Tai lieu chuyen de nguyen ham va mot so phuong phap tim nguyen ham

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K”... 6 Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ Phương ph

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

BÀI 1 NGUYÊN HÀM

Kí hiệu K là một khoảng, hay một đoạn hay một nửa khoảng

1) Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên ( ) K Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm ( )

số f x trên ( ) Knếu F x′( )= f x( ) với mọi x thuộc K

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ký hiệu là ( ) ∫ f x( )=F x C( )+

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K”

6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định

Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu: ∫ f x( )=F x C( )+ và với u=( )x là hàm số có đạo hàm thì: ∫ f u du F u C( ) = ( )+

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x=ϕ( )t Trong đó ϕ( )t cùng với đạo hàm của nó (ϕ' t( )

là những hàm số liên tục ) thì ta được: ∫ f x dx( ) =∫ f ϕ( ) ( )t ϕ' t dt=∫g t dt G t C( ) = ( )+

Từ đó ta trình bày hai dạng toán về phương pháp đổi biến số như sau:

Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 để tính nguyên hàm: I =∫ f x dx( )

a

∫5) sin d∫ x x= −cosx C+ 5) sin d∫ u u= −cosu C+ 5) sin(ax b x)d 1cos(ax b C)

a

∫2

Ta thực hiện theo các bước sau:

x đi kèm biểu thức theo ln x

6 ∫ f (sin cos dx) x x t=sinx cos dx x đi kèm biểu thức theo sin x

7 ∫ f (cos sin dx) x x t=cosx sin dx x đi kèm biểu thức theo cos x

x đi kèm biểu thức theo cot x

Đôi khi thay cách đặt t t x= ( ) bởi t m t x n= ( )+ ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn

x x

++

e e−

=+

xdx I

x

=+

Bài 12: Tìm nguyên hàm:

2009 2013

( 3)(2 1)

∫

3 ( 1)

x dx I

Ta thực hiện theo các bước sau:

 Bước 1: chọn x =ϕ ( )t , trong đó ϕ ( )t là hàm số mà ta chọn thích hợp

 Bước 2: lấy vi phân hai vế: dx=ϕ'( )t dt

 Bước 3: Biến đổi: f x dx f( ) = ϕ( ) ( )t ϕ' t dt g t dt= ( )

c

π π

ππ

Khi đó:∫u v uvd = −∫v ud ( )*

Để tính nguyên hàm ∫ f x x( )d bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u v, sao cho f x x u v( )d = d (chú ý dv v x x= '( )d )

Sau đó tính v=∫dv và du u x= '.d

Bước 2 Thay vào công thức ( )* và tính ∫v ud

Chú ý Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ∫v ud dễ tính hơn ∫u vd Ta thường gặp các dạng sau

● Dạng 1 I =∫P x( ) (sin ax b x+ )d , trong đó P x là đa thức ( )

d xd

x u

Câu 2 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=xsinx

Câu 3 Biết ∫xcos 2 dx x ax= sin 2x b+ cos 2x C+ với a , b là các số hữu tỉ Tính tích ab ?

Câu 4 Tìm nguyên hàm I =∫ (x−1 sin 2 d) x x

Câu 5 Tìm nguyên hàm ∫sin x xd

Câu 6 Họ nguyên hàm của ∫e x(1+x dx) là:

∫

BÀI TẬP TỰ LUẬN

2

Câu 13 Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=xln(x+2).

Câu 14 Tìm nguyên hàm của ( )

( )2

ln1

x

g x

x

=+ ?

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

BÀI 1 NGUYÊN HÀM

Kí hiệu K là một khoảng, hay một đoạn hay một nửa khoảng

1) Định nghĩa: Cho hàm số f x xác định trên ( ) K Hàm số F x được gọi là nguyên hàm của hàm ( )

số f x trên ( ) Knếu F x′( )= f x( ) với mọi x thuộc K

Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x ký hiệu là ( ) ∫ f x( )=F x C( )+

Chú ý: Người ta chứng minh được rằng: “Mọi hàm số liên tục trên K đều có nguyên hàm trên K”

6) Bảng nguyên hàm và vi phân của những hàm số thường gặp

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Phương pháp đổi biến số được sử dụng khá phổ biến trong việc tính các tích phân bất định

Phương pháp đổi biến số để xác định nguyên hàm có hai dạng dựa trên định lý sau:

a) Nếu: ∫ f x( )=F x C( )+ và với u=( )x là hàm số có đạo hàm thì: ∫ f u du F u C( ) = ( )+

b) Nếu hàm số f(x) liên tục thì đặt x=ϕ( )t Trong đó ϕ( )t cùng với đạo hàm của nó (ϕ' t( )

là những hàm số liên tục ) thì ta được: ∫ f x dx( ) =∫ f ϕ( ) ( )t ϕ' t dt=∫g t dt G t C( ) = ( )+

Từ đó ta trình bày hai dạng toán về phương pháp đổi biến số như sau:

Dạng 1: Sử dụng phương pháp đổi biến số dạng 1 để tính nguyên hàm: I =∫ f x dx( )

a

∫5) sin d∫ x x= −cosx C+ 5) sin d∫ u u= −cosu C+ 5) sin(ax b x)d 1cos(ax b C)

a

∫2

Ta thực hiện theo các bước sau:

x đi kèm biểu thức theo ln x

6 ∫ f (sin cos dx) x x t=sinx cos dx x đi kèm biểu thức theo sin x

7 ∫ f (cos sin dx) x x t=cosx sin dx x đi kèm biểu thức theo cos x

x đi kèm biểu thức theo cot x

Đôi khi thay cách đặt t t x= ( ) bởi t m t x n= ( )+ ta sẽ biến đổi dễ dàng hơn

x x

++

x x

++

2 3

e t e

Suy ra: I = −16 sin cos cos∫ 4 x 6 x xdx

Đặt t=sinx⇒dt =sinxdx nên ta có:

e e−

=+

−

=+

∫

2

44

44

x x

xdx I

x

=

+

∫

Đặt t=cosx⇒dt= −sinxdx Suy ra

2

4

dt I

2

12

I

y t

x

=+

∫

Bài 12: Tìm nguyên hàm:

2009 2013

∫

3 ( 1)

x dx I

LỜI GIẢI Bài 1:

x

=+

∫Đặt t x= + ⇒ = −3 x t 3 và dx dt=

3 Vì x ≠ nên chia cả tử và mẫu cho 0 x ( Nếu không có điều kiện 2 x ≠ thì không được phép 0

chia cả tử và mẫu cho x ) Khi đó 2 3 2 22

2 2

4 2

2 3

x

=+

x dx x

cos 2 cos sin cos 1 tan

ln ln1

x x

1sin 4 1 sin 8 1cos8 1cos 4 cos 2

−

=+

Bài 12:

 Bước 2: lấy vi phân hai vế: dx=ϕ'( )t dt

 Bước 3: Biến đổi: f x dx f( ) = ϕ( ) ( )t ϕ' t dt g t dt= ( )

 Bước 4: Khi đó tính: ∫ f x dx( ) =∫g t dt G t C( ) = ( )+

* Lưu ý: Các dấu hiệu dẫn tới việc lựa chọn ẩn phụ kiểu trên thông thường là:

π π

ππ

2 ost 2

t c

Khi đó: 2 1 ostdt ostdt 1 ln sin 1

x x

++

PHƯƠNG PHÁP NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Cho hai hàm số u và v liên tục trên đoạn [ ]a b và có đạo hàm liên tục trên đoạn ; [ ]a b ;

Khi đó:∫u v uvd = −∫v ud ( )*

Để tính nguyên hàm ∫ f x x( )d bằng từng phần ta làm như sau:

Bước 1 Chọn u v, sao cho f x x u v( )d = d (chú ý dv v x x= '( )d )

Sau đó tính v=∫dv và du u x= '.d

Bước 2 Thay vào công thức ( )* và tính ∫v ud

Chú ý Cần phải lựa chọn và dv hợp lí sao cho ta dễ dàng tìm được v và tích phân ∫v ud dễ tính hơn ∫u vd Ta thường gặp các dạng sau

● Dạng 1 I =∫P x( ) (sin ax b x+ )d , trong đó P x là đa thức ( )

d xd

x u

x u

x

g x

x

=+ ?

Lời giải

Đặt

( )2

1ln

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

BÀI 1 NGUYÊN HÀM

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC

CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY

Câu 1: (MĐ 101-2022) Cho∫ f x x( )d = −c so x C+ Khẳng định nào dưới đây đúng?

A f x( )= −sinx B f x( )= −cosx C f x( )=sinx D f x( )=cosx

Câu 2: (MĐ 101-2022) Cho hàm số f x( )=e 2x+ x Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 5: (MĐ 102-2022) Cho ∫ f x x( )d = −cosx C+ Khẳng định nào dưới đây đúng?

A f x( )= −sinx B f x( ) cos= x C f x( ) sin= x D f x( )= −cosx

A 2( ) 2

1sin

f x

x

1cos

f x

x

= − C 1( ) 2

1cos

f x

x

1sin

Câu 18: (MĐ 102 2020-2021 – ĐỢT 1)Cho hàm số f x( )=e x+1 Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 28: (MĐ 101 2020-2021 – ĐỢT 1) Cho hàm số ( ) 2 2 5 khi 1

A 27 B 29 C 12 D 33

Câu 29: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 1)Cho hàm số ( ) 2 2 3 1

khi khi

Câu 30: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2)Cho hàm số y f x= ( ), liên tục trên [−1;6] và có đồ thị là đường

gấp khúc ABC trong hình bên.Biết F x( ) là nguyên hàm của f x( ) thoả mãn F − = −( 1) 1 Giá trị của F(5)+F(6)bằng

Câu 43: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=cosx+6x là

A sinx+3x C2+ B −sinx+3x C2+ C sinx+6x C2+ D −sin x C+

Câu 44: (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=2sinx

A ∫2sinxdx= −2cosx C+ B ∫2sinxdx=2cosx C+

C ∫2sinxdx=sin2x C+ D ∫2sinxdx=sin 2x C+

Câu 45: (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f x( )=x3+x là

Câu 48: (Đề Tham Khảo 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số ( ) 2

Câu 50: (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos 3x

A ∫cos 3xdx=3sin 3x C+ B ∫cos 3 =sin 3 +

Câu 58: (Mã 105 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x e( )= x +2x thỏa mãn ( )0 = 3

A F x( )= −cosx+sinx+3 B F x( )= −cosx+sinx−1

C F x( )= −cosx+sinx+1 D F x( )=cosx−sinx+3

Câu 60: (Mã 123 2017) Cho hàm số f x( ) thỏa mãn f x'( )= −3 5sinx và f( )0 =10 Mệnh đề nào

Câu 66: (Mã đề 104 - BGD - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số ( )

−

=+

Câu 74: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x( ) liên tục trên  Biết cos 2x là một nguyên

hàm của hàm số f x( )ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x′( )ex là:

A −sin 2x+cos 2x C+ B −2sin 2x+cos 2x C+

C −2sin 2x−cos 2x C+ D 2sin 2x−cos 2x C+

Câu 75: (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=4 1 lnx( + x) là:

Câu 79: (Mã 103 2018) Cho hàm số f x thỏa mãn ( ) ( )2 1

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

BÀI 1 NGUYÊN HÀM

BÀI TẬP TRẮC NGHIỆM TRÍCH TỪ ĐỀ THAM KHẢO VÀ ĐỀ CHÍNH THỨC

CỦA BỘ GIÁO DỤC TỪ NĂM 2017 ĐẾN NAY

Câu 1: (MĐ 101-2022) Cho∫ f x x( )d = −c so x C+ Khẳng định nào dưới đây đúng?

A f x( )= −sinx B f x( )= −cosx C f x( )=sinx D f x( )=cosx

Lời giải Chọn C

Ta có ∫sinx xd = −c so x C+ Vậy f x( )=sin x

Câu 2: (MĐ 101-2022) Cho hàm số f x( )=e 2x+ x Khẳng định nào dưới đây đúng?

A ∫ f x x( )d =ex+x C2+ B ∫ f x x( )d =ex+C

C ∫ f x x( )d =ex−x C2+ D ∫ f x x( )d =e 2x+ x C2+

Lời giải Chọn A

C ∫ f x dx e C( ) = x+ D ∫ f x dx e( ) = x+x C2+

Lời giải Chọn D

Có: ∫ f x dx( ) =∫ (e x+2x dx) =e x+x C2+

Câu 5: (MĐ 102-2022) Cho ∫ f x x( )d = −cosx C+ Khẳng định nào dưới đây đúng?

A f x( )= −sinx B f x( ) cos= x C f x( ) sin= x D f x( )= −cosx

Lời giải Chọn C

f x

x

1cos

f x

x

= − C 1( ) 2

1cos

f x

x

1sin

f x

x

Lời giải Chọn B

f x

x

1( )

f x

x

=

Lời giải Chọn C

Câu 12: (MĐ 104-2022) Cho hàm số f x( )= +1 e2x Khẳng định nào dưới đây đúng?

C ∫ f x x x( )d = +cosx C+ D ∫ f x x x( )d = +sinx C+

Lời giải

Ta có: ∫ f x dx( ) =∫ (1 cos+ x dx) =∫dx+∫cosxdx x= +sinx C+

Câu 26: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2)Cho hàm số f x( )=4x3−1.Khẳng định nào dưới đây đúng?

Câu 30: (MĐ 103 2020-2021 – ĐỢT 2)Cho hàm số y f x= ( ), liên tục trên [−1;6] và có đồ thị là đường

gấp khúc ABC trong hình bên.Biết F x( ) là nguyên hàm của f x( ) thoả mãn F − = −( 1) 1 Giá trị của F(5)+F(6)bằng

Theo định nghĩa thì hàm số F x là một nguyên hàm của hàm số ( )( ) f x trên khoảng K nếu

Câu 33: (Mã 102 - 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=x3 là

Lời giải Chọn D

x

x x= +C

∫

Ta có ∫ f x dx( ) =∫ (2x+4)dx x= 2+4x C+

Câu 43: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=cosx+6x là

A sinx+3x C2+ B −sinx+3x C2+ C sinx+6x C2+ D −sin x C+

Lời giải Chọn A

Ta có ∫ f x x( )d =∫ (cosx+6 dx x) =sinx+3x C2+

Câu 44: (Mã 105 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=2sinx

A ∫2sinxdx= −2cosx C+ B ∫2sinxdx=2cosx C+

C ∫2sinxdx=sin2x C+ D ∫2sinxdx=sin 2x C+

Lời giải Chọn A

Câu 45: (Mã 101 2018) Nguyên hàm của hàm số f x( )=x3+x là

A 1 4 1 2

4x +2x +C B 3x2+ +1 C C x3+ +x C D x4+x2+C

Lời giải Chọn A

( ) ( ) ( )

1 2

1

2

1 2 1 2 13

Câu 50: (Mã123 2017) Tìm nguyên hàm của hàm số f x( )=cos 3x

A ∫cos 3xdx=3sin 3x C+ B ∫cos 3 =sin 3 +

Câu 52: (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=e x+x là

Câu 53: (Mã 101 - 2019) Họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x( ) 2= x+5 là

A x C2+ B x2+5x C+ C 2x2+5x C+ D 2x C2+

Lời giải Chọn B

Câu 58: (Mã 105 2017) Cho F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) f x e( )= x +2x thỏa mãn ( )0 = 3

A F x( )= −cosx+sinx+3 B F x( )= −cosx+sinx−1

C F x( )= −cosx+sinx+1 D F x( )=cosx−sinx+3

Lời giải Chọn C

Có F x( )=∫ f x x( )d =∫ (sinx+cos dx x) = −cosx+sinx C+

Ta có: F x( )=e x+x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên  ( )

Ta có: F x e( )= −x 2x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên  ( )

Câu 64: (Mã 104 - 2020 Lần 2) Biết F x( )=e 2x+ x2 là một nguyên hàm của hàm số f x trên ( )  Khi

Trên khoảng (1;+∞) thì x − >1 0nên

x

f x

x trên khoảng

Câu 74: (Đề Minh Họa 2020 Lần 1) Cho hàm số f x( ) liên tục trên  Biết cos 2x là một nguyên

hàm của hàm số f x( )ex, họ tất cả các nguyên hàm của hàm số f x′( )ex là:

A −sin 2x+cos 2x C+ B −2sin 2x+cos 2x C+

C −2sin 2x−cos 2x C+ D 2sin 2x−cos 2x C+

Lời giải Chọn C

Do cos 2x là một nguyên hàm của hàm số f x( )ex

nên f x( )ex =(cos 2x)′ ⇔ f x( )ex = − 2sin 2x

Vậy tất cả các nguyên hàm của hàm số f x′( )ex là −2sin 2x−cos 2x C+

Câu 75: (Đề Tham Khảo 2019) Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=4 1 lnx( + x) là:

A 2 lnx2 x+ 3x2 B 2 lnx2 x x+ 2

C 2 lnx2 x+ 3x2 +C D 2 lnx2 x x+ 2 +C

Lời giải Chọn D

Chọn C

Ta có: ( )

2

1d2

f x x

Theo đề bài ta có ∫ f x e x( ) d2x =(x−1)e C x+ , suy ra f x e( ) 2x=(x−1)e x′ =e x+(x−1 )e x

f x

10

⇒ f = −

CHUYÊN ĐỀ III – GIẢI TÍCH 12 – NGUYÊN HÀM – TÍCH PHÂN - ỨNG DỤNG TÍCH PHÂN

Một số nguyên tắc tính cơ bản

 Tích của đa thức hoặc lũy thừa PP  khai triễn

 Tích các hàm mũ PP  khai triển theo công thức mũ

 Bậc chẵn của sin và cosin  Hạ bậc: 2 1 1 2 1 1

Câu 7: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x sin 3x

A  3cos3x C  B 3cos3x C  C 1 cos3

3 x C D 1 cos3

Câu 8: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )=3x2+sinx là

A x3+cosx C+ B 6x+cosx C+ C x3−cosx C+ D 6x−cosx C+

A cos 2 1sin 2

2d

1

de

Câu 13: Họ nguyên hàm của hàm số f x( ) cos= x là:

A cos x C+ B −cos x C+ C −sin x C+ D sin x C+

Câu 14: Họ các nguyên hàm của hàm số f x( )=x4+x2 là

Câu 20: Tìm nguyên hàm của hàm số f x( ) x4 22

x+ x C+

Câu 24: Họ nguyên hàm của hàm số f x( )= +1 sinx

A 1 cos x C+ + B 1 cos x C− + C x+cosx C+ D x−cosx C+

Câu 25: Nguyên hàm của hàm số f (x)= 1 3 2 2 2022

3x − x + −x là

A x − x + x +C

23

212

Câu 29: Hàm số F x( )=e x2 là nguyên hàm của hàm số nào trong các hàm số sau:

A 2

( ) 2 x

f x = xe B f x( )=x e2 x2−1 C f x e( )= 2x D

2( )2

Câu 39: Cho hàm số f x xác định trên ( ) R\ 1{ } thỏa mãn ( ) 1

DẠNG 2 TÌM NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

Chú ý: Sau khi ta tìm được họ nguyên hàm theo t thì ta phải thay t u x= ( )

1 Đổi biến số với một số hàm thường gặp

→ = ⋅

∫



2 Đổi biến số với hàm ẩn

 Nhận dạng tương đối: Đề cho f x yêu cầu tính ( ), f( )≠ hoặc đề cho x f( ),≠x yêu cầu tính

( )

f x

 Phương pháp: Đặt t= ≠( ).x

 Lưu ý: Đổi biến nhớ đổi cận và ở trên đã sử dụng tính chất: “Tích phân không phụ thuộc

vào biến số, mà chỉ phụ thuộc vào hai cận”, nghĩa là b ( )d b ( )d b ( )d

f u u= f t t= ⋅⋅⋅ = f x x= ⋅⋅⋅

Câu 49: Biết ∫ f x x( )2 d =sin2x+lnx C+ Tìm nguyên hàm ∫ f x x( )d ?

2 sin 1 2

11

b

a x x

∫ , bằng cách đặt u= x+1 ta được nguyên hàm nào?

Câu 74: Tìm họ nguyên hàm của hàm số f x( )=tan5x

A ( )d 1tan4 1tan2 ln cos

DẠNG 3 NGUYÊN HÀM CỦA HÀM SỐ HỮU TỈ

 Nếu bậc của tử số ( ) P x  bậc của mẫu số ( ) Q x PP  Chia đa thức

 Nếu bậc của tử số ( ) P x  bậc của mẫu số ( ) Q x PP  phân tích mẫu ( ) Q x thành tích số, rồi sử dụng phương pháp che để đưa về công thức nguyên hàm số 01

 Nếu mẫu không phân tích được thành tích số PP  thêm bớt để đổi biến hoặc lượng giác hóa bằng cách đặt X atan ,t nếu mẫu đưa được về dạng X2 a2

Câu 80: Tìm một nguyên hàm F x của hàm số ( ) f x( ) ax b2 (x 0 ,)

A 3

2

2.

Câu 85: Cho F x là một nguyên hàm của hàm số ( ) ( ) 4 2 31 2

20192020

Câu 86: Cho 3( 2)

11

Câu 88: Cho hàm số f x xác định trên ( ) \ 2;1{− } thỏa mãn ( ) 2 1