Giải thích tại sao bậc tự do của var(x) là (n 1)

Giả sử chọn một mẫu ngẫu nhiên (random sample) với n quan sát từ một tổng thể (population) có trung bình là µ và độ lệch chuẩn là σ, và chúng ta không thể biết được giá trị các tham số này là bao nhiêu (unknown parameters).

1

Gửi các sinh viên TĐG37!

SG 14/11/2013

Giả sử chọn một mẫu ngẫu nhiên (random sample) với n quan sát từ một tổng thể (population) có trung bình là µ và độ lệch chuẩn là σ, và chúng ta không thể biết được giá trị các tham sồ này là bao nhiêu (unknown parameters)

Trung bình mẫu là

n

1 i i

X

X là một ước lượng của µ

Để ước lượng phương sai, chúng ta thực sự muốn tính theo công thức sau đây:

n

1 i

2

X ( n

1 ) (

Tuy nhiên, chúng ta không biết µ là bao nhiêu, nên phải

sử dụng ước lượng của nó là X

Vậy, ta nên chọn công thức nào sau đây?

n

1 i

2

X n

1 ) X

1 i

2

X ( 1 n

1

???

Trước hết, ta sẽ triển khai công thức tổng bình phương

1

i

2

X

Ta có:

n

1

i

2

n

1 i

2

X (

2

=

1 i

2

i ) ( X)]

X [(

=

n

1 i

2 i

2

X [(

=

n

1 i

2 n

1 i i

2

X (

1 i

2 n

1 i i

2

X (

1 i

2 2

X (

1 i

2 2

X (

1 i

2 2

i ) 2(X )(X ) ( X) X

(

1 i

2 2

2

X (

1 i

2 2

X

Theo định nghĩa ở công thức (2), ta có:

2 n

1 i

2

X

Ngoài ra, từ kết quả phân tích về phương sai của trung bình mẫu (xem Bài giảng 3, Ôn tập xác suất thống kê) ta

3

1 i

2

i X) X

vọng của công thức (3)] SẼ NHƯ SAU:

1 i

2

i X) X

1 i

2

=

n n n

2 2

NHƯ VẬY,ĐỂ LÀ MỘ ƯỚC LƯỢNG KHÔNG CHỆCH (unbiased

) (

1 i

2

X ( 1 n

1

(6)

Do đó, bậc tự do phải là (n-1) Nói cách khác, có (n-1)

Ta có thể giải thích ý nghĩa bậc tự do cho trường hợp sai

số chuẩn của ước lượng (standard error of estimate) hay sai số chuẩn của hồi quy (standard error of regression)

cách tương tự:

Var(ui) = ˆ = 2

2 n RSS