Biến Ngẫu Nhiên, Xác Suất, Luật Số Lớn, Không Gian Banach, Lý Thuyết Xác Suất..pdf

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ VĂN DŨNG MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH p KHẢ TRƠN LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội 20[.]

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

Lê Văn Dũng

MỘT SỐ DẠNG LUẬT SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU

NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH

p-KHẢ TRƠN

Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất và thống kê toán học

Mã số: 62 46 15 01

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

GS TSKH Nguyễn Duy Tiến

Hà Nội - 2013

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi Các kếtquả nêu trong luận án là trung thực và chưa từng được ai công bố trong

bất kì công trình nào khác

Tác giả

Lê Văn Dũng

LỜI CẢM ƠN

Luận án được hoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS TSKH NguyễnDuy Tiến Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc nhất tới Thầy vì sự định

hướng và sự gợi mở vấn đề của Thầy trong nghiên cứu, sự nghiêm khắc

của Thầy trong học tập và vì tình thương của Thầy dành cho tác giả trong

cuộc sống

Trong quá trình học tập và hoàn thành luận án, tác giả đã nhận được sựquan tâm giúp đỡ và góp ý của GS.TS Nguyễn Hữu Dư, GS TS Nguyễn

Văn Hữu, TS Nguyễn Văn Hùng, TS Nguyễn Hắc Hải, PGS TS Hồ

Đăng Phúc, PGS TS Phạm Ngọc Phúc, PGS TS Nguyễn Văn Quảng,

PGS.TS Trần Hùng Thao, GS TSKH Đặng Hùng Thắng, PGS TS Phan

Viết Thư, TS Lê Văn Thành, Tác giả xin chân thành cảm ơn tới quý

thầy và bạn Lê Văn Thành về sự giúp đỡ quý báu đó

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Khoa Toán - Cơ - Tin học, Phòng Sauđại học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà Nội,

nơi tác giả đã học tập và nghiên cứu từ năm 2008 tới nay

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Thầy, Cô ở Bộ môn Lý thuyết xác suất

và thống kê toán, Khoa Toán - Cơ - Tin học đã giúp đỡ tác giả rất nhiều

trong quá trình học tập và hoàn thành luận án

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới Trường Đại học Sư phạm - Đại học ĐàNẵng, các đồng nghiệp Khoa Toán - Trường Đại học Sư phạm, nơi tác giả

đang công tác và giảng dạy

Tác giả xin gửi lời cảm ơn tới tất cả thầy cô, gia đình và bạn bè đã góp

ý, ủng hộ và động viên tác giả trong quá trình học tập và hoàn thành luận

án

Lê Văn Dũng

MỤC LỤC

1.1 Kì vọng có điều kiện 9

1.2 Một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên 10

1.3 Không gian Banach p-khả trơn 13

Chương 2 Luật mạnh số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 18 2.1 Chuỗi kép các biến ngẫu nhiên 2 chỉ số 18

2.2 Luật mạnh số lớn 32

Chương 3 Hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên 44 3.1 Khả tích đều 44

3.2 Định lí hội tụ theo trung bình 48

3.3 Luật yếu số lớn Feller 53

3.4 Luật yếu số lớn đối với mảng khả tích đều 62

Danh mục các công trình khoa học của tác giả liên quan đến

NHỮNG KÍ HIỆU DÙNG TRONG LUẬN ÁN

N Tập hợp các số nguyên dương

E Không gian Banach thực và khả ly

B(E) σ-đại số Borel trên không gian Banach E

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

1.1 Kolmogorov đã từng nói "Giá trị chấp nhận được của lý thuyết xác

suất là các định lí giới hạn, các kết quả chủ yếu nhất và quan trọng nhất

của lý thuyết xác suất là các luật số lớn", và luật số lớn được đánh giá là

một trong ba viên ngọc quý của lý thuyết xác suất Ngày nay, luật số lớn

vẫn đang là vấn đề có tính thời sự của lý thuyết xác suất

1.2 Từ những năm 1950 trở lại đây, luật số lớn đã được nghiên cứu mở

rộng cho dãy biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach Ngày

nay vấn đề này vẫn đang được tiếp tục nghiên cứu

1.3 Luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên martingale nhận giá trị trong

không gian Banach đã được nghiên cứu bởi nhiều tác giả có tên tuổi Tuy

nhiên việc mở rộng khái niệm martingale cho mảng nhiều chỉ số gặp khó

khăn nên các định lí giới hạn đối với mảng nhiều chỉ số các biến ngẫu

nhiên không độc lập vẫn chưa được nghiên cứu nhiều

Với các lí do trên chúng tôi quyết định chọn đề tài nghiên cứu cho luận

án của mình là: Một số dạng luật số lớn cho mảng biến ngẫu nhiên

nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn

2 Mục đích nghiên cứu

Luận án nghiên cứu sự hội tụ của chuỗi kép, luật mạnh số lớn mogorov và luật mạnh số lớn Marcinkiewicz - Zygmund đối với mảng biến

Kol-ngẫu nhiên, hội tụ theo trung bình bậc p, luật yếu số lớn Feller và luật

yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên dưới điều kiện khả tích đều

3 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong khônggian Banach

4 Phạm vi nghiên cứu

Luận án nghiên cứu luật số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giátrị trong không gian Banach

5 Phương pháp nghiên cứu

Chúng tôi sử dụng các kĩ thuật của giải tích và xác suất, kĩ thuậtmartingale để chứng minh các định lí hội tụ Một số bổ đề quan trọng như:

Bổ đề Borel-Cantelli, Bổ đề Toeplitz và Bất đẳng thức cực đại Kolmogorov,

Bất đẳng thức Doob, cũng được sử dụng để chứng minh các kết quả

6 Ý nghĩa khoa học và thực tiễn

Ý nghĩa khoa học: góp phần làm phong phú thêm các kết quả và sựhiểu biết về sự hội tụ của chuỗi, luật mạnh số lớn, hội tụ theo trung bình

và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không

gian Banach

Ý nghĩa thực tiễn: luận án góp phần phát triển lý thuyết về các định lígiới hạn của mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

trong lý thuyết xác suất

7 Tổng quan và cấu trúc luận án

7.1 Tổng quan luận án Các định lí giới hạn trong lý thuyết xác suất

nói chung và luật số lớn nói riêng đóng vai trò quan trọng trong phát

triển lý thuyết và thực hành xác suất và thống kê Luật số lớn đầu tiên

của James Bernoulli được công bố năm 1713 Về sau, kết quả này được

Poisson, Chebyshev, Markov, Liapunov mở rộng Tuy nhiên, phải đến năm

1909 luật mạnh số lớn mới được E Borel phát hiện Kết quả này của Borel

được Kolmogorov hoàn thiện vào năm 1926

Luật mạnh số lớn Kolmogorov phát biểu rằng: Nếu {Xn} là dãy cácbiến ngẫu nhiên độc lập với các moment bậc 2 hữu hạn, {bn} là dãy các

hằng số sao cho 0 < bn ↑ ∞ Khi đó, nếu

< ∞

thì

bn → 0 h.c.c.,

trong đó Sn = X1 + X2 + + Xn.

Sau khi Day [10] đưa ra khái niệm không gian Banach p-khả trơn, đã córất nhiều tác giả nghiên cứu luật số lớn đối với dãy biến ngẫu nhiên nhận

giá trị trong không gian Banach p-khả trơn như: Woyczy´nski,

Hoffmann-Jørgensen, Pisier, Assouad [2] đã đưa ra điều kiện cần và đủ để một

không gian Banach thực khả ly là không gian p-khả trơn dựa trên dãy biến

ngẫu nhiên martingale Hoffmann-Jørgensen và Pisier [22] đã đưa ra được

tính chất đặc trưng của không gian p-khả trơn về luật số lớn Kolmogorov

Trong những năm gần đây nhiều tác giả vẫn tiếp tục nghiên cứu các định lí

giới hạn trên không gian p-khả trơn như: Nguyễn Văn Quảng [33, 34, 35],

Volodin, A I.[1], Sung, S H [41, 42], và đã thu được nhiều kết quả

quan trọng

Việc nghiên cứu các định lí hội tụ theo trung bình bậc p cũng là mộthướng để thu được luật yếu số lớn Các tác giả thu được nhiều kết quả về

hội tụ theo trung bình và luật yếu số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên

trong những năm gần đây phải kể đến là Adler, A [1], Cabrera, M O [5],

Chandra, T K [6], Lê Văn Thành [45]

Trong luận án này chúng tôi tiếp tục nghiên cứu luật số lớn đối vớimảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn

Việc mở rộng khái niệm martingale sang mảng nhiều chiều gặp phải khó

khăn trong xây dựng quan hệ thứ tự Mặc dù vậy, cũng đã có một số tác

giả xây dựng khái niệm martingale đối với mảng nhiều chiều Trong luận

án này thay vì xây dựng khái niệm martingale cho mảng 2 chiều, chúng

tôi đã xây dựng mảng σ-đại số ngay trên mảng biến ngẫu nhiên đã cho

để sao cho vẫn thu được bất đẳng thức cực đại đối với mảng nhiều chiều

tương tự bất đẳng thức cực đại trong mảng 1 chiều Vì đây là bất đẳng

thức quan trọng nhất trong thiết lập luật số lớn Việc mở rộng cho trường

trong luận án này chúng tôi chỉ xét cho mảng biến ngẫu nhiên 2 chiều

Các kết quả của luận án đã được báo cáo tại các hội nghị: Hội nghịtoàn quốc lần thứ 4 về Xác suất và thống kê (Vinh, 5/2010), Hội Nghị

Khoa Học Khoa Toán - Cơ - Tin học (trường ĐH Khoa học Tự

nhiên-ĐHQG Hà Nội, 10/2010), và đã được đăng ở các tạp chí: Acta Mathematica

Vietnamica, Statistics and Probability Letters, Lobachevskii Journal of

Mathematics, Bulletin of the Korean Mathematical Society, Journal of the

Korean Mathematical Society

7.2 Cấu trúc luận án Ngoài phần mở đầu, Kết luận, Danh mục các bài

báo của nghiên cứu sinh liên quan đến luận án và tài liệu tham khảo, luận

án được trình bày trong ba chương

Chương 1 trình bày các khái niệm về kì vọng, kì vọng có điều kiện củabiến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach, một số dạng hội

tụ của mảng biến ngẫu nhiên và thiết lập bất đẳng thức cực đại cho mảng

biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Chương 2 thiết lập điều kiện hội tụ đối với chuỗi kép của mảng haichiều các biến ngẫu nhiên Cũng trong Chương 2 chúng tôi không chỉ thiết

lập luật mạnh số lớn mà còn đưa ra được tốc độ hội tụ của luật số lớn đối

với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Chương 3 đưa ra các định lí hội tụ theo trung bình bậc p và luật yếu sốlớn gồm luật yếu số lớn Feller với chỉ số ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên

và thiết lập điều kiện khả tích đều là điều kiện đủ để thu được luật yếu số

lớn đối với tổng kép các biến ngẫu nhiên có chỉ số ngẫu nhiên Chương 3

gồm 4 mục Mục 3.1 trình bày khái niệm khả tích đều, mục 3.2 trình bày

các kết quả về định lí hội tụ trung bình, mục 3.3 và 3.4 trình bày các kết

quả về luật yếu số lớn

CHƯƠNG1KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

Trong chương này chúng tôi trình bày ngắn gọn các khái niệm về kìvọng, kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không

gian Banach, một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên và thiết lập

bất đẳng thức cực đại cho mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không

gian Banach.Trong toàn bộ luận án, các hằng số dương C xuất hiện trong

các công thức toán không nhất thiết phải giống nhau trong mỗi lần xuất

hiện

1.1 Kì vọng có điều kiện

Cho không gian xác suất đầy đủ (Ω, F , P ) và không gian Banach khả

ly thực E, X : Ω → E là biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian

Banach E (gọi tắt là biến ngẫu nhiên E-giá trị) Kì vọng của biến ngẫu

nhiên X được định nghĩa là tích phân Bochner của X (nếu tồn tại) và

được kí hiệu là E(X) hoặc EX

Định nghĩa 1.1.1 (xem [16], trang 179) Cho X : Ω → E là biến ngẫu

nhiên E-giá trị khả tích Bochner và G là một σ-đại số con của F Kì vọng

có điều kiện của biến ngẫu nhiên X đối với σ-đại số G là biến ngẫu nhiên

E-giá trị E(X|G) thỏa mãn 2 điều kiện:

Sự tồn tại của kì vọng có điều kiện của một biến ngẫu nhiên E-giá trịđược chỉ ra trong mệnh đề sau

Mệnh đề 1.1.2 (xem [16], trang 179) Cho X : Ω → E là biến ngẫu nhiên

E-giá trị khả tích Bochner và G là một σ-đại số con của F Khi đó tồn tại

kì vọng có điều kiện E(X|G)

Chú ý rằng biến ngẫu nhiên E-giá trị X khả tích Bochner khi và chỉ khi

của biến ngẫu nhiên E-giá trị có thể xem thêm ở tài liệu [16] và [38]

1.2 Một số dạng hội tụ của mảng biến ngẫu nhiên

Trong mục này sẽ trình bày một số khái niệm về hội tụ hầu chắc chắn,hội tụ theo xác suất và hội tụ theo trung bình bậc p (0 < p < ∞) của

mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị

Định nghĩa 1.2.1

1) Ta nói rằng mảng {xmn} ⊂E hội tụ tới x ∈ E khi m ∨ n → ∞ nếuvới mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n0 sao cho với mọi (m, n) ∈ N2 mà

2) Ta nói rằng mảng {xmn} ⊂E hội tụ tới x ∈ E khi m ∧ n → ∞ nếuvới mọi ε > 0 tồn tại số nguyên dương n0 sao cho với mọi (m, n) ∈ N2 mà

1.2.1 Hội tụ hầu chắc chắn

Định nghĩa 1.2.2

1) Mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị {Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1}xác định trênkhông gian xác suất (Ω, F , P ) được gọi là hội tụ hầu chắc chắn đến biến

ngẫu nhiên E-giá trị X khi m ∨ n → ∞ nếu tồn tại tập biến cố A ∈ F

sao cho P (A) = 0 và limm∨n→∞Xmn(ω) = X(ω) với mọi ω ∈ Ω \ A Khi

cho P (A) = 0 và limm∧n→∞Xmn(ω) = X(ω) với mọi ω ∈ Ω \ A Khi đó,

trị nào đó khi m ∧ n → ∞

Khi đó, ta nói P∞

m=1

P∞ n=1Xmn hội tụ h.c.c

Mệnh đề 1.2.3 Cho{Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1}là mảng biến ngẫu nhiên E-giá

Tương tự mệnh đề trên ta cũng có mệnh đề sau

Mệnh đề 1.2.4 Cho{Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1}là mảng biến ngẫu nhiên E-giá

trị thỏa mãn

lim

m∧n→∞P (sup

k≥m l≥n

với mọi ε > 0 Khi đó Xmn h.c.c.−→ 0 khi m ∧ n → ∞

Chứng minh Với mỗi i ∈ N ta có

T∞ n=1

S∞ k=m

S∞

1) Mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị {Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1}được gọi là hội

tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên E-giá trị X khi m ∨ n → ∞ nếu với

lim

m∨n→∞P (kXmn − Xk > ε) = 0

Khi đó, ta kí hiệu Xmn −→ XP khi m ∨ n → ∞

2) Mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị {Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1}được gọi là hội

tụ theo xác suất đến biến ngẫu nhiên E-giá trị X khi m ∧ n → ∞ nếu với

lim

m∧n→∞P (kXmn − Xk > ε) = 0

Khi đó, ta kí hiệu Xmn −→ XP khi m ∧ n → ∞

Mệnh đề 1.2.6 Cho mảng biến ngẫu nhiên {Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1} Nếu

Với mọi ε > 0 tồn tại i ∈N sao cho ε > 1/i Do đó,

Trường hợp m ∨ n → ∞ chứng minh tương tự

1.2.3 Hội tụ theo trung bình

Định nghĩa 1.2.7 Mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị {Xmn; m ≥ 1, n ≥

1}được gọi là hội tụ theo trung bình bậc p (0 < p < ∞) đến biến ngẫu

nhiên E-giá trị X khi m ∨ n → ∞ nếu

1.3 Không gian Banach p-khả trơn

Định nghĩa 1.3.1 (xem [50], trang 216) Một không gian Banach thực

khả ly E được gọi là p-khả trơn (1 ≤ p ≤ 2) nếu (có thể sau khi đổi sang

chuẩn tương đương) với t > 0,

Lindenstrauss [29] đã chỉ ra rằng ρ(t) ≥ √

đó, với p > 2, ρ(t) = O(tp) không xảy ra Vì vậy, Định nghĩa 1.3.1 không

có ý nghĩa trong trường hợp p > 2

Borovskykh và Korolyuk [3] đã chỉ ra rằng các không gian Banach Lp

và lp là các không gian p ∧ 2-khả trơn

Với (Mn, Fn) là dãy martingale nhận giá trị trong không gian Banach

E , kí hiệu Dn = Mn− Mn−1 và giả sử M0 = 0 (h.c.c.) P Assouad [2] chỉ

ra rằng E là không gian p-khả trơn nếu và chỉ nếu với bất kì q ≥ 1 tồn tại

hằng số C > 0 sao cho với mọi martingale (Mn) ta có

Sau đây chúng tôi sẽ chứng minh Bổ đề 1.3.3 là bổ đề quan trọng nhất

để chứng minh các kết quả chính Để chứng minh bổ đề này chúng tôi cần

biến ngẫu nhiên khả tích nhận giá trị trong không gian Banach p-khả trơn

Tức là {Skl, σl; 1 ≤ l ≤ n} là martingale Từ đó suy ra, {kSklk, σl; 1 ≤

đề 1.3.2 ta có {Yml, σl; 1 ≤ l ≤ n} là martingale dưới không âm Áp dụng

bất đẳng thức Doob (xem Chow và Teicher [8], trang 255), ta thu được

1≤k≤m 1≤l≤n

Đối với mảng biến ngẫu nhiên độc lập có kì vọng bằng 0, nhận giá trịtrong không gian Banach p-khả trơn thì các giả thiết của Bổ đề 1.3.3 hoàn

toàn thỏa mãn Ví dụ sau đây sẽ chỉ ra sự tồn tại mảng biến ngẫu nhiên

không độc lập thỏa mãn các giả thiết của bổ đề trên

Ví dụ 1.3.4 Cho {Zij; 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n} là mảng các biến ngẫu

nhiên R-giá trị độc lập có kì vọng bằng 0, nhận giá trị trong tập số thực R

và Zij 6= 0 h.c.c với mọi 1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n Xét mảng các biến ngẫu

nhiênXkl = Qk

i=1

Ql j=1Zij, khi đó ta có {Xkl; k ≤ m, l ≤ n} là mảng biếnngẫu nhiên thỏa mãn giả thiết của Bổ đề 1.3.3

Thật vậy, hiển nhiên ta có {Xkl; k ≤ m, l ≤ n} là mảng các biến ngẫunhiên không độc lập Hơn nữa, gọi Fkl là σ-đại số sinh bởi {Xij : i <

Định nghĩa 1.3.5 ([29]) mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị {Xmn; m ≥

nếu, tồn tại hằng số dương C < ∞,

với mọi (m, n) ∈ N2 và x > 0

Bổ đề 1.3.6 ([22], Định lí 2.2) Cho 1 ≤ p ≤ 2, khi đó các phát biểu sau

là tương đương

(i) E là một không gian Banach p-khả trơn

(ii) Tồn tại hằng số dương C sao cho E(kPn

kéo theo

1n

n

X

j=1

Xj h.c.c.−→ 0 khi n → ∞

Bổ đề 1.3.7 ([49], Định lí 2.2) Nếu E là không gian p-khả trơn với 1 ≤

CHƯƠNG2LUẬT MẠNH SỐ LỚN CHO MẢNG BIẾN NGẪU NHIÊN

Trong chương này chúng tôi trình bày các kết quả về sự hội tụ củachuỗi kép, tốc độ hội tụ của luật số lớn và luật mạnh số lớn đối với mảng

nhiều chiều các biến ngẫu nhiên E-giá trị Các kết quả này đã được công

bố trong [12] và [47]

Trong chương này chúng tôi luôn giả thiết {Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1} làmảng biến ngẫu nhiên khả tích E-giá trị và Fmn là σ-đại số sinh bởi các

biến ngẫu nhiên {Xij; i < m hoặc j < n}, F1,1 = {∅; Ω}

2.1 Chuỗi kép các biến ngẫu nhiên 2 chỉ số

Để thu được các kết quả về sự hội tụ của chuỗi kép chúng tôi cần bổ

đề sau

Bổ đề 2.1.1 Cho {Smn; m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng biến ngẫu nhiên E-giá

trị Khi đó, Smn hội tụ hầu chắc chắn đến biến ngẫu nhiên E-giá trị nào

đó khi m ∧ n → ∞ nếu và chỉ nếu với mọi ε > 0,

Điều kiện đủ Giả sử có (2.1) Khi đó với ε > 0 tùy ý,

suy ra Smm hội tụ h.c.c tới một biến ngẫu nhiên S nào đó khi m → ∞

Bây giờ ta sẽ chứng minh Smn h.c.c.−→ S khi m ∧ n → ∞

m∧n≤p0≤p m∧n≤q0≤q

m≤p n≤q



 = 0

Định lý 2.1.3 Cho E là không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2 và

Áp dụng bất đẳng thức Markov và Bổ đề 1.3.3 ta thu được

P



max

1≤m≤k n≤q≤l

điều này chứng tỏ Smn hội tụ h.c.c khi m ∧ n → ∞ (theo Bổ đề 2.1.1)

Bây giờ ta chứng minh (2.4) Với mỗi m ≥ 1, đặt Hm,1 = {Ω; ∅} và

Hmn là σ-đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {Xmj; 1 ≤ j < n} với

với mọi m ≥ 1, n ≥ 1

Hơn nữa, ta có E|Xmn|2 = (mn)−2 với mọi m ≥ 1, n ≥ 1 nên suy rađiều kiện (2.2) được thỏa mãn Vì vậy, P∞m=1P∞n=1Xmn hội tụ h.c.c

Hệ quả 2.1.5 Cho E là không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2 và

Định lý 2.1.6 Cho E là không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2 và

c là một hằng số dương Đặt Ymn = XmnI(kXmnk > c), giả sử E(Yij|Fij)

là Fmn-đo được với mọi i < m hoặc j < n Nếu

Gọi Gmn là σ-đại số sinh bởi các biến ngẫu nhiên {Ykl − E(Ykl|Fkl) : k <

Do đó E((Ymn− E(Ymn|Fmn)|Gmn) = 0 với mọi m ≥ 1, n ≥ 1 Theo Định

m∧n→∞amnij = 0 với mỗi i, j.

lim

m∨n→∞xmn = 0

Bổ đề 2.1.8 Cho {αmn; m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số dương thỏa mãn

αij ≤ αmn với mọi (i, j) ≺ (m, n) và αmn → ∞ khi m ∧ n → ∞ Cho X

là biến ngẫu nhiên R-giá trị không âm

(i) Nếu E(XL(X)) < ∞ thì

Chứng minh Trước hết ta chứng minh (i) Giả sử E(XL(X)) < ∞, kí

hiệu dk là số các ước của số nguyên dương k và chú ý rằng N (x) là hàm

(2.11) được chứng minh Tiếp theo ta chứng minh (2.12) Đặt s = αmnt

Cuối cùng, ta dễ dàng chứng minh (ii)bằng cách sử dụng phương phápchứng minh tương tự chứng minh (2.12)

Định lý 2.1.9 Cho E là không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2 và

Giả sử {Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1} bị chặn ngẫu nhiên bởi biến ngẫu nhiên X

thỏa mãn

Hơn nữa, nếu {bmn; m ≥ 1, n ≥ 1} thỏa mãn với mỗi m ≥ 1 và n ≥ 1,

Dễ thấy Xmn = Umn + Vmn Hơn nữa, E(Umn|Fmn) = E(Vmn|Fmn) = 0

biến ngẫu nhiên {Uij : i < k hoặc j < l}, {Vij : i < k hoặc j < l}, G1,1 =

ta thu được kết luận (2.17).

Hệ quả 2.1.10 Cho E là không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2

N2 Cho {amn; m ≥ 1, n ≥ 1} là mảng các số thực sao cho amn 6= 0,

Giả sử E(XijI(kXijk ≤ bij/|aij|)|Fij) là Fmn-đo được với mọi i < m hoặc

Định lý 2.1.11 Cho E là không gian Banach p-khả trơn với 1 ≤ p ≤ 2

Giả sử E(XijI(kXijk ≤ bij)|Fij) là Fmn-đo được với mọi i < m hoặc

Hơn nữa, nếu{bmn; m ≥ 1, n ≥ 1}là mảng các hằng số thỏa mãn bij < bmn

với mọi (i, j) ≺ (m, n) và bmn → ∞ khi m ∧ n → ∞ thì

Dễ thấy Xmn = Umn + Vmn Hơn nữa, E(Umn|Fmn) = E(Vmn|Fmn) = 0

biến ngẫu nhiên {Uij : i < k hoặc j < l}, {Vij : i < k hoặc j < l}, G1,1 =

2.2 Luật mạnh số lớn

Trong mục này chúng tôi sẽ trình bày các kết quả về tốc độ hội tụ củaluật số lớn và luật mạnh số lớn đối với mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị

Định lí sau đây có thể xem là định lí về luật mạnh số lớn tổng quát đối

với mảng biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach bất kì

Định lý 2.2.1 Cho α, β là hai hằng số dương Cho {Xmn; m ≥ 1, n ≥

1}là mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị, đặt Smn = Pm

k=1

Pn l=1Xkl Nếu

kSklk h.c.c.−→ 0 khi m ∨ n → ∞ (2.28)Ngược lại, từ (2.27) suy ra (2.26)

P

(

max

i≤k j≤l

)

i≤2m+1 j≤2n+1

α+β

2(m+1)α2(n+1)β max

i≤2m+1 j≤2n+1

Định lí sau đưa ra một đặc trưng của không gian Banach p-khả trơn

Định lý 2.2.2 Cho 1 ≤ p ≤ 2 và E là không gian Banach thực khả ly

Khi đó hai mệnh đề sau là tương đương:

(i) E là không gian p-khả trơn

(ii) Với mọi mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị {Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1}thỏa

mãn E(Xmn|Fmn) = 0 với mọi (m, n) ∈ N2 và với α > 0, β > 0 bất kì, từ

Bây giờ ta sẽ chứng minh[(ii) ⇒ (i)] Giả sử có (ii) Lấy{Wm, Gm; m ≥ 1}

là martingale hiệu tùy ý nhận giá trị trong E sao cho

Khi đó {Xmn; m ≥ 1, n ≥ 1}là mảng biến ngẫu nhiên E-giá trị thỏa mãn

m

X

k=1

Wk h.c.c.−→ 0 khi m → ∞

Áp dụng Bổ đề 1.3.6 suy ra E là không gian Banach p-khả trơn

Bổ đề 2.2.3 Cho 1 < p ≤ 2 và α, β là hai hằng số dương thỏa mãn

gian Banach p-khả trơn E, thỏa mãn E kXkr(log+kXk)q−1

Chứng minh Không mất tính tổng quát ta giả sử α ≤ β

Đầu tiên ta chứng minh (i) Áp dụng Bổ đề 1.3.9 cho trường hợp d = 2 ta