Bài tập giải sẵn giải tích i (in lần thứ tư) phần 1

TRẨN BÌNHBÀI TẬP GIẢI SẴNGIẢI TÍCH I... LỜI NÓI ĐẦUSau khi bộ giáo trình GIẢI TÍCH 2 tập của rác giả do N hà xuất bản K hoa học và K ỹ thuật ấn hành 1998 - 2000, nhiều độc giả đ ã đ ề ng

TRẨN BÌNH

BÀI TẬP GIẢI SẴNGIẢI TÍCH I

LỜI NÓI ĐẦU

Sau khi bộ giáo trình GIẢI TÍCH (2 tập) của rác giả do N hà xuất bản K hoa học và K ỹ thuật ấn hành (1998 - 2000), nhiều độc giả đ ã đ ề nghị viết tiếp bộ Bài tập giải tích giải sẵn có phần tóm tắt lý thuyết như m ộ t s ổ tay toán học giải tích cho sinh viên kỹ tlìiiật và kỹ sư, dựa trên bộ giáo trình GIẢI TÍCH.

Đ ể đáp ứng yêu cầu đó nhằm nâng cao chất lượng đào tạo trong hiện tại và tương lai, tác giả d ã soạn bộ bài tập n à \ (Tập 1 (II): Gidi rích I (II, III), ứng với các nội dung học ở học kỳ I (II, III).

Plìần bài tập, tác giá đ ã chọn lọc các bài từ dề, trung bình đến khó, đại diện clìo các loại rương ứng với các phần lý thuyết theo chương trình toán giải tích hiện tại Những bài khó có đánh dấu * nhằm bồi dưỡng thêm cho sinh viên (nhất là các sinh viên khá, giỏi) Cuối sách có phần phụ chương: Các đ ề thi Giải tícli học ký I các năm

2003 - 2007 cùa Đại học Bách khoa đ ể sinh viên tham khảo.

T ác giả xin chân thành cảm ơn các bạn đồng nghiệp, nhất là PGS TS D ương Quốc Việt đ ã đọc rất kỹ bản tháo và cho nhiều ý kiến

qu ý báu.

V ì sách mới xuất bán, không tránli kliòi những thiếu sót, rất mong

bạn đọc cho lìliững V kiến chỉ giáo.

Xin chân thành cảm ƠI 1

Hà Nội tháng 5 năm 2005

TÁC GIẢ

3

L Ờ I N Ó I Đ Ầ U

M Ụ C L Ụ C

T r a n g3

X, , y 4: t u ỳ ý ( C a u c h y - B o u n i a k o v s k i )(1 + x , ) ( l + x 2) (1 + x n) > 1 + X, + x 2 + + XD

v ớ i -—— t a đ ư ợ c :n-t-1

n n+l

( n + l ) n+- >

n “ỵ(n+l)

% n+1

2 ( n+l ) n+1

19

|a + a , + a , + + a n| = |a - ( - y)Ị > |a| - | - y | = |a| - |y|

M ạ t k h á c : |y| < |a, I+ |a2| + + |an|

v ậ y : j a + a [ + a 2 + + a n| > |a| - (ja,I + |a,| + + |an|)

*4 C h ứ n g m i n h

1) V a , b e R , a > 0 => 3 n e N : n a > b

( T í n h c h ấ t A r c h i m e d e )2) V a , b e R , a < b í > 3 r 6 Q : a < r < b

( dư ới ) đều c ó g i ớ i hạn và x n < ( > ) l i m x n ( n g u y ê n l ý W e i e r ­

s tr as s )

3°) D ã y ( x n) c ó g i ớ i h ạ n k h i v à c h ỉ k h i

V e > 0 , 3 n 0, V n > n 0, V m > I10 => | xn - x m| < e.

2) Ve > 0, xét : |xn - 2 Ỉ = 2n +1

n -t- 2

< — < £ n

( b ỏ c á c sô' h ạ n g d ư ơ n g ở v ế p h ả i , c h ỉ đ ể l ại sô' h ạ n g t h ứ b a )

X é t t í c h x n y n, k h ô n g t h ể k ế t l u ậ n d ứt k h o á t t í c h n à y h ộ i tụ

í - l)" ễ

hay phân k ỳ, c h ả n g hạn x n = v — hội tụ, y n = n phân kỳ khi dó

11x„y„ = ( - 1 ) " p h â n k ỳ

Xn+1 < x n : v ậ y x n l à đ ơ n đ i ệ u g i ả m , m ậ t k h á c V n : x n > 0 ( t í c h c ủ a c á c s ố d ư ơ n g ) n g h ĩ a là x„ bị c h ặ n d ư ớ i , t h e o t i ê u c h u ã n ( W ) : l i m x n t ồ n t ạ i

Ta s ẽ c h ứ n g m i n h x n là dãy đơn đ iệ u tãn g b àng q uy nạp.

Nếu trong lân cận c ủ a x 0, : M ( m ) = f ( x 0) thì M ( m ) gọ i là giá

t r ỉ c ự c đại ( t i ể u ) c ủ a h à m sô' tại XD € X, g ọ i c h u n g l à c ự c trị:

ymax ( y min) = f ( x o)

- Hà m y = f ( x ) là đ ơn d iệ u k hô n g g i ả m ( k h ô n g t ă ng ) trong X

ị8

1 + X4) y = s i n x - 5 c o s x

Giới hạn bén phải (trái) điểm x„ cùa f(x):

5°) f ( x ) -> a ( X —> x 0), a > p (< q) => 3 l â n c ậ n c ù a x 0

( t r ừ X : f ( x ) > p (< q )

hơ n b ậ c c ủ a f ( x ) t h ì : f ( x ) + g ( x ) ~ f ( x )

+ N ế u f ( x ) ~ f , ( x ) , g ( x ) ~ g , ( x ) ( X -> x 0)

t hì : lim = l i m - ^ í l , ( x 0 e R )

( ) ( g ( x ) ) : ký h i ệ u V C B b ậ c c a o hơn b ậ c c ủ a g ( x )

2.4 Các giói hạn và công thức tuong đưong thông dụng

1°) Vx e X: f ( x ) < g ( x ) < h ( x ) , lim f(x) = lim h(x) = a,

\->x0

x 0 e X => lim g(x) = a ( k ẹ p )

X - + X 0

2") Nếu f(x) là đơn đi ệu không giảm (tăng) trong (a, b) (a, b 6 R ) và

bị chặn trên (dưới) trong khoảng đó thì lim f ( x) , ( lim f ( x ) ) tôn tại

lim f(x) = lim a ' = 0, (0 < a < 1)

a *3) T r ư ớ c h ế t , c h ứ n g m i n h lim — = +°°, (a > 1)-

c _ V1 + 2 s i nX - c o s x5) l ù n -— -

sin —2

♦_+đ + 1

72

+oc)

va lim cos — c o s — cos— i - limx x Sill X

= lim 2x + 1 _

1

1X

-l im—

%->0 2

f X X N _ ■) _ 1

"o '+ T h ư ơ n g c ủ a h a i V C B là m ộ t d ạ n g vô đ ị n h I — , k h ổ n g t h ể

3.4 Hàm liên tục đểu

H à m f ( x ) g ọ i l à l i ê n t ụ c d ề u t r o n g m i ề n X <=> Ve > 0 , BS > 0,

V x x ' 6 X : | x - x ' | < 8 => |f(x) - f(x')| < e

- N ế u f ( x ) l i ê n t ụ c t r o n g [ a , b] t hì f ( x ) l i ê n t ụ c đ ề u t r ê n [a,b] ( Đ ị n h lv C a n t o r )

: X e Q10) f ( x ) =

là c á c h à m s ơ c ấ p n ê n f ( x ) l i ê n t ụ c Vx 0

T ạ i X = 0 , lim f ( x ) = - lim — x = - 1

S - - 0 X - -Õ X

S1I1Xlim f ( x ) = lim

X - + - 0 \ - > - 0 X, — 1, vậ y X = 0 là d i ê m g i á n đ o ạ n l o ạ i

m ộ t c ù a h à m s ô v ớ i b ư ớ c n h ả y h = 1 - ( - 1 ) = 2

93

X é t lim f ( x ) = lim J l COS^— , d ạ t 2

98

Bây g i ờ x é t d ã y x , k, x 4 = C O S X 3 = c o s ( c o s l ) < 1

n g h ĩ a là: x 4 < X, và c ũ n g từ ( 1 ) , b à n g q uy n ạ p s u y ra x 2k l à dãy

đ ơ n đ i ộ u g i ả m

N h ư v ậ y d ã y x 2k_, ( x , k) đ ơ n đ i ệ u t ăn g ( g i ả m ) và b ị c h ậ n t r ê n ( d ư ớ i ) ( b ớ i 1 ( 0 ) ) , t h e o t i ê u c h u ẩ n ( W ) thì t ổ n tại c á c g i ớ i hạn:

a = l i m x , k ,, b = l i m x 2k

Do c o s x là h à m l i ê n t ụ c n é n t ừ c á c đ ả n g t h ứ c :

XT — COSX-)k.I , Xi| ^Ị — c o s xTí» s u y ra:

3) f ( x ) = Vx t r o n g [0, + x ]

102

106

Ax ã-.-/: e a

110

111

112

113

14

Til do:

1 - x - yy' = - x * y

4) X = rcoscp = a ( l + cos(p)coscp

y = rsincp = a( 1 + coscp)sincp

2n

0 < cp < —

■ _ y'(<p) _ a(l + cos (p)cos cp - a sin2 p

-127

134

5 2 ể C á c h à m s a u d â y k h ả vi b a o n h i ê u l ầ n t ạ i X = 0 ?

Í1 - c o s x : X < 01) f ( x ) =

( X■ - D u ' " * 2' + 2 ( n + l ) x u rn+" + (n + l ) n u ln)

= 2 n x u " ,+l 1 + 2 n ( n + 1 ) u " "

3c e (a, b) : f(b) - f(a) _ f ’(c)g(b) - g(a) g’(c)

( c , , c 2 e ( 1 , 3 ) )

b) f ( x ) k h ô n g t h o ả m ã n d i ề u k i ệ n k h ả vi t r o n g ( - 1 , 1), vì

t r o n g ( - 1 , 1)

2) R õ r à n g f ( x ) t h o ả m ã n c á c d i ề u k i ệ n c ủ a đ ị n h lý ( L ) t r on g[ 0 , 71]

3 c e ( a , + x ) : f ' ( c ) = 0

2) T h e o g i à t h i ế t t h ì f ( x ) t h o ả m ã n c á c d i ề u k i ệ n c ủ a đ ị n h lý ( R ) t r ê n m ỗ i d o ạ n [ x , ă, X,], i = 1 , 2 , 11 n ê n Bn đ i ể m c, (i = 1,

t r ê n [ e t , e 2] v à d o d ó f ln l ’( x ) c ó d ầ y đ ù c á c g i ả t h i ế t c ủ a đ ị n h lý ( R ) t r ê n đ o ạ n d ó , v ậ y 3 c e l e , , e 2] : f " " ( c ) = 0

Xấ£ đị nh Ả để cp(x0) = 0 , x ộ e (a, b) Ta có <p(a) = 0, cp(b) = 0, <p(x0) = 0

Hà m ọ t hoả mãn đị nh lý Rol le trong Ịa, x0|, và | x 0, b| => 3 c J : a < C! < x0,

3 c 2 : xQ< c 2 < b : q>’(c,)= 0, (p’(c2) = 0 Hàm (p’ thoà mãn định lý Rolle trong

L n( x ) = e -— — d é u d ư ơ n g

153

*-*0 X - sin X x- ° 1 - cosx *->0 cos x ( l - c o s x )

] X+ - ( X - — + 0 ( x 3) ) 3

X648

1 x~

X4 + (Xx4)

D o đ ó L = 1

166

3) f ' ( x ) < 0 ( > 0 ) , Vx 6 (6 - Xo, x 0)

f ' ( x ) > 0 ( < 0 ) , Vx 6 ( x 0, x 0 + ồ)

68

So s ánl i c á c g i á t rị c ủ a f ( x ) v ừ a t ì m đ ư ợ c t a c ó in ( M )

Đ ạ c b i ệ t : - N ế u f ( x ) d ơ n đ i ệ u k h ô n g g i ả m ( t à n g ) t r o u g [ a , b ] t h ì m = f ( a ) , M = f ( b ) ( M = f ( a ) , m = f ( b ) )

- N ế u f ( x ) c h ỉ c ó m ộ t c ự c d ạ i ( t i ể u ) t r o n g ì n i ể n X t h ì c ự c đ ại ( t i ể u ) đ ó l à M ( m ) c ủ a f ( x ) t r o n g X

3.3 Bể lối (lõm) diểm uốn

* 6) (xa + y a)ã > (xb + y b)b , X, y > 0 , - 0 < a < b

B à i g i ả i

1) N ế u f ( x ) d ơ n đ i ệ u t ã n g t r o n g X t h ì t h e o 3° ( 3 1 ) : f ' ( x ) > 0

t r o n g X, m â t k h á c n ế u f ' ( x ) = 0, Vx 6 [ a , P] c X t h ì t h e o 1° ( 3 1 ) : f ( x ) = c = c o n s t : Vx e [ a , [3] c X t r á i v ớ i g i ả t h i ế t : f ( x) là

X é t f ( X) = X - l n( 1 + X), X > 0

f ' ( x ) = 1 - — = 0 tại X = 0 và f ’( x) > 0 khi X > 0.

1 + X

V ậ y f ( x ) là đơn đ i ệ u t ăn g khi X > 0 n g h ĩ a là f ( 0 ) < f ( x )

khi X > 0 và ta s u y ra: l n ( l + x) < X khi X > 0.

t ( t 2 + 3)

y ' x = 0 k hi t = 1, y ' x = 00 khi t = 0 , v ậ y y = y ( x ) c ó h ai đ iể m bất th ư ờ n g x ( l ) = — , x ( 0 ) = 0 , x é t dấu c ủ a y ' x qua c á c đ iể m bất

c ó f min = f ( 0 ) n h ư n g t r o n g m ỗ i k h o ả n g (- ô, 0 ) , ( 0 , ô),

t rị hé II liât vMÌa f ( x ) t r o n g ( 0 , + x )

Nl nr v ậ y Vx > 0: f ( x ) > f( 1 ) = 0 v à t a c ó b ấ t đ ả n g t h ứ c p h ả i

cl nhi íi m i n h

189

T ừ b ả n g n à y t a c ó: Đ ồ t h ị c ủ a y là l õ m t r o n g ( -00, - 1 ) v à ( 1 , t-oo) v à l ồi t r o n g ( - 1 , 1) C á c đ i ể m : M, ( - 1 , 7 ) , M , ( 1 , - 1 0 ) l à các

M ạ t k h á c y ’" ( x ) = 3 s i n x x c o s x = 0 k h i X = 3 t g x =

-cotgx

y = -rx (x -> + 00)2

y = - —X ( x - > - 00)2

lim y(t) = +00i->+0

lim y(t) = y í ĩ

t—

»1-liin y(t) = V2t-*i+

X = R 1 + r

1 — 3 t ' Rt(Ị + r )

Đ ê t ì m t i ệ m c ậ n x i ê n , t a v i ế t :

y = ■ 1

-2, và á p d ụ n g k h a i t r i ể n 4 ° ( 2 2 ) c h o

v ” = - Ị ( x + 1 ) = 0 k h i X = - 12

T a t í n h : y ' = x —— = o t a i X = 0 v à X = 6

4(x - 2)

y' = oo k h i X = 2, d ấ u c ủ a y' là d ấ u c ù a t í c h (X - 2 ) ( x - 6 ) > 0 ( < 0 ) k h i X < 2 , X > 6 , (2 < X < 6)

y" = — — — = 0 kill X = 0 , y " = GO khi X = 2

( x - 2 ) 4

211

§4 KHẢO SÁT HÀM số CHO THEO THAM số VÀ TRONG TOẠ ĐỘ ĐỘC cực

4.1 Hàm số cho theo tham số

Đ u ờ n g c o n g c á t c á c t r ụ c t o ạ đ ộ t ạ i

( 0 , 0 ) k h i t = 0 (± 2 ^ 3 - 3 , 0) k h i t = ± > / 3 ( 0 , - 2 ) k h i t = 2

1 + t 3

225

T h a y cp bởi - ọ t h ì r k h ô n g đ ổ i V ậ y d ư ờ n g c o n g d ổi x ứ n g

q u a O x , n ê n ta x é t 0 < cp < 7t:

233

- a sin 2cp 71 sr,p = —7 = = = = < 0 t r o n g ( 0 ,

236