Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh trung học cơ sở thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng

Nghiên cứu lý luận: cơ sở lý luận về Tâm lí học,Giáo dục học, lý luận dạy học môn toán để phân tích cácnguyên nhân và xây dựng các biện pháp dạy học nhằm hạn chế,sửa chữa các sai lầm của

Bé GI¸O DôC Vµ §µO T¹O

TR¦êNG §¹I HäC S¦ PH¹M Hµ NéI

-*** -V¦¥NG THÞ THU THñY

RÌN LUYÖN N¡NG LùC GI¶I TO¸N

CHO HäC SINH TRUNG HäC C¥ Së

TH¤NG QUA C¸C BµI TO¸N CùC TRÞ TRONG H×NH HäC PH¼NG

Chuyªn ngµnh: Lý luËn vµ ph¬ng ph¸p d¹y häc m«n To¸n

1 Lí do chọn đề tài

Hiến pháp nớc Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Namnăm 1992 đã ghi ở điều 35: "Giáo dục và đào tạo là quốc sáchhàng đầu" Báo cáo chính trị cua Ban chấp hành Trung ơngkhoá VII tại Đại hội Đại biểu Toàn quốc lần thứ VIII của Đảnglại khẳng định "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầunhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dỡng nhân tài"

"Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một

vị trí nổi bật Đây là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng tanhiều trong việc rèn luyện phơng pháp suy nghĩ, phơng phápsuy luận, phơng pháp học tập, phơng pháp giải quyết các vấn

đề; giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo

Toán học còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quýbáu khác nh cần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vợt khó,yêu thích chính xác, ham chuộng chân lý Dù các bạn phục vụngành nào, trong công tác nào thì các kiến thức và phơng pháptoán học cũng rất cần cho các bạn" [11, tr1]

Các thầy giáo, cô giáo dạy toán chính là những huấnluyện viên trong môn thể thao trí tuệ này Công việc dạy toáncủa giáo viên nhằm rèn luyện cho học sinh t duy toán học cùngnhững phẩm chất của con ngời lao động mới để các em vữngvàng trở thành những chủ nhân tơng lai của đất nớc

ở trờng phổ thông, dạy học Toán là dạy hoạt động toánhọc

Các bài toán ở trờng phổ thông là một phơng tiện rất cóhiệu quả và không thể thay thế đợc trong việc giúp học sinhnắm vững tri thức, phát triển t duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảoứng dụng toán học vào cuộc sống Dạy học giải toán mangtrong mình các chức năng: giáo dỡng, giáo dục, phát triển và

kiểm tra Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiệntốt các mục đích dạy học toán Do đó, tổ chức có hiệu quả việcdạy học giải toán có vai trò quan trọng đối với chất lợng dạyhọc toán

Trong chơng trình toán phổ thông, hình học là một mảngkiến thức lớn và quan trọng Ngay từ tiểu học, học sinh đã làmquen với hình học dới hình thức đơn giản Các khái niệm về

điểm, đờng thẳng, mặt phẳng đã đợc định nghĩa tờng minhtrong chơng trình Toán ở THCS

Các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhấttrong hình học phẳng, còn gọi là toán cực trị hình học thờngkhông gặp trong các sách giáo khoa môn Toán bởi chúng thờng

là những bài toán khó Bài toán dạng này thờng không cho sẵn

điều phải chứng minh, đòi hỏi học sinh phải tự mình tìm lấy kếtquả của bài toán Những bài toán này dẫn dắt học sinh có thóiquen đi tìm một giải pháp tối u cho một công việc cụ thể trongcuộc sống thực tế Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loạitoán rất gần gũi với thực tế và có nhiều ứng dụng trong thực tế

hàng ngày Đối với bài toán cực trị, thờng có nhiều con đờng để

đi đến đích, trong đó có những cách giải ngắn gọn hợp lý, đôikhi có những phơng án độc đáo, sáng tạo Do vậy nó giúp họcsinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm nhữngcông việc đạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất Vì vậy, nó góp phầnkhông nhỏ vào việc phát triển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê họctoán cho học sinh, đặc biệt là các em học sinh khá giỏi

Bài toán cực trị hình học thờng xuất hiện trong các đề thivào trờng chuyên, lớp chuyên, thi học sinh giỏi nhng đa số họcsinh cha nắm chắc đợc đặc trng và phơng pháp giải, do đó họcsinh gặp phải rất nhiều khó khăn và hay mắc phải sai lầm

Để góp phần giải quyết vấn đề này, tôi chọn đề tài:

"Rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh Trung học Cơ sở thông qua các bài toán cực trị trong hình học phẳng"

2 Mục đích nghiên cứu

Giúp học sinh THCS nắm vững tri thức toán học, có kĩnăng thực hành toán học và nâng cao năng lực trí tuệ; vận dụngvào các bài toán trong thực tế với lý thuyết và ví dụ mẫu làmcho học sinh quen và có ý thức sử dụng phơng pháp giải toáncực trị trong từng dạng bài cụ thể

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu nội dung rèn luyện năng lực giải toánphổ thông

3.2 Nghiên cứu các dạng bài toán cực trị trong hình họcphẳng và cách giải cụ thể của từng dạng bài

4 Phơng pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận: cơ sở lý luận về Tâm lí học,Giáo dục học, lý luận dạy học môn toán để phân tích cácnguyên nhân và xây dựng các biện pháp dạy học nhằm hạn chế,sửa chữa các sai lầm của học sinh trong khi giải toán, góp phầnrèn luyện năng lực giải toán cho học sinh

4.2 Điều tra, quan sát

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luậnvăn gồm 3 chơng

Ch¬ng I: C¬ së lý luËn vµ thùc tiÔn

Ch¬ng II: Mét sè biÖn ph¸p rÌn luyÖn n¨ng lùc gi¶i to¸ncho häc sinh THCS

Ch¬ng III: Thö nghiÖm s ph¹m

Chơng I Cơ sở lý luận và thực tiễn

I Vai trò, vị trí và ý nghĩa của môn Toán

I.1 Vai trò, vị trí của môn Toán

Trong nhà trờng phổ thông, môn Toán có một vai trò, vịtrí và ý nghĩa hết sức quan trọng

Thứ nhất, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực

hiện mục tiêu chung của giáo dục phổ thông Môn Toán góp

phần phát triển nhân cách Cùng với việc tạo điều kiện cho họcsinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện kĩ năng Toán học cầnthiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triển năng lực trítuệ chung nh phân tích, tổng hợp, trừu tợng hoá, khai thác hoárèn luyện những đức tính, phẩm chất của ngời lao động mới nhtính cẩn thận, chính xác, tính lỷ luật, tính phê phán, tính sángtạo, bồi dỡng óc thẩm mĩ

Thứ hai, môn Toán cung cấp vốn văn hoá Toán học phổ

thông và tơng đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng,

ph-ơng pháp t duy

Thứ ba, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và

học các môn học khác Do tính trừu tợng cao độ, Toán học có

tính thực tiễn phổ thông Những tri thức và kĩ năng toán học trởthành công cụ để học tập những môn học khác trong nhà trờng,

là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ đểhoạt động trong đời sống thực tế và vì vậy là một thành phầnkhông thể thiếu của trình độ văn hoá phổ thông của con ngờimới Cùng với việc kiến tạo tri thức, môn Toán trong nhà trờngcòn rèn luyện cho học sinh những kĩ năng tính toán, vẽ hình, kĩnăng sử dụng những dụng cụ Toán học và máy tính điện tử MônToán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những phơngpháp, phơng thức t duy và hoạt động nh: toán học hoá tìnhhuống thực tế, thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện vàgiải quyết vấn đề

Trong thời kì phát triển mới của đất nớc, môn Toán càng

có ý nghĩa quan trọng hơn

I.2 Mục tiêu của môn Toán ở THCS

c Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và hợp lôgic, khả

năng quan sát, dự đoán, phát triển trí tởng tợng không gian Rènluyện khả năng sử dụng ngôn ngữ chính xác, bồi dỡng cácphẩm chất của t duy Bớc đầu hình thành thói quen tự học, diễn

đạt chính xác ý tởng của mình và hiểu đợc ý tởng của ngờikhác Góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa họccần thiết của ngời lao động

II T duy Toán học

II.1 T duy.

II.1.1 Khái niệm t duy

T duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tínhbản chất, những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật vàhiện tợng

Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì tduy là “sản vật cao cấp của một sụ vật hữu cơ đặc biệt, tức là óc,qua quá trình hoạt động của sự phản ánh hiện thực khách quanbằng biểu tợng, khái niệm, phán đoán T duy bao giờ cũng liên

hệ với một sự vận động của vật chất- với sự hoạt động của ócKhoa học hiện đại đã chứng minh đợc rằng t duy là đặc tính củavật chất” Paplop đã chứng minh một cách không thể chối cãirằng bộ óc là cơ cấu vật chất của hoạt động tâm lí Ông viết “Hoạt động tâm lí là kết quả của hoạt động sinh lí của một bộphận nhất định của óc”

T duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thờngbắt đầu từ nhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà

nảy sinh tình huống có vấn đề Dù cho t duy có khái quát vàtrừu tợng đến đâu thì trong nội hàm của t duy cũng vẫn chứa

đựng những thành phần cảm tính

Con ngời chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, đểtiến hành các thao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả t duy Ngônngữ đợc xem là phơng tiện của t duy

Sản phẩm của t duy là những khái niệm, phán đoán, suyluận đợc biểu đạt bằng những từ ngữ, câu, kí hiệu, công thức,mô hình,

T duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu ợng

t-Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính đều nảy sinh

từ thực tiễn và lấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng

đắn của nhận thức

T duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Ngời tadựa vào t duy để nhận thức những quy luật khách quan của tựnhiên, xã hội và lợi dụng những quy luật đó trong hoạt độngthực tiễn của mình

II.1.2 Các hình thức cơ bản của t duy.

+ Khái niệm: Khái niệm là một hình thức t duy phản ánh

một lớp đối tợng và do đó nó có thể đợc xem xét theo hai phơngdiện: Ngoại diên và nội hàm Bản thân lớp đối tợng xác địnhkhái niệm đợc gọi là ngoại diên, còn toàn bộ các thuộc tínhchung của lớp đối tợng này đợc gọi là nội hàm của lớp đối tợng

đó Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tính quyluật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp vàngợc lại

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của kháiniệm B thì khái niệm A đợc gọi là một khái niệm chủng của B,còn khái niệm B đợc gọi là một khái niệm loại của A

+ Phán đoán: Phán đoán là hình thức t duy, trong đó

khẳng định một dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tợng

Phán đoán có tính chất hoặc đúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy

ra một trong hai trờng hợp đó mà thôi

Trong t duy, phán đoán đợc hình thành bởi hai phơngthức chủ yếu: trực tiếp và gián tiếp Trong trờng hợp thứ nhất,phán đoán diễn đạt kết quả nghiên cứu của quá trình tri giácmột đối tợng, còn trong trờng hợp thứ hai, phán đoán đợc hìnhthành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suy luận.Cũng nh các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thốngcác phán đoán về những đối tợng của nó, với nhiệm vụ xác địnhtính đúng sai của các luận điểm

+ Suy luận: suy luận là một quá trình t duy có quy luật,

quy tắc nhất định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận) Muốnsuy luận đúng cần phải tuân theo những quy luật, quy tắc ấy Cóhai hình thức suy luận là suy diễn và quy nạp Suy diễn đi từ cáitổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêng đến cáichung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể táchrời nhau Quy nạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở choquá trình suy diễn, ngợc lại suy diễn để kiểm chứng kết quả củaquy nạp

II.2 Nội dung của t duy toán học

Hoạt động của t duy phụ thuộc vào đối tợng t duy.Dovậy, khi đề cập đến nội dung của t duy toán học, chúng ta cầnhiểu biết những đặc điểm của toán học với t cách là đối tợngcủa t duy toán học

+ Đối tợng của toán học

Toán học nghiên cứu cái gì?

Theo P.Ănghen trong “Chống Duyrinh”: “Đối tợng củatoán học thuần túy là những hình dạng không gian và nhữngquan hệ số lợng của thế giới hiện thực, tức là một t liệu rất cụthể T liệu này biểu hiện dới hình thức cực kì trừu tợng, đó chỉ

là bức màn bên ngoài che lấp nguồn gốc của nó trong thế giớihiện thực”

Theo V.I Lenin trong “Bút kí triết học”: “Cái mà toánhọc dạy chúng ta, đó là những mối quan hệ giữa các sự vật vềmặt thứ tự, số và quảng tính”

Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: “về toán học thì cóhai góc độ để nhìn khoa học này; hai góc độ đó ứng với hai địnhnghĩa sau đây về toán học:

- Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số ợng, hình dáng và lôgic trong thế giới khách quan

l Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lợng màngời ta có thể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề”

Đối tợng của toán học đợc cụ thể hóa và mở rộng dần quatừng giai đoạn Giai đoạn toán học hiện đại, ứng với nền sảnxuất tự động hóa, toán học nghiên cứu các cấu trúc và thuậttoán đồng thời với lôgic toán

Ngày nay, bên cạnh toán học kinh điển vẫn phát triểnmạnh mẽ, ta có toán học kiến thiết, cùng với cấu trúc ta có thuậttoán, chúng đối lập với nhau nhng bổ sung cho nhau, là cơ sởcủa phơng pháp mô hình hóa và thuật toán hóa của điều khiểnhọc

II.3 Các thao tác t duy toán học

II.3.1 Phân tích- Tổng hợp

A Phép tổng hợp là phơng pháp suy luận đi từ cái đã biết

đến cái cha biết Nếu gọi B là phán đoán cần chứng minh và Ai (

B Phép phân tích là phơng pháp suy luận đi từ cái cha

biết đến cái đã biết

Phép phân tích đi lên (Suy ngợc lùi):

Phép phân tích đi xuống (Suy ngợc tiến): đợc dùng trong

giải toán mang tính chất dự đoán kết quả, dự đoán con đờng

So sánh có hai mục đích: phát hiện những đặc điểm

chung và những đặc điểm khác nhau ở một số đối tợng Mục

đích thứ nhất dẫn đến tơng tự và thờng đi đôi với khái quát hóa

Tơng tự

Tơng tự là thao tác t duy dựa trên sự giống nhau về tính

chất và quan hệ của những đối tợng toán học khác nhau Kết

luận dựa theo sự tơng tự có thể đợc mô tả nh sau:

Đối tợng A có các tính chất a; b; c  Đối tợng B có tính chất c

Đối tợng B có các tính chất a; b

Sự tơng tự, do tính trực quan và dễ hiểu của nó, thờng đợc

áp dung trong việc giảng dạy toán học Tuy nhiên cần lu ý rằng,

cũng nh phơng pháp quy nạp không hoàn chỉnh, tơng tự có thể

dẫn đến kết luận sai lầm

Ví dụ: Trong mọi tam giác, các đờng cao đồng quy tại

trực tâm Nếu cho rằng, tơng tự, trong mọi tứ diện đều có các

đ-ờng cao đồng quy tại trực tâm là sai, vì điều này chỉ đúng với

các tứ diện có các cặp cạnh đối vuông góc với nhau mà thôi

II.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa

Khái quát hóa

- Khái quát hóa là thao tác t duy chuyển từ khái niệm hay

tính chất nào đó có ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất

nào đó có ngoại diên rộng hơn, bao gồm tập hợp các đối tợngban đầu (khái quát hóa ngoại diên)

- Khái quát hóa cũng là thao tác t duy chuyển từ kháiniệm hay tính chất nào đó sang khái niệm hay tính chất rộnglớn hơn, bao gồm khái niệm hay tính chất ban đầu (Khái quáthóa nội hàm)

Trong “Phơng pháp dạy học môn Toán”, các tác giảNguyễn Bá Kim, Vũ Dơng Thụy có nêu rõ hơn “Khái quát hóa

là chuyển từ một tập hợp đối tợng sang một tập hợp ban đầubằng cách nêu bật một số trong các đặc điểm chung của cácphần tử của tập hợp xuất phát” [4]

Theo [10,tr 13] có hai con đờng khái quát hóa: con đờngthứ nhất trên cơ sở so sánh những trờng hợp riêng lẻ; con đờngthứ hai không dựa trên sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉmột hiện tợng trong hàng loạt hiện tợng giống nhau

Nh vậy, khái quát hóa là thao tác t duy nhằm phát hiệnnhững qui luật phổ biến của một lớp các đối tợng hoặc hiện t-ợng từ một hoặc một số các trờng hợp riêng lẻ Với ý nghĩa đó,khái quát hóa thuộc về các phép suy luận có lí, nên các kết luậnrút ra từ khái quát hóa thờng mang tính chất giả thuyết, dự

đoán Tuy nhiên trong nhiều trờng hợp kết luận từ khái quát hóa

có thể thu đợc nhờ qui nạp hoàn toàn

Trong toán học, khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với cácthao tác t duy khác nh: phân tích, tổng hợp, so sánh,

Đặc biệt hóa

- Đặc biệt hóa là thao tác t duy ngợc của khái quát hóa

Đặc biệt hóa là thao tác t duy chuyển một khái niệm hay tínhchất nào đó từ ngoại diên rộng sang tập hợp các đối tợng cóngoại diên hẹp, chứa đựng trong tập hợp ban đầu (đặc biệt hóa

về ngoại diên)

- Đặc biệt hóa cũng là thao tác t duy chuyển từ khái niệmhay tính chất tổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát(đặc biệt hóa về nội hàm)

- Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giảithích những khái niệm, định lí tổng quát bằng những trờng hợpriêng lẻ, cụ thể Đặc biệt hóa thờng đợc sử dụng trong việc trìnhbày các khái niệm, chứng minh các định lí, bài tập, Trong bàitoán quỹ tích, đặc biệt hóa thờng đợc sử dụng trong mò mẫm,

dự đoán quỹ tích, trên cơ sở đó hình thành phơng pháp chứngminh cho toàn bộ bài toán

Phơng pháp đặc biệt hóa thờng đợc dùng để bác bỏ mộtmệnh đề, phát hiện một tính chất, đặt ra một bài toán mới

Mối quan hệ giữa khái quát hóa và đặc biệt hóa

thuờng đợc vận dụng trong tìm tòi, giải toán Từ một tính chấtnào đó ta muốn khái quát hóa (về ngoại diện hay nội hàm) tathử đặc biệt hóa Nếu kết quả của đặc biệt hóa là đúng thì tamới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa, nếu sai thìdừng lại

II.3.4 Trừu tợng hóa

- Trừu tợng hóa là thao tác tách ra từ một đối tợng toánhọc một tính chất (về quan hệ số lợng hoặc hình dạng hoặclôgic của thế giới khách quan) để nghiên cứu riêng tính chất đó.Trừu tợng hóa thoát ra khi mọi nội dung có tính chất chất liệu

- Trừu tợng hóa có liên hệ mật thiết với khái quát Nhờtrừu tợng hóa ta có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn Trừu tợnghóa và khái quát hóa là nguồn gốc của sự hình thành các kháiniệm toán học

II.4 Một số loại t duy toán học

II.4.1 T duy phê phán

T duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi:

- Tôi sẽ tin vào điều gì?

- Tôi sẽ lựa chọn cách nào?

Loại hình t duy này đợc đặc trng bởi việc tạo lập tiêuchuẩn cho sự tin tởng và hành động, kiên định thái độ của “phản

xạ hoài nghi” và chỉ đa ra phán đoán cuối cùng khi đã xem xéthết các t liệu đã có.

II.4.2 T duy giải toán

T duy giải toán hớng về quá trình tổng hợp, phân tíchtheo đó chúng ta sử dụng những gì đã biết để tìm ra cái cha biếtG.Polia đã đa ra tiến trình 4 bớc trong giải toán nh sau:

- Tìm hiểu bài toán (understand the problem)

- Xây dựng lời giải (devise a plan)

- Trình bày lời giải (Carry out the plan)

- Nghiên cứu sâu lời giải (verification)

II.4.3 T duy sáng tạo

- T duy sáng tạo (TDST) là một dạng t duy độc lập, tạo ra

ý tởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

- T duy sáng tạo tập trung vào sự tìm ra những lời giải,những sản phẩm hay, quá trình độc đáo T duy sáng tạo đợc ghinhận nhờ những tiếp cận tởng tợng, phân kì đối với bài toán vàtrực giác (hay linh cảm) là nguồn cung cấp ý tởng hữu ích

- Lecne cho rằng: “Sự sáng tạo là quá trình con ngời xâydựng cái mới về chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà khôngthể xem nh là hệ thống các thao tác hoặc hành động đợc mô tảthật chính xác và đợc điều hành nghiêm ngặt”

- GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói “Ngời có óc sángtạo là ngời có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết đợcvấn đề đã đặt ra”

Có hai mức sáng tạo:

Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làmthay đổi tận gốc các quan niệm của một hệ thống, tri thức và sựvận dụng Nh sự phát hiện ra hình học phi Ơclit củaLôbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa,

Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng lĩnhvực ứng dụng Nh sự phát triển của máy tính, của lazer