Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác cánh diều

DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC · Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc · Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt · Sử dụng các hệ thức lượng giác

Trang 1

BÀI 1 GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC TỪ  0

Các số sin ,cos ,tan ,cotα α α β được gọi là giá trị lượng giác của góc α

Chú ý:  Với 0o ≤ ≤α 180o ta có 0 sin≤ α ≤ − ≤1; 1 cosα ≤1

2 Dấu của giá trị lượng giác

M ( x;y ) Q

Hình 2.1

Trang 2

3 Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

sintan cot 1 ( 0 ; 90 ; 180 )

1

cos1

Trang 3

Câu 1 Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) (2sin 30 cos135 3tan150 cos180 cot 60° + ° − °)( ° − °);

b) sin 90 cos 120 cos 0 tan 60 cot 1352 ° + 2 ° + 2 ° − 2 ° + 2 °;

c) cos60 sin 30 cos 30° ° + 2 °

Câu 2 Đơn giản biểu thức sau:

a) sin100 sin80 cos16 cos164° + ° + ° + °

b) 2sin 180( ° −α).cotα+cos 180( ° −α).tan cot 180α ( ° −α) với 0° < < °α 90

Câu 3 Chứng minh các hệ thức sau:

Câu 4 Cho góc α 0( ° < <α 180°) thỏa mãn tanα =3

Tính giá trị của biểu thức 2sin 3cos

Trang 4

DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

· Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

· Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

· Sử dụng các hệ thức lượng giác cơ bản

Câu 1 Tính giá trị các biểu thức sau:

a) A a= 2sin 90o+b2cos90o+c2cos180o

b) B = −3 sin 90 2cos 60 3tan 452 o+ 2 o− 2 o

c) C =sin 45 2sin 50 3cos 45 2sin 40 4 tan 55 tan 352 0− 2 o+ 2 o − 2 o + o o

a) A =sin 3 sin 15 sin 75 sin 872 o+ 2 o+ 2 o + 2 o

b) B =cos0 cos 20 cos 40 cos160 cos180o+ o+ o+ + o + o

c) C =tan 5 tan10 tan15 tan80 tan85o o o o o

Câu 1: Giá trị của cos60 sin 30o+ o bằng bao nhiêu?

Câu 3: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

C sin180 cos180o+ o = −1 D sin 60 cos60 1o + o =

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A cos60o =sin 30o B cos60o =sin120o C cos30o =sin120o D sin 60o = −cos120o

Câu 5: Đẳng thức nào sau đây sai?

A sin 45 sin 45o+ o = 2 B sin 30 cos60 1o+ o =

C sin 60 cos150o + o =0 D sin120 cos30o+ o =0

Câu 6: Giá trị cos 45 sin 45o + o bằng bao nhiêu?

Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Trang 5

A sin 0 cos0o+ o =0 B sin 90 cos90 1o+ o =

2

+

Câu 9: Cho α là góc tù Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A sinα <0 B cosα >0 C tanα <0 D cotα >0

Câu 10: Giá trị của E =sin 36 cos6 sin126 cos84o o o o là

· Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản

· Dựa vào dấu của giá trị lượng giác

· Sử dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ

Câu 1 Chosin 1

3

α = với 900 < <α 1800 Tính cosα và tanα

Câu 2 Cho cos 2

3

α = − và sinα >0 Tính sinα và cotα

Câu 3 Cho tanγ = −2 2 tính giá trị lượng giác còn lại

Câu 5 Cho tanα = 2 Tính 3 sin 3cos

Trang 6

Câu 1: Cho cos 1

Câu 6: Cho biết sinα +cosα =a Giá trị của sin cosα α bằng bao nhiêu?

Trang 7

DẠNG 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

· Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác

Câu 1 Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) sin4 x+cos4x= −1 2sin cos2 x 2 x

Câu 3 Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) A=sin(90o − +x) cos(180o− +x) sin (1 tan ) tan2x + 2x − 2 x

Trang 8

A sin2α +cosα2 =1 B sin2 cos2 1

2

α

Câu 2: Trong các hệ thức sau hệ thức nào đúng?

2

α

α + = C sinα2 +cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

A sin 2α +cos 2α =1 B sinα2 +cosα2 =1 C sin2α +cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

Câu 4: Rút gọn biểu thức sau ( ) (2 )2

cosx+sinx + cosx−sinx = ∀2, x B tan2 x−sin2 x=tan sin ,2x 2 x x∀ ≠90°

C sin4 x+cos4 x= −1 2sin cos ,2 x 2 x x∀ D sin6 x−cos6 x= −1 3sin cos ,2 x 2 x x∀

Câu 9: Đẳng thức nào sau đây là sai?

sin α +cos α D cot tan2a 2a +2

Câu 12: Đơn giản biểu thức cot sin

Trang 9

Câu 13: Rút gọn biểu thức sau cot2 2cos2 sin cos

cotcot

A

x x

Trang 10

Các số sin ,cos ,tan ,cotα α α β được gọi là giá trị lượng giác của góc α

Chú ý:  Với 0o ≤ ≤α 180o ta có 0 sin≤ α ≤ − ≤1; 1 cosα ≤1

2 Dấu của giá trị lượng giác

M ( x;y ) Q

Hình 2.1

Trang 11

3 Mối quan hệ giữa các giá trị lượng giác của hai góc bù nhau

sintan cot 1 ( 0 ; 90 ; 180 )

1

cos1

Trang 12

Câu 1 Không dùng bảng số hay máy tính cầm tay, tính giá trị của các biểu thức sau:

a) (2sin 30 cos135 3tan150 cos180 cot 60° + ° − °)( ° − °);

b) sin 90 cos 120 cos 0 tan 60 cot 1352 ° + 2 ° + 2 ° − 2 ° + 2 °;

c) cos60 sin 30 cos 30° ° + 2 °

Chú ý: sin2α =(sinα)2; cos2α =(cosxα)2; tan2α =(tanα)2; cot2α =(cotα)2

Lời giải a) (2sin 30 cos135 3tan150 cos180 cot 60° + ° − °)( ° − °)

Câu 2 Đơn giản biểu thức sau:

a) sin100 sin80 cos16 cos164° + ° + ° + °

b) 2sin 180( ° −α).cotα+cos 180( ° −α).tan cot 180α ( ° −α) với 0° < < ° α 90

Lời giải a) sin100 sin80 cos16 cos164° + ° + ° + °

sin 180 80 sin80 cos16 cos 180 16

sin80 sin80 cos16 cos16 2sin80

BÀI TẬP

Trang 13

cos2sin cot cos tan cot 2sin cos 3cos

OBC ta có OD OC2+ 2 = ⇔1 sin2α +cos2α =1

Câu 4 Cho góc α 0( ° < <α 180°) thỏa mãn tanα =3

Tính giá trị của biểu thức 2sin 3cos

Ta có tanα = ⇒3 cosα ≠0 nên chia cả tử và mẫu của biểu thức P cho cosα ta được

2sin 3cos 2 tan 3 3

Trang 14

DẠNG 1: TÍNH CÁC GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

· Sử dụng định nghĩa giá trị lượng giác của một góc

· Sử dụng tính chất và bảng giá trị lượng giác đặc biệt

a) A a= 2sin 90o+b2cos90o+c2cos180o

b) B = −3 sin 90 2cos 60 3tan 452 o+ 2 o− 2 o

c) C =sin 45 2sin 50 3cos 45 2sin 40 4 tan 55 tan 352 0− 2 o+ 2 o − 2 o + o o

Lời giải a) A a= 2sin 90o+b2cos90o+c2cos180o =a2.1+b2.0+c2 1( )− =a c2− 2

b) B = −3 sin 90 2cos 60 3tan 452 o+ 2 o− 2 o 3 1( )2 2 1 2 3 2 2 1

a) A =sin 3 sin 15 sin 75 sin 872 o+ 2 o+ 2 o + 2 o

b) B =cos0 cos 20 cos 40 cos160 cos180o+ o+ o+ + o + o

c) C =tan 5 tan10 tan15 tan80 tan85o o o o o

Lời giải:

a) A =(sin 3 sin 872 o+ 2 o) (+ sin 15 sin 752 o+ 2 o)

(sin 3 cos 32 o 2 o) (sin 15 cos 152 o 2 o) 1 1 2

b) B =(cos0 cos180o+ o) (+ cos 20 cos160o+ o)+ + cos80 cos100( o + o)

(cos0 cos0o o) (cos 20 cos 20o o) cos80 cos80( o o) 0

Trang 15

Câu 1: Giá trị của cos60 sin 30o+ o bằng bao nhiêu?

Câu 3: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào sai?

A sin 0 cos0 1o+ o = B sin 90 cos90 1o+ o =

C sin180 cos180o+ o = −1 D sin 60 cos60 1o+ o =

Lời giải Chọn D

Giá trị lượng giác của góc đặc biệt

Câu 4: Trong các khẳng định sau, khẳng định nào sai?

A cos60o =sin 30o B cos60o =sin120o C cos30o =sin120o D sin 60o = −cos120o

Lời giải Chọn B

Câu 5: Đẳng thức nào sau đây sai?

A sin 45 sin 45o+ o = 2 B sin 30 cos60 1o+ o =

C sin 60 cos150o + o =0 D sin120 cos30o + o =0

Câu 6: Giá trị cos 45 sin 45o+ o bằng bao nhiêu?

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM

3

Trang 16

Ta có cos 45 sin 45o+ o = 2

Câu 7: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng?

Lời giải Chọn C

Câu 8: Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai?

A sin 0 cos0o+ o =0 B sin 90 cos90 1o+ o =

2

+

Lời giải Chọn A

Ta có sin 0 cos0o+ o =1

Câu 9: Cho α là góc tù Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A sinα <0 B cosα >0 C tanα <0 D cotα >0

Góc tù có điểm biểu diễn thuộc góc phần tư thứ II, có giá trị sinα >0, còn cosα, tanα

và cotα đều nhỏ hơn 0

Câu 10: Giá trị của E =sin 36 cos6 sin126 cos84o o o o là

Trang 17

Câu 12: Giá trị của biểu thức A =tan1 tan 2 tan 3 tan88 tan89o o o o o là

(tan1 tan89 tan 2 tan88 tan 44 tan 46 tan 45 1o o) ( o o) ( o o) o

Câu 13: Tổng sin 2 sin 4 sin 6 sin 84 sin 86 sin 882 o + 2 o+ 2 o+ + 2 o+ 2 o+ 2 o bằng

A 21 B 23 C 22 D 24

S sin 2 sin 4 sin 6 sin 84 sin 86 sin 88= + + + + + +

(sin 2 sin 882 o 2 o) (sin 4 sin 862 o 2 o) sin 44 sin 46( 2 o 2 o)

(tan 5 tan85 tan10 tan80 tan 40 tan 50 tan 45 1) ( ) ( )

Câu 15: Giá trị của B=cos 73 cos 872 ° + 2 ° +cos 3 cos 172 ° + 2 ° là

(cos 73 cos 172 o 2 o) (cos 87 cos 32 o 2 o) (cos 73 sin 732 o 2 o) (cos 87 sin 872 o 2 o) 2

DẠNG 2: TÍNH GIÁ TRỊ CỦA MỘT BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC , KHI BIẾT TRƯỚC MỘT GIÁ

TRỊ LƯỢNG GIÁC

· Dựa vào các hệ thức lượng giác cơ bản

· Dựa vào dấu của giá trị lượng giác

Trang 18

3

α = − và sinα >0 Tính sinα và cotα

Câu 3 Cho tanγ = −2 2 tính giá trị lượng giác còn lại

Câu 5 Cho tanα = 2 Tính 3 sin 3cos

++

9 17

Trang 19

Kết hợp với (*) suy ra ( )2

Câu 1: Cho cos 1

Ta có 3sin2 4cos2 3 sin( 2 cos2 ) cos2 3 1 2 13

3

Trang 20

Ta có cos2 1 sin2 144 cos 12

Câu 6: Cho biết sinα +cosα =a Giá trị của sin cosα α bằng bao nhiêu?

A sin cosα α =a2 B sin cosα α =2a

Trang 21

3sin 4sin cot 3 4cot 132sin 5sin cot 2 5cot

( )2

Trang 22

Câu 13: Cho biết 3cosα−sinα = , 1 0 < <α 90 Giá trị của tanα bằng

• sinα = −1: không thỏa mãn vì 0o < <α 90o

• cosα =1: không thỏa mãn vì 0o < <α 90o

Ta có cos sin 1 (cos sin )2 1

Trang 23

Ta có sin cos 1 (sin cos )2 1

55

Trang 24

DẠNG 3: CHỨNG MINH CÁC ĐẲNG THỨC, RÚT GỌN CÁC BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

· Sử dụng tính chất của giá trị lượng giác

Câu 1 Chứng minh các đẳng thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) sin4 x+cos4x= −1 2sin cos2 x 2 x

−

c) cos 3sin 12 sin3

Trang 25

3 3

Suy ra điều phải chứng minh

Câu 3 Đơn giản các biểu thức sau(giả sử các biểu thức sau đều có nghĩa)

a) A=sin(90o − +x) cos(180o− +x) sin (1 tan ) tan2x + 2x − 2 x

Vậy P không phụ thuộc vào x

Công thức lượng giác cơ bản

3

Trang 26

2

α

α + = C sinα2 +cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

A sin 2α +cos 2α =1 B sinα2 +cosα2 =1 C sin2α +cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

A A =4 B A =1 C A =2 D A = 3

(1 sin2 ) 1 cot2 1 sin cot2 2 1 1 cos2 sin2

2sin cos 2sin cos 2sin 2

Trang 27

sin α +cos α D cot tan2a 2a +2

( ) ( )

A

x x

−

A A =1 B A =2 C A = 3 D A =4

Lời giải

Trang 28

Chọn A

 sin4 x+cos4 x= −1 2sin cos2 x 2 x

 sin6 x+cos6 x= −1 3sin cos2 x 2 x

Câu 15: Biểu thức: f x( )=cos4x+cos sin2x 2x+sin2 x có giá trị bằng

A 1 B 2 C −2 D −1

( ) cos2 (cos2 sin2 ) sin2 cos2 sin2 1

Trang 29

ĐẾN 180 

DẠNG 1 DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Cho góc α∈(90 ;180 ° °) Khẳng định nào sau đây đúng?

A sinα và cotα cùng dấu B Tích sin cotα α mang dấu âm

C Tích sin cosα α mang dấu dương D sinα và tanα cùng dấu

Câu 2: Cho α là góc tù Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A tanα <0 B cotα >0 C sinα <0 D cosα >0

Câu 3: Cho 0º< <α 90º Khẳng định nào sau đây đúng?

C sin 90º( − = −α) cosα D tan 90º( −α)= −cotα

Câu 4: Đẳng thức nào sau đây đúng?

Câu 5: Trong các đẳng thức sau đây, đẳng thức nào đúng?

Câu 6: Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A sinα =sinβ B cosα = −cosβ C tanα = −tanβ D cotα =cotβ

Câu 7: Cho góc α tù Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A sinα <0 B cosα >0 C tanα >0 D cotα <0

Câu 8: Hai góc nhọn α và β phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?

A sinα =cosβ B tanα =cotβ C cot 1

Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A sin 90 sin100° < ° B cos95 cos100° > ° C tan85 tan125°< ° D cos145 cos125° > °

Trang 30

Câu 11: Giá trị của tan 45 cot135+ bằng bao nhiêu?

A sin 0 cos0 1°+ ° = B sin 90 cos90 1°+ ° =

C sin180 cos180°+ ° = −1 D sin 60 cos60 1°+ ° =

Câu 16: Tính giá trị của biểu thức P =sin 30 cos60 sin 60 cos30° ° + ° °

A P =1 B P = 0 C P = 3 D P = − 3

A cos60 sin 30° = ° B cos60 sin120° = ° C cos30 sin120° = ° D sin 60° = −cos120°

C sin 60 cos150 0°+ ° = D sin120 cos30 0°+ ° =

Câu 19: Cho hai góc nhọn α và β (α β< ) Khẳng định nào sau đây là sai?

A cosα <cosβ B sinα <sinβ C tanα+tanβ >0 D cotα >cotβ

Câu 20: Cho ∆ABCvuông tại A , góc B bằng 30° Khẳng định nào sau đây là sai?

Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A cos75 cos50° > ° B sin80 sin 50° > ° C tan 45 tan 60° < ° D cos30 sin 60° = °

DẠNG 2 CHO BIẾT MỘT GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC, TÍNH CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CÒN

Câu 24: Cho biết tan 1

2

α = Tính cotα

Trang 31

A cotα =2 B cotα = 2 C cot 1

Trang 32

Câu 36: Biết cos 1

DẠNG 3 CHỨNG MINH, RÚT GỌN BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

cosx+sinx + cosx−sinx = ∀2, x B tan2x−sin2 x=tan sin ,2x 2x x∀ ≠90°

C sin4x+cos4x= −1 2sin cos ,2 x 2x x∀ D sin6x−cos6 x= −1 3sin cos ,2x 2 x x∀

2

α

C sinα2 +cosα2 =1 D sin 22 α+cos 22 α = 1

2

α

α+ = C sinα2+cosα2 =1 D sin2α +cos2α =1

Câu 41: Rút gọn biểu thức sau cot2 2cos2 sin cos

sin α −cos α B cot2a+tan 22a C 12 12

sin α +cos α D cot tan2a 2a + 2

Trang 33

C tan cotα α = −1 sin cos( α α ≠0) D 2 ( )

DẠNG 4 TÍNH GIÁ TRỊ BIỂU THỨC LƯỢNG GIÁC

Câu 48: Biểu thức A =cos 20 cos 40 cos60 cos160 cos180° + ° + ° + + ° + ° có giá trị bằng

Trang 35

ĐẾN 180 

DẠNG 1 DẤU CỦA CÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC

Câu 1: Cho góc α∈(90 ;180 ° °) Khẳng định nào sau đây đúng?

A sinα và cotα cùng dấu B Tích sin cotα α mang dấu âm

C Tích sin cosα α mang dấu dương D sinα và tanα cùng dấu

Với α∈(90 ;180° °), ta có sinα >0,cosα <0 suy ra: tanα <0,cotα <0

Vậy sin cotα α <0

Câu 2: Cho α là góc tù Mệnh đề nào đúng trong các mệnh đề sau?

A tanα <0 B cotα >0 C sinα <0 D cosα >0

tanα <0

Câu 3: Cho 0º< <α 90º Khẳng định nào sau đây đúng?

C sin 90º( − = −α) cosα D tan 90º( −α)= −cotα

Vì α và (90º−α) là hai cung phụ nhau nên theo tính chất giá trị lượng giác của hai cung phụ nhau ta có đáp án B đúng

Câu 4: Đẳng thức nào sau đây đúng?

Trang 36

Lời giải

Chọn B

Lý thuyết “cung hơn kém 180°”

Lời giải

Chọn D

Mối liên hệ hai cung bù nhau

Câu 6: Cho α và β là hai góc khác nhau và bù nhau, trong các đẳng thức sau đây đẳng thức nào sai?

A sinα =sinβ B cosα = −cosβ C tanα = −tanβ D cotα =cotβ

Lời giải

Chọn D

Mối liên hệ hai cung bù nhau

Câu 7: Cho góc α tù Điều khẳng định nào sau đây là đúng?

A sinα <0 B cosα >0 C tanα >0 D cotα <0

Lời giải

Chọn D

Câu 8: Hai góc nhọn α và β phụ nhau, hệ thức nào sau đây là sai?

A sinα =cosβ B tanα =cotβ C cot 1

cosα =cos 90°−β =sinβ

Câu 10: Bất đẳng thức nào dưới đây là đúng?

A sin 90 sin100° < ° B cos95 cos100° > ° C tan85 tan125°< ° D cos145 cos125° > °

Trang 37

A sin 0 cos0 1°+ ° = B sin 90 cos90 1°+ ° =

C sin180 cos180°+ ° = −1 D sin 60 cos60 1°+ ° =

Lời giải

Chọn D

Câu 16: Tính giá trị của biểu thức P =sin 30 cos60 sin 60 cos30° ° + ° °

A P =1 B P = 0 C P = 3 D P = − 3

Ta có: sin 30 cos60 sin 60 cos30 1 1 3 3 1

A cos60 sin 30° = ° B cos60 sin120° = ° C cos30 sin120° = ° D sin 60° = −cos120°

Lời giải

Chọn B

C sin 60 cos150 0°+ ° = D sin120 cos30 0°+ ° =

Lời giải

Chọn D

Câu 19: Cho hai góc nhọn α và β (α β< ) Khẳng định nào sau đây là sai?

A cosα <cosβ B sinα <sinβ C tanα+tanβ >0 D cotα >cotβ

Lời giải

Trang 38

Chọn B

Biểu diễn lên đường tròn

Câu 20: Cho ∆ABCvuông tại A , góc B bằng 30° Khẳng định nào sau đây là sai?

2

B= ° =

Câu 21: Tìm khẳng định sai trong các khẳng định sau:

A cos75 cos50° > ° B sin80 sin 50° > ° C tan 45 tan 60° < ° D cos30 sin 60° = °

52

2α

Trang 39

α = −

Trang 40

Do cotα = −a, a > nên 0 90 0 < <α 180 0 suy ra cosα <0

2

cos

1

a a

Ta có: sin 4 cos2 1 sin2 1 4 2 9

Tiêu đề	Chuyên đề hệ thức lượng trong tam giác cánh diều
Trường học	Trường Đại học Sư phạm Hà Nội
Chuyên ngành	Toán học
Thể loại	Bài giảng
Năm xuất bản	2023
Thành phố	Hà Nội

Định dạng
Số trang	366
Dung lượng	6,41 MB