúng ta dễ dàng nhận thấy phép đếm nh vậy

đợc thực hiện theo nguyên tắc: ứng với các phân tử của một tập hợp xác

định là các ngón tay và các ngón chân, ngời ta đặt tơng ứng với các phần tửcủa tập hợp khác Nếu với mỗi phân tử của tập hợp này tơng ứng với một vàchỉ một phần tử của tập hợp kia, thì các tập hợp cần phải so sánh đợc coi làtơng đơng với nhau Phép so sánh nh vậy, ngày nay vẫn đợc con ngời sửdụng một cách máy móc Ví dụ, chúng ta có thể không biết số lợng chỗngồi trong một hội trờng, nhng nếu chúng ta biết rằng tất cả các chỗ đều cóngời ngồi và không có đại biểu nào thiếu chỗ ngồi thì số chỗ đúng bằng số

đại biểu Chính vì vậy, chúng ta có thể so sánh các tập hợp khác nhau củacác đối tợng khác nhau mà không cần có khái niệm về số Sự nghiên cứucủa các nhà khoa học nh nhân chủng học, khảo cổ học v.v đã cho ta cơ sở

để khẳng định rằng về phơng diện lịch sử, ngay từ thời cộng sản nguyênthủy phép đếm đã bắt đầu đợc phát triển Trớc tiên ngời ta không tách tínhchất của các số khỏi bản thân các tập hợp phải đếm Tuy vậy, họ có thểthiết lập đợc sự bằng nhau về lợng của tập hợp này với tập hợp khác bằngphép so sánh các phần tử của chúng Sau này, cùng với việc phát triển củasản xuất và việc mở rộng các mối liên hệ kinh tế giữa các bộ lạc, kỹ thuật

đếm sơ khai đã đợc hoàn thiện dần Muốn biết về lợng của một tập hợp đồvật nào đó, cần phải chọn một tập hợp đồ vật xác định để biểu thị lợng củatập hợp khác Thông thờng ngời ta chọn các tập hợp xác định là các ngóntay, ngón chân, các que nhỏ, các vỏ ốc, các viên sỏi v.v Nh vậy, trong giai

đoạn này, tính chất chung của tất cả các tập hợp có số lợng bằng nhau đợcbiểu thị qua tính chất của một tập hợp đặc biệt nào đó Tiếp đó, khi sự trao

đổi giữa các bộ lạc ngày càng phát triển thì xuất hiện điều bất tiện ở chỗ,các bộ lạc khác nhau thờng sử dụng các tập hợp đồ vật khác nhau làm tiêuchuẩn so sánh Ví dụ, có bộ lạc chọn que nhỏ, có bộ lạc chọn vỏ ốc, có bộlạc chọn những viên đá nhỏ v.v Chính vì thế, do ảnh hởng của các nhu cầutrao đổi và sự phát triển của đời sống kinh tế, dần dần buộc ngời ta phải đa

ra một tập hợp xác định làm đại diện về lợng cho một tập hợp bất kỳ Trêncơ sở đó, phải kinh qua sự phát triển lịch sử lâu dài thì khái niệm số mới đ-

ợc giải phóng khỏi cái vỏ vật chất cụ thể và cuối cùng đợc diễn tả nh là một

số nói chung Khái niệm trừu tợng về số nh là tính chất chung của tất cả cáctập hợp tơng đơng các đồ vật đợc củng cố trớc hết là trong lời nói và sau đó

là trong các chữ số

Lịch sử hình thành số tự nhiên có thể chia làm bốn giai đoạn lớn,

t-ơng ứng với bốn giai đoạn liên tiếp trong sự phát triển của bản thân kỹ thuật

đếm Giai đoạn thứ nhất bắt đầu từ việc thiết lập sự bằng nhau về lợng củacác tập hợp khác nhau ở đây, tính chất chung của các tập hợp tơng đơng đ-

ợc kết hợp hoàn toàn với bản tính cụ thể của các tập hợp đợc so sánh ở giai

đoạn thứ hai, số lợng của một tập hợp xác định nào đó đợc biểu diễn qua cả

một loạt các tập hợp khác tơng đơng với nó ở đây, tính chất chung của tấtcả các tập hợp đã bắt đầu đợc ý thức nh là một cái gì khác với bản tính cụthể của bản thân tập hợp Đến giai đoạn thứ ba, khi mà một tập hợp xác

định đợc lấy làm tiêu chuẩn đặc biệt về lợng, ngời ta mới bắt đầu phân biệttính chất chung này với tất cả các tính chất đặc biệt của tập hợp Đến giai

đoạn thứ t, tính chất chung của tất cả các tập hợp tơng đơng đợc trừu tợnghóa khỏi bản thân tập hợp và biểu diễn dới dạng "thần túy", tức là giống nhkhái niệm trừu tợng của số tự nhiên Bây giờ, chính các số tự nhiên biểudiễn tiêu chuẩn về lợng Thật vậy, ở giai đoạn này, khi đếm chúng ta cho t-

ơng ứng mỗi đối tợng của một tập hợp đợc đếm với một số xác định trongdãy số tự nhiên, cụ thể với một số là số hiệu của nó trong dãy này

Trong lịch sử hình thành khái niệm số đã có nhiều nhà toán học đa

ra định nghĩa logic của khái niệm đó Điển hình là định nghĩa của Frêghê

và Rútxen Trong cơ sở của định nghĩa đó đã chứa đựng khái niệm tơngứng đơn trị hai chiều hoặc khái niệm đồng dạng của các lớp Tại đây, mộtvấn đề phải nói rõ là thế nào là sự tơng ứng đơn trị hai chiều và hai lớp đồngdạng Sự tơng ứng đơn trị hai chiều là sự tơng ứng biểu thị một quan hệ xác

định giữa các phần tử của hai tập hợp, trong đó mỗi phần tử của tập hợp thứnhất đợc đặt tơng ứng với một và chỉ một phần tử của tập hợp thứ hai và ng-

ợc lại, còn hai lớp hoặc hai tập hợp đợc coi là đồng dạng hoặc tơng đơngnếu giữa chúng có thể thiết lập đợc sự tơng ứng đơn trị hai chiều

Xét về phơng diện lịch sử chúng ta cần lu ý rằng, nếu sự trừu tợnghóa tính chất chung của các tập hợp tơng đơng và từ đó dễ dàng hình thànhnên khái niệm số, thì nguyên nhân chính là do điều đó đã đợc chuẩn bị bởithực tiễn lâu dài trớc đó của nhân loại và trong quá trình đó t duy trừu tợngcủa con ngời đã đợc phát triển

Trong thí dụ về sự hình thành khái niệm số, ta có thể phát hiện đợccác đặc điểm của sự trừu tợng đồng nhất hóa đóng một vai trò quan trọng

trong toán học Sự trừu tợng hóa nh thế bắt đầu từ sự thiết lập quan hệ loạibằng nhau giữa các tập hợp đợc nghiên cứu Chẳng hạn, chúng ta xét quan

hệ tơng ứng đơn trị hai chiều giữa các tập hợp cho định nghĩa số Muốn xác

định khái niệm hình hình học, chúng ta phải xét quan hệ đồng dạng của cáchình Đối với định nghĩa đồng d các số theo một mô đun nào đó, chúng taphải nghiên cứu quan hệ đồng d v.v Tất cả các quan hệ tơng ứng đơn trịhai chiều, quan hệ đồng dạng của các hình lẫn quan hệ đồng d của các số

đều đợc đặc trng bởi ba tính chất quan trọng sau đây:

- Tính chất đối xứng: Nếu tập hợp A tơng đơng với tập hợp B thì tập

hợp B cũng tơng đơng với tập hợp A Nếu hình 1 đồng dạng với hình 2, thìhình 2 cũng đồng dạng với hình 1 Bằng ngôn ngữ logic toán, tính chấtnày đợc biểu diễn nh sau: xRy yRx (nếu phần tử x nằm trong quan hệ R

đối với phần tử y, thì phần tử y cũng nằm trong quan hệ R ấy với phần tử x)

- Tính chất bắc cầu: Nếu tập hợp A tơng đơng với tập hợp B, còn tập

hợp B tơng đơng với tập hợp C, thì tập hợp A tơng đơng với tập hợp C Nếuhình 1 đồng dạng với hình 2, còn hình 2 đồng dạng với 3, thì hình 1 đồngdạng với hình 3 Bằng kí hiệu logic, điều đó đợc viết nh sau: (xRy & yRz) xRz (nếu phần tử x nằm trong quan hệ R đối với phần tử y, còn y cùng nằmtrong quan hệ đó đối với z, thì x cũng nằm trong quan hệ R đối với z)

- Tính phản xạ: Mỗi tập hợp tơng đơng với chính mình, mỗi hình

đồng dạng với chính mình Bằng kí hiệu logic, tính chất này đợc viết dớidạng: xRx

Nếu giữa các đối tợng xác định tồn tại một quan hệ có các tính chất

đối xứng, bắc cầu và phản xạ, thì dựa vào quan hệ đó ta có thể tách ra, hoặctrừu tợng hóa một tính chất chung nào đó vốn có cho tất cả các đối tợngnày Trong các thí dụ nêu trên đã chứng tỏ rằng, nhờ sự tơng ứng đơn trị haichiều, tính chất của các số đã đợc trừu tợng hóa, quan hệ đồng dạng tách ra

tính chất chung của các vật thể hình học nh là một hình, quan hệ đồng dgiữa các số tách ra các số đồng d theo môđun đã cho v.v

Quan hệ mà có các tính chất đối xứng, bắc cầu, phản xạ thì tơng tự

nh quan hệ bằng nhau, vì thế ngời ta thờng gọi nó là quan hệ loại bằngnhau Nhng rõ ràng, nếu nh các đối tợng đợc nghiên cứu là đồng nhất hoàntoàn, thì chúng ta không thể từ cái gì mà trừu tợng hóa đợc, bởi vì khôngphân biệt đợc chúng Khi thiết lập quan hệ loại bằng nhau, ngời ta so sánhcác đối tợng trong một quan hệ nào đó Chẳng hạn, quan hệ tơng ứng đơntrị hai chiều chỉ đặc trng cho sự tơng đơng về lợng của các tập hợp và hoàntoàn không đụng chạm tới bản chất của các phần tử hình thành nên tập hợp.Quan hệ đồng dạng thiết lập sự bằng nhau của các góc và tỷ lệ của cáccạnh Chính điều đó đã giải thích tên gọi của phơng pháp này nh là một sựtrừu tợng đồng nhất hóa

Sự trừu tợng đồng nhất hóa không những chỉ đợc sử dụng rộng rãitrong toán học, mà còn cả trong các khoa học khác Chẳng hạn nh Mác đã

sử dụng phơng pháp này để trừu tợng hóa một tính chất chung cho tất cảhàng hóa đó là giá trị Khi phân tích quan hệ trao đổi hàng hóa C.Mác đãnhận xét rằng, quan hệ này có thể biểu diễn dới dạng phơng trình, trong đó

số lợng xác định của một dạng hàng hóa này đợc so sánh với số lợng đã biếtcủa một hàng hóa khác Mác viết:

Ví dụ; 1 quac tơ lúa mì = a tạ sắt Phơng trình ấy nói lêncái gì? nói lên rằng trong hai vật khác nhau - tức là trong mộtquac-tơ lúa mì và a tạ sắt - có một cái gì chung có cùng một đại l-ợng Vậy cả hai vật đó bằng một vật thứ ba nào đó, vật thứ ba nàybản thân lại không phải là vật thứ nhất mà cũng không phải vậtthứ hai Nh vậy là mỗi vật trong hai vật ấy, với t cách là giá trịtrao đổi, phải có thể quy thành vật thứ ba đó [29, tr 64]

Tính chất chung đó không thể là các tính chất vật lý, các tính chấthóa học, hay là các tính chất tự nhiên nào khác của hàng hóa Theo Mác,tính chất chung đó của hàng hóa đợc biểu thị trong quan hệ trao đổi, đó làgiá trị của chúng.

ở thời kỳ đầu của sự phát triển xã hội loài ngời khi sự trao đổi giữacác bộ lạc mang tính chất ngẫu nhiên, thì việc tách ra tính chất chung củahàng hóa nh là giá trị, là hoàn toàn không có khả năng làm đợc Cùng với

sự phát triển sau này của lực lợng sản xuất xã hội, sự trao đổi hàng hóa giữacác bộ lạc bắt đầu có tính chất ổn định hơn Tơng ứng với điều đó, ở giai

đoạn thứ hai, dạng đơn giản của giá trị biến thành dạng mở rộng Giá trị củamột hàng hóa xác định nào đó cũng đợc biểu thị qua nhiều loại hàng hóakhác, chẳng hạn 100 kg bánh mì bằng 1 cái áo da, hoặc bằng 10 kg chè,hoặc bằng 30 kg cà phê ở giai đoạn thứ ba, khi sự trao đổi hàng hóa cótính chất ổn định hoàn toàn, lúc đó dạng chung của giá trị phải thay thế chodạng mở rộng ở đây, giá trị một lợng xác định của một hàng hóa đã biếttrở thành một vật ngang giá của tất cả các hàng hóa khác Vì thế, giá trị củatất cả các hàng hóa khác có thể đợc biểu thị qua giá trị vật ngang giá Cuốicùng, ở giai đoạn thứ t của sự phát triển trao đổi, thì các hàng hóa thờng haygiữ vai trò vật ngang giá hơn cả, bắt đầu hoạt động với t cách tiền tệ Mácviết:

Loại hàng hóa đặc biệt mà về mặt xã hội, hình thái tựnhiên của nó dần dần gắn liền với hình thái vật ngang giá, thì sẽtrở thành hàng hóa - tiền, hay làm chức năng tiền Chức năng xãhội đặc biệt của nó, và do đó, độc quyền xã hội của nó, là đóngvai trò vật ngang giá phổ biến trong thế giới hàng hóa [29, tr 111]

Nếu bây giờ chúng ta so sánh quá trình lịch sử hình thành khái niệm

số và khái niệm giá trị thì dễ dàng phát hiện ra phơng pháp chung của quá

trình trừu tợng hóa trong toán học và kinh tế chính trị học về nguyên tắc là

nh nhau

Cùng với sự trừu tợng hóa đồng nhất, khi hình thành các khái niệm

đầu tiên của toán học, ngời ta đã sử dụng rộng rãi một phơng pháp đặc thùcủa sự trừu tợng hóa đó là sự lý tởng hóa Trong các tài liệu khoa học, lý t-ởng hóa là một quá trình bất kỳ nào đó, phản ánh thực tế có tính chất lợc

đồ Theo nghĩa đó thì mọi phơng pháp nghiên cứu trừu tợng đều là sự lý ởng hóa Đôi khi sự lý tởng hóa cũng có thể xem nh động tác của t duynhằm sản sinh ra các khái niệm, mà trong đó không những chỉ có các tínhchất đợc tách ra do trừu tợng hóa "thuần túy", mà còn có cả các tính chất đ-

t-ợc tởng tợng ra, hoàn toàn không có trong các đối tợng đầu tiên, hoặc phản

ánh chung dới dạng rất khác lạ Phơng pháp nh thế đối với quá trình trừu ợng hóa trong toán học cho phép nhấn mạnh hơn đặc điểm của nhận thứctoán học, bởi vì nó kể đến tác dụng tơng hỗ của các loại trừu tợng hóa cơbản khác nhau Để hiểu rõ chi tiết của quá trình lý tởng hóa, chúng ta chỉnên giới hạn quá trình đó ở việc hình thành các khái niệm biểu thị các tínhchất của sự vật không có thật, mà rất sai lệch với hiện thực, hoặc thậm chí

t-đợc tởng tợng ra Từ quan điểm nh vậy, ta có thể xem sự lý tởng hóa nh làmột phơng pháp đặc biệt của thí nghiệm trong t duy Chẳng hạn, trong cơhọc chúng ta đa vào khái niệm quả lắc toán học lý tởng nh là trờng hợp giớihạn nào đó của các quả lắc vật lý tồn tại thực sự Nếu một quả lắc vật lý bất

kỳ gặp phải sức cản của không khí và lực ma sát, thì trong lý thuyết của quảlắc toán học, chúng ta bỏ qua tất cả những sức cản đó Trong trờng hợp nóitrên, thí nghiệm lý tởng là ở chỗ, nếu từ kinh nghiệm chúng ta biết ảnh h-ởng của các lực khác nhau tác động vào quả lắc vật lý, thì chúng ta có thể t-ởng tợng ảnh hởng của các lực ma sát dới dạng dãy các đại lợng giảm vôhạn, mà giá trị giới hạn của chúng bằng không Thí nghiệm thực tế chỉ cóthể cho chúng ta một sự gần đúng nào đó đối với trờng hợp lý tởng Rõ ràng

là quả lắc toán học chỉ có thể tồn tại trong sự trừu tợng, ta không thể thụcảm đợc nó nhờ thực nghiệm cảm giác Cũng tơng tự nh vậy, trong lýthuyết động lực học phân tử, chúng ta nói về chất khí lý tởng là trờng hợpgiới hạn của các chất khí thực tế Chúng ta có thể đa ra hàng loạt thí dụ t-

ơng tự về việc hình thành cái gọi là các đối tợng lý tởng trong các ngànhkhác nhau của tự nhiên học Các đối tợng này, nh chúng ta đã thấy, chúng

đợc hình thành bằng quá trình chuyển qua giới hạn tới một giá trị nào đó

mà ta không thể phát hiện đợc trong thí nghiệm Quá trình khảo sát lịch sửphát triển của toán học, chúng ta gặp rất nhiều các khái niệm xuất phát củacác ngành toán học khác nhau biểu diễn các đối tợng lý tởng nh thế Ví dụ

nh các khái niệm "điểm", "đờng thẳng", và "mặt phẳng" trong hình hìnhhọc

Nhà toán học Hy Lạp cổ đại Ơclít đã xác định "điểm hình học" nh

là một cái gì không có các thành phần và kích thớc Rõ ràng, một đối tợng

nh thế không thể tìm thấy trong thiên nhiên, vì ở đó một đối tợng bất kỳkhông những có các kích thớc xác định, mà còn có các tính chất khác nhhóa học, lý học v.v Nhng nhớ rằng, khi thực hiện sự lý tởng hóa trong vật

lý, mặc dù chấp nhận những giá trị không có thật của một số tính chất nào

đó, chúng ta vẫn không đợc phép trừu tợng khỏi bản thân các tính chất vậtlý

Trong toán học, sự lý tởng hóa đi xa hơn ở đây chúng ta đã bỏ quatất cả các tính chất về chất của các sự vật và chỉ chú ý đến các tính chất phổbiến và thuần túy về lợng với các quan hệ không gian của các đối tợng.Chính vì thế chúng ta dễ thấy rằng, mối liên hệ giữa các đối tợng lý tởngcủa toán học với thế giới hiện thực tỏ ra phức tạp hơn nhiều so với trong vật

lý Nh chúng ta đã thấy, các khái niệm đầu tiên của hình học nh "điểm", ờng thẳng", "mặt phẳng" đã đợc hình thành ngay từ buổi bình minh của sự

"đ-phát triển hình học, cho nên việc giải thích quá trình hình thành của chúng

ta là một vấn đề hết sức khó khăn

Trên thực tế, những t liệu về quá trình này rất nghèo nàn, cho nênchúng ta chỉ có thể "xây dựng lại" nó bằng cách dựa vào các sự tơng tự tơngứng trong vật lý và các khoa học khác Từ đó chúng ta có thể nhận xét rằng,

có lẽ các khái niệm đầu tiên của hình học đã nảy sinh dần dần nhờ quá trìnhchuyển qua giới hạn ở thí nghiệm trong t duy nh đã thấy trong vật lý Ví dụ,các bài toán thực tế về đo lờng các diện tích khác nhau ngày càng gợi ý chocon ngời đi đến suy nghĩ rằng, chiều rộng đờng biên của diện tích không

ảnh hởng đến số đo diện tích đợc giới hạn bởi đờng biên đó Bằng con đờng

nh thế, con ngời đã có thể dần dần đi đến khái niệm ban đầu về đờng thẳng

nh là sự kéo dài đơn thuần, tức là đờng không có bề dày Khái niệm có thể

đợc hình thành bằng việc giảm vô hạn kích thớc của chất thể Chính vì vậykhông phải ngẫu nhiên mà các định nghĩa đợc mô tả kiểu nh thế lại gặptrong tác phẩm "cơ sở" của Ơclít

Sự lý tởng hóa thờng đợc sử dụng ở những chỗ mà tính phức tạp củacác hiện tợng thực tế gây ra những trở ngại rất lớn cho sự nghiên cứu Nhngtrong hàng loạt các trờng hợp, ta lại có khả năng đa ra các giả thiết rút gọn

Ví dụ, thay các vật chuyển động (hành tinh) trong các bài toán của cơ họccác thiên thể bằng các chất điểm, nhờ đó mà lời giải của các bài toán đợc

đơn giản hóa rất nhiều Thông thờng sự lý tởng hóa trong khoa học tỏ ra rất

có tác dụng trong trờng hợp ta có thể sử dụng các phơng pháp và các kháiniệm cũ vào việc giải các bài toán mới

Trong toán học còn có phơng pháp phần tử lý tởng, đây là hình thức

đặc biệt của sự lý tởng hóa Phơng pháp này đóng một vai trò rất quan trọngtrong việc xây dựng các lý thuyết toán học Để tăng cờng tính tổng quát vàtính quy luật của lý thuyết và đơn giản hình thức của nó cùng với các đối t-

ợng thực tế đợc nghiên cứu, ngời ta thờng hay đa vào trong toán học cácphần tử "lý tởng mới".

Trên thực tế, chúng ta đã gặp phơng pháp này trong hình học sơ cấp

và trong đại số Ta hãy xét một thí dụ trong hình học, từ tiên đề "qua hai

điểm chỉ có một đờng thẳng và chỉ một mà thôi", ta có thể rút ra hệ quả làhai đờng thẳng cắt nhau tại không quá một điểm Nhng nếu đặt trong phạm

vi các đối tợng ban đầu của hình học, thì không thể khẳng định hai đờngthẳng cắt nhau tại một điểm, vì chúng có thể song song với nhau Nếu tathừa nhận các đờng thẳng song song cắt nhau tại "điểm vô tận" thì khi đó

điều khẳng định của chúng ta là đúng và ta sẽ nhận đợc một sự tổng quáthóa cần thiết Nhng có điều chúng ta không bao giờ đợc quên rằng điểm, đ-ờng thẳng và mặt phẳng vô tận là những phần tử lý tởng, trong khi đó các

điểm, các đờng thẳng và các mặt phẳng thông thờng của hình học ơclít làcác đối tợng thực tế của lý thuyết Nhờ việc đa vào các phần tử lý tởng,chúng ta nhận đợc sự đối xứng giữa các điểm và các mặt phẳng, đồng thờinguyên lý đối ngẫu xuất hiện nh là một hệ quả của nó Nguyên lý này tỏ rarất có giá trị trong hình học

Trong đại số, số ảo lần đầu tiên đợc đa vào nh là phần tử lý tởng nào

đó của lý thuyết Lúc đầu, nhờ nó ta có khả năng đa ra một thuật toán duynhất để giải phơng trình bậc ba: x3 + px + q = 0 Đó là công trình của cácnhà toán học Bôm-beli và Cácđanô Sau đó, việc đa chúng vào đã có thể

đơn giản hóa rất nhiều cách phát biểu định lý về số các nghiệm của một

ph-ơng trình đại số Định lý khẳng định rằng, một phph-ơng trình đại số bậc n bất

kỳ có n nghiệm, trong đó cần phải xét không chỉ các số thực mà còn cả các

số phức nữa Thật vậy, nếu chỉ xét trong phạm vi các số thực, thì chúng taphải nói rằng, phơng trình ax2 + bx + c = 0 vô nghiệm khi biệt số A = b2 - 4

ac < 0 Các nhà toán học trớc kia đã trình bày nh vậy, bởi vì lúc đó cha cócăn bậc hai của các số âm nh là các số mới - các số phức

Nh vậy, từ sự phân tích nói trên, chúng ta có thể nhận định rằng,bằng việc luận chứng cơ sở khách quan của những khái niệm toán học đầutiên và nhờ phơng pháp trừu tợng của trừu tợng trong toán học, một mặtchúng ta có thể lý giải đợc nguồn gốc hiện thực của các khái niệm toán họctrừu tợng khác, mặt khác chúng ta cũng thấy đợc bản chất sáng tạo của t duycon ngời.

Để phản ánh đợc bản chất sâu xa của đối tợng hiện thực, từ nhữngkhái niệm toán học đầu tiên, t duy con ngời đã sản sinh ra các trừu tợngtoán ở trình độ cao hơn từ những khái niệm đã có Những khái niệm trừu t-ợng này, thông qua khâu trung gian là những khái niệm toán học đầu tiên

đã tìm thấy cơ sở hiện thực của mình Cũng từ đó, chúng ta càng nhận thấymột cách sâu sắc quan điểm đúng đắn của chủ nghĩa duy vật biện chứng vềnhững cơ sở khách quan của các trừu tợng toán học, cũng nh của các khoahọc nói chung Chỉ có đứng trên lập trờng của chủ nghĩa duy vật biệnchứng, chúng ta mới nhận thức đầy đủ hơn và sâu sắc hơn cơ sở khách quancủa các trừu tợng khoa học, cũng nh bản chất sáng tạo của t duy con ngờitrong quá trình nhận thức thế giới khách quan

1.2.3 Mối quan hệ của đối tợng toán học với thế giới hiện thực

Xuất phát từ quan niệm mác-xít về đối tợng trực tiếp của toán học,chúng ta nhận thấy rằng, tính trừu tợng của toán học đợc thể hiện ở chỗtrong toàn bộ tính đa tạp của các chất và quan hệ của hiện thực, nó chỉ tách

ra một bộ phận cụ thể nào đó là các hình dạng không gian và các quan hệ

số lợng Nh vậy, trong toán học sự trừu tợng hóa xảy ra ở mọi giai đoạnphát triển của nó ở đây, ta cần phải phân ra hàng loạt mức độ, chẳng hạn,mức độ trừu tợng hóa từ khía cạnh chất lợng cụ thể của các đối tợng và hiệntợng, sự trừu tợng hóa từ nội dung chất lợng của bản thân các quan hệ số l-ợng và các hình dạng không gian, sự trừu tợng hóa không chỉ từ nội dung số

lợng cụ thể của các trừu tợng toán học, mà ngay cả trực tiếp từ bản thân cácphép toán mà ta coi nh các biến.

Toán học hiện đại, nhờ các trừu tợng hóa, khái quát hóa và các

ph-ơng pháp hình thức hóa của mình, bắt đầu phản ánh hiện thực sâu sắc và

đầy đủ hơn nhiều Toán học hiện đại đã thiết lập đợc các trừu tợng nh

ph-ơng trình, hàm số, toán tử, nhóm, tập hợp trừu tợng v.v Giải tích toán học,

mà cốt lõi là khái niệm hàm đã cho phép mô tả sự thống nhất các hiện tợngkhác loại trên cơ sở nguyên tắc đẳng cấu Ví dụ, cùng một phơng trình viphân đã mô tả các loại dao động khác nhau nh cơ học, điện học v.v Nhờcác hàm số điều hòa, chúng ta mô tả đợc thông lợng theo phiến mỏng củachất lỏng, từ trờng và trờng hấp dẫn, tức là chúng ta nhận thấy đợc sự phản

ánh tính thống nhất vật chất của thế giới vào các trừu tợng, toán học Vềvấn đề này Lênin đã viết: "Tính thống nhất của giới tự nhiên bộc lộ rõ trong

"tính tơng tự kỳ lạ" giữa các phơng trình vi phân về các phạm vi hiện tợngkhác nhau" [20, tr 357]

Sự thống nhất của tự nhiên còn bộc lộ trong quá trình mô hình hóatoán học và điều khiển học đối với các hiện tợng khác nhau Việc xây dựngmột quan niệm toán học tổng quát, chẳng hạn nh quan niệm phiếm hàm đãcho phép ta biểu đạt các quy luật bên trong của các hiện tợng khác nhaunhất Chúng ta có đầy đủ cơ sở để tin tởng rằng, theo trình độ phát triển củanhận thức khoa học, sẽ nảy sinh các trình độ trừu tợng hóa còn cao hơn nữa,giúp ta phát hiện và biểu diễn các quy luật sâu xa của hiện thực Cần lu ýrằng trình độ mới của sự trừu tợng hóa không phải là kết quả của ý thức tự

do, tùy tiện mà nó nói lên sự tổng quát hóa cao hơn và sự phát triển củatrình độ đó đang ở thời gian nhất định, phù hợp với tính logic của đối tợng

đợc nghiên cứu, với các quy luật và nguyên tắc của t duy Việc chuyển từtrình độ kém sâu sắc tới trình độ sâu sắc hơn có nghĩa là sự biểu đạt ngàycàng đầy đủ hơn các quan hệ số lợng trong các khái niệm

Cấu trúc bên trong của các quan hệ số lợng và các hình dạng khônggian thì rất phức tạp, không đồng nhất Ngay từ đầu không thể hiểu đợc nó

nh là sự thống nhất của cái đa tạp Con đờng duy nhất để thực hiện đợc điều

đó là đi ngợc từ cái trừu tợng, tức là từ tri thức không đầy đủ đến tri thức cụthể Việc xem xét đối tợng dới dạng thuần túy là giai đoạn cần thiết đi trớcviệc xem xét nó một cách cụ thể Chính vì vậy, việc xem xét cụ thể đó đ ợccoi nh một biện pháp quan trọng của t duy toán học, đi ngợc từ trừu tợng

đến cụ thể thông qua sự chỉ đạo của khái niệm

Sự vận động từ trừu tợng đến cụ thể nói lên sự nhận thức ngày càngsâu sắc các tính chất và quy luật của hiện thực khách quan, nhờ một loạtcác trừu tợng hóa toán học Nhận thức đó ngày càng trở nên đầy đủ và toàndiện hơn theo nhịp độ phát triển của toán học hiện đại trên cơ sở của thựctiễn Đến lợt mình, sự phát triển của tri thức toán học sẽ tăng cờng mối liên

hệ qua lại và sự thống nhất của khoa học hiện đại, làm phong phú và khơisâu các hình thức phản ánh hiện thực Các khái niệm và lý thuyết toán họccàng trở nên trừu tợng bao nhiêu thì khi xét một cách tổng thể, chúng lạicàng cụ thể, càng gần với hiện thực, càng phong phú về nội dung Cái trừutợng và cái cụ thể trong sự phát triển của tri thức toán học là thống nhất, cáitrừu tợng là sự thể hiện bên trong của một trong các mặt của cái cụ thể vàkhông có cái này thì nó hoàn toàn vô nghĩa Cái trừu tợng chỉ là một mức

độ, là một trong các yếu tố tiến đến nhận thức sâu hơn cái cụ thể tơng đốiphát triển hơn Chỉ có tổng số vô hạn của các trừu tợng hóa toán học tổngquát trong sự liên hệ của chúng mới cho ta cái cụ thể trong sự đầy đủ củanó

Khi nói về mối quan hệ của các đối tợng toán học với thế giới hiệnthực, chúng ta cần nhấn mạnh một quy luật quan trọng sau đây: Sự trừu t-ợng hóa toán học nảy sinh trên cơ sở thực nghiệm, trong sự phát triển tiếptheo, nó tự tách khỏi nó và tồn tại tự thân một cách tơng đối độc lập và đối

lỊp víi nê ị mĩt giai ®o¹n nhÍt ®Þnh hÖ thỉng c¸c trõu tîng hêa to¸n hôc

®i tríc yªu cÌu cña thùc tiÔn x· hĩi, cßn ị giai ®o¹n cao h¬n, hÖ thỉng nµyl¹i trïng víi thùc tiÔn, víi nhu cÌu cña c¸c khoa hôc l©n cỊn VÝ dô, logicto¸n ®îc ¸p dông thùc tiÔn khi chÕ t¹o c¸c m¸y tÝnh ®iÖn tö §ê chÝnh lµbiÖn chøng cña sù ®i tríc vµ sù hîp lý trong qu¸ tr×nh ph¸t triÓn cña nhỊnthøc to¸n hôc

Søc m¹nh vµ gi¸ trÞ cña lý thuyÕt to¸n hôc lµ ị c¸c øng dông cña nê.Nhµ to¸n hôc nưi tiÕng ngíi §øc lµ F.Klein ®· viÕt:

C¸c quan niÖm thuÌn tóy logic cÌn t¹o nªn, nh ngíi tanêi, c¸i bĩ x¬ng cøng r¾n cña c¬ thÓ to¸n hôc, truyÒn cho nê sùv÷ng ch¾c vµ sù ®¸ng tin Nhng b¶n th©n søc sỉng cña to¸n hôc,môc tiªu vµ søc m¹nh quan trông nhÍt cña nê l¹i liªn quan chñyÕu tíi c¸c øng dông cña nê, tøc lµ tíi quan hÖ qua l¹i gi÷a c¸c

®ỉi tîng trõu tîng cña nê víi tÍt c¶ c¸c lÜnh vùc kh¸c Lo¹i bẩng dông ra khâi to¸n hôc còng cê nghÜa lµ ®i t×m mĩt thùc thÓsỉng chØ cßn bĩ x¬ng, kh«ng cê tÝ thÞt, d©y thÌn kinh hoƯc m¹chm¸u nµo [56, tr 44]

Trªn thùc tÕ, mỉi liªn hÖ cña to¸n hôc vµ c¸c trõu tîng hêa to¸n hôcvíi thùc tiÔn mang nh÷ng nÐt ®Ưc thï Thùc tiÔn rÍt ®a d¹ng (nh quan s¸t,thùc nghiÖm, lao ®ĩng s¶n xuÍt, chøng minh to¸n hôc v.v ) V× vỊy, trongmĩt khoa hôc nhÍt ®Þnh chØ nưi lªn mĩt sỉ mƯt nµo ®ê cña nê TÝnh ®Ưc thïcña ho¹t ®ĩng thùc tiÔn trong to¸n hôc lµ sù ph¶n ¸nh tÝnh ®Ưc thï cña ho¹t

®ĩng ®Ó n¾m ®îc c¸c mƯt sỉ lîng cña thÕ giíi, v× vỊy trong to¸n hôc thùctiÔn ®îc thÓ hiÖn qua c¸c tiªu chuỈn cña tÝnh phi m©u thuĨn cña lý thuyÕt ị

®©y, cÌn ph¶i thÍy r»ng mỉi liªn hÖ gi÷a thùc tiÔn vµ sù trõu tîng hêa to¸nhôc nhiÒu bỊc ®· mang tÝnh chÍt gi¸n tiÕp Chóng liªn hÖ qua l¹i th«ng quaviÖc øng dông c¸c lý thuyÕt to¸n hôc vµo c¸c lÜnh vùc kh¸c nhau cña khoahôc vµ kü thuỊt, th«ng qua viÖc to¸n hôc hêa c¸c tri thøc khoa hôc

Hiện nay các lý thuyết toán học gắn liền với thực tiễn nhờ việc môhình hóa các đối tợng nghiên cứu của khoa học dựa vào các máy tính điện

tử, tức là bằng con đờng thực nghiệm bằng máy

Các trừu tợng hóa toán học có tính chất thứ bậc nhiều tầng, nhiềutrình độ, và vì vậy trong toán học khả năng nảy sinh chủ nghĩa duy tâmnhiều hơn là ở các khoa học khác Cùng với việc con ngời thâm nhập vàocác cấu trúc tinh vi nhất và các quy luật của vật chất đang vận động, vai tròcủa các trừu tợng hóa toán học ngày càng tăng Cùng với việc giảm kích th-

ớc của đối tợng đợc nghiên cứu (về vật thể, phân tử, nguyên tử, lớp vỏ điện

tử, hạt nhân, các hạt cơ bản v.v ), số lợng các thông tin tăng và từ đó nảysinh sự cần thiết về sự trừu tợng hóa toán học ở trình độ ngày càng cao hơnnữa Đó chính là quy luật khoa học phản ánh hiện thực theo quan điểm củachủ nghĩa duy vật biện chứng

1.2.4 Đặc trng của đối tợng toán học và những đặc điểm cơ bản của sự trừu tợng hóa toán học

1.2.4.1 Đặc trng cơ bản của đối tợng toán học

Xuất phát từ cơ sở nghiên cứu đối tợng trực tiếp của toán học vàviệc hình thành những khái niệm đầu tiên của toán học, chúng ta nhận thấyrằng quá trình trừu tợng hóa toán học về cơ bản không khác với quá trìnhtrừu tợng hóa trong các khoa học khác Sự giống nhau đó hoàn toàn khôngphải là ngẫu nhiên, bởi vì giữa toán học và các khoa học khác không có mộtranh giới dứt khoát nào cả Toán học cũng nh tất cả mọi khoa học suy chocùng đều nghiên cứu thế giới vật chất thực tại, chính vì thế trong các kháiniệm và các quy luật của toán học đã phản ánh tính quy luật của thế giới đó.Nhng trên thực tế, bản thân toán học có những nét đặc thù Điều đó đợc thểhiện ở chỗ, trong khi các khoa học khác nhau về tự nhiên nghiên cứu hoặc

là một dạng riêng biệt của vận động vật chất (nh cơ học) hoặc một loạt cácdạng liên hệ hai chiều (nh sinh hóa), toán học không nghiên cứu một dạng

đặc biệt nào của vận động vật chất Điều này đã đợc Ăngghen khẳng địnhtrong định nghĩa kinh điển: Đối tợng của toán học thuần túy là những hìnhkhông gian và những quan hệ số lợng của thế giới hiện thực Nh vậy, đặcthù của toán học với t cách là một khoa học riêng biệt là ở chỗ, toán họctách riêng một cách đặc biệt các quan hệ số lợng và các hình dạng khônggian vốn có trong tất cả các đối tợng và các hiện tợng, đồng thời biến chúngthành đối tợng nghiên cứu của mình Nh vậy, toán học có một bình diện ápdụng hết sức rộng rãi, chính điều này đã gắn liền với tính trừu tợng và phiếndiện của toán học.

Từ việc xem xét toán học nh là khoa học về các quan hệ số lợng vàcác hình dạng không gian của thế giới hiện thực đã cho chúng ta khả nănghiểu một cách đúng đắn nội dung khách quan của đối tợng toán học, cũng

nh khả năng nắm đợc xu hớng chung của sự phát triển toán học Để làmsáng tỏ thực chất của vấn đề, trớc hết chúng ta cần phải hiểu một cách khoahọc các quan hệ số lợng và số lợng nói chung Trớc đây, đã từng có mộtthời kỳ khá dài, có thể nói đến giữa thế kỷ XIX, ngời ta vẫn hiểu số lợng là

đại lợng Điều này có nguyên nhân của nó, bởi vì trên thực tế mỗi đại lợngthông qua đơn vị đo lờng đã chọn đều có thể biểu thị bởi một số, nên đã córất nhiều sự mô tả về đại lợng liên tởng với khái niệm số Từ cách nhìn đó,toán học đợc định nghĩa nh là một khoa học nghiên cứu những sự phụ thuộckhác nhau giữa các đại lợng hoặc giữa các số biểu thị chúng Nhng có mộtthực tế rất rõ ràng là: Cho dù các loại đại lợng khác nhau, và sự phụ thuộcgiữa chúng có quan trọng đến đâu đối với các ứng dụng hiện thực của toánhọc, thì chúng cũng không thể bao trùm toàn bộ sự đa dạng của các quan

hệ số lợng và hình dạng không gian khác nhau

Lịch sử toán học đã chứng tỏ rằng, phạm vi các quan hệ số lợng đợcnghiên cứu của toán học đã đợc mở rộng từng bớc, theo mức độ phát triểncủa khoa học và thực tiễn xã hội Để có đợc một quan niệm khoa học về đối

tợng của toán học ở các thời kỳ khác nhau về sự phát triển của nó, chúng tacần xem xét một cách cô đọng các nhân tố mới có tính nguyên tắc gắn liềnvới sự phát triển của đối tợng toán học.

ở thời kỳ đầu, còn gọi là giai đoạn toán học kinh nghiệm bắt đầu từthời cổ đại đến thế kỷ thứ VII - VI (Trớc công nguyên), các hiểu biết toánhọc gắn liền với các yêu cầu của cuộc sống kinh tế Có thể nói rằng, ở ngaythời kỳ đầu của sự phát triển xã hội, khi con ngời còn sống thành bầy đàn,nhờ vào hái lợm, săn bắn để sinh tồn, thì đời sống vật chất cũng đã đòi hỏinhững sự cân đối, đồng bộ trong việc phân công, sử dụng công cụ lao động

và phân chia sản phẩm Phép đếm đã nảy sinh từ nhu cầu cần thiết là xác

định số lợng động vật trong một bầy và số lợng sản phẩm thu hoạch mùamàng Khi con ngời đã biết sản xuất thì nhu cầu về sự cân đối, đồng bộngày càng tăng, chỉ có đếm cha đủ, cần phải cân, đong, đo đạc, so sánh vàsắp xếp thứ tự Lúc đầu, nhu cầu chính xác còn thấp, số lợng việc đong, đo,

ớc lợng cha nhiều, ngời ta có thể đong đo trực tiếp hoặc ớc lợng bằng kinhnghiệm chẳng hạn nh dùng nớc hay cát để đong mà so sánh các thể tích.Chính sự đo lờng các đại lợng là nguyên nhân xuất hiện các phân số Đồngthời các nhu cầu đơn giản nhất về đo diện tích các khu đất, đo thể tích cácvật thể khác nhau, đo các chi tiết kiến trúc, đã mang lại sự tích lũy tài liệuthực tế to lớn về hình học Có thể nói rằng, lợng tài liệu khổng lồ về hìnhhọc đã đợc tích lũy ở thời cổ đại Ai Cập Lịch sử còn ghi lại việc phải đo

đạc lại đất đai sau mỗi vụ lụt của sông Nin khiến cho lu vực sông Nin là cáinôi sinh ra môn hình học

Những tài liệu toán học ở Babylon cổ đại chủ yếu là chỉ ra các

ph-ơng pháp khác nhau để giải các bài toán số học, trong đó có cả các phph-ơngpháp không liên quan trực tiếp đến các nhu cầu kinh tế Do đó, chúng ta có

đầy đủ cơ sở để khẳng định rằng, một phần công việc hệ thống hóa và tinhchế lý thuyết các t liệu thực tế về số học và hình học đã bắt đầu đợc thực

hiện ngay trong toán học tiền Hy Lạp, đặc biệt là toán học Babylon và AiCập.

Tuy vậy, toán học tiền Hy Lạp cha trở thành một khoa học lý thuyếttrừu tợng, vì thế thời kỳ này đợc coi là thời kỳ phôi thai và ra đời của toánhọc, hay nói chính xác hơn, đây là thời kỳ hình thành toán học nh là mộtkhoa học

Thời kỳ thứ hai trong sự phát triển của toán học bắt đầu từ nhữngngời cổ Hy Lạp và kéo dài liên tục cho đến đầu thế kỷ XVII Thời kỳ này đ-

ợc gọi là thời kỳ phát triển toán học về các đại lợng không đổi Vào thời kỳnày sức sản xuất đã phát triển mạnh mẽ, sản phẩm d thừa tăng lên, vì vậynhu cầu về trao đổi, lu thông hàng hóa trở nên cấp thiết Đồng thời phơngpháp cân, đong, đo, đếm trực tiếp không còn thích hợp nữa Trớc thực trạng

đó, con ngời bắt đầu chú ý đến sự phụ thuộc lẫn nhau giữa các đại lợngtrong cùng một vấn đề và từ đó rút ra kết luận là trong việc cân, đong, đo,

đếm, ta chỉ cần thực hiện một số công đoạn nhất định rồi dùng lập luận màsuy ra các kết quả khác.Chẳng hạn, trong lĩnh vực hình học đã xuất hiện lýluận về so sánh các hình dựa trên sự so sánh một số đoạn thẳng hay gócnào đó (ví dụ nh trờng hợp bằng nhau hay đồng dạng của các tam giác).Trong đại số đã xuất hiện các công thức, các phơng trình để tìm các số chabiết theo các số đã biết Nhng chính những sự phát triển đó trong toán họclại là nguyên nhân xuất hiện những mâu thuẫn mới, chẳng hạn, nh sự bế tắctrong việc tính chính xác độ dài đờng chéo của hình vuông có cạnh là đơn

vị, sự bất lực trong việc tìm nghiệm của phơng trình x + 1 = 0 v.v

Mặt khác, kinh nghiệm của cuộc sống cũng cho thấy, có những đạilợng có thể tính theo hai chiều nh đờng đi thì có ngợc xuôi, chiều cao thì cótrên dới, tiền nong thì có lỗ lãi v.v

Những mâu thuẫn nói trên đòi hỏi phải bổ sung thêm vào các số tựnhiên và phân số những loại số mới nh: số âm, số vô tỷ Chính khái niệm số

thực cũng từ đó mà sinh ra Thực tế cuộc sống đã thúc đẩy việc nghiên cứucác số tự nhiên theo chiều sâu, đụng chạm đến các vấn đề nh số nguyên tố,

ớc số, bội số, các phơng trình với nghiệm số nguyên v.v Có thể nói rằng,

từ một loạt các phơng pháp khác nhau để giải các bài toán thực tế, các nhàtoán học thời kỳ đó đã xây dựng số học thành một khoa học về các số vàcác phép tính trên các số đó Hình học cũng đã đạt đợc trình độ cao của sựhoàn thiện về mặt logic Điều đó đợc thể hiện rõ nhất ở việc lần đầu tiên ng-

ời ta đã xây dựng nó bằng phơng pháp tiên đề Trong số các tác phẩm lýluận về toán học, tiêu biểu nhất là tác phẩm "cơ bản" của nhà toán học HyLạp cổ đại ơclít Tác phẩm này xuất hiện vào thế kỷ thứ ba trớc côngnguyên, những nguyên lý nổi tiếng trong đó đã là nguồn cung cấp tri thứctoán học cho các thế hệ sau đó trong suốt một thời gian dài Đồng thời, nócũng là một tác phẩm mẫu mực về cách lập luận toán học một cách sángsủa Tóm lại, ở giai đoạn này, toán học từ trình độ kinh nghiệm đã tiến lêntrình độ lý luận Tuy vậy, lý luận này mới chỉ dừng ở chỗ phát hiện ranhững mối liên hệ có tính quy luật đợc thể hiện trong các định lý, các côngthức, trong những sự vật và hiện tợng tĩnh tại, riêng lẻ Do sự kìm hãm củachế độ phong kiến, cơ học và vật lý cha phát triển đợc, vì thế vận động lúc

đó cha thể đi vào toán học đợc, chính vì thế mà từ tác phẩm "cơ bản" của

ơclít trở đi đến hết thế kỷ XVI, toán học không tiến xa hơn đợc bao nhiêu,chỉ đến thế kỷ XVII toán học mới bắt đầu vợt xa hơn thời kỳ cổ đại

Giai đoạn thứ ba trong sự phát triển của toán học đợc bắt đầu từ thế

kỷ thứ XVII Thời kỳ phục hng ở châu Âu đã giải phóng cho xã hội loài

ng-ời thoát khỏi những sự kìm hãm của chế độ phong kiến, mở đờng cho khoahọc và công nghệ phát triển Nhu cầu nghiên cứu các dạng vận động cơ học

và vật lý đã thúc đẩy toán học bớc sang một giai đoạn mới Những vấn đề

nh vận tốc, gia tốc tức thời, thêm vào đó là phơng pháp tọa độ của Đêcaxtơ

đã làm nảy sinh và phát triển mạnh mẽ các phép tính vi phân, tích phân Có

thể nói rằng, vào thời kỳ này sự vận động đã thực sự đi vào toán học Trọngtâm của toán học hớng vào việc nghiên cứu sự biến thiên của các hàm sốtheo các biến số, sự nghiên cứu đạo hàm rồi nguyên hàm và tích phân Ph-

ơng pháp tọa độ đã cho phép biểu diễn các hàm số bằng đồ thị, chính điều

đó đã làm nảy sinh ra hình học giải tích rồi hình học vi phân Những kháiniệm nh đạo hàm, tích phân đợc liên hệ chặt chẽ với các khái niệm tiếptuyến, độ cong, độ dài, diện tích, thể tích v.v Những bài toán cơ học, vật

lý làm nảy sinh vấn đề tìm các hàm số cha biết căn cứ vào các mối liên hệgiữa các hàm số đó và các đạo hàm của chúng do các định luật cơ học, vật

lý cung cấp Từ đó các phơng trình vi phân thờng và các phơng trình đạohàm riêng ra đời Ăngghen đã viết: "Đại lợng khả biến của Đêcaxtơ đã đánhdấu một bớc ngoặt trong toán học Với đại lợng đó, vận động và biện chứng

đã đi vào toán học và phép tính vi phân và tích phân đã lập tức trở thành cầnthiết" [26, tr 756]

Sự sáng lập các phép tính vi phân và tích phân gắn liền với tên tuổicủa các nhà bác học Niutơn và Lepnitxơ, chính là bớc quyết định trong sựphát triển của toán học về các đại lợng biến thiên Nhờ đó, khoa học đãnhận đợc một công cụ rất mạnh do việc nghiên cứu định lợng các quá trình.Trong mối liên hệ đó, vào thời kỳ cận đại, việc áp dụng toán học vào tựnhiên học chính xác tăng lên rất nhiều Giải tích toán học từ đó đã trở thànhcái kênh chính, qua đó toán học ảnh hởng đến khoa học tự nhiên

T tởng biến thiên còn ảnh hởng đến hình học về phơng diện xem xétcác phép biến hình; điểm mấu chốt là ở đây đã lợi dụng các bất biến trongcác phép biến hình để biến một bài toán khó thành một bài toán dễ hơnbằng cách thay hình đã cho bằng ảnh của nó qua một phép biến hình hợp lý

để giữ nguyên các quan hệ đang xem xét nhng đem lại nhiều thuận lợi nhấtcho việc giải bài toán thông qua ảnh đó Mở đầu là việc xem xét những bấtbiến qua các loại phép chiếu trong hội họa và kiến trúc trong việc vẽ bản đồ

v.v rồi từ những bất biến đó mà phân loại các khái niệm, các tính chất rathành những khái niệm, tính chất kèm theo các tính từ nh Mêtric, afin, xạ

ảnh, bảo giác v.v Sự phân loại này tạo ra nhiều thuận lợi cả trong nhữngbài toán lý thuyết, những bài toán quỹ tích và dựng hình

Một điểm đáng lu ý trong thời kỳ này là việc nghiên cứu sự phụthuộc số lợng giữa các đại lợng khác nhau vẫn chiếm vị trí hàng đầu Chínhvì thế, nhiều nhà bác học lúc đó đã xem toán học nh là khoa học về các đạilợng Chẳng hạn, nhà toán học Alembecxơ đã nhận xét rằng, toán học nh làmột khoa học nghiên cứu các tính chất của các đại lợng, bởi vì chúng đếm

đợc và đo đợc Nhng đồng thời trong thời gian đó, những nhà bác học cótầm nhìn xa hơn đã cho rằng, đối tợng của toán học không thể hạn chếtrong việc nghiên cứu các đại lợng Chẳng hạn nh Đêcaxtơ, mặc dù ông

đã thừa nhận toán học là khoa học về đại lợng và đo lờng, nhng đồng thời

ông cũng nhấn mạnh giá trị to lớn của quan hệ thứ tự đối với nó Nhìnchung, Đêcaxtơ, Lepnitxơ và một số các nhà toán học khác đã nhìn thấybản chất của toán học trong phơng pháp suy diễn của nó nhiều hơn là trongnội dung của nó Chính vì vậy, các ông đã đều cho rằng, toán học có thể đ -

ợc áp dụng không chỉ đối với các đại lợng, mà còn đối với các đối tợngmuôn hình muốn vẻ khác, trong đó bao gồm cả các suy luận, song những ýtởng đó đã vợt xa thời đại của mình, nên chúng đã không đợc thừa nhận vàphổ biến

Tóm lại, với sự phát triển của cơ học, thiên văn, vật lý, vận động đã

đi vào trong toán học làm nảy sinh ra các phép tính vi phân, tích phân làmnền tảng cho lý thuyết các hàm số thực và số phức, lý thuyết các phơngtrình vi phân thờng và các phơng trình đạo hàm riêng, lý thuyết các chuỗi,hình học giải tích và hình học vi phân cùng với các phép biến đổi hình học.Toán học đã phát triển rực rỡ trong các thế kỷ XVII và XVIII, nhng đối t-ợng của nó vẫn là các số và các hình theo nhận thức thông thờng Toán học

đó mới chỉ phục vụ chủ yếu cho cơ học, thiên văn học, vật lý và cho cáclĩnh vực kỹ thuật vận dụng ba lĩnh vực khoa học này Ph.Ăngghen đã viết:

Trớc hết là thiên văn học, một ngành đã vì thời tiết màtuyệt đối cần thiết cho những dân tộc chăn nuôi và làm ruộng.Thiên văn học chỉ có dựa vào toán học mới phát triển đợc Do đó

mà ngời ta phải nghiên cứu cả toán học - Sau đó, đến một giai

đoạn phát triển nhất định của nông nghiệp và trong những khuvực nhất định (đa nớc lên để tới ruộng ở Ai Cập), và nhất là cùngvới sự xuất hiện những thành phố, những công trình xây dựnglớn, và cùng với sự phát triển của thủ công nghiệp thì cơ học cũngphát triển theo Chẳng bao lâu, cơ học lại trở nên cần thiết cho cảhàng hải và chiến tranh Cơ học cũng cần sự giúp đỡ của toán học

và do đó thúc đẩy toán học phát triển [26, tr 659]

Thời kỳ thứ t của sự phát triển toán học, còn gọi là giai đoạn toánhọc hiện đại, bắt đầu từ thế kỷ XIX và tiếp tục cho đến ngày nay Đây chính

là giai đoạn mà toán học đợc coi là khoa học nghiên cứu về các cấu trúctoán học trừu tợng Giai đoạn đầu của thời kỳ này gắn liền với các phátminh của nhà toán học ngời Nga vĩ đại là Lôbasepxki và nhà toán học ngờiHung là Bôliai về hình học phi ơclít Những phát minh này có thể đợc xem

nh là bớc ngoặt quyết định của toàn bộ kiểu cách t duy toán học của thế kỷXIX ý nghĩa có tính nguyên tắc của các phát minh này là ở chỗ chúngmang lại khả năng mở rộng và tổng quát hóa một cách cơ bản đối tợng củacác nghiên cứu hình học Điều đó đã đợc thể hiện ở mấy điểm sau đây:

Thứ nhất, khi ta thay một số tiên đề của ơclít bằng các tiên đề khác,

ta có thể nhận đợc các hệ thống hình học phi ơclít khác nhau Chẳng hạn,Lôbasepxki và Bôliai khi thay tiên đề về đờng thẳng song song của ơclítbằng một tiên đề đối lập lại (qua một điểm cho trớc ta có thể kẻ đợc ít nhấthai đờng thẳng song song với một đờng thẳng cho trớc trên một mặt phẳng)