Các bài toán tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trong hình học phẳng i

-BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI VƯƠNG THỊ THU THỦY RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG LUẬ

-BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

VƯƠNG THỊ THU THỦY

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ

TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

VƯƠNG THỊ THU THỦY

RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN

CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN CỰC

TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

Chuyên ngành:Lý luận và phương pháp giảng dạy môn Toán

Mã số: 60.14.10

LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC GIÁO DỤC

Hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN NGỌC UY

LỜI CẢM ƠN

Em xin được bày tỏ lòng cảm ơn sâu sắc tới TS Nguyễn Ngọc Uy, người đã tận tình hướng dẫn em trong suốt quá trình em thực hiện đề tài.

Em cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành tới TS Lê Tuấn Anh đã góp ý cho em để hoàn thiện luận văn.

Em xin trân trọng cảm ơn các thầy giáo, cô giáo trong tổ Phương pháp giảng dạy, Ban Chủ nhiệm khoa Toán Tin, Phòng Sau đại học trường Đại học Sư phạm Hà Nội; Ban Giám hiệu và các đồng nghiệp tại trường THCS Chu Văn An, Tây Hồ, Hà Nội đã tạo điều kiện thuận lợi cho em trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Và con xin được gửi lời cảm ơn đến bố mẹ kính yêu của con, bố mẹ đã động viên con rất nhiều và tạo cho con những điều kiện tốt nhất để con có được ngày hôm nay.

Hà Nội, tháng 11 năm 2008

Tác giả luận văn

VƯƠNG THỊ THU THỦY

-1 1

-MỤC LỤC

TRA

MỤC LỤC .2

CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT 1

MỞ ĐẦU .5

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .1

1 VAI TRÒ, VỊ TRÍ VÀ Ý NGHĨA CỦA MÔN TOÁN .13

1.1 Vai trò, vị trí của môn Toán 13

1.2 Mục tiêu của môn Toán ở THCS .13

2 TƯ DUY TOÁN HỌC 13

2.1 Tư duy 13

2.1.1 Khái niệm tư duy .13

2.1.2 Các hình thức cơ bản của tư duy .13

2.2 Nội dung của tư duy toán học .13

2.3 Các thao tác tư duy toán học 13

2.3.1 Phân tích- Tổng hợp 13

2.3.2 So sánh- Tương tự .13

2.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa .13

2.3.4 Trừu tượng hóa 13

2.4 Một số loại tư duy toán học .13

2.4.1 Tư duy phê phán 13

2.4.2 Tư duy giải toán 13

2.4.3 Tư duy sáng tạo .13

2.4.4 Tư duy thuật toán 13

2.4.5 Tư duy hàm 25

3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC .25

-2 2

-3.1 Năng lực 25

3.2 Năng lực toán học .25

3.3 Năng lực giải toán .25

4 VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA BÀI TẬP TOÁN 25

4.1 Vai trò, chức năng của bài tập toán .25

4.2 Yêu cầu lời giải một bài toán 25

4.2.1 Lời giải không sai lầm .25

4.2.2 Lập luận có căn cứ chính xác 25

4.2.3 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ 25

4.2.4 Cách giải đơn giản nhất, hay nhất 25

4.2.5 Trình bày rõ ràng, hợp lý 25

5 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN 25

5.1 Các bước giải toán của G.Polya .25

5.2 Cách thức dạy, phương pháp chung để giải toán 25

6 MỘT SỐ PHƯƠNG HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ .25

6.1 Bồi dưỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác 25 6.2 Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới .25

6.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST 25

6.4 Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học .25

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THCS .26

-3 3

TRÌNH BÀY VÀ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH

HỌC PHẲNG .27

1.1 Thế nào là bài toán cực trị hình học 27

1.2 Dạng của bài toán cực trị hình học 27

1.3 Cách trình bày bài toán cực trị hình học .27

1.4 Cách giải bài toán cực trị 28

2 TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 36 2.1 Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu 36

2.2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc 36

2.3 Các bất đẳng thức trong đường tròn 36

2.4 Bất đẳng thức Côsi 40

2.5 Tỉ số lượng giác .42

3 RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO CÁC THÀNH PHẦN CƠ BẢN CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO 44

4 RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH QUA GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN .55

5 BÀI TẬP TỔNG HỢP 74

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .84

KẾT LUẬN .93

TÀI LIỆU THAM KHẢO .94

YMỤC LỤC 1

CÁC KÍ HIỆU VIẾT TẮT 4

MỞ ĐẦU .5

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN .9

-4 4

-1. VAI TRÒ, VỊ TRÍ VÀ Ý NGHĨA CỦA MÔN TOÁN .9

1.1 Vai trò, vị trí của môn Toán 9

1.2 Mục tiêu của môn Toán ở THCS .10

2. TƯ DUY TOÁN HỌC 10

2.1 Tư duy 10

2.1.1 Khái niệm tư duy .10

2.1.2 Các hình thức cơ bản của tư duy .11

2.2 Nội dung của tư duy toán học .13

2.3 Các thao tác tư duy toán học 14

2.3.1 Phân tích- Tổng hợp 14

2.3.2 So sánh- Tương tự .14

2.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa .15

2.3.4 Trừu tượng hóa 17

2.4 Một số loại tư duy toán học .17

2.4.1 Tư duy phê phán 17

2.4.2 Tư duy giải toán 17

2.4.3 Tư duy sáng tạo .18

2.4.4 Tư duy thuật toán 21

2.4.5 Tư duy hàm 22

3. MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC .23

3.1 Năng lực 23

3.2 Năng lực toán học .23

3.3 Năng lực giải toán .24

4. VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA BÀI TẬP TOÁN 24

4.1 Vai trò, chức năng của bài tập toán .24

4.2 Yêu cầu lời giải một bài toán 26

-5 5

-4.2.1 Lời giải không sai lầm .26

4.2.2 Lập luận có căn cứ chính xác 27

4.2.3 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ 27

4.2.4 Cách giải đơn giản nhất, hay nhất 27

4.2.5 Trình bày rõ ràng, hợp lý 28

5. PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN 28

5.1 Các bước giải toán của G.Polya .28

5.2 Cách thức dạy, phương pháp chung để giải toán 30

6. MỘT SỐ PHƯƠNG HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ .31

6.1 Bồi dưỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác 31 6.2 Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới .32

6.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST 32

6.4 Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất cả các khâu của quá trình dạy học .33

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THCS .34

1. TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KHÁI NIỆM, CÁCH TRÌNH BÀY VÀ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG .34

1.1 Thế nào là bài toán cực trị hình học 34

1.2 Dạng của bài toán cực trị hình học 34

1.3 Cách trình bày bài toán cực trị hình học .35

1.4 Cách giải bài toán cực trị 36

-6 6

-2. TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KIẾN THỨC THƯỜNG DÙNG ĐỂ GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG 40

2.1 Quan hệ giữa đường vuông góc, đường xiên, hình chiếu 40

2.2 Quan hệ giữa đoạn thẳng và đường gấp khúc 41

2.3 Các bất đẳng thức trong đường tròn 43

2.4 Bất đẳng thức Côsi 45

2.5 Tỉ số lượng giác .49

3. RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN THEO CÁC THÀNH PHẦN CƠ BẢN CỦA TƯ DUY SÁNG TẠO 52

4. RÈN LUYỆN CÁC HOẠT ĐỘNG TRÍ TUỆ CỦA HỌC SINH QUA GIẢI CÁC BÀI TẬP TOÁN .63

5. BÀI TẬP TỔNG HỢP 82

CHƯƠNG III THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM .92

KẾT LUẬN .101

TÀI LIỆU THAM KHẢO .102

PHỤ LỤC 105

-44-

-55-

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hiến pháp nước Cộng hoà Xã hội Chủ nghĩa Việt Nam năm 1992 đã ghi

ở điều 35: "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầu" Báo cáo chính trị củaBan chấp hành Trung ương khoá VII tại Đại hội Đại biểu Toàn quốc lần thứVIII của Đảng lại khẳng định "Giáo dục và đào tạo là quốc sách hàng đầunhằm nâng cao dân trí, đào tạo nhân lực, bồi dưỡng nhân tài"

"Trong các môn khoa học và kỹ thuật, toán học giữ một vị trí nổi bật.Đây là môn thể thao của trí tuệ, giúp chúng ta nhiều trong việc rèn luyệnphương pháp suy nghĩ, phương pháp suy luận, phương pháp học tập, phươngpháp giải quyết các vấn đề; giúp chúng ta rèn luyện trí thông minh sáng tạo.Toán học còn giúp chúng ta rèn luyện nhiều đức tính quý báu khác nhưcần cù và nhẫn nại, tự lực cánh sinh, ý chí vượt khó, yêu thích chính xác, hamchuộng chân lý Dù các bạn phục vụ ngành nào, trong công tác nào thì cáckiến thức và phương pháp toán học cũng rất cần cho các bạn" [6, tr1]

Các thầy giáo, cô giáo dạy toán chính là những huấn luyện viên trongmôn thể thao trí tuệ này Công việc dạy toán của giáo viên (GV) nhằm rènluyện cho học sinh (HS) tư duy toán học cùng những phẩm chất của conngười lao động mới để các em vững vàng trở thành những chủ nhân tương laicủa đất nước

Ở trường phổ thông, dạy học Toán là dạy hoạt động toán học

Các bài toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu quả vàkhông thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững tri thức, phát triển

tư duy, hình thành kĩ năng, kĩ xảo ứng dụng toán học vào cuộc sống Dạy họcgiải toán mang trong mình các chức năng: giáo dưỡng, giáo dục, phát triển và

-66-

kiểm tra Vì vậy hoạt động giải toán là điều kiện để thực hiện tốt các mục đíchdạy học toán Do đó, tổ chức có hiệu quả việc dạy học giải toán có vai tròquan trọng đối với chất lượng dạy học toán

Trong chương trình toán phổ thông, hình học là một mảng kiến thức lớn

và quan trọng Ngay từ tiểu học, học sinh đã làm quen với hình học dưới hìnhthức đơn giản Các khái niệm về điểm, đường thẳng, mặt phẳng đã được địnhnghĩa tường minh trong chương trình Toán ở THCS

Các bài toán về tìm giá trị lớn nhất, tìm giá trị nhỏ nhất trong hình họcphẳng, còn gọi là toán cực trị hình học thường không gặp trong các sách giáokhoa môn Toán bởi chúng thường là những bài toán khó Bài toán dạng nàythường không cho sẵn điều phải chứng minh, đòi hỏi học sinh phải tự mìnhtìm lấy kết quả của bài toán Những bài toán này dẫn dắt học sinh có thóiquen đi tìm một giải pháp tối ưu cho một công việc cụ thể trong cuộc sốngthực tế Điều đó cho thấy rằng toán cực trị là loại toán rất gần gũi với thực tế

và có nhiều ứng dụng trong thực tế hàng ngày Đối với bài toán cực trị,thường có nhiều con đường để đi đến đích, trong đó có những cách giải ngắngọn hợp lý, đôi khi có những phương án độc đáo, sáng tạo Do vậy nó giúphọc sinh rèn luyện nếp nghĩ khoa học, luôn mong muốn làm những công việcđạt hiệu quả cao nhất, tốt nhất Vì vậy, nó góp phần không nhỏ vào việc pháttriển trí tuệ, thúc đẩy niềm say mê học toán cho học sinh, đặc biệt là các emhọc sinh khá giỏi

Bài toán cực trị hình học thường xuất hiện trong các đề thi vào trườngchuyên, lớp chuyên, thi học sinh giỏi nhưng đa số học sinh chưa nắm chắcđược đặc trưng và phương pháp giải, do đó học sinh gặp phải rất nhiều khókhăn và hay mắc phải sai lầm

Để góp phần giải quyết vấn đề này, tôi chọn đề tài:

-77-

"RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH TRUNG HỌC CƠ SỞ THÔNG QUA CÁC BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG".

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh THCS thôngqua các bài toán cực trị trong hình học phẳng

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

3.1 Nghiên cứu nội dung rèn luyện năng lực giải toán phổ thông

3.2 Nghiên cứu các dạng bài toán cực trị trong hình học phẳng và cáchgiải cụ thể của từng dạng bài

3.3 Nghiên cứu một số biện pháp để rèn luyện năng lực giải toán cho họcsinh THCS

4 Phương pháp nghiên cứu

4.1 Nghiên cứu lý luận: cơ sở lý luận về Tâm lí học, Giáo dục học, lýluận dạy học môn toán để phân tích các nguyên nhân và xây dựng các biệnpháp dạy học nhằm hạn chế, sửa chữa các sai lầm của học sinh trong khi giảitoán, góp phần rèn luyện năng lực giải toán cho học sinh

4.2 Thực nghiệm sư phạm

5 Đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy học các bài toán cực trị hình học cho học sinh khá giỏi ởlớp 9 (trường THCS)

6 Phạm vi nghiên cứu

Chương trình hình học phẳng ở THCS

7 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần Mở đầu, Kết luận, Tài liệu tham khảo, luận văn gồm 3chương

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

-88-

Chương II: Một số biện pháp rèn luyện năng lực giải toán cho học sinhTHCS

Chương III: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG I CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1 VAI TRÒ, VỊ TRÍ VÀ Ý NGHĨA CỦA MÔN TOÁN

Phần này được trình bày dựa theo [15], [17], [18]

1.1 Vai trò, vị trí của môn Toán

Trong nhà trường phổ thông, môn Toán có một vai trò, vị trí và ý nghĩahết sức quan trọng

Thứ nhất, môn Toán có vai trò quan trọng trong việc thực hiện mục tiêu

chung của giáo dục phổ thông Môn Toán góp phần phát triển nhân cách.

Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo những tri thức và rèn luyện

kĩ năng Toán học cần thiết, môn Toán còn có tác dụng góp phần phát triểnnăng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hoá, khai tháchoá rèn luyện những đức tính, phẩm chất của người lao động mới như tínhcẩn thận, chính xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, bồi dưỡng ócthẩm mĩ

Thứ hai, môn Toán cung cấp vốn văn hoá Toán học phổ thông và tương

đối hoàn chỉnh bao gồm kiến thức, kỹ năng, phương pháp tư duy

Thứ ba, môn Toán còn là công cụ giúp cho việc dạy và học các môn học

khác Do tính trừu tượng cao độ, Toán học có tính thực tiễn phổ dụng Nhữngtri thức và kĩ năng toán học trở thành công cụ để học tập những môn học kháctrong nhà trường, là công cụ của nhiều ngành khoa học khác nhau, là công cụ

để hoạt động trong đời sống thực tế và vì vậy là một thành phần không thểthiếu của trình độ văn hoá phổ thông của con người mới Cùng với việc kiếntạo tri thức, môn Toán trong nhà trường còn rèn luyện cho học sinh những kĩnăng tính toán, vẽ hình, kĩ năng sử dụng những dụng cụ Toán học và máy tính

điện tử Môn Toán còn giúp học sinh hình thành và phát triển những phươngpháp, phương thức tư duy và hoạt động như: toán học hoá tình huống thực tế,thực hiện và xây dựng thuật giải, phát hiện và giải quyết vấn đề

Trong thời kì phát triển mới của đất nước, môn Toán càng có ý nghĩaquan trọng hơn

1.2 Mục tiêu của môn Toán ở THCS

Môn toán ở THCS nhằm

a Cung cấp cho học sinh những kiến thức, phương pháp Toán học phổ

thông, cơ bản, thiết thực

b Hình thành và rèn luyện các kĩ năng tính toán, vẽ hình, đo đạc, ước

lượng Bước đầu hình thành khả năng vận dụng kiến thức toán học vào đờisống và vào các môn học khác

c Rèn luyện khả năng suy luận hợp lí và hợp lôgic, khả năng quan sát,

dự đoán, phát triển trí tưởng tượng không gian Rèn luyện khả năng sử dụngngôn ngữ chính xác, bồi dưỡng các phẩm chất của tư duy Bước đầu hìnhthành thói quen tự học, diễn đạt chính xác ý tưởng của mình và hiểu được ýtưởng của người khác Góp phần hình thành các phẩm chất lao động khoa họccần thiết của người lao động

2 TƯ DUY TOÁN HỌC

Phần này được trình bày dựa theo [16], [19]

2.1 Tư duy.

2.1.1 Khái niệm tư duy

Tư duy là quá trình nhận thức, phản ánh những thuộc tính bản chất,những mối quan hệ có tính chất quy luật của sự vật và hiện tượng

Theo quan điểm của chủ nghĩa duy vật biện chứng thì tư duy là “sản vậtcao cấp của một sụ vật hữu cơ đặc biệt, tức là óc, qua quá trình hoạt động của

sự phản ánh hiện thực khách quan bằng biểu tượng, khái niệm, phán đoán

Tư duy bao giờ cũng liên hệ với một sự vận động của vật chất- với sự hoạtđộng của óc Khoa học hiện đại đã chứng minh được rằng tư duy là đặc tínhcủa vật chất” Paplop đã chứng minh một cách không thể chối cãi rằng bộ óc

là cơ cấu vật chất của hoạt động tâm lí Ông viết “ Hoạt động tâm lí là kếtquả của hoạt động sinh lí của một bộ phận nhất định của óc ”

Tư duy có quan hệ mật thiết với nhận thức cảm tính, thường bắt đầu từnhận thức cảm tính, trên cơ sở nhận thức cảm tính mà nảy sinh tình huống cóvấn đề Dù cho tư duy có khái quát và trừu tượng đến đâu thì trong nội hàmcủa tư duy cũng vẫn chứa đựng những thành phần cảm tính

Con người chủ yếu dùng ngôn ngữ để nhận thức vấn đề, để tiến hành cácthao tác trí tuệ và để biểu đạt kết quả tư duy Ngôn ngữ được xem là phươngtiện của tư duy

Sản phẩm của tư duy là những khái niệm, phán đoán, suy luận được biểuđạt bằng những từ ngữ, câu, kí hiệu, công thức, mô hình,

Tư duy mang tính khái quát, tính gián tiếp và tính trừu tượng

Cả nhận thức cảm tính và nhận thức lí tính đều nảy sinh từ thực tiễn vàlấy thực tiễn làm tiêu chuẩn kiểm tra tính đúng đắn của nhận thức

Tư duy có tác dụng to lớn trong đời sống xã hội Người ta dựa vào tưduy để nhận thức những quy luật khách quan của tự nhiên, xã hội và lợi dụngnhững quy luật đó trong hoạt động thực tiễn của mình

2.1.2 Các hình thức cơ bản của tư duy.

+ Khái niệm: Khái niệm là một hình thức tư duy phản ánh một lớp đối

tượng và do đó nó có thể được xem xét theo hai phương diện: Ngoại diên và

nội hàm Bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên,còn toàn bộ các thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàmcủa lớp đối tượng đó Giữa nội hàm và ngoại diên có mối liên hệ mang tínhquy luật: Nội hàm càng mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại.Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì kháiniệm A được gọi là một khái niệm chủng của B, còn khái niệm B được gọi làmột khái niệm loại của A.

+ Phán đoán: Phán đoán là hình thức tư duy, trong đó khẳng định một

dấu hiệu thuộc hay không thuộc một đối tượng Phán đoán có tính chất hoặcđúng hoặc sai và nhất thiết chỉ xảy ra một trong hai trường hợp đó mà thôi.Trong tư duy, phán đoán được hình thành bởi hai phương thức chủ yếu:trực tiếp và gián tiếp Trong trường hợp thứ nhất, phán đoán diễn đạt kết quảnghiên cứu của quá trình tri giác một đối tượng, còn trong trường hợp thứ hai,phán đoán được hình thành thông qua một hoạt động trí tuệ đặc biệt gọi là suyluận Cũng như các khoa học khác, toán học thực chất là một hệ thống cácphán đoán về những đối tượng của nó, với nhiệm vụ xác định tính đúng saicủa các luận điểm

+ Suy luận: suy luận là một quá trình tư duy có quy luật, quy tắc nhất

định (gọi là các quy luật, quy tắc suy luận) Muốn suy luận đúng cần phảituân theo những quy luật, quy tắc ấy Có hai hình thức suy luận là suy diễn vàquy nạp Suy diễn đi từ cái tổng quát đến cái riêng, còn quy nạp đi từ cái riêngđến cái chung

Trong dạy học toán, suy diễn và quy nạp không thể tách rời nhau Quynạp để đi đến các luận đề chung làm cơ sở cho quá trình suy diễn, ngược lạisuy diễn để kiểm chứng kết quả của quy nạp

2.2 Nội dung của tư duy toán học

Hoạt động của tư duy phụ thuộc vào đối tượng tư duy Do vậy, khi đềcập đến nội dung của tư duy toán học, chúng ta cần hiểu biết những đặc điểmcủa toán học với tư cách là đối tượng của tư duy toán học

+ Đối tượng của toán học

Toán học nghiên cứu cái gì?

Theo P.Ănghen trong “Chống Duyrinh”: “Đối tượng của toán học thuầntúy là những hình dạng không gian và những quan hệ số lượng của thế giớihiện thực, tức là một tư liệu rất cụ thể Tư liệu này biểu hiện dưới hình thứccực kì trừu tượng, đó chỉ là bức màn bên ngoài che lấp nguồn gốc của nótrong thế giới hiện thực”

Theo V.I Lenin trong “Bút kí triết học”: “Cái mà toán học dạy chúng ta,

đó là những mối quan hệ giữa các sự vật về mặt thứ tự, số và quảng tính”Theo GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn: “ về toán học thì có hai góc độ đểnhìn khoa học này; hai góc độ đó ứng với hai định nghĩa sau đây về toán học:

- Toán học là khoa học nghiên cứu về các quan hệ số lượng, hình dáng

và lôgic trong thế giới khách quan

-Toán học là khoa học nghiên cứu về cấu trúc số lượng mà người ta cóthể trang bị cho một tập hợp bằng một hệ tiên đề”

Đối tượng của toán học được cụ thể hóa và mở rộng dần qua từng giaiđoạn Giai đoạn toán học hiện đại, ứng với nền sản xuất tự động hóa, toán họcnghiên cứu các cấu trúc và thuật toán đồng thời với lôgic toán

Ngày nay, bên cạnh toán học kinh điển vẫn phát triển mạnh mẽ, ta cótoán học kiến thiết, cùng với cấu trúc ta có thuật toán, chúng đối lập với nhaunhưng bổ sung cho nhau, là cơ sở của phương pháp mô hình hóa và thuật toánhóa của điều khiển học

2.3 Các thao tác tư duy toán học

2.3.1 Phân tích- Tổng hợp

A Phép tổng hợp là phương pháp suy luận đi từ cái đã biết đến cái chưa

biết Nếu gọi B là phán đoán cần chứng minh và Ai (i1,n) hoặc là tiên đề,định lí hoặc là giả thiết đã biết thì sơ đồ của phép tổng hợp như sau

Tương tự

Tương tự là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất và quan

hệ của những đối tượng toán học khác nhau Kết luận dựa theo sự tương tự cóthể được mô tả như sau:

Sự tương tự, do tính trực quan và dễ hiểu của nó, thường được áp dụngtrong việc giảng dạy môn Toán Tuy nhiên cần lưu ý rằng, cũng như phươngpháp quy nạp không hoàn chỉnh, tương tự có thể dẫn đến kết luận sai lầm.

Ví dụ: Trong mọi tam giác, các đường cao đồng quy tại trực tâm Nếucho rằng, tương tự, trong mọi tứ diện đều có các đường cao đồng quy tại trựctâm là sai, vì điều này chỉ đúng với các tứ diện có các cặp cạnh đối vuông gócvới nhau mà thôi

2.3.3 Khái quát hóa- Đặc biệt hóa

Khái quát hóa

- Khái quát hóa là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chất nào

đó có ngoại diên hẹp sang khái niệm hay tính chất nào đó có ngoại diên rộnghơn, bao gồm tập hợp các đối tượng ban đầu (khái quát hóa ngoại diên)

- Khái quát hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tínhchất nào đó sang khái niệm hay tính chất rộng lớn hơn, bao gồm khái niệmhay tính chất ban đầu (Khái quát hóa nội hàm)

Trong “Phương pháp dạy học môn Toán”, các tác giả Nguyễn Bá Kim,

Vũ Dương Thụy có nêu rõ hơn “Khái quát hóa là chuyển từ một tập hợp đốitượng sang một tập hợp ban đầu bằng cách nêu bật một số trong các đặc điểmchung của các phần tử của tập hợp xuất phát” [17]

Theo [7,tr 13] có hai con đường khái quát hóa: con đường thứ nhất trên

cơ sở so sánh những trường hợp riêng lẻ; con đường thứ hai không dựa trên

sự so sánh mà dựa trên sự phân tích chỉ một hiện tượng trong hàng loạt hiệntượng giống nhau

Đối tượng A có các tính chất a; b; c

 Đối tượng B có tính chất cĐối tượng B có các tính chất a; b

Như vậy, khái quát hóa là thao tác tư duy nhằm phát hiện những qui luậtphổ biến của một lớp các đối tượng hoặc hiện tượng từ một hoặc một số cáctrường hợp riêng lẻ Với ý nghĩa đó, khái quát hóa thuộc về các phép suy luận

có lí, nên các kết luận rút ra từ khái quát hóa thường mang tính chất giảthuyết, dự đoán Tuy nhiên trong nhiều trường hợp kết luận từ khái quát hóa

có thể thu được nhờ qui nạp hoàn toàn

Trong toán học, khái quát hóa liên hệ chặt chẽ với các thao tác tư duykhác như: phân tích, tổng hợp, so sánh,

Đặc biệt hóa

- Đặc biệt hóa là thao tác tư duy ngược của khái quát hóa Đặc biệt hóa

là thao tác tư duy chuyển một khái niệm hay tính chất nào đó từ ngoại diênrộng sang tập hợp các đối tượng có ngoại diên hẹp, chứa đựng trong tập hợpban đầu (đặc biệt hóa về ngoại diên)

- Đặc biệt hóa cũng là thao tác tư duy chuyển từ khái niệm hay tính chấttổng quát về khái niệm hay tính chất xuất phát (đặc biệt hóa về nội hàm)

- Đặc biệt hóa có thể hiểu là quá trình minh họa hoặc giải thích nhữngkhái niệm, định lí tổng quát bằng những trường hợp riêng lẻ, cụ thể Đặc biệthóa thường được sử dụng trong việc trình bày các khái niệm, chứng minh cácđịnh lí, bài tập, Trong bài toán quỹ tích, đặc biệt hóa thường được sử dụngtrong mò mẫm, dự đoán quỹ tích, trên cơ sở đó hình thành phương phápchứng minh cho toàn bộ bài toán

Phương pháp đặc biệt hóa thường được dùng để bác bỏ một mệnh đề,phát hiện một tính chất, đặt ra một bài toán mới

Mối quan hệ giữa khái quát hóa và đặc biệt hóa thuờng được vận dụngtrong tìm tòi, giải toán Từ một tính chất nào đó ta muốn khái quát hóa (vềngoại diện hay nội hàm) ta thử đặc biệt hóa Nếu kết quả của đặc biệt hóa là

đúng thì ta mới tìm cách chứng minh dự đoán từ khái quát hóa, nếu sai thìdừng lại

2.3.4 Trừu tượng hóa

- Trừu tượng hóa là thao tác tách ra từ một đối tượng toán học một tínhchất (về quan hệ số lượng hoặc hình dạng hoặc lôgic của thế giới khách quan)

để nghiên cứu riêng tính chất đó Trừu tượng hóa thoát ra khi mọi nội dung cótính chất chất liệu

- Trừu tượng hóa có liên hệ mật thiết với khái quát Nhờ trừu tượng hóa

ta có thể khái quát hóa rộng và sâu hơn Trừu tượng hóa và khái quát hóa lànguồn gốc của sự hình thành các khái niệm toán học

2.4 Một số loại tư duy toán học

2.4.1 Tư duy phê phán

Tư duy phê phán nhằm trả lời hai câu hỏi:

- Tôi sẽ tin vào điều gì?

- Tôi sẽ lựa chọn cách nào?

Loại hình tư duy này được đặc trưng bởi việc tạo lập tiêu chuẩn cho sựtin tưởng và hành động, kiên định thái độ của “phản xạ hoài nghi” và chỉ đưa

ra phán đoán cuối cùng khi đã xem xét hết các tư liệu đã có

2.4.2 Tư duy giải toán

Tư duy giải toán hướng về quá trình tổng hợp, phân tích theo đó chúng

ta sử dụng những gì đã biết để tìm ra cái chưa biết

G.Polia đã đưa ra tiến trình 4 bước trong giải toán như sau:

- Tìm hiểu bài toán (understand the problem)

- Xây dựng lời giải (devise a plan)

- Trình bày lời giải (Carry out the plan)

- Nghiên cứu sâu lời giải (verification)

2.4.3 Tư duy sáng tạo

- Tư duy sáng tạo (TDST) là một dạng tư duy độc lập, tạo ra ý tưởng mới độc đáo và có hiệu quả giải quyết vấn đề cao

- Tư duy sáng tạo tập trung vào sự tìm ra những lời giải, những sản phẩmhay, quá trình độc đáo Tư duy sáng tạo được ghi nhận nhờ những tiếp cậntưởng tượng, phân kì đối với bài toán và trực giác (hay linh cảm) là nguồncung cấp ý tưởng hữu ích

- Lecne cho rằng: “Sự sáng tạo là quá trình con người xây dựng cái mới

về chất bằng hành động trí tuệ đặc biệt mà không thể xem như là hệ thống cácthao tác hoặc hành động được mô tả thật chính xác và được điều hành nghiêmngặt”

- GS.TSKH Nguyễn Cảnh Toàn có nói “Người có óc sáng tạo là người

có kinh nghiệm phát hiện vấn đề và giải quyết được vấn đề đã đặt ra”

Có hai mức sáng tạo:

Mức độ 1: Cách mạng trong một lĩnh vực nào đó, làm thay đổi tận gốccác quan niệm của một hệ thống, tri thức và sự vận dụng Như sự phát hiện rahình học phi Ơclit của Lôbasepxki, lí thuyết nhóm của Galoa,

Mức độ 2: Phát triển liên tục cái đã biết, mở rộng lĩnh vực ứng dụng.Như sự phát triển của máy tính, của lazer

Đối với người học toán, có thể quan niệm sự sáng tạo đối với họ, nếu họ

tự đương đầu với những vấn đề mới đối với họ và họ tự mình tìm tòi độc lậpnhững vấn đề đó, để tự mình thu nhận được cái mới mà họ chưa từng biết.Như vậy một bài tập cũng được xem như là yếu tố sáng tạo nếu các thao tácgiải nó không bị những mệnh lệnh nào đó chi phối, tức là người giải chưa biết

thuật toán để giải và phải tiến hành tìm kiếm với những bước đi chưa biếttrước.

Những thành phần cơ bản của cấu trúc tư duy sáng tạo

1 Tính mềm dẻo:

Tính mềm dẻo của tư duy có các đặc trưng nổi bật sau:

- Dễ dàng chuyển từ hoạt động này sang hoạt động khác, vận dụng linhhoạt các hoạt động phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá, cụ thể hoácác phương pháp suy luận như: Quy nạp, suy diễn, tương tự, dễ dàng chuyển

từ giải pháp này sang giải pháp khác; điều chỉnh kịp thời hướng suy nghĩ nếugặp trở ngại

- Suy nghĩ không rập khuôn, không áp dụng một cách máy móc nhữngkinh nghiệm, kiến thức, kỹ năng đã có vào trong hoàn cảnh mới, điều kiệnmới, trong đó có những yếu tố đã thay đổi có khả năng thoát khỏi ảnh hưởngkìm hãm của những kinh nghiệm, những phương pháp, những suy nghĩ đã cótrước

- Nhận ra vấn đề mới trong điều kiện quen thuộc, nhìn thấy chức năngmới của đối tượng quen biết

Qua cơ sở lý luận tính mềm dẻo trong tư duy, ta thấy để giải một bàitập cụ thể có vướng mắc, hoặc thấy cách giải còn chưa hay thì gợi mở chohọc sinh theo các hướng trên thì hiệu quả đạt được sẽ tốt hơn

2 Tính nhuần nhuyễn: : Được thể hiện rõ nét ở 2 đặc trưng sau:

- Tính đa dạng của các cách xử lý khi giải toán: Khả năng tìm đượcnhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau Đứng trước mộtvấn đề khi giải quyết, người có tư duy nhuần nhuyễn nhanh chóng tìm và đềxuất nhiều phương án khác nhau và từ đó đưa ra được phương án tối ưu

- Khả năng xem xét đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, có mộtcách nhìn sinh động từ nhiều phía đối với sự vật và hiện tượng chứ khôngphải cái nhìn bất biến, phiếm diện, cứng nhắc.

Khi thực hành giải toán, để thực hiện được điều này ta cần phân tích chohọc sinh thấy rõ các bước để giải một bài toán, tìm sự quan hệ gần gũi giữabài toán đã cho với các bài toán đã biết Qua đó thể hiện được tính nhuầnnhuyễn của tư duy, tính độc lập trong suy nghĩ

3 Tính độc đáo: tìm kiếm và quyết định phương thức mới

Tính độc đáo của TDST được đặc trưng bởi các khả năng

- Khả năng tìm ra những liên tưởng và những kết hợp mới

- Khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoàitưởng như không có liên hệ với nhau

4 Tính hoàn thiện: lập kế hoạch, phối hợp các hoạt động

5 Tính nhạy cảm vấn đề: nhanh chóng phát hiện vấn đề, liên tưởng tốt

Các yếu tố cơ bản nói trên không tách rời nhau mà trái lại chúng quan

hệ mật thiết với nhau, hỗ trợ, bổ sung cho nhau Khả năng dễ dàng chuyển từhoạt động trí tuệ này sang hoạt động trí tuệ khác (tính mềm dẻo) tạo điều kiệncho việc tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau(tính nhuần nhuyễn) và nhờ đề xuất nhiều phương án khác nhau mà có thể tìmđược những phương án lạ, đặc sắc (tính độc đáo) Các yếu tố cơ bản này lại

có quan hệ khăng khít với các yếu tố khác như: tính chính xác, tính hoànthiện, tính nhạy cảm vấn đề Tất cả các yếu tố đặc trưng nói trên cùng gópphần tạo nên tư duy sáng tạo, đỉnh cao nhất trong các hoạt động trí tuệ củacon người

Những biểu hiện đặc trưng của hoạt động sáng tạo

(b) (a)

Hình 1

1 Thực hiện độc lập việc di chuyển các tri thức kĩ năng, kĩ xảo sang tìnhhuống mới gần hay xa, bên trong hay bên ngoài hay giữa các hệ thống kiếnthức

2 Nhìn thấy những nội dung mới trong những tình huống bình thường

3 Nhìn thấy chức năng mới của đối tượng

4 Độc lập kết hợp các phương thức hoạt động đã biết, tạo thành cái mới

5 Nhìn thấy cấu trúc mới của đối tượng quen thuộc

6 Nhìn thấy mọi cách giải quyết có thể có, tiến hành giải theo từng cách

và lựa chọn cách tối ưu

7 Xây dựng phương pháp mới về nguyên tắc, khác với phương phápquen thuộc đã biết

8 Khái quát hóa tri thức và phương pháp quen thuộc đã biết (vì kháiquát hóa là năng lực cơ bản của các năng lực toán học)

Mối quan hệ giữa tư duy phê phán, tư duy giải toán và tư duy sáng tạo

(a) Tư duy phê phán

(b) Tư duy giải toán

(c) Tư duy sáng tạo

2.4.4 Tư duy thuật toán

Thuật toán là một bản qui định chính xác mà mọi người đều hiểu nhưnhau về việc hoàn thành những thao tác nguyên tố theo một trật tự xác địnhnhằm giải quyết một loạt bài toán bất kì thuộc một loại hay một kiểu nào đó

Các thuật toán phải thỏa mãn 3 yêu cầu cơ bản:

- Tính xác định: Ai cũng hiểu theo cùng một cách, mỗi giai đoạn của quá

trình quyết định giai đoạn tiếp theo một cách duy nhất

- Tính số đông: Phải dùng được để giải một loạt (một kiểu) xác định bài

toán

- Tính kết quả: Nếu hoàn thành đúng các thao tác theo trình tự đã vạch ra

thì nhất thiết giải được bài toán theo loại đã chọn

2.4.5 Tư duy hàm

- Tư duy hàm thể hiện ở sự nhận thức được tiến hành những tương ứngriêng và chung giữa các đối tượng toán học hay những tính chất của chúng(kể cả kĩ năng vận dụng chúng) thể hiện rõ nét tư tưởng lớn trong giáo trìnhtoán học ở trường phổ thông- tư tưởng hàm

- Những hoạt động trí tuệ liên quan đến tư duy hàm được định hướngtheo bốn tư tưởng chủ đạo sau đây:

1 Tập luyện cho học sinh phát hiện, thiết lập, nghiên cứu và lợi dụngnhững sự tương ứng trong khi học và nhằm vào việc truyền thụ kiến thức vàrèn luyện kĩ năng toán học

2 Thực hiện gợi động cơ sao cho những hoạt động tư duy hàm trở thànhkhả năng gợi động cơ nội tại toán học

3 Hình thành ở học sinh những biểu tượng tiến tới những tri thức vềtương ứng đơn trị và tập luyện cho họ những hoạt động ăn khớp với những trithức về tư duy hàm

4 Phân bậc hoạt động về tư duy hàm theo số lượng biến, theo mức độtrực quan của đối tượng hay theo trình độ độc lập và thành thạo của hoạt độngcủa học sinh

Ngoài ra còn có tư duy biện chứng, tư duy lôgic

3 MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ NĂNG LỰC TOÁN HỌC

3.1 Năng lực

Năng lực là những đặc điểm tâm lí cá nhân của con người, đáp ứng đượcyêu cầu của một loại hoạt động nhất định và là điều kiện cần thiết để hoànthành tốt hoạt động đó

Thông thường, một người được coi là có năng lực nếu người đó nắmvững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của một loại hoạt động nào đó và đạt được kếtquả tốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũngtiến hành hoạt động đó trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhấtđịnh của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt độnggiải quyết những yêu cầu đặt ra

3.3 Năng lực giải toán

Năng lực giải toán là một thể hiện của năng lực toán học, nó là đặc điểmtâm lí cá nhân của con người đáp ứng được yêu cầu của hoạt động giải toán,

và là điều kiện cần thiết để hoàn thành tốt hoạt động giải toán đó

Từ góc độ phát hiện và giải quyết vấn đề, ta có thể hiểu, năng lực giảitoán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề cótính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và sáng tạo,nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện

Thông thường, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đónắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quảtốt hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiếnhành hoạt động giải toán trong những điều kiện hoàn cảnh tương đương.Các thành phần của năng lực giải toán gồm: năng lực phân tích tổng hợp,năng lực khái quát hóa, năng lực suy luận lôgic, năng lực rút gọn quá trìnhsuy luận, năng lực tư duy linh hoạt, năng lực tìm ra lời giải hay, năng lực tưduy thuận nghịch, trí nhớ toán học,

Năng lực giải toán của học sinh chỉ phát triển dưới tác động liên hoàncủa các biện pháp cụ thể, thực sự đưa học sinh vào vị trí “hoạt động hóa”người học

4 VAI TRÒ VÀ CHỨC NĂNG CỦA BÀI TẬP TOÁN

Phần này được trình bày dựa theo [15], [17]

4.1 Vai trò, chức năng của bài tập toán

Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với họcsinh có thể xem việc giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán học.Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với những dụng ý

khác nhau Một bài tập có thể dùng để tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ,

để làm việc với nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra Tất nhiên việc dạygiải một bài tập cụ thể thường không chỉ nhằm vào một dụng ý đơn nhất nào

đó mà thường bao hàm những ý đồ nhiều mặt như đã nêu

Mỗi bài tập toán cụ thể được đặt ra ở thời điểm nào đó của quá trình dạyhọc đều chứa đựng một cách tường minh hay ẩn tàng những chức năng khácnhau Những chức năng này đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạyhọc Trong môn Toán, các bài tập mang chức năng sau:

+ Chức năng dạy học: bài tập hình thành củng cố cho học sinh nhữngtri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở các giai đoạn khác nhau của quá trình dạy học

+ Chức năng giáo dục: bài tập hình thành cho học sinh thế giới quanduy vật biện chứng, hứng thú học tập, niềm tin và phẩm chất đạo đức ngườilao động mới

+ Chức năng phát triển: bài tập phát triển năng lực tư duy của học sinh,đặc biệt là rèn luyện những thao tác trí tuệ, hình thành những phẩm chất của

tư duy khoa học

+ Chức năng kiểm tra: bài tập sẽ đánh giá mức độ, kết quả dạy và học,đánh giá khả năng độc lập học toán và trình độ phát triển của học sinh

Trên thực tế, các chức năng không bộc lộ một cách riêng lẻ và tách rờinhau Khi nói đến chức năng này hay chức năng khác của một bài tập cụ thể,tức là hàm ý nói việc thực hiện chức năng ấy được tiến hành một cách tườngminh và công khai Hiệu quả của việc dạy học toán ở trường phổ thông phầnlớn phụ thuộc vào việc khai thác và thực hiện một cách đầy đủ các chức năng

có thể có của một bài tập mà người viết sách giáo khoa đã có dụng ý chuẩn bị.Người giáo viên chỉ có thể khám phá và thực hiện được những dụng ý đóbằng năng lực sư phạm và trình độ nghệ thuật dạy học của mình

4.2 Yêu cầu lời giải một bài toán

Theo [14], một bài toán được gọi là giải tốt khi và chỉ khi thoả mãn các yêucầu sau:

i Lời giải không sai lầm

ii Lập luận có căn cứ

iii Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ

iv Cách giải đơn giản, hay nhất

v Cách trình bày rõ ràng, hợp lý, sạch sẽ,

4.2.1 Lời giải không sai lầm

Lời giải của bài toán không một sai lầm, thiếu sót, nghĩa là lời giảikhông có sai sót về mặt kiến thức (kiến thức khoa học cơ bản, kiến thứcphương pháp suy luận, kĩ năng tính toán và vẽ hình); không có sai sót về mặtvăn phạm (các quy tắc ngữ pháp, cách ghi ký hiệu toán học)

Lời giải của học sinh phạm sai lầm thiếu sót, không cho kết quả đúng là

do học sinh:

a Không nắm vững kiến thức, không nhớ đúng quy tắc, công thức, mơ

hồ về định lý, sử dụng định lý, quy tắc một cách máy móc mà không chú ýđến bản chất của nó, không chú ý đến điều kiện hạn chế của quy tắc, côngthức, không xác định được yếu tố có mặt trong công thức

b Hấp tấp, chủ quan, sơ suất, cẩu thả, có trường hợp chép đề sai, nhầmdấu hiệu, ngộ nhận hoặc lao vào một cách giải phức tạp do quá hấp tấp, cẩuthả, tính toán nhầm lẫn

c Không nắm vững suy luận logic, trật tự các vấn đề dẫn đến lộn xộnhoặc luẩn quẩn.

4.2.2 Lập luận có căn cứ chính xác

Có được bài giải đúng chưa đủ mà học sinh cần

- Phải chứng tỏ rằng từng bước, từng chi tiết trong bài giải là có căn cứ,phải nêu rõ cơ sở lý luận chính xác (theo định nghĩa, định lý hoặc tính chất ),chống suy luận trực giác, gò ép để đi đến kết quả

- Có bài giải nhất quán Các yếu tố trong bài phải mang tên gọi, bản chấtnhư nhau trong cả lời giải Trường hợp có sự chuyển hoá phải giải thích,thông báo

4.2.3 Lời giải phải cặn kẽ, đầy đủ

Cặn kẽ, đầy đủ ở đây có nghĩa là không bỏ sót một trường hợp, một chitiết nào dù là nhỏ Nó còn có nghĩa là không thừa, không thiếu, không dàidòng quá nhưng cũng không tắt quá Đặc biệt xét được hết các trường hợp cóthể có

4.2.4 Cách giải đơn giản nhất, hay nhất

Theo Lepnet thì “Một phương pháp giải toán coi là tốt nếu như ngay từđầu ta có thể thấy trước và sau đó có thể khẳng định được rằng theo phươngpháp đó sẽ đạt tới đích” Còn lời giải đơn giản nhất, hay nhất nói chung là lờigiải ngắn gọn, giải quyết bằng những phương tiện đơn giản, những kiến thức

dễ hiểu, quen thuộc nhất mà vẫn đạt tới đích

Tuy nhiên lời giải hay còn phụ thuộc vào mục đích luyện tập cho họcsinh Tìm được lời giải hay của một bài tập tức là đã khai thác được sâu đặcđiểm riêng của bài tập đó, giúp học sinh thích thú khi làm toán, động viên các

em suy nghĩ kĩ để tìm lời giải hay Đây là một yêu cầu cao đối với học sinh

5 PHƯƠNG PHÁP CHUNG ĐỂ GIẢI TOÁN

Phần này được trình bày dựa theo [8]

5.1 Các bước giải toán của G.Polya

Dựa trên những tư tưởng tổng quát cùng với những gợi ý chi tiết củaG.Polya (1975) về cách thức giải toán đã được kiểm nghiệm trong thực tiễndạy học, có thể nêu lên phương pháp chung để giải bài toán cụ thể như sau:

Bước1: Tìm hiểu nội dung đề bài:

+ Đâu là ẩn? Đâu là dữ kiện? Có thể thỏa mãn được điều kiện haykhông? Điều kiện có đủ để xác định được ẩn hay không, hay chưa đủ, haythừa, hay có mâu thuẫn

đã có thể rất thuận lợi để tìm được lời giải đúng

Bước 2: Xây dựng một chương trình giải

+ Bạn đã gặp bài toán này lần nào chưa? Hay đã gặp bài toán này ở mộtdạng hơi khác?

+ Bạn có biết một bài toán nào liên quan không? Một định lí có thể dùngđược không?

+ Xét kĩ cái chưa biết (ẩn) và thử nhớ lại một bài toán quen thuộc cócùng ẩn hay ẩn tương tự

+ Đây là một bài toán liên quan mà bạn đã có lần giải rồi Có thể sử dụng

nó không? Có thể sử dụng kết quả của nó không? Hay sử dụng phương pháp?

Có cần phải dựa thêm một số yếu tố phụ thì mới sử dụng được nó không?+ Có thể phát biểu bài toán một cách khác không? Một cách khác nữa? + Nếu bạn chưa giải được bài toán đề ra, thì hãy thử giải một bài toán cóliên quan Bạn có thể nghĩ ra một bài toán có liên quan và dễ hơn không? Mộtbài toán tổng quát hơn? Một trường hợp riêng? Một bài toán tương tự? Bạn cóthể giải được một phần bài toán không? Hãy giữ lại một phần điều kiện, bỏqua điều kia Khi đó ẩn được xác định đến một chừng mực nào đó, nó biếnđổi như thế nào? Bạn có thể từ các dữ kiện rút ra một yếu tố có ích không? Cóthể thay đổi ẩn hay khác dữ kiện, hay cả hai nếu cần thiết, sao cho ẩn và các

dữ kiện mới được gần nhau hơn không?

+ Bạn đã sử dụng mọi dữ kiện hay chưa? Đã sử dụng toàn bộ điềukiệnhay chưa? Đã để ý đến mọi khái niệm chủ yếu trong bài toán chưa?

Qua các bước dẫn dắt ở bước 2, ta thấy rằng tư duy sáng tạo đã được thểhiện ở mức độ cao hơn Chẳng hạn việc giải thử một bài toán có liên quan,hay tổng quát hơn chính là sự thể hiện tư duy sáng tạo

Bước 3: Trình bày lời giải

Hãy kiểm tra lại từng bước Bạn đã thấy rõ ràng là mỗi bước đều đúngchưa? Bạn có thể chứng minh là nó đúng không?

Qua bước này ta thấy việc thực hiện được chương trình giải và chứngminh được là đúng, tức là đã hoàn thành bài toán, các yếu tố của tư duy sángtạo đã được thể hiện đầy đủ.

Bước 4: Nghiên cứu sâu lời giải:

+ Bạn có kiểm tra lại kết quả? Bạn có thể kiểm tra lại toàn bộ quá trìnhgiải bài toán không?

+ Có tìm ra được kết quả một cách khác không? Có thể thấy ngay trựctiếp kết quả không

+ Bạn có thể sử dụng kết quả hay phương pháp đó cho mọi bài toán nàokhác không?

5.2 Cách thức dạy, phương pháp chung để giải toán

Quá trình học sinh học phương pháp chung giải toán là một quá trìnhbiến những tri thức phương pháp tổng quát thành kinh nghiệm giải toán củabản thân mình thông qua một việc giải hàng loạt bài toán cụ thể Học phươngpháp chung để giải toán không phải là học một thuật giải mà là học nhữngkinh nghiệm giải toán mang tính chất tìm tòi, phát hiện Nói chung, cách thứcdạy học sinh phương pháp chung để giải bài toán như sau:

 Thông qua việc giải bài toán cụ thể, cần nhấn mạnh để học sinhnắm được phương pháp chung 4 bước và có ý thức vận dụng 4 bước này trongquá trình giải toán

 Thông qua việc giải những bài toán cụ thể, cần đặt cho học sinhnhững câu hỏi gợi ý đúng tình huống để học sinh dần dần biết sử dụng nhữngcâu hỏi này như những phương tiện kích thích suy nghĩ tìm tòi, dự đoán pháthiện để thực hiện từng bước của phương pháp chung giải toán Những câu hỏinày lúc đầu là do giáo viên nêu ra để hỗ trợ cho học sinh nhưng dần dần biến

thành vũ khí của bản thân học sinh, được học sinh tự nêu ra đúng lúc, đúngchỗ để gợi ý cho từng bước đi của mình trong quá trình giải toán.

Tuy nhiên, từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán

cụ thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của nhiều họcsinh, trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo

6 MỘT SỐ PHƯƠNG HƯỚNG BỒI DƯỠNG TƯ DUY SÁNG TẠO CHO HỌC SINH KHÁ, GIỎI Ở TRƯỜNG TRUNG HỌC CƠ SỞ

Phần này được trình bày dựa theo [16]

6.1 Bồi dưỡng TDST cần kết hợp hữu cơ với các hoạt động trí tuệ khác

Việc bồi dưỡng TDST cho học sinh cần được tiến hành trong mối quan

hệ hữu cơ với các hoạt động trí tuệ như: phân tích, tổng hợp, so sánh, tương

tự, trừu tượng hóa, đặc biệt hóa, khái quát hóa, hệ thống hóa trong đó phântích và tổng hợp đóng vai trò nền tảng

Để bồi dưỡng tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn của tư duy, học sinhcần được bồi dưỡng thường xuyên năng lực tiến hành phân tích đồng thời vớitổng hợp để nhìn thấy đối tượng dưới nhiều khía cạnh khác nhau, trong nhữngmối liên hệ khác nhau Trên cơ sở so sánh các trường hợp riêng lẻ, dùng phéptương tự để chuyển từ trường hợp riêng này sang trường hợp riêng khác, khaithác mối liên hệ mật thiết với trừu tượng hóa làm rõ mối quan hệ chung riênggiữa mệnh đề xuất phát và mệnh đề tìm được bằng đặc biệt hóa và hệ thốnghóa, ta có thể tập luyện cho học sinh khái quát hóa tài liệu toán học, tập khảnăng tìm được nhiều giải pháp trên nhiều góc độ và tình huống khác nhau,khả năng tìm ra những mối liên hệ trong những sự kiện bên ngoài tưởng nhưkhông có liên hệ với nhau, khả năng tìm ra giải pháp lạ hoặc duy nhất Các

hoạt động này góp phần bồi dưỡng tính nhuần nhuyễn cũng như tính độc đáocủa tư duy.

6.2 Bồi dưỡng TDST cho học sinh cần đặt trọng tâm vào việc rèn luyện khả năng phát hiện vấn đề mới, khơi dậy những ý tưởng mới

Về giảng dạy lí thuyết, cần tận dụng phương pháp tập dượt nghiên cứu,trong đó giáo viên tạo ra các tính huống có vấn đề dẫn dắt học sinh tìm tòi,khám phá kiến thức mới Chú ý thường xuyên tập dượt cho học sinh suy luận

có lí (thông qua quan sát, so sánh, dặc biệt hóa, khái quát hóa, quy nạp, tươngtự ) để có thể tự mình phát hiện và phát biểu vấn đề, dự đoán được các kếtquả, tìm được hướng giải của một bài toán, hướng chứng minh một định lí.Nói cách khác là tăng cường cả hai bước suy đoán và suy diễn trong quá trìnhdạy toán

Về thực hành giải toán, cần coi trọng các bài tập trong đó chưa rõ điềuphải chứng minh, học sinh phải tự xác lập, tự tìm tòi để phát hiện vấn đề vàgiải quyết vấn đề

6.3 Chú trọng bồi dưỡng từng yếu tố cụ thể của TDST.

Trong quá trình dạy học, giáo viên cần chú ý bồi dưỡng từng yếu tốcủa TDST: tính mềm dẻo, tính nhuần nhuyễn, tính độc đáo Có thể khai thácnội dung các vấn đề giảng dạy, đề xuất các câu hỏi thông minh nhằm giúp họcsinh lật đi, lật lại vấn đề theo các khía cạnh khác nhau để học sinh nắm thậtvững bản chất các khái niệm, các mệnh đề, tránh được lối học thuộc lòng máymóc và lối vận dụng thiếu sáng tạo

Sử dụng từng loại câu hỏi và bài tập tác động đến từng yếu tố củaTDST như: những bài tập có cách giải riêng đơn giản hơn là áp dụng công

thức tổng quát để khắc phục “tính ỳ” (hành động máy móc, không thay đổiphù hợp với điều kiện mới); những bài tập có nhiều lời giải khác nhau, đòi hỏihọc sinh phải biết chuyển từ phương pháp này sang phương pháp khác, nhữngbài tập trong đó có những vấn đề thuận nghịch đi liền với nhau, song song vớinhau, giúp cho việc hình thành các liên tưởng ngược xảy ra đồng thời với việchình thành các liên tưởng thuận; những bài toán “không theo mẫu”, khôngđưa được về các loại toán giải bằng cách áp dụng các định lí, quy tắc trongchương trình.

6.4 Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài cần tiến hành trong tất

cả các khâu của quá trình dạy học.

Bồi dưỡng TDST là một quá trình lâu dài, cần tiến hành thường xuyênhết tiết học này sang tiết học khác, năm này sang năm khác trong tất cả cáckhâu của quá trình dạy học, trong nội khóa cũng như các hoạt động ngoạikhóa Cần tạo điều kiện cho học sinh có dịp được rèn luyện khả năng TDSTtrong việc toán học hóa các tình huống thực tế, trong việc viết bài toán vớinhững đề toán tự sáng tác, những cách giải mới, những kết quả mới khai thác

từ các bài tập đã giải

Một vấn đề rất đáng được quan tâm là vấn đề kiểm tra, đánh giá Các

đề kiểm tra, các đề thi cần được soạn với yêu cầu kiểm tra được năng lựcTDST của học sinh Học sinh chỉ có thể làm được hoàn chỉnh các đề kiểm tra

đó trên cơ sở bộc lộ rõ rệt năng lực TDST của bản thân Đó là cách tốt nhất đểchống lại cách “học tủ”, cách học theo kiểu “sôi kinh nấu sử” đang phổ biếnhiện nay

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BIỆN PHÁP RÈN LUYỆN NĂNG LỰC GIẢI TOÁN CHO HỌC SINH THCS

1 TRUYỀN THỤ CHO HỌC SINH MỘT SỐ KHÁI NIỆM, CÁCH TRÌNH BÀY VÀ CÁCH GIẢI BÀI TOÁN CỰC TRỊ TRONG HÌNH HỌC PHẲNG

1.1 Thế nào là bài toán cực trị hình học

Các bài toán cực trị hình học có dạng chung như sau: Trong tất cả cáchình có chung một tính chất, tìm những hình mà một đại lượng nào đó (như

độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, ) có giá trị lớn nhất hoặc giá trịnhỏ nhất

* Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trịlớn nhất, ta phải chứng tỏ hai điều:

- Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f ≤ m với m là hằng số

- Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

* Khi tìm vị trí của hình H trên miền D sao cho biểu thức f có giá trịnhỏ nhất, ta phải chứng tỏ hai điều:

- Với mọi vị trí của hình H trên miền D thì f  m với m là hằng số

- Xác định vị trí của hình H trên miền D sao cho f = m

* Trong trường hợp tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của biểu thức f(độ dài đoạn thẳng, số đo góc, số đo diện tích, ) ta chỉ cần chứng tỏ tồn tạimột hình H thuộc miền D sao cho f = m

1.2 Dạng của bài toán cực trị hình học

Một bài toán cực trị hình học có thể được cho dưới các dạng sau:

a) Bài toán về dựng hình

b) Bài toán về chứng minh

Ví dụ: Chứng minh rằng trong các dây đi qua điểm P trong một đườngtròn (O), dây vuông góc với OP có độ dài nhỏ nhất

c) Bài toán về tính toán

Ví dụ: Cho đường tròn (O; R) và điểm P nằm trong đường tròn có OP =

h Tính độ dài nhỏ nhất của dây đi qua P

1.3 Cách trình bày bài toán cực trị hình học

Cách 1: Trong các hình có tính chất của đề bài, chỉ ra một hình rồi chứng minh mọi hình khác đều có giá trị của đại lượng phải tìm cực trị nhỏ hơn (hoặc lớn hơn) giá trị của đại lượng đó ở hình đã chỉ ra.

Cách 2: Biến đổi tương đương điều kiện để đại lượng này đạt cực trị bởi điều kiện đại lượng khác đạt cực trị cho đến khi trả lời được câu hỏi mà đề bài yêu cầu.

Ví dụ 1. Cho đường tròn (O) và điểm P nằm trong đường tròn (P khôngtrùng O) Xác định vị trí của dây đi qua P sao cho dây có độ dài nhỏ nhất.Giải:

Cách 1:

Gọi AB là dây vuông góc với OP tại điểm P;

CD là dây bất kỳ đi qua P (CD không trùng với

AB) Ta sẽ chứng minh: CD > AB (hình 2)

Kẻ OH  CD