Mô tả phân phối chuẩn bằng phương trình vi phân và ứng dụng

Phần ứng dụng chúng tôi mở rộng qua phương trình vi phân ngẫu nhiên để xác định được hàm mật độ của của các mô hình xác suất cổ điển như họ Bê-ta... 1.2 Từ mô hình Vật lý đến mô hình Toá

BỘ Y TẾ

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

ĐỀ TÀI

MÔ TẢ PHÂN PHỐI CHUẨN BẰNG PHƯƠNG

TRÌNH VI PHÂN VÀ ỨNG DỤNG

Cơ quan chủ trì nhiệm vụ : KHOA KHOA HỌC CƠ BẢN

Chủ trì nhiệm vụ: Võ Đăng Khoa

Thành phố Hồ Chí Minh – 2018-2019

ĐẠI HỌC Y DƯỢC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH CHƯƠNG TRÌNH KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ CẤP CƠ SỞ

BÁO CÁO TỔNG HỢP KẾT QUẢ NHIỆM VỤ NGHIÊN CỨU KHOA HỌC VÀ CÔNG NGHỆ

MÔ TẢ PHÂN PHỐI CHUẨN BẰNG PHƯƠNG

CỘNG HOÀ XÃ HỘI CHỦ NGHĨA VIỆT NAM

Độc lập - Tự do - Hạnh phúc

Thành phố Hồ Chí Minh, ngày 04 tháng 05 năm 2019

BÁO CÁO THỐNG KÊ KẾT QUẢ THỰC HIỆN ĐỀ TÀI NGHIÊN CỨU KHOA HỌC

I THÔNG TIN CHUNG

1 Tên đề tài: Mô tả phân phối chuẩn bằng phương trình vi phân và ứng dụng

Thuộc lĩnh vực : Toán ứng dụng

2 Chủ nhiệm nhiệm vụ:

Họ và tên: Võ Đăng Khoa

Ngày, tháng, năm sinh: 20/04/1982 Nam/ Nữ: Nam

Điện thoại: 02838555673 Fax:

1 Thời gian thực hiện nhiệm vụ:

- Theo Hợp đồng đã ký kết: từ tháng 06 năm 2017 đến tháng 01 năm 2019

- Thực tế thực hiện: từ tháng 09 năm 2017 đến tháng 05 năm 2019

- Được gia hạn (nếu có):

Từ tháng 01 năm 2019 đến tháng 05 năm 2019

2 Kinh phí và sử dụng kinh phí:

a) Tổng số kinh phí thực hiện: 0 tr.đ, trong đó:

+ Kính phí hỗ trợ từ ngân sách khoa học của nhà trường: 0 tr.đ

Thời gian

(Tháng, năm)

Kinh phí (Tr.đ)

Thời gian (Tháng, năm)

Kinh phí (Tr.đ)

TT các khoản chi Tổng NSKH Nguồn

- Lý do thay đổi (nếu có):

3 Tổ chức phối hợp thực hiện nhiệm vụ:

Nội dung tham gia chủ yếu

Sản phẩm chủ yếu đạt được

Ghi chú*

1

2

- Lý do thay đổi (nếu có):

4 Cá nhân tham gia thực hiện nhiệm vụ:

(Người tham gia thực hiện đề tài thuộc tổ chức chủ trì và cơ quan phối hợp, không quá 10 người kể cả chủ nhiệm)

Nội dung tham gia chính

Sản phẩm chủ yếu đạt được

Ghi chú*

1

(Nội dung, thời gian, kinh phí,

địa điểm, tên tổ chức hợp tác,

số đoàn, số lượng người tham

1

2

- Lý do thay đổi (nếu có):

6 Tình hình tổ chức hội thảo, hội nghị:

(Nội dung, thời gian,

kinh phí, địa điểm )

Ghi chú*

1

2

- Lý do thay đổi (nếu có):

7 Tóm tắt các nội dung, công việc chủ yếu:

(Nêu tại mục của đề cương, không bao gồm: Hội thảo khoa học, điều tra khảo sát trong nước và nước ngoài)

Theo kế hoạch

Thực tế đạt đƣợc

1

2

- Lý do thay đổi (nếu có):

III SẢN PHẨM KH&CN CỦA ĐỀ TÀI

1 Sản phẩm KH&CN đã tạo ra:

Thực tế đạt được

1

2

- Lý do thay đổi (nếu có):

d) Kết quả đào tạo:

Theo kế hoạch Thực tế đạt

đƣợc

- Lý do thay đổi (nếu có):

đ) Tình hình đăng ký bảo hộ quyền sở hữu công nghiệp:

Số

TT

Tên sản phẩm đăng ký

Kết quả Ghi chú

(Thời gian kết thúc)

Theo

kế hoạch

Thực tế đạt đƣợc

2

- Lý do thay đổi (nếu có):

e) Thống kê danh mục sản phẩm KHCN đã đƣợc ứng dụng vào thực tế

chỉ nơi ứng dụng)

1

2

2 Đánh giá về hiệu quả do đề tài mang lại:

a) Hiệu quả về khoa học và công nghệ:

(Nêu rõ danh mục công nghệ và mức độ nắm vững, làm chủ, so sánh với trình độ công nghệ so với khu vực và thế giới…)

b) Hiệu quả về kinh tế xã hội:

(Nêu rõ hiệu quả làm lợi tính bằng tiền dự kiến do nhiệm vụ tạo ra so với các sản phẩm cùng loại trên thị trường…)

3 Tình hình thực hiện chế độ báo cáo, kiểm tra của đề tài:

Số

TT Nội dung

Thời gian thực hiện

Ghi chú

(Tóm tắt kết quả, kết luận chính, người chủ trì…)

I Báo cáo tiến độ

Chương 1 - TỔNG QUAN Y VĂN

1.1 Lịch sử phân phối chuẩn

1.2 Mô hình Vật lý đến phương trình vi phân thường rồi phân phối chuẩn

1.3 Ứng dụng Chương 2 – PHƯƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1 Phân phối chuẩn được biết đến từ nguyên lý cơ bản và phương trình

vi phân 2.1.1 Mô hình vật lý và 3 giả thiết cơ bản 2.1.2 Xác định hình dạng của phân phối

2.1.3 Xác định hệ số A

2.1.4 Xác định k

2.1.5 Hàm mật độ phân phối chuẩn

2.2 Ứng dụng Mô hình phương trình vi phân ngẫu nhiên trong sinh học

2.2.1 Giới thiệu

2.2.2 Quá trình Wiener 2.2.3 Mô hình uống thuốc

KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ

TÀI LIỆU THAM KHẢO

Danh mục các ký hiệu, các chữ viết tắt

ĐẶT VẤN ĐỀ

Sinh viên trong ngành Toán, Thống kê thường học về đường cong phân phối chuẩn và học làm cách nào để xác định xác suất các biến cố trong việc sử dụng bảng phân phối giá trị hàm mật độ xác suất của phân phối chuẩn tắc Sinh viên cũng có thể

làm việc trực tiếp với hàm mật độ phân phối chuẩn tắc  

2

1 212

lý cùng với nguyên lý cơ bản

Phần ứng dụng chúng tôi mở rộng qua phương trình vi phân ngẫu nhiên để xác định được hàm mật độ của của các mô hình xác suất cổ điển như họ Bê-ta

Chương 1 TỔNG QUAN Y VĂN

1.1 Lịch sử phân phối chuẩn

Phân phối chuẩn, còn gọi là phân phối Gauss (Hình chuông Gauss), là một phân

phối xác suất cực kì quan trọng trong nhiều lĩnh vực Nó là họ phân phối có dạng tổng

quát giống nhau, chỉ khác tham số vị trí (giá trị trung bình μ) và tỉ lệ (phương sai σ2) Abraham de Moivre là người đầu tiên đưa ra phân phối chuẩn trong bài báo

năm 1734 (được in lại trong ấn bản lần 2 The Doctrine of Chances, 1738) khi muốn xấp xỉ một phân phối nhị thức với n lớn Kết quả được mở rộng bởi Laplace trong cuốn sách Analytical Theory of Probabilities (1812), và bây giờ gọi là định lý Moivre-

"phân phối chuẩn" được tạo ra bởi Charles S Peirce, Francis Galton và Wilhelm

Lexis khoảng năm 1875

1.2 Từ mô hình Vật lý đến mô hình Toán học

Trong nghiên cứu này chúng tôi xây dựng đại lượng ngẫu nhiên có phân phối chuẩn từ một mô hình Vật lý bằng cách thêm vào một số giả thiết cơ bản Mô hình vật

lý đó chính là việc phóng phi tiêu vào Hồng tâm Biến số ngẫu nhiên chúng tôi quan tâm đến là Khoảng cách từ điểm phi tiêu rơi đến Hồng tâm Chúng tôi đã đặt vào hệ

thống Hệ Tọa độ Descartes Từ việc xây dựng mô hình Toán học bằng phương trình vi phân chúng tôi đã tìm ra được hàm mật độ phân phối chuẩn

1.3 Ứng dụng

Việc thực hiện liên quan đến các quá trình thời gian liên tục, thường được mô hình hóa như một hệ phương trình vi phân thông thường Những mô hình này được giả định

rằng các động lực quan sát được giả định bởi các cơ chế xác định, nội bộ Tuy nhiên, các hệ thống sinh học thực tế sẽ luôn phải chịu những ảnh hưởng không hoàn toàn hiểu được hoặc không khả thi để mô hình hóa một cách rõ ràng Do đó, ngày càng có nhiều nhu cầu mở rộng các mô hình xác định sang các mô hình bao gồm các biến động phức tạp hơn trong động lực học Một cách để mô hình hóa các yếu tố này là bằng cách bao gồm các ảnh hưởng ngẫu nhiên hoặc nhiễu Một phần mở rộng tự nhiên của mô hình phương trình vi phân thường sang một hệ phương trình vi phân ngẫu nhiên Trong đó các tham số liên quan được mô hình hóa như các quá trình ngẫu nhiên phù

hợp, hoặc các quá trình ngẫu nhiên được thêm vào các phương trình hệ thống điều khiển Cách tiếp cận này giả định rằng các động lực được điều khiển một phần bởi nhiễu ngẫu nhiên

Phương trình vi phân ngẫu nhiên là một phương pháp rất linh hoạt để mô hình hóa các phân phối ngẫu nhiên liên tục Phổ biến nhất là phương trình vi phân cho Phân phối non-stationary Lognormal, non-stationary Normal và Phân phối Ornstein-

Uhlenbeck Hàm mật độ phân phối này được biết qua các điều kiện của phương trình

vi phân ngẫu nhiên Trong phần nghiên cứu này phương trình vi phân ngẫu nhiên thõa mãn hầu hết các phân phối xác suất cổ điển ứng với những trường hợp đặc biệt và mở rộng thêm một số lớn các phân phối có thể được sử dụng trong các mô hình của hệ đàn hồi ngẫu nhiên Đây là lý do chúng tôi sử dụng phương trình vi phân nhằm tìm hàm mật độ phân phối Ba phân phối phổ biến nhất hiện nay đó là non-stationary

Lognormal, non-stationary Normal và Ornstein-Uhlenbeck

Chương 2 – PHƯƠNG PHÁP VÀ NỘI DUNG NGHIÊN CỨU

2.1 Mô tả Phân phối chuẩn bằng phương trình vi phân

2.1.1 Mô hình vật lý và 3 giả thiết cơ bản

Mô hình Vật lý là phóng phi tiêu vào một mục tiêu đã định trước Mục tiêu của chúng ta là phóng vào Hồng tâm Giả sử hồng tâm của chúng ta là hệ trục tọa

độ Oxy và O là gốc chúng ta muốn hướng tới Biến số chúng ta quan tâm đến là khoảng cách giữa gốc tọa độ với điểm đến của phi tiêu Nhưng sai số ngẫu nhiên lúc bạn ném sinh ra và ít nhiều thay đổi kết quả chúng ta Chúng ta xét mô hình :

Số đo thực nghiệm = Số đo lý thuyết + Sai số ngẫu nhiên

Chúng ta giả sử rằng:

(H1) Sai lệch không phụ thuộc hướng của hệ trục tọa độ

(H2) Sai lệch trên mỗi tọa độ là độc lập

(H3) Sai số lớn ít hơn các sai số nhỏ

Từ hình vẽ trên chúng ta chứng tỏ rằng, theo như những giả thiết trên thì phi tiêu của bạn đến vùng A tốt hơn vùng B và C bởi lẽ vùng A gần với Hồng tâm hơn Tương tự vùng B tốt hơn vùng C Hơn thế nữa, ta thấy vùng F tốt hơn vùng D và E bởi F có sự tập trung cao hơn và khoảng cách đến hồng tâm đều hơn

2.1.2 Xác định hình dạng của phân phối

Ta xét xác suất của phi tiêu đến theo trục tọa độ Ox là từ x đến x x là :

p y y Từ giả thiết (H1) Sai lệch trên mỗi trục độc lập, ta có xác suất phi tiêu đến

x x;   x y y;  y là p x x p y  y Mặt khác giả thiết Sai lệch không phụ thuộc hướng của hệ trục tọa độ nên:

p x  x p y   y g r   x y

Điều này có nghĩa là: g r  p x p y    Ta sử dụng tọa độ cực

xrcos ; yrsin Lấy đạo hàm hai vế theo biến  ta có:

x +∆xr

θ

Phương trình này đúng với x,y bất kỳ và x, y độc lập nên phương trình này chỉ đúng khi:

1 2

Theo định lý Fubini ta có thể viết lại phương trình trên

2 2

2

2 0

1 4

T D D Nếu hàm f D: R khả tích và chúng ta sử dụng hàm đổi biến T bằng cách đổi biến xx u v , và y y u v , thì ta có



  ,do A > 0 nên

2

k A



 Hàm mật độ xác suất là:

  2

2

2

k xk

 chúng ta có hàm mật độ của phân phối chuẩn xuất

phát từ 3 giả thiết của chúng ta là:

 

2

1 2

1 2

Phương trình tổng quát cho phân phối chuẩn với trung bình  và độ lệch chuẩn

 được tạo bởi phép dời hệ trục tọa độ ta có hàm mật độ của phân phối chuẩn là

 

2

1 2

1 2

2.2 Ứng dụng Mô hình phương trình vi phân ngẫu nhiên trong sinh học

2.2.1 Giới thiệu

Tất cả các hệ thống động lực sinh học phát triển dưới các tác động của lực ngẫu nhiên, nếu chúng ta xác định ngẫu nhiên là các phần của động lực học thì chúng ta không thể dự đoán hoặc hiểu hoặc chúng ta chọn được mô hình rõ ràng

Để thực tế, các mô hình của các hệ động lực sinh học nên bao gồm các ảnh hưởng ngẫu nhiên, vì chúng liên quan đến các hệ thống con của thế giới thực không thể tách biệt hoàn toàn với các hiệu ứng bên ngoài mô hình Các biện minh sinh lý để bao gồm các hành vi thất thường trong một mô hình có thể được tìm thấy trong nhiều yếu tố không thể kiểm soát, như thay đổi nội tiết tố, biến đổi huyết áp, hô hấp, kiểm soát thần kinh, biến đổi của cơ bắp hoạt động, quá trình enzyme, yêu cầu năng lượng, chuyển hóa tế bào, hoạt động thần kinh giao cảm hoặc các đặc điểm cá nhân như chỉ số khối lượng cơ thể, gen, hút thuốc, tác động căng thẳng, v v Ngoài ra những ảnh hưởng bên ngoài, như sự khác biệt nhỏ trong quy trình thí nghiệm, nhiệt độ, sự khác biệt trong việc chuẩn bị và quản lý thuốc, nếu điều này được bao gồm trong thí nghiệm, hoặc có thể là các thí nghiệm được thực hiện bởi các nhà thực nghiệm khác nhau chắc chắn sẽ thể hiện sự khác biệt nhỏ trong các thủ tục trong các giao thức Các nguồn sai số khác nhau sẽ yêu cầu mô hình khác nhau của nhiễu, và những yếu tố này nên được xem xét cẩn thận như mô

hình của phần xác định, để đưa ra dự đoán mô hình và các giá trị tham số có thể giải thích Do đó, điều cần thiết là phải hiểu và điều tra ảnh hưởng của tham số nhiễu như một phần tất yếu Trong nhiều trường hợp, nhiễu chỉ đơn giản là làm

mờ các động lực cơ bản không ảnh hưởng đến chất lượng của nó, như trường hợp

có nhiễu lúc đo hoặc trong nhiều hệ thống tuyến tính Tuy nhiên, trong các hệ động lực phi tuyến có nhiễu hệ thống Nhiễu thường sẽ thay đổi mạnh mẽ các động lực xác định tương ứng Nói chung, các hiệu ứng ngẫu nhiên ảnh hưởng đến động lực học, và có thể tăng cường, giảm bớt hoặc thậm chí thay đổi hoàn toàn hoạt động của hệ thống

2.2.2 Quá trình Wiener (hoặc Brownian Motion)

Quá trình ngẫu nhiên quan trọng nhất quá trình trong thời gian liên tục là quá trình Wiener, còn được gọi là Chuyển động Brownian Nó được sử dụng như một khối xây dựng trong các mô hình phức tạp hơn Năm 1828, nhà thực vật học người Scotland Robert Brown quan sát thấy các hạt phấn lơ lửng trong nước

di chuyển một cách rõ ràng ngẫu nhiên, thay đổi hướng liên tục Điều này sau đó

đã được giải thích bởi các hạt phấn hoa bị tác động mạnh bởi các phân tử nước,

và Brown chỉ đóng góp cho lý thuyết với tên của mình Các công thức toán học chính xác để giải thích hiện tượng này được đưa ra bởi Norbert Wiener vào năm

1923 Quá trình Wiener có thể được coi là giới hạn của bước đi ngẫu nhiên khi thời gian bước và kích thước bước nhảy về 0 theo cách phù hợp và có thể được định nghĩa chính thức như sau

Định nghĩa (Quá trình Wiener) Một quy trình ngẫu nhiên {W (t)} t≥0 được gọi

là Wiener quá trình hoặc chuyển động Brown nếu

t1 , , tk là biến vectơ ngẫu nhiên (X (t1), , X (tk)) tuân theo phân phối chuẩn

k chiều Trong thực tế, nó có thể được chỉ ra rằng bất kỳ quá trình ngẫu nhiên

thời gian liên tục với gia số độc lập và mô men bậc hai hữu hạn: 2 

dW = zeros(1,N); % preallocate arrays

W = zeros(1,N); % for efficiency

dW(1) = sqrt(dt)*randn; % first approximation outside the loop

W(1) = dW(1); % since W(0) = 0 is not allowed

ylabel('W(t)','FontSize',16,'Rotation',0)

Quá trình Wiener liên tục với giá trị trung bình bằng 0 và phương sai tỷ lệ với

thời gian trôi qua: E (W (t)) = 0 và Var (W (t)) = t Nếu X t  là quá trình ngẫu nhiên đứng yên quá trình, sau đó X t  có cùng phân phối với X t h cho tất

cả h0 Do đó,quá trình Wiener không thể đứng yên do phương sai tăng theo t Các Hàm hiệp phương sai được cho bởi:

Một phần mở rộng tự nhiên của mô hình phương trình vi phân thông thường xác định là được đưa ra bởi một mô hình phương trình vi phân ngẫu nhiên, trong

đó các tham số có liên quan là ngẫu nhiên hoặc được mô hình hóa như các quá trình ngẫu nhiên của một số hình thức phù hợp, hoặc đơn giản là bởi thêm một thuật ngữ tiếng ồn cho các phương trình lái xe của hệ thống Cách tiếp cận này giả định rằng một số mức độ tiếng ồn có mặt trong các động lực của quá trình Ở đây chúng tôi sẽ sử dụng quy trình Wiener Nó dẫn đến một hệ thống hỗn hợp với cả hai yếu tố quyết định và một phần ngẫu nhiên theo phương trình vi phân ngẫu nhiên sau:

định một định nghĩa đạo hàm khác Đó là dWt = ξt dt, trong đó ξt là một quá trình nhiễu trắng, được định nghĩa là được phân phối bình thường cho bất kỳ t cố định

và không tương thích: E t s0 nếu ts Nói đúng ra, quá trình nhiễu trắng không tồn tại như một hàm thông thường của t, nhưng có thể được hiểu là đạo hàm tổng quát của một quá trình Wiener

Chúng tôi gọi một quá trình được đưa ra bởi một phương trình có dạng (1) cho một qúa trình Ito Các hàm   và σ (·) có thể là phi tuyến, trong đó,  

là phần trôi hoặc thành phần xác định và σ (·) là phần khuếch tán hoặc thành phần ngẫu nhiên (hệ thống gây nhiễu), có thể phụ thuộc vào trạng thái của hệ thống, Xt Nếu   và σ (·) không phụ thuộc vào t thì quá trình này được gọi là đồng nhất thời gian, ξt dt có thể được viết dưới dạng vi phân của quá trình

Wiener, dWt Điều này dẫn đến Phương trình (1) nên được giải như sau:

Chúng ta hãy thử các thủ thuật thông thường từ phép tính thông thường, nơi chúng ta xác định tích phân cho một lớp hàm đơn giản, và sau đó mở rộng bằng một số thủ tục gần đúng đối với các lớp hàm lớn hơn Chúng tôi muốn định nghĩa:

 

0

t

s t

f s dW

 (3) Nếu f t  là hằng số, chúng ta sẽ mong tích phân (3) bằng