Luận Văn Toán Học, Phương Pháp Giảng Dạy, Phương Pháp Giải Toán, Số Phức, Lượng Giác, Tổ Hợp.pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC LÊ THỊ HÀ BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN HÀ NỘI –[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

HÀ NỘI – 2015

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI

TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC

LÊ THỊ HÀ

BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI TOÁN LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP CHO HỌC SINH TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ SƯ PHẠM TOÁN

CHUYÊN NGÀNH: LÝ LUẬN VÀ PHƯƠNG PHÁP DẠY HỌC

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến quý Thầy giáo, Cô giáo Trường Đại học Giáo dục, Đại học Quốc Gia Hà Nội, đã truyền đạt kiến thức cho tác

giả, đã tạo điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian học cao học

Tác giả xin tỏ lòng biết chân thành tới PGS TS Cung Thế Anh đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn, chỉ bảo, truyền đạt kiến thức, kinh nghiệm cho tác

giả trong suốt quá trình thực hiện luận văn này

Tác giả xin cảm ơn Ban Giám hiệu, các giáo viên, học sinh trường Trung học phổ thông Trung Văn, Hà Nội đã giúp đỡ và tạo điều kiện thuận lợi cho

tác giả trong thời gian đi học và làm luận văn tốt nghiệp

Xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè đã động viên, khích lệ, giúp đỡ để tác giả tập trung học tập

Xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, ngày 5 tháng 11 năm 2015 Tác giả

Lê Thị Hà

1.1.1 Mục đích, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông 5

1.3 Tình hình dạy học số phức và vấn đề bồi dưỡng năng lực ứng dụng

số phức để giải toán lượng giác và tổ hợp trong trường phổ thông 20

1.3.1 Các nội dung Số phức trong chương trình Giải tích lớp 12 THPT 21

1.3.2 Thực trạng dạy học nội dung số phức ở trường THPT hiện nay 24

1.3.3 Sự cần thiết của việc dạy học ứng dụng số phức vào giải toán lượng

CHƯƠNG 2: XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG

LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN LƯỢNG

2.2 Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác và tổ

2.2.1 Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác 27

2.2.2 Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để tính tổng các số k

3.4 Kết quả của thực nghiệm sư phạm 79

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Hiện nay, nội dung Số phức được đưa vào chương trình Toán THPT ở lớp 12 nhằm hoàn thiện việc xây dựng hệ thống số ở chương trình toán phổ

thông và để phù hợp với thông lệ quốc tế Tuy nhiên, vì là chương cuối cùng

trong chương trình Giải tích 12 và việc giảng dạy vẫn theo lối cũ, chủ yếu là

các khái niệm và các dạng toán cơ bản liên quan đến nội tại số phức, chưa

quan tâm nhiều đến việc liên hệ với các nội dung khác trong chương trình,

nên học sinh và có lẽ là cả phần lớn giáo viên không hiểu tại sao lại đưa nội

dung số phức vào chương trình toán phổ thông Sự tồn tại của số phức trong

đời sống cũng khó hình dung hơn so với các loại số khác như số tự nhiên, số

nguyên, số hữu tỉ, số thực Có lẽ rằng nếu nội dung số phức không phải là một

câu hỏi thường gặp trong các đề thi tốt nghiệp và đề thi vào đại học thì nó đã

không được chú trọng giảng dạy trên lớp

Chúng ta biết rằng số phức ra đời từ nhu cầu giải các phương trình đại số bậc cao và sau đó đã phát triển mạnh mẽ trở thành một chuyên

ngành độc lập trong toán học gọi là Giải tích phức, nhờ đóng góp của

những nhà toán học kiệt xuất như Euler, Gauss, Cauchy, và ngày nay

Giải tích phức đã trở thành một ngành có rất nhiều ứng dụng, trong cả toán

học và trong nhiều ngành khoa học, kĩ thuật khác Tất nhiên với trình độ

của học sinh phổ thông, và có lẽ kể cả giáo viên toán ở phổ thông, khó có

thể trình bày được hết ý nghĩa và tầm quan trọng của số phức Tuy nhiên,

với trình độ đó, ta có thể làm cho họ thấy ý nghĩa và ứng dụng của số phức

như là một công cụ hữu hiệu để giải và sáng tác những bài toán phổ thông,

từ những bài toán cơ bản đến những bài toán khó Từ đó sẽ góp phần giúp

việc giảng dạy và học tập nội dung số phức ở trường phổ thông hiệu quả

hơn Điều này cũng thể hiện tư tưởng dạy học tích hợp, một xu hướng tiên

tiến trong dạy học hiện nay

Xuất phát từ những lí do trên, chúng tôi chọn đề tài “Bồi dưỡng năng lực ứng dụng Số phức vào giải toán Lượng giác và Tổ hợp cho học sinh

Trung học phổ thông” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

2 Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp

Từ đó rèn luyện kỹ năng, bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán

lượng giác và tổ hợp cho học sinh THPT

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Nghiên cứu một số vấn đề về giải toán: năng lực và năng lực giải toán

- Điều tra, tìm hiểu thực tiễn tiễn việc sử dụng số phức như một công

cụ để giải toán lượng giác và tổ hợp ở THPT

- Nghiên cứu ứng dụng của số phức trong việc giải các dạng toán về lượng giác và tổ hợp (còn gọi là “phương pháp số phức trong lượng giác và

tổ hợp”)

- Xây dựng hệ thống bài tập chuyên đề nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán lượng giác và tổ hợp cho học sinh bằng phương pháp số phức góp phần

bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh THPT

-Trên cơ sở thực tế giảng dạy và thực nghiệm, rút ra các kết luận sư phạm và khuyến nghị về việc giảng dạy nội dung số phức trong chương trình

Toán THPT và quan hệ của nó với các nội dung khác, nói riêng là với lượng

giác và tổ hợp

4 Đối tượng nghiên cứu

Trên cơ sở lý luận của năng lực giải toán, áp dụng vào dạy ứng dụng số phức trong giải toán lượng giác và tổ hợp Từ đó phân loại và phát triển hệ

thống bài tập nhằm rèn luyện và bồi dưỡng năng lực giải toán, phát triển tư

duy sáng tạo, gợi động cơ hứng thú học tập cho học sinh

5 Phạm vi nghiên cứu

- Nghiên cứu việc phát triển năng lực ứng dụng của số phức trong

lượng giác và tổ hợp

6 Giả thuyết khoa học

Nếu xây dựng được một số chuyên đề ứng dụng của số phức để giải các bài toán lượng giác và tổ hợp, đồng thời đề xuất các biện pháp sư phạm phù

hợp thì sẽ góp phần phát triển năng lực giải toán cho học sinh, nâng cao chất

lượng dạy và học ở trường phổ thông

7 Phương pháp nghiên cứu

7.1 Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Nghiên cứu các tài liệu lý luận (triết học, giáo dục học, tâm lý học, lý luận dạy học bộ môn Toán) có liên quan dến đề tài luận văn

- Nghiên cứu SGK, sách tham khảo, tạp chí, các tài liệu trong nước và nước ngoài có liên quan đến bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải

toán lượng giác và tổ hợp

7.2 Phương pháp điều tra, quan sát

- Phỏng vấn, điều tra thu thập ý kiến giáo viên về thực trạng việc dạy nội dung số phức và ứng dụng số phức vào giải toán lượng giác và tổ hợp

- Mẫu khảo sát: Học sinh lớp 12A1 trường THPT Trung Văn, Hà Nội;

Giáo viên tổ toán trường THPT Trung Văn

7.3 Phương pháp thực nghiệm sư phạm

- Dạy thực nghiệm và kiểm tra kết quả sau khi thi thực nghiệm

- Xử lý số liệu thu được từ bài kiểm tra trong quá trình thực nghiệm nhằm bước đầu kiểm chứng tính khả thi và hiệu quả của giả thuyết nghiên cứu

8 Những đóng góp của Luận văn

- Trình bày cơ sở lý luận về dạy học bài tập toán, năng lực giải toán của học sinh

- Thực trạng về việc dạy học ứng dụng số phức trong giải toán lượng giác và tổ hợp ở THPT

- Xây dựng hệ thống bài tập nhằm bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh bằng số phức góp phần rèn luyện, bồi dưỡng năng lực giải toán cho học

sinh THPT

- Kết quả của luận văn có thể làm tài liệu tham khảo hữu ích cho học sinh

và giáo viên Toán ở các trường THPT, sinh viên toán ở các trường ĐHSP

9 Cấu trúc luận văn

Ngoài phần mở đầu, kết luận và kiến nghị, tài liệu tham khảo và phụ lục, luận văn được trình bày theo 3 chương:

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Xây dựng chuyên đề nhằm bồi dưỡng năng lực ứng dụng

số phức vào giải một số dạng toán lượng giác và tổ hợp

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

CHƯƠNG 1

CƠ SỞ LÝ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Lý luận về dạy học giải bài tập toán

1.1.1 Mục đích, vai trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường phổ thông

G.Polya cho rằng: “Trong toán học, nắm vững bộ môn toán quan trọng

hơn rất nhiều so với một kiến thức thuần túy mà ta có thể bổ sung nhờ một

cuốn sách tra cứu thích hợp Vì vậy cả trong trường trung học cũng như trong

các trường chuyên nghiệp, ta không chỉ truyền thụ cho học sinh những kiến

thức nhất định, mà quan trọng hơn nhiều là phải dạy cho họ đến một mức độ

nào đó nắm vững môn học Vậy thế nào là nắm vững môn toán? Đó là biết

giải toán!” [8, tr 82] Trên cơ sở đó ta có thể thấy rõ hơn mục đích, vị trí, vai

trò và ý nghĩa của bài tập toán trong trường THPT như sau

1.1.1.1 Mục đích

Để đào tạo được những con người đáp ứng được đòi hỏi của xã hội ngày nay, những con người năng động, sáng tạo, có tinh thần trách nhiệm, có

trí tuệ, có khả năng lao động kĩ thuật cao, trong các nhà trường THPT đã đặt

ra nhiều mục đích, mục tiêu cụ thể cho việc đào tạo Vì vậy, trong dạy toán

nói chung, giải bài tập toán nói riêng cần xác định những mục đích cụ thể, sát

thực Có thể thấy rõ một số mục đích bài tập toán ở trường phổ thông là:

- Phát triển ở học sinh những năng lực và phẩm chất trí tuệ, học sinh biến những tri thức khoa học của nhân loại được tiếp thu thành kiến thức của

bản thân, thành công cụ để nhận thức và hành động đúng đắn trong các lĩnh

vực hoạt động cũng như trong học tập hiện nay và sau này

- Làm cho học sinh từng bước nắm được một cách chính xác, vững chắc và có hệ thống những kiến thức và kỹ năng toán học phổ thông cơ bản,

hiện đại, phù hợp với thực tiễn và có năng lực vận dụng những tri thức đó vào

những tình huống cụ thể, vào đời sống, vào lao động sản xuất, vào việc học

1.1.1.2 Vai trò của bài tập toán

Toán học có vai trò lớn trong đời sống, khoa học và công nghệ hiện đại, kiến thức toán học là công cụ để học sinh học tốt các môn học khác, giúp học

sinh hoạt động hiệu quả trong mọi lĩnh vực Các-Mác nói: “Một khoa học chỉ

thực sự phát triển nếu có thể sử dụng được phương pháp của toán học” [3,tr 5]

Môn toán có khả năng to lớn giúp học sinh phát triển các năng lực trí tuệ như phân tích, tổng hợp, so sánh, đặc biệt hóa, khái quát hóa Mặt khác,

môn toán cũng rèn luyện những phẩm chất, đức tính của người lao động mới

như tính cẩn thận, tính chính xác, tính kỷ luật, khoa học, sáng tạo,…

1.1.1.3 Ý nghĩa

Ở trường phổ thông giải bài tập toán là hình thức tốt nhất để củng cố,

hệ thống hóa kiến thức và rèn luyện kỹ năng, là một hình thức vận dụng

những kiến thức đã học vào những vấn đề cụ thể, vào thực tiễn, vào vấn đề

mới, là hình thức tốt nhất để giáo viên kiểm tra học sinh và học sinh tự kiểm

tra về năng lực, về mức độ tiếp thu và khả năng vận dụng kiến thức đã học

Việc giải toán có tác dụng lớn gây hứng thú học tập của học sinh, phát

triển trí tuệ và giáo dục, rèn luyện người học sinh về rất nhiều mặt

1.1.2 Vị trí và chức năng của bài tập toán

1.1.2.1 Vị trí

“Ở trường phổ thông, dạy toán là dạy hoạt động toán học Đối với học sinh có thể xem giải toán là hình thức chủ yếu của hoạt động toán

học Các bài tập toán ở trường phổ thông là một phương tiện rất có hiệu

quả và không thể thay thế được trong việc giúp học sinh nắm vững những

tri thức, phát triển tư duy, hình thành kĩ năng kĩ xảo, ứng dụng toán học

vào thực tiễn Hoạt động giải bài tập toán là điều kiện để thực hiện tốt các

nhiệm vụ dạy học toán ở trường phổ thông Vì vậy, tổ chức có hiệu quả

việc dạy giải bài tập toán học có vai trò quyết định đối với chất lượng dạy

học toán” [7, tr 201]

1.1.2.2 Các chức năng của bài tập toán

Trong thực tiễn dạy học, bài tập toán học được sử dụng với nhiều dụng ý khác nhau Một bài tập có thể tạo tiền đề xuất phát, để gợi động cơ, để làm việc

với một nội dung mới, để củng cố hoặc kiểm tra, Mỗi bài tập cụ thể được đặt

ra ở một thời điểm nào đó của quá trình dạy học đều chứa đựng một cách tường

minh hay ẩn tàng những chức năng khác nhau Các chức năng đó là:

- Chức năng dạy học;

- Chức năng giáo dục;

- Chức năng phát triển;

- Chức năng kiểm tra, đánh giá

Các chức năng đều hướng đến việc thực hiện các mục đích dạy học

- Chức năng dạy học: Bài tập nhằm hình thành, củng cố cho học sinh những tri thức, kĩ năng, kĩ xảo ở những giai đoạn khác nhau của quá trình

dạy học

- Chức năng giáo dục: Thông qua giải bài tập mà học sinh hình thành

thế giới quan duy vật biện chứng, từng bước nâng cao hứng thú học tập, tạo

niềm tin ở bản thân học sinh và phẩm chất của con người lao động mới

- Chức năng phát triển: Bài tập giúp học sinh ngày càng nâng cao khả năng suy nghĩ, rèn luyện các thao tác tư duy hình thành phẩm chất tư duy

khoa học

- Chức năng kiểm tra: Bài tập giúp giáo viên và học sinh đánh giá được

mức độ và kết quả của quá trình dạy và học, đồng thời nó cũng đánh giá mức

độ tiếp thu tri thức, khả năng độc lập học toán và trình độ pháp triển của học

sinh cũng như hiệu quả giảng dạy của giáo viên

Thông qua giải bài tập, giáo viên có thể tìm thấy những điểm mạnh, những hạn chế trong việc tiếp thu và trình bày tri thức của học sinh Qua đó

có thể bổ sung, rèn luyện, và bồi dưỡng tiếp cho học sinh

1.1.3 Dạy học phương pháp giải bài toán

Bài tập toán học rất đa dạng và phong phú Việc giải bài tập là một yêu

cầu quan trọng đối với học sinh Có thể chia bài tập toán ra làm hai loại:

Loại 1: Loại có sẵn thuật toán

Để giải loại này học sinh phải nắm vững các quy tắc giải đã học và rèn

luyện kỹ năng, kỹ xảo Đây là cơ sở quan trọng để giải các bài toán phức tạp

hơn Yêu cầu cho học sinh là:

 Nắm vững quy tắc giải đã học;

 Nhận dạng đúng bài toán;

 Giải theo quy tắc đã học một cách thành thạo

Loại 2: Loại chưa có sẵn thuật toán

Loại bài tập này chiếm số lượng khá lớn trong sách giáo khoa và gây cho học sinh không ít khó khăn dẫn đến tâm lý sợ và ngại, thiếu tự tin vào khả

năng của mình Đây là một trở ngại lớn cho ý chí tiến thủ vươn lên trong học

tập của học sinh Do vậy khi dạy học sinh giải bài tập, không chỉ đơn thuần

cung cấp lời giải mà quan trọng hơn là: Dạy cho học sinh biết cách suy nghĩ

tìm ra con đường hợp lý để giải bài toán

Trong dạy học giải toán, kỹ năng tìm kiếm lời giải là một trong các kỹ năng quan trọng nhất, mà việc rèn luyện các thao tác tư duy là một thành phần

không thể thiếu trong dạy học giải toán

Theo G Pôlya, phương pháp tìm lời giải cho một bài toán thường được tiến hành theo 4 bước sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Để giải một bài toán, trước hết phải hiểu bài toán đó và hơn nữa còn phải có hứng thú để giải bài toán đó Vì thế giáo viên cần chú ý gợi động cơ,

kích thích trí tò mò, hứng thú cho học sinh và hướng dẫn học sinh hiểu bài

toán Muốn vậy để tìm hiểu bài toán đã cho cần chú ý các yếu tố cơ bản sau:

- Phân biệt cái đã cho và cái phải tìm, cái phải chứng minh

- Có thể dùng công thức, kí hiệu, hình vẽ để diễn tả đề bài

- Phân biệt các thành phần khác nhau của điều kiện, có thể diễn tả các điều kiện đó dưới dạng công thức toán học được không?

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Yếu tố quan trọng khi giải được bài toán chính là việc xây dựng chương trình giải cho bài toán đó Vì vậy khi thực hiện, chúng ta cần chú ý:

- Phân tích bài toán đã cho thành nhiều bài toán đơn giản quen thuộc

- Huy động những kiến thức đã học (định nghĩa, định lí, quy tắc ) có liên quan đến những điều kiện, những quan hệ trong đề toán sau đó lựa chọn

trong số đó những kiến thức gần gũi hơn cả với dữ kiện của bài toán rồi mò

mẫm dự đoán kết quả

- Sử dụng những phương pháp đặc thù với từng dạng toán như chứng

minh (phản chứng, qui nạp toán học ), toán quỹ tích

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

- Trình bày lại lời giải sau khi đã điều chỉnh ở Bước 2

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

- Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

- Nhìn lại toàn bộ các bước giải, rút ra tri thức phương pháp để giải một bài toán nào đó

- Tìm thêm cách giải khác (nếu có thể)

- Khai thác kết quả có thể có của bài toán

- Đề xuất bài toán tương tự, bài toán đặc biệt hoặc khái quát hoá bài toán

Như vậy, có thể nói “Quá trình học sinh học phương pháp chung để giải toán là một quá trình biến những tri thức phương pháp tổng quát thành

kinh nghiệm giải toán của bản thân mình thông qua việc giải hàng loạt bài

toán cụ thể Từ phương pháp chung giải toán đi tới cách giải một bài toán cụ

thể còn là cả một chặng đường đòi hỏi lao động tích cực của người học sinh,

trong đó có nhiều yếu tố sáng tạo” [9, tr 423]

Sau đây là ví dụ sử dụng 4 bước giải bài toán của G.Polya để làm bài toán sau:

Bước 1: Tìm hiểu nội dung bài toán

Giáo viên: Nhận xét về các số hạng trong tổng A, B?

Học sinh: Các chỉ số chập của các số tổ hợp cách nhau hai đơn vị, các

số hạng trong mỗi tổng đan dấu nhau và hai số hạng cách đều số hạng đầu và

cuối có trị tuyệt đối bằng nhau

Bước 2: Xây dựng chương trình giải

Giáo viên: Để tính các tổng A, B ta sử dụng khai triển nào?

Học sinh: Khai triển 2014

(1 x) theo công thức nhị thức Newton với xi.Giáo viên: Sử dụng công thức nào về số phức để biến đổi khai triển đó thành dạng đại số a bi a b ( ,  ¡ )?

Học sinh: Sử dụng: 4 4 1 4 2 4 3

i  i  i i    i    i n ¥ Giáo viên: Hãy nhận xét về phần thực và phần ảo của số phức thu được?

Học sinh: Kết quả thu được tổng A, B lần lượt là phần thực và phần ảo của khai triển đó

Bước 3: Thực hiện chương trình giải

Xét khai triển

2014 0 1 2 2 2014 2014

2014 +x 2014 +x 2014 + +x 2014(1+x) =C C C C (*) Thay xi vào khai triển trên, ta có

2014 0 1 2 2 2014 2014

2014 +i 2014 +i 2014 + +i 2014(1+i) =C C C C

Bước 4: Kiểm tra và nghiên cứu lời giải

Giáo viên: Kiểm tra lại kết quả, xem lại các lập luận trong quá trình giải

Học sinh:…

Giáo viên: Có thể tính (1 +i)2014 theo cách khác không?

Học sinh: Có thể biển đổi (1 +i)2014 như sau:

2 1007 2007

2014(1 +i)   i    i

Giáo viên: Nếu từ khai triển (*), nếu ta thay x lần lượt bởi 1 và -1 ta thu được kết quả gì?

Giáo viên: Lần lượt cộng và trừ vế với vế của hai hệ thức trên ta thu được gì?

1.2 Lý luận về năng lực giải toán của học sinh

1.2.1 Nguồn gốc của năng lực

Từ cuối thế kỉ XIX đến nay đã có nhiều ý kiến khác nhau về bản chất

và nguồn gốc của năng lực, tài năng Hiện nay đã có xu hướng thống nhất trên

một số quan điểm cơ bản, quan trọng về lí luận cũng như về thực tiễn

Một là: Những yếu tố bẩm sinh, di truyền là điều kiện cần thiết ban đầu

cho sự phát triển năng lực Đó là điều kiện cần nhưng chưa đủ (động vật bậc

cao sống với người hàng ngàn năm vẫn không có năng lực như con người vì

chúng không có các tư chất bẩm sinh di truyền làm tiền đề cho sự phát triển

năng lực)

Hai là: Năng lực con người có nguồn gốc xã hội, lịch sử Mỗi một con

người của thế hệ sau được sinh ra và phát triển trong thế giới tự nhiên và xã

hội mà đã được các thế hệ trước cải tạo, xây dựng và để lại các dấu ấn đó

trong môi trường văn hóa - xã hội cho thế hệ sau Có người khi đã sinh ra đã

có sẵn các tố chất nhất định cho sự phát triển các năng lực tương ứng, nhưng

nếu không có môi trường xã hội thì cũng không phát triển được

Ba là: Năng lực có nguồn gốc từ hoạt động và là sản phẩm của hoạt

động Sống trong môi trường xã hội tự nhiên do các thế hệ trước tạo ra và

chịu sự tác động của nó, con người ở thế hệ sau không chỉ đơn giản sử dụng

hay thích ứng với các thành tựu của các thế hệ trước để lại, mà còn chiếm lĩnh

chúng và quan trọng hơn là cải tạo chúng để không chỉ đạt được các kết quả

“vật chất” mà còn tạo ra tiền đề mới cho hoạt động tiếp theo

Tóm lại, ngày nay khoa học cho rằng năng lực, tài năng là hiện tượng

có bản chất nguồn gốc phức tạp Các tố chất và hoạt động của con người

tương tác qua lại với nhau để tạo ra các năng lực, tài năng Vậy đào tạo có

hiệu quả nhất là đưa học sinh vào các dạng hoạt động tương thích, thích hợp

1.2.2 Khái niệm về năng lực, năng lực Toán học

1.2.2.1 Khái niệm về năng lực

Khái niệm năng lực có nguồn gốc tiếng La tinh “competentia” Ngày nay khái niệm năng lực được hiểu theo nhiều nghĩa khác nhau Năng lực được

hiểu như sự thành thạo, khả năng thực hiện của cá nhân đối với một công

việc Năng lực cũng được hiểu là khả năng, công suất của một doanh nghiệp,

thẩm quyền pháp lý của một cơ quan

Khái niệm năng lực được dùng trong toán học là đối tượng của tâm lý, giáo dục học Một số công trình nghiên cứu về tâm lý học và giáo dục học chỉ

ra rằng qua quá trình hoạt động học sinh dần hình thành tri thức, kĩ năng, kĩ

xảo cho bản thân Từ những nền tảng đó, họ bắt đầu phát triển những khả

năng của mình ở mức độ từ thấp đến cao Cho đến một lúc nào đó sự phát

triển bên trong đủ khả năng giải quyết những vấn đề xuất hiện trong học tập

và trong cuộc sống thì lúc đó học sinh sẽ có những năng lực nhất định

Theo nhà tâm lý học Nga nổi tiếng V.A.Cruchetxki thì: "Năng lực được

hiểu như là: Một phức hợp các đặc điểm tâm lý cá nhân của con người đáp

ứng những yêu cầu của một hoạt động nào đó và là điều kiện để thực hiện

thuận lợi cho sự hình thành và phát triển những năng lực khác nhau Người ta

thường phân biệt ba trình độ của năng lực sau:

- Năng lực là tổng hoà các kĩ năng, kĩ xảo

- Tài năng là một tổ hợp các năng lực tạo nên tiền đề thuận lợi cho hoạt động có kết quả cao, những thành tích đạt được này vẫn nằm trong khuôn khổ

của những thành tựu đạt được của xã hội loài người

- Thiên tài là một tổ hợp đặc biệt các năng lực, nó cho phép đạt được những thành tựu sáng tạo mà có ý nghĩa lịch sử vô song

Khi nói đến năng lực phải nói đến năng lực trong loại hoạt động nhất định của con người Năng lực chỉ nảy sinh và quan sát được trong hoạt động

giải quyết những yêu cầu đặt ra

1.2.2.2 Khái niệm năng lực Toán học

Về khái niệm năng lực Toán học, theo nhà tâm lý học người Nga

V.A.Cruchetxki được hiểu theo hai mức độ:

- Năng lực học tập (tái tạo) tức là năng lực đối với việc học toán, năng lực học tập giáo trình phổ thông, lĩnh hội nhanh chóng và có kết quả cao các

kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo tương ứng

- Năng lực sáng tạo (khoa học), tức là các năng lực hoạt động toán học tạo ra được các kết quả, thành tựu mới, khách quan và có giá trị lớn đối với xã

hội loài người

Như vậy, năng lực toán học là các đặc điểm tâm lí cá nhân (trước hết là các đặc điểm hoạt động trí tuệ) đáp ứng được các yêu cầu của hoạt động học

toán và tạo điều kiện lĩnh hội các kiến thức, kĩ năng, kĩ xảo trong lĩnh vực toán

học tương đối nhanh, dễ dàng và sâu sắc trong những điều kiện như nhau

Giữa hai mức độ hoạt động toán học đó mặc dầu không có một sự ngăn cách tuyệt đối tuy nhiên đối tượng ở mức năng lực sáng tạo chỉ chiếm một

phần nhỏ Do việc nghiên cứu với đối tượng là học sinh THPT nên luận văn

chủ yếu tiếp cận năng lực toán học theo mức độ thứ nhất (năng lực học tập)

Theo V.A.Cruchetxki: Có 8 đặc điểm hoạt động trí tuệ của học sinh có

năng lực toán học là:

- Khả năng tri giác có tính chất hình thức hoá tài liệu toán học, gắn liền với sự thâu tóm nhanh chóng các cấu trúc hình thức của chúng trong một bài

toán cụ thể vào trong một biểu thức toán học

- Khả năng tư duy có tính khái quát hoá nhanh và rộng 

- Xu thế suy nghĩ bằng những suy lý rút gọn

- Sự tư duy lôgíc lành mạnh

- Tính linh hoạt cao của các quá trình tư duy thể hiện ở: Sự xem xét cách giải các bài toán theo nhiều khía cạnh khác nhau Sự di chuyển dễ dàng

và tự do từ một thao tác trí tuệ này sang một thao tác trí tuệ khác, từ tiến trình

suy nghĩ thuận sang tiến trình suy nghĩ nghịch

- Xu hướng tìm tới cách giải tối ưu cho một vấn đề toán học, khát vọng tìm ra lời giải rõ ràng, đơn giản, hợp lý, tiết kiệm

- Trí nhớ có tính chất khái quát về các kiểu bài toán, các phương thức giải, sơ đồ lập luận, sơ đồ lôgic

- Khả năng tư duy lôgic, trừu tượng phát triển tốt [4, tr 159, 160]

1.2.3 Năng lực giải toán

1.2.3.1 Khái niệm về năng lực giải toán

Trên đây đã nói đến khái niệm năng lực, năng lực toán học Năng lực giải toán là một phần của năng lực toán học Vậy năng lực giải toán là gì và

thể hiện như thế nào?

Năng lực giải toán là khả năng áp dụng tiến trình thực hiện việc giải quyết một vấn đề có tính hướng đích cao, đòi hỏi huy động khả năng tư duy tích cực và

sáng tạo, nhằm đạt được kết quả sau một số bước thực hiện [10, tr 20]

Như vậy, một người được coi là có năng lực giải toán nếu người đó nắm vững tri thức, kĩ năng, kĩ xảo của hoạt động giải toán và đạt được kết quả tốt

hơn, cao hơn so với trình độ trung bình của những người khác cũng tiến hành

hoạt động giải toán đó trong những điều kiện và hoàn cảnh tương đương

Từ đặc điểm hoạt động trí tuệ của những học sinh có năng lực toán học

và khái niệm về năng lực giải toán chúng ta có thể rút ra một số đặc điểm và

cấu trúc của năng lực giải toán như sau:

- Khả năng lĩnh hội nhanh chóng quy trình giải một bài toán và các yêu cầu của một lời giải, biết trình bày lời giải rõ ràng, đẹp đẽ

- Sự phát triển mạnh của tư duy lôgic, tư duy sáng tạo thể hiện ở khả năng lập luận chính xác, về quan hệ giữa các dữ kiện của bài toán

- Có năng lực phân tích, tổng hợp trong lĩnh vực thao tác với các ký hiệu, ngôn ngữ toán học Khả năng chuyển đổi từ điều kiện của bài toán sang

ngôn ngữ: Ký hiệu, quan hệ, phép toán giữa các đại lượng đã biết, chưa biết

- Có khả năng kiểm tra các kết quả đã đạt được và hình thành được một

số kiến thức mới thông qua hoạt động giải toán, tránh được những nhầm lẫn

trong quá trình giải toán

- Có khả năng nêu ra được một số những bài tập tương tự cùng với cách giải (có thể là định hướng giải, hoặc quy trình có tính thuật toán, hoặc thuật

toán để giải bài toán đó)

- Có khả năng khái quát hoá từ bài toán cụ thể đến bài toán tổng quát,

từ bài toán có một số yếu tố tổng quát đến bài toán có nhiều yếu tố tổng quát,

nhờ các thao tác trí tuệ: phân tích, so sánh, tổng hợp, tương tự, trừu tượng, hệ

thống hoá, đặc biệt hoá

Thông thường khi nói đến một học sinh nào đấy có năng lực toán học là nói đến học sinh đó có trí thông minh trong việc học tập môn toán Tuy nhiên ở

mọi học sinh ngay cả học sinh trung bình, yếu cũng có năng lực, nhưng với năng

lực thấp hơn tùy thuộc vào khả năng của học sinh Qua quá trình học tập học

sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp, từ đó năng

lực giải toán được tăng lên Hơn nữa, học sinh phải có ý thức tự tăng thêm năng

lực cho mình, một phần do các thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện

1.2.3.2 Đặc trưng của năng lực giải toán

Đặc trưng của năng lực giải toán là tập hợp tất cả các nét riêng biệt và

tiêu biểu được xem là dấu hiệu để phân biệt với các năng lực khác gồm:

- Năng lực giải toán là một dạng năng lực hoạt động của các cá nhân được nảy sinh xuất hiện những tình huống có vấn đề, có nhu cầu hay mâu

thuẫn cần giải quyết; được hiểu là một biểu hiện của năng lực khám phá quá

trình giải một bài toán cụ thể

- Năng lực giải toán được đặc trưng bởi hoạt động tư duy tích cực, độc lập, sáng tạo của học sinh, tận lực huy động trí thức và kinh nghiệm trong tiến

trình giải toán để đi đến lời giải, để tìm được hướng giải quyết bài toán đã cho

và xác định hướng giải các bài toán mới có từ bài toán ban đầu

Năng lực giải toán của chủ thể (học sinh) luôn thể hiện ở “trạng thái động” bởi tính linh hoạt, mềm dẻo thích ứng của tư duy và thay đổi các phương

thức khác nhau để khám phá giải bài toán

Năng lực giải toán được đặc trưng bởi tính hướng đích và tính kết quả cao: phát hiện, tiếp cận vấn đề, áp dụng mọi kiến thức để đi đến kết quả bài toán

Thông qua quá trình học tập, học sinh sẽ được bổ sung các kiến thức, được trang bị các phương pháp trên cơ sở một phần do học sinh tự nâng thêm

năng lực của mình, một phần do thầy cô giáo hướng dẫn, rèn luyện, bồi

dưỡng Từ đó, năng lực giải toán của các em từ từ được nâng lên Để rèn

luyện năng lực giải toán cho học sinh, phương pháp tốt nhất là đưa ra một hệ

thống bài tập cơ bản có chọn lọc và tốt, phù hợp với đối tượng, nâng cao dần

về mức độ khó khăn nhằm giúp học sinh nắm vững trí thức, phát triển tư duy,

hình thành kỹ năng, kĩ xảo và ứng dụng toán học vào thực tiễn

1.2.4 Bồi dưỡng năng lực giải toán

Do đặc thù của bộ môn toán nên hoạt động giải toán là hoạt động

không thể thiếu được của người học toán, dạy toán, nghiên cứu về toán Trong

cuốn “Sáng tạo toán học” G.Polya đã viết: “ quá trình giải toán là đi tìm

kiếm một lối thoát ra khỏi khó khăn hoặc một con đường vượt qua trở ngại,

đó chính là quá trình đạt tới một mục đích mà thoạt nhìn dường như không

thể đạt được ngay Giải toán là khả năng riêng biệt của trí tuệ, còn trí tuệ chỉ

có ở con người Vì vậy giải toán có thể xem như một trong những biểu hiện

đặc trưng nhất trong hoạt động của con người ’’ [8, tr 5]

Trong khi say mê giải toán, trí tuệ con người được huy động tới mức tối đa, khả năng phân tích và tổng hợp được rèn luyện, tư duy trở nên nhanh

nhẹn Bài toán mà chúng ta có thể bình thường không giải được nhưng nó có

khêu gợi tính tò mò và buộc ta phải sáng tạo và nếu tự mình giải bài toán đó

thì ta có thể biết được cái quyến rũ của sự sáng tạo cùng niềm vui thắng lợi

Bài tập toán nhằm phát triển tư duy cho học sinh, đặc biệt là rèn luyện các thao tác trí tuệ Vì vậy trong quá trình dạy học người thầy giáo phải chú trọng

đến bồi dưỡng năng lực giải toán cho học sinh Năng lực giải toán là khả năng

thực hiện bốn bước trong phương pháp tìm tòi lời giải bài toán của Pôlya

Một điểm chú ý nữa là: trong quá trình giải bài tập toán cần khuyến khích học sinh tìm nhiều cách giải cho một bài toán Mọi cách giải đều dựa

vào một số đặc điểm nào đó của dữ kiện, cho nên tìm được nhiều cách giải là

luyện tập cho học sinh biết cách nhìn nhận một vấn đề theo nhiều khía cạnh

khác nhau, điều đó rất bổ ích cho việc phát triển năng lực tư duy

Ví dụ 2: Chứng minh rằng

5

sin 5   5sin 3   10sin   16sin 

Để giải bài toán này học sinh có thể biến đổi theo nhiều hướng khác nhau trên sự biến đổi linh hoạt các công thức lượng giác hoặc kết hợp với

5 1 5

sin

2

z z i

sin 5 5sin 3 10sin

Moivre trong khi đó ở cách thứ nhất học sinh phải vận dụng linh hoạt các

công thức lượng giác mới chứng minh được Hơn nữa, ta có thể xây dựng một

số bài toán tương tự hay bài toán tổng quát từ ví dụ trên

1.3 Tình hình dạy học số phức và vấn đề bồi dưỡng năng lực ứng dụng

số phức để giải toán lượng giác và tổ hợp trong trường phổ thông

Trong chương trình Toán THPT, nội dung số phức được giảng dạy trong 15 tiết và 1 tiết kiểm tra

1.3.1 Các nội dung kiến thức về số phức trong chương trình Giải tích lớp 12

b được gọi là phần ảo,

i được gọi là đơn vị ảo

Tập các số phức được kí hiệu là £

Mỗi số thực được coi là một số phức có phần ảo bằng 0 nên mỗi số

thực cũng là một số phức Ta có ¡  £

Số phức có phần thực bằng 0 gọi là số thuần ảo

- Định nghĩa hai số phức bằng nhau Cho hai số phức : z = a+bi (a, b ¡ ) và z’ = a’+b’i (a,b ¡ )

a a

 Cộng, trừ hai số phức

Cho hai số phức : z = a+bi (a, b ¡ ) và z’ = a’+b’i (a,b ¡ )

Khi đó zz’ = (aa’ – bb’)+(ab’+a’b)i

z = a +bi (a, b ¡ ) thì môđun của z là 2 2

' (

z z

z z

'

z z

z

 Biểu diễn hình học của số phức

Số phức z = a + bi (a, b ¡ ) được biểu diễn bởi điểm M(a; b) trong mặt phẳng toạ độ Oxy hay còn gọi là mặt phẳng phức y

Trục Ox biểu diễn các số thực gọi là trục thực, M( z)

trục Oy biểu diễn các số ảo gọi là trục ảo

Số phức z = a + bi (a, b ¡ ) cũng được biểu diễn O x bởi vectơ ur  ( ; )a b , do đó M(a; b) là điểm biểu diễn của

số phức z = a + bi (a, b ¡ ), cũng có nghĩa là OMuuuur biểu diễn số phức đó

Nếu u vr r, theo thứ tự biểu diễn các số phức z, z' thì

, với M là điểm biểu diễn số phức z

Cho số phức w Mỗi số phức zthỏa mãn 2

- Nếu w=0 thì căn bậc hai của w là 0

- Nếu w>0 thì căn bậc hai của w là w và  w

- Nếu w<0 thì căn bậc hai của w là i w và i w b) Nếu w  a bi(a, b  ¡ ,b 0)

Số phức z x yi x y( ,  ¡ ) là căn bậc hai của số phức wkhi và chỉ khi 2

A



 

đó  là một căn bậc hai của 

Nếu   0thì phương trình có nghiệm kép là z1 z2 B

A

  

 Dạng lượng giác của số phức y

Cho số phức z0 Gọi M là điểm trong mặt M(z) phẳng phức biểu diễn số phức z Khi đó số đo (radian) 

của mỗi góc lượng giác có tia đầu Ox, tia cuối OM được O x

gọi là một acgumen của z

+ Nếu  là acgumen của z thì mọi acgumen của z đều có dạng  + k2

(k  ¢ ) + Acgumen của z 0 xác định sai khác k2 (k ¢ )

Dạng z = r (cos+isin), trong đó r>0 được gọi là dạng lượng giác của

số phức z0, còn dạng z = a + bi (a, b ¡ ) được gọi là dạng đại số của số

r(cos  isin )  n r n(cosn isinn ),

cos  isin n  cosn isinn , nN*

Số phức z = r (cos+isin) (với r>0) có hai căn bậc hai là cos sin

1.3.1.2.Các dạng toán về số phức ở trường phổ thông hiện nay

Số phức được đưa vào giảng dạy ở phần cuối trong chương trình Giải tích lớp 12 bậc THPT và với thời lượng không nhiều (16 tiết) nên các bài tập về số

phức đưa ra tương đối đơn giản Có thể chia làm các dạng toán cơ bản sau

Dạng 1:Tìm tập hợp điểm biểu diễn của số phức

Ví dụ 3: a) Tìm tập hợp các điểm M biểu diễn số phức z thỏa mãn

Dạng 2: Tính mô đun của số phức

Ví dụ 4: a) Tính mô đun của số phức z biết rằng:

Dạng 4: Giải phương trình trong tập hợp số phức

z  z  Tính giá trị biểu thức A z12 z22;

b) Giải phương trình 3   2  

z  i z  i z  i biết rằng phương trình có 1 nghiệm thực

Dạng 5 : Dạng lượng giác của số phức

 là

3 4

mà chưa chú ý đến việc liên hệ với các nội dung khác trong chương trình

1.3.2 Thực trạng dạy học nội dung số phức ở trường THPT hiện nay

Qua việc tìm hiểu việc dạy và học toán ở một số trường THPT Trung Văn, Hà Nội, các thầy cô giáo cho biết:

- Số phức mới đưa vào chương trình SGK, phần lớn các bài tập trong SGK đều là những bài tập đơn giản và chỉ liên quan đến nội tại số phức, thiếu

các bài tập kết nối Số phức với các nội dung khác của Toán như: Lượng giác,

Hình học, Tổ hợp,… Học sinh chưa thấy được sự cần thiết và ý nghĩa quan

trọng của sự mở rộng trường Số phức trong toán học

- Khi giảng dạy nội dung số phức giáo viên chưa chú ý đến việc giới thiệu những ứng dụng của số phức vào giải toán ở trường phổ thông sao cho

phù hợp với mức độ nhận thức của từng đối tượng học sinh

- Bản thân các thầy, cô cũng tự nhận thấy mình nắm kiến thức và kỹ năng về số phức và ứng dụng còn nhiều hạn chế do họ cũng chưa thực sự

quan tâm đến nội dung mới mẻ này

- Sau khi học xong chương số phức, học sinh mới chỉ hiểu một cách đơn giản số phức là một tập hợp số mới rộng hơn tập số thực, biết tính toán

một số biểu thức đơn giản, một số dạng toán đơn giản về số phức (Xem mục

1.3.1.2) chưa biết ứng dụng số phức như một công cụ giải toán

1.3.3 Sự cần thiết của việc dạy học ứng dụng số phức vào giải toán lượng

giác và tổ hợp ở trường THPT

Với nội dung kiến thức về số phức trong SGK và bài tập chủ yếu là củng cố các khái niệm, định nghĩa về số phức chưa gây được sự hứng thú cho

người dạy và người học Cả giáo viên và học sinh chưa nhìn thấy được mối

liên hệ giữa số phức với các nội dung khác của môn Toán ở trường phổ thông

Số phức là một nội dung mới có nhiều ứng dụng quan trọng trong quá trình giải toán Việc ứng dụng số phức vào giải toán không chỉ nhằm mục

đích cung cấp cho học sinh những công cụ để giải toán mà còn tập cho học

sinh làm quen với các phương pháp tư duy và suy luận, biết nhìn nhận các

hiện tượng xung quanh với sự biến đổi của chúng để nghiên cứu, tìm tòi,

khám phá, tạo cơ sở cho sự ra đời của những phát minh và sáng tạo trong

tương lai, bước đầu mở rộng tầm hiểu biết của học sinh

Trong quá trình giảng dạy môn Toán ở trường phổ thông có những nội dung học sinh gặp khó khăn khi chỉ sử dụng kiến thức nội tại của bộ môn đó:

Lượng giác, Hình học, Tổ hợp,… để giải quyết các bài tập của nó Chẳng hạn,

đối với nội dung Lượng giác do công thức lượng giác nhiều, lại khó nhớ nên

gây không ít khó khăn cho học sinh khi giải các bài toán lượng giác Hơn nữa,

bài tập lượng giác thì đa dạng có nhiều dạng toán khó (tính tổng các biểu thức

lượng giác, chứng minh các đẳng thức lượng giác, giải phương trình lượn

giác,…) đòi hỏi học sinh phải sử dụng công thức lượng giác thành thạo và

linh hoạt, đôi khi cần sự mẹo mực mới giải được các bài toán đó Đối với nội

dung Tổ hợp, các dạng toán tương đối đa dạng và gây lúng túng cho học sinh

như để tính tổng các k

n

C bằng không dễ dàng, cần sự nhạy bén trong cách thức biến đổi, nhận diện các biểu thức trong tổng Để học sinh có nhiều công

cụ để giải toán rất cần đến các công thức liên môn trong nội bộ toán học nhằm

giải quyết bài toán một cách đơn giản hơn

Ta biết, số phức là một công cụ hữu hiệu để giải và sáng tạo ra hàng loạt bài toán về lượng giác, tổ hơp, hình học… Thông qua việc ứng dụng số

phức vào giải toán không chỉ giúp các em có một phương pháp mới mà còn

giúp các em phát triển kỹ năng giải toán và tư duy sáng tạo, phát huy tính tích

cực chủ động trong học tập, tạo tiền đề cho việc đào tạo những con người

khoa học trong tương lai Qua việc giải các bài toán lượng giác và tổ hợp

bằng số phức học sinh ôn tập các kiến thức cũ, tìm ra được mối liên hệ trong

các kiến thức trong nội bộ toán học, có cái nhìn đa dạng, đôi khi còn chỉ ra

cách giải mới, độc đáo cho bài toán Để dạy chương Số phức đạt hiệu quả cao,

các thầy cô giáo cần phải có sự tìm tòi, sự hiểu biết sâu rộng hơn về số phức,

cung cấp thêm các tư liệu về những ứng dụng của số phức trong các lĩnh vực

toán để các em có thêm niềm tin trong quá trình vận dụng và sáng tạo

1.4 Kết luận Chương 1

Trong Chương 1, luận văn đã trình bày lý luận về dạy học giải bài tập toán, các khái niệm về năng lực, năng lực toán học và nhắc lại nội dung cơ

bản về số phức được đưa vào chương trình toán THPT Luận văn cũng đã

phân tích thực trạng giảng dạy số phức ở các trường THPT hiện nay và thấy

sự cần thiết của việc bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức vào giải toán

lượng giác và tổ hợp cho học sinh THPT

CHƯƠNG 2 XÂY DỰNG CHUYÊN ĐỀ NHẰM BỒI DƯỠNG NĂNG LỰC ỨNG DỤNG SỐ PHỨC ĐỂ GIẢI MỘT SỐ DẠNG TOÁN

LƯỢNG GIÁC VÀ TỔ HỢP 2.1 Định hướng sư phạm

Căn cứ vào nội dung (lý thuyết và bài tập) số phức trong chương trình, SGK toán THPT hiện hành ta có thể khai thác các ứng dụng của chúng để giải

các dạng toán khác cụ thể là lượng giác và tổ hợp

Một trong những nhiệm vụ của giáo dục phổ thông hiện nay là tăng cường tính ứng dụng và thực tiễn

Trong các kì thi có rất nhiều bài toán lượng giác và tổ hợp có thể ứng dụng công cụ số phức để giải một cách ngắn ngọn, súc tích

Theo định hướng này, ở chương 2, chúng tôi tiến hành xác định, phân loại một số dạng bài tập lượng giác và tổ hợp giải được bằng cách áp

dụng số phức nhằm bồi dưỡng năng lực giải các dạng toán đó cho học

sinh thông qua các chỉ dẫn về mặt phương pháp, củng cố bởi hệ thống bài

tập tương ứng

2.2 Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác và tổ hợp

2.2.1 Bồi dưỡng năng lực ứng dụng số phức để giải toán lượng giác

Trong quá trình giảng dạy với mục đích bồi dưỡng năng lực ứng dụng số

phức vào giải toán lượng giác giáo viên phải có phương pháp phù hợp cùng với

hệ thống bài tập hợp lý để học sinh phát huy tư duy, tính sáng tạo, linh hoạt

Để sử dụng số phức trong giải toán, về cơ bản, học sinh thường tiến hành các hoạt động sau:

+ Chuyển đổi bài toán hoặc yêu cầu của bài toán lượng giác từ dạng thông thường sang dạng bài toán với số phức

+ Sử dụng công cụ số phức để giải bài toán ở dạng đã chuyển đổi

+ Chuyển đổi kết quả bài toán đã giải được về dạng ban đầu

Thông thường, để chuyển một bài toán lượng sang bài toán giải bằng

số phức ta có thể đưa ra một số cách biến đổi sau:

-Đối với đẳng thức lượng giác có chứa vế trái hoặc vế phải được cho dưới dạng A n  f(a cosk1 1, a cosk2 2, , a coskn n) *

(k iN i,  1, )n

hoặcB n  f a( sin1 k1,a2sink2, ,a sinn k n) *

(k iN i,  1, )n ta biến đổi A nB i n và thu được biểu thức A nB i n  f z z( ,1 2, ,z n) với z j a jcoskj ia jsin kj, j 1,n

(sin ,cos x, tan x,cot x)

có thể biến đổi thành biểu thức dạng g z z( , ) bằng cách:

n n

n n

chia số phức; tính môđun và acgument của số phức, số phức liên hợp, nâng

lũy thừa và khai căn bậc n của một số phức, công thức Moivre, Trên cơ sở

nắm vững các kiến thức về số phức và các bài toán cơ bản, học sinh có khả

năng vận dụng linh hoạt các kiến thức về số phức vào các tình huống bài toán

cụ thể

Để sử dụng được số phức vào giải toán lượng giác, trong chương trình toán phổ thông, ta có thể xác định bồi dưỡng cho học sinh một số năng lực

giải quyết một số dạng toán cơ bản

2.2.1.1 Ứng dụng số phức để chứng minh một số đẳng thức lượng giác

- Để chứng minh một đẳng thức lượng giác ta thường sử dụng các phương pháp: biến đổi vế phức tạp hoặc nhiều số hạng thành vế đơn giản;

biến đổi tương đương; xuất phát từ đẳng thức đúng nào đó, biến đổi về đẳng

thức cần chứng minh Tuy nhiên do công thức lượng giác tương đối nhiều nên

học sinh có thể gặp khó khăn trong việc lựa chọn công thức nào cho hợp lý

Vì vậy, trong khi thực hiện các phép biến đổi học sinh không tránh khỏi lúng

túng khi lựa chọn các công thức

- Để chứng minh một đẳng thức bằng số phức thì trước hết ta phải chuyển được các biểu thức của vế trái hoặc vế phải của đẳng thức sang dạng

số phức theo cách chuyển đổi ở trên Sau đó sử dụng linh hoạt các công thức

biến đổi số phức, đại số nhằm biến đổi biểu thức đã chuyển đổi

Bài toán trên rất quen thuộc với học sinh lớp 10 sau khi học xong các

công thức lượng giác Bằng cách nhân hai vế của đẳng thức với 2 sin 0

7

 

và

sử dụng một số công thức lượng giác: công thức nhân đôi, công thức biến đổi

tích thành tổng, công thức góc liên quan đặc biệt

Lời giải

Cách 1: Nhân hai vế của đẳng thức với 2sin 0

Biến đổi vế trái, ta có

2sin os os3 os5 2sin os 2sin os3 2sin os5

Ta có thể giải Ví dụ 2.1 bằng cách sử dụng số phức như sau:

z 1

z z

n ¥ ) , ta có thể chuyển về biến đổi số phức z cosn isinn, sau sử dụng

công thức Moivre kết hợp với khai triển nhị thức Newton để chứng minh

Ví dụ 2.2.[11, tr.158] Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên ta có



  Với chú ý 2

sinn C ncosn  C ncosn  sin  C ncosn  sin  

Từ kết quả của Ví dụ 2.2, ta có thể đưa ra toán sau: