Bài tập giải sẵn giải tích i (in lần thứ tư) phần 2

I>: ft: r = - - l ã T<1 r*mạ crtuft cratta r o a fcj d ặ c w«c - 1-1

Y4 Y3

= — + — + x 2 + 2 x + 3 ln|x - l| + c

9) Je'''*2+Î’xdx = î-Je",xS+"d(-(x2 +1))= îc"'x5+â' +c

10) j(co sa x + sin ax): dx = J(co s: ax + siirax + 2sinaxcosax)dx

f dx - 1 c o s x n - 2 r dx

0 f m : n , cos"1' 1 X sin"+1 X ITl-1 r _ m _-> n .

ea

- dx , b à i n à y k h ô n g c ầ n p h â n t í c h p h â n sổ(x - 3x + 2 )

ĩ = í -dx + —I* x +-ĩ - dx = —lnịx + lỊ + 1,

J 3(x + 1) 3 J X - X +1 3 1 1 1

I f 2x ~ 1 ~ 3

2 i X 2 - x + l ''■ ■ 4 1 -3 J X

= _ i r 2x + ^ - _ d x + l f— - — 2

4 y f ĩ * X2 + \ y f ĩ + l 4 J /

d(x + ệ )

X + 2

1+ - 2

T ừ d ó : A + B = 0

- 2 B + C = 0 2A + B - 2 C + D = 2

* + —

2 ;

3 + —4

x 4dx( x1 0- 1 0 ) 2

x2 - 1

x2 + 1

( T h e o 5) b ä i 6)

arctgx2 + C (x * ± 1)4

a , b / 0 , in, n, p e Q ( h ữ u t ỉ)

I o N ế u p e z ( n g u y ê n ) , d ạ t X = t 1 , s l à m ẫ u sô' c h u n g c ủ a m ,n

3.4 Dạng

I = j R ( s i n x , c o s x ) d x ( 1 )R: là h à m h ữ u tỉ c á c d ố i sô

a =13

- 513

h = —

9 1 sint 3 r dt 16' 5 - 1 c os4 t 4 J cos3 1

In g ọ i là t ổ n g t í c h phân thứ II c ủ a f ( x ) trên [a, b]

f ( x ) c ó tí ch phân trên [a, b] a ọ i là khả t í ch trên d ó

1.2 Điều kiện khả tích (R) (RIEMANN)

Đ i ề u k iệ n c ẩ n v à dù đ ể hàm bị c hạ n f ( x ) khả tí ch trên doạn [a , b ] là:

l i m (s-s) =0

ax ì \ , - » 0

đ o ạ n trên [a, b] đ ề u khả t í c h trên đ oạn dó.

3° Mọ i h à m f ( x ) đơn đ i ệ u và bị c h ạ n trên [a, b] đ ều khả t í ch

1.4 Tính chất

G i ả thi ết f ( x ) , g ( x ) khả t í ch trên l a, bj

I o j [ a f ( x ) ± ß ü ( x ) ] d x = c x j f ( x ) d x ± ß j s ( x ) d x , a , ß = c o n s t

V ậ y t he o hệ quà 1° ( 1 2 ) f ( x ) khả t í ch trên [a, b] D o đó ta

c h ỉ c ần c h ọ n một c á c h c h i a dạc b iệ t đ o ạ n [a, b] đê tí nh I (vì t h eo

đ ị n h ng hĩ a: khi f ( x ) đã khả t í c h thì với m ọ i c á c h c h i a ta đều c ó

o Tương tự như 1) hàm f ( x ) = a* khả t í ch trên [0, 1], do đó

c h ọ n mộ t c á c h c h i a dạc biệt: c hi a [0, 1] ra 11 phần b àng nhau bởi

( cấp s ố nhân s ố dầu a = 1, c ô n s b ội q = a 11 )

D o dó:

I = lililí = 2 s i n —c o s — = sinx

* 9 5 C h ứ n g m i n h ràng nêu f ( x ) , s ( x ) khả tí ch trên [a, b] thì

c á c hàm sau c ũ n s khả tí ch trêu [a, b]:

1) , sup f(x), inf f ( x ) * 0 và c ù n g đấu

T h e o g i ả th i ết f ( x ) khả t í ch nên t ổ n g ở v ế phải dần tới 0 khi

m a x Ax, -> 0 V â y lim ( s - s ) = 0: c h ứ n g tỏ —ỉ— khả tí ch trên

n g h ĩ a là g ( x ) = i/f(x) khả tí ch trên [a, b]

Lại t h e o 2° ở ( 1 4 ) : f ( x ) khả t í ch trên [a, ß] thì f ( x ) khả tích trên [a, a ] và [ a , ß ] V ậ y f ( x ) khả t í c h trên [a, b] thì f ( x) khả

Lý l uận tương tự, c ó [ a , , b 2] c [ a ,, b ,] và 0 < f ( x ) <

| a k, h j c [ak | , b k ,] và 0 < f ( x ) < e k Ta thấy dãy đ oạ n { [ a k, b j }

là một đ oạ n thát, nên 3 C e [ a k, b j , k = 1 , 2 , khi đó 0 < f ( c ) <

Bk , k = 1, 2, .

C h o £ k —> 0 thì 0 < f ( c ) < 0, đ iề u vô lý n à y , c h ứ n g tỏ mệ n h

để 3) là đ ún g.

4 ) G ọ i c á c t ổn g D a r b o u x c ủ a f ( x ) là s, s và củ a |f(x)|là S ’ , s ’ , thì t h e o bất đ ảng thức:

1 „ n 1) lũn [ - dx = 0

„-»+■» ị 1 + X

Tl 2) lim fsi nn x d x = 0

lim sin" E(-^ O), 0 < ' <

N ế u c á c h àm u ( x ) , v ( x ) khả vi l i ê n tục ( c ó dạo hàm l i ên tục) trên [a, b] thì:

c ó thể dật t = t ( x ) , nhưn g phải th oả m ã n đ i ề u kiện: t = t(x)

l i ê n t ụ c , đơn đ i ệ u tăng ( g i ả m ) và c ó t’( x ) * 0 , l i ê n tục trong [ a, b], f ( x ) d x = g ( t ) d t thì:

n ->+ r J

0

arctg-1 + c o s a sin a - + arctg-

1 - c o s a ' sin a

1 0 4 D ù n g p hương pháp tí ch phân từng phần, t í nh c á c tí ch phân:

4 ) j V V xdx 0

"1

hay L n = fe os““1 Xsi nnxs i nxdx, c ộ n g v ào 2 v ế L n ta có:

0 n

2 L n = Jcos n i x(si nnxsi nx + cosnxcosx)dx 0

B ( m , n) =

m

1 _ 1 + — - f x ,n( i - x r 2dx

1 0 7 C h ứ n g m i n h c á c c ô n g thức:

1) Jf(x)đx = ( b - a ) j f [ a + ( b -a ) x ] dx với f ( x ) l i ên tục trên [a, b].

I = J (71 — t)f[sin(n - t)](-dt) = 1 7tf(sin t)dt - j tf(sin t)dt = 71 j f(sin x )d x

3.2 Tính độ dài đưòng cong

Độ dài s cùa cung đường cong AB: y = y(x), y ’(x) liên tục, a < X < b:

s = .í ylỉ + y ' ìdx ( 1)

;|

- N ế u AB c ó phương trình tham sô' X = x ( t ) , y = y( t ), ứng v ớ i a < X < b thì:

sin (p + cos <p

d ư ờ n s COIIS k hé p kín khi 0 < ọ <

Do dó :

l l l ề T ính d ộ dài s c ủa c á c c u n g d ườ n g c o n g :

— + —

( d v d ) ( T h e o 25 ° ở 1 4 C 4 )

4) T h e o 6 ) b à i 7 5 , d ườ n g c o n g gồ i n 2 n há n h đ ố i x ứn g nhau qua O x ( H 6 3 ) , d o đó:

TÍCỈ1 phân ( 1 ) g ọ i là mộ t t í ch phân e l l i p t e q u e l o ạ i 2 chì có thể tí nh g ầ n d ú n g

12) K h i 0 < (p < 3 tc , đ i ể m (cp, r) vẽ toàn bộ dườn g cong ( H 6 7 )

V ậ y :

= — abc ( dv tt ) 3

í h 3 ì

z + — -k ‘1 = 7 i a b h + — —

( d v t t )

H ìn h 7 0

4) H ì n h g i ớ i bạn bởi mạt trụ X 3 + y 2 = R 2, đ ườ n g s i n h s o n g

s o n g với O z và mật trụ X 2 + z 2 = R 2 d ư ờn g s i n h s o n g s o n g với

O y ( H 7 1 )

1 1 3 Tí nh thể tích hình tròn x o a y tạo bời c á c dương:

1) y = ax - X2 (a > 0 ) , y = 0 q uay quanh: a) Ox; b ) Oy.

y = Y + 2a, khi d ó p hư ơ ng trình của c y c l o i d e là:

V = — p 2 1 n ( l + V 2 ) - - j (dvtt).

1 1 4 T í nh d i ệ n t í ch ơ c ủ a mặt tròn x o a y t ạ o nên do các đườn g sau:

là p hư ơn g trình c ù a đườn g c o n g d ố i với hệ l o ạ d ộ mới XOY

D o dối x ứ n g , d i ệ n t í c h cần tì m b à ng hai lần t ổ n g d i ệ n tích các mạt được tạo n ên khi q ua y c á c c u n g A B , và C D quanh O x ( H 7 9 )

a2 Va2 - b 2 cost 4- —-arcsiii - —

arcsin-Va2 - b 2 ( T h e o 2 0° , ( 1 4 ) c h ư ơn g 4)

tích c ù a c á c nửa trên và dưới của

dường tròn q ua y q u a n h O x l ạo n ên ,

= 47ta" Ịsincpdcp = 47ia2coscp|* = 2na2 (2 - yíĩ) (đv'dt)

1 1 5 1) T í nh c ô n g dể n â n g m ộ i vật c ó k hô i l ư ợ n g m từ mật quả dất c ó bán kính R l ên d ộ c a o h.

2) Tí nh áp lưc c ủ a nước l ên mộ t thành dập i hả n g dứng có dạng h ì nh t h a n g , b iế t đáy trên c ủ a dập là a = 7 0 m, dá y dưới là

b = 5 0 m và c h i ề u c a o là h = 2 0 m.

3) T í nh k hố i l ượng c ủ a một hình cầu bán kính R Biết khỏi

l ượng r i ê n g tại mỗ i d i ê m c ủ a hình cầu tỳ lệ với k h o ả n g c á c h của

M là khôi l ượng quà dất ( H 8 1 )

(dấu - do h ướ n g c ủ a lực n s ư ợ c với hướng cũ a trục O x )

y là Irọng lượng riêng c ủ a nước, Y = 1.

X + bx dx

a - bỊ h x : X , \

]|

b x ’ -

0

l r (a + 2b)

T h e o g i ả thiết: p = 1 1 , 3 1 0 ’ ( t ấ n / i r r )

3) X é t hình vành cầu hán kính r và r + dr ( 118 3 ) , thô’ t í ch hình vành cầu n àv là:

3

( b ỏ qua c á c VCi ỉ bậc c a o hơn dr và khối lượníỉ c ù a I1Ó là:

c ù a

jf(x)dx = }f(x)dx + j f ( x ) d x , f ( x) k hông bị c h ặ n tại c 6 (a, b).

f - ( 2 ) hội tụ (phân kỳ) khi 0 < a < 1 ( a > 1).

( b - x ) a

b

thì t í ch phân Jf(x)clx hội tụ

a

Trong c á c bài tập, đê dơn g i ả n c á c h v i ế t ta xét n g a y tại c á c

đ iể m bất t h ư ờ n s d ó rồi kết hợp l ại.

Tl i eo 5 ) bäi 14:

Inx dx

Chú ý là I k hô n g h ội tụ t uyệt dối vì c ó thể c h ứ n g mi n h

I €, I, đ ều c ó đ i ể m bất t hường tại X = 1.

Xé t I,: lim ( X -1V = lim — = lim

X = 1 > 0

x - > l - 0 lux .*-*1-0 1 x - » I - 0

X

T h e o b) 2° ( 4 3 ) thì I, là phân kỳ.

Vì một Irong l ị , I , phân kỳ n ên I phân kỳ.

Vì một trong l ị , I, phân kỳ n ên I phân kỳ.

tốn tai si nx liên tuc

- c o s t too 11 too fCostdt .

— 1 1 + Ỉ 2 (a > 0)

3

2

§2 KHÁI NIỆM Cơ BÀN - ĐẠO HÀM VÀ VI PHÂN CỦA HÀM NHlỂU BIẾN

Xét hàm hai b i ế n , c á c khái n i ệ m d ều s uy l ộ n g được c h o hàm

Ký h i ệ u z = f ( x , y) hay z = f ( M ) v ó i M ( x , y ) G D , f ( M) cũng

gọ i là g i á trị c ủ a f tại M.

D g ọ i là m i ề n x á c d ịn h củ a hàm s ô

Tập hợp { f ( M) Ị , VM 6 DỊ g ọ i là m i ề n gi á trị c ùa hàm số Tập hợp { ( x , y, z): z = f ( M ) , VM e D c R ' | gọi là dồ thị cùa

- g ọ i là liên t ụ c trong m i ề n D n ếu 11Ó l i ê n tục V M ( x , y) e D.

- g ọ i là liên t ụ c d ể u t rone m i ề n D nếu: Ve > 0 , 3 5 > 0, VM,

4° f ( x , y ) là l i ê n tục đểu trong D.

2.3 Đ ạo hàm riêng

Đ ạ o hàm r i ê n g củ a 7 = f ( x , y ) dối với X tại ( x , y) e D:

z; = ^ - = f \ ( x , y ) = lim

f(x + A x , y ) - f ( x , y )

Ax f(x,y + A y ) - f ( x , y )

Ay

2.4 Sự khả vi, vi phân toàn phần

z = f ( x , y) gọi ỉà khả vi tại ( x , y) e D nếu:

Az = f(x + Ax, y + Ay) - f(x,y) = a_\x + bAy +0(p), a,b = const

0 ( p ) là một VCB„bậc c a o hơn p = Ax2 + Ay2

dz = aAx + bAy g ọ i là vi phân củ a hàm sô' tại ( x , y).

Định lý

1° N ế u z = f ( x , y ) khả vi tại ( x , y) e D thì 11Ó l i ê n tục và c ó

cá c đạo hàm r i ên g tại ( x , y ) , khi dó: dz = fx(x,y)dx + fy(x,y)dy

2° Nế u z = f ( x , y ) c ó c á c đ ạo hàm r i ên g f ’(x, y), fý(x, y) l i ê n tục tại ( x , y) e D thì n ó khả vi tại đó.

Đ ặ c b i ệ t u = u ( X), V = v ( X ), X e X:

dz _ ỞL du ỞL dv

2.6 Đ ạo hàm cùa hàm ổn

Hà m y = y ( x ) c h o bởi p hư ơn g trình F ( x , y ) = 0 ( 1 ) g ọ i là hàm

ẩn c ủ a b i ế n X trên tập hợp E, n ếu Vx e E, p hươ ng trình ( 1 ) có

5) Hàm z x á c đ ịn h V ( x , y ) e R 2.

6) Hàm z x á c đ ị nh khi s i n ( x : + y ’ ) > 0, h ay 2k7i < X2 + y2 < (2k + 1 )7t (1)

N g h ĩ a là m i ề n x á c đ ị nh củ a z là tập hợp c á c h ì n h v àn h tròn xác dịnh bởi ( 1 ) ( H 8 8).

7) u = a r c s i n x + a r c s i n y + a r c s i n z

u x á c đ ị n h k h i - 1< X < 1 , - 1 < y < 1 , - 1 < z < 1 ( 1)

X

n n'ì1 1- 11 ~

1 n2 1

khi x - > + 00 , y - > + 00

X —> + • »

V—>+■»

(vì f, f ’ , f ’ là c á c h à m s ư c ấ p V ( x , y) * ( 0, ()))

T h ực vây: lấy x„ = ,— , y„ = — J = t h ì x n, y„ - > 0 (11 0 0)

d i _ - 1- (Ty _ - F ’ dx

d K ~ f; & “ f; cy ■ f ;

N h â n c á c d à n a t h ứ c n à v vê với vê ta cỏ:

130 Bi ến dổi c á c p h ư ơ n g t r ì n h s a u b à n g c á c h d ổ i b i ế n số:1) (X + l )2y¡1 - 2 ( x + l ) y ' + 2 y = 0 , d ậ t X + 1 = e'

1 d 2y cost dy sin2 1 d t2 si n3 1 dt

<?2U 2 cu sin: cp „ du cosmsincp s in2 CD

f ( M ) = f ( M 0) + d f ( M 0) + - I d - f ( M 0) + +

+ — d " ' f ( M 0) + -! -d",+ l f ( M ) ( T ’ )

T r o n g c ô n g t h ứ c ( T ) , ( T ’ ) n ế u t h a y x0 = o, y0 = o ( x° = x° = x ° = = x° = 0 ) t a c ó c ô n g t h ứ c M a c Ị a u r i n c ủ a h à m h a i (n

Mo(x0, y 0), c ó f \ ( x 0, y 0) = f j ( x 0, y 0) = 0 , f ”, (x, y), Ç ( x , y), f": ( x , y )

l i ẽn t ụ c t r o n g s v à đ : f ( x 0, y 0) ± 0 t hì f max( f min) = f ( x 0, y 0) khi

d2f ( x 0, y 0) < 0 ( > 0) t r o n g s

với M c( x° + 0 d x | , x ° + Gdx;,, x° + Odxn), 0 < 0 < I

I ) V Ì f ( x , y) là m ộ t d a t h ứ c b ậ c h a i c ù a ( x , y ) n ê n c á c dạo lìàiri c ấ p b a c ù a f ( x , y) d ề u b à n g k h ô n g D o d ó c ó n g t h ứ c T a y l o r

Az(x, 0) = (x 4- À x )3A y2 [ 6 - (x + Ax) - Ay]

và với 0 < X < 6, h à m z đạt c ự c t i ểu: z min = z ( x , 0) = 0 tại ( 0 , 0)

và tại (6, 0) hàm z k h ô n g dạt cực trị vì À z ( x , 0) thay đổi dấu qua các di ê m dó.

3) z = xy - X 2 - y : , đ ạ t -y/l- x : - y : = u

3V3

G i ả i liệ n à y t a c ó c á c đ i ể m d ừ n g :

Từ p h ư ơ n g t r ì n h d ã c h o t a c ó:

z = 3 ± - y / 2 5 - ( x - l ) : + ( y + 2):

M i ề n x á c d Ị11 li D c ũ a z l à h ì n h t r ò n :

D o dó: z , , = Z(M ) = 1

= Z ( M ; ) = - 2

L ậ p h à m L a g r a n g e c ủ a b à i t o á n :

<I> = x y + 2x - x ' + Á( 2 - \ 2 - y - )

D o d ó h ệ s a u đ ã v s ẽ x á c d í n h đ i ể m d i m s c ũ a u:

d : ( M, ) = ( l - 2 ) d x d y + ( 2 - 2 ) d y d z + ( 2 - 2 ) d z d x hay d : ( M , ) = - d x d y

T ừ c á c p h ư ơ n g t r ì n h l i ê n h ệ t a c ó :

d x + d y + d z = 0.(y + z ) d x + (z + x ) d y + ( X + y ) d z = 0

T ạ i M, t a c ó :

ídx + đy + dz = 0 [3dx + 3dy + 4dz = 0

B ây g i ờ t í n h g i á t rị c ủ a h à m z tại c á c d i ể m d ừ n g : T r ê n doạn

Đ ạ t p - X = X, p - y = Y, p - z = Z t h ì b à i t o á n l ạ i d ư a v ề v i ệ c

t ì m c ực d ại c ủ a h à m u = X Y Z v ớ i đ i ề u k i ệ n X + Y + z = p ( 2 ’ ) (X, Ỹĩ z > 0) ệ

R ô r à n g c ự c d ạ i c ủ a u v à V = lnu l à n h ư n h a u , n ê n t a s ẽ t ì m cực dại c ủ a h à m V = I n u = l n X + I n Y + l n Z ( 1 ’ ) v ó i đ i ề u k i ệ n (2’)

T + f r + 7 T- 1

H à m L a g r a n g e c ủ a b à i t o á n à;

o = X2 + y 2 + K( 9 - 5 x2 - 8x y - 5 y 2)

Ta t ì m đ i ể m d ừ n g c ủ a z t ừ hệ:

<DX = 2x -1 0?vX-8A.y = 0

• O y = 2y - 10?wy - 8Ằ.X = 0 5x2 +8xy + 5 y2 = 9

V ậ y c á c b á n t r ụ c c ủ a e l l i p s e đ ã c h o là:

a = y¡9 = 3, b = V ĩ = 1.