Bài giảng Phân tích thiết kế giải thuật - Chương 37: Giải thuật xấp xỉ

Trong lĩnh vực Công Nghệ Thông Tin nói riêng, yêu cầu quan trọng nhất của người học đó chính là thực hành. Có thực hành thì người học mới có thể tự mình lĩnh hội và hiểu biết sâu sắc với lý thuyết. Với ngành mạng máy tính, nhu cầu thực hành được đặt lên hàng đầu. Tuy nhiên, trong điều kiện còn thiếu thốn về trang bị như hiện nay, người học đặc biệt là sinh viên ít có điều kiện thực hành. Đặc biệt là với các thiết bị đắt tiền như Router, Switch chuyên dụng

Giải Thuật Xấp Xỉ

Chapter 37

Approximation Algorithms

Tiếp cận một bài toán NP-đầy đủ

° Nếu một bài toán là NP-đầy đủ thì không chắc rằng ta sẽ tìm được một giải thuật thời gian đa thức để giải nó một cách chính xác

° Tiếp cận một bài toán NP-đầy đủ

1) Nếu các input có kích thước nhỏ thì một giải thuật chạy trong thời gian số mũ vẫn có thể thoả mãn yêu cầu

2) Thay vì tìm các lời giải tối ưu, có thể tìm các lời giải gần tối ưu

trong thời gian đa thức

Giải thuật xấp xỉ

° Một giải thuật xấp xỉ là một giải thuật trả về lời giải gần tối ưu.

° Giả sử: chi phí của lời giải  0 Gọi C là chi phí của lời giải tối ưu

Một giải thuật xấp xỉ cho một bài toán tối ưu được gọi là có tỉ số xấp

xỉ (n (approximation ratio, ratio bound) nếu với mọi input có kích

thước n thì chi phí của lời giải do giải thuật xấp xỉ tìm được sẽ thoả

• max(CC, CC  r(n

max(CC, CC = CC  r(n Chi phí của lời giải gần đúng  (n lần chi phí của lời giải tối ưu.

° Một giải thuật xấp xỉ có tỉ số xấp xỉ (n được gọi là một giải thuật

Bài toán che phủ đỉnh

Nhắc lại

° Một che phủ đỉnh (vertex cover) của một đồ thị vô hướng G = (V, E) là một tập con V’  V sao cho nếu (u, v)  E thì u  V’ hay v  V’ (hoặc

cả hai  V’).

Kích thước của một che phủ đỉnh là số phần tử của nó.

° Bài toán che phủ đỉnh là tìm một che phủ đỉnh có kích thước nhỏ nhất

trong một đồ thị vô hướng đã cho

Bài toán này là dạng bài toán tối ưu của ngôn ngữ NP-đầy đủ

VERTEX-COVER  {G, k : đồ thị G có một che phủ đỉnh có kích

thước k}

Một giải thuật xấp xỉ cho bài toán che phủ đỉnh

Thực thi APPROX-VERTEX-COVER

c e a

c e a

c e a

c e a

c e a

c e a

Phân tích APPROX-VERTEX-COVERNhận xét: Thời gian chạy của APPROX-VERTEX-COVER là O(E).

Định lý 37.1

thức

Bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác

° Cho một đồ thị đầy đủ vô hướng G = (V, E) cùng với một hàm chi phí

c : E  Z+ Tìm một chu trình hamilton (một tour) của G với phí tổn

nhỏ nhất

° Điều kiện: Hàm chi phí c: E  Z+ thỏa mãn bất đẳng thức tam giác

c(u, w)  c(u, v) + c(v, w), u, v, w  V

1 chọn một đỉnh r  VG làm một đỉnh “gốc”

2 nuôi lớn một cây khung nhỏ nhất T cho G từ gốc r dùng giải thuật MST-PRIM(G, c, r)

3 gọi L là danh sách các đỉnh được thăm viếng bởi

phép duyệt cây theo kiểu tiền thứ tự

4 return chu trình hamilton H viếng các đỉnh

theo thứ tự L

Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên một ví dụ

Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên một ví dụ (tiếp)

a

b c

Duyệt cây T bắt đầu từ a Thứ tự các đỉnh

khi duyệt kiểu hoàn toàn là: a, b, c, b, h, b, a,

d, e, f, e, g, e, d, a Thứ tự các đỉnh khi duyệt

kiểu tiền thứ tự là: a, b, c, h, d, e, f, g.

Tua H có được từ kết quả duyệt cây

theo kiểu tiền thứ tự mà A PPROX TSP-T OUR tìm được Chi phí của tua

-H là khoảng chừng 19,074.

Thực thi APPROX-TSP-TOUR lên một ví dụ (tiếp)

a

b c

d

e

h

Bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác

• Định lý 37.2

bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác

v u c A

c

) , (

),()

(

Bài toán người bán hàng rong với bất đẳng thức tam giác

Chứng minh (tiếp)

° cW = 2cT, với W là kết quả một duyệt hoàn toàn cây T từ đỉnh r, vì

mỗi cạnh của T được đi qua hai lần.

° cW  2cH, từ trên vàvì (*)

° Nhưng W không phải là tua vì mỗi đỉnh được thăm hai lần, do đó

“tránh thăm mọi đỉnh lần thứ hai” (= duyệt cây theo kiểu tiền thứ tự)

để có được tua H, chi phí không tăng vì bất đẳng thức tam giác, do đó

• cH  cW  2cH

Bài toán người bán hàng rong tổng quát

° Giả sử có một số nguyên   1 và một giải thuật -xấp xỉ thời gian đa

thức A cho bài toán người bán hàng rong tổng quát.

Hướng chứng minh: Sẽ dùng A để giải bài toán chu trình Hamilton

HAM-CYCLE trong thời gian đa thức Vì HAM-CYCLE là NP-đầy

đủ và theo giả thiết P  NP nên A không chạy trong thời gian đa thức,

mâu thuẩn!

Bài toán người bán hàng rong tổng quát

• Các biểu diển của G’ và c có thể tính được từ một biểu diễn của G

trong thời gian đa thức theo V và E

Bài toán người bán hàng rong tổng quát

Chứng minh (tiếp)

° Gọi H là tua tối ưu của G’, gọi H là tua mà A tìm được, ta có

• c(H )  rc(H) Phân biệt hai trường hợp:

chứa cạnh của G, từ đó suy ra H là một chu trình hamilton của G.

° Vậy ta có thể dùng giải thuật A để giải bài toán chu trình hamilton

trong thời gian đa thức Mâu thuẫn với giả thiết P  NP!

Bài toán che phủ tập

° Một thực thể (X, F ) của bài toán che phủ tập gồm một tập hữu hạn X

và một họ F các tập con của X sao cho

Một tập con C  F được gọi là che phủ X nếu

° Bài toán che phủ tập là tìm một tập con C  F , với  C  là nhỏ nhất,

sao cho C che phủ X.

Dạng quyết định của bài toán che phủ tập

° Dạng bài toán quyết định cho bài toán che phủ tập là tìm một che phủ

sao cho kích thước của nó  k, với k là một tham số của một thực thể

của bài toán quyết định

° Bài toán quyết định cho bài toán che phủ tập là NP-đầy đủ

Một giải thuật xấp xỉ cho bài toán che phủ tập

° Một giải thuật xấp xỉ cho bài toán che phủ tập

Phân tích GREEDY-SET-COVER

Gọi số điều hòa thứ d là H d :