Một số lỗi sai lầm khi học sinh vận dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong giải toán chương i – đại số 7

Bản thân là giáo viên, lại là người trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán 7, tôi thật sự trăn trở về việc: Làm thế nào để học sinh hứng thú học tập, nắm kĩ kiến thức và giải được các dạng của

MỤC LỤC

MỘT SỐ LỖI SAI LẦM KHI HỌC SINH VẬN DỤNG TÍNH CHẤT DÃY

TỈ SỐ BẰNG NHAU TRONG GIẢI TOÁN.

ÁP DỤNG: CHƯƠNG I – ĐẠI SỐ 7

A PHẦN MỞ ĐẦU:

1 LÝ DO CHỌN ĐỀ TÀI:

Nắm kiến thức, áp dụng vào bài tập và vận dụng kiến thức đã học vào thực tế là những yếu tố quan trọng nhằm phục vụ cho cuộc sống, cũng như công việc của bản thân Một bộ môn mà ứng dụng trong thực tế nhiều, nó giúp cho con người khỏi sự lạc hậu, nhầm lẫn, giúp cho các công trình kiến trúc thành công, là nền tảng cho sự chứng minh thực tiễn của bộ môn triết học, cũng như nhiều chuyên ngành khác Đó là bộ môn toán học Đặc biệt là môn đại số

Đại số là một mảng kiến thức hay và quan trọng trong chương trình toán trung học

cơ sở, nó có thể soi sáng các kiến thức toán học trung học cơ sở cũng như các môn khoa học khác

Trong quá trình giảng dạy bộ môn Toán tôi thấy phần kiến thức về “tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau” là hết sức cơ bản trong chương trình Đại số lớp 7 Từ một tỉ lệ thức ta có thể chuyển thành một đẳng thức giữa 2 tích, trong một tỉ lệ thức nếu biết được

3 số hạng ta có thể tính được số hạng thứ tư Trong chương II đại số 7, khi học về “Đại lượng tỉ lệ thuận, tỉ lệ nghịch” ta thấy tỉ lệ thức là một phương tiện quan trọng giúp ta giải toán Trong phân môn Hình học, để học được định lý Talet (Chương “Tam giác đồng dạng” - Hình học lớp 8) thì không thể thiếu kiến thức về tỉ lệ thức Mặt khác khi học tỉ lệ thức và tính chất của dãy tỉ số bằng nhau còn rèn tư duy cho học sinh có khả năng khai thác bài toán, lập ra bài toán mới

Bản thân là giáo viên, lại là người trực tiếp giảng dạy bộ môn Toán 7, tôi thật sự trăn

trở về việc: Làm thế nào để học sinh hứng thú học tập, nắm kĩ kiến thức và giải được các dạng của bài toán tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau nhưng cần tránh những sai lầm khi làm bài tập về dạng toán này

Toán 7, tôi mạnh dạn chọn đề tài: "Một số lỗi sai lầm khi học sinh vận dụng tính

chấy dãy tỉ số bằng nhau trong giải toán" Trong đề tài này tôi đưa ra một số lỗi mà

học sinh hay mắc phải khi làm bài tập về tỉ lệ thức và dãy tỷ số bằng nhau trong Đại số lớp 7, hy vọng có thể giúp bản thân hiểu sâu kiến thức, để đồng nghiệp cùng thảo luận

và đóng góp ý kiến

2 ĐỐI TƯỢNG NGHIÊN CỨU:

- Phương pháp giúp học sinh lưu ý khi học lý thuyết và khai thác bài toán

- Một số cách giúp học sinh nhìn thấy các lỗi sai lầm khi làm toán

- Khả năng vận dụng tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ số bằng nhau trong giải toán của học sinh lớp 7 trường trung học cơ sở Nguyễn Sinh Sắc – Thành phố KonTum – Tỉnh KonTum

3 ĐỐI TƯỢNG KHẢO SÁT, THỰC NGHIỆM:

Học sinh ba lớp 7A, 7C, 7G trường trung học cơ sở Nguyễn Sinh Sắc – Thành phố KonTum – Tỉnh KonTum

4 PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:

- Phương pháp nghiên cứu tài liệu

- Phương pháp trao đổi, học tập kinh nghiệm của đồng nghiệp

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp điều tra, thống kê

- Phương pháp suy luận logic

- Phương pháp tổng hợp, đánh giá

5 PHẠM VI VÀ KẾ HOẠCH NGHIÊN CỨU:

- Phạm vi nghiên cứu: Khai thác từ một số bài tập cơ bản trong sách giáo khoa Toán 7 tập 1, sách Luyện giải và ôn tập toán 7, sách Kiến thức cơ bản và Nâng cao toán

7 …

- Kế hoạch nghiên cứu:

+ Khảo sát chất lượng ban đầu: Từ 20/8/2017 đến 25/8/2017

+ Tiến hành vận dụng sáng kiến kinh nghiệm: Từ 01/9/2017 đến 30/10/2017

+ Khảo sát kết quả sau khi vận dụng sáng kiến kinh nghiệm: 30/10/2017 đến 05/11/2018

+ Hoàn thành báo cáo sáng kiến kinh nghiệm 30/12/2017

B NỘI DUNG:

1 THỰC TRẠNG VẤN ĐỀ:

Trong những tuần đầu học sinh thường thụ động ít giơ tay phát biểu, một số học sinh sợ phát biểu sai nên ngại (Một số học sinh thường xuyên giơ tay, chỉ rơi vào một số học sinh khá giỏi), bài tập giáo viên giao về thì học sinh làm chưa đúng, chưa chính xác, thường mắc sai lầm do không nắm vững các kiến thức đã học, một số em không biết cách làm nên lên lớp tranh thủ mượn vở của bạn chép để đối phó vì sợ làm sai, một số

em chép trong sách giải bài tập

sinh vẫn thấy khó khăn và không biết học làm sao để học cho hiểu, cho nhớ lâu và tránh những lỗi sai cơ bản khi làm bài tập Còn nhiều em lười học học chủ quan; không cần học lý thuyết mà vẫn làm bài tập, dẫn tới lý thuyết nắm chưa vững, chưa sâu dẫn đến làm bài tập không chính xác, hay mắc sai lầm trong cách giải trong dấu “+”, “-“, “=” và

“=>”

1.1 CƠ SỞ LÝ LUẬN:

1.1.1 Định nghĩa, tính chất của tỉ lệ thức

Các số hạng a và d gọi là ngoại tỉ, b và d gọi là trung tỉ

b) Tính chất:

Tính chất 1: Nếu thì ad = bc

Tính chất 2 (tính chất hoán vị):

Nếu ad = bc và a, b, c, d khác 0 thì ta có các tỉ lệ thức

1.1.2 Tính chất của dãy tỉ số bằng nhau:

- Tính chất mở rộng: từ dãy tỉ số bằng nhau

1.1.3 Chú ý:

viết a : b : c = 2 : 3 : 5

- Vì tỉ lệ thức là một đẳng thức nên nó có tính chất của đẳng thức, từ tỉ lệ thức suy ra

hay

BỔ SUNG: Các kiến thức có liên quan.

- Tính chất cơ bản của phân số:

Nếu ta nhân cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta đợc một phân

- Nếu ta chia cả tử số và mẫu số với cùng một số khác 0 thì ta đợc một

- Một số tính chất khác của đẳng thức:

A = B => A.B = A2 = B2

1.2 CƠ SỞ THỰC TIỄN:

Các chuyên đề hay sáng kiến kinh nghiệm về tỉ lệ thức và tính chất dãy tỉ

số bằng nhau được rất nhiều giáo viên vận dụng vào dạy học từ lý thuyết đến vận dụng vào các dạng bài tập nhưng ít giáo viên đưa ra các giải pháp hướng dẫn học sinh tránh mắc sai lầm khi giải dạng toán này Đây cũng là yếu tố và động lực để tôi mạnh dạn đưa

ra các biện pháp thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này

2 CÁC BIỆN PHÁP THỰC HIỆN:

2.1 Sai lầm thứ 1: Một số học sinh không thuộc lý thuyết nên dễ dẫn đến sự

nhẫm lẫn giữa dấu “=” và dấu “+”

Để giải một bài toán về áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau

Các em lại có sự nhầm lẫn :

Học sinh chưa coi trọng việc học, số lựơng bài tập về nhà nhiều nên việc chuẩn bị bài mới của các em hầu như mờ nhạt, thậm chí có những em không biết buổi học này, tiết học này học bài gì? Một số em học sinh yếu, học sinh dân tộc thiểu số thì đem không đúng môn học hoặc thiếu vở bài tập

Bài 1: Tìm x, y biết: và ;

(Trích: Bài 54, 55 - trang 30 SGK ) Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:

Khi dùng tính chất1 hoặc tính chất 2 học sinh chỉ nhân trên tử hoặc dưới mẫu

Chẳng hạn ở ví dụ 1ª học sinh trình bày:

Giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có:

Bài 2: Tìm x và y biết: Tìm x, y biết: và ;

Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:

Dạng này học sinh rất dễ nhầm lẫn, đặc biệt trong việc đặt dấu “-“ hoặc dấu (+)

nên giáo viên cần cũng cố nhắc cho học sinh hiểu: nếu trên tử mang dấu “-“ hay “+” thì

*Giáo viên cần lưu ý khi dạy:

- Học sinh cần nắm được tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau

- Đưa ra những dạng bài tập cơ bản ỏp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau cho học sinh quan sỏt, tớnh toỏn sau đú mới tăng dần mức độ bài tập

2.2 Sai lầm thứ 2 : Sai lầm khi sử dụng dấu “=” và dấu “=>”

Bài 1: Tỡm cỏc số x; y biết: và ;

- Lỗi sai phần lớn là do trỡnh bày:

=> x = 2.2 = 4; y = 3.2 = 6

- Bài làm đỳng: Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú:

=> x = 2.2 = 4; y = 2.3=6

Bài 2: Hóy tỡm x, y, z biết và x + y + z = 12

- Ở đõy cỏc em dựng dấu “=>” là sai mà cỏc em phải dựng dấu ‘’=’’ dẫn đến cỏch

- Bài làm đỳng: Áp dụng tớnh chất dóy tỉ số bằng nhau ta cú:

vậy

Bài 3: Tỡm x, y biết: và x 2 +y 2 = 29

Sai lầm ở lỗi biến đổi:

Cỏch giải sai: Ta cú:

Sai lầm là dấu “=” tại (1)

Cỏch giải đỳng : Chỉ cần thay dấu “=” bởi dấu “=>” tại (1)

Phõn tớch: Đến đây học sinh thấy ở phần dữ kiện bài toán có xuất hiện luỹ thừa của các biến Vậy phải biến đổi dãy tỉ số trên nh thế nào để sử dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau?

Gợi ý: Vì ở điều kiện bài cho có luỹ thừa bậc hai của cả x và y nên

để xuất hiện hai luỹ thừa này ta có thể bình phương các tỉ số của dãy tỉ số đã cho lên

Giải:

Cách 1.Ta có:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

Cách 2 : Đặt =k => x=2k, y=5k

a) Ta có:

¸p dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau:

Bài 4: Cho chứng minh rằng

Sai lầm ở lỗi biến đổi:

Sai lầm là các dấu ‘’=’’ tại (1) và (2)

Cách giải đùng   : Các dấu bằng tại (1) và (2) thay bằng dấu ‘’=>’’

Giải:

(2)

Từ (1) và (2) suy ra

Lưu ý giáo viên khi dạy cần:

- Học sinh cần nắm vững các tính chất dãy tỉ số bằng nhau

- Dạng toán này chỉ việc áp dụng công thức là giải được nên dạng này học sinh không gặp khó khăn khi giải Do đó dạng này dùng cho mọi học sinh, nhưng chủ yếu là cũng cố kiến thức cho đối tượng học sinh trung bình, yếu sâu để học sinh tránh gặp sai lầm khi giải toán và nắm rõ khi nào thì sử dụng dấu “=” và khi nào thì sử dụng dấu

“=>”

- Tính chất tổng hoặc hiệu của tỉ lệ thức:

(giả thiết các tỉ số có nghĩa) Nhận xét:

+ Đây là một tính chất có nhiều ứng dụng khi giải toán tỉ lệ vì vậy giáo viên cần cho học sinh ghi nhớ và vận dụng để giải toán.

+ Tính chất trên có nhiều cách giải, giáo viên cần hướng dẫn học sinh giải và hiểu rõ tính chất này trước khi áp dụng để giải các bài toán khác

2.3 Sai lầm thứ 3: Một sai lầm khá phổ biến đối với học sinh từ ax = by suy

ra

Bài 1: Tìm x, y biết: và

(Trích BT45: Sách Luyện giải và ôn tập toán 7 - Vũ Dương Thụy)

số bằng nhau kết quả sẽ sai

Hướng dẫn : Bài này học sinh cần biết dùng tính chất của tỉ lệ thức để đưa về tính chất dãy tỉ số bằng nhau một cách hợp lí

Giải:

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

Vậy : x=21 , y =15

Hướng dẫn hs giải tiếp như bài 1b ta được: x = 2, y = -3

Lưu ý khi giảng dạy:

- Bài tập đòi hỏi học sinh phải có kiến thức thực sự mới biến đổi được, tức là phù hợp với đối tượng học sinh khá trở lên Tùy mức độ tiếp nhận kiến thức để giáo viên ra bài cho phù hợp

- Dạng toán này kích thích khả năng hứng thú cho đối tượng học sinh khá, giỏi

2.4 Sai lầm thứ 4: Khi dùng tính chất 1 hoặc tính chất 2 học sinh chỉ nhân trên tử hoặc dưới mẫu.

Bài 1: Tìm x, y biết: và ;

Phân tích sai lầm học sinh mắc phải:

Khi dùng tính chất1 hoặc tính chất 2 học sinh chỉ nhân trên tử hoặc dưới mẫu Chẳng hạn ở ví dụ học sinh trình bày:

Gợi ý cách giải: Vì bài cho điều kiện x+2y =39 như vậy muốn sử dụng dữ kiện

này thì từ dãy tỉ số ta phải biến đổi sao cho xuất hiện tỉ số mới bằng tỉ số đã cho trong đó các số hạng trên tử của nó có dạng x và 2y, có thể gợi ý cho học sinh dùng tính

Giải

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta được:

Vậy x=9, y=15

Lưu ý khi giảng dạy dạng toán này:

Khi giải bài tập dạng này giáo viên cần khắc sâu tính chất cơ bản của tỉ số (các

em quen thuộc khi giải toán phân số) và tính chất chia tỉ lệ đó là:

1)

2)

3) Khi cho a, b, c tỉ lệ với x, y, z =>

- Ở dạng này đối với học sinh trung bình, yếu cũng đã gặp khó khăn nên giáo viên cần phân tích và giảng giải tỉ mỉ để các em hiểu được bản chất của bài toán

2.5 Sai lầm thứ 5: Sai lầm khi học sinh ngộ nhận tính chất dãy tỉ số bằng nhau còn dùng cho cả phép nhân.

Học sinh áp dụng hay

Nên giáo viên cần nhắc nhở tính chất đó là không đúng VD:

Bài 1: Tìm x, y biết: và xy =15 (Trích: SBT Toán 7)

Nên giáo viên cần nhắc nhở tính chất đó là không đúng VD:

Cách giải đúng:

Cách 1: Đặt = k => x = 3k, y = 5k => 3k.5k = 15 => k2 = 1 => k =

Cách 2: Áp dụng tính chất A = B => AB = A2 = B2 ta có:

như trên

Bài 2: Tìm x, y, z biết rằng: và xyz = 810

(Trích: Sách Kiến thức cơ bản và Nâng cao toán 7 - Nguyễn Ngọc Đạm)

Học sinh thường sai lầm:

Suy ra a = 54, b = 81, c = 108

Cách giải đúng:

Cách 1 Nghĩ đến tính chất: A = B = C => ABC = A3 = B3 = C3

Ta có :

mà và

Giáo viên cần lưu ý khi dạy:

Khi giải bài tập dạng này giáo viên cần khắc sâu các tính chất sau:

1) A = B => AB = A2 = B2

2) A = B = C => ABC = A3 = B3 = C3

2.6 Sai lầm thứ 6: Khi bỏ qua điều kiện khác 0 hoặc bằng 0

Khi rút gọn học sinh thường bỏ qua điều kiện số chia khác 0 dẫn đến thiếu giá trị cần tìm

Bài 1: So sánh các số a, b, c biết

Phần lớn các em cho lời giải

=>

Nhưng đây là một sai lầm, trong khi chưa khẳng định được a + b + c 0

Bài 2: Cho 3 tỉ số bằng nhau là Tìm giá trị của mỗi tỉ số đó.

Cách 1: Ta có

Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau ta có

làm như sau:

+ Nếu a + b + c = 0 thì b + c = -a; c + a = -b; a + b = -c

Cách 2: Cộng mỗi tỉ số trên với 1

Bài 3: Tìm x, y biết: (1)

(Trích tại chuyên mục “sai ở đâu sửa cho đúng” – Báo toán học tuổi thơ 2)

Cách giải sai:

Thay x = 2 vào hai tỉ số đầu cho ta y = 3

Vậy x = 2; y = 3

Phân tích sai lầm:

Cách giải trên chưa xét đến khả năng cả 2x + 1 và 3y - 2 cùng bằng 0

Cách giải đúng:

Xét hai trường hợp:

Trường hợp1: Nếu 2x + 1 và 3y - 2 cùng khác 0, Khi đó giải như trên cho kết quả x = 2, y = 3

Bài 4: Cho biểu thức

Tính giá trị của P biết rằng

Giải:

Cách 1: Áp dụng tính chất của dãy tỉ số bằng nhau, ta có

Cách 2: Từ (1) suy ra

* Cách 1 học sinh mắc sai lầm như bài tập 3

* Cách 2 học sinh mắc sai lầm nên suy ra y + z + t = z + t + x = x + y + t = x+y+z

Làm đúng như sau:

Nếu x + y + z + t suy ra y + z + t = z + t + x = x + y + t = x + y + z

suy ra x = y = z = t suy ra P =4

Nếu x + y + z + t = 0 x + y = -(z+t); y + z = -(t + x) Khi đó P = -4

Bµi 5: T×m x, y biÕt:

Từ (1) và (2) ta suy ra (3)

6x = 12 x = 2 Thay x = 2 vào 2 tỷ số đầu ta đợc y = 3

Thử lại thấy thoả mãn Vậy x = 2 và y = 3 là các giá trị cần tìm Theo các bạn có nhận xét gì về lời giải của học sinh trên?

* Nhận xét: Bài giải của học sinh trên sai nh sau

giải tiếp nh trên

Trờng hợp 2: 2x + 3y - 1 = 0 Suy ra 2x = 1-3y, thay vào hai tỉ số

đầu,

ta có:

Bài 6: Tìm x, y biết:

Giải tơng tự nh bài tập 5 nhng bài này chỉ có một trờng hợp

2.7 Sai lầm th ứ 7: Khi xột lũy thừa bậc chẵn

Bài 1: Tìm x biết

Giải:

Học sinh thờng sai lầm khi suy ra x-1=30 suy ra x=31

Mà học sinh phải suy ra 2 trờng hợp x-1 = 30 hoặc x-1 = -30 từ đó suy ra x = 31 hoặc -29

Bài 2: Tìm các số x, y, z biết rằng biết rằng

G

iải :

Học sinh thờng mắc sai lầm suy ra k = 3, mà phải suy ra

3 KẾT QUẢ THỰC HIỆN:

Trên đây là một vài kinh nghiệm của bản thân tôi đã mạnh dạn đưa ra và vận dụng vào các buổi giảng dạy trên lớp Tôi giảng dạy chuyên đề này cho các đối tượng học sinh, tôi thấy đa số các em tiếp thu nội dung trong chuyên đề một cách dề dàng, các

em rất hứng thu khi tự mình có thể giải các bài toán mà những lỗi sai lầm đã giảm ít lần

Để minh chứng cho sáng kiến kinh nghiệm của tôi, tôi đã so sánh kết quả của một bài khảo sát 15 phút và kết quả khảo sát chất lượng đầu năm do nhà trường tổ chức Cụ thể như sau:

KIỂM TRA 15 PHÚT

Bài 1 (5 điểm) Tìm hai số biết tổng của chúng bằng 21 và tỉ số của chúng bằng

Hướng dẫn:

Bài 1: Gọi hai số cần tìm là x, y (ĐK x, y N)

Áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau ta có :

Bài 2: Tìm x, y biết: và xy = 20

Áp dụng tính chất A = B => AB =A2 = B2 ta có:

Với x2 = 16 => x = 4 hoặc x = -4 Với y2 = 25 => y = 5 hoặc y = -5

Năm học 2017 - 2018, tôi được phân công giảng dạy bộ môn Toán tại trường THCS Nguyễn Sinh sắc ở ba lớp 7A, 7C, 7G

Tuy chỉ mới dừng lại ở những bài tập đơn giản, những bài tập mang tính áp dụng cùng với những sai lầm mà học sinh hay mắc phải khi giải các bài toán áp dụng tính chất dãy tỉ số bằng nhau, bước đầu bản thân tôi nhận thấy kết quả đạt cũng khá cao Đó cũng

đã phản ánh phần nào hướng đi đúng khi tôi thực hiện sáng kiến kinh nghiệm này

Kết quả cụ thể khi khảo sát 15 phút ở học sinh như sau: