Bài toán biên dạng tuần hoàncho phương trình vi phân hàm bậc nhất tuyến tính

ChoC là đường cong trơn với hai đầu mút A, B có cùng "độ cao" trong hệ trục tọa độ Descartes thì trên C tồn tại ít nhất một điểm mà tiếptuyến của C tại điểm đó song song với ABhay song s

Chuyên ngành: :

LUẬN VĂN THẠC SĨ Người hướng dẫn

TS.

1 MỞ ĐẦU

Nhiều hệ thống trong thực tế như điện, nước, mạng lưới truyền thông, thường được mô hình hóa bằng các hệ phương trình vi phân Việc nghiêncứu lý thuyết định tính của các hệ động lực này sẽ đem lại nhiều ứngdụng Trong lý thuyết điều khiển, bộ quan sát trạng thái là một hệ độnglực phản ánh dáng điệu của hệ thống vật lý, nó được thiết kế dựa trêncác thông tin đo được của đầu vào và đầu ra của hệ thống để cung cấpước lượng cho các trạng thái bên trong của hệ động lực đó Yêu cầutrong việc thiết kế bộ quan sát là ước lượng trạng thái của bộ quan sátphải hội tụ tới giá trị thực tế của các trạng thái hệ thống Tiếp theo là

2 Nhóm đối xứng

Trong mục này chúng tôi tính toán độ giao hoán tương đối của nhómcon thay phiên An trong nhóm đối xứng Sn

là một dãy không tăng các số nguyên dương (k 1 , k 2 , , k s ) sao cho

Từ đó suy ra điều phải chứng minh

Trong ví dụ sau đây chúng tôi tính toán các giá trị Pr(A n , S n ) với

2 ⩽ n ⩽ 7 bằng cách áp dụng Mệnh đề 49 Với n ⩾ 2, ta liệt kê tất cảcác phân hoạch của n ứng với kiểu của các phép thế của An Từ đó tađếm được c(n) và tính Pr(An, Sn)

(ii) Với n = 3 ta có 2 phân hoạch là (3), (1, 1, 1). Do đó c(3) = 2. Chonên

3 So sánh giữa không gian vector hữu hạn chiều và không gian vector vô hạn chiều.

Chúng ta sẽ nhắc lại sơ qua những điểm khác nhau giữa không gianvector hữu hạn chiều và không gian vector vô hạn chiều từ cách nhìncủa đại số và của topo

tuyến tính 1 − 1 đi từ E vào F

(ii) Cho (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) Ta nói (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) là một đẳngcấu topo nếu tồn tại ánh xạ liên tục T : E → F là ánh xạ tuyến tính

1 − 1 với ánh xạ ngược cũng liên tục T−1: F → E

(ii) Cho (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) Ta nói (E, ∥.∥E) và (F, ∥.∥F) là một đẳng

1 − 1 từ E vào F với ∥T (x)∥F = ∥x∥E với mỗi x ∈ E

Ta nhớ lại khái niệm không gian đối ngẫu của không gian vector địnhchuẩn

gian đối ngẫu E′ của E là không gian tuyến tính được định nghĩa bởi:

Định lý 1 (E′, ∥.∥E′ ) là không gian Banach

Giả sử {fn} là một dãy Cauchy của E′, tức là

∥fm− fn∥E′ → 0 khi m, n → ∞,

khi đó với mọi x ∈ E ta có

|f m (x) − f n (x)| = |(f m − f n )(x)| do tính tuyến tính,

|fm(x) − fn(x)| ≤ ∥fm− fn∥E′ ∥x∥E → 0 khi m, n → ∞,

do {f n } là dãy Cauchy trong E′

Ta suy ra fn(x) là dãy Cauchy trong R, do đó fn(x) hội tụ, nghĩa là

sẽ tồn tại f (x) sao cho

Ta có điều phải chứng minh

Lưu ý: Nếu f ∈ E′ và x ∈ E ta viết ⟨f, x⟩E′ ×E thay cho f (x) và tagọi ⟨., ⟩E′ ×E là tích vô hướng trên không gian đối ngẫu E, E′ Ký hiệunày chỉ chung các không gian đối ngẫu thực khi E là không gian Hilbert

4 ĐỊNH LÝ ROLLE

Cơ sở của định lý Rolle dựa trên hai định lý cơ bản là Weierstrass vàFermat Định lý Weierstrass khẳng định rằng khi hàm số f liên tục trênđoạn [a, b]thì nó bị chặn và tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trênđoạn đó Định lý Fermat về điểm cực trị của hàm cũng khẳng định rằngnếu hàm f khả vi trên khoảng (a, b) và đạt cực trị địa phương (cực đạiđịa phương hoặc cực tiểu địa phương) thuộc khoảng đó thì giá trị đạohàm tại điểm cực trị địa phương bằng không

Định lý 2 (Định lý Rolle) Giả sử cho hàm số f liên tục trên [a, b],khả vi trên khoảng (a, b) và f (a) = f (b) Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

f′(c) = 0

Chứng minh

Vì f liên tục trên đoạn [a, b] Theo định lý Weierstrass thì hàm f phảitồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b], nghĩa là tồntại x1, x2 ∈ (a, b) sao cho

Có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu m = M Khi đó f (x) = const trên đoạn [a, b] Nên f′(c) = 0 vớimọi c ∈ (a, b)

2) Nếu m < M Theo giả thiết ta có f (a) = f (b) nên ít nhất một tronghai điểm x1, x2 phải thuộc khoảng (a, b) Không mất tính tổng quát tagiả sử x1 ∈ (a, b) Theo định lý Fermat thì đạo hàm tại điểm này bằngkhông

Định lý được chứng minh xong

Ý nghĩa hình học của định lý Rolle

ChoC là đường cong trơn với hai đầu mút A, B có cùng "độ cao" (trong

hệ trục tọa độ Descartes) thì trên C tồn tại ít nhất một điểm mà tiếptuyến của C tại điểm đó song song với AB(hay song song với trục hoành

vì f (a) = f (b))

trìnhf (x) = 0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) thì phương trình

f′(x) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) (Phươngtrình f(k)(x) = 0 có ít nhất n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b)

với (k = 1, 2, , n))

Chứng minh

Giả sử phương trình f (x) = 0 cón nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b)

đã được sắp thứ tự x1 < x2 < < xn Khi đó ta áp dụng định lý Rollecho n − 1 đoạn [x1, x2], [x2, x3], , [xn−1, xn] thì phương trình f′(x) = 0 có

ít nhất n − 1 nghiệm thuộc n − 1 khoảng (x 1 , x 2 ), (x 2 , x 3 ), , (x n−1 , x n ).Gọi n − 1 nghiệm đó là ξ1, ξ2, , ξn−1 thì ta có:

f (ξ1) = f (ξ2) = = f (ξn−1) = 0

Tiếp tục áp dụng định lý Rolle chon−2khoảng(ξ 1 , ξ 2 ), (ξ 2 , ξ 3 ), , (ξ n−2 , ξ n−1 )

thì phương trìnhf′′(x) = 0có ít nhấtn − 2nghiệm phân biệt trên khoảng

nghiệm phân biệt trên khoảng (a, b) thì phương trình f (x) = 0 có không

Chứng minh

khoảng (a, b), chẳng hạn là n + 1 nghiệm Khi đó theo hệ quả 1 phươngtrình f′(x) = 0 có ít nhất n nghiệm thuộc khoảng (a, b) Điều này tráivới giả thiết phương trình f′(x) = 0 có không quá n − 1 nghiệm Ta cóđiều phải chứng minh

5 ĐỊNH LÝ ROLLE

Cơ sở của định lý Rolle dựa trên hai định lý cơ bản là Weierstrass vàFermat Định lý Weierstrass khẳng định rằng khi hàm số f liên tục trênđoạn [a, b]thì nó bị chặn và tồn tại giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trênđoạn đó Định lý Fermat về điểm cực trị của hàm cũng khẳng định rằngnếu hàm f khả vi trên khoảng (a, b) và đạt cực trị địa phương (cực đạiđịa phương hoặc cực tiểu địa phương) thuộc khoảng đó thì giá trị đạohàm tại điểm cực trị địa phương bằng không

Định lý 3 (Định lý Rolle) Giả sử cho hàm số f liên tục trên [a, b],khả vi trên khoảng (a, b) và f (a) = f (b) Khi đó tồn tại c ∈ (a, b) sao cho

f′(c) = 0

Chứng minh

Vì f liên tục trên đoạn [a, b] Theo định lý Weierstrass thì hàm f phảitồn tại giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất trên đoạn [a, b], nghĩa là tồn

tại x1, x2 ∈ (a, b) sao cho

f (x1) = min

[a,b] f (x) = m, f (x2) = max

[a,b] f (x) = M

Có hai khả năng xảy ra:

1) Nếu m = M Khi đó f (x) = const trên đoạn [a, b] Nên f′(c) = 0 vớimọi c ∈ (a, b)

2) Nếu m < M Theo giả thiết ta có f (a) = f (b) nên ít nhất một tronghai điểm x 1 , x 2 phải thuộc khoảng (a, b) Không mất tính tổng quát tagiả sử x1 ∈ (a, b) Theo định lý Fermat thì đạo hàm tại điểm này bằngkhông

Định lý được chứng minh xong

Ý nghĩa hình học của định lý Rolle

ChoC là đường cong trơn với hai đầu mút A, B có cùng "độ cao" (trong

hệ trục tọa độ Descartes) thì trên C tồn tại ít nhất một điểm mà tiếptuyến của C tại điểm đó song song với AB(hay song song với trục hoành

vì f (a) = f (b))

trìnhf (x) = 0 có n nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) thì phương trình

f′(x) = 0 có ít nhất n − 1 nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b) (Phươngtrình f(k)(x) = 0 có ít nhất n − k nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b)

với (k = 1, 2, , n))

Chứng minh

Giả sử phương trình f (x) = 0 cón nghiệm phân biệt thuộc khoảng (a, b)

đã được sắp thứ tự x1 < x2 < < xn Khi đó ta áp dụng định lý Rollecho n − 1 đoạn [x1, x2], [x2, x3], , [xn−1, xn] thì phương trình f′(x) = 0 có

ít nhất n − 1 nghiệm thuộc n − 1 khoảng (x1, x2), (x2, x3), , (xn−1, xn).Gọi n − 1 nghiệm đó là ξ 1 , ξ 2 , , ξ n−1 thì ta có:

f (ξ1) = f (ξ2) = = f (ξn−1) = 0

Tiếp tục áp dụng định lý Rolle chon−2khoảng(ξ1, ξ2), (ξ2, ξ3), , (ξn−2, ξn−1)

thì phương trìnhf′′(x) = 0có ít nhấtn − 2nghiệm phân biệt trên khoảng

nghiệm phân biệt trên khoảng (a, b) thì phương trình f (x) = 0 có không

Chứng minh

khoảng (a, b), chẳng hạn là n + 1 nghiệm Khi đó theo hệ quả 1 phươngtrình f′(x) = 0 có ít nhất n nghiệm thuộc khoảng (a, b) Điều này tráivới giả thiết phương trình f′(x) = 0 có không quá n − 1 nghiệm Ta cóđiều phải chứng minh

6 Không gian hữu hạn chiều

gọi là hữu hạn chiều nếu nó chỉ bao gồm hữu hạn vector độc lậptuyến tính

(ii) Số lớn nhất của các vector độc lập tuyến tính trong không gian vectorhữu hạn chiều E được gọi là chiều và được ký hiệu là dimRE Hệ

B ⊂ E được sinh bởi dimRE các vector độc lập tuyến tính gọi là cơsở

Định lý 4 Giả sử E là không gian vector hữu hạn chiều và dimRE = n.(i) Nếu B ⊂ E là cơ sở, khi đó thì B sinh ra E, cụ thể là spanRB = E.(ii) E và Rn là đẳng cấu tuyến tính

(iii) Giả sử ∥.∥1 và ∥.∥2 là hai chuẩn trên E Khi đó (E, ∥.∥1) và (E, ∥.∥2)

là đẳng cấu topo

(iv) Giả sử∥.∥ là chuẩn trên E Khi đó (E, ∥.∥) và (E′, ∥.∥E′ ) là đẳng cấutopo

Theo các bài tập trước, không gian định chuẩn hữu hạn chiều (E, ∥.∥)

là đẳng cấu topo với không gian Hilbert Rn Đây là một đặc trưng rấtmạnh, nhưng nó không còn đúng cho không gian định chuẩn vô hạnchiều

7 Một số kiến thức cơ bản về nhóm

toán hai ngôi · thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) a · (b · c) = (a · b) · c với mọi a, b, c ∈ G,

(ii) Tồn tại một phần tử e ∈ G sao cho a · e = a = e · a với mọi a ∈ G,(iii) Với mọi a ∈ G tồn tại phần tử a′∈ G sao cho a · a′ = a′· a = e

Để đơn giản, ta ký hiệu abthay cho a · b Phần tửe xác định trong (ii)

là duy nhất, được gọi là phần tử đơn vị của nhóm G, và thường ký hiệu

là1 Với mỗi a ∈ G, phần tửa′ xác định trong (iii) là duy nhất, được gọi

là phần tử nghịch đảo của a, và ký hiệu là a−1 Một nhóm G được gọi làgiao hoán (hay abel ) nếu ab = ba với mọi a, b ∈ G Nếu nhóm G có hữuhạn phần tử thì ta gọi G là một nhóm hữu hạn, và gọi số phần tử của G

là cấp của nhóm G, và ký hiệu là |G|

nhóm con củaG, ký hiệu là H⩽ G, nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:

nhóm con bé nhất của G chứa S, và gọi S là một tập sinh của ⟨S⟩ Đặcbiệt, một nhóm có tập sinh chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm xiclíc

là một nhóm con của G Khi đó |H| là một ước của |G|

Với Glà một nhóm hữu hạn, và H ⩽G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|,

và gọi là chỉ số của nhóm con H đối với G

Mệnh đề 4 Cho G là một nhóm, và A, B là hai nhóm con hữu hạn của

G Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Khi đó

|AB| = |A||B|

|A ∩ B|.

Cho Glà một nhóm, và alà một phần tử của G Vớiu là một phần tửcủaG, liên hợp củaubởia, ký hiệu làua, được định nghĩa làua = a−1ua

G, ký hiệu là H◁G, nếu ha ∈ H với mọi a ∈ G, h ∈ H

G/N = {aN | a ∈ G}.

(aN )(bN ) = abN.

Với S là một tập con của G, tâm hóa củaS trong G, ký hiệu làCG(S),được định nghĩa là

của x và y, ký hiệu là [x, y], được định nghĩa là

[x, y] = x−1y−1xy.

Nhóm con giao hoán tử của G, ký hiệu là G′, được định nghĩa là nhómcon sinh bởi tập tất cả các giao hoán tử

{[x, y] | x, y ∈ G}.

Cho hai nhóm G và H Một ánh xạ f : G → H được gọi là một đồngcấu nhóm nếu với mọi a, b ∈ G

f (ab) = f (a)f (b).

Aut(G) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G

N bởi H ứng với tác động θ, và ký hiệu là G = N ×θ H Trong trườnghợp đặc biệt khi θ là đồng cấu tầm thường thì tích nửa trực tiếp chính

là tích trực tiếp

(i) Mọi nhóm có cấp p đều là nhóm xiclíc

(ii) Mọi nhóm có cấp p2 đều là nhóm abel

cách duy nhất thành tích trực tiếp các nhóm xiclíc

G ∼ = C n 1 × Cn2 × · · · × Cnk

trong đó n i⩾ 2, i = 1, 2, k, và n 1 | n 2 | · · · | nk

Sau đây là một số kiến thức về nhóm đối xứng và nhóm thay phiên.

một phép thế trên tập X Ký hiệu S(X) là tập tất cả các phép thế trên

gọi S(X) là nhóm đối xứng trên tập X Ta dùng ký hiệu Sn để chỉ nhómđối xứng trên tập X = {1, 2, , n} và gọi Sn là nhóm đối xứng bậc n

thành một tích các xích rời nhau Phân tích này là duy nhất nếu không

Cho σ ∈ Sn với n ⩾ 2. Ta nói cặp (σ(i), σ(j)) là một nghịch thế của σ

nếu i < j và σ(i) > σ(j). Dấu của phép thế σ, ký hiệu là sign(σ), đượcxác định bởi công thức

sign(σ) = (−1)t

trong đó tlà số các nghịch thế của σ Nếu sign(σ) = 1 thì ta gọiσ là mộtphép thế chẵn, nếu sign(σ) = −1 thì ta gọi σ là một phép thế lẻ

(i) sign(στ ) =sign(σ)sign(τ ).

(ii) Nếu σ là một xích độ dài k thì sign(σ) = (−1)k+1.

Với n⩾2 ta ký hiệu An là tập các phép thế chẵn bậcn. Khi đóAn làmột nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2 của Sn. Ta gọi An là nhóm thay phiênbậc n

Cuối cùng trong mục này là một kết quả về độ giao hoán của mộtnhóm

Định nghĩa 5 Cho G là một nhóm Ký hiệu

8 Các khái niệm cơ bản

toán mà ta gọi là phép cộng và phép nhân thỏa mãn: R là nhóm Abel với

phân phối với phép toán cộng, nghĩa là

x(y + z) = xy + xz, (x + y)z = zx + yz

với mọi x, y, z ∈ R

phần tử không) Phần tử đơn vị của phép nhân nếu có được ký hiệu bởi

1 Nếu vành có nhiều hơn một phần tử và có đơn vị thì 1 ̸= 0

đóng của hai phép toán trên A)

thỏa mãn điều kiện

ra ∈ A(ar ∈ A), a ∈ A, r ∈ R.

Vành con I củaR vừa là ideal trái, vừa là ideal phải được gọi là idealcủa vành R

Cho I là một ideal của vành R, ta ký hiệu R/I =: {r + I|r ∈ R} được

phép toán

(x + I) + (y + I) = (x + y) + I, (x + I)(y + I) = (xy) + I

với mọi x, y ∈ R

như trên lập thành một vành và được gọi là vành thương của R theo I

8.0.1 Định lý đồng cấu vành

Định nghĩa 10 Cho R, R′ là hai vành Ánh xạ f : R → R′ được gọi làmột đồng cấu vành nếu f bảo toàn hai phép toán cộng và nhân trong R,nghĩa là

Chứng minh (1) Cho r ∈ ∆(R) và u bất kỳ thuộc U (R), khi đó r + u ∈

U (R) khi và chỉ khi ru−1+ 1 ∈ U (R) khi và chỉ khi u−1r + 1 ∈ U (R)

(2) Ta có ruu′+ 1 ∈ U (R), ∀u, u′ ∈ U (R)do r ∈ ∆(R), suy ra ru ∈ ∆(R).Tương tự ur ∈ ∆(R)

Cho e là phần tử lũy đẳng của vành R Khi đó phần tử 1 − 2e là khảnghịch trong R Từ Bổ đề 4 (2) ta suy ra hệ quả sau

(1) ∆(R) đóng với phép nhân các phần tử lũy linh;

đẳng

sinh bởi U (R) Khi đó

(1) ∆(R) = J (T ) và ∆(S) = ∆(R), với S là vành con tùy ý của R thỏamãn T ⊆ S;

các phần tử khả nghịch của R

đó, theo Bổ đề 4 (2) suy ra ∆(T ) là iđêan của T Theo Bổ đề 4 (4) suy

ra ∆(T ) = J (T ) Hơn nữa ∆(T ) = ∆(R) nên ∆(R) = J (T )

Nếu r ∈ ∆(R), khi đó r + U (R) ⊆ U (R) Điều này có nghĩa là r biểudiễn được thành tổng của hai phần tử khả nghịch Do đó r ∈ T, suy ra

∆(R) ⊆ T

do đó ∆(S) = {r ∈ S | r + U (S) ⊆ U (S)} = {r ∈ S | r + U (R) ⊆ U (R)} =

S ∩ ∆(R) = ∆(R), vì ∆(R) ⊆ T ⊆ S

(2) Theo (1),∆(R)là căn Jacobson củaR và theo Bổ đề 4(2) thì∆(R)

đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch trái và phải trong R

vậy, nếu s ∈ S và u ∈ U (R), khi đó su ∈ S = J (S) Do su là tựa khảnghịch trong S nên 1 + su ∈ U (R) Theo Bổ đề 4 (1) thì s ∈ ∆(R) hay

S ⊆ ∆(R)

Từ đặt trưng của ∆(R) trong Định lý 41 (2) ta có ngay hệ quả sau

tổng của các phần tử khả nghịch Khi đó ∆(R) = J (R)

trên trường F là lũy linh, với điều kiện dimF R < |F | Áp dụng Định lý

41 (1) ta thu được hệ quả sau

Hệ quả 7 Giả sửRlà một vành đại số trên trường F NếudimFR < |F |,khi đó ∆(R) là vành lũy linh

của R, ta ký hiệu Sˆ là vành con của R được sinh bởi S ∪ {1}

(1) ChoS là vành con của R thỏa mãnU (S) = U (R) ∩ S Khi đó ∆(R) ∩

S ⊆ ∆(S);

(2) U ( ∆(R)) = U (R) ∩[ ∆(R)[;

(3) Cho I là iđêan của R thỏa mãn I ⊆ J (R) Khi đó ∆(R/I) = ∆(R)/I

Chứng minh (1) được suy ra từ định nghĩa của∆.

ru−1 ∈ ∆(R) theo Bổ đề 4 (2) Khi đó ¯ku−1 = 1 − (1 − ¯ ku−1) ∈ U (R), suy

rak ∈ U (R)¯ Vì ∆(R)là đóng với phép nhân các phần tử khả nghịch nên

ta áp dụng phần đầu tiên của chứng minh chỉ ra v = u¯ k−1 = 1 + r¯ k−1 thì

u−1k = v¯ −1 ∈ ∆(R)[, nghĩa là u−1¯k = s + ¯ l, với s ∈ ∆(R) và l ∈Z Suy ras¯ k−1 ∈ ∆(R), u−1 = s¯ k−1+ ¯ k−1¯l ∈ ∆(R)[, do đó U (R) ∩ ∆(R) ⊆ U ([ ∆(R))[ Chiều ngược lại U ( ∆(R)) ⊆ U (R) ∩[ ∆(R)[ là dễ thấy

(3) Ta ký hiệu¯là phép chiếu từ R lên R/I Lưu ý, I ⊆ J (R), U ( ¯ R) =

U (R)

Lấy r ∈ ∆( ¯ ¯ R) và u ∈ U (R) Khi đó r + ¯ ¯ u ∈ U ( ¯ R) và có các phần tử

v ∈ U (R) và j ∈ I thỏa mãn r + u = v + j Hơn nữa v + j ∈ U (R), do

I ⊆ J (R) Suy ra ∆( ¯ R) = ∆(R) Vì U ( ¯ R) = U (R) nên chiều ngược lại là

dễ thấy

Áp dụng mệnh đề trên ta có hệ quả sau

toán tử đóng

Chứng minh ∆(R) là căn Jacobson của T = ∆(R)[, do đó ∆(R) ⊆ T

Z hoặc Zn := Z/nZ, với n > 1 và là nhân tử bình phương Theo Mệnh

n Từ Mệnh đề 34 (3) ta suy ra trực tiếp hệ quả sau.

(1) R/J (R) là đẳng cấu với tích của vành các ma trận và thể

(3) R là vành clean thỏa mãn 2 ∈ U (R)

(4) R là U J-vành, nghĩa là U (R) = 1 + J (R).

(5) R có hạng ổn định 1

(6) R = F G là nhóm đại số trên trường F

thể Theo Hệ quả ?? thì ta cần chỉ ra ∆(R/J (R)) = 0 Để làm điều này,

ta giả sử J (R) = 0, nghĩa là R là tích của vành các ma trận và thể Nếu

R là vành ma trận Mn(S), với S là vành chứa đơn vị và n ≥ 2 TheoĐịnh lý ??, mỗi phần tử của R là tổng của ba phần tử khả nghịch, theo

Hệ quả ?? ∆(R) = J (R) = 0 Khi đóS là thể và rõ ràng ∆(S) = 0 Do đó

(1) được suy ra trực tiếp từ Bổ đề 4 (5)

(2) Là trường hợp đặc biệt của (1)

(3) Giả sử R là vành clean thỏa mãn 2 ∈ U (R) Nếu e ∈ R là lũy đẳngkhi đó1 − 2e ∈ U (R)và e =

tử khả nghịch Theo Hệ quả ?? ta suy ra ∆(R) = J (R)

(4) Giả sửU (R) = 1+U (R) Giả sử RlàU J-vành Khi đó, nếur ∈ ∆(R)

ta có r + U (R) ⊆ U (R), nghĩa làr + 1 + J (R) ⊆ 1 + J (R) Suy ra r ∈ J (R)

và do đó ∆(R) = J (R)

(5) Giả sử R có hạng ổn định là 1 Lấy r ∈ ∆(R), ta chỉ ra r ∈ J (R).Với bất kỳs ∈ Rta cóRr +R(1−rs) = R VìR có hạng ổn định1nên tồntại x ∈ Rsao cho r + x(1 − sr) ∈ U (R), suy rax(1 − sr) ∈ r + U (R) ⊆ U (R),

và vì vậy (1 − sr) khả nghịch hay r ∈ J (R)

tử của R là tổng của các phần tử khả nghịch Theo Hệ quả ?? ta suy ra

∆(R) = J (R)

(2) và (5) ở trên tương đương nhau

đóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịch của R

(1 − r)G ⊆ G

Định lý 8 Giả sử R là một vành có đơn vị và G là nhóm con đối vớiphép cộng của R Khi đó các điều kiện sau đây là tương đương

(1) G = ∆(R);

(2) G là căn Jacobson lớn nhất đóng với phép nhân các phần tử tựa khảnghịch của R;

tử tựa khả nghịch và đóng với phép nhân các phần tử tựa khả nghịchcủa R

phép nhân các phần tử tựa khả nghịch củaR Cụ thể, Glà căn Jacobsonkhông chứa đơn vị của R, theo Bổ đề ??,Gđóng với phép nhân các phần

tử khả nghịch của R Do đó theo Định lý 41 (2) ta được G ⊆ ∆(R)

10 Một số kiến thức cơ bản về nhóm

toán hai ngôi · thỏa mãn các điều kiện sau đây:

(i) a · (b · c) = (a · b) · c với mọi a, b, c ∈ G,

(ii) Tồn tại một phần tử e ∈ G sao cho a · e = a = e · a với mọi a ∈ G,(iii) Với mọi a ∈ G tồn tại phần tử a′∈ G sao cho a · a′ = a′· a = e

Để đơn giản, ta ký hiệu abthay cho a · b Phần tửe xác định trong (ii)

là duy nhất, được gọi là phần tử đơn vị của nhóm G, và thường ký hiệu

là1 Với mỗi a ∈ G, phần tửa′ xác định trong (iii) là duy nhất, được gọi

là phần tử nghịch đảo của a, và ký hiệu là a−1 Một nhóm G được gọi làgiao hoán (hay abel ) nếu ab = ba với mọi a, b ∈ G Nếu nhóm G có hữuhạn phần tử thì ta gọi G là một nhóm hữu hạn, và gọi số phần tử của G

là cấp của nhóm G, và ký hiệu là |G|

nhóm con củaG, ký hiệu là H⩽ G, nếu các điều kiện sau đây thỏa mãn:

(ii) H là một nhóm với phép toán cảm sinh.

nhóm con bé nhất của G chứa S, và gọi S là một tập sinh của ⟨S⟩ Đặcbiệt, một nhóm có tập sinh chỉ gồm một phần tử được gọi là nhóm xiclíc

là một nhóm con của G Khi đó |H| là một ước của |G|

Với Glà một nhóm hữu hạn, và H ⩽G, ta ký hiệu |G : H| = |G| : |H|,

và gọi là chỉ số của nhóm con H đối với G

của G Ký hiệu AB = {ab | a ∈ A, b ∈ B} Khi đó

|AB| = |A||B|

|A ∩ B|.

Cho Glà một nhóm, và alà một phần tử của G Vớiu là một phần tửcủaG, liên hợp củaubởia, ký hiệu làua, được định nghĩa làua = a−1ua

G, ký hiệu là H◁G, nếu ha ∈ H với mọi a ∈ G, h ∈ H

G/N = {aN | a ∈ G}.

(aN )(bN ) = abN.

Với S là một tập con của G, tâm hóa củaS trong G, ký hiệu làCG(S),được định nghĩa là

CG(S) = {a ∈ G | ua = uvới mọi u ∈ S}.

Trong trường hợp S = {x}, ta dùng ký hiệu CG(x) thay cho CG(S) Tâmcủa nhóm G, ký hiệu là Z(G), được định nghĩa là Z(G) = CG(G)

Cho G là một nhóm Với x và y là hai phần tử của G, giao hoán tửcủa x và y, ký hiệu là [x, y], được định nghĩa là

[x, y] = x−1y−1xy.

Nhóm con giao hoán tử của G, ký hiệu là G′, được định nghĩa là nhómcon sinh bởi tập tất cả các giao hoán tử

{[x, y] | x, y ∈ G}.

cấu nhóm nếu với mọi a, b ∈ G

f (ab) = f (a)f (b).

Aut(G) là nhóm tất cả các tự đẳng cấu của G

N bởi H ứng với tác động θ, và ký hiệu là G = N ×θ H Trong trườnghợp đặc biệt khi θ là đồng cấu tầm thường thì tích nửa trực tiếp chính

là tích trực tiếp

(i) Mọi nhóm có cấp p đều là nhóm xiclíc

(ii) Mọi nhóm có cấp p2 đều là nhóm abel.

cách duy nhất thành tích trực tiếp các nhóm xiclíc

G ∼ = C n 1 × Cn2 × · · · × Cnk

trong đó ni⩾ 2, i = 1, 2, k, và n1 | n2 | · · · | nk

Sau đây là một số kiến thức về nhóm đối xứng và nhóm thay phiên

một phép thế trên tập X Ký hiệu S(X) là tập tất cả các phép thế trên

gọi S(X) là nhóm đối xứng trên tập X Ta dùng ký hiệu Sn để chỉ nhómđối xứng trên tập X = {1, 2, , n} và gọi S n là nhóm đối xứng bậc n

thành một tích các xích rời nhau Phân tích này là duy nhất nếu không

hợp với nhau khi và chỉ khi chúng có cùng kiểu

Cho σ ∈ Sn với n ⩾ 2. Ta nói cặp (σ(i), σ(j)) là một nghịch thế của σ

nếu i < j và σ(i) > σ(j). Dấu của phép thế σ, ký hiệu là sign(σ), đượcxác định bởi công thức

(i) sign(στ ) =sign(σ)sign(τ ).

(ii) Nếu σ là một xích độ dài k thì sign(σ) = (−1)k+1.

Với n⩾2 ta ký hiệu A n là tập các phép thế chẵn bậcn. Khi đóA n làmột nhóm con chuẩn tắc chỉ số 2 của Sn. Ta gọi An là nhóm thay phiênbậc n

Cuối cùng trong mục này là một kết quả về độ giao hoán của mộtnhóm

Số ∥f ∥Lp được gọi là chuẩn Lp của f trên A

Định lý 10 (Fisher - Riesz) (Lp(A), ∥.∥Lp ) là không gian Banach nếu

1 ≤ p ≤ ∞ Hơn nữa L2(A) là không gian Hilbert với tích vô hướng

(f, g)L2 :=

Z

A

f g dx f, g ∈ L2(A).

Theo kết quả của định lý Riesz - Fisher ta thu được kết quả hữu ích.Định lý 11 Cho Ω ⊂ Rn là tập mở, (fh)h ⊂ Lp(Ω) và f ∈ Lp(Ω) với

(ii) |fhk(x)| ≤ g(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω, ∀k

hầu khắp nơi x ∈ Ω

Nhận xét 2 Chú ý rằng C0 ⊂ Lp(Ω) với mỗi p ∈ [1, ∞], với Ω ⊂Rn làtập mở bị chặn, nếu không thì quan hệ bao hàm không được giữ trongkhi đó nó giữ được quan hệ bao hàm C0c(Ω) ⊂ Lp(Ω) với mỗi p ∈ [1, ∞]

v-dịch chuyển của f được định nghĩa bởi

(τ v f )(x) := f (x + v)

Định lý 12 (M.Riesz - Fréchét - Kolmogorov) Cho F là tập con bị chặntrong (Lp(Rn), ∥.∥Lp ) với 1 ≤ p < ∞ Giả sử rằng lim

v→0 ∥τvf − f ∥Lp = 0 đềuvới mỗi f ∈ F, nghĩa là

∀ϵ > 0, ∃δ(ϵ) > 0 : ∥τ v f − f ∥Lp < ϵ, ∀v ∈Rn với |v| < δ, ∀f ∈ F (N EF)

Khi đó F |Ω := {f |Ω : f ∈ F } là compact tương đối trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp ),nghĩa là bao đóng của nó là compact trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp ), với mỗi tập mở

Ω ⊂ Rn với độ đo Lebesgue hữu hạn

Từ định lý 31 ta suy ra điều kiện compact trong (Lp(Ω), ∥.∥Lp )

Nếu f : Ω →R, ta ký hiệu ef :Rn →R là hàm được định nghĩa như

rằng bây giờ thìFelà compact dãy tương đối trong (Lp(Rn), ∥.∥Lp )khi vàchỉ khi F là compact dãy tương đối trong(Lp(Ω), ∥.∥Lp ) Do đặc tính củatập compact trong không gian metric (Định lý ??) có điều phải chứngminh

Cuối cùng, hãy nhớ lại các đặc tính của compact trong(Lp(Rn), ∥.∥Lp ).Định lý 13 Cho F ⊂ Lp(Rn)với 1 ≤ p < ∞ Khi đó F là compact tươngđối trong (Lp(Rn), ∥.∥Lp ) khi và chỉ khi

Nhận xét 3 (i) Giả thiết (ENF) là cần thiết trong định lý 31 Thậtvậy, xét họ F := {fh : h ∈N} ở đây fh :R→R được định nghĩa là

(ii) Nếu Ω không có độ đo hữu hạn, khi đó kết quả của định lý 31 khôngcòn đúng nữa Thật vậy, xét họ F := {fh: h ∈N} ở đây fh:R→R được

định nghĩa fh(x) := f (x + h) ở đây f ∈Lip(R) với spt(f ) = [−a, a], a > 0,

và f không triệt tiêu Khi đó

∥f ∥L1 (R) = ∥f ∥L1 (R) > 0 ∀h. (1)Hơn thế nữa F thỏa mãn (ENF), bởi vì

|τvf − f (x)| = |f (x + v)f (x)| ≤ L|v|X [−a−1,a+1](x) ∀x ∈R, v ∈ [−1, 1]

và

∥τcfh− fh∥L1 (R) = ∥τvf − f ∥L1 (R) ∀h

tương đối trên (L1(R), ∥.∥L1 ) Ngược lại mâu thuẫn nảy sinh bởi (37), từ

fh(x) → 0 với mỗi x ∈R.

Tính tách được của (Lp(Ω), ∥.∥Lp )

L∞(Ω) là chặt Hơn thế nữa, với mỗi f ∈C0(Ω)

∥f ∥∞,Ω= ∥f ∥L∞ (Ω) (∗)

Thật vậy

∥f ∥L∞ (Ω) := inf{M > 0 : |f (x)| ≤ M, x ∈ Ω} ≤ sup

x∈Ω

|f (x)| := ∥f ∥∞,Ω.

không đáng kể với mối quan hệ đến L, khi đó

Ω \ N ⊇ Ω.

Vì thế, theo tính liên tục của f, nếu tồn tại M > 0 sao cho

|f (x)| < M, x ∈ Ω ⇒ |f (x)| ≤ M ∀x ∈ Ω.

Đặc biệt, từ (∗), C0(Ω) hóa ra là đóng trong (L∞(Ω), ∥.∥L∞ (Ω) )

Định lý 14 (Định lý biểu diễn Riesz) Cho 1 ≤ p < ∞ và ký hiệu

Chứng minh Ta chia chứng minh thành ba bước

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ = ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp′(Ω). (2)Theo bất đẳng thức Holder, suy ra bất đẳng thức

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ ≤ ∥u∥Lp′ (Ω) , ∀u ∈ Lp′(Ω). (3)

Ta chỉ ra bất thức ngược lại Đầu tiên, giả sử 1 < p < ∞, điều này cũng

có nghĩa là 1 < p′ < ∞ Nếu ∥u∥Lp′ (Ω) = 0, khi đó, u = 0 hầu khắp nơi

trong Ω bất đẳng thức này là rõ ràng Giả sử 0 < ∥u∥Lp′ (Ω) < ∞, khi đó

ta cần giả sử rằng 0 < |u(x)| < ∞ hầu khắp nơi x ∈ Ω Định nghĩa

fu(x) := |u(x)|p′−2u(x) hầu khắp nơi x ∈ Ω.

Điều này cũng có nghĩa là

∥T (u)∥(Lp (Ω)) ′ ≥ ∥u∥Lp′ (Ω) ∀u ∈ Lp′(Ω). (5)

Vì thế (39) và (41) cho ta (38) Cuối cùng, cho trường hợp p = 1, vì

p′= ∞, giả sử 0 < M < ∥u(x)∥L∞ (Ω) Khi đó tập hợp

(Eh)h ⊂ M là một dãy rời nhau, ta chưng minh rằng ν(∪∞h=1Eh) =

=

=