Bất đẳng thức và phương pháp chứng minh

Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu A là vành đối với hai phép toán cộng và nhân trên R bao gồm cả tínhđóng của hai phép toán trên A.. Tập thương R/I cùng với hai phép to

BẤT ĐẲNG THỨC VÀ PHƯƠNG PHÁP

CHỨNG MINH

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

1 PHẦN MỞ ĐẦU

Hàm biến đổi chậm là một trường hợp riêng của hàm phân chính quy

có nhiều ứng dụng trong xác xuất thống kê Một trong ứng dụng của

nó là lý thuyết giá trị cực trị Sự liên hệ của chúng đã được đề cập bởinhà toán học như Feller (1971), Sidney (1987), Bingham et al (1989), DeHaan và Ferreira (2006), Hơn nữa, hiện nay việc nghiên cứu về bộ nhớdài (hay sự phụ thuộc tầm xa) trong các quá trình ngẫu nhiên thôngqua mô hình hoá bằng hàm biến đổi chậm là một lĩnh vực quan trọngcủa xác suất thống kê Ngoài ra chúng còn có những ứng dụng nhất định

2 Các khái niệm cơ bản

Định nghĩa 1 Cho tập hợp R khác rỗng, trên R ta trang bị hai phéptoán mà ta gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn: R là nhóm Abel vớiphép toán cộng, R là nửa nhóm với phép toán nhân và phép toán nhânphân phối với phép toán cộng, nghĩa là

x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz

với mọi x, y, z ∈ R

Phần tử trung hòa của phép cộng được ký hiệu bởi 0 (thường gọi làphần tử không) Phần tử đơn vị của phép nhân nếu có được ký hiệu bởi

1 Nếu vành có nhiều hơn một phần tử và có đơn vị thì 1 ̸= 0

Định nghĩa 2 Tập con A của vành R được gọi là vành con của R nếu

A là vành đối với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tínhđóng của hai phép toán trên A)

thỏa mãn điều kiện

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I

với mọi x, y ∈ R

Định nghĩa 4 Tập thương R/I cùng với hai phép toán được xác địnhnhư trên lập thành một vành và được gọi là vành thương của R theo I

2.0.1 Định lý đồng cấu vành

Định nghĩa 5 Cho R, R′ là hai vành Ánh xạ f : R → R′ được gọi làmột đồng cấu vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R,nghĩa là

f (x + y) = f (x) + f (y),

f (xy) = f (x)f (x),

với mọi x, y ∈ R

2.0.2 Một số kết quả liên quan

3 Các tính chất tổng quát của các ∆U -vành

Ta biết rằng 1 + J (R) ⊆ U (R) Vành R được gọi là U J-vành nếu U (R) ⊆

1 + J (R), nghĩa là 1 + J (R) = U (R) Lưu ý nếu R là U J-vành khi đó

∆(R) = J (R)

Một vành R được gọi là ∆U-vành nếu 1 + ∆(R) = U (R)

Mệnh đề 1 Một vành R là∆U-vành khi và chỉ khiU (R) + U (R) ⊆ ∆(R)

(khi đó U (R) + U (R) = ∆(R))

Chứng minh Giả sửR là ∆U-vành, lấy bất kỳ u, v ∈ U (R), ta có 1 + u ∈

∆(R) và 1 − v ∈ ∆(R), do đó u + v = (1 + u) − (1 − v) ∈ ∆(R) hay

U (R) + U (R) ⊆ ∆(R)

Ngược lại, giả sử U (R) + U (R) ⊆ ∆(R), suy raU (R) + U (R) = ∆(R) (vì

∆(R) ⊂ U (R) + U (R)) hay 1 + ∆(R) = U (R) Vậy R là ∆U-vành

Mệnh đề sau trình bày một số tính chất cơ bản của ∆U-vành

(1) 2 ∈ ∆(R);

(2) Nếu R là thể, khi đó R ∼ =F2;

(3) Nếu x2 ∈ ∆(R) thì x ∈ ∆(R) (do đó N (R) ⊆ ∆(R));

(4) R là hữu hạn Dedekind;

(5) Cho I ⊆ J (R) là iđêan của R Khi đó R là ∆U-vành khi và chỉ khi

R/I là ∆U-vành;

i∈I

Ri là ∆U khi và chỉ khi các vành Ri là ∆U, với mọi i ∈ I

(7) Nếu T là vành con của R thỏa mãn U (T ) = U (R) ∩ T, khi đó T là

∆U-vành Cụ thể áp dụng cho Z = Z(R) tâm của R

Từ (3), ta có b(1 − ba) ∈ ∆(R) và (1 − ba)a ∈ ∆(R) Suy ra

1 − ba = (1 − ba)2 = [(1 − ba)a][b(1 − ba)] ∈ ∆(R)

Từ đó, ba ∈ U (R) hoặc ba = 1

(5) Nếu I ⊆ J (R)là iđêan, khi đó ∆(R/I) = ∆(R)/I theo Mệnh đề 41.Giả sử R là ∆U-vành Khi đó, bất kỳ u + I ∈ U (R/I), ta có u ∈ U (R) vìvậy u ∈ 1 + ∆(R) Suy rau + I ∈ 1 + ∆(R)/I = 1 + ∆(R/I) Do đó R/I là

∆U-vành

Ngược lại, giả sử R/I là∆U-vành Lấyu ∈ U (R) tùy ý Khi đó u + I ∈

1 + ∆(R)/I Ta có thể kiểm tra u ∈ 1 + ∆(R) Do đó, R là ∆U-vành

(6) Hiển nhiên

(7) Từ giả thiết U (T ) = U (R) ∩ T suy ra ∆(R) ∩ T ⊆ ∆(T ) Bây giờ

U (R) = 1 + ∆(R) cho

1 + ∆(T ) ⊆ U (T ) = U (R) ∩ T = (1 + ∆(R)) ∩ T = 1 + (∆(R) ∩ T ) ⊆ 1 + ∆(T ).

suy ra 1 + ∆(T ) ⊆ U (T ) hayT là ∆U-vành

Định lý 1 Vành ma trận Mn (R) là ∆U-vành khi và chỉ khi n = 1 và R

là ∆U-vành

Chứng minh (⇐:) Hiển nhiên.

(:⇒) Giả sử rằng Mn (R) là ∆U-vành và n > 1 Đầu tiên ta sẽ chứngminh R là thể, tức là mọi phần tử khác không đều khả nghịch Lấy bất

Mn (R) Khi đó X là khả nghịch trong Mn (R) Bởi giả thuyết, ta có

và R ∼ =M1 (R) là ∆U-vành

Mệnh đề 3 Giả sử R là ∆U-vành và e là phần tử lũy đẳng của R Khi

đó eRe là ∆U-vành

Chứng minh Lấyu ∈ U (eRe) Khi đóu + 1 − e ∈ U (R) Vì R là ∆U-vành

nên ta có u − e ∈ ∆(R) Ta sẽ chứng minh u − e ∈ ∆(eRe) Lấy tùy ý v

khả nghịch trong eRe Rõ ràng v + 1 − e ∈ U (R) Vì u − e ∈ ∆(R) nên

u−e+v+1−e ∈ U (R)theo định nghĩa của∆, đặtu−e+v+1−e = t ∈ U (R)

Ta kiểm tra được et = te = ete = u − e + v, do đó ete ∈ U (eRe) Suy ra

u − e + U (eRe) ⊆ U (eRe), hoặc u − e ∈ ∆(eRe) Vì vậy,u ∈ e + ∆(eRe) hay

A MB và BNA là các song môđun, tồn tại một tích context M × N → A

là Morita context tầm thường theo [?].

(⇐:) Điều ngược lại là dễ thấy

Hệ quả 1 Giả sửM là(R, S)song môđun Khi đó vành ma trận các tamgiác dạng



R M

0 S



là ∆U-vành khi và chỉ khi R và S là các ∆U-vành

Hệ quả 2 R là ∆U-vành khi và chỉ khi vành các ma trận tam giác trên

(i) Nếu H = Rk với k | 2n, 1⩽k ⩽2n thì

Pr(H, SD2n ) =

(

1 nếu k = 2n, 1

2 +

k

2 n nếu k ̸= 2n (ii) Nếu H = Tl với 0⩽ l ⩽ 2n− 1 khi l chẵn, và 0 ⩽l ⩽2n−1− 1 khi l

Vậy ta có điều phải chứng minh.

Trong ví dụ sau ta sẽ tính độ giao hoán tương đối của các nhóm controng nhóm giả nhị diện SD8 và SD16 bằng cách áp dụng Mệnh đề ??

16.

(ii) Vớin = 4, xét nhóm giả nhị diệnSD 16 = ⟨r, s | r16 = s2 = 1, s−1rs =

Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) và u bất kỳ thuộc U (R), khi đó r + u ∈

U (R) khi và chỉ khi ru−1+ 1 ∈ U (R) khi và chỉ khi u−1r + 1 ∈ U (R)

(2) Ta có ruu′+ 1 ∈ U (R), ∀u, u′ ∈ U (R)do r ∈ ∆(R), suy ra ru ∈ ∆(R).Tương tự ur ∈ ∆(R)

Cho e là phần tử lũy đẳng của vành R Khi đó phần tử 1 − 2e là khảnghịch trong R Từ Bổ đề 13 (2) ta suy ra hệ quả sau

(1) ∆(R) đóng với phép nhân các phần tử lũy linh;

(2) Nếu 2 ∈ U (R), khi đó ∆(R) đóng với phép nhân các phần tử lũyđẳng

Định lý 3 Cho R là một vành có đơn vị và T là vành con của R đượcsinh bởi U (R) Khi đó

(1) ∆(R) = J (T ) và ∆(S) = ∆(R), với S là vành con tùy ý của R thỏamãn T ⊆ S;

(2) ∆(R) là căn Jacobson lớn nhất chứa trong R và đóng với phép nhâncác phần tử khả nghịch của R.

Chứng minh (1) T là vành con sinh bởi U (R) nên mỗi phần tử của T

đều có thể viết thành tổng hữu hạn các phần tử khả nghịch của R Do

đó, theo Bổ đề 13 (2) suy ra ∆(T ) là iđêan củaT Theo Bổ đề 13 (4) suy

ra ∆(T ) = J (T ) Hơn nữa ∆(T ) = ∆(R) nên ∆(R) = J (T )

Nếu r ∈ ∆(R), khi đó r + U (R) ⊆ U (R) Điều này có nghĩa là r biểudiễn được thành tổng của hai phần tử khả nghịch Do đó r ∈ T, suy ra

∆(R) ⊆ T

Giả sử S là vành con của R thỏa mãn T ⊆ S Khi đó U (S) = U (R),

do đó ∆(S) = {r ∈ S | r + U (S) ⊆ U (S)} = {r ∈ S | r + U (R) ⊆ U (R)} =

S ∩ ∆(R) = ∆(R), vì ∆(R) ⊆ T ⊆ S

(2) Theo (1), ∆(R) là căn Jacobson của R và theo Bổ đề 13 (2) thì

∆(R) đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch trái và phải trong R.Bây giờ, ta giả sử S là căn Jacobson bất kỳ chứa trong R và đóngvới phép nhân các phần tử khả nghịch Ta phải chỉ ra S ⊆ ∆(R) Thậtvậy, nếu s ∈ S và u ∈ U (R), khi đó su ∈ S = J (S) Do su là tựa khảnghịch trong S nên 1 + su ∈ U (R) Theo Bổ đề 13 (1) thì s ∈ ∆(R) hay

S ⊆ ∆(R)

Từ đặt trưng của ∆(R) trong Định lý 39 (2) ta có ngay hệ quả sau

Hệ quả 4 Giả sử R là một vành mà mỗi phần tử đều biểu diễn thànhtổng của các phần tử khả nghịch Khi đó ∆(R) = J (R)

Định lý cổ điển của Amitsur nói rằng căn Jacobson của F-đại số R

trên trường F là lũy linh, với điều kiện dimF R < |F | Áp dụng Định lý

39 (1) ta thu được hệ quả sau

Hệ quả 5 Giả sửRlà một vành đại số trên trường F NếudimFR < |F |,khi đó ∆(R) là vành lũy linh

Cho R là một vành không nhất thiết phải có đơn vị S là vành concủa R, ta ký hiệu Sˆ là vành con của R được sinh bởi S ∪ {1}

Mệnh đề 5 Giả sử R là vành có đơn vị Khi đó

(1) ChoS là vành con của R thỏa mãnU (S) = U (R) ∩ S Khi đó ∆(R) ∩

ru−1 ∈ ∆(R)theo Bổ đề 13 (2) Khi đó ¯ku−1 = 1 − (1 − ¯ ku−1) ∈ U (R), suy

rak ∈ U (R)¯ Vì ∆(R)là đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch nên

ta áp dụng phần đầu tiên của chứng minh chỉ ra v = u¯ k−1 = 1 + r¯ k−1 thì

u−1k = v¯ −1 ∈ ∆(R)[, nghĩa là u−1¯k = s + ¯ l, với s ∈ ∆(R) và l ∈Z Suy ras¯ k−1 ∈ ∆(R), u−1 = s¯ k−1+ ¯ k−1¯l ∈ ∆(R)[, do đó U (R) ∩ ∆(R) ⊆ U ([ ∆(R))[ Chiều ngược lại U ( ∆(R)) ⊆ U (R) ∩[ ∆(R)[ là dễ thấy

(3) Ta ký hiệu¯là phép chiếu từ R lên R/I Lưu ý, I ⊆ J (R), U ( ¯ R) =

U (R)

Lấy r ∈ ∆( ¯ ¯ R) và u ∈ U (R) Khi đó r + ¯ ¯ u ∈ U ( ¯ R) và có các phần tử

v ∈ U (R) và j ∈ I thỏa mãn r + u = v + j Hơn nữa v + j ∈ U (R), do

I ⊆ J (R) Suy ra ∆( ¯ R) = ∆(R) Vì U ( ¯ R) = U (R) nên chiều ngược lại là

dễ thấy

Áp dụng mệnh đề trên ta có hệ quả sau

Hệ quả 6 Cho R là vành có đơn vị, ∆( ∆(R)) = ∆(R)[ , nghĩa là ∆ làtoán tử đóng

Chứng minh ∆(R) là căn Jacobson của T = ∆(R)[, do đó ∆(R) ⊆ T

Vì ∆(R) chứa tất cả các phần tử lũy linh nên T /∆(R) đẳng cấu với

Z hoặc Zn := Z/nZ, với n > 1 và là nhân tử bình phương Theo Mệnh

đề 41 (3) và Hệ quả 33 ta có ∆(T )/∆(R) = ∆(T /∆(R)) = J (T /∆(R)) = 0

hay ∆(T ) = ∆(R)

Từ Mệnh đề 41 (1), áp dụng choS = Z(R) là tâm của R, ta có hệ quảsau

n Từ Mệnh đề 41 (3) ta suy ra trực tiếp hệ quả sau.

Định lý 4 ∆(R) = J (R) nếu R thỏa mãn một trong các điều kiện sau(1) R/J (R) là đẳng cấu với tích của vành các ma trận và thể.

(2) R là một vành nửa địa phương

(3) R là vành clean thỏa mãn 2 ∈ U (R)

(4) R là U J-vành, nghĩa là U (R) = 1 + J (R)

(5) R có hạng ổn định 1

(6) R = F G là nhóm đại số trên trường F

Chứng minh (1) Giả sử R đẳng cấu với tích của vành các ma trận vàthể Theo Hệ quả 38 thì ta cần chỉ ra ∆(R/J (R)) = 0 Để làm điều này,

ta giả sử J (R) = 0, nghĩa là R là tích của vành các ma trận và thể Nếu

R là vành ma trận Mn(S), với S là vành chứa đơn vị và n ≥ 2 TheoĐịnh lý 18, mỗi phần tử của R là tổng của ba phần tử khả nghịch, theo

Hệ quả 33 ∆(R) = J (R) = 0 Khi đó S là thể và rõ ràng ∆(S) = 0 Do đó

(1) được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 13 (5)

(2) Là trường hợp đặc biệt của (1)

(3) Giả sử R là vành clean thỏa mãn 2 ∈ U (R) Nếu e ∈ R là lũy đẳngkhi đó1 − 2e ∈ U (R)và e =

tử khả nghịch Theo Hệ quả 33 ta suy ra ∆(R) = J (R)

(4) Giả sửU (R) = 1+U (R) Giả sử RlàU J-vành Khi đó, nếur ∈ ∆(R)

ta có r + U (R) ⊆ U (R), nghĩa làr + 1 + J (R) ⊆ 1 + J (R) Suy ra r ∈ J (R)

và do đó ∆(R) = J (R)

(5) Giả sử R có hạng ổn định là 1 Lấy r ∈ ∆(R), ta chỉ ra r ∈ J (R).Với bất kỳs ∈ Rta cóRr +R(1−rs) = R VìR có hạng ổn định1nên tồntại x ∈ Rsao cho r + x(1 − sr) ∈ U (R), suy rax(1 − sr) ∈ r + U (R) ⊆ U (R),

và vì vậy (1 − sr) khả nghịch hay r ∈ J (R)

(6) Giả sử R = F G là nhóm đại số trên trường F Khi đó, mỗi phần

tử của R là tổng của các phần tử khả nghịch Theo Hệ quả 33 ta suy ra

∆(R) = J (R)

Ta đã biết vành nửa địa phương có hạng ổn định 1, do đó điều kiện

(2) và (5) ở trên tương đương nhau

Bổ đề 2 Giả sử G là nhóm con của nhóm R đối với phép toán cộng.Khi đó G đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch khi và chỉ khi nóđóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịch của R.

(3) G là nhóm con lớn nhất của R đối với phép cộng bao gồm các phần

tử tựa khả nghịch và đóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịchcủa R

Chứng minh Theo Định lý 39 (2) và Bổ đề 14 chỉ ra ∆(R) là căn cobson của R đóng với phép nhân bởi các phần tử tựa khả nghịch Giả

phép nhân các phần tử tựa khả nghịch củaR Cụ thể, Glà căn Jacobsonkhông chứa đơn vị củaR, theo Bổ đề 14,Gđóng với phép nhân các phần

tử khả nghịch của R Do đó theo Định lý 39 (2) ta được G ⊆ ∆(R)

ϱ ∗ f → f đều trên tập compact của Rn.

Chứng minh Cho K ⊂ Rn là tập compact và cho K′ := K + B(0, 1).Theo tính liên tục đều của f trên tập compact K′, ∀ϵ > 0 tồn tại 0 <

δ = δ(ϵ, K′) < 1 thỏa mãn

|f (x − y) − f (x)| ≤ ϵ, ∀x ∈ K, ∀y ∈ B(0, δ). (1)Mặt khác, nếu h ∈N thỏa 1/h < δ và x ∈ K, theo (??),

|(f ∗ ϱh)(x) − f (x)| =

Z

Rn

f (x − y)ϱh(y)dy − f (x)

=