Định lý rolle và một số áp dụng

Điều này có thể được chứng minh theo nguyên lý cực đại Hausdorff,với mỗi không gian vector vô hạn chiều E có một cơ sở B và mỗi phần... tử thuộc E có thể được biểu diễn duy nhất hữu hạn

ĐỊNH LÝ ROLLE VÀ MỘT SỐ ÁP DỤNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ

Năm:

TRƯỜNG ĐẠI HỌC

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

1 PHẦN MỞ ĐẦU

Giải tích khoảng là một nhánh mới của toán học, ra đời vào những nămnăm mươi của thế kỷ 20 Những ý tưởng về Giải tích khoảng được đưa ratrong luận án tiến sĩ của Moore R E tại đại học Stanford vào năm 1962,sau đó được xuất bản thành sách với tiêu đề “Interval analysis” vào năm

1966 [6] Năm 1991, tạp chí quốc tế “Interval Computation” được sánglập là mốc son đánh dấu sự phát triển của lĩnh vực này, (từ năm 1995,tạp chí này phát hành dưới tên “Reliable Computation”) Năm 1993, mộthội nghị quốc tế về Giải tích khoảng được tổ chức tại Lafayette Năm

1995, hội thảo quốc tế về ứng dụng của Giải tích khoảng được tổ chức

2 Không gian của các hàm khả vi liên tục C1(Ω)

ra nó là đầy đủ nhưng không là không gian Hilbert Xét ánh xạ tuyếntính

Theo (??), ta được fh → f và fh′ → g đều trên [a, b] và do đó cũng hội

tụ theo từng điểm Theo định lý tích phân cổ điển

(iii) liên tục đều trên Ω.

Chứng minh Ta xét trong trường hợp khi n = 1 và Ω = (a, b)

Sự cần thiết: Chỉ ra rằng, nếuF là compact trong (C1(Ω), ∥.∥C1 ), khi đó(i), (ii) và (iii) đúng Cho

T : (C1(Ω), ∥.∥C1 ) → (C0(Ω) ×C0(Ω), ∥.∥C0

(Ω)×C0(Ω) )

là ánh xạ được định nghĩa bởi (??)

Trong chứng minh của định lý ?? ta chỉ ra được tồn tại

(Ω)×C0(Ω) ) Điều này có nghĩa làπ1(T (F )) = F

và π2(T (F )) = F′ đều compact trong (C0(Ω), ∥.∥C0 ) Theo định lý Arzelà

- Ascoli ta được (i), (ii), (iii) đúng Tính đầy đủ: Chứng minh

Bài tập 3 F là compact (C1(Ω), ∥.∥C1 ), cho trước (i), (ii) và (iii) đúng

Nhận xét 1 Cho

F = BC1 ([a,b]) := {f ∈C1([a, b]) : ∥f ∥C1 = ∥f ∥∞+ ∥f′∥∞ ≤ 1}.

Khi đó F không compact trong (C1([a, b]), ∥.∥C1 ) vì theo định lý Riesz’s(nhớ rằng C1([a, b]) là không gian vô hạn chiều) Nhưng F là compacttương đối trong (C0([a, b]), ∥.∥∞), nghĩa là, ∀(fh)h ⊂ F tồn tại (fhk)k và

(M, ∥.∥C0 (Ω)×C 0 (Ω) )của không gian metric (C0(Ω) ×C0(Ω), ∥.∥C0 (Ω)×C 0 (Ω) )

là tách được Điều này là do tính tách được của (C0(Ω), ∥.∥∞) (Định lý

??), bài tập ?? và từ các tính chất tách được qua giới hạn đến khônggian con (Xem định lý ?? (ii))

E

Điều này có thể được chứng minh theo nguyên lý cực đại Hausdorff,với mỗi không gian vector vô hạn chiều E có một cơ sở B và mỗi phần

tử thuộc E có thể được biểu diễn duy nhất (hữu hạn) theo tổ hợp tuyếntính của những phần tử thuộc B.

Khi dimRE = ∞, (E, ∥.∥E) và (E′, ∥.∥E′ ) không nhất thiết là đẳng cấutopo Tuy nhiên, ta chứng minh một vài tính chất topo của (E′, ∥.∥E′ )

như là tính tách được vẫn còn giữ trên (E, ∥.∥E)

Định lý 4 (E, ∥.∥E) là tách được nếu (E′, ∥.∥E′ ) là tách được

Trước khi chứng minh định lý này thì ta cần sử dụng điều kiện trù mậtcho không gian con định chuẩn, đó là hệ quả của định lý Hahn-Banachthứ hai về hình học

Mệnh đề 1 (Điều kiện trù mật trong không gian con) Cho (E, ∥.∥E) làkhông gian định chuẩn Giả sử M ⊂ E là một không gian con không trùmật trong (E, ∥.∥E) và lấy x0 ∈ E \ M Khi đó tồn tại f ∈ E′ sao cho

⟨f, x⟩E′ ×E = 0, ∀x ∈ M và ⟨f, x0⟩E′ ×E = 1.

Chứng minh Từ định lý Hahn-Banach thứ hai về hình học, tồn tạig ∈ E′

sao cho siêu phẳng

tức là, các tập của tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử {xh :

h ∈N} với hệ số thực Khi đó De là đếm được, D là không gian con của

Theo phản chứng, nếu Dkhông trù mật, lấy x0 ∈ E \ D Khi đó từ mệnh

đề ??, tồn tại f ∈ E′ sao cho

4 Nhóm quaternion suy rộng

Mệnh đề 2 Cho nhóm quaternion suy rộng

Q4n = ⟨r, s | r2n = 1, s2 = rn = 1, s−1rs = r−1⟩ với n⩾2

và H là một nhóm con của Q4n Khi đó

(i) Nếu H = Rk với k|2n, 1 ⩽k ⩽2n thì

0⩽i⩽ 2n

k − 1



.

Ta xét hai trường hợp của k như sau

Trường hợp 1: k | n Khi đó, theo Mệnh đề 19 ta có

Trường hợp 2: k ∤n Khi đó, theo Mệnh đề 19, ta có

(ii) Giả sử H = Ui,j với i|n, 1 ⩽i ⩽ n, 0⩽ j ⩽i − 1 Theo Mệnh đề 18

Trong ví dụ sau ta sẽ tính lại độ giao hoán tương đối của các nhómcon trong nhóm quaternion Q8, và tính độ giao hoán tương đối của các

2.

5 Nhóm nhị diện

Mệnh đề 3 Cho nhóm nhị diện Dn = ⟨r, s | rn = s2 = 1, s−1rs = r−1⟩

với n ⩾3, và H là một nhóm con của Dn Khi đó

(i) Nếu H = Rk với k|n, 1⩽k ⩽n thì

n + 2 2n nếu n chẵn (iii) Nếu H = Ui,j với i|n, 1⩽i⩽n − 1, 0⩽j ⩽i − 1 thì

Trường hợp 2: n chẵn Ta xét hai trường hợp của k.

Trường hợp 2a: k ∤ n

2 Khi đó, theo Mệnh đề 16 ta cóX

Trường hợp 2b: k | n

2 Khi đó, theo Mệnh đề 16 ta cóX

Vậy ta có điều phải chứng minh.

(ii) Giả sử H = Tl với 0⩽l ⩽n − 1 Theo Mệnh đề 15, |Tl| = 2 do đó

Ta áp dụng Mệnh đề 16 cho hai trường hợp của n như sau

Vậy ta có điều phải chứng minh

(iii) Giả sử H = U i,j với i|n, 1⩽i⩽n − 1, 0⩽j ⩽i − 1 Theo Mệnh đề

0⩽ l⩽ n

i − 1



.

Ta xét hai trường hợp của n

Trường hợp 1: n lẻ Khi đó, theo Mệnh đề 16 ta có

Trường hợp 2: n chẵn Ta xét hai trường hợp của i

Trường hợp 2a: i∤ n

2 Khi đó, theo Mệnh đề 16 ta cóX

Trường hợp 2b: i

n

2 Khi đó, theo Mệnh đề 16 ta cóX

1 ⩽l⩽ni −1

|CDn(ril)| = CDn(rn2 ) + X

1 ⩽l⩽ni −1 l̸= n 2i

Vậy ta có điều phải chứng minh

Trong ví dụ sau ta sẽ tính lại độ giao hoán tương đối của các nhómcon trong nhóm nhị diện D3 và D4 bằng cách áp dụng Mệnh đề 41

Pr(T0, D3) = Pr(T1, D3) = Pr(T2, D3) = 3 + 1

2 · 3 =

2

3;Pr(D 3 , D 3 ) = Pr(D 3 ) = 1

2 · 4 =

3

4;Pr(U2,0, D4) = Pr(U2,1, D4) = 4 + 2 · 2 + 4

6 Các khái niệm cơ bản

toán mà ta gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn: R là nhóm aben với

phân phối với phép toán cộng, nghĩa là

x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz,

với mọi x, y, z ∈ R

Phần tử trung hòa của phép cộng được ký hiệu bởi 0 (thường gọi làphần tử không) Phần tử đơn vị của phép nhân nếu có được ký hiệu bởi

1 Nếu vành có nhiều hơn một phần tử và có đơn vị thì 1 ̸= 0

A là vành đối với hai phép toán cộng và nhân trên R (bao gồm cả tínhđóng của hai phép toán trên A)

Định nghĩa 5 Iđêan trái (phải) của một vành R là một vành con A

thỏa mãn điều kiện

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I,

với mọi x, y ∈ R

như trên lập thành một vành và được gọi là vành thương của R theo I.Định nghĩa 7 Cho R là vành có đơn vị 1R Một R-môđun phải M baogồm (M, +) là một nhóm aben và một toán tử · : M × R → M thỏa mãn(1) (x + y) · r = x · r + y · r,

(2) x · (r + s) = x · r + x · s,

(3) (xr) · s = x · (rs),

(4) x · 1R = x,

trong đó r, s ∈ R và x, y là các phần tử tùy ý trong M

thường ký hiệu là MR Tương tự ta cũng đinh nghĩa R-môđun trái

phải S-bên trái (ký hiệu SMR) nếu

a) M là R-môđun phải và M là S-môđun trái

b) Ta phải có

(sx)r = s(xr), (r ∈ R, s ∈ S, x ∈ M ).

Định nghĩa 8 Cho M là mộtR-môđun phải Tập con A củaM được gọi

là môđun con của M (ký hiệu A ≤ M hay AR ≤ MR), nếu A là R-môđunphải với phép toán cộng và nhân hạn chế trên A

A ≤ M thì A = 0 hoặc A = M, nghĩa là M ̸= 0 và M có hai môđuncon là 0 và M

(2) Vành R được gọi là đơn nếu R ̸= 0 và với mọi A ≤R RR thì A = 0

hoặc A = 0, nghĩa là R ̸= 0 và R chỉ có hai iđêan hai phía là 0 và R

như A ̸= 0 và với mọi B ≤ M thỏa mãn B < A thì B = 0

như A ̸= M và với mọi B ≤ M thỏa mãn B > A thì B = M

Bổ đề 1 MR đơn khi và chỉ khi M ̸= 0 và ∀m ∈ M, m ̸= 0 thì M = mR.Cho MR và N ≤ MR Vì N là nhóm con của nhóm cộng aben M nên

7 Không gian của các hàm Lipschitz Lip(Ω)

Định nghĩa 11 Cho A ⊂Rn

(i) Hàm f : A ⊂ Rn → R được gọi là "Lipschitz" nếu tồn tại hằng số

L>0 thỏa

|f (x) − f (y)| ≤ L|x − y|, ∀x, y ∈ A

Tập hợp của các hàm Lipschitz f : A ⊂ Rn →R và được ký hiệu là

Lip(A)

(ii) Cho f ∈Lip(A) Một số không âm

Lip(f ) =Lip(f, A) := sup



|f (x) − f (y)|

|x − y| : x, y ∈ A, x ̸= y



được gọi là hằng số Lipschitz của f

Nhận xét 2 Định nghĩa của các hàm Lipschitz là khái niệm metric.Thật vậy, nếu (X, d) và (Y, ϱ) là không gian metric, ánh xạ f : X → Y

được gọi là Lipschitz nếu có hằng số L > 0 thỏa mãn

ϱ(f (x), f (y)) ≤ Ld(x, y), ∀x, y ∈ X

Mệnh đề 4 Cho A ⊂Rn và f ∈Lip(A)

(i) f liên tục đều trên A;

(ii) tồn tại duy nhất f : A →¯ R với f |A = f và Lip(f ) = Lip(f )

Nhận xét 3 Từ mệnh đề ?? suy ra nếu f ∈Lip(A), với A ⊂Rn, luôn

có nghĩa như hàm f : A →R và ngược lại Hơn thế nữa, ánh xạ mở rộng

E :Lip(A) →Lip(A), E(f ) := f là song ánh Theo kết quả này, ta có thểhiểu Lip(A) =Lip(A) Lưu ý các tính chất mở rộng không còn đúng trongkhông gian C1(Ω)

Mệnh đề 5 Cho Ω ⊂Rn là tập lồi và bị chặn Khi đó C1(Ω) ⊂ Lip(Ω).Chứng minh Cho f ∈C1(Ω) Theo định lý giá trị trung bình

∀x, y ∈ Ω, ∃z ∈ xy := {tx + (1 − t)y : 0 ≤ t ≤ 1} ⊂ Ω

thỏa mãn

f (x) − f (y) = (∇f (z), x − y)Rn

,điều này mấu thuẫn với bất đẳng thức trước

(ii) Quan hệ bao hàm này là chặt

Ví dụ: Cho Ω = (−1, 1) và f (x) = |x| Khi đó f ∈Lip(Ω) \C1(Ω)

khả vi liên tục C1(Ω), chúng có chung những tính chất quan trọng, như

là tính khả vi, đã được chứng minh trong trường hợp một chiều

Khi đó f khả vi tại x, Ln hầu khắp nơi, x ∈ Ω, nghĩa là bỏ đi một tập

có độ đo là không N ⊂ Ω, với mỗi x ∈ Ω \ N tồn tại một hàm tuyến tính

Định nghĩa 12 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở bị chặn, cho f ∈ Lip(Ω) Tabiểu thị

∥f ∥Lip = ∥f ∥Lip,Ω := ∥f ∥∞,Ω+Lip(f, Ω).

∥.∥Lip được gọi là chuẩn Lip

Định lý 7 (Lip(Ω), ∥.∥Lip) là không gian Banach vô hạn chiều nhưngkhông là không gian Hilbert, biết Ω ∈Rn là tập mở bị chặn

Chứng minh Dễ thấy (Lip(Ω), ∥.∥Lip) là không gian tuyến tính địnhchuẩn, chú ý rằng

Lip(f + g) ≤Lip(f ) +Lip(g) ∀f, g ∈ Lip(Ω). (6)

Ta phải chỉ ra tính đầy đủ Cho(fh)hlà dãy Cauchy trong(Lip(Ω), ∥.∥Lip),nghĩa là với mỗi ϵ > 0 sẽ tồn tại h = h(ϵ) ∈N thỏa mãn

(fh)h là dãy Cauchy trong (C0(Ω), ∥.∥∞).

Khi đó, tồn tại f ∈ C0(Ω) thỏa mãn fh → f đều trên Ω Theo (??), tađược Lip(f ) ≤ L, do đó f ∈ Ω Lấy qua giới hạn trong (??), khi k → ∞,

ϵ > 0 sẽ tồn tại h = h(ϵ) ∈N sao cho

Theo hệ quả của mệnh đề ?? ta được kết quả sau.

Hệ quả 1 Bao hàm C1(Ω) ⊂Lip(Ω) là ánh xạ song Lipszhitz, nghĩa là

1

L ∥f ∥C1 ≤ ∥f ∥Lip ≤ L∥f ∥C1 ∀f ∈ C1(Ω),

và nó là nghiêm ngặt, biết Ω ⊂ Rn là tập lồi, mở và bị chặn Đặc biệt,

C1(Ω) là không gian con đóng của (Lip(Ω), ∥.∥Lip)

Ω = (a, b) Theo mệnh đề ?? và nhận xét ?? (ii), ta cần chỉ ra rằng quan

hệ bao hàm này là một phép đẳng cự Điều này suy ra

Bài tập 4 Nếu f ∈C1([a, b]) khi đó ∥f ∥Lip = ∥f ∥C1

Định lý 8 Cho Ω ⊂Rn là tập mở và bị chặn, giả sử

F = BLip(Ω) := {f ∈Lip(Ω) : ∥f ∥Lip ≤ 1}.

Khi đó BLip(Ω) là compact trong (Lip(Ω), ∥.∥∞)

Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng F là compact trong (C0(Ω), ∥.∥∞) Ápdụng định lý Arzelà - Ascoli (Định lý 4) Chứng minh rằng

(i) F là bị chặn trong (C0(Ω), ∥.∥∞): hiển nhiên theo định nghĩa

(ii) F đóng trong (C0(Ω), ∥.∥∞): nghĩa là, nếu (fh)h ⊂ F với ∥fh− f ∥∞,khi đó f ∈ F Thật vậy

fh∈ F Lef trightarrow|fh(x)|+ |fh(y) − fh(z)|

(iii)F liên tục đều trên Ω Thật vậy, nó đủ để nhận thấy rằng, theo địnhnghĩa

|f (y) − f (z)| ≤ |y − z| ∀y, z ∈ Ω, f ∈ F

Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét 5 Chú ý rằng BC1 (Ω) := {f ∈ C1(Ω) : ∥f ∥C1 ≤ 1} là khôngcompact trong (C1(Ω), ∥.∥∞) Đây là một đặc trưng tốt có trên Lip(Ω)

nhưng không có trên C1(Ω)

Tính tách được của (Lip(Ω), ∥.∥Lip)

Định lý 9 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở và bị chặn Khi đó (Lip(Ω), ∥.∥Lip)

không tách được

Chứng minh Ta cần chỉ ra rằng tồn tại một họ tách rời nhau khôngđếm được {U α : α ∈ I} của tập mở trong (Lip(Ω), ∥.∥Lip) (Mệnh đề ??)

Ta chia chứng minh thành hai bước

Bước 1: Giả sử n = 1 và Ω = (a, b) và ta sẽ chứng minh được kết luận.Cho {uα : α ∈ (a, b)} ⊂ (Lip(a, b)) là họ hàm

Uα := {f ∈Lip((a, b)) : ∥f − uα∥Lip < 1 ∀α ∈ I}

Ta được điều mong muốn

mở (a 1 , b 1 ) × · · · × (a n , b n ) ⊂ Ω Cho {f α : α ∈ (a 1 , b 1 )} ⊂Lip(Ω) là họ cáchàm được định nghĩa bởi

Ta được điều cần chứng minh

Ta đã xem xét lớp Lip(Ω) của hàm liên tục Lipschitz f : Ω → R cái

mà định nghĩa thỏa mãn ước lượng

Bài tập 5 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở được liên thông và giả sử (H) đúngvới C > 0 và α > 1 Khi đó f ≡ const

Do đó điều kiện Holder không còn ý nghĩa cho các hàm với số mũ lớnhơn một trong tập mở liên thông

Holder với mũ α > 0 nếu nó thỏa mãn (H) với hằng sô C > 0

8 KHÔNG GIAN CÁC HÀM LIÊN TỤC

Nhận xét 6 Định lý Arzelà - Ascoli không còn đúng trong C0(A) khi

A ⊂Rn không compact Ví dụ lấy C0b(R) là không gian các hàm liên tục

Khi đó dễ thấy rằng (C0b(R), ∥.∥∞) là không gian Banach Giả sử f :R→

R là hàm được định nghĩa bởi

Định lý 10 Giả sử (X, d) là không gian metric Khi đó

(i) (X, d) là tách được khi và chỉ khi nó thỏa tiên đề thứ hai của tínhđếm được

(ii) Mỗi không gian con của (X, d) là tách được khi (X, d) là tách được.(iii) Giả sử (Y, ϱ) là không gian metric khác và T : (X, d) → (Y, ϱ) là đồngcấu Khi đó (X, d) tách được khi và chỉ khi (Y, ϱ) tách được

Nhận xét 7 Phải nhấn mạnh rằng mục này rất quan trọng trong giảitích cho các mục xấp xỉ Nghĩ ra các số hợp lý và chứng minh của định

lý Ascoli

Cuối cùng phải nhớ lại các tiêu chuẩn để kiểm tra không gian topokhông phải là một không gian tách.

Mệnh đề 6 Giả sử (X, τ ) là không gian topo Giả sử tồn tại một họ

{Ui: i ∈ I} thỏa mãn

(i) U i là tập mở với mỗi i ∈ I;

(ii) Ui∪ Uj = ∅ nếu i ̸= j

(iii) I là không đêm được

Khi đó (X, τ ) không tách được



:=ny ∈ l∞: ∥y − x∥l∞ < 1

2

onếu x ∈ I

ph→ f đều trên [a, b].

Nhận xét 8 Bởi vì đa thức là các hàm đơn giản nhất, máy tính có thểtrực tiếp đánh giá các đa thức Định lý này có ý nghĩa trong cả lý thuyết

và thực tiễn Đặc biệt là trong nội suy đa thức

Chứng minh định lý ?? Chúng ta cần chỉ ra kết quả khi n = 1 và K = [a, b]

D := Q[x] Ta đã biết D là đếm được Chứng minh D là trù mật trong

C0([a, b]), ∥.∥∞) tức là

∀f ∈ C0([a, b]), ∀ϵ > 0, ∃q ∈ D sao cho ∥f − q∥∞ ≤ ϵ.

Từ định lý xấp xỉ Weierstrass, với mọi ϵ > 0, tồn tại p ∈R[x], nghĩa là,

toán hai ngôi · thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) a · (b · c) = (a · b) · c với mọi a, b, c ∈ G,

(ii) Tồn tại một phần tử e ∈ G sao cho a · e = a = e · a với mọi a ∈ G,

(iii) Với mọi a ∈ G tồn tại phần tử a′∈ G sao cho a · a′ = a′· a = e.

Để đơn giản, ta ký hiệu abthay cho a · b Phần tửe xác định trong (ii)

là duy nhất, được gọi là phần tử đơn vị của nhóm G, và thường ký hiệu

là1 Với mỗi a ∈ G, phần tửa′ xác định trong (iii) là duy nhất, được gọi

là phần tử nghịch đảo của a, và ký hiệu là a−1 Một nhóm G được gọi làgiao hoán (hay abel ) nếu ab = ba với mọi a, b ∈ G Nếu nhóm G có hữuhạn phần tử thì ta gọi G là một nhóm hữu hạn, và gọi số phần tử của G

là cấp của nhóm G, và ký hiệu là |G|

nhóm con củaG, ký hiệu là H⩽ G, nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:(i) Phép toán trên G hạn chế lên H cảm sinh một phép toán trên H,(ii) H là một nhóm với phép toán cảm sinh

Cho G là một nhóm, và H là một tập con của G ta ký hiệu ⟨S⟩ lànhóm con bé nhất của G chứa S, và gọi S là một tập sinh của ⟨S⟩ Đặcbiệt, một nhóm có tập sinh chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm xiclíc

là một nhóm con của G Khi đó |H| là một ước của |G|

Với Glà một nhóm hữu hạn, và H ⩽G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|,

và gọi là chỉ số của nhóm con H đối với G

G Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Khi đó

|AB| = |A||B|

|A ∩ B|.

Cho Glà một nhóm, và alà một phần tử của G Vớiu là một phần tửcủaG, liên hợp củaubởia, ký hiệu làua, được định nghĩa làua = a−1ua.Với H là một nhóm con củaG, ta gọi H là một nhóm con chuẩn tắc của

G, ký hiệu là H◁G, nếu ha ∈ H với mọi a ∈ G, h ∈ H

Cho N là một nhóm con chuẩn tắc của G Ký hiệu

G/N = {aN | a ∈ G}.

Khi đó G/N là một nhóm với phép toán xác định như sau Với a, b ∈ G

(aN )(bN ) = abN.

Nhóm G/N được gọi là nhóm thương của G bởi N.

Với S là một tập con của G, tâm hóa củaS trong G, ký hiệu làCG(S),được định nghĩa là

cấu nhóm nếu với mọi a, b ∈ G

f (ab) = f (a)f (b).

ta gọi f là một đơn cấu (tương ứng, toàn cấu, đẳng cấu) Ta ký hiệu

Aut(G) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G

Cho N và H là hai nhóm bất kỳ, và cho θ : H → Aut(N ) là một đồngcấu nhóm Khi đó, tập hợp

G = {(x, h) | x ∈ N, h ∈ H}

là một nhóm với phép toán xác định như sau Với mọi (x1, h1), (x2, h2) ∈ G,

(x1, h1)(x2, h2) = (x1θ(h1)(x2), h1h2).

Nhóm G được xác định như trên được gọi là tích nửa trực tiếp của

N bởi H ứng với tác động θ, và ký hiệu là G = N ×θ H Trong trường

hợp đặc biệt khi θ là đồng cấu tầm thường thì tích nửa trực tiếp chính

là tích trực tiếp

Sau đây là một số kiến thức về p-nhóm và nhóm abel hữu hạn Cho

p là một số nguyên tố Một nhóm G được gọi là một p-nhóm nếu |G| làmôt lũy thừa của p Ta thấy rằng một nhóm con, một nhóm thương củamột p-nhóm cũng là một p-nhóm

(i) Mọi nhóm có cấp p đều là nhóm xiclíc

(ii) Mọi nhóm có cấp p2 đều là nhóm abel

cách duy nhất thành tích trực tiếp các nhóm xiclíc

G ∼ = C n 1 × Cn2 × · · · × Cnk

trong đó ni⩾ 2, i = 1, 2, k, và n1 | n2 | · · · | nk

Sau đây là một số kiến thức về nhóm đối xứng và nhóm thay phiên.ChoX là một tập hợp Một song ánh từ tập X đến chính nó được gọi làmột phép thế trên tập X Ký hiệu S(X) là tập tất cả các phép thế trên

gọi S(X) là nhóm đối xứng trên tập X Ta dùng ký hiệu Sn để chỉ nhómđối xứng trên tập X = {1, 2, , n} và gọi S n là nhóm đối xứng bậc n

thành một tích các xích rời nhau Phân tích này là duy nhất nếu không

hợp với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng kiểu

Cho σ ∈ S n với n ⩾ 2. Ta nói cặp (σ(i), σ(j)) là một nghịch thế của σ

nếu i < j và σ(i) > σ(j). Dấu của phép thế σ, ký hiệu là sign(σ), đượcxác định bởi công thức

sign(σ) = (−1)t

trong đó tlà số các nghịch thế của σ Nếu sign(σ) = 1 thì ta gọiσ là mộtphép thế chẵn, nếu sign(σ) = −1 thì ta gọi σ là một phép thế lẻ

Mệnh đề 13 Cho σ, τ ∈ Sn với n⩾1. Khi đó

(i) sign(στ ) =sign(σ)sign(τ ).

(ii) Nếu σ là một xích độ dài k thì sign(σ) = (−1)k+1.

Với n⩾2 ta ký hiệu An là tập các phép thế chẵn bậcn. Khi đóAn làmột nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2 của Sn. Ta gọi An là nhóm thay phiênbậc n

Cuối cùng trong mục này là một kết quả về độ giao hoán của mộtnhóm

Định lý 14 (Định lý Rolle) Giả sử cho hàm số f liên tục trên [a, b],khả vi trên khoảng (a, b) và f (a) = f (b) Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

f′(c) = 0

Chứng minh

Vì f liên tục trên đoạn [a, b] Theo định lý Weierstrass thì hàm f phảitồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b], nghĩa là tồntại x 1 , x 2 ∈ (a, b) sao cho

f (x1) = min

[a,b] f (x) = m, f (x2) = max

[a,b] f (x) = M

Có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu m = M Khi đó f (x) = const trên đoạn [a, b] Nên f′(c) = 0 vớimọi c ∈ (a, b)

2) Nếu m < M Theo giả thiết ta có f (a) = f (b) nên ít nhất một tronghai điểm x1, x2 phải thuộc khoảng (a, b) Không mất tính tổng quát tagiả sử x1 ∈ (a, b) Theo định lý Fermat thì đạo hàm tại điểm này bằngkhông

Định lý được chứng minh xong

Ý nghĩa hình học của định lý Rolle

ChoC là đường cong trơn với hai đầu mút A, B có cùng "độ cao" (trong

hệ trục tọa độ Descartes) thì trên C tồn tại ít nhất một điểm mà tiếptuyến của C tại điểm đó song song với AB(hay song song với trục hoành

vì f (a) = f (b))

trìnhf (x) = 0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) thì phương trình

f′(x) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) (Phươngtrình f(k)(x) = 0 có ít nhất n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b)

với (k = 1, 2, , n))

Chứng minh

Giả sử phương trình f (x) = 0 cón nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b)

đã được sắp thứ tự x 1 < x 2 < < x n Khi đó ta áp dụng định lý Rollecho n − 1 đoạn [x1, x2], [x2, x3], , [xn−1, xn] thì phương trình f′(x) = 0 có

ít nhất n − 1 nghiệm thuộc n − 1 khoảng (x 1 , x 2 ), (x 2 , x 3 ), , (x n−1 , x n ).Gọi n − 1 nghiệm đó là ξ1, ξ2, , ξn−1 thì ta có:

f (ξ1) = f (ξ2) = = f (ξn−1) = 0

Tiếp tục áp dụng định lý Rolle chon−2khoảng(ξ1, ξ2), (ξ2, ξ3), , (ξn−2, ξn−1)

thì phương trìnhf′′(x) = 0có ít nhấtn − 2nghiệm phân biệt trên khoảng

khoảng (a, b), chẳng hạn là n + 1 nghiệm Khi đó theo hệ quả 1 phươngtrình f′(x) = 0 có ít nhất n nghiệm thuộc khoảng (a, b) Điều này tráivới giả thiết phương trình f′(x) = 0 có không quá n − 1 nghiệm Ta cóđiều phải chứng minh

E

Điều này có thể được chứng minh theo nguyên lý cực đại Hausdorff,với mỗi không gian vector vô hạn chiều E có một cơ sở B và mỗi phần

tử thuộc E có thể được biểu diễn duy nhất (hữu hạn) theo tổ hợp tuyếntính của những phần tử thuộc B.

Khi dimRE = ∞, (E, ∥.∥E) và (E′, ∥.∥E′ ) không nhất thiết là đẳng cấutopo Tuy nhiên, ta chứng minh một vài tính chất topo của (E′, ∥.∥E′ )

như là tính tách được vẫn còn giữ trên (E, ∥.∥E)

Định lý 15 (E, ∥.∥E) là tách được nếu (E′, ∥.∥E′ ) là tách được

Trước khi chứng minh định lý này thì ta cần sử dụng điều kiện trù mậtcho không gian con định chuẩn, đó là hệ quả của định lý Hahn-Banachthứ hai về hình học

Mệnh đề 15 (Điều kiện trù mật trong không gian con) Cho (E, ∥.∥E)

trù mật trong (E, ∥.∥E) và lấy x0 ∈ E \ M Khi đó tồn tại f ∈ E′ sao cho

⟨f, x⟩E′ ×E = 0, ∀x ∈ M và ⟨f, x0⟩E′ ×E = 1.

Chứng minh Từ định lý Hahn-Banach thứ hai về hình học, tồn tạig ∈ E′

sao cho siêu phẳng

tức là, các tập của tất cả các tổ hợp tuyến tính của các phần tử {xh :

h ∈N} với hệ số thực Khi đó De là đếm được, D là không gian con của

Theo phản chứng, nếu Dkhông trù mật, lấy x0 ∈ E \ D Khi đó từ mệnh

đề ??, tồn tại f ∈ E′ sao cho

12 Các tính chất tổng quát của các ∆U -vành

Ta biết rằng 1 + J (R) ⊆ U (R) Vành R được gọi là U J-vành nếu U (R) ⊆

1 + J (R), nghĩa là 1 + J (R) = U (R) Lưu ý nếu R là U J-vành khi đó

∆(R) = J (R)

Một vành R được gọi là ∆U-vành nếu 1 + ∆(R) = U (R)

Mệnh đề 16 Một vànhR là∆U-vành khi và chỉ khiU (R)+U (R) ⊆ ∆(R)

(khi đó U (R) + U (R) = ∆(R))

Chứng minh Giả sửR là ∆U-vành, lấy bất kỳ u, v ∈ U (R), ta có 1 + u ∈

∆(R) và 1 − v ∈ ∆(R), do đó u + v = (1 + u) − (1 − v) ∈ ∆(R) hay

U (R) + U (R) ⊆ ∆(R)

Ngược lại, giả sử U (R) + U (R) ⊆ ∆(R), suy raU (R) + U (R) = ∆(R) (vì

∆(R) ⊂ U (R) + U (R)) hay 1 + ∆(R) = U (R) Vậy R là ∆U-vành

Mệnh đề sau trình bày một số tính chất cơ bản của ∆U-vành

Ri là ∆U khi và chỉ khi các vành Ri là ∆U, với mọi i ∈ I

(7) Nếu T là vành con của R thỏa mãn U (T ) = U (R) ∩ T, khi đó T là

∆U-vành Cụ thể áp dụng cho Z = Z(R) tâm của R

Chứng minh (1) Từ Mệnh đề ?? ta dễ dàng suy ra 2 ∈ ∆(R)

(2) Nếu R là thể thì ∆(R) = 0 Vì vậy R là U J-vành nên ta suy ra

R ∼ =F2

Từ (3), ta có b(1 − ba) ∈ ∆(R) và (1 − ba)a ∈ ∆(R) Suy ra

1 − ba = (1 − ba)2 = [(1 − ba)a][b(1 − ba)] ∈ ∆(R)

Từ đó, ba ∈ U (R) hoặc ba = 1

(5) Nếu I ⊆ J (R)là iđêan, khi đó∆(R/I) = ∆(R)/I theo Mệnh đề ??.Giả sử R là ∆U-vành Khi đó, bất kỳ u + I ∈ U (R/I), ta có u ∈ U (R) vìvậy u ∈ 1 + ∆(R) Suy rau + I ∈ 1 + ∆(R)/I = 1 + ∆(R/I) Do đó R/I là

∆U-vành

Ngược lại, giả sử R/I là∆U-vành Lấyu ∈ U (R) tùy ý Khi đó u + I ∈

1 + ∆(R)/I Ta có thể kiểm tra u ∈ 1 + ∆(R) Do đó, R là ∆U-vành

(6) Hiển nhiên

(7) Từ giả thiết U (T ) = U (R) ∩ T suy ra ∆(R) ∩ T ⊆ ∆(T ) Bây giờ

U (R) = 1 + ∆(R) cho

1 + ∆(T ) ⊆ U (T ) = U (R) ∩ T = (1 + ∆(R)) ∩ T = 1 + (∆(R) ∩ T ) ⊆ 1 + ∆(T ).

suy ra 1 + ∆(T ) ⊆ U (T ) hayT là ∆U-vành

Định lý 16 Vành ma trận Mn (R) là ∆U-vành khi và chỉ khi n = 1 và

R là ∆U-vành

Chứng minh (⇐:) Hiển nhiên

(:⇒) Giả sử rằng Mn (R) là ∆U-vành và n > 1 Đầu tiên ta sẽ chứngminh R là thể, tức là mọi phần tử khác không đều khả nghịch Lấy bất

và R ∼ =M1 (R) là ∆U-vành.

Khi đó eRe là ∆U-vành

Chứng minh Lấyu ∈ U (eRe) Khi đóu + 1 − e ∈ U (R) Vì R là ∆U-vành