Lý thuyết động lực phức và một số ứng dụng

1 PHẦN MỞ ĐẦUKhông gian Sobolev là một không gian vectơ của các hàm số với mộtchuẩn là tổng của chuẩn L p của hàm số đó cùng với các đạo hàm chotới một bậc nào đó.. Các đạo hàm được hiểu

LÝ THUYẾT ĐỘNG LỰC PHỨC VÀ MỘT

SỐ ỨNG DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

1 PHẦN MỞ ĐẦU

Không gian Sobolev là một không gian vectơ của các hàm số với mộtchuẩn là tổng của chuẩn L p của hàm số đó cùng với các đạo hàm chotới một bậc nào đó Các đạo hàm được hiểu theo một nghĩa yếu thíchhợp để làm không gian trở thành đầy đủ và do vậy là một không gianBanach Nó được đặt theo tên của nhà toán học Nga L Sobolev Sựquan trọng của các không gian Sobolev nằm ở sự kiện là nghiệm củaphương trình vi phân thường nằm trong các không gian Sobolev hơn làcác không gian thông thường của các hàm số liên tục với các đạo hàm

2 Một vài tính chất đại số của các ∆U -vành

∆U-vành, khi đó R là ∆U-vành

∆(R) + J (R[x]) Mặt khác ta cũng có J (R[x]) = I[x] với I là iđêan lũylinh nào đó của R Bây giờ, ta giả sử R[x] là ∆U-vành Khi đó

U (R) ⊆ U (R[x]) = 1 + ∆(R[x]) = 1 + ∆(R) + I[x],

điều đó có nghĩa làU (R) ⊆ 1 + ∆(R) + I = 1 + ∆(R) ⊆ U (R), vì I là iđêanlũy linh (nên I ⊆ ∆(R)) Do đó U (R) = 1 + ∆(R), hayR là ∆U-vành

(1) R là ∆U-vành khi và chỉ khi R[x]/xmR[x] là ∆U-vành

(2) R là ∆U-vành khi và chỉ khi vành chuỗi lũy thừa R[[x]] là ∆U-vành.Chứng minh (1) Điều này suy ra từ Mệnh đề ?? (5), từ xR[x]/xmR[x] ⊆

J (R[x]/xmR[x]) và (R[x]/xmR[x])/(xR[x]/xmR[x]) ∼ = R

(2) Ta xét(x) = xR[[x]] như là iđêan của R[[x]] Khi đó (x) ⊆ J (R[[x]])

Vì R ∼ = R[[x]]/(x) nên (2) được suy ra từ Mệnh đề ?? (5)

Bổ đề 1 Cho R, S là các vành và i : R → S, ϵ : S → R là các đồng cấuvành thỏa mãn ϵi = idR Khi đó, các khẳng định sau là đúng

(1) ϵ(∆(S)) ⊆ ∆(R)

(2) Nếu S là ∆U-vành, thì R cũng là ∆U-vành

(3) Nếu R là ∆U-vành và ker ϵ ⊆ ∆(S), thì S là ∆U-vành

Chứng minh (1) Dễ thấy, ϵ(U (S)) ⊆ U (R) và U (R) = ϵi(U (R)) ⊆ ϵ(U (S))

nên ϵ(U (S)) = U (R) Lấy a ∈ ∆(S) Rõ ràng, a + U (S) ⊆ U (S), vì vậy

ϵ(a) + ϵ(U (S)) ⊆ ϵ(U (S)) hoặc ϵ(a) + U (R) ⊆ U (R) Điều đó có nghĩa là

ϵ(a) ∈ ∆(R) Do đó, ϵ(∆(S)) ⊆ ∆(R)

(2) Cho S là ∆U-vành Khi đó U (S) = 1 + ∆(S), theo(1)

U (R) = ϵ(U (S)) = 1 + ∆(S) ⊆ 1 + ∆(R).

Do đó U (R) = 1 + ∆(R).

(3) Giả sử R là ∆U-vành Ta phải chỉ ra ϵ−1(U (R)) ⊆ 1 + ∆(S), điềunày có nghĩa là U (S) = 1 + ∆(S) Thật vậy, với bất kỳ y ∈ ϵ−1(U (R)), talấyϵ(y) ∈ U (R) = 1+∆(R), vìRlà∆U-vành Suy ray −1 = i(x)+v, trong

đó v tùy ý thuộc ker(ϵ) và x ∈ ∆(R) Lấy tùy ý u khả nghịch thuộc S.Lưu ý rằng x + U (R) ⊆ U (R) Ta có ϵ(i(x) + u) = x + ϵ(u) ∈ x + ϵ(U (S)) =

x + U (R) ⊆ U (R) = ϵ(U (S)) và i(x) + u = u′ + a trong đó u′ ∈ U (S) và

a ∈ ker(ϵ) Suy ra y − 1 + u = u′+ a + v ∈ U (S) + ker(ϵ) ⊆ U (S) + ∆(S)

theo giả thuyết Từ U (S) + ∆(S) ⊆ U (S) với mọi vành có đơn vị S, ta có

y − 1 + u ∈ U (S) với mọi u ∈ U (S) Điều đó có nghĩa là y − 1 ∈ ∆(S)hay

y ∈ 1 + ∆(S) Ta có điều phải chứng minh

g∈G

r g g trong đó r g ∈ R

vị nhóm và được định nghĩa giống như vành nhóm

phần tử đơn vị của vị nhóm M) và ϵ : RM → Rlà các đồng cấu mở rộng

Ta có kết quả, nếu vành đa thức R[X] là ∆U-vành thì R là ∆U-vành.Với các vành đa thức trên vành giao hoán, ta được kết quả tốt hơn

Ta biết rằng nếu R là một vành giao hoán có đơn vị vàf = a0+ a1x +

· · · + anxn ∈ R[x] thì f là khả nghịch trong R[x] khi và chỉ khi a0 là khảnghịch trong R và a1, a2, , an là các phần tử lũy linh trong trong R

Từ nhận xét trên ta có mệnh đề sau

Mệnh đề 4 Cho R là vành giao hoán có đơn vị Vành đa thứcR[x] trên

R là ∆U khi và chỉ khi R là ∆U

3 Độ giao hoán tương đối của một mở rộng nhóm

Trong mục này ta nghiên cứu độ giao hoán tương đối của một mở rộngnhóm

Mệnh đề 5 Cho H1 và H2 là hai nhóm con của G sao cho H1 ⩽ H2.Khi đó

Vậy ta có điều phải chứng minh

và N ◁G Khi đó

Pr(H, G)⩽Pr(H/N, G/N ) Pr(N ).

Hơn nữa, dấu đẳng thức xảy ra nếu N ∩ [H, G] = 1.

với mọi x ∈ G Hơn nữa, đẳng thức xảy ra nếu N ∩ [H, G] = 1.

Chứng minh Lấyx ∈ Gbất kỳ Giả sửy ∈ CH(x) Khi đóyN ∈ CH(x)N

Thật vậy, lấy x ∈ G bất kỳ Giả sử yN ∈ CH/N(xN ) với y ∈ H Khi đó

xN yN = yN xN, cho nên (xy)N = (yx)N Từ đó suy ra

Vậy ta có điều phải chứng minh

Bây giờ ta chứng minh Mệnh đề ??

CH(y)N N

|CN(y)|.

N = CH/N(yN ) với mọi y ∈ G.

Theo lập luận ở trên ta có

Do đó

|S ∩ CG(x)| = |CN(x)| với mọi x ∈ N.

Từ đó suy ra rằng xảy ra dấu đẳng thức

Trong trường hợp đặc biệt, đối với tích trực tiếp ta có kết quả sau.Mệnh đề 7 Cho N và H là hai nhóm, N 1 và H 1 tương ứng là các nhómcon của N và H Khi đó

Vây ta có điều phải chứng minh

Đặc biệt, ta có kết quả sau

Pr(H, N × H) = Pr(H).

Đối với tích nửa trực tiếp vấn đề tính độ giao hoán tương đối trởnên phức tạp hơn rất nhiều Trong phần còn lại của mục này ta sẽ mộttrường hợp đặc biệt.

Mệnh đề sau đây cho ta công thức tính độ giao hoán tương đối củamột nhóm abel với tích nửa trực tiếp của nó bởi một nhóm xiclíc cấp 2

A sao cho α2 = idA và C2 = ⟨u⟩ là một nhóm xiclíc cấp 2 với u là phần

tử sinh Ký hiệu G = A×θ C2 là tích nửa trực tiếp củaA bởi nhóm xiclíc

C2 = ⟨u⟩ với tác động θ : C2 → Aut(A) được cho bởi công thức θ(u) = α.Khi đó

Pr(A, G) = 1

2 +

|Aα| 2|A|

trong đó Aα= {a ∈ A | α(a) = a}

Chứng minh Giả sử x = (x1, 1) ∈ A Khi đó ta có

CG(x) = CA(x) ∪ CG\A(x).

Vì A là nhóm giao hoán nên CA(x) = A Ta có

CG\A(x) = {(a, u) ∈ G \ A | (x 1 , 1)(a, u) = (a, u)(x 1 , 1)}

= {(a, u) ∈ G \ A | (x1a, u) = (aθ(u)(x1), u)}

= {(a, u) ∈ G \ A | (ax1, u) = (aα(x1), u)}.

Ta xét hai trường hợp của x1 như sau

Trường hợp 1: x1 ∈ Aα Khi đó aα(x1) = ax1 với mọi a ∈ A Do đó

|CG\A| = |A|

Trường hợp 2: x1 ∈ A \ Aα Khi đó aα(x1) ̸= ax1 với mọi a ∈ A Do đó

CG\A= ∅, cho nên |CG\A| = 0

2 +

|Aα| 2|A|.

Vậy ta có điều phải chứng minh

4 Các khái niệm cơ bản

toán mà ta gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn: R là nhóm Abel với

phân phối với phép toán cộng, nghĩa là

x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz

với mọi x, y, z ∈ R

Phần tử trung hòa của phép cộng được ký hiệu bởi 0 (thường gọi làphần tử không) Phần tử đơn vị của phép nhân nếu có được ký hiệu bởi

1 Nếu vành có nhiều hơn một phần tử và có đơn vị thì 1 ̸= 0

A là vành đối với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tínhđóng của hai phép toán trên A)

thỏa mãn điều kiện

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I,

(x + I)(y + I) = (xy) + I

với mọi x, y ∈ R

như trên lập thành một vành và được gọi là vành thương của R theo I

4.0.1 Định lý đồng cấu vành

Định nghĩa 5 Cho R, R′ là hai vành Ánh xạ f : R → R′ được gọi làmột đồng cấu vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R,nghĩa là

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (xy) = f (x)f (x),

với mọi x, y ∈ R

4.0.2 Một số kết quả liên quan

5 Không gian của các hàm Lipschitz Lip(Ω)

(ii) Cho f ∈Lip(A) Một số không âm

Lip(f ) =Lip(f, A) := sup



|f (x) − f (y)|

|x − y| : x, y ∈ A, x ̸= y



được gọi là hằng số Lipschitz của f

Nhận xét 1 Định nghĩa của các hàm Lipschitz là khái niệm metric.Thật vậy, nếu (X, d) và (Y, ϱ) là không gian metric, ánh xạ f : X → Y

được gọi là Lipschitz nếu có hằng số L > 0 thỏa mãn

ϱ(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ X

Mệnh đề 9 Cho A ⊂Rn và f ∈Lip(A).

(i) f liên tục đều trên A;

(ii) tồn tại duy nhất f : A →¯ R với f |A = f và Lip(f ) = Lip(f )

Nhận xét 2 Từ mệnh đề 16 suy ra nếu f ∈ Lip(A), với A ⊂Rn, luôn

có nghĩa như hàm f : A →R và ngược lại Hơn thế nữa, ánh xạ mở rộng

E :Lip(A) →Lip(A), E(f ) := f là song ánh Theo kết quả này, ta có thểhiểu Lip(A) =Lip(A) Lưu ý các tính chất mở rộng không còn đúng trongkhông gian C1(Ω)

Mệnh đề 10 ChoΩ ⊂Rn là tập lồi và bị chặn Khi đó C1(Ω) ⊂ Lip(Ω).Chứng minh Cho f ∈C1(Ω) Theo định lý giá trị trung bình

|f (x, y) − f (−x, y)| = 2yβ ≤ 2Lx ⇔ y ≤x

L

1/β

.

Từ 1/2 < 1/β, ta có thể chọn (x, y) ∈ Ω thỏa mãn √x > y >

x L

1/β

,điều này mấu thuẫn với bất đẳng thức trước

(ii) Quan hệ bao hàm này là chặt

Ví dụ: Cho Ω = (−1, 1) và f (x) = |x| Khi đó f ∈Lip(Ω) \C1(Ω)

khả vi liên tục C1(Ω), chúng có chung những tính chất quan trọng, như

là tính khả vi, đã được chứng minh trong trường hợp một chiều

Khi đó f khả vi tại x, Ln hầu khắp nơi, x ∈ Ω, nghĩa là bỏ đi một tập

có độ đo là không N ⊂ Ω, với mỗi x ∈ Ω \ N tồn tại một hàm tuyến tính

Đặc biệt, với mỗi x ∈ Ω \ N tồn tại ∇f (x)

Định nghĩa 7 Cho Ω ⊂Rn là tập mở bị chặn, cho f ∈Lip(Ω) Ta biểuthị

∥f ∥Lip = ∥f ∥Lip,Ω := ∥f ∥∞,Ω+Lip(f, Ω).

∥.∥Lip được gọi là chuẩn Lip

Định lý 2 (Lip(Ω), ∥.∥Lip) là không gian Banach vô hạn chiều nhưngkhông là không gian Hilbert, biết Ω ∈Rn là tập mở bị chặn

Chứng minh Dễ thấy (Lip(Ω), ∥.∥Lip) là không gian tuyến tính địnhchuẩn, chú ý rằng

Lip(f + g) ≤Lip(f ) +Lip(g) ∀f, g ∈ Lip(Ω). (1)

Ta phải chỉ ra tính đầy đủ Cho(fh)hlà dãy Cauchy trong(Lip(Ω), ∥.∥Lip),nghĩa là với mỗi ϵ > 0 sẽ tồn tại h = h(ϵ) ∈N thỏa mãn

|fh(x) − fk(y)| + |fh(x) − fk(y) − fh(z) + fk(z)|

∥fh− fk∥∞+Lip(fh− fk) = ∥fh− fk∥Lip ≤ ϵ

(2)

∀k > h > h, x, y, z ∈ Ω với y ̸= z Theo (29) và (30), suy ra tồn tại L > 0

thỏa mãn

và cũng theo (30),

(fh)h là dãy Cauchy trong (C0(Ω), ∥.∥∞).

Khi đó, tồn tại f ∈ C0(Ω) thỏa mãn fh → f đều trên Ω Theo (31), tađược Lip(f ) ≤ L, do đó f ∈ Ω Lấy qua giới hạn trong (30), khi k → ∞,

ϵ > 0 sẽ tồn tại h = h(ϵ) ∈N sao cho

Theo hệ quả của mệnh đề 17 ta được kết quả sau

Hệ quả 2 Bao hàm C1(Ω) ⊂Lip(Ω) là ánh xạ song Lipszhitz, nghĩa là

1

L ∥f ∥C1 ≤ ∥f ∥Lip ≤ L∥f ∥C1 ∀f ∈ C1(Ω),

và nó là nghiêm ngặt, biết Ω ⊂ Rn là tập lồi, mở và bị chặn Đặc biệt,

C1(Ω) là không gian con đóng của (Lip(Ω), ∥.∥Lip)

Ω = (a, b) Theo mệnh đề 17 và nhận xét 12 (ii), ta cần chỉ ra rằng quan

hệ bao hàm này là một phép đẳng cự Điều này suy ra

Bài tập 1 Nếu f ∈C1([a, b]) khi đó ∥f ∥Lip = ∥f ∥C1

Định lý 3 Cho Ω ⊂Rn là tập mở và bị chặn, giả sử

F = BLip(Ω) := {f ∈Lip(Ω) : ∥f ∥Lip ≤ 1}.

Khi đó BLip(Ω) là compact trong (Lip(Ω), ∥.∥∞)

Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng F là compact trong (C0(Ω), ∥.∥∞) Ápdụng định lý Arzelà - Ascoli (Định lý ??) Chứng minh rằng

(i) F là bị chặn trong (C0(Ω), ∥.∥∞): hiển nhiên theo định nghĩa

(ii) F đóng trong (C0(Ω), ∥.∥∞): nghĩa là, nếu (fh)h ⊂ F với ∥fh− f ∥∞,khi đó f ∈ F Thật vậy

fh∈ F Lef trightarrow|fh(x)|+ |fh(y) − fh(z)|

nhưng không có trên C1(Ω)

Tính tách được của (Lip(Ω), ∥.∥Lip)

Định lý 4 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở và bị chặn Khi đó (Lip(Ω), ∥.∥Lip)

không tách được

Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng tồn tại một họ tách rời nhau không đếmđược{Uα : α ∈ I} của tập mở trong(Lip(Ω), ∥.∥Lip) (Mệnh đề 9) Ta chiachứng minh thành hai bước

Bước 1: Giả sử n = 1 và Ω = (a, b) và ta sẽ chứng minh được kết luận.Cho {u α : α ∈ (a, b)} ⊂ (Lip(a, b)) là họ hàm

Uα := {f ∈Lip((a, b)) : ∥f − uα∥Lip < 1 ∀α ∈ I}

Ta được điều mong muốn

mở (a1, b1) × · · · × (an, bn) ⊂ Ω Cho {fα : α ∈ (a1, b1)} ⊂Lip(Ω) là họ cáchàm được định nghĩa bởi

Ta được điều cần chứng minh

Ta đã xem xét lớp Lip(Ω) của hàm liên tục Lipschitz f : Ω → R cái

mà định nghĩa thỏa mãn ước lượng

|f (x) − f (y)| < C|x − y| ∀x, y ∈ Ω (L)

Với C > 0 Giống như các hàm thỏa mãn (L), các hàm thỏa mãn tínhchất (H)cũng rất quan trọng, các hàm thỏa mãn tính chất(H) được gọi

là các hàm thỏa mãn điều kiện Holder với số mũ α

|f (x) − f (y)| ≤ C|x − y|α ∀x, y ∈ Ω (H)với hằng số C, α > 0

Bài tập 2 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở được liên thông và giả sử (H) đúngvới C > 0 và α > 1 Khi đó f ≡ const

Do đó điều kiện Holder không còn ý nghĩa cho các hàm với số mũ lớnhơn một trong tập mở liên thông

Định nghĩa 8 Cho A ⊂Rn, hàm f : A → R được gọi là liên tục Holder

với mũ α > 0 nếu nó thỏa mãn (H) với hằng sô C > 0

6 Một số đặc biệt hóa căn Jacobson của vành

6.1 Biểu diễn ∆(R) và các tính chất

Trong mục này, chúng ta sẽ khảo sát tập∆(R) =: {r ∈ R|r+U (R) ⊆ U (R)}

của vành R Tập này là vành có quan hệ chặt chẽ với căn Jacobson của

tính chất của ∆ dưới cấu trúc vành được nghiên cứu, trình bày một sốcác họ vành mà ∆(R) = J (R) Các phương pháp của cấu trúc vành với

Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) và u bất kỳ thuộc U (R), khi đó r + u ∈

U (R) tương đương ru−1+ 1 ∈ U (R) tương đương u−1r + 1 ∈ U (R)

(2) Ta có ruu′+ 1 ∈ U (R), ∀u, u′ ∈ U (R)do r ∈ ∆(R), suy ra ru ∈ ∆(R).Tương tự ur ∈ ∆(R)

(1) ∆(R) đóng với phép nhân các phần tử lũy linh;

đẳng

sinh bởi U (R) Khi đó:

(1) ∆(R) = J (R) và ∆(S) = ∆(R), với S là vành con của R thỏa T ⊆ S;(2) ∆(R) là vành căn Jacobson lớn nhất chứa trong R và đóng với phépnhân các phần tử khả nghịch của R

gồm tất cả các tổng hữu hạn các đơn vị của R Do đó, theo (2) của Bổ

đề ??, ∆(T ) là iđêan của T Theo (4) của Bổ đề ??, ∆(T ) = J (T ).Nếu r ∈ ∆(R), khi đó r + U (R) ⊆ U (R) Điều này có nghĩa là r có thểbiểu diễn được thành tổng của hai đơn vị Do đór ∈ T, suy ra∆(R) ⊆ T.Giả sử S là vành con của R thỏa mãn T ⊆ S Khi đó U (S) = U (R),

do đó ∆(S) = {r ∈ S | r + U (S) ⊆ U (S)} = {r ∈ S | r + U (R) ⊆ U (R)} =

S ∩ ∆(R) = ∆(R), vì ∆(R) ⊆ T ⊆ S

(2) Theo (1), ∆ là vành căn Jacobson của R và theo Bổ đề ?? (2) thì

∆(R) là đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch phía trái và phảicủa R

Bây giờ, ta giả sử S là vành căn Jacobson chứa trong R và đóng với

su ∈ S = J (S) Do đósulà quasi-regular trong S và vì thế 1 + su ∈ U (R).Theo Bổ đề ?? (1) thì s ∈ ∆(R) hay S ⊆ ∆(R)

tổng của các đơn vị Khi đó ∆(R) = J (R)

Hệ quả 5 Giả sửRlà một vành đại số trên trường F NếudimFR < |F |,khi đó ∆(R) là vành lũy linh

(1) Cho S là vành con của R thỏa U (S) = U (R) ∩ S Khi đó ∆(R) ∩ S ⊆

Hệ quả 9 ChoRlà một vành,∆(R) = J (R)nếu và chỉ nếu∆(R/J (R)) =

0

(1) R/J (R) là đẳng cấu với phép nhân vành các ma trận và divisionrings

(2) R là một vành nửa địa phương

(3) R là clear ring thỏa 2 ∈ U (R)

(4) R là U J-vành, nghĩa là U (R) = 1 + J (R)

(5) R có stable range 1

(6) R = F G là nhóm đại số trên trường F

các phần tử khả nghịch khi và chỉ khi nó đóng với phép nhân các phần

tử quasi-invertible của R

phép cộng của R Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương

6.2 Mở rộng toán tử ∆ cho vành không có đơn vị

∆◦(R) = ∆◦(R1) = ∆(R1)

(1) Cho e2 = e thỏa mãn e∆(R)e ⊆ ∆(R) Khi đó e∆(R)e ⊆ ∆(eRe)

(2) ∆(R) không chứa các phần tử lũy đẳng khác không.

(3) ∆(R) không chứa các phần tử unit regular khác không

Hệ quả 10 Cho R là một vành có unit regular, khi đó ∆(R) = 0

Hệ quả 11 Giả sử 2 ∈ U (R) Khi đó e∆(R)e ⊆ ∆(eRe) với e là phần tửlũy đẳng của R

J (R[x])

7 Các khái niệm cơ bản

toán mà ta gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn: R là nhóm Abel với

phân phối với phép toán cộng, nghĩa là

x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz

với mọi x, y, z ∈ R

Phần tử trung hòa của phép cộng được ký hiệu bởi 0 (thường gọi làphần tử không) Phần tử đơn vị của phép nhân nếu có được ký hiệu bởi

1 Nếu vành có nhiều hơn một phần tử và có đơn vị thì 1 ̸= 0

A là vành đối với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tínhđóng của hai phép toán trên A)

thỏa mãn điều kiện

ra ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R.

Vành con I củaR vừa là ideal trái, vừa là ideal phải được gọi là idealcủa vành R

Cho I là một ideal của vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} đượcgọi là tập thương của R theo I Trên tập thương R/I ta xây dựng haiphép toán

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I

với mọi x, y ∈ R

như trên lập thành một vành và được gọi là vành thương của R theo I

7.0.1 Định lý đồng cấu vành

Định nghĩa 13 Cho R, R′ là hai vành Ánh xạ f : R → R′ được gọi làmột đồng cấu vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R,nghĩa là

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (xy) = f (x)f (x),

với mọi x, y ∈ R

7.0.2 Một số kết quả liên quan

8 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 14 Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phéptoán mà ta gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn: R là nhóm Abel với

phân phối với phép toán cộng, nghĩa là

x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz

Định nghĩa 15 Tập con A của vànhR được gọi là vành con của R nếu

A là vành đối với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tínhđóng của hai phép toán trên A)

thỏa mãn điều kiện

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I

với mọi x, y ∈ R

như trên lập thành một vành và được gọi là vành thương của R theo I

8.0.1 Định lý đồng cấu vành

Định nghĩa 18 Cho R, R′ là hai vành Ánh xạ f : R → R′ được gọi làmột đồng cấu vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R,nghĩa là

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (xy) = f (x)f (x),

với mọi x, y ∈ R

8.0.2 Một số kết quả liên quan

9 Các đặc trưng của ∆U -vành

Ta biết rằng 1 + J (R) ⊆ U (R) Vành R được gọi là U J-vành nếu U (R) ⊆

1 + J (R), nghĩa là 1 + J (R) = U (R) Lưu ý nếu R là U J-vành khi đó

∆(R) = J (R)

9.1 Các tính chất tổng quát của các ∆U -vành

(6) ∆(R[x]/(xn)) = ∆(R)[x]/(xn)

(7) ∆(R[[x]]) = ∆(R)[[x]]

Vành R được gọi là ∆U-vành nếu 1 + ∆(R) = U (R)

Mệnh đề 14 R là ∆U-vành khi và chỉ khi U (R) + U (R) ⊆ ∆(R) (khi đó

U (R) + U (R) = ∆(R))

∆(R), 1 − v ∈ ∆(R), do đó u + v = (1 + u) − (1 − v) ∈ ∆(R)

Các tính chất cơ bản của ∆U-vành

(7) Nếu T là vành con của R thỏa mãn U (T ) = U (R) ∩ T, khi đó T là

∆U-vành Cụ thể, điều này áp dụng cho Z = Z(R) tâm của R.Chứng minh (1) Hiển nhiên

(2)

(3) Giả sửx2∈ ∆(R) Khi đó(1+x)(1−x) = (1−x)(1+x) = 1−x2 ∈ U (R)

tức là1+x ∈ U (R) VìRlà∆U-vành,1+x ∈ 1+∆(R), do đóx ∈ ∆(R).(4) Giả sử a, b ∈ R với ab = 1 Khi đó 1 − ba là lũy đẳng của R,

[b(1 − ba)2] = 0 = [(1 − ba)a]2∈ ∆(R).

Từ (3), ta có b(1 − ba) ∈ ∆(R) và (1 − ba)a ∈ ∆(R) Suy ra

1 − ba = (1 − ba)2= [(1 − ba)a][b(1 − ba)] ∈ ∆

Từ đó, ba ∈ U (R) hoặc ba = 1

(5) Nếu I ⊆ J (R) là ideal, khi đó ∆(R/I) = ∆(R)/I Giả sử R là ∆Uvành Khi đó u + I ∈ 1 + ∆(R)/I = 1 + ∆(R/I) Do đó R/I là ∆(U )-vành

u + I ∈ 1 + ∆(R)/I Ta có thể kiểm tra u ∈ 1 + ∆(R) Do đó, R là

Định lý 8 Mn (R) là ∆U-vành khi và chỉ khi n = 1 và R là ∆U-vành

(⇒:) Giả sử rằng Mn (R) là ∆U-vành và n > 1 Đầu tiên ta sẽ chứng

minhRlà division Lấy bất kỳa ∈ R, a ̸= 0, ta cóX =

khả nghịch trong Mn (R), hay a ∈ U (R) Do đó, R là division

Tiếp theo, ta chứng minh R ∼ = F2 Lấy a ∈ R, a ̸= 0 và a ̸= 1 Lấy

và R ∼ =M1 (R) là ∆U-vành.

Khi đó eRe là ∆U-vành

Chứng minh Lấyu ∈ U (eRe) Khi đóu + 1 − e ∈ U (R) Vì R là ∆U-vànhnên ta có u − e ∈ ∆(R) Ta sẽ chứng minh u − e ∈ ∆(eRe) Lấy tùy ý v

khả nghịch trong eRe Rõ ràng v + 1 − e ∈ U (R) Vì u − e ∈ ∆(R) nên

u−e+v+1−e ∈ U (R)theo định nghĩa của∆, đặtu−e+v+1−e = t ∈ U (R)

Ta kiểm tra được et = te = ete = u − e + v, do đó ete ∈ U (eRe) Suy ra

u − e + U (eRe) ⊆ U (eRe), hoặc u − e ∈ ∆(eRe) Vì vậy,u ∈ e + ∆(eRe) hay

(⇐:) Điều ngược lại là dễ thấy

9.2 Một vài tính chất đại số của các ∆U -vành

Nhớ lại rằng, vành R được gọi là vành 2-primal nếu căn nguyên tố của

nó bằng N (R)

-vành, khi đó R là ∆U-vành

∆(R) + J (R[x]) Mặt khác ta cũng có J (R[x]) = I[x] với I là iđêan lũylinh nào đó của R Bây giờ, ta giả sử R[x] là ∆U-vành Khi đó

U (R) ⊆ U (R[x]) = 1 + ∆(R[x]) = 1 + ∆(R) + I[x],

điều đó có nghĩa làU (R) ⊆ 1 + ∆(R) + I = 1 + ∆(R) ⊆ U (R), vì I là iđêanlũy linh (nên I ⊆ ∆(R)) Do đó U (R) = 1 + ∆(R), hayR là ∆U-vành

(1) R là ∆U-vành khi và chỉ khi R[x]/xmR[x] là ∆U-vành

(2) R là ∆U-vành khi và chỉ khi vành chuỗi lũy thừa R[[x]] là ∆U-vành.Chứng minh (1) Điều này suy ra từ Mệnh đề 2.4(5), từ xR[x]/xmR[x] ⊆

J (R[x]/xmR[x]) và (R[x]/xmR[x])/(xR[x]/xmR[x]) ∼ = R

(2) Ta xét(x) = xR[[x]] như là iđêan của R[[x]] Khi đó (x) ⊆ J (R[[x]]),

do R ∼ = R[[x]]/(x), kết quả này suy ra từ Mệnh đề 2.4(5)

Bổ đề 7 Cho R, S là các vành và i : R → S, ϵ : S → R là các đồng cấuthỏa ϵi = idR

(1) ϵ(∆(S)) ⊆ ∆(R)

(2) Nếu S là ∆U-vành, khi đó R cũng là ∆U-vành

(3) Nếu R là ∆U-vành và ker ϵ ⊆ ∆(S), khi đó S là ∆U-vành

Chứng minh (1) Dễ thấy, ϵ(U (S)) ⊆ U (R)và U (R) = ϵi(U (R)) ⊆ ϵ(U (S)).Lấy a ∈ ∆(S) Rõ ràng, a + U (S) ⊆ U (S), vì vậy ϵ(a) + ϵ(U (S)) ⊆ ϵ(U (S))

hoặc ϵ(a) + U (R) ⊆ U (R) Điều đó có nghĩa là ϵ(a) ∈ ∆(R) Do đó,

ϵ(∆(S)) ⊆ ∆(R)

(2) Cho S là ∆U-vành Khi đó U (S) = 1 + ∆(S), theo(1)

U (R) = ϵ(U (S)) = 1 + ∆(S) ⊆ 1 + ∆(R).

Do đó U (R) = 1 + ∆((R)

(3) Giả sử R là ∆U-vành Ta phải chỉ ra ϵ−1(U (R)) ⊆ 1 + ∆(S), điềunày có nghĩa là U (S) = 1 + ∆(S) Với bất kỳ y ∈ ϵ−1(U (R)), ta lấy

ϵ(y) ∈ U (R) = 1 + ∆(R), vì R là ∆U-vành Suy ra y − 1 = i(x) + v, trong

đó v tùy ý thuộc ker(ϵ) và x ∈ ∆(R) Lấy tùy ý u khả nghịch thuộc S.Lưu ý rằng x + U (R) ⊆ U (R) Ta có ϵ(i(x) + u) = x + ϵ(u) ∈ x + ϵ(U (S)) =

x + U (R) ⊆ U (R) = ϵ(U (S)) và i(x) + u = u′ + a trong đó u′ ∈ U (S) và

a ∈ ker(ϵ) Suy ra y − 1 + u = u′+ a + v ∈ U (S) + ker(ϵ) ⊆ U (S) + ∆(S)

theo giả thuyết Từ U (S) + ∆(S) ⊆ U (S) với mọi vành có đơn vị S, ta có

y − 1 + u ∈ U (S) với mọi u ∈ U (S) Điều đó có nghĩa là y − 1 ∈ ∆(S)hay

y ∈ 1 + ∆(S) Ta có điều phải chứng minh

ring Nếu RM là ∆U-vành, khi đó R là ∆U-vành

trên R là ∆U khi và chỉ khi R là ∆U

9.3 Tính chất ∆U trong các lớp vành

(1) R là ∆U-vành

(2) Tất cả các clean elements của R là ∆-clean

Định lý 10 Cho R là một vành, các điều kiện sau đây là tương đương(1) R là clean ∆U-vành;

(2) Với mỗi a ∈ R, ta có a − a2 ∈ ∆(R) và a − e ∈ ∆(R) trong đó e lũyđẳng, e ∈ R;

(3) R là ∆-clean ∆U-vành;

(4) R là vành ∆-clean

10 Mở rộng Dorroh và mở rộng của các ∆U -vành

∆(R) = U◦(R)

(2) ⇒ (3) Hiển nhiên.

(3) ⇒ (1) Giả sử ánh xạ ε : (∆(R), ◦) → (U (R), ) được cho bởi ε(x) =

1 ư x là một đẳng cấu nhóm Khi đó mỗi u ∈ U (R), tồn tại x ∈ ∆(R)

(2) R là ∆U-vành

Chứng minh (1) ⇒ (2) Lấy u ∈ U (R) Khi đó 1 ư u ∈ U◦(R) Tồn tại

v ∈ R thỏa mãn (1 ư u) ◦ v = 0 = v ◦ (1 ư u) Khi đó ta có

(1, uư1)(1, ưv) = (1, ư(1ưu))(1, ưv) = (1, ư(1ưu)◦v) = (1, 0) = (1, ưv)(1, uư1).

Điều này nghĩa là (1, u ư 1) ∈ U (Z⊕ R) Vì Z⊕ R là ∆U-vành, khi đó

(1, u ư 1) ∈ 1 + ∆(Z⊕ R) hoặc (0, u ư 1) ∈ ∆(Z⊕ R).

Tiếp theo, ta chỉ ra U (R) = 1 + ∆(R) Thật vậy, mỗi t ∈ U (R), ta có

1 + t ∈ U◦(R), vì vậy (1 + t) ◦ s = 0 = s ◦ (1 + t) với s ∈ R Khi đó

(ư1, 1 + t)(ư1, s) = (1, ư(1 + t) ◦ s) = (1, 0) = (ư1, s)(ư1, 1 + t).

Do (ư1, 1 + t) ∈ U (Z⊕ R) Theo định nghĩa của ∆, ta có

(0, u ư 1) + (ư1, 1 + t) ∈ U (Z⊕ R) hoặc (ư1, u + t) ∈ U (Z⊕ R).

Đặt x = u + t Khi đó, (−1, x) ∈ U (Z⊕ R)hoặc (1, −x) ∈ U (Z⊕ R) Suy ratồn tại (1, −y) ∈ Z⊕ R thỏa mãn (1, −x)(1, −y) = (1, 0) = (1, −y)(1, −x).

Ta có x ◦ y = 0 = y ◦ x nên x ∈ U◦(R) Vì 1 − x ∈ U (R) nên x − 1 =

u + t − 1 ∈ U (R) Suy ra u + t − 1 = (u − 1) + t ∈ U (R) với mọi t ∈ U (R).Điều đó nghĩa là u − 1 ∈ ∆(R), vì vậy u ∈ 1 + ∆(R)

(2) ⇒ (1) Giả sử R là∆U-vành Ta chỉ ra rằng mở rộng Dorroh Z⊕ R

là ∆U-vành, nghĩa là U (Z⊕ R) = 1 + ∆(Z⊕ R) Lấy ω ∈ U (Z⊕ R) Khi

đó, ω có dạng ω = (1, a) hoặc ω = (−1, b) với a, b ∈ R

Trường hợp 1 ω = (1, a) ∈ U (Z⊕ R): Lấy x = −a, khi đó tồn tại

(1, −y) của Z⊕ R thỏa mãn (1, −x)(1, −y) = (1, 0) = (1, −y)(1, −x) Điềunày có nghĩa làx◦y = 0 = y ◦xhoặcx ∈ U◦(R), do đó1+a = 1−x ∈ U (R)

TừRlà∆U-vành,1+a ∈ 1+∆(R) Vì vậya ∈ ∆(R)hoặca+U (R) ⊆ U (R).Tiếp theo ta chứng minh (1, a) ∈ 1 + ∆(Z⊕ R), nghĩa là ta chứng minh

(0, a) + U (Z⊕ R) ⊆ U (Z⊕ R).

Với mỗi α ∈ U (Z⊕ R), α có dạng (1, u) hoặc (−1, v) với u, v ∈ R Nếu

α = (1, u), khi đó từ chứng minh của ω ta có 1 + u ∈ U (R) Từa + U (R) ⊆

U (R), ta lấy a + 1 + u ∈ U (R), vì vậy −(a + u) ∈ U◦(R) Lấy b ∈ R với

(−(a + u)) ◦ b = 0 = b ◦ (−(a + u)) Đặtc = −(a + u) Khi đó c ◦ b = b ◦ c và

có(0, a) + α = (−1, a + v) ∈ U (Z⊕ R) Do đó,(0, a) + U (Z⊕ R) ⊆ U (Z⊕ R)

1

Cho C là vành con của vành D, tập hợp

R[D, C] := {(d1, , dn, c, c ) : di∈ D, c ∈ C, n ≥ 1},

với phép cộng và phép nhân được định nghĩa theo các thành phần đượcgọi là vành mở rộng đuôi và ký hiệu là R[D, C]

ý thuộc U (D) Khi đó u = (u, 1, 1, 1, ) ∈ U (R[D, C]) ¯ Theo giả thuyết,

¯

u ∈ 1 + ∆(R[D, C]), vì vậy (u − 1, 0, 0, 0, ) + U (R[D, C]) ⊆ U (R[D, C])

Do đó, với mọi v ∈ U (D), khi đó

(u − 1 + v, 1, 1, 1, ) = (u − 1, 0, 0, 0, ) + (v, 1, 1, 1, ) ∈ U (R[D, C]).

Vì vậy u − 1 + v ∈ U (D), nghĩa là u − 1 ∈ ∆(D) hoặc u ∈ 1 + ∆(D)

Để chỉ raClà∆U-vành, ta lấyv ∈ U (C)thỏa mãnv = (1, , 1, v, v, ) ∈ ¯

U (R[D, C]) và chứng minh trên

(⇐:) Giả sử D và C là ∆U-vành Lấy u = (u ¯ 1, u2, , un, v, v, ) ∈

U (R[D, C]), trong đó ui ∈ U (D) với 1 ≤ i ≤ n và v ∈ U (C) ⊆ U (D) Tachỉ ra rằng u ∈ ∆(R[D, C]) ¯ hoặc u − 1 + U (R[D, C]) ⊆ U (R[D, C]) ¯ Thậtvậy, tất cả ¯ a ∈ (a 1 , a 2 , , a m , b, b, ) ∈ U (R[D, C]) trong đó a i ∈ U (D),

1 ≤ i ≤ m và b ∈ U (C) ⊆ U (D) Lấy k = max{m, n} Khi đó, ta có

11 Xấp xỉ bởi tích chập trong Lp

Ta thấy rằng, cho f ∈ Lp(Ω) với 1 ≤ p < ∞, tồn tại (fh)h ⊂ C0c(Ω) saocho fh → f trong Lp(Ω) Ta sẽ chứng minh tính xấp xỉ này, tìm kiếmxấp xỉ theo các hàm chính quy Chính xác hơn

Câu hỏi:

(i) Có tồn tại (fh)h ⊂C1c sao cho fh→ f trên Lp(Ω)?

Lp(Ω)?

Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai rất có ý nghĩa trong xấp xỉ số

Định nghĩa 19 (Friedrichs’ mollifiers) Một dãy của mollifiers là mộtdãy các hàm ϱh :Rn →R, (h = 1, 2, ) sao cho, với mỗi h,

Ví dụ về mollifiers: Khá đơn giản để xây dựng một dãy mollifiers,

Chú ý: Nếu A, B ⊂Rn, A ± B ký hiệu là tập

A ± B := {a ± b : a ∈ A, b ∈ B}

Bài tập 3 Chứng minh rằng

(i) Nếu A compact và B đóng, khi đó A + B đóng;

(ii) nếu A và B là compact vì là A + B

L1loc(Rn) và (ϱh)h là dãy mollifiers Định nghĩa, cho h ∈N và x ∈Rn,

(i) Hàm fh :Rn →R is well defined;

(ii) fh(x) = (ϱh∗ f )(x) = (f ∗ ϱh)(x) với mọi x ∈Rn và h ∈N;

(iii) fh(x) ∈C0(Rn) với mỗi h

Hàm fh được gọi là mollifiers thứ h của f

Chứng minh Để đơn giản, ta ký hiệu ϱh ≡ ϱ (i) Theo (Mo2) và (Mo4),

gx(y) := ϱ(x − y)f (y), y ∈Rn

là khả tích trên Rn, vì vậy nó xác định tích phân

(ii) bằng cách thay đổi các biến

|ϱ(xr− y) − ϱ(x − y)| ≤ LχK(y)|xr− x|, ∀y ∈Rn, ∀r ∈N.

Vì vậy ta được

|ϱ(xr− y)ϱ(x − y)||f (y)| ≤ LχK(y)|f (y)||xr− x|, ∀y ∈Rn, ∀r ∈N (8)

Từ (54), (55) và định lý tính hội tụ bị trội, theo (53)

Nhận xét 5 Ký hiệu ∗ là tích chập của hai hàm trên không gian Rn.Lưu ý, các kết quả của mệnh đề 30 và giữ nếu f ∈ L1loc(Rn) và ϱ ≡ ϱh ∈

C0(Rn)thỏa (Mo2) Trên thực tế, có thể xác định tích chập giữa hai hàm

Định lý 14 (Friedrichs - Sobolev, Xấp xỉ theo tích chập trong Lp) Cho

f ∈ L1loc(Rn) và (ϱh)h là dãy mollifiers Khi đó

(i) f ∗ ϱh ∈ C∞(Rn) với mỗi h ∈ N.

(ii) ∥f ∗ϱ∥Lp (R n ) ≤ ∥f ∥Lp (R n ) với mỗih ∈N, f ∈ Lp(Rn)với mọip ∈ [1, ∞].

(iii) spt(f ∗ ϱ) ⊂spte(f ) + B(0, 1/h) với mỗi h ∈N.

(iv) Nếu f ∈ Lp(Rn) với 1 ≤ p ≤ ∞, khi đó f ∗ ϱh∈ C∞(Rn) ∩ Lp(Rn) vớimỗi h ∈N, và f ∗ ϱh→ f khi h → ∞, trong Lp(Rn), biết 1 ≤ p < ∞.Kết quả này cho ta hai kết quả quan trọng

Định lý 15 (Bổ đề cơ bản của tính toán các biến) Cho Ω ⊂Rn là tập

mở và cho f ∈ L1loc(Ω) Giả sử

Z

Ω

f φdx = 0, ∀φ ∈ Cc∞(Ω) (∗)

Khi đó f = 0 hầu khắp nơi trong Ω

Chứng minh Chứng minh điều kiện đủ

Z

K

|f |dx = 0 với mỗi tập compact K ∈ Ω. (9)Thật vậy, theo (57), suy ra

f = 0 hầu khắp nơi trong K, với mỗi tập compact K ∈ Ω.

Ta có được kết luận Ta chứng minh (57)

Cho tập compact K ∈ Ω, định nghĩa g :Rn →R bởi

với mỗi h > h Do đó, theo định lý 38 (i), (ii),

Mặt khác, từ định lý 37 (iv) và (??), ta giả sử, một dãy con tăng,gh → g

hầu khắp nơi trong Rn Do đó,

Định lý 16 (Xấp xỉ theo các hàm C∞ trong Lp) Cho Ω ⊂ Rn là tập

mở Khi đó C∞c (Ω) là trù mật trong Lp(Ω), ∥.∥Lp, biết 1 ≤ p < ∞

Chứng minh Cho f ∈ Lp(Ω), định nghĩa ef : Rn →R bởi

rh ≥ h và B(0, 1/rh) + Ωh⊂ Ω. (12)Định nghĩa

fh(x) := (ϱ r ∗ gh)(x), x ∈Rn, h ∈N,

để đơn giản, giả sử rằng rh = h. Khi đó, theo định lý 37 (i), (ii) (59),(60), fh ∈C∞c (Ω) và

Khi đó theo (61), ta có điều phải chứng minh

12 Định lý sự tồn tại và duy nhất cho hệ thống tuyến tính

Định lý 17 (Định lý sự tồn tại và duy nhất cho hệ thống tuyến tính).Cho I là một đoạn thực bất kỳ và giả sử rằng A ∈ C(I, M n (F )), B ∈ C(I, Fn) Cho mọi τ ∈ I, ξ ∈ Fn tồn tại một giải pháp duy nhất X của(IV P) trên đoạn I

Chứng minh Cho bất kỳ t ∈ I, giả sử J = [c; d] là bất kỳ đoạn con bịchặn của I sao cho τ, π ∈ J, Bởi định lý 7.3 tồn tại một hàm Xj khácbiệt duy nhất trên đoạn con [a, b] sao cho

XJt(s) = A(s)XJ(s) + B(s), XJ(τ ) = ξ, s ∈ J

Định nghĩa X(t) = Xj(t) Nếu ta chọn bất kỳ J1 = [c1, c2] ⊂ I sao cho

τ, t ∈ J1, khi đó J1∩ J là một đoạn con bị chặn chứa τ, t và kết quả duynhất áp dụng cho đoạn này cho thấy rằng XJ1(s) = XJ(s), s ∈ J1∩ J

Đặc biệt, XJ1(t) = XJ(t) Để định nghĩa của chúng ta vềX(t) không phụthuộc vào J được chọn Vì X có tính khả vi trên [a, b] và thỏa mãn

X′(t) = A(t)X(t) + B(t), X(τ ) = ξ, t ∈ I