Tính chất số học trong vành số nguyên đại số của trường q (√ 3)

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNGKHOA TOÁN - CÔNG NGHỆ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG VÀNH SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG  3 PHÚ THỌ - 2014... Lý do chọn đề tài khóa luận “

TRƯỜNG ĐẠI HỌC HÙNG VƯƠNG

KHOA TOÁN - CÔNG NGHỆ

KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG VÀNH SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ

CỦA TRƯỜNG  3

PHÚ THỌ - 2014

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài khóa luận

“Lý thuyết số với tư cách là một cơ sở của mọi lí thuyết toán học, là địa

hạt đầy ắp sự quen biết và cũng đầy ắp những bóng tối, cũng là nơi dễ phơi bày nhất những thách đố trí tuệ loài người Đặc biệt trong những thập kỉ qua,

người ta đã tìm ra những ứng dụng to lớn của lí thuyết số trong khoa học và

công nghệ.”   4

Người ta đã chứng minh được  3 là một trường và tập hợp các

số dạng a b 3, với a b,  , là một vành số nguyên đại số của trường

 3

“Mọi số nguyên lớn hơn 1 đều phân tích duy nhất được thành tích các

thừa số nguyên tố, nếu trong sự phân tích đó ta không kể đến thứ tự các thừasố”, đây thường được gọi là định lí cơ bản của Số học Tuy nhiên, dễ thấytrong Số học các số dạng a b 3, vớia b,  không có định lí phân tích

duy nhất thành tích các thừa số nguyên tố

2 Mục tiêu khóa luận

Ứng dụng lý thuyết số đại số nghiên cứu một số tính chất số học trongvành số nguyên đại số của trường toàn phương  3

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Hệ thống lại các kiến thức về phần tử nguyên trên một vành, phần tửđại số trên một trường

Dùng lý thuyết số đại số làm rõ các tính chất cơ bản trong vành sốnguyên đại số của trường  3

4 Phương pháp nghiên cứu

 Phương pháp nghiên cứu lý luận: Đọc và nghiên cứu tài liệu, giáo

trình có liên quan đến ứng dụng của lý thuyết số trong vành sốnguyên đại số của trường  3 rồi phân hóa, hệ thống hóa cáckiến thức

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Qua việc nghiên tham khảo tài

liệu, giáo trình từ đó rút ra kinh nghiệm để áp dụng vào việc nghiêncứu

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia: Lấy ý kiến của giảng viên trực

tiếp hướng dẫn, các giảng viên khác để hoàn thiện về mặt nội dung

và hình thức của khóa luận

5 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu

 Đối tượng: Các số nguyên đại số của trường  3

 Phạm vi: Dùng lý thuyết số đại số để nghiên cứu tính chia hết, số

nguyên tố trong vành số nguyên đại số của trường  3

6 Ý nghĩa khoa học

Khóa luận được hoàn thành có thể là tài liệu tham khảo tốt cho giảngviên và sinh viên Toán, đặc biệt là đối với sinh viên năm thứ hai và thứ ba củatrường đại học và cao đẳng

7 Bố cục của khóa luận

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận được chiathành các chương:

Chương 1 Kiến thức chuẩn bị

1.6 Số nguyên đại số của các trường toàn phương

Chương 2 Tính chất số học trong vành số nguyên đại số của trường

3



2.1 Trường ( 3) Vành các số nguyên đại số của trường ( 3)

2.2 Tính chia hết trong vành các số nguyên đại số A

2.3 Số nguyên tố trong vành các số nguyên đại số A

CHƯƠNG 1.

KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Số đại số

Định nghĩa 1.1.1 Số phức được gọi là đại số nếu  là nghiệm của một đathức khác không với hệ số trên 

Nhận xét: Có thể coi đa thức ở định nghĩa 1.1.1 với hệ số thuộc  sai khác

một nhân tử là bội chung nhỏ nhất của các hệ số hữu tỉ của đa thức ban đầu

Định lý 1.1.2 Tập các số đại số A là trường con của trường số phức  Chứng minh:

Ta có  là đại số khi và chỉ khi    

 : là hữu hạn.Giả sử , là các số đại số Khi đó,

Vậy A là một trường, nên A là trường con của trường 

Định lý 1.1.3 Nếu K là một trường số thì K    , với  là một số đại số.

Chứng minh:

Ta chứng minh bằng quy nạp, ta cần chứng minh rằng nếu

  

K K thì K K1  (với K là trường con của K ) Gọi p và q1

là hai đa thức tối tiểu của , , và giả sử sự phân tích nhân tử trên  là:

   1 2   n

   1 2   n

không giảm tính tổng quát có thể giả sử:    1;  1 Do p và q bất khả

quy nên các   i, j phân biệt Vì, với mỗi i và mỗi k 1 tồn tại một phần tử

Xét đa thức r t   p  ctK1    t , với  là nghiệm của đathức q t r t trên   , K1  Giả sử, đa thức khác không, sao cho

với  K1  Vậy, 0 h      nên     K1 

Chú ý: Nếu mở rộng của trường K là   , thì nói chung sự mở rộng làkhông duy nhất, vì        1 

1.2 Liên hợp và biệt thức

Định nghĩa 1.2.1 Giả sử L và ' L là hai trường chứa trường K

1) Nếu có đẳng cấu  :L  L sao cho' ( )a a với mọi a K thì 

gọi là K - đẳng cấu; nếu thêm L và L là đại số trên K thì ta bảo đó là'những trường liên hợp trên K

2) Hai phần tử x L và x'L gọi là liên hợp trên K nếu có một K -'đẳng cấu  :K x( ) K x sao cho( ') ( )x x (lúc đó'  là duy nhất) Nhưvậy khi x và ' x liên hợp trên K thì hoặc x và ' x đều liên hợp trên K ,

hoặc đều đại số trên K , và cùng có đa thức tối tiểu.

Định lý 1.2.2 Cho K    là mở rộng trường bậc n trên  Khi đó, có

n đồng cấu phân biệt  i :K    i 1, ,n và   i   i là các nghiệm phân biệt của đa thức tối tiểu của  trên 

Ngược lại, nếu  :K   là đồng cấu thì là đồng nhất trên  Do

đó, ta có:

 

     

  p   p  

sao cho    là một trong những  i, vì  là một trong những  i

Ví dụ: Giả sử K   i thì ta có hai đồng cấu:

1(x iy ) x iy

2(x iy ) x iy

với x y, 

Chú ý: Các K – liên hợp của  không nhất thiết phải thuộc K Hơn nữa,

 i cũng không nhất thiết phải thuộcK

Ví dụ: giả sử  là căn bậc 3 thực của 2 Khi đó,   là trường con của 

K – liên hợp của  là:   , , 2, với   1 1 3 

2 i Rõ ràng,

 , 2 không là số thực, nên nó không thuộc  

Định nghĩa 1.2.3. K    có bậc n , giả sử  1; ; ;2  n là cơ cở của

K (coi K là  – không gian vectơ) Ta định nghĩa biệt thức của cơ sở này

Do công thức định thức của một tích các ma trận, và  i là đồng cấu(đồng nhất trên  ), nên:

Định lý 1.2.4 Biệt thức của một cơ sở bất kỳ trên K    là số hữu tỉ

khác không Hơn nữa, nếu tất cả các K – liên hợp của  là thực thì biệt thức

 , nếu cho mỗi t i t j

thì D triệt tiêu Vì D có ước là các t i t Để tránh sự lặp lại các nhân tử j

hai lần, ta giả sử i  j Dễ dàng so sánh bậc ta thấy rằng D không có cácnhân tử khác hằng số khác; so sánh nhân tử của 1 2 2 n

1, , , n

i j

i j n

Lại do, D là phản đối xứng với các t , nên i D là đối xứng Do đó,2 

là số thực Vì các i phân biệt nên   0

Rõ ràng, nếu tất cả các i là thực thì  chỉ có thể là số thực.

Định nghĩa 1.2.5 Với  K    , ta định nghĩa đa thức trường của 

trên K được xác định bởi:

1.3 Số nguyên đại số

Định nghĩa 1.3.1 Một số phức  được gọi là một số nguyên đại số nếu có

một đa thức đơn vị p t với hệ số nguyên nhận( )  là nghiệm Tức là:

Ta cần chứng minh các lũy thừa của  là nhóm cộng sinh bởi

Điều này chứng tỏ tất cả các lũy thừa của đều thuộc 

Ngược lại, giả sử mọi lũy thừa của  đều thuộc nhóm cộngG hữu hạn

sinh Gọi  là nhóm con củaG sinh bởi các phần tử 1, , ,  n cũng là hữuhạn sinh, giả sử  sinh bởi v1, ,v Với mỗi n v là một đa thức của i  với hệ

số nguyên, vì vậy  v cũng là một đa thức Do đó, tồn tại các số nguyên i b ij

Định lý 1.3.3 Tập các số nguyên đại số là vành con của trường các số đại

số.

Chứng minh:

Giả sử  , B Ta cần chứng minh   B;  B Bởi Bổ đề

1.3.2 ta có tất cả các lũy thừa của  đều thuộc nhóm cộng hữu hạn sinh của  , và tất cả các lũy thừa của  đều thuộc nhóm cộng hữu hạn sinh của  Mặt khác, tất cả các lũy thừa là tổ hợp tuyến tính nguyên của các

Vậy B là vành con của vành A.

Định lý 1.3.4 Nếu số phức  là nghiệm của đa thức đầu 1 với hệ số là các số

nguyên đại số thì  là một số nguyên đại số.

ra một vành con  của B Theo Bổ đề 1.3.2, ta có các lũy thừa của  đềuthuộc một - môđun con hữu hạn sinh M của  , sinh bởi   

1, , , n

.Vậy, theo định lý 1.3.1 thì mỗi  i và các lũy thừa của nó đều thuộc nhómcộng hữu hạn sinh i bởi các phần tử  ij 1 j n Từ đó, ta có M là inhóm cộng sinh bởi hữu hạn các phần tử:

Vì vậy, M là nhóm cộng hữu hạn sinh Do đó, ta có điều phải chứng

minh

Định nghĩa 1.3.5 Cho K là một trường, ta ký hiệu: D K B và gọi D

là vành nguyên của K Dễ thấy,D là một vành con của K , hơn nữa do

Chú ý: Với c , ta gọi   là tập các phần tử có dạng p  , với

 

  

p  t Nếu K    , với  là số nguyên đại số thì D chứa    vì

D là vành chứa  Tuy nhiên, D khác    Ví dụ,  5 là một trường

Giả sử, p là đa thức tối tiểu của  trên  , khi đó p là đa thức đầu

một và bất khả quy trong   t Nếu p   t thì  là số nguyên đại số.Ngược lại, nếu là số nguyên đại số thì q  0, với mọi đa thức q đơn vị

thỏa mãn p q Theo bổ đề Gauss thì| p   t , vì  p   t với  là sốhữu tỷ và là ước củaq , dop , q là đa thức đơn vị nên  1.

Bổ đề 1.3.9 Một số hữu tỷ là số nguyên đại số khi và chỉ khi nó là số nguyên

hữu tỷ Tức là: B  

Chứng minh:

Rõ ràng   B Giả sử  B  ; khi đó đa thức tối tiểu của

 trên  là t  Theo bổ đề 1.3.8 thì các hệ số của đa thức tối tiểu thuộc

 , do đó   , vậy  .

1.4 Cơ sở nguyên

Định nghĩa 1.4.1 Cho K là một mở rộng trường bậc n trên  Một cơ sở

(hay gọi là  - cơ sở) của K là một cơ sở của K không gian vectơ trên

trường  Theo định lý 1.3.8 ta có K    , với  là một số nguyên đại

số có đa thức tối tiểu p bậc n , và một cơ sở của K là 1, , ,  n 

Vành D các số nguyên đại số của K là một nhóm cộng giao hoán.

Một  - cơ sở của  D, được gọi là cơ sở nguyên của K (hoặc của D ) Vì

vậy,  1, , ,2  s là một cơ sở nguyên khi và chỉ khi  i D với mọi i vàmỗi phần tử của D được biểu diễn duy nhất dưới dạng

     

1 1 2 2 s s

với các số nguyên hữu tỉ a1; ;a Rõ ràng theo bổ đề 2.3.4 thì một cơ sở s

nguyên của K là một  - cơ sở Do đó, ta có n s 

Ví dụ: Xét K        , với  là một số nguyên đại số (định lý1.3.7), và 1, , ,  n 

là một  - cơ sở gồm cả các số nguyên đại số,

nhưng không đủ để chỉ ra rằng     

1, , , n

là một cơ sở nguyên Một sốcác phần tử của   với hệ số hữu tỉ có thể là số nguyên đại số Chẳng hạn,

đó nó là một số thuộc  5 , nhưng nó không phải là số thuộc  5

Bổ đề 1.4.2 Nếu  1, 2, ,  nlà một cơ sở của K gồm các số nguyên đại

số, thì định thức   1, 2, , n là số nguyên hữu tỉ khác không.

Chứng minh:

Theo định lý 1.2.3 thì   1, 2, , n là một số hữu tỉ và cũng là sốnguyên đại số vì  i là nguyên đại số Vậy, theo bổ đề 1.3.8 thì

Giả sử K    , với  là một số nguyên đại số Do đó, tồn tại một

cơ sở gồm các số nguyên đại số của K , chẳng hạn 1, , ,  n 

Ta thấyrằng, có những  - cơ sở không là cơ sở nguyên Tuy nhiên, định thức của

một  - cơ sở gồm các số nguyên đại số là số nguyên hữu tỉ, ta chọn một cơ

sở gồm những số nguyên đại số  1, 2, ,  n sao cho   1, 2, ,  n

là nhỏ nhất Ta chứng minh cơ sở này là cơ sở nguyên Vì nếu không, có một

số nguyên đại số  của K sao cho:

Định nghĩa 1.4.4 Ta gọi một số nguyên hữu tỉ là tự do bình phương nếu và

chỉ nếu nó không có ước là bình phương một số nguyên tố

Định lý 1.4.5 Cho  1, 2, , n D từ một  - cơ sở của K Nếu

  1, 2, , n là tự do bình phương thì  1, 2, ,  n là một cơ sở nguyên.

Vì, vế trái là tự do bình phương, nên det c ij  1, từ đó

 1, 2, ,  n là  - cơ sở củaD , vậy nó một là cơ sở nguyên.

1.5 Chuẩn và vết

Định nghĩa 1.5.1 Cho K    là trường số bậc n có các K - đồng cấu

 1, , ,2  n :K   Khi đó, đa thức trường là lũy thừa của đa thức tối

tiểu Và  K là số nguyên đại số khi và chỉ khi nó là nghiệm của đa thứctrường với hệ số nguyên hữu tỉ

Với  K , ta định nghĩa chuẩn của  là

f t , nên ta có  là sốnguyên đại số khi và chỉ khi chuẩn và vết của  là số nguyên hữu tỉ Hơn nữa

 i là các đơn cấu nên

n n

có điều phải chứng minh

Định lý 1.5.3 Nếu  1, 2, ,  n là một  - cơ sở của K thì

1.6 Số nguyên đại số của các trường toàn phương.

Định nghĩa 1.6.1 Ta gọi là trường toàn phương mọi mở rộng bậc 2 của

trường  các số hữu tỉ.

Chú ý: Ta gọi một số nguyên là tự do bình phương nếu và chỉ nếu nó không

có ước là bình phương một số nguyên tố

Định lý 1.6.2 Mọi trường toàn phương K có dạng  d trong đó d là

K  d là một trường toàn phương và A là vành

các phần tử của K nguyên trên  Giả sử x a b d  K ; Thế thì



x A khi và chỉ khi 2a và a2 b d thuộc2 

Chứng minh:

Giả sử x A thế thì   x cũng là nghiệm của phương trình phụthuộc nguyên của x , vậy   x A Do A là một vành nên x  x và

x x a db thuộc  và nguyên trên  Cuối cùng do  đóng

nguyên nên 2a và a2 db thuộc2 

Đảo lại nếu 2a và a2 db thuộc2  , lúc đó x là nghiện của phương

trình x2 2ax a 2 db2  0 nghĩa là x nguyên trên 

Định lý 1.6.4 Giả sử   

K  d là một trường toàn phương và A là vành

các phần tử của K nguyên trên  Thế thì:

 s t2, 2 1, ta suy ra t chia hết d Nhưng d không có nhân tử chính2

phương khác 1, nên t2 1 và t  1 Vậy 2b Đặt 2a u , 2b v ,

K  d là một trường toàn phương với d 

không có nhân tử chính phương, và A là vành các phần tử của K nguyên trên

v 0 1 0 1 v2 0 1 0 1 v2 0 1 0 1

2

u 0 1 0 1 u2 0 1 0 1 u2 0 1 0 1

Bây giờ ta chứng minh định lý

i) A chứa  -môđun 'A có cơ sở  1, d : A' a b d a b ,  Mặtkhác, theo bảng d 2 và d  3 ta có u2 dv khi và chỉ khi2 u v,  0 2, ,nghĩa là khi và chỉ khi u v là những số nguyên chẵn, vậy, u 2a và v  2bvớia b,  ; từ đó ta suy ra mọi phần tử của A đều thuộc ' A Vậy A A  'ii) Theo bảng d 1 ta có u2 dv khi và chỉ khi ,2 u v là những số nguyên

CHƯƠNG 2.

TÍNH CHẤT SỐ HỌC TRONG VÀNH SỐ NGUYÊN ĐẠI SỐ CỦA TRƯỜNG  3

2.1 Trường  3 Vành các số nguyên đại số của trường  3

của  3 cũng thuộc tập hợp này

Giả sử   x y  3  3 , nếu   0 thì x  0 hoặc y  0.Khi đó:

Nếu u  0 (mod2), nghĩa làa thì u2 0 (mod4 ).

Nên từ u2 3v2  0 (mod4 ) suy ra v2 0 (mod4 ) do đó v  0(mod2), nghĩa là b 

Từ đó ta có:

Nên từ u2 3v2  0 (mod4 ) suy ra v2 1 (mod4 ).

Do đó v 1 (mod2) nghĩa làv  2n 1 với n.

Như vậy, trong mọi trường hợp ta đều có  A

Đảo lại, giả sử   ,A       

Từ đó suy ra  là số nguyên đại số của trường  3

Ta cóU A      1, , 1   Thật vậy:

Giả sử   a b  U là một đơn vị của A  A

Khi đó N  1 suy ra a2 ab b 2 1 hay

a a

a a

+ Ta gọia b là hai hệ số của số nguyên,   a b   A

Ta thấy rằng trong sáu số nguyên đại số liên kết với  luôn có hai hệ

số không âm

Thật vậy:

 Với a b, 0 ta có a b là số nguyên có hai hệ số không âm. 

Nếua b thì số thứ hai có hai hệ số không âm là a b a   

Nếua b thì số thứ hai có hai hệ số không âm là b a b 

 Với a b,  0 ta có  a b là số có hai hệ số không âm. 

Nếu a  b thì số thứ hai có hai hệ số không âm là  b a b  Nếu a  b thì số thứ hai có hai hệ số không âm là a b a 

 Với a  0,b  0 ta có b a b  và a b a là hai số có hai 

hệ số không âm

 Với a  0,b  0 ta cóa b a và    b a b  là hai số có hai hệ

số không âm

 Nếua b thì ta có  a1  liên kết với a

2.2 Tính chia hết trong vành các số nguyên đại số  A

Định nghĩa 2.2.1 Cho hai số nguyên  ,  ,A   0 Ta nói rằng  chiahết  hay  là ước của  nếu 

thuộc  Kí hiệuA  \ Khi ấy tacũng nói  chia hết cho  hay là bội số của , kí hiệu  

Trong trường hợp  không chia hết  ta viết

Mệnh đề 2.2.2 Cho   a b ,    c d  , A   0 Khi đó điều kiện

cần và đủ để   \ là N  chia hết bc ad và N  chia hết

ac bd ad trong vành các số nguyên hữu tỉ 