Hệ phương trình hàm tích phân phi tuyến phương pháp lặp cấp hai và khai triển tiệm cận

Mặc dù không gian các hàm Lipschitz LipΩ là rộng hơn các hàmkhả vi liên tục C1Ω, chúng có chung những tính chất quan trọng, như là tính khả vi, đã được chứng minh trong trường hợp một ch

HỆ PHƯƠNG TRÌNH HÀM - TÍCH PHÂN PHI TUYẾN-PHƯƠNG PHÁP LẶP CẤP HAI VÀ KHAI TRIỂN TIỆM CẬN

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

1 PHẦN MỞ ĐẦU

Các nguyên lý cơ bản về tập có thứ tự (như bổ đề Zorn và các dạngtương đương của nó, ) có nhiều ứng dụng trong lý thuyết tập hợp,trong Đại số, trong Giải tích Ngay cả khi các vấn đề được nghiên cứukhông liên quan đến thứ tự thì việc đưa vào một thứ tự thích hợp sẽlàm cho sự trình bày vấn đề trở nên rõ ràng và ngắn gọn hơn (ví dụ nhưchứng minh của định lí Caristi được trình bày trong luận văn) Tronggiải tích ta thường gặp các phương trình với toán tử không liên tục hoặckhông compăc và do đó việc chứng minh sự tồn tại nghiệm của chúngnhờ các phương pháp tôpô (như phương pháp điểm bất động , phươngpháp biến phân, ) gặp khó khăn Để khắc phục ta buộc phải khai tháccác tính chất khác của bài toán như các tính chất đại số hoặc các tính

2 Nhóm đối xứng

Trong mục này chúng tôi tính toán độ giao hoán tương đối của nhómcon thay phiên An trong nhóm đối xứng Sn

Định nghĩa 1 Cho n là một số nguyên dương Một phân hoạch của n

là một dãy không tăng các số nguyên dương (k 1 , k 2 , , k s ) sao cho

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Trong ví dụ sau đây chúng tôi tính toán các giá trị Pr(A n , S n ) với

2 ⩽ n ⩽ 7 bằng cách áp dụng Mệnh đề 37 Với n ⩾ 2, ta liệt kê tất cảcác phân hoạch của n ứng với kiểu của các phép thế của An Từ đó tađếm được c(n) và tính Pr(An, Sn)

(ii) Với n = 3 ta có 2 phân hoạch là (3), (1, 1, 1). Do đó c(3) = 2. Chonên

3 Không gian của các hàm Lipschitz Lip(Ω)

(ii) Cho f ∈Lip(A) Một số không âm

Lip(f ) =Lip(f, A) := sup



|f (x) − f (y)|

|x − y| : x, y ∈ A, x ̸= y



được gọi là hằng số Lipschitz của f

Nhận xét 1 Định nghĩa của các hàm Lipschitz là khái niệm metric.Thật vậy, nếu (X, d) và (Y, ϱ) là không gian metric, ánh xạ f : X → Y

được gọi là Lipschitz nếu có hằng số L > 0 thỏa mãn

ϱ(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ X

Mệnh đề 3 Cho A ⊂Rn và f ∈Lip(A)

(i) f liên tục đều trên A;

(ii) tồn tại duy nhất f : A →¯ R với f |A = f và Lip(f ) = Lip(f )

Nhận xét 2 Từ mệnh đề 35 suy ra nếu f ∈ Lip(A), với A ⊂Rn, luôn

có nghĩa như hàm f : A →R và ngược lại Hơn thế nữa, ánh xạ mở rộng

E :Lip(A) →Lip(A), E(f ) := f là song ánh Theo kết quả này, ta có thểhiểu Lip(A) =Lip(A) Lưu ý các tính chất mở rộng không còn đúng trongkhông gian C1(Ω)

Mệnh đề 4 Cho Ω ⊂Rn là tập lồi và bị chặn Khi đó C1(Ω) ⊂ Lip(Ω).Chứng minh Cho f ∈C1(Ω) Theo định lý giá trị trung bình

∀x, y ∈ Ω, ∃z ∈ xy := {tx + (1 − t)y : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ Ω

,điều này mấu thuẫn với bất đẳng thức trước

(ii) Quan hệ bao hàm này là chặt

Ví dụ: Cho Ω = (−1, 1) và f (x) = |x| Khi đó f ∈Lip(Ω) \C1(Ω)

Mặc dù không gian các hàm Lipschitz Lip(Ω) là rộng hơn các hàmkhả vi liên tục C1(Ω), chúng có chung những tính chất quan trọng, như

là tính khả vi, đã được chứng minh trong trường hợp một chiều

Định lý 1 (Rademacher) Cho Ω ∈ Rn là tập mở và cho f ∈ Lip(Ω).Khi đó f khả vi tại x, Ln hầu khắp nơi, x ∈ Ω, nghĩa là bỏ đi một tập

có độ đo là không N ⊂ Ω, với mỗi x ∈ Ω \ N tồn tại một hàm tuyến tính

Định nghĩa 3 Cho Ω ⊂Rn là tập mở bị chặn, cho f ∈Lip(Ω) Ta biểuthị

∥f ∥Lip = ∥f ∥Lip,Ω := ∥f ∥∞,Ω+Lip(f, Ω).

∥.∥Lip được gọi là chuẩn Lip

Định lý 2 (Lip(Ω), ∥.∥Lip) là không gian Banach vô hạn chiều nhưngkhông là không gian Hilbert, biết Ω ∈Rn là tập mở bị chặn

Chứng minh Dễ thấy (Lip(Ω), ∥.∥Lip) là không gian tuyến tính địnhchuẩn, chú ý rằng

Lip(f + g) ≤Lip(f ) +Lip(g) ∀f, g ∈ Lip(Ω). (1)

Ta phải chỉ ra tính đầy đủ Cho(fh)hlà dãy Cauchy trong(Lip(Ω), ∥.∥Lip),nghĩa là với mỗi ϵ > 0 sẽ tồn tại h = h(ϵ) ∈N thỏa mãn

(fh)h là dãy Cauchy trong (C0(Ω), ∥.∥∞).

Khi đó, tồn tại f ∈ C0(Ω) thỏa mãn fh → f đều trên Ω Theo (32), tađược Lip(f ) ≤ L, do đó f ∈ Ω Lấy qua giới hạn trong (31), khi k → ∞,

ϵ > 0 sẽ tồn tại h = h(ϵ) ∈N sao cho

Theo hệ quả của mệnh đề 36 ta được kết quả sau.

Hệ quả 1 Bao hàm C1(Ω) ⊂Lip(Ω) là ánh xạ song Lipszhitz, nghĩa là

1

L ∥f ∥C1 ≤ ∥f ∥Lip ≤ L∥f ∥C1 ∀f ∈ C1(Ω),

và nó là nghiêm ngặt, biết Ω ⊂ Rn là tập lồi, mở và bị chặn Đặc biệt,

C1(Ω) là không gian con đóng của (Lip(Ω), ∥.∥Lip)

Ω = (a, b) Theo mệnh đề 36 và nhận xét 13 (ii), ta cần chỉ ra rằng quan

hệ bao hàm này là một phép đẳng cự Điều này suy ra

Bài tập 1 Nếu f ∈C1([a, b]) khi đó ∥f ∥Lip = ∥f ∥C1

Tính compact trong Lip(Ω)

Định lý 3 Cho Ω ⊂Rn là tập mở và bị chặn, giả sử

F = BLip(Ω) := {f ∈Lip(Ω) : ∥f ∥Lip ≤ 1}.

Khi đó BLip(Ω) là compact trong (Lip(Ω), ∥.∥∞)

Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng F là compact trong (C0(Ω), ∥.∥∞) Ápdụng định lý Arzelà - Ascoli (Định lý ??) Chứng minh rằng

(i) F là bị chặn trong (C0(Ω), ∥.∥∞): hiển nhiên theo định nghĩa

(ii) F đóng trong (C0(Ω), ∥.∥∞): nghĩa là, nếu (fh)h ⊂ F với ∥fh− f ∥∞,khi đó f ∈ F Thật vậy

fh∈ F Lef trightarrow|fh(x)|+ |fh(y) − fh(z)|

(iii)F liên tục đều trên Ω Thật vậy, nó đủ để nhận thấy rằng, theo địnhnghĩa

|f (y) − f (z)| ≤ |y − z| ∀y, z ∈ Ω, f ∈ F

Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 4 Chú ý rằng BC1 (Ω) := {f ∈ C1(Ω) : ∥f ∥C1 ≤ 1} là khôngcompact trong (C1(Ω), ∥.∥∞) Đây là một đặc trưng tốt có trên Lip(Ω)

nhưng không có trên C1(Ω)

Tính tách được của (Lip(Ω), ∥.∥Lip)

Định lý 4 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở và bị chặn Khi đó (Lip(Ω), ∥.∥Lip)

không tách được

Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng tồn tại một họ tách rời nhau khôngđếm được {U α : α ∈ I} của tập mở trong (Lip(Ω), ∥.∥Lip) (Mệnh đề 15)

Ta chia chứng minh thành hai bước

Bước 1: Giả sử n = 1 và Ω = (a, b) và ta sẽ chứng minh được kết luận.Cho {uα : α ∈ (a, b)} ⊂ (Lip(a, b)) là họ hàm

Uα := {f ∈Lip((a, b)) : ∥f − uα∥Lip < 1 ∀α ∈ I}

Ta được điều mong muốn

Bước 2: Giả sử Ω là tập mở bị chặn Từ Ω mở, tồn tại một hình cầu

mở (a 1 , b 1 ) × · · · × (a n , b n ) ⊂ Ω Cho {f α : α ∈ (a 1 , b 1 )} ⊂Lip(Ω) là họ cáchàm được định nghĩa bởi

Ta được điều cần chứng minh

Ta đã xem xét lớp Lip(Ω) của hàm liên tục Lipschitz f : Ω → R cái

mà định nghĩa thỏa mãn ước lượng

Bài tập 2 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở được liên thông và giả sử (H) đúngvới C > 0 và α > 1 Khi đó f ≡ const

Do đó điều kiện Holder không còn ý nghĩa cho các hàm với số mũ lớnhơn một trong tập mở liên thông

Định nghĩa 4 Cho A ⊂Rn, hàm f : A → R được gọi là liên tục Holder

với mũ α > 0 nếu nó thỏa mãn (H) với hằng sô C > 0

4 ĐẠI SỐ VÀ SIGMA ĐẠI SỐ

Định nghĩa 5 Cho tập X tùy ý khác rỗng Ta gọi P (X) là tập hợp tất

cả các tập con của X Gọi A∗ là một họ các tập con của X A∗ được gọi

là một đại số các tập con của X nếu A∗ thỏa ba tiên đề sau:

1 X ∈ A∗

2 ∀A ∈ A∗⇒ Ac ∈ A∗ (Đóng kín với phép toán lấy phần bù)

3 ∀A, B ∈ A∗, A ∪ B ∈ A∗ (Đóng kín với phép toán hợp)

Định nghĩa 6 Cho tập X tùy ý khác rỗng Ta gọi P (X) là tập hợp tất

cả các tập con của X Gọi A∗ là một họ các tập con của X A∗ được gọi

là một σ - đại số các tập con của X nếu A∗ thỏa mãn ba tiên đề sau:

Dựa vào hai định nghĩa trên ta có nhận xét

Nhận xét 5 Khái niệm "đại số các tập con của tập X" và khái niệm

"σ - đại số các tập con của X" rất gần với nhau Điều đó thể hiện qua

sự giống nhau giữa hai tiên đề đầu tiên Sự khác biệt cơ bản giữa haikhái niệm này là ở tiên đề số 3 Đối với "đại số các tập con của X thìhợp "HỮU HẠN" các phần tử thuộc A∗ là một phần tử thuộc A∗ Còn

"σ - đại số các tập con của X" hợp "VÔ HẠN" các phần tử của A∗ làmột phần tử thuộc A∗

Mệnh đề 5 Cho X là một tập tùy ý khác rỗng Gọi A∗ là một "đại sốcác tập con của X" Khi đó:

4 Đóng kín với phép toán hiệu nghĩa là: ∀A, B ∈ A∗ ⇒ A\B ∈ A∗

5 Đóng kín với phép toán lấy hiệu đối xứng nghĩa là: ∀A, B ∈ A∗ ⇒ A△B ∈ A∗

Định lý 5 Cho tập X bất kỳ khác rỗng Giả sử trên X có một phéptoán α Phép toán α được gọi là đóng kín với tập X nếu ta lấy hai phần

tử bất kỳ thuộc X, thao tác qua phép toán ta được một phần tử mới vàphần tử này cũng thuộc X

Để dễ hiểu ta lấy một ví dụ đơn giản Trên tập N có phép toán cộngthông thường Ta lấy hai phần tử bất kỳ thuộc N (lấy hai số tự nhiên)

Dễ thấy rằng cộng hai số tự nhiên là một số tự nhiên và số tự nhiên nàycũng thuộc N Như vậy ta nói N đóng kín với phép cộng

Trong trường hợp tổng quát thì nó sẽ là một tập X bất kỳ

Tiếp theo ta sẽ chứng minh từng ý trong mệnh đề 1

Chứng minh:

1 Vì X ∈ A∗ (Tiên đề 1) nên Xc = ∅ ∈ A∗ (Tiên đề 2)

2 Ta quy nạp dựa theo tiên đề 2 sẽ có điều phải chứng minh

3.∀A, B ∈ A∗ ta có Ac, Bc ∈ A∗ Khi đó(Ac∪ Bc) ∈ A∗ ⇒ [(Ac∪ Bc)]c∈ A∗

hay A ∩ B ∈ A∗

Từ đây ta quy nạp lên giao hữu hạn phần tử sẽ có điều phải chứng minh

4 Chưa chứng minh

5 Chưa chứng minh

5 Không gian các hàm liên tục C0(Ω)

Định nghĩa 7 (i) Cho tập A ⊂Rn,

C0(A) := {f : A →R, f liên tục tại mọi x ∈ A}.

(ii) Cho K ⊂ Rn là tập compact và cho f ∈C0(K) Ta ký hiệu ∥f ∥∞ làmột số thực không âm và được xác định bởi

Chứng minh Ta sẽ giới hạn khi n = 1 và Ω = (a, b) thì ta phải chứngminh rằng (C0(Ω), ∥.∥∞) là không gian định chuẩn vô hạn chiều trên R.

Ta chứng minh nó là không gian Banach Nghĩa là phải chỉ ra mỗi dãyCauchy (fh)h ⊂ (C0(Ω), ∥.∥∞) đều hội tụ (tại một phần tử thuộc khônggian) Giả sử (fh)h là dãy Cauchy, theo định nghĩa ta có, ∀ϵ > 0, ∃k ∈N

Bây giờ chúng ta sẽ tìm hiểu đặc trưng của các tập con compact trên

(C0(Ω), ∥.∥∞) Đầu tiên ta sẽ nhớ lại một số khái niệm và kết quả quantrọng liên quan đến chủ đề compact trong không gian metric

Định nghĩa 8 Cho (X, d) là không gian metric và ký hiệu B(x, r) làhình cầu mở trong X, tâm x bán kính r > 0 với x ∈ X

(i) Điểm x0 ∈ X được gọi là điểm giới hạn của tập A ⊂ X khi A ∩ (B(x0, r)\{x0}) ̸= ∅, ∀r > 0

(ii) Tập A ⊂ X được gọi là bị chặn nếu tồn tại R 0 > 0 sao cho d(x, y) ≤

R0 với mọi x, y ∈ A

(iii) Tập A ∩ X được gọi là bị chặn hoàn toàn nếu với mỗi ϵ > 0, A đượcphủ bởi một họ hữu hạn các hình cầu

B(x 1 , ϵ), B(x 2 , ϵ), , B(xN, ϵ),

Định lý 7 (Các tiên đề chuẩn của tập compact trong không gian metric).Nếu A là một tập con của không gian metric (X, d), ta có các điều sauđây tương đương:

(i) A compact;

(ii) A là compact dãy;

(iii) (A, d) là đầy đủ và bị chặn hoàn toàn;

Định lý 8 (Riesz) Cho (E, ∥.∥) là không gian định chuẩn và ta ký hiệu

BE := {x ∈ E : ∥x∥ ≤ 1} Khi đó BE compact khi và chỉ khi dimRE < ∞.Nhận xét 8 Định lý 6 cho rằng một tập A bị chặn trong không gianđịnh chuẩn vô hạn chiều(E, ∥.∥) không nhất thiết phải bị chặn hoàn toàn

Ta thêm những tiên đề chuẩn của các tập compact trong(C0(K), ∥.∥∞)

khi K ⊂Rn là compact

Định lý 9 (Arzelà - Ascoli) Cho K ⊂ Rn là compact và giả sử F ⊂

C0(K) Khi đó F là compact trong (C0(K), ∥.∥∞) khi và chỉ khi F là:(i) đóng trên (C0(K), ∥.∥∞);

(ii) bị chặn trên (C0(K), ∥.∥∞);

(iii) liên tục đều

Hệ quả 3 Cho K ⊂Rn là compact và cho F ⊂ C0(K) Giả sử rằng F

bị chặn và liên tục đều Khi đó F là compact trong (C0(K), ∥.∥∞)

Cụ thể hệ quả này cho ta kết quả đặc biệt sau

Hệ quả 4 Cho fh : [a, b] →R, (h = 1, 2, ) là dãy hàm liên tục Giả sửrằng:

(i) ∃M > 0 sao cho |f (x) ≤ M, ∀x ∈ [a, b], ∀h.

(ii) (fh)h là liên tục đều, nghĩa là, ∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 sao cho |fh(x) −

fh(y)| < ϵ, ∀x, y ∈ [a, b] với |x − y| < δ, ∀h.

Khi đó ta có một dãy con (fhk)k và hàm f ∈C0([a, b]) thỏa mãn fhk → f

đều trên [a, b]

Định lý 10 Giả sử M > 0 là một hằng số cho trước và

F = {f ∈C1([a, b]) : ∥.∥C1 ≤ M }.

Khi đó F là tập compact tương đối trong (C0([a, b]), ∥.∥∞);

Chứng minh định lý ?? Tính đầy đủ: Giả sử có (i), (ii) và (iii) ta chỉ ra

F compact Theo tính chất của tập compact ở định lý ?? ta có thể chỉ

ra rằng F là một compact dãy Vì vậy một dãy bất kỳ (fh)h ∈ F có mộtdãy con (fhk)k hội tụ về một hàm f ∈ F, nghĩa là,

∥fhk − f ∥∞ → 0 khi k → ∞

Nhớ rằng K là compact và tách được Giả sử D := {xi : i ∈N} đếm được

và trù mật trong K F bị chặn nghĩa là tồn tại M1> 0 thỏa mãn

∥f − g∥∞ ≤ M 1 , ∀f, g ∈ F

Bước 1: (fh(x1))h là một dãy số thực trong [−M2, M2] Suy ra dãy này

có một dãy con (fh(1)(x1))h hội tụ trong R;

Bước 2: Xét dãy(fh(1)(x2))h⊂ [−M2, M2] Do đó dãy con(fh(2)(x2))h cũnghội tụ Chú ý rằng dãy (fh(2)(x1))h cũng hội tụ vì có dãy con (fh(1)(x1))h

hội tụ

Tiếp tục quá trình như trên ta được

Bước k: Một dãy con (fh(k))h của (fh(k−1))h thỏa mãn (fhk(xj))h là hội tụvới mỗi j = 1, k

Ta có tình huống sau đây:

Với ϵ > 0 thay đổi tùy ý, khi đó δ cũng thay đổi Bởi vì K bị chặn hoàn

toàn, mỗi σ > 0 có họ hữu hạn các hình cầu B(x1, σ), , B(xN, σ) của

Rn thỏa mãn N = N (σ), x i ∈ K với mỗi i = 1, , N và

Nghĩa là (gk)k là dãy Cauchy trong (C0(K), ∥.∥∞) Từ (C0(K), ∥.∥∞) là

đầy đủ và F là đóng, suy ra tồn tại f ∈ F thỏa mãn lim

k→∞ ∥gk− f ∥∞= 0

Từ(gk)k là dãy con của dãy(fh)h, chúng ta phải chỉ ra rằngF là compactdãy.

Sự cần thiết: Cần chỉ ra rằng, nếu F là compact trong (C0(K), ∥.∥∞)

khi đó ta có được (i), (ii) và (iii) Giả sử F là compact trong không gianmetric (C0(K), ∥.∥∞), khi đó, theo tính chất của các tập compact trongkhông gian metric, F đóng và bị chặn hoàn toàn do đó bị chặn Chỉ

ra rằng F liên tục đều, nghĩa là ta phải chứng minh (??) Theo phảnchứng, giả sử

∃ϵ0 > 0 : ∀ > 0, ∃fδ ∈ F , xδ, yδ ∈ K với |xδ−yδ| < δ và |fδ(xδ)−fδ(yδ)| ≥ ϵ0.

Chọn δ = 1/h và ký hiệu fh := f1/h, xh := x1/h và yh := y1/h Khi đó taxây dựng ba dãy (fh)h ⊂ F , (xh)h, (yh)h ⊂ K

Định nghĩa 10 (i) Cho E và F là hai không gian vector Ta nói E

và F là đẳng cấu tuyến tính nếu tồn tại ánh xạ T : E → F là ánh

xạ tuyến tính 1 − 1 đi từ E vào F

(ii) Cho (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) Ta nói (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) là một đẳngcấu topo nếu tồn tại ánh xạ liên tục T : E → F là ánh xạ tuyến tính

1 − 1 với ánh xạ ngược cũng liên tục T−1: F → E

(ii) Cho (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) Ta nói (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) là một đẳngcấu metric nếu tồn tại một ánh xạ T : E → F là ánh xạ tuyến tính

1 − 1 từ E vào F với ∥T (x)∥F = ∥x∥E với mỗi x ∈ E

Ta nhớ lại khái niệm không gian đối ngẫu của không gian vector địnhchuẩn

Định nghĩa 11 Cho (E, ∥.∥) là không gian vector định chuẩn Khônggian đối ngẫu E′ của E là không gian tuyến tính được định nghĩa bởi:

Định lý 11 (E′, ∥.∥E′ ) là không gian Banach

Chứng minh Ta sẽ chứng minh mọi dãy Cauchy trong E′ đều hội tụ.Giả sử {fn} là một dãy Cauchy của E′, tức là

do {fn} là dãy Cauchy trong E′

Ta suy ra fn(x) là dãy Cauchy trong R, do đó fn(x) hội tụ, nghĩa là

sẽ tồn tại f (x) sao cho

f (x) = lim

n→∞ fn(x)

Ta chỉ cần chứng minh f (x) tuyến tính liên tục Tính tuyến tính làhiển nhiên, ta chỉ cần chứng minh tính liên tục, hay ta chứng minh f (x)

Ta có điều phải chứng minh

Lưu ý: Nếu f ∈ E′ và x ∈ E ta viết ⟨f, x⟩E′ ×E thay cho f (x) và tagọi ⟨., ⟩E′ ×E là tích vô hướng trên không gian đối ngẫu E, E′ Ký hiệunày chỉ chung các không gian đối ngẫu thực khi E là không gian Hilbert

7 Nhóm giả nhị diện

Mệnh đề 6 Cho nhóm giả nhị diện

SD2n = ⟨r, s | r2n = s2= 1, s−1rs = r2n−1−1⟩ với n⩾3,

và H là một nhóm con của SD2n Khi đó

(i) Nếu H = Rk với k | 2n, 1⩽k ⩽2n thì

Pr(H, SD2n ) =

(

1 nếu k = 2n, 1

2 +

k

2 n nếu k ̸= 2n (ii) Nếu H = Tl với 0⩽ l ⩽ 2n− 1 khi l chẵn, và 0 ⩽l ⩽2n−1− 1 khi l

4+

i + 2

2 n+1 nếu i ̸= 2n−1.

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Trong ví dụ sau ta sẽ tính độ giao hoán tương đối của các nhóm con

trong nhóm giả nhị diện SD8 và SD16 bằng cách áp dụng Mệnh đề 33

Pr(U4,0, SD16) = Pr(U4,1, SD16) = Pr(U4,2, SD16) = Pr(U4,3, SD16) = 1

32.

8 Xấp xỉ bởi tích chập trong Lp

Ta thấy rằng, cho f ∈ Lp(Ω) với 1 ≤ p < ∞, tồn tại (fh)h ⊂ C0c(Ω) sao

cho fh → f trong Lp(Ω) Ta sẽ chứng minh tính xấp xỉ này, tìm kiếm

xấp xỉ theo các hàm chính quy Chính xác hơn

Câu hỏi:

(i) Có tồn tại (fh)h ⊂C1c sao cho fh→ f trên Lp(Ω)?

(ii) Có thể xây dựng một cách rõ ràng xấp xỉ thứ h hàm fh cho f ∈

Lp(Ω)?

Câu trả lời cho câu hỏi thứ hai rất có ý nghĩa trong xấp xỉ số

Định nghĩa 12 (Friedrichs’ mollifiers) Một dãy của mollifiers là một

dãy các hàm ϱh :Rn →R, (h = 1, 2, ) sao cho, với mỗi h,

Ví dụ về mollifiers: Khá đơn giản để xây dựng một dãy mollifiers,

bắt đầu từ hàm không biến mất ϱ :Rn →R thỏa mãn

Khi đó dễ thấy rằngϱ ∈C∞c (Rn) Hơn thế nữa, ta có một dãy mollifiersđược định nghĩa

(i) Nếu A compact và B đóng, khi đó A + B đóng;

(ii) nếu A và B là compact vì là A + B

Mệnh đề 7 (Định nghĩa tính chất của mollifiers đầu tiên) Cho f ∈

L1loc(Rn) và (ϱh)h là dãy mollifiers Định nghĩa, cho h ∈N và x ∈Rn,

(i) Hàm fh :Rn →R is well defined;

(ii) fh(x) = (ϱh∗ f )(x) = (f ∗ ϱh)(x) với mọi x ∈Rn và h ∈N;

(iii) fh(x) ∈C0(Rn) với mỗi h

Hàm fh được gọi là mollifiers thứ h của f

Chứng minh Để đơn giản, ta ký hiệu ϱh ≡ ϱ (i) Theo (Mo2) và (Mo4),

Do đó, ta thay đổi x ∈Rn, hàm

gx(y) := ϱ(x − y)f (y), y ∈Rn

là khả tích trên Rn, vì vậy nó xác định tích phân

|ϱ(x r − y) − ϱ(x − y)| ≤ LχK(y)|x r − x|, ∀y ∈Rn, ∀r ∈N.

Vì vậy ta được

|ϱ(xr− y)ϱ(x − y)||f (y)| ≤ LχK(y)|f (y)||xr− x|, ∀y ∈Rn, ∀r ∈N (15)

Từ (2), (3) và định lý tính hội tụ bị trội, theo (1)

Nhận xét 9 Ký hiệu ∗ là tích chập của hai hàm trên không gian Rn.Lưu ý, các kết quả của mệnh đề 1 và giữ nếu f ∈ L1loc(Rn) và ϱ ≡ ϱh ∈

C0(Rn)thỏa (Mo2) Trên thực tế, có thể xác định tích chập giữa hai hàm

Định lý 12 (Friedrichs - Sobolev, Xấp xỉ theo tích chập trong Lp) Cho

f ∈ L1loc(Rn) và (ϱh)h là dãy mollifiers Khi đó

(i) f ∗ ϱh ∈ C∞(Rn) với mỗi h ∈ N.

(ii) ∥f ∗ϱ∥Lp (R n ) ≤ ∥f ∥Lp (R n ) với mỗih ∈N, f ∈ Lp(Rn)với mọip ∈ [1, ∞].

(iii) spt(f ∗ ϱ) ⊂spte(f ) + B(0, 1/h) với mỗi h ∈N.

(iv) Nếu f ∈ Lp(Rn) với 1 ≤ p ≤ ∞, khi đó f ∗ ϱh∈ C∞(Rn) ∩ Lp(Rn) vớimỗi h ∈N, và f ∗ ϱh→ f khi h → ∞, trong Lp(Rn), biết 1 ≤ p < ∞.Kết quả này cho ta hai kết quả quan trọng

Định lý 13 (Bổ đề cơ bản của tính toán các biến) Cho Ω ⊂Rn là tập

mở và cho f ∈ L1loc(Ω) Giả sử

Z

Ω

f φdx = 0, ∀φ ∈ Cc∞(Ω) (∗)

Khi đó f = 0 hầu khắp nơi trong Ω

Chứng minh Chứng minh điều kiện đủ

Z

K

|f |dx = 0 với mỗi tập compact K ∈ Ω. (16)Thật vậy, theo (5), suy ra

f = 0 hầu khắp nơi trong K, với mỗi tập compact K ∈ Ω.

Ta có được kết luận Ta chứng minh (5)

Cho tập compact K ∈ Ω, định nghĩa g :Rn →R bởi

Mặt khác, từ định lý 1 (iv) và (??), ta giả sử, một dãy con tăng, gh → g

hầu khắp nơi trong Rn Do đó,

Định lý 14 (Xấp xỉ theo các hàm C∞ trong Lp) Cho Ω ⊂ Rn là tập

mở Khi đó C∞c (Ω) là trù mật trong Lp(Ω), ∥.∥Lp, biết 1 ≤ p < ∞

Chứng minh Cho f ∈ Lp(Ω), định nghĩa ef : Rn →R bởi

và định nghĩa

gh(x) := χΩh(x) f (x)e và fh,r(x) := (ϱr ∗ gh)(x) nếu x ∈Rn, h, r ∈N.

Theo định lý 1 (iii) suy ra

spt(fh,r) ⊂ B(0, 1/r) + Ωh⊂ Ω. (18)Hơn thế nữa, cho h ∈N, tồn tại rh = r(h) ∈N sao cho

rh ≥ h và B(0, 1/rh) + Ωh⊂ Ω. (19)Định nghĩa

Định lý 15 Cho G là nhóm hữu hạn với cấp 1 + 2n và R là ∆U-vành.Khi đó RG là ∆U-vành khi và chỉ khi iđêan mở rộng ∇(RG) là∆U-vành

Chứng minh Đặt∇ = ∇(RG) Giả sửGlà nhóm hữu hạn có cấp là1+2n

và Rlà∆U-vành Theo Mệnh đề ??, ta có2 ∈ ∆(R), vì vậy1+2n ∈ U (R).Khi đóRGcó biểu diễnRG = ∇ ⊕ H vớiH ∼ = Rtheo [4] Đặt∇ = eRG và

H = (1 − e)RG Rõ ràng e là phần tử tâm của RG Nếu RG là ∆U-vành,khi đó ∇ = eRG là ∆U-vành theo Mệnh đề ??

Ngược lại, giả sử ∇ = eRG là ∆U-vành Vì H ∼ = R nên H cũng là

∆U-vành Theo Bổ đề 8, RG là ∆U-vành

Một nhóm được gọi là hữu hạn địa phương nếu mọi nhóm con đượcsinh bởi hữu hạn phần tử là hữu hạn

Bổ đề 1 Nếu G là 2-nhóm hữu hạn địa phương và R là ∆U-vành với

∆(R) lũy linh, khi đó ∇(RG) ⊆ ∆(RG)

Chứng minh Giả sửG là 2-nhóm hữu hạn địa phương vàR là∆U-vành.Khi đó R := R/J (R)¯ là ∆U-vành Từ ∆(R) là lũy linh, 2 ∈ N ( ¯ R) Suy ra

∇( ¯ RG) ⊆ N ( ¯ RG) theo [4, Hệ quả, trang 682] Do đó, ∇( ¯ RG) là iđêan lũylinh được chứa trong J ( ¯ RG) Ta kiểm tra được rằng J (R)G ⊆ J (RG), vìvậy

ε(u − 1 + j) = 0 hayu − 1 + j ∈ ∇(RG) ⊆ ∆(RG) Do đó u ∈ 1 − j + ∆(RG)

suy ra u ∈ 1 + ∆(RG)

Hệ quả 5 ChoR là vành hoàn chỉnh phải hoặc trái vàG là 2-nhóm hữuhạn địa phương Khi đó, R là ∆U-vành khi và chỉ khi RG là ∆U-vành

10 Các cận cho độ giao hoán tương đối của một nhóm con

Mệnh đề sau đây cho ta cận trên và cận dưới cho độ giao hoán tươngđối của một nhóm con của một nhóm

Mệnh đề 8 Cho H là một nhóm con của G, và p là ước nguyên tố nhỏnhất của |G| Khi đó

Mệnh đề 9 Cho G là một nhóm không giao hoán và H là một nhómcon của G Khi đó

Vậy ta có điều phải chứng minh

Kết quả sau đây mô tả cấu trúc các nhóm trong trường hợp đạt đươccận trên trong Mệnh đề ??

Mệnh đề 10 Cho H là một nhóm con của nhóm G Khi đó:

11 KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC

Nhận xét 10 Định lý Arzelà - Ascoli không còn đúng trong C0(A) khi

A ⊂Rn không compact Ví dụ lấy C0b(R) là không gian các hàm liên tục

Khi đó dễ thấy rằng (C0b(R), ∥.∥∞) là không gian Banach Giả sử f :R→

R là hàm được định nghĩa bởi

Định lý 17 Giả sử (X, d) là không gian metric Khi đó

(i) (X, d) là tách được khi và chỉ khi nó thỏa tiên đề thứ hai của tínhđếm được

(ii) Mỗi không gian con của (X, d) là tách được khi (X, d) là tách được.(iii) Giả sử (Y, ϱ) là không gian metric khác và T : (X, d) → (Y, ϱ) là đồngcấu Khi đó (X, d) tách được khi và chỉ khi (Y, ϱ) tách được

Nhận xét 11 Phải nhấn mạnh rằng mục này rất quan trọng trong giảitích cho các mục xấp xỉ Nghĩ ra các số hợp lý và chứng minh của định

lý Ascoli

Cuối cùng phải nhớ lại các tiêu chuẩn để kiểm tra không gian topokhông phải là một không gian tách.

Mệnh đề 11 Giả sử (X, τ ) là không gian topo Giả sử tồn tại một họ

{Ui: i ∈ I} thỏa mãn

(i) U i là tập mở với mỗi i ∈ I;

(ii) Ui∪ Uj = ∅ nếu i ̸= j

(iii) I là không đêm được

Khi đó (X, τ ) không tách được



:=ny ∈ l∞: ∥y − x∥l∞ < 1

2

onếu x ∈ I

ph→ f đều trên [a, b].

Nhận xét 12 Bởi vì đa thức là các hàm đơn giản nhất, máy tính cóthể trực tiếp đánh giá các đa thức Định lý này có ý nghĩa trong cả lýthuyết và thực tiễn Đặc biệt là trong nội suy đa thức.

Chứng minh định lý 15 Chúng ta cần chỉ ra kết quả khi n = 1 và K = [a, b]

Giả sử D là tập hợp các hàm đa thức với hệ số hữu tỷ, nghĩa là,

D := Q[x] Ta đã biết D là đếm được Chứng minh D là trù mật trong

C0([a, b]), ∥.∥∞) tức là

∀f ∈ C0([a, b]), ∀ϵ > 0, ∃q ∈ D sao cho ∥f − q∥∞ ≤ ϵ.

Từ định lý xấp xỉ Weierstrass, với mọi ϵ > 0, tồn tại p ∈R[x], nghĩa là,

(i) a · (b · c) = (a · b) · c với mọi a, b, c ∈ G,

(ii) Tồn tại một phần tử e ∈ G sao cho a · e = a = e · a với mọi a ∈ G,

(iii) Với mọi a ∈ G tồn tại phần tử a′∈ G sao cho a · a′ = a′· a = e.

Để đơn giản, ta ký hiệu abthay cho a · b Phần tửe xác định trong (ii)

là duy nhất, được gọi là phần tử đơn vị của nhóm G, và thường ký hiệu

là1 Với mỗi a ∈ G, phần tửa′ xác định trong (iii) là duy nhất, được gọi

là phần tử nghịch đảo của a, và ký hiệu là a−1 Một nhóm G được gọi làgiao hoán (hay abel ) nếu ab = ba với mọi a, b ∈ G Nếu nhóm G có hữuhạn phần tử thì ta gọi G là một nhóm hữu hạn, và gọi số phần tử của G

là cấp của nhóm G, và ký hiệu là |G|

Cho G là một nhóm, và H là một tập con của G Ta gọi H là mộtnhóm con củaG, ký hiệu là H⩽ G, nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:(i) Phép toán trên G hạn chế lên H cảm sinh một phép toán trên H,(ii) H là một nhóm với phép toán cảm sinh

Cho G là một nhóm, và H là một tập con của G ta ký hiệu ⟨S⟩ lànhóm con bé nhất của G chứa S, và gọi S là một tập sinh của ⟨S⟩ Đặcbiệt, một nhóm có tập sinh chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm xiclíc.Mệnh đề 12 (Định lý Lagrange) Cho G là một nhóm hữu hạn, và H

là một nhóm con của G Khi đó |H| là một ước của |G|

Với Glà một nhóm hữu hạn, và H ⩽G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|,

và gọi là chỉ số của nhóm con H đối với G

của G Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Khi đó

|AB| = |A||B|

|A ∩ B|.

Cho Glà một nhóm, và alà một phần tử của G Vớiu là một phần tửcủaG, liên hợp củaubởia, ký hiệu làua, được định nghĩa làua = a−1ua.Với H là một nhóm con củaG, ta gọi H là một nhóm con chuẩn tắc của

G, ký hiệu là H◁G, nếu ha ∈ H với mọi a ∈ G, h ∈ H

Cho N là một nhóm con chuẩn tắc của G Ký hiệu

G/N = {aN | a ∈ G}.

Khi đó G/N là một nhóm với phép toán xác định như sau Với a, b ∈ G

(aN )(bN ) = abN.

Nhóm G/N được gọi là nhóm thương của G bởi N.

Với S là một tập con của G, tâm hóa củaS trong G, ký hiệu làCG(S),được định nghĩa là

CG(S) = {a ∈ G | ua = uvới mọi u ∈ S}.

Trong trường hợp S = {x}, ta dùng ký hiệu CG(x) thay cho CG(S) Tâmcủa nhóm G, ký hiệu là Z(G), được định nghĩa là Z(G) = CG(G)

thương G/Z(G) không là nhóm xiclíc

Cho G là một nhóm Với x và y là hai phần tử của G, giao hoán tửcủa x và y, ký hiệu là [x, y], được định nghĩa là

Nếu đồng cấu f là một đơn ánh (tương ứng, toán ánh, song ánh) thì

ta gọi f là một đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) Ta ký hiệu

Aut(G) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G

Cho N và H là hai nhóm bất kỳ, và cho θ : H → Aut(N ) là một đồngcấu nhóm Khi đó, tập hợp

G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H}

là một nhóm với phép toán xác định như sau Với mọi (x1, h1), (x2, h2) ∈ G,

(x1, h1)(x2, h2) = (x1θ(h1)(x2), h1h2).

Nhóm G được xác định như trên được gọi là tích nửa trực tiếp của

N bởi H ứng với tác động θ, và ký hiệu là G = N ×θ H Trong trường