Các phương pháp hiệu chỉnh trong bài toán cân bằng và ứng dụng

46 3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng trong không gian Euclide 48 3.1 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 49 3.2 Hiệu chỉnh Tikhonov cho BTCB

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC ĐÀ LẠT

PHẠM GIA HƯNG

CÁC PHƯƠNG PHÁP HIỆU CHỈNH TRONG BÀI TOÁN CÂN BẰNG

VÀ ỨNG DỤNG

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

ĐÀ LẠT – 2014

LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học:

1 GS.TSKH Lê Dũng Mưu - Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam

2 TS Lê Minh Lưu - Trường Đại học Đà Lạt

ĐÀ LẠT – 2014

Lời cam đoan

Các kết quả trình bày trong luận án là công trình nghiên cứu của tôi đượchoàn thành dưới sự hướng dẫn của GS.TSKH Lê Dũng Mưu; TS Lê MinhLưu đã có những ý kiến đóng góp sữa chữa luận án Các kết quả trong luận

án là mới và chưa từng được công bố trong các công trình của người khác.Tôi xin chịu trách nhiệm với những lời cam đoan của mình

Tác giả

Phạm Gia Hưng

Lời cám ơn

Luận án này được hoàn thành tại Trường Đại học Đà Lạt và Viện Toánhọc thuộc Viện Hàn lâm Khoa học và Công nghệ Việt Nam dưới sự hướng dẫntận tình của GS.TSKH Lê Dũng Mưu; TS Lê Minh Lưu đã có những ý kiếnđóng góp giúp tác giả sữa chữa luận án Tác giả xin bày tỏ lòng biết ơn sâusắc tới các Thầy

Trong quá trình học tập và nghiên cứu, thông qua các bài giảng, hội nghị

và seminar, tác giả luôn nhận được sự quan tâm giúp đỡ cũng như có đượcnhững ý kiến đóng góp quý báu của các Thầy Cô ở Trường Đại học Đà Lạt vàViện Toán học Tác giả xin chân thành cám ơn

Tác giả xin trân trọng cám ơn Ban lãnh đạo Trường Đại học Đà Lạt, PhòngĐào tạo Đại học và Sau đại học, Khoa Sau đại học - Trường Đại học Đà Lạt;Ban lãnh đạo của Viện Toán học; Ban lãnh đạo Trường Đại học Nha Trang,Khoa Khoa học cơ bản, Khoa Công nghệ thông tin - Trường Đại học NhaTrang; đã tạo mọi điều kiện thuận lợi cho tác giả trong thời gian làm nghiêncứu sinh

Xin được cám ơn anh chị em cùng nhóm nghiên cứu, bạn bè và đồng nghiệpgần xa đã trao đổi, động viên và khích lệ tác giả trong suốt quá trình học tập,nghiên cứu và làm luận án

Tác giả xin kính tặng những người thân yêu trong gia đình của mình niềmvinh hạnh to lớn này

Mục lục

1.1 Sự hội tụ yếu trên không gian Hilbert 16

1.2 Phép chiếu lên tập lồi đóng - Các định lý tách tập lồi 18

1.3 Tính liên tục của hàm lồi 19

1.4 Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi 22

1.5 Cực trị của hàm lồi 23

1.6 Tính liên tục của ánh xạ đa trị 24

1.7 Kết luận 27

2 Sự tồn tại nghiệm và một số cách tiếp cận giải bài toán cân bằng 28 2.1 Bài toán cân bằng (BTCB) và các trường hợp riêng 28

2.2 Sự tồn tại nghiệm và một số tính chất cơ bản của BTCB 36

2.3 Một số cách tiếp cận giải BTCB 44

2.4 Kết luận 46

3 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov cho bài toán cân bằng trong không gian Euclide 48 3.1 Bài toán đặt không chỉnh và phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov 49 3.2 Hiệu chỉnh Tikhonov cho BTCB đơn điệu 53

3.3 Hiệu chỉnh Tikhonov cho BTCB giả đơn điệu 58

3.4 Áp dụng vào bất đẳng thức biến phân đa trị 66

3.5 Kết luận 68

4 Các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề xấp xỉcho bài toán cân bằng trong không gian Hilbert 694.1 Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov xấp xỉ 704.2 Phương pháp điểm gần kề xấp xỉ 774.3 Áp dụng vào bất đẳng thức biến phân đa trị 834.4 Giải BTCB giả đơn điệu theo cách tiếp cận giải bài toán tối ưuhai cấp 854.5 Tính ổn định 874.6 Kết luận 91

Danh mục các công trình liên quan đến luận án đã công bố 95

Một số ký hiệu và chữ viết tắt

Rn không gian Euclide n chiều

X∗ không gian đối ngẫu của không gian X

hx, yi tích vô hướng của hai vectơ x và y

kxk := phx, xi chuẩn của vectơ x

f−1 ánh xạ ngược của ánh xạ f

f−1(V ) nghịch ảnh của tập V qua ánh xạ fdomf miền hữu hiệu của ánh xạ f

epif trên đồ thị của ánh xạ f

f0(x) hay ∇f (x) đạo hàm của f tại điểm x

f0(x, d) đạo hàm theo phương d của f tại điểm x

∂f (x) dưới vi phân của f tại điểm x

min{f (x) : x ∈ D} giá trị cực tiểu của f trên tập D

max{f (x) : x ∈ D} giá trị cực đại của f trên tập D

argmin{f (x) : x ∈ D} tập các điểm cực tiểu của f trên tập Dargmax{f (x) : x ∈ D} tập các điểm cực đại của f trên tập D

intD phần trong của tập D

riD phần trong tương đối của tập D

dD(x) khoảng cách từ điểm x đến tập D

pD(x) hình chiếu của điểm x trên tập D

ND(x) nón pháp tuyến của tập D tại điểm xdiamD := sup

x,y∈D

kx − yk đường kính của của tập DB(a, r) quả cầu đóng tâm a bán kính r

B(a, r) quả cầu mở tâm a bán kính r

S(a, r) mặt cầu tâm a bán kính r

xk → x dãy xk hội tụ mạnh tới điểm x

xk * x dãy xk hội tụ yếu tới điểm x

lim := lim sup giới hạn trên

lim := lim inf giới hạn dưới

E(K, f ) bài toán cân bằng

N E(K, f ) bài toán cân bằng Nash

V I(K, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân (đơn trị)

M V I(K, F ) bài toán bất đẳng thức biến phân đa trịO(K, f ) bài toán tối ưu

(BO) bài toán tối ưu hai cấp

Pd bài toán đối ngẫu của bài toán P

SPδ tập δ − nghiệm của bài toán P

Mở đầu

Cho H là không gian Hilbert thực, K ⊆ H là tập lồi đóng khác rỗng và

f : K × K → R là song hàm cân bằng, tức là f thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi

x ∈ K Xét bài toán

E(K, f ) : Tìm x ∈ K sao cho f (x, y) ≥ 0, ∀y ∈ K

Bài toán này lần đầu tiên được đưa ra vào năm 1955 bởi H Nikaido, K.Isoda [44] nhằm tổng quát hóa bài toán cân bằng Nash1 trong trò chơi khônghợp tác và vào năm 1972, nó được xét đến dưới dạng một bất đẳng thứcminimax bởi tác giả Ky Fan2 [20], người đã có nhiều đóng góp quan trọng chobài toán nên bài toán được gọi là Bất đẳng thức Ky Fan (Ky Fan Inequality ).Bài toán E(K, f ) thường được sử dụng để thiết lập điểm cân bằng trong

Lý thuyết trò chơi (Games Theory ), bởi thế nó còn có tên gọi khác là Bài toáncân bằng (Equilibrium Problem) theo cách gọi của các tác giả L.D Muu, W.Oettli [40] năm 1992 và E Blum,W Oettli [10] năm 1994

Bài toán cân bằng (viết tắt là BTCB) khá đơn giản về mặt hình thức nhưng

nó bao hàm được nhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khácnhau như bài toán tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani,điểm yên ngựa, cân bằng Nash, v.v [8, 23, 40]; nó hợp nhất các bài toán nàytheo một phương pháp nghiên cứu chung rất tiện lợi Nhiều kết quả của cácbài toán nói trên có thể mở rộng cho BTCB tổng quát với những điều chỉnhphù hợp và do vậy thu được nhiều ứng dụng rộng lớn [10, 26, 27, 36, 37, 49]

1 John Forbes Nash Jr (13/06/1928) là một nhà toán học người Mỹ chuyên nghiên cứu

về lý thuyết trò chơi và hình học vi phân Năm 1994, ông nhận được giải thưởng Nobel về kinh tế cùng với hai nhà nghiên cứu lý thuyết trò chơi khác là Reinhard Selten và John Harsanyi.

2 Ky Fan (19/09/1914−22/03/2010) là nhà toán học Mỹ gốc Hoa, giáo sư danh dự trường Đại học California, Santa Barbara.

Các nhà nghiên cứu cũng đã chỉ ra rằng, nhiều bài toán thực tế như tối ưu,kinh tế và kỹ thuật có thể mô tả được dưới dạng BTCB [8, 41, 42] Điều đó

đã giải thích được vì sao BTCB ngày càng được nhiều người quan tâm.Các hướng nghiên cứu đang được chú trọng đối với BTCB là: nghiên cứunhững vấn đề định tính như sự tồn tại nghiệm, cấu trúc tập nghiệm, tính ổnđịnh [6, 8, 25, 30, 39, 58] và định lượng như phương pháp giải, tính hội tụ[8, 9, 23, 26, 29, 33, 36, 37, 42, 45, 46, 48, 49]; ứng dụng bài toán này vào trongthực tế, đặc biệt vào các mô hình kinh tế [41, 42] Trong việc nghiên cứu nhữngvấn đề này, các phương pháp giải đóng một vai trò rất quan trọng Đến nay

đã có một số kết quả đạt được cho một số lớp BTCB với các giả thiết lồi vàđơn điệu, trong đó chủ yếu sử dụng phương pháp điểm gần kề (proximal pointmethod ), phương pháp nguyên lý bài toán phụ (auxiliary subproblem principlemethod ), phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov (Tikhonov regularization method ),phương pháp hàm đánh giá (gap function method ), và đặc biệt là các phươngpháp chiếu (projection methods)

Bài toán E(K, f ), khi hàm f không có tính đơn điệu mạnh, nói chung làbài toán đặt không chỉnh (ill-posed problem) theo nghĩa bài toán không có duynhất nghiệm hoặc nghiệm của nó không ổn định theo dữ kiện ban đầu, tức

là một thay đổi nhỏ của các dữ liệu có thể dẫn đến sự sai khác rất lớn củanghiệm, thậm chí làm cho bài toán trở nên vô nghiệm hoặc vô định Nhiều vấn

đề khoa học, công nghệ, kinh tế, sinh thái, v.v gặp phải các bài toán thuộcloại này

Do các số liệu thường được thu thập bằng thực nghiệm và sau đó lại được

xử lý trên máy tính nên chúng không tránh khỏi có sai số Chính vì thế, tacần phải có những phương pháp giải ổn định các bài toán đặt không chỉnhsao cho khi sai số của dữ liệu càng nhỏ thì nghiệm xấp xỉ tìm được càng gầnvới nghiệm đúng của bài toán xuất phát Hiệu chỉnh là một trong những kỹthuật quan trọng tạo nên các phương pháp giải ổn định; nó thường được dùng

để xử lý những bài toán đặt không chỉnh trong toán học ứng dụng như tối ưulồi, bất đẳng thức biến phân, v.v Các phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov vàđiểm gần kề là những phương pháp rất hay được sử dụng Ý tưởng chính củacác phương pháp này là: xây dựng các bài toán hiệu chỉnh bằng cách cộng vàotoán tử của bài toán gốc một toán tử đơn điệu mạnh phụ thuộc vào tham số

sao cho bài toán hiệu chỉnh có nghiệm duy nhất Khi đó, với các điều kiện phùhợp, dãy lặp nhận được bằng cách giải bài toán hiệu chỉnh, có giới hạn là mộtnghiệm nào đó của bài toán gốc khi cho tham số dần tới một điểm giới hạnthích hợp.

Những người có công đặt nền móng cho lý thuyết các bài toán đặt khôngchỉnh là A.N Tikhonov [54, 55], M.M Lavrent’ev [32], V.K Ivanov, V.V.Vasin, V.P Tanana [24], Do tầm quan trọng đặc biệt của lý thuyết này

mà nhiều nhà toán học nước ngoài như Ya.I Alber, K.E Atkinson, A.B.Bakushinskii, J Baumeiser, H.W Engl, F Gilbert, và trong nước như ĐặngĐình Áng, Phạm Kỳ Anh, Lâm Quốc Anh, Nguyễn Bường, Đinh Nho Hào,Phan Quốc Khánh, Lê Minh Lưu, Lê Dũng Mưu, Phạm Hữu Sách, NguyễnNăng Tâm, Nguyễn Xuân Tấn, Đặng Đức Trọng, Nguyễn Đông Yên, cùngvới các đồng sự đã dành nhiều công sức của mình cho việc nghiên cứu cácphương pháp giải bài toán đặt không chỉnh

Năm 1963, A.N Tikhonov3 đưa ra phương pháp hiệu chỉnh nổi tiếng và kể

từ đó lý thuyết các bài toán đặt không chỉnh phát triển một cách nhanh chóng

và có mặt ở hầu hết các bài toán trong thực tế Nội dung chủ yếu của phươngpháp này là xây dựng nghiệm hiệu chỉnh cho phương trình toán tử

A(x) = b

trong không gian Hilbert thực dựa trên việc tìm phần tử cực tiểu xδ

εcủa phiếmhàm

Fεδ(x) := kA(x) − bδk2+ εkx − xgk2,trong đó ε > 0 là tham số hiệu chỉnh và xg là phần tử cho trước đóng vai tròphần tử tuyển chọn

Trong những năm gần đây, nhiều tác giả [22, 28, 43, 52] đã áp dụng phươngpháp hiệu chỉnh Tikhonov vào việc giải bài toán bất đẳng thức biến phân

V I(K, F ) : Tìm x ∈ K sao cho hF (x), y − xi ≥ 0, ∀y ∈ K

3 Andrey Nikolayevich Tikhonov (30/10/1906 − 8/11/1993) là nhà toán học Nga nổi tiếng với những đóng góp quan trọng trong các lĩnh vực tôpô, giải tích hàm, vật lý toán và các bài toán đặt không chỉnh Ông cũng là một trong những nhà phát minh ra phương pháp địa từ trong địa chất học.

với F : K → K là toán tử đơn trị Để giải bài toán này, theo phương pháphiệu chỉnh Tikhonov, người ta giải một dãy bài toán hiệu chỉnh

Tìm xk∈ K sao cho εk(xk), y − xk ≥ 0, ∀y ∈ K, (1)trong đó Fεk(x) := F (x) + εkx và {εk} là dãy các số thực dương sao cho

dù các bài toán hiệu chỉnh không duy nhất nghiệm nhưng dãy {xk}, với xk

được chọn tùy ý trong tập nghiệm của bài toán (1), vẫn hội tụ về nghiệm cóchuẩn bé nhất của bài toán gốc Năm 2008, N.N Tam, J.-C Yao, N.D Yen[52] đã phát triển các kết quả trên của N.T Hao vào không gian Hilbert thực

vô hạn chiều H và họ đã cho thấy rằng, nếu F giả đơn điệu và liên tục yếutrên K ⊆ H và tập nghiệm của bài toán gốc khác rỗng thì tập nghiệm của bàitoán hiệu chỉnh bị chặn đều và là khác rỗng nếu như toán tử hiệu chỉnh Fεkgiả đơn điệu Ngoài ra, nếu F liên tục trên K thì bất kỳ dãy con hội tụ nàocủa {xk} cũng hội tụ về nghiệm có chuẩn bé nhất của bài toán gốc

Dễ dàng thấy rằng, nếu đặt f (x, y) := hF (x), y − xi thì ta có thể mô tảđược bài toán bất đẳng thức biến phân V I(K, F ) dưới dạng bài toán cân bằngE(K, f ) Điều này gợi ý cho ta việc mở rộng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonovvào giải bài toán E(K, f ) với bài toán hiệu chỉnh

trường hợp riêng quan trọng khi g là hàm khoảng cách được cho bởi

g(x, y) := hx − xg, y − xi Năm 2003, I.V Konnov và O.V Pinyagina [27] đã chứng tỏ được rằng: Vớigiả thiết f là hàm cân bằng đơn điệu trên K; f (x, ) và g(x, ) lồi, nửa liên tụcdưới ở trên K với mỗi x ∈ K; g(., y) bán liên tục ở trên K với mỗi y ∈ K và

g thỏa tính chất

|g(x, y)| ≤ kxkkx − yk, ∀x, y ∈ K

Khi đó fεk đơn điệu mạnh và bài toán hiệu chỉnh (2) có duy nhất nghiệm xk

với mọi εk> 0 và dãy nghiệm {xk} hội tụ về nghiệm duy nhất của BTCB

g(x, y) ≥ 0, ∀y ∈ SE(K, f ),trong đó SE(K, f ) là tập nghiệm của bài toán gốc E(K, f )

Vấn đề đặt ra là, trong trường hợp f là giả đơn điệu thay vì đơn điệu thìphương pháp hiệu chỉnh Tikhonov có còn áp dụng cho BTCB được hay không?

Và nếu áp dụng được thì các kết quả của I.V Konnov và O.V Pinyagina [27]cho BTCB đơn điệu cũng như của N.T Hao [22] và của nhóm tác giả N.N.Tam, J.-C Yao, N.D Yen [52] cho bất đẳng thức biến phân giả đơn điệu cócòn giá trị cho BTCB giả đơn điệu nữa hay không? Những vấn đề này sẽ đượcchúng ta giải quyết trong luận án

Một phương pháp hiệu chỉnh quen thuộc khác đó là phương pháp điểm gần

kề Phương pháp này được đề xuất bởi B Martinet [34] vào năm 1970 cho bấtđẳng thức biến phân và được phát triển bởi R.T Rockafellar [50] trong năm

1976 cho bao hàm thức đơn điệu cực đại Cũng từ đây, phương pháp đó trởthành một trong những phương pháp thông dụng nhất để giải rất nhiều bàitoán trong các lĩnh vực khác nhau như phương trình phi tuyến, bài toán tối

ưu, bài toán cân bằng,

Tương tự như phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, để giải bài toán E(K, f )theo phương pháp điểm gần kề, người ta giải dãy bài toán phụ

Điểm khác biệt cơ bản của phương pháp điểm gần kề so với phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov đó là, tại mỗi bước lặp của phương pháp điểm gần kề, bài toánhiệu chỉnh phụ thuộc vào điểm lặp ở bước trước và tham số hiệu chỉnh ck > 0không cần dần đến 0.

Năm 1999, A.Moudafi [37] đã xét bài toán hiệu chỉnh

Tìm xk∈ K sao cho fk(xk, y) ≥ 0, ∀y ∈ K, (4)trong đó

fk(xk, y) := f (xk, y) + ck 0(xk) − h0(xk−1), y − xk

Ông đã chỉ ra rằng: Nếu f đơn điệu và bán liên tục trên ở trên K ⊆ H sao cho

f (x, ) lồi, nửa liên tục dưới ở trên K với mỗi x ∈ K; h là hàm lồi mạnh vàđạo hàm của nó liên tục Lipshitz trên K thì bài toán (4) có duy nhất nghiệm

xk và dãy nghiệm {xk} hội tụ yếu về nghiệm của bài toán gốc E(K, f ).Cũng trong tài liệu [52], khi áp dụng phương pháp điểm gần kề cho bàitoán bất đẳng thức biến phân V I(K, F ), nhóm tác giả N.N Tam, J.-C Yao,N.D Yen đã xét bài toán hiệu chỉnh

Tìm xk∈ K sao cho k(xk), y − xk ≥ 0, ∀y ∈ K, (5)trong đó Fk(x) := ρkF (x) + x − xk−1 và ρk≥ ρ > 0 với ρ là hằng số Họ đã chothấy, nếu F giả đơn điệu, liên tục yếu trên K ⊆ H và tập nghiệm của bài toángốc V I(K, F ) khác rỗng thì tập nghiệm của bài toán (5) khác rỗng nếu như

Fk giả đơn điệu Khi đó dãy {xk}, với xk được chọn tùy ý trong tập nghiệmcủa bài toán (5), bị chặn Ngoài ra, nếu F liên tục trên K và tồn tại một dãycon của {xk} hội tụ về ¯x ∈ H thì ¯x là nghiệm của bài toán gốc và toàn bộ dãy{xk} hội tụ về ¯x

Cũng như đối với phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov, vấn đề đặt ra chochúng ta ở đây là phải chứng tỏ được rằng, các kết quả của N.N Tam, J.-C.Yao, N.D Yen [52] khi áp dụng phương pháp điểm gần kề cho bài toán bấtđẳng thức biến phân giả đơn điệu và phương pháp điểm gần kề của A Moudafi[37] cho BTCB đơn điệu, vẫn có thể phát triển được cho BTCB giả đơn điệu.Mục đích của luận án nhằm nghiên cứu một số phương pháp hiệu chỉnhcho BTCB đặt không chỉnh trên cơ sở giải quyết các vấn đề sau đây:

1) Mở rộng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và điểm gần kề vào BTCB đặtkhông chỉnh đơn điệu và giả đơn điệu, đặc biệt là giả đơn điệu Nghiên cứu

sự hội tụ của các phương pháp giải và giải quyết vấn đề đặt không chỉnhcủa bài toán

2) Bàn về tính ổn định của các phương pháp giải, đặc biệt là phương pháphiệu chỉnh Tikhonov, đối với BTCB đơn điệu và giả đơn điệu

3) Áp dụng các kết quả đã đạt được vào bài toán bất đẳng thức biến phân đatrị và bài toán tối ưu hai cấp

Nội dung của luận án được trình bày trong bốn chương; các kết quả chínhcủa luận án nằm ở một phần của Chương 2 và toàn bộ hai chương cuối.Chương 1 chỉ có tính chất bổ trợ, làm công cụ phục vụ cho các chương saucủa luận án Cụ thể, chương này đã nhắc lại một số khái niệm và các kết quảcần thiết nhất về giải tích hàm, giải tích lồi và giải tích đa trị như: sự hội tụyếu trong không gian Hilbert, phép chiếu lên tập lồi đóng và các định lý táchtập lồi, tính liên tục của hàm lồi, đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi, cựctrị của hàm lồi, và tính liên tục của ánh xạ đa trị

Phần thứ nhất của Chương 2 giới thiệu BTCB và để thấy được ý nghĩacủa bài toán này, ta sẽ đưa ra một số ví dụ, đó chính là những bài toán quenthuộc, các mô hình toán kinh tế có thể mô tả được dưới dạng BTCB Phầnthứ hai nghiên cứu sự tồn tại nghiệm và nêu lên một số tính chất cơ bản củaBTCB Phần cuối trình bày một cách tiếp cận giải BTCB rất quen thuộc, đó

là cách tiếp cận theo nguyên lý bài toán phụ

Phần đầu tiên của Chương 3 đưa ra các khái niệm về bài toán đặt khôngchỉnh, và giới thiệu phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov áp dụng cho phươngtrình toán tử và bất đẳng thức biến phân Phần chính của chương trình bàyviệc mở rộng phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov vào BTCB đặt không chỉnhđơn điệu và giả đơn điệu trong không gian Euclide Rn Đầu tiên, chúng ta sẽchỉ ra rằng, các kết quả hội tụ nhận được từ bất đẳng thức biến phân đơn điệuvẫn còn giá trị cho BTCB đơn điệu Tiếp theo, đối với BTCB giả đơn điệu,điều khó khăn nảy sinh ra trong trường hợp này là các bài toán hiệu chỉnhkhông còn đơn điệu mạnh nữa thậm chí là không giả đơn điệu, vì thế, tínhduy nhất nghiệm của các bài toán này không còn nữa Tuy nhiên, chúng ta

vẫn chứng tỏ được rằng, các bài toán hiệu chỉnh có nghiệm khi và chỉ khi bàitoán gốc có nghiệm, và hơn nữa, bất kỳ quỹ đạo nghiệm nào cũng hội tụ vềcùng một nghiệm của bài toán gốc; điều này đã giải quyết được vấn đề đặtkhông chỉnh của BTCB đơn điệu và giả đơn điệu Sau đó, chúng ta sẽ đưa ramột số thông tin về tập nghiệm của bài toán hiệu chỉnh khi hàm cân bằng củabài toán gốc là giả đơn điệu và thỏa mãn điều kiện bức Phần cuối của chương

áp dụng các kết quả nói trên vào bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị.Phần thứ nhất và thứ hai của Chương 4 nghiên cứu các phương pháp hiệuchỉnh Tikhonov và điểm gần kề xấp xỉ cho BTCB giả đơn điệu trong khônggian Hilbert thực, qua đó cho ta thấy, có thể phát triển các kết quả đạt đượctrong Chương 3 vào không gian vô hạn chiều Chúng ta sẽ chứng tỏ được rằng,bài toán hiệu chỉnh xấp xỉ có nghiệm khi bài toán gốc có nghiệm và bất kỳdãy nghiệm nào của các bài toán hiệu chỉnh xấp xỉ cũng hội tụ về cùng mộtnghiệm của bài toán gốc; nghiệm này cũng chính là hình chiếu của nghiệmphỏng đoán lên tập nghiệm của bài toán E(K, f ) trong trường hợp sử dụngphương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề lai ghép vớiphương pháp siêu phẳng cắt Phần thứ ba áp dụng các kết quả nói trên vàobài toán bất đẳng thức biến phân đa trị giả đơn điệu Để thấy được ý nghĩacủa các kết quả đạt được trong luận án, hai phần cuối của chương trình bàymột cách giải BTCB giả đơn điệu và bàn về tính ổn định của các phương pháphiệu chỉnh Tikhonov và phương pháp điểm gần kề lai ghép với phương phápsiêu phẳng cắt áp dụng cho BTCB đặt không chỉnh thông qua cách tiếp cậngiải bài toán tối ưu hai cấp

Các kết quả của chúng tôi nêu trong luận án đã được báo cáo tại

• Hội thảo khoa học Sau đại học

Đại học Đà lạt, 25/11/2009

• Hội thảo Tối ưu và Tính toán khoa học lần thứ 8

Ba Vì−Hà Nội, 20−23/04/2010

• Hội thảo khoa học Khoa khoa học cơ bản

Đại học Nha Trang, 24/01/2011

• Hội thảo Công nghệ thông tin và Toán ứng dụng lần thứ nhất

Đại học Nha Trang, 17/06/2011

• The 8th Vietnam−Korea Workshop:

"Mathematical Optimization Theory and Applications"

University of Dalat, 08−10/12/2011

• Hội thảo "Một số hướng nghiên cứu mới trong giải tích và ứng dụng".Đại học Hồng Đức, Thanh Hóa, 24-27/05/2012

• Đại hội Toán học toàn quốc lần thứ 8

Trường Sĩ quan Kỹ thuật thông tin, Nha Trang, 10-14/08/2013

Chương 1

Một số kiến thức bổ trợ

Chương này nhắc lại một số khái niệm và các kết quả cần thiết nhất vềgiải tích hàm, giải tích lồi và giải tích đa trị Nội dung của chương chủ yếuđược lấy từ các tài liệu [3, 4, 5, 11, 51, 56, 59, 62]

Định nghĩa 1.1.1 Cho H là không gian vectơ thực Tích vô hướng là dạngsong tuyến tính từ H × H vào R, đối xứng và xác định dương Một khônggian vectơ được trang bị một tích vô hướng, ký hiệu là h., i, và đầy đủ đối vớichuẩn

kxk := phx, xi, ∀x ∈ Hđược gọi là một không gian Hilbert thực (a real Hilbert space) Từ đây ta luôn

ký hiệu H là không gian Hilbert thực

Nhắc lại rằng, tích vô hướng hx, yi là một hàm liên tục theo x và y; thỏamãn bất đẳng thức Cauchy-Schwarz

Định lý 1.1 (Định lý Riesz-Fréchet) (Xem [11, Theorem III.5]) Giả sử

H∗ là không gian đối ngẫu của H (không gian các phiếm hàm tuyến tính liêntục trên H) Khi đó, với mọi f ∈ H∗ tồn tại duy nhất a ∈ H sao cho

f (x) = ha, xi và kf k = kak (1.1)Định lý Riesz-Fréchet có ý nghĩa rất cơ bản trong toàn bộ lý thuyết khônggian Hilbert; nó chứng tỏ rằng, mọi phiếm hàm tuyến tính trên không gianHilbert H có thể được biểu diễn thành tích vô hướng, và hơn nữa, ánh xạ xácđịnh bởi (1.1) là một phép đẳng cự tuyến tính cho phép đồng nhất không gianđối ngẫu H∗ với H (sai khác một đẳng cấu)

Định nghĩa 1.1.2 Tôpô yếu (weak topology ) σ := σ(H, H∗) trên H là tôpôyếu nhất đảm bảo cho tất cả các ánh xạ ϕf : H → R, được xác định bởi

ϕf(x) = f (x), ∀x ∈ H, ∀f ∈ H∗,liên tục

Ta nói dãy {xk} ⊂ H hội tụ yếu (weak convergence) về vectơ x ∈ H, kýhiệu xk * x, nếu {xk} hội tụ về x theo tôpô yếu σ Nếu limk→∞kxk− xk = 0thì ta nói {xk} hội tụ mạnh (strong convergence) về x và viết xk → x

Định lý 1.2 (Xem [11, Propositions III.5, III.30]) Giả sử {xk} ⊂ H và{fk} ⊂ H∗ Khi đó

Khi H là không gian hữu hạn chiều thì tôpô yếu và tôpô thông thường trên

H trùng nhau Đặc biệt, một dãy hội tụ yếu khi và chỉ khi nó hội tụ mạnh.Mọi tập đóng (mở, tương ứng) đối với tôpô yếu là đóng (mở, tương ứng)đối với tôpô mạnh Điều ngược lại là không đúng trong trường hợp không gian

vô hạn chiều Tuy nhiên, với các tập lồi hai khái niệm đóng yếu và đóng làtrùng nhau Nhắc lại rằng:

Định nghĩa 1.1.3 Cho X là không gian vectơ và K ⊆ X Ta gọi K là tậplồi (convex set ) nếu

đề khác nhau trong toán học ứng dụng

Định nghĩa 1.2.1 Cho D ⊂ H khác rỗng Với x ∈ H, đặt

dD(x) := inf

y∈Dkx − yk

và gọi dD(x) là khoảng cách từ x đến D Nếu tồn tại x∗ ∈ D sao cho dD(x) =kx−x∗k thì x∗ được gọi là hình chiếu metric của x trên D, ký hiệu x∗ := pD(x).Định lý 1.3 (Phép chiếu lên tập lồi đóng) (Xem [11, Propositions V.2,V.3]) Cho K ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng Khi đó

a) Với mọi x ∈ H, hình chiếu x∗ của x trên K luôn tồn tại duy nhất và

x∗ = pK(x) ⇔ hx − x∗, y − x∗i ≤ 0, ∀y ∈ K

b) Ánh xạ pK : H → K có các tính chất sau

b1) kpK(x) − pK(y)k ≤ kx − yk, ∀x, y (tính không giãn)

b2) kpK(x) − pK(y)k2 ≤ hpK(x) − pK(y), x − yi , ∀x, y (tính đồng bức)

Trong giải tích lồi cũng như nhiều lý thuyết toán học khác như giải tíchhàm, giải tích không trơn, giải tích phi tuyến v.v , các định lý tách hai tậplồi có một vai trò quan trọng Chúng thuộc loại định lý chọn và là công cụmạnh thường được dùng để chứng minh sự tồn tại của một đối tượng nào đó.Định nghĩa 1.2.2 Cho C, D ⊂ H Ta nói hai tập C và D là tách được nếu

Định lý 1.4 (Xem [59, Định lý 3.2]) Giả sử C, D ⊂ H là hai tập lồi khácrỗng sao cho C ∩ D = ∅ và intC 6= ∅ Khi đó, C và D là tách được

Định lý 1.5 (Xem [59, Định lý 3.3]) Giả sử C ⊂ H là tập lồi đóng khác rỗng

và x ∈ H \ C Khi đó, x tách mạnh C

Định nghĩa 1.3.1 Cho X là không gian vectơ, K ⊆ X là tập lồi và hàm

b) Các tập

domf := {x ∈ K : f (x) < +∞},epif := {(x, γ) ∈ K × R : f (x) ≤ γ},tương ứng, được gọi là miền hữu hiệu (effective domain) và trên đồ thị(epigraph) của f

c) Hàm f được gọi là chính thường (proper function) nếu domf 6= ∅ Hàm

f được gọi là lõm (concave function) trên K nếu −f là lồi trên K Hàm

f được gọi là đóng (closed function) trên K nếu epif là một tập đóngtrong X × R

Các ví dụ tiêu biểu về hàm lồi là hàm chuẩn, hàm khoảng cách, hàm chỉ

(n2) Nếu f là hàm lồi thì domf là một tập lồi bởi domf là hình chiếu củaepif lên X

(n3) Hàm f lồi mạnh trên K với hệ số µ khi và chỉ khi hàm h(x) := f (x) −

Kết luận ngược lại của Định lý 1.8 là không đúng, tức là, một hàm f màmọi tập mức dưới của nó đều lồi thì có thể không lồi trên K Hàm f có tínhchất như thế được gọi là tựa lồi (quasiconvex function) trên K Hàm f đượcgọi là tựa lõm (quasiconcave function) trên K nếu −f là tựa lồi trên K.Định nghĩa 1.3.2 Cho f : H → R.

a) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ H nếu

∀{xk} ⊂ H : xk→ x0 ⇒ limk→∞f (xk) ≥ f (x0)

b) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới yếu tại x0 ∈ H nếu

∀{xk} ⊂ H : xk* x0 ⇒ limk→∞f (xk) ≥ f (x0)

c) Hàm f được gọi là nửa liên tục dưới (nửa liên tục dưới yếu, tương ứng)

ở trên D ⊆ H nếu nó nửa liên tục dưới (nửa liên tục dưới yếu, tươngứng) tại mọi x ∈ D Hàm f được gọi là nửa liên tục trên (nửa liên tụctrên yếu, tương ứng) nếu −f là nửa liên tục dưới (nửa liên tục dưới yếu,tương ứng) Hàm f được gọi là liên tục (liên tục yếu, tương ứng) nếu nóvừa nửa liên tục dưới (nửa liên tục dưới yếu, tương ứng) vừa nửa liêntục trên (nửa liên tục trên yếu, tương ứng)

Định lý 1.8 (Xem [59, Mệnh đề 2.3]) Giả sử f : H → R là hàm lồi Khi đó,các khẳng định sau là tương đương nhau:

a) Hàm f nửa liên tục dưới ở trên H

b) Trên đồ thị epif là một tập đóng trong H

c) Với mọi số thực α, tập mức dưới Lα(f ) là một tập đóng

Định lý 1.9 (Xem [59, Định lý 2.9]) Giả sử f là hàm lồi chính thường trên

H và x0 ∈ H Khi đó, các khẳng định sau đây là tương đương nhau:

a) f liên tục tại điểm x0

b) f bị chặn trên trong một lân cận của x0

c) int(epif ) 6= ∅

d) int(domf ) 6= ∅ và f liên tục trong int(domf )

trong đó intD là ký hiệu phần trong của tập D

1.4 Đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồiĐịnh nghĩa 1.4.1 Giả sử f : H → R, x ∈ H và d ∈ H\{0} Ta nói

a) f khả vi (Fréchet differentiable) tại x nếu tồn tại x∗ ∈ H∗ sao cho

hx∗, z − xi ≤ f (z) − f (x), ∀z ∈ H

Tập tất cả dưới đạo hàm của f tại x được gọi là dưới vi phân (subdifferential )của f tại x, ký hiệu ∂f (x) Hàm f được gọi là khả dưới vi phân (subdifferen-tiable) tại x nếu ∂f (x) 6= ∅

Định nghĩa 1.4.3 Cho K là một tập lồi khác rỗng trong H Vectơ p ∈ H∗được gọi là pháp tuyến của K tại x ∈ K nếu

hp, z − xi ≤ 0, ∀z ∈ K

Tập tất cả các vectơ pháp tuyến của K tại x được gọi là nón pháp tuyến(normal cone) của K tại x, ký hiệu là NK(x); tập −NK(x) được gọi là nónpháp tuyến trong của K tại x

Định lý 1.10 (Xem [59, Định lý 4.1, 4.3, 4.6, Mệnh đề 4.6]) Giả sử f là hàmlồi chính thường trên H và x ∈ domf Khi đó

a) f có đạo hàm theo mọi phương tại x và

Định nghĩa 1.5.1 Cho tập D ⊆ H và hàm f : D → (−∞, ∞] Ta nói f đạtcực tiểu (tương ứng, cực đại) địa phương tại x0 ∈ D nếu tồn tại một lân cận

U của x0 sao cho

Định lý 1.12 (Quy tắc Fermat) (Xem [4, Theorem 16.2]) Giả sử f : H →(−∞, +∞] là hàm lồi chính thường, khả dưới vi phân Khi đó

x∗ ∈ argmin{f (x) : x ∈ H} ⇔ 0 ∈ ∂f (x∗)

Định lý 1.13 (Xem [59, Định lý 5.1]) Cho f : H → (−∞, +∞] là hàm lồi,khả dưới vi phân và K ⊆ H là tập lồi khác rỗng Khi đó, nếu f liên tục tạimột điểm nào đó của K và x∗ ∈ argmin{f (x) : x ∈ K} thì

0 ∈ ∂f (x∗) + NK(x∗) (1.2)Ngược lại, nếu (1.2) đúng tại x∗ thì x∗ ∈ argmin{f (x) : x ∈ K}

Chúng ta thường gặp ánh xạ đa trị mỗi khi phải đối mặt với các bài toánngược hoặc những bài toán đặt không chỉnh, tức là những bài toán mà sự tồntại nghiệm hoặc tính duy nhất nghiệm của chúng không được đảm bảo bởicác dữ kiện ban đầu Ánh xạ đa trị là một công cụ sắc bén giúp ta giải quyếtnhiều vấn đề trong nhiều lĩnh vực khác nhau

Định nghĩa 1.6.1 Cho X và Y là hai không gian tôpô Một ánh xạ F từ

X vào tập tất cả các tập con của Y , ký hiệu là F : X → 2Y, được gọi là ánh

xạ (toán tử) đa trị (multivalued or set-valued map) Nếu mỗi x ∈ X tập F (x)chỉ gồm đúng một phần tử của Y thì ta nói F là ánh xạ đơn trị (single-valuedmap) từ X vào Y và sử dụng ký hiệu thông thường F : X → Y

a) Đồ thị và miền hữu hiệu của F , tương ứng, là tập

gphF := {(x, y) ∈ X × Y : y ∈ F (x)},domF := {x ∈ X : F (x) 6= ∅}

b) Ánh xạ ngược F−1: Y → 2X của F được xác định bởi

x ∈ F−1(y) ⇔ y ∈ F (x) ⇔ (x, y) ∈ gphF

c) Với V ⊆ Y , ta gọi tập

F−1(V ) := {x ∈ domF : F (x) ∩ V 6= ∅},

F−(V ) := {x ∈ domF : F (x) ⊂ V },tương ứng, là ảnh ngược và nhân của V qua F

Định nghĩa 1.6.2 Cho X và Y là các không gian tuyến tính tôpô và F :

Định nghĩa 1.6.3 Cho F là ánh xạ đa trị từ không gian tôpô X vào khônggian tôpô Y

a) Ta nói F là nửa liên tục dưới tại x0 ∈ domF nếu với mọi tập mở V ⊂ Ythỏa mãn F (x0) ∩ V 6= ∅, tồn tại một lân cận mở U của x0 sao cho

Định lý 1.14 (Xem [3, Proposition 1.4.4]) Cho X và Y là hai không giantôpô và F : X → 2Y Khi đó

a) F nửa liên tục dưới khi và chỉ khi ảnh ngược qua F của bất kỳ tập mởnào trong Y cũng là tập mở trong X

b) F nửa liên tục trên khi và chỉ khi nhân qua F của bất kỳ tập mở nàotrong Y cũng là tập mở trong X

Định lý 1.15 (Xem [5, Ch.VI, Theorems 3 & 6]) Cho X và Y là hai khônggian tôpô Khi đó, nếu F : X → 2Y nửa liên tục trên thì F là ánh xạ đóng vàảnh qua F của mọi tập compắc trong X cũng là tập compắc trong Y

Định lý 1.16 (Xem [5, Ch.VI, Theorems 7]) Cho X và Y là hai không giantôpô Khi đó, nếu F1 : X → 2Y đóng và F2 : X → 2Y nửa liên tục trên thì

F = F1∩ F2 nửa liên tục trên

Hệ quả 1.17 Nếu Y là không gian compắc thì F : X → 2Y nửa liên tục trênkhi và chỉ khi nó là ánh xạ đóng

Định lý 1.18 (Định lý cực đại Berge) (Xem [5, Ch.VI, Theorems 1, 2 &Maximum Theorem]) Cho X và Y là hai không gian tôpô Giả sử F : X → 2Y

là ánh xạ đa trị có giá trị khác rỗng; ϕ : X × Y → R là hàm số đơn trị Khiđó

a) Nếu ϕ và F nửa liên tục dưới thì hàm số f được xác định bởi

f (x) := sup{ϕ(x, y) : y ∈ F (x)}

là nửa liên tục dưới ở trên X

b) Nếu ϕ và F nửa liên tục trên thì hàm số f được xác định bởi

f (x) := max{ϕ(x, y) : y ∈ F (x)}

là nửa liên tục trên ở trên X

c) Nếu ϕ, F liên tục và F có giá trị compắc thì hàm số f được xác định bởi

f (x) := max{ϕ(x, y) : y ∈ F (x)}

liên tục trên X và ánh xạ đa trị

S(x) := {y ∈ F (x) : ϕ(x, y) = f (x)} = argmax{ϕ(x, y) : y ∈ F (x)}

từ X vào Y có giá trị compắc, khác rỗng và nửa liên tục trên

Định lý sau đây là dạng mở rộng của định lý điểm bất động Kakutani (xem[62, Định lý 1.3.5]) từ trường hợp không gian hữu hạn chiều sang không gian

vô hạn chiều

Định lý 1.19 (Định lý điểm bất động Ky Fan, 1972) (Xem [62, Định

lý 1.3.4]) Cho K là tập lồi compắc khác rỗng trong không gian Banach X và

F : K → 2K là ánh xạ đa trị nửa liên tục trên, có giá trị lồi đóng khác rỗng.Khi đó, F có điểm bất động tức là tồn tại x∗ ∈ K sao cho x∗ ∈ F (x∗)

1.7 Kết luận

Chương 1 chỉ có tính chất bổ trợ, làm công cụ phục vụ cho các chương saucủa luận án Cụ thể, chương này đã nhắc lại một số khái niệm và các kết quảcần thiết nhất về giải tích hàm, giải tích lồi và giải tích đa trị như: sự hội tụyếu trong không gian Hilbert, phép chiếu lên tập lồi đóng và các định lý táchtập lồi, tính liên tục của hàm lồi, đạo hàm và dưới vi phân của hàm lồi, cựctrị của hàm lồi, và tính liên tục của ánh xạ đa trị

và các công trình 3), 4).

hợp riêng

Cho K là tập lồi đóng khác rỗng trong không gian Hilbert thực H và

f : K × K → R thỏa mãn f (x, x) = 0 với mọi x ∈ K; một hàm f như vậyđược gọi là song hàm cân bằng (equilibrium bifunction) Xét bài toán cân bằng

Tìm x∗ ∈ K sao cho f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ K

Ký hiệu bài toán này là E(K, f ) và tập nghiệm của nó là SE(K, f )

Bài toán cân bằng khá đơn giản về mặt hình thức nhưng nó bao hàm đượcnhiều lớp bài toán quan trọng thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau như bài toán

tối ưu, bất đẳng thức biến phân, điểm bất động Kakutani, điểm yên ngựa, cânbằng Nash, v.v ; nó hợp nhất các bài toán này theo một phương pháp nghiêncứu chung rất tiện lợi Nhiều kết quả của các bài toán nói trên có thể mở rộngcho BTCB tổng quát với những điều chỉnh phù hợp và do vậy thu được nhiềuứng dụng rộng lớn Các nhà nghiên cứu cũng đã chỉ ra rằng, nhiều bài toánthực tế như tối ưu, kinh tế và kỹ thuật có thể mô tả được dưới dạng BTCB.Điều đó đã giải thích được vì sao BTCB ngày càng được nhiều người quantâm.

Sau đây là một số ví dụ điển hình, những bài toán quen thuộc có thể mô

tả được dưới dạng BTCB

Cho hàm số ϕ : K → R Xét bài toán tìm cực tiểu của ϕ trên K như sau

O(K, f ) : Tìm x∗ ∈ K sao cho ϕ(x∗) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ K

Đặt

f (x, y) := ϕ(y) − ϕ(x)

Hiển nhiên

ϕ(x∗) ≤ ϕ(y), ∀y ∈ K ⇔ f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ K

Như vậy, bài toán tối ưu là một trường hợp riêng của BTCB

inequality problem)

Cho F : K → H là ánh xạ đơn trị Bài toán bất đẳng thức biến phânthường hay được xét đến là

V I(K, F ) : Tìm x∗ ∈ K sao cho hF (x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ K

Nếu đặt f (x, y) := hF (x), y − xi thì dễ thấy rằng, các tập nghiệm của bài toán

V I(K, F ) và của bài toán E(K, f ) là trùng nhau

Một trường hợp riêng của bài toán V I(K, F ) khi K là nón lồi đóng khácrỗng có đỉnh tại 0 Lúc đó, bài toán V I(K, F ) trở thành bài toán bù (comple-mentarity problem)

K∗ := {u ∈ H : hu, xi ≥ 0, ∀x ∈ K}

là nón đối cực của K Thật vậy, nếu x∗ ∈ K là nghiệm của bài toán V I(K, F )thì

hF (x∗), y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ K (2.1)Thay y = 0 vào (2.1), ta được

hF (x∗), −x∗i ≥ 0 hay hF (x∗), x∗i ≤ 0 (2.2)Còn nếu thay y = 2x∗ vào (2.1) thì

hF (x∗), x∗i ≥ 0 (2.3)

Từ (2.2) và (2.3) suy ra

hF (x∗), x∗i = 0 (2.4)Mặt khác từ (2.1) và (2.4), ta có

hF (x∗), yi ≥ hF (x∗), x∗i = 0, ∀y ∈ K,nghĩa là F (x∗) ∈ K∗ theo định nghĩa của nón đối cực Vậy, x∗ là nghiệm củabài toán C(K, F ) Điều ngược lại, mọi nghiệm của bài toán C(K, F ) đều lànghiệm của bài toán V I(K, F ), là hiển nhiên

Tổng quát, bài toán bất đẳng thức biến phân đa trị (multivalued variationalinequality )

M V I(K, F ) :





Tìm x∗ ∈ K và u∗ ∈ F (x∗) sao cho

hu∗, y − x∗i ≥ 0, ∀y ∈ K,

trong đó F : K → 2H là ánh xạ đa trị có giá trị lồi compắc khác rỗng, có thể

mô tả được dưới dạng BTCB Thật vậy, do tập F (x) compắc với mỗi x ∈ Knên ta có thể đặt

hu∗, y − x∗i = max

u∈F (x ∗ )

hu, y − x∗i = f (x∗, y) ≥ 0, ∀y ∈ K

Chứng tỏ x∗ cùng với u∗ ∈ F (x∗) là nghiệm của bài toán M V I(K, F )

Một bài toán quen thuộc, đặc biệt quan trọng là bài toán quy hoạch lồi(convex programming)

CO(K, f ) : min{f (x) : x ∈ K},trong đó f là một hàm lồi khả dưới vi phân và liên tục tại một điểm nào đócủa K Bài toán này có thể mô tả được dưới dạng bài toán M V I(K, F ) với

F = ∂f Thật vậy, khi đó bài toán bất đẳng thức biến phân được viết

Chứng tỏ x∗ cùng với u∗ là nghiệm của bài toán M V I(K, ∂f ).

Dưới góc độ kinh tế, bài toán M V I(K, F ) chính là bài toán tìm phương

án sản xuất x∗ trong tập chiến lược K (tập các phương án sản xuất) và giá

u∗ ∈ F (x∗) (F (x) là tập các giá thành chi phí có thể, ứng với phương ánsản xuất x; ở đây, F được gọi là là ánh xạ giá) sao cho chi phí là thấp nhất.Trường hợp ánh xạ giá không phụ thuộc vào phương án sản xuất, tức là

F (x) = c = const với mọi x ∈ K, bài toán M V I(K, F ) trở thành bài toánquy hoạch quen thuộc

Tổng quát, bài toán điểm bất động đa trị

M F (K, F ) : Tìm x∗ ∈ K sao cho x∗ ∈ F (x∗),trong đó F : K → 2K là ánh xạ đa trị có giá trị lồi compắc khác rỗng, có thể

mô tả được dưới dạng BTCB Thật vậy, do tập F (x) compắc với mỗi x ∈ Knên ta có thể đặt

hx∗− y, y − x∗i = max

u∈F (x ∗ )hx∗− u, u − x∗i Suy ra

0 ≤ f (x∗, y) = hx∗− y, y − x∗i = −kx∗− yk2

Do đó x∗ = y ∈ F (x∗) nên x∗ là điểm bất động của F Như đã biết, theo định

lý điểm bất động Ky Fan, mọi ánh xạ đa trị nửa liên tục trên ở trên tập lồicompắc khác rỗng và có giá trị lồi đóng khác rỗng đều có điểm bất động

Cho C ⊆ Rn, D ⊆ Rm là các tập lồi đóng khác rỗng và L : C × D → R.Xét bài toán điểm yên ngựa







Tìm (x∗, y∗) ∈ C × D sao choL(x∗, y) ≤ L(x∗, y∗) ≤ L(x, y∗), ∀(x, y) ∈ C × D

Khi đó, nếu u∗ = (x∗, y∗) ∈ K là nghiệm của bài toán E(K, f ), tức là

f (u∗, v) ≥ 0, ∀v ∈ K,thì

tác (Nash equilibria problem in noncooperative games)

Để thấy được khái niệm BTCB xuất phát từ đâu, xét một trò chơi khônghợp tác gồm hai đấu thủ (người chơi) Gọi K1 ⊆ Rn 1, K2 ⊆ Rn 2 (n1, n2 ∈ N)

là các tập lồi đóng khác rỗng và là tập chiến lược của đấu thủ 1, 2 tương ứng.Cặp phương án (x, y) được gọi là chấp nhận được nếu (x, y) ∈ K1 × K2 Giả

sử L1, L2 : K1× K2 → R là hàm lợi ích của các đấu thủ 1, 2 tương ứng, nghĩa

là, nếu đấu thủ 1 chọn phương án chơi x ∈ K1 và đấu thủ 2 chọn phương ánchơi y ∈ K2 thì đấu thủ 1 nhận lợi ích là L1(x, y) và đấu thủ 2 nhận lợi ích là

L2(x, y) Lẽ tự nhiên là mỗi đấu thủ đều muốn chọn phương án chơi sao cholợi ích của mình là lớn nhất Điều này dẫn đến khái niệm điểm cân bằng đượcđịnh nghĩa như sau: Ta gọi (x∗, y∗) ∈ K1× K2 là điểm cân bằng của trò chơinếu

L1(x, y) := −L(x, y) và L2(x, y) := L(x, y)

Có thể thấy rằng, (x∗, y∗) là điểm cân bằng của trò chơi khi và chỉ khi nó làđiểm yên ngựa của hàm giá trị của trò chơi L(x, y), nghĩa là

Lj : K := K1 × × Kp → R là hàm lợi ích của người chơi thứ j ∈ J, trong

đó Lj(x1, , xj, , xp) là lợi ích của người chơi thứ j khi người chơi này chọnphương án chơi xj ∈ Kj, còn những người chơi khác chọn phương án chơi

xi ∈ Ki với mọi i 6= j Ta gọi x∗ = (x∗1, , x∗j, , x∗p) là điểm cân bằng của

L := (L1, , Lj, , Lp) trên K nếu với mọi j ∈ J và mọi yj ∈ Kj, ta có

Lj(x∗1, , yj, , x∗p) ≤ Lj(x∗1, , x∗j, , x∗p)

Bài toán cân bằng Nash là bài toán tìm điểm cân bằng của L trên K, ký hiệubài toán này là N E(K, L) Bài toán N E(K, L) có thể mô tả dưới dạng bàitoán E(K, f ), trong đó f : K × K → R được xác định bởi

Thật vậy, nếu x∗ là một điểm cân bằng Nash thì dễ thấy f (x∗, y) ≥ 0 với mọi

y ∈ K Ngược lại, nếu x∗ là một nghiệm của bài toán E(K, f ) thì ta phảichứng tỏ x∗ là một điểm cân bằng Nash của L trên K Giả sử trái lại, sẽ tồntại j ∈ J và yj ∈ Kj sao cho

Lj(x∗1, , yj, , x∗p) > Lj(x∗1, , x∗j, , x∗p)

Khi đó, với phương án y = (x∗1, , yj, , x∗p), theo định nghĩa hàm f , ta có

f (x∗, y) = Lj(x∗1, , x∗j, , x∗p) − Lj(x∗1, , yj, , x∗p) < 0

mâu thuẫn với việc x∗ là nghiệm của bài toán E(K, f )

Nhận xét 2.1.1 Trong tất cả các bài toán nói trên, các hàm f đều có chungtính chất f (x, x) = 0 với mọi x ∈ K Như vậy, f là song hàm cân bằng

2.2 Sự tồn tại nghiệm và một số tính chất cơ

(A2) f (x, ) nửa liên tục dưới yếu và lồi với mỗi x ∈ K

(A3) Điều kiện bức: Tồn tại một tập B ⊂ H compắc yếu và một vectơ

y0 ∈ B ∩ K sao cho

f (x, y0) < 0, ∀x ∈ K\B

Định lý 2.1 (Bất đẳng thức Ky Fan [20]) Cho K là tập lồi compắc khácrỗng trong không gian Banach X Giả sử f : K × K → R là song hàm cânbằng thỏa các điều kiện

(i) f (., y) nửa liên tục trên ở trên K với mọi y ∈ K

(ii) f (x, ) lồi trên K với mọi x ∈ K

Khi đó, bài toán cân bằng E(K, f ) có nghiệm

Sau đây, ta giới thiệu các định nghĩa về tính đơn điệu của song hàm và ánh

xạ đa trị

Định nghĩa 2.2.1 Song hàm f : K × K → R được gọi là

a) đơn điệu mạnh (strongly monotone) trên K với hệ số γ > 0 nếu

f (x, y) + f (y, x) ≤ −γkx − yk2, ∀x, y ∈ K;

b) đơn điệu chặt (strictly monotone) trên K nếu

f (x, y) + f (y, x) < 0, ∀x, y ∈ K : x 6= y;

c) đơn điệu (monotone) trên K nếu

hu − v, x − yi > 0, ∀x, y ∈ K : x 6= y, ∀u ∈ F (x), ∀v ∈ F (y);c) đơn điệu trên K nếu

hu − v, x − yi ≥ 0, ∀x, y ∈ K, ∀u ∈ F (x), ∀v ∈ F (y);

d) giả đơn điệu trên K nếu

hu, y − xi ≥ 0 ⇒ hv, x − yi ≤ 0, ∀x, y ∈ K, ∀u ∈ F (x), ∀v ∈ F (y);e) tựa đơn điệu trên K nếu

hu, y − xi > 0 ⇒ hv, x − yi ≤ 0, ∀x, y ∈ K, ∀u ∈ F (x), ∀v ∈ F (y)

Nhận xét 2.2.1 Nếu F là ánh xạ đa trị có một trong các tính chất đơn điệumạnh, đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu hay tựa đơn điệu và F có giá trịcompắc trên K thì hàm

f (x, y) := max

u∈F (x)hu, y − xi ,

tương ứng sẽ là đơn điệu mạnh, đơn điệu chặt, đơn điệu, giả đơn điệu hay tựađơn điệu trên K Thật vậy, giả sử F đơn điệu trên K (các trường hợp đơn điệukhác được chứng minh tương tự) Do F (x), F (y) compắc với mọi x, y ∈ K nêntồn tại u ∈ F (x), v ∈ F (y) sao cho

f (x, y) = hu, y − xi và f (y, x) = hv, x − yi Khi đó, bởi F đơn điệu nên

f (x, y) + f (y, x) = hu − v, y − xi ≤ 0

Điều đó chứng tỏ f đơn điệu trên K

Một ví dụ quan trọng của ánh xạ đa trị đơn điệu là dưới vi phân của hàmlồi Thật vậy, giả sử h : H → R là hàm lồi chính thường khả dưới vi phân Khi

đó, với mọi x, y ∈ H và u ∈ ∂h(x), v ∈ ∂h(y), theo định nghĩa dưới vi phân,

ta có

h(y) − h(x) ≥ hu, y − xi và h(x) − h(y) ≥ hv, x − yi

Cộng vế theo vế hai bất đẳng thức nói trên, ta được

hu − v, x − yi ≥ 0

Vậy, ∂h : H → 2H đơn điệu trên H

Một ví dụ về song hàm cân bằng đơn điệu mạnh, sẽ được sử dụng nhiềutrong luận án, là hàm khoảng cách được xác định bởi

g(x, y) := ε hx − xg, y − xi , ∀x, y ∈ Htrong đó ε > 0 và xg ∈ H cho trước Với hằng số γ > 0 nào đó thỏa γ ≤ ε, tacó