Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)

Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)Các công thức tính xác suất thống kê (NLU)

2)Công thức cộng xác suất 2

• Nếu A, B là 2 biến cố bất kỳ thì P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB)

• Nếu A, B,C là 3 biến cố bất kỳ thì P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)-P(AB)

VD1 Trong một chiếc bình có 10 quả cầu gồm 4 quả cầu đỏ Lấy ngẫu

nhiên từ chiếc bình ra 3 quả cầu Tính xác suất để có 1 hoặc 2 quả cầu đỏ trong 3 quả cầu lấy ra.

Giải :

A1:biến cố lấy được 1 quả cầu đỏ(và 2 quả cầu không phải màu đỏ)

A2:biến cố lấy được 2 quả cầu đỏ(và 1 quả cầu không phải màu đỏ)

 A1.A2=  và A2 +A2 là biến cố lấy được 1 hoặc 2 quả cầu đỏ.

 P(A1+A2 ) = P(A1) + P(A2)= ½+ 3/10=0,8 ?

VD2 Một chuồng gà co 10 con trong đó có 4 con gà trống Chọn ngẫunhiên 3 con gà trong chuồng Tính xác suất để trong 3 con gà đó cónhiều nhất là 2 con gà trống.

Giải: Gọi Ai biến cố trong 3 con đó có i con gà trống (i= 0,1,2)

A biến cố trong 3 con gà đó co nhiều nhất là 2 con gà trống

 A = A0+A1+A2 và A0, A1, A2 từng đôi xung khắc, nên:

 P(A) = P(A0)+ P(A1)+ P(A2)

Ví dụ

Có 3 người đi vào 4 quầy hàng, tính xác suất quầy 1 không có người vào

hoặc quầy 2 không có người vào

GiảiGọi A1,A2 lần lượt là biến cố quầy 1, quầy 2 không có người vào

• A1 +A2 là biến cố quầy 1 không có người hoặc quầy 2 không có ngườivào

• A1 A2 là biến cố quầy 1 không có người và quầy 2 không có ngườivào; P(A1 A2 )=

• Vì A1 ,A2 không xung khắc nên

• P(A1 +A2)=P(A1 )+ P(A2 )-P(A1 A2 )= +

-3 3

2 4

3 3

3 4

3 3

3 4

3 3

2 4

• Vd Xếp 3 người vào bàn dài có 5 chỗ ngồi, tính xác suất chỗ 1 không

có người ngồi hay chỗ 2 không có người ngồi

• Một chiếc hộp gồ 5 quả bóng xanh được đánh số từ 1 đến 5 và 3 quảbóng đỏ được đánh số từ 1 đến 3.Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 quả

• Tính xác suất được quả bóng xanh hoặc đánh số chẵn

• Giải

• Gọi A là biến cố được quả bóng xanh

• Gọi B là biến cố được quả bóng đánh số chẵn

• A.B là biến cố được quả xanh và đánh số chẵn

• Vì A, B không xung khắc nên

• P(A+B)=P(A)+P(B)-P(AB) = 5/8 +3/8 -2/8

• Ví dụ: Một lớp học co 100 học sinh, trong đó: co 40 em giỏi toán, 50

em giỏi ngoại ngữ và 30 em giỏi 2 môn toán và ngoại ngữ Giả sử giỏi

ít nhất một môn thì được thưởng Gọi tên ngẫu nhiên một em, tínhxác suất để em đó được thưởng

Giải : Gọi A là biến cố em được gọi tên là học sinh giỏi toán

Gọi B là biến cố em được gọi tên là học sinh giỏi ngoại ngữ

A.B là biến cố em được gọi tên là học sinh giỏi toán và ngoại ngữ

A + B là biến cố em được gọi tên là được thưởng

•  P(A + B ) = P(A) + P(B)  P(A.B)=?

II) Công thức nhân xác suất

1)Xác suất có điều kiện.

Xác suất của biến cố A tính trong trường hợp biến cố B đã xảy ra được gọi là xác suất có điều kiện của A với điều kiện B xảy ra

Ký hiệu P(A|B)

Ví dụ

• Tung 1 con xúc xắc

• A) tính xác suất được nút 2

• B) Tính xác suất được nút 1, biết rằng được nút chẵn

• C) Tính xác suất được nút chia hếtcho 3 biết rằng được nút chẵn

• D.)Tính xác suất được nút chẵn biết rằng được nút chia hết cho 3

• Một lớp học có 100sv gồm 40 nam, 60 nữ.

• Trong 40 nam có 5 sv giỏi, trong 60 nữ có 8 học sinh giỏi.Chọn ngẫunhiên 1 học sinh từ lớp

• A)Tính xác suất được học sinh giỏi

• B Tính xác suất được học sinh giỏi biết rằng được học sinh nam

• C)Tính xác suất được học sinh giỏi và được học sinh nam

• D) Tính xác suất được học sinh giỏi hoặc được học sinh nam

• Một chiếc hộp gồ 5 quả bóng xanh được đánh số từ 1 đến 5 và 3 quả bóng

đỏ được đánh số từ 1 đến 3.Lấy ngẫu nhiên từ hộp ra 1 quả

a)Tính xác suất được quả bóng xanh biết rằngđược quả bóng đánh số chẵn.b)Tính xác suất được quả bóng đánh số chẵn biết rằngđược quả bóng xanh

c)Tính xác suất được quả bóng xanh và được quả bóng đánh số chẵn

d)Tính xác suất được quả bóng xanh hoặc được quả bóng đánh số chẵn

Giải

Gọi A là biến cố được quả bóng xanh

Gọi B là biến cố được quả bóng đánh số chẵn

• a)P(A|B)=2/3;P(A)=5/8

• b)P(B|A)=2/5

• c)P(AB)=2/8

• d)P(A+B)=

2)Hai biến cố độc lập

• Hai biến cố A và B được gọi là độc lập nhau nếu P(A|B)=P(A) hoặc

P(B|A)=P(B)

• Chú ý: Từ định nghĩa ta thấy Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau

nếu biến cố này xảy ra không ảnh hưởng đến xác suất của biến cố kia

• Trong thực tế ta sẽ dung điều này, để nhận biết sự độc lập của 2 biếncố

• Chẳng hạn, có 2 người bắn độc lập vào mục tiêu

• Gọi A là biến cố người 1 bắn trúng

• Gọi B là biến cố người 2 bắn trúng

• Khi đó A, B là 2 biến cố độc lập

• VD Có 2 lô hàng

• Lô 1 có 10 sản phẩm, trong đó có 4 tốt, 6 xấu

• Lô 2 có 10 sản phẩm trong đó có 3 tốt, 7 xấu

• Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng ra 1 sản phẩm

• Gọi A là biến cố được sản phẩm từ lô 1 là tốt

• Gọi B là biến cố được sản phẩm từ lô 2 là tốt

• Khi đó A, B là 2 biến cố độc lập

Công thức nhân xác suất 1

i) Nếu A , B là hai biến cố độc lập thì

P(A.B) = P(A) P(B)

ii) Nếu A1, A2 , , AK độc lập trong toàn bộ thì

P(A1A2 AK) = P(A1)P(A2) P(AK)

• c) Biết rằng có 2 khẩu trúng, tính xác suất khẩu 1 trúng.

• d)Biết rằng có 1 khẩu trúng tính xác suất khẩu 2 bắn trúng.

• Giải Gọi A : biến cố khẩu 1 bắn trúng , P(A) = 0,6

• B : biến cố khẩu 2 bắn trúng , P(B) = 0,7

• C : biến cố khẩu 3 bắn trúng , P(C) = 0,8

Công thức nhân xác suất 1

Giải Gọi A : biến cố khẩu 1 bắn trúng , P(A) = 0,6

c)Gọi E là biến cố có 1 khẩu trúng

• VD Có 3 lô hàng

• Lô 1 có 10 sản phẩm, trong đó có 4 tốt, 6 xấu

• Lô 2 có 10 sản phẩm trong đó có 3 tốt, 7 xấu

• Lô 3 có 10 sản phẩm trong đó có 2 tốt, 8 xấu

• Lấy ngẫu nhiên từ mỗi lô hàng ra sản phẩm

• A) Tính xác suất được 3 sản phẩm tốt

• B)Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu

• C)Tính xác suất được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu

• D)Tính xác suất được 3 sản phẩm 3 xấu

• Gọi A là biến cố sản phẩm lấy từ lô 1 là tốt P(A) =4/10=0,1

• Gọi B là biến cố sản phẩm lấy từ lô 2 là tốt P(B)=3/10=0,3

• Gọi C là biến cố sản phẩm lấy từ lô 3 là tốt P ( C )=2/10=0,2

• A) Gọi D là biến cố được 3 sản phẩm tốt

• P(D)=P(A).P(B).P(C) = 0,1.0,3.0,2=0,006

• B) Gọi E là biến cố được 2 sản phẩm tốt

• C) Gọi D là biến cố được F sản phẩm tốt

( ) ( ) P(B) P( ) ( ) P( ) P(C) P( ) ( ) ( )

P E P A C P A B A P B P C

Công thức nhân xác suất 2

• Nếu A, B bất kỳ thì P(A.B)=P(A).P(B|A)=P(B)P(A|B)

• Nếu A1 , A2 ,… ,An là các biến cố bất kỳ thì

• P(A1 .A2 ……An )=P(A1 ).P(A2 |A1 ).P(A3 |A1 .A2 )….P(An |A1 .A2 ….An-1)

• Trong một kỳ thi, bạn phải thi 2 môn Giả sử bạn có hy vọng 70% đạt môn thứ nhất Nếu đạt môn thứ nhất thì hy vọng 60% bạn đạt môn thứ hai Nếu không đạt môn thứ nhất thì hy vọng bạn đạt môn thứ hai chỉ còn 40% Hãy tính xác suất để bạn:

• Đạt yêu cầu cả hai môn thi.

• Không đạt yêu cầu cả hai môn thi.

• Trong một kỳ thi, bạn phải thi 2 môn Giả sử bạn có hy vọng 70% đạtmôn thứ nhất Nếu đạt môn thứ nhất thì hy vọng 60% bạn đạt mônthứ hai Nếu không đạt môn thứ nhất thì hy vọng bạn đạt môn thứhai chỉ còn 40% Hãy tính xác suất để bạn:

a)Đạt yêu cầu cả hai môn thi

b) đạt yêu cầu 1 môn thi

c)Đạt yêu cầu môn thi thứ 2

• Giải Gọi Ai biến cố đạt môn thi thứ i (i=1, 2) theo đề bài:

• Gọi Ai biến cố đạt môn thi thứ i (i=1, 2) theo đề bài:

• P(A1 )=0,7;P(A2|A1 )=0,6

•

• a) A1A2 là biến cố bạn đạt yêu cầu cả hai môn thi

• P(A1A2 )=P(A1 ).P(A2|A1 )=0,7.0,6=0,42

• b)Gọi A là biến cố bạn Đạt 1 môn môn thi

• VD Một xạ thủ bắn 2 phát lần lượt

• Xác suất trúng phát thứ nhất là 0,2 Nếu trúng phát thứ nhất thì xácsuất trúng phát thứ 2 là 0,7; nếu không trúng phát thứ nhất thì khảnăng trúng phát thứ 2 là 0,6

• A)Tính xác suất trúng 2 phát

• B)Tính xs trúng 1 phát

• C)Tính xs trúng phát 2

III)Công thức xác suất toàn phần, Công thức

Bayes

• 1)Nhóm biến cố đầy đủ

• Nhóm biến cố A1,A2,…An được gọi là đầy đủ nếu

•

• (Xung khắc từng đôi, và P(A1)+P(A2)+….+P(An)= 1

• 2)Công thức xác suất toàn phần

• Cho A1,A2,…An là nhóm bc đầy đủ và A là biến cố bất kỳ phụ thuộc vào nhóm đầy đủ này Khi đó

• VD1Hộp 1 có 7 chai thuốc trong đó có 4 chai tốt, 3 chai kém phẩmchất.

• Hộp 2 có 7 chai thuốc trong đó có 5 chai tốt, 2 chai kém phẩm chất

• Chọn ngẫu nhiên 1 hộp rồi lấy ra 1 chai

• A)Tính xác suất được chai thuốc tốt

• B)Biết rằng được chai tốt, tính xác suất hộp 1 được chọn

• A)Gọi A1 là bc hộp 1 được chọn P(A1 )=1/2

• VD2 Có 3 lô hàng

• Lô 1 có 10 sản phẩm, trong đó có 4 tốt, 6 xấu

• Lô 2 có 10 sản phẩm trong đó có 3 tốt, 7 xấu

• Lô 3 có 10 sản phẩm trong đó có 2 tốt, 8 xấu

• Chọn ngẫu nhiên một lô hàng, rồi từ lô hàng đó lấy ra 3 sản phẩm

• A) Tính xác suất được 3 sản phẩm tốt

• B)Tính xác suất được 2 sản phẩm tốt, 1 sản phẩm xấu

• C)Tính xác suất được 1 sản phẩm tốt, 2 sản phẩm xấu

• D)Tính xác suất được 3 sản phẩm 3 xấu

• VD3 Một lô hạt giống có 3 loại : loại I chiếm 2/3 số hạt cả lô, loại II chiếm 1/4, còn lại là loại III Loại I có tỉ lệ nẩy mầm 80% , loại II là 60% , loại III là 40% Lấy ngẫu nhiên từ lô ra 1 hạt giống,tính xác suất đểhạt đó nẩy mầm

• A1 : biến cố hạt giống lấy ra là loại I ; P(A1) = 2/3

• A2 : biến cố hạt giống lấy ra là loại II ; P(A2) = 1/4

• A3 : biến cố hạt giống lấy ra là loại III ;

•  P(A3) = 1 2/3 1/4 = 1/12

• A : biến cố hạt giống lấy ra nẩy mầm

• P(A)=P(A1)P(A/A1)+P(A2).P(A/A2)+P(A3 )P(A/A3 )

• = 2/3 x 0,8 + 1/4 x 0,6 + 1/12 x 0,4 = 0,7166

• VD4 Một quyển sách gồm 500 trang trong đó có 450 trang được đánh

số trang, các trang còn lại được không đánh số trang(đánh sót) Tỷ lệ

bị lỗi của trang có đánh số trang là 4%, tỷ lệ bị lỗi của trang không

đánh số trang là 10%.Chọn ngẫu nhiên một trang sách từ quyển sáchnày

a) Tính xác suất gặp trang bị lỗi

b) Biết rằng gặp trang sách bị lỗi, tính xác suất trang sách đó không

được đánh số trang

• VD 5 Một trung tâm Tai – Mũi – Họng có tỉ lệ bệnh nhân Tai – Mũi –Họng tương ứng là 25%, 40%, 35%; tỉ lệ bệnh nhân nặng cần phải mổcủa bệnh nhân Tai- Mũi- Họng tương ứng là 1%, 2%, 3% Chọn ngẫunhiên một bệnh nhân từ trung tâm thì được bệnh nhân nặng cần phải

mổ, xác suất để bệnh nhân này bị bệnh Họng là: