BÀI TOÁN XÂU TRONG CỰC ĐẠI VÀ LỜI GIẢI

Xâu con: S là xâu con của T nếu S nhận được bằng cách xoá đi một số ký tự nào đó trong T. Ví dụ: ‘EAC’ là xâu con của ‘CEAEEC’ Xâu con chung: Nếu xóa một số ký tự của hai xâu thì hai xâu con còn lại của chúng bằng nhau Ví dụ: S1=‘ABCDAE’ và S2=‘XYACADK’ có xâu ‘ACD’ là xâu con chung có độ dài cực đại. Bài toán đặt ra: Cho 2 xâu A, B. Tìm một xâu S là xâu con chung của A và B có độ dài cực đại. - Input: File Input.doc có cấu trúc: + Dòng thứ nhất chứa xâu A + Dòng thứ hai chứa xâu B - Output: File output.doc có cấu trúc: Nếu bài toán vô nghiệm thì ghi số 0, ngược lại ghi như sau: + Dòng thứ nhất ghi số K là số kí tự của xâu chung S + Dòng thứ hai là xâu S gồm K kí tự. BÀI GIẢI: B1: Phân tích bài toán Gọi M= length(A); N= length(B); * Cần xây dựng mảng L[0..M, 0..N] với ý nghĩa: L[I,j] là độ dài của xâu chung dài nhất của 2 xâu: A[0..i] và B[0..j]. * Bài toán ban đầu là: L[M,N]. Đương nhiên nếu một xâu là rỗng (số kí tự là 0) thì xâu con chung cũng là rỗng, vì vậy: L[0,j]=0 ∀ j, j=1..N. L[i,0]=0 ∀ i, i=1..M. B2: Giải pháp đệ quy

1 BÀI TOÁN XÂU TRONG CỰC ĐẠI

Xâu con:

S là xâu con của T nếu S nhận được bằng cách xoá đi một số ký tự nào đó trong T

Ví dụ: ‘EAC’ là xâu con của ‘CEAEEC’

Xâu con chung:

Nếu xóa một số ký tự của hai xâu thì hai xâu con còn lại của chúng bằng nhau

Ví dụ: S1=‘ABCDAE’ và S2=‘XYACADK’ có xâu ‘ACD’ là xâu con chung có độ dài cực đại.

Bài toán đặt ra:

Cho 2 xâu A, B Tìm một xâu S là xâu con chung của A và B có độ dài cực đại.

- Input: File Input.doc có cấu trúc:

+ Dòng thứ nhất chứa xâu A

+ Dòng thứ hai chứa xâu B

- Output: File output.doc có cấu trúc:

Nếu bài toán vô nghiệm thì ghi số 0, ngược lại ghi như sau:

+ Dòng thứ nhất ghi số K là số kí tự của xâu chung S

+ Dòng thứ hai là xâu S gồm K kí tự.

BÀI GIẢI:

B1: Phân tích bài toán

Gọi M= length(A); N= length(B);

* Cần xây dựng mảng L[0 M, 0 N] với ý nghĩa: L[I,j] là độ dài của xâu chung dài nhất của 2 xâu: A[0 i] và B[0 j].

* Bài toán ban đầu là: L[M,N].

Đương nhiên nếu một xâu là rỗng (số kí tự là 0) thì xâu con chung cũng là rỗng, vì vậy:

L[0,j]=0 ∀ j, j=1 N.

L[i,0]=0 ∀ i, i=1 M.

B2: Giải pháp đệ quy

Với M ≥ I > 0 và N ≥ j > 0 thì:

+ Nếu A[i]=B[j] thì L[I,j] = L[i-1,j-1] +1

+ Nếu A[i] < > B[j] thì:

* Nếu A[i] trong B[1 j] thì nó chỉ thuộc B[1 j-1] nên L[I,j]=L[I,j-1]

* Nếu B[j] trong A[1 i] thì nó chỉ thuộc A[1 i-1] nên L[I,j]=L[I-1,j]

Vì vậy: L[I,j] được tính theo công thức truy hồi sau:

L[I,j] = Max{L[I,j-1], L[i-1,j], L[i-1,j-1] + X} (với X=0 nếu A[i] < > B[j]; X=1 nếu A[i] = B[j]).

B3: Lập bảng

PROCEDURE LAPBANG;

VAR I,J: BYTE;

BEGIN

FOR I:=1 TO M DO L[I,0]:=0;

FOR J:=1 TO N DO L[0,J]:=0;

FOR I:=1 TO M DO

FOR J:=1 TO N DO

IF A[I] = B[J] THEN L[I,J]:= L[I-1,J-1] +1

ELSE L[I,J]:=MAX(L[I,J-1],L[I-1,J]);

END;

END;

B4: Tổng hợp kết quả

Procedure TongHop;

Begin

S:=’’;

While (i>0) and (j>0) Do

If L[i,j]=L[i,j-1] then j:=j-1

Else

If L[i,j]=L[i-1,j] then i:=i-1

Else

Begin

S:=A[i]+S;

i:=i-1;

j:=j-1;

End;

End;

* CÀI ĐẶT:

USES CRT;

CONST FI='INPUT.DOC'; FO='OUTPUT.DOC';

VAR F: TEXT; M,N: BYTE; A,B,S: STRING; CH:CHAR; L: ARRAY[0 100,0 100] OF BYTE;

PROCEDURE DOC_INPUT;

VAR F: TEXT;

BEGIN

M:=0; N:=0;A:=''; B:='';

ASSIGN(F,FI); RESET(F);

WHILE NOT EOLN(F) DO

BEGIN

INC(M); READ(F,CH); A:=A+CH;

END;

READLN(F);

WHILE NOT EOLN(F) DO

BEGIN

INC(N); READ(F,CH); B:=B+CH;

END;

CLOSE(F);

END;

FUNCTION MAX(I,J: INTEGER) : INTEGER;

VAR P: INTEGER;

BEGIN

IF I>J THEN MAX:=I ELSE MAX:=J;

END;

PROCEDURE LAPBANG;

VAR I,J: BYTE;

BEGIN

FOR I:=1 TO M DO L[I,0]:=0;

FOR J:=1 TO N DO L[0,J]:=0;

FOR I:=1 TO M DO

FOR J:=1 TO N DO

BEGIN

IF A[I] = B[J] THEN L[I,J]:= L[I-1,J-1] +1 ELSE

L[I,J]:=MAX(L[I,J-1],L[I-1,J]);

END;

END;

PROCEDURE TONGHOP;

VAR F: TEXT; I,J: INTEGER;

BEGIN

ASSIGN(F,FO); REWRITE(F);

IF L[M,N]= 0 THEN

BEGIN

WRITE(F,0); CLOSE(F);HALT;

END

ELSE

BEGIN

WRITELN(F,L[M,N]);

I:=M; J:=N;

S:='';

WHILE (I>0) AND (J>0) DO

IF L[I,J] = L[I,J-1] THEN DEC(J)

ELSE

IF L[I,J]=L[I-1,J] THEN DEC(I) ELSE

BEGIN

S:=A[I]+S;

DEC(I); DEC(J);

END;

END;

WRITE(F,S);

CLOSE(F);

END;

BEGIN

CLRSCR;

DOC_INPUT; LAPBANG; TONGHOP;

END.

2 BÀI TOÁN DU LỊCH

* Phát biểu bài toán:

Một người đi từ thành phố 0 đến thành phố n và có thể đi qua n-1 thành phố khác 1, 2, , n-1, theo lộ trình: 0 -> i1 -> i2 -> ik -> n, trong đó: 0 < i1 < i2 <

ik < n Giá vé xe đi từ thành phố i đến thành phố j là c[i,j].

Tìm một lộ trình từ thành phố 0 đến thành phố n sao cho tổng chi phí về giá vé đạt cực tiểu.

*Bước 1: Phân tích bài toán

- Gọi ρ(s) là bài toán du lịch, với:

(thành phố xuất phát là 0)

s Î N: là thành phố cần đến.

( Bài toán ban đầu là ρ(n))

- Các giá trị cần tìm:

l[s]: chi phí nhỏ nhất để đi từ 0 → s của bài toán ρ(s)

u[s]: đỉnh kế cuối trên đường đi từ 0 → s của bài toán ρ(s)

* Bước 2: Giải pháp đệ quy

- Nếu s=0 thì:

• l[0] = 0

• u[0] = -1

- Nếu s≠0 (0<s) thì:

• l[s] = min (l[k] + c[k,s])

(0 ≤ k<s) = l[k’] + c[k’,s]

• u[s] = k’

* Bước 3: Lập bảng

Procedure Lapbang;

Begin

for s:= 0 to n do

if (s= 0) then Tính l[0] và u[0]

else Tính l[s] và u[s]

End;

Cụ thể:

Procedure lapbang;

var s,k,ke: byte;

min,tam: integer;

begin for s:=0 to n do

if (s=0) then begin l[0]:=0;

u[0]:=-1;

end else begin ke:=0;

min:=max;

for k:=r to s-1 do

if (c[k,s]>0) then begin tam:=l[k]+c[k,s];

if (tam<min) then begin

ke:=k; min:=tam; end;

end;

l[s]:=min;

u[s]:=ke;

end;

end;

 Độ phức tạp tính toán: O(n2 )

* Bước 4: Tổng hợp kết quả

Procedure Tonghop;

Begin

i :=1; s := n; x[1] := s;

while s ≠ 0 do begin

i := i + 1;

s := u[s];

x[i]:= s;

end;

End;

* Chương trình:

const max=32767;

var c:array[0 100,0 100] of integer; u,l, x:array[1 100] of integer; n:byte;

procedure docfile;

var f:text;

i,j:byte;

begin

assign(f,'input.txt');reset(f);

readln(f,n);

for i:=0 to n do

for j:=0 to n do read(f,c[i,j]); close(f);

end;

procedure lapbang;

var s,k,ke:byte;

min,tam:integer;

begin

for s:=0 to n do

if (s=0) then

begin

l[0]:=0;

u[0]:=-1;

end

else

begin

ke:=0;

min:=max;

for k:=0 to s-1 do

if (c[k,s]>0) then

begin

tam:=l[k]+c[k,s];

if (tam<min) then

begin

ke:=k;

min:=tam;

end;

end;

l[s]:=min;

u[s]:=ke;

end;

end;

procedure tonghop;

var i,s,dem:byte;

begin

s:=n;

x[1]:=s;

i:=2;

while (s<>0) do

begin

x[i]:=u[s];

s:=x[i];

i:=i+1;

end;

if (s<>0) then write('Khong co duong di')

else

begin

write('Duong di voi chi phi nho nhat: '); for dem:=i-1 downto 1 do write(' ',x[dem]:2); writeln;

writeln('Chi phi nho nhat: ',l[n]);

end;

end;

BEGIN

docfile;

lapbang;

tonghop;

readln;

END.

3 BÀI TOÁN SINH VIÊN ÔN THI

a Phát biểu bài toán

Một sinh viên còn m ngày để ôn thi n môn Theo kinh nghiệm của anh ta,

nếu ôn môn j trong i ngày thì được điểm là a[i,j] Giả sử cho biết các a[i,j] (với a[i,j] ≤ a[i+1,j])

Tìm bộ x[j] (số ngày ôn môn j, j = 1 n) sao cho Σx[j] = m và sinh viên đạt tổng điểm lớn nhất (Σa[x[j], j] → max)

 Input:

- m ∈ N: số ngày ôn thi

- n ∈ N* : số môn ôn thi

- a[i,j] ∈ R: điểm đạt được khi ôn thi môn j trong i ngày (i=0 m, j=1 n)

 Output:

x[j]: số ngày ôn thi môn j (j=1 n) sao cho Σx[j]=n và Σa[x[j],j] đạt max

b Phân tích bài toán

Gọi P(r,s) là bài toán ôn thi, với:

• r ∈N là số ngày ôn thi

• s ∈ N* là số môn ôn thi

(Bài toán ban đầu là P(m,n))

Các giá trị cần tìm:

• diem[r,s]: tổng điểm lớn nhất Σa[x[j],j] của bài toán P(r,s)

• ngay[r,s]: số ngày ôn thi môn s (tức là x[s]) của bài toán P(r,s)

c Giải pháp đệ quy

• Trường hợp suy biến: s=1 (chỉ có 1 môn)

- ngay[r,s]=ngay[r,1]=r (vì chỉ có 1 môn nên tận dụng hết tất cả r ngày để

ôn thi)

- diem[r,s]=diem[r,1]=a[r,1]

• Trường hợp đệ quy (s>1):

- diem[r,s] = max (a[k,s]+diem[r-k,s-1]) (k: số ngày ôn, 0≤k≤ r thi môn s)

= a[k’,s]+diem[r-k’,s-1]

Trong đó:

 a[k,s] là điểm thi môn thứ s với k ngày ôn

 diem[r-k,s-1] là tổng điểm tối ưu của s-1 môn thi với r-k ngày ôn

 k' là số ngày ôn thi môn s mà tại đó diem[r,s] có giá trị tối ưu

- ngay[r,s] = k’

d Lập bảng

Thủ tục LapBang như sau:

Procedure LapBang;

Begin

For r:=0 to m do

For s:=1 to n do

If s=1 then

begin

diem[r,s]:=a[r,s];

ngay[r,s]:=r;

end Else Tinhdiem_ngay; {Tinh diem[r,s] và ngay[r,s]} End;

Độ phức tạp tính toán: O(n.m2)

Trong đó:

Procedure Tinhdiem_ngay;

Var tam, k,k1:integer;

Begin

k1:=0;

tam:=a[0,s]+diem[r,s-1];

For k:=1 to r do

if tam<a[k,s]+diem[r-k,s-1] then

begin

tam:=a[k,s]+diem[r-k,s-1];

k1:=k;

diem[r,s]:=tam;

ngay[r,s]:=k1;

End;

e Tổng hợp kết quả

Procedure TongHop;

Begin

r:=m;

For s:=n downto 1 do

begin

x[s]:=ngay[r,s];

r:=r-x[s];

end;

End;

• Độ phức tạp tính toán: O(n)

f Cài đặt chương trình (bằng Turbo Pascal)

Program Sinh_vien_on_thi;

Uses crt;

Type Mang=array[1 50,1 50] of integer; Var i,j,r,s,k,n,m,tam,k1:Integer;

A,ngay,diem:Mang;

X:Array[1 2500] of integer;

f:Text;

ch:Char;

{Tao file Input.txt de luu du lieu}

Procedure NhapDL;

Begin

Assign(f,'Input.txt');

Rewrite(f);

Write('Nhap so ngay on thi: ');

Readln(m);

Writeln(f,m);

Write('Nhap so mon on thi: ');

Readln(n);

Writeln(f,n);

For i:=0 to m do

begin

For j:=1 to n do

begin

Write('Nhap diem a[',i,',',j,']= ');

Readln(a[i,j]);

Write(f,a[i,j]:5,' ');

end;

Writeln(f);

end;

Close(f);

End;

{Doc du lieu tu file Input.txt luu vao bien m,n va mang A} Procedure DocDL;

Begin

Assign(f,'Input.txt');

Reset(f);

Readln(f,m);

Readln(f,n);

For i:=0 to m do

begin

For j:=1 to n do

Read(f,a[i,j]);

Readln(f);

end;

Close(f);

End;

{Buoc lap bang}

Procedure Lap_bang;

Begin

DocDL;

For r:=0 to m do

begin

For s:=1 to n do

begin

If s=1 then

begin

ngay[r,1]:=r;

diem[r,1]:=A[r,1];

end

Else

begin

tam:=a[0,s]+diem[r,s-1];

k1:=0; {k1 la k'}

For k:=1 to r do

If tam<a[k,s]+diem[r-k,s-1] then

begin

tam:=a[k,s]+diem[r-k,s-1];

k1:=k;

end;

diem[r,s]:=tam;

ngay[r,s]:=k1;

end;

Write(diem[r,s]:5,'/',ngay[r,s],' ');

end;

Writeln;

end;

End;

{Buoc tong hop ket qua}

Procedure Tong_hop;

Begin

r:=m;

For s:=n downto 1 do

Begin

X[s]:=ngay[r,s];

Writeln('So ngay on thi mon ',s,' tot nhat la: ',X[s]); r:=r-X[s];

End;

End;

{In du lieu vua doc ra tu file Input.txt}

Procedure HienthiDL;

Begin

DocDL;

Writeln('So ngay on thi: ',m);

Writeln('So mon on thi: ',n);

Writeln('So diem: ');

For i:=0 to m do

begin

For j:=1 to n do

Write(a[i,j]:5);

Writeln;

end;

End;

BEGIN

Clrscr;

Write('Ban co muon tao moi du lieu khong? (c/k) '); Readln(ch);

If upcase(ch)<>'K' then

NhapDL;

Writeln;

Writeln('* DU LIEU VAO: '); HienthiDL;

Readln;

Writeln('* LAP BANG');

Lap_bang;

Writeln;

Writeln('* KET QUA: ');

Tong_hop;

Write('Tong diem: ',diem[m,n]); Readln;

END