Về công thức nghiệm và tính ổn định tiệm cận đều của hệ tuyến tính phân thứ khalil có trễ

19Chương 3 Tính ổn định tiệm cận đều của hệ phương trình viphân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ 203.1.. Kaewbanjak cùng các cộng sự [4] giới thiệu định lýRazumikhin cho hệ phương trình

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Tập thể hướng dẫn khoa học: TS Mai Viết Thuận

TS Nguyễn Thị Thanh Huyền

THÁI NGUYÊN - 2022

Mục lục

1.1 Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân thứ Khalil 61.2 Nghiệm của phương trình vi phân phân thứ Khalil tuyến tính

hệ số hằng 101.3 Một số bổ đề bổ trợ 14Chương 2 Công thức biểu diễn nghiệm của hệ phương trình viphân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ 152.1 Công thức biểu diễn nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyếntính phân thứ Khalil có trễ 152.2 Một ví dụ minh họa 19Chương 3 Tính ổn định tiệm cận đều của hệ phương trình viphân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ 203.1 Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứKhalil có trễ 203.2 Tính ổn định tiệm cận đều của hệ tuyến tính phân thứ Khalil

có trễ và có nhiễu cấu trúc 23

LỜI NÓI ĐẦU

Đạo hàm phân thứ Khalil được đưa ra và nghiên cứu đầu tiên bởi R Khalilcùng các cộng sự vào năm 2014 [5] Khác với đạo hàm phân thứ Caputo, đạohàm phân thứ Riemann-Liouville, đạo hàm phân thứ Khalil có nhiều tính chấtgiống với đạo hàm theo nghĩa thông thường [1, 5] Ngoài ra, người ta chỉ rarằng, đạo hàm phân thứ Khalil phù hợp để mô tả một số mô hình trong vật

lý [2] Do đó hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil đã nhận được sự quantâm nghiên cứu của nhiều nhà khoa học [1, 4, 6, 7, 8, 10, 11, 12]

Độ trễ thời gian thường xuyên xuất hiện trong các hệ động lực Nó là nguyênnhân trực tiếp dẫn tới giảm hiệu xuất của hệ thống, thậm chí còn mất đi tính

ổn định của hệ động lực Vì vậy việc nghiên cứu hệ phương trình vi phânphân thứ Khalil có trễ là cần thiết và có ý nghĩa Trong [12] các tác giả đưa

ra công thức nghiệm cho hệ tuyến tính phân thứ thuần nhất và không thuầnnhất thông qua hàm ma trận mũ có trễ đối với đạo hàm phân thứ Khalil Sau

đó kết quả của của G Xiao và J Wang được mở rộng sang hệ phương trình

vi phân phân thứ Khalil có trễ và nhiễu phi tuyến bởi N.I Mahmudov và M.Aydın [8] Gần đây, N Kaewbanjak cùng các cộng sự [4] giới thiệu định lýRazumikhin cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil và áp dụng định lýnày để đưa ra một điều kiện đủ cho tính ổn định đều của hệ tuyến tính phânthứ Khalil có trễ

Trong luận văn này, trước hết chúng tôi trình bày kết quả của G Xiao và J

Wang [12] về công thức biểu diễn nghiệm của hệ phương trình vi phân tuyếntính Khalil Sau đó, chúng tôi trình bày một số tiêu chuẩn cho tính ổn địnhđều của lớp hệ này Luận văn gồm có 3 chương với các nội dung chính như sau.Trong chương 1, chúng tôi trình bày một số khái niệm về đạo hàm và tíchphân phân thứ Khalil Một số bổ đề bổ trợ được chúng tôi trình bày ở cuốichương Nội dung chính của chương này được viết dựa trên các tài liệu [1, 5, 11].Trong chương 2 của luận văn, chúng tôi trình bày công thức biểu diễnnghiệm của hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil Nội dungchính của chương này được viết dựa trên các tài liệu [8, 12].

Chương 3 là kết quả nghiên cứu của luận văn Trước hết, chúng tôi trìnhbày định lý Razumikhin cho hệ phân thứ Khalil có trễ được đưa ra bởi cáctác giả trong tài liệu [4] Sau đó, chúng tôi áp dụng định lý này để đưa ra mộttiêu chuẩn mới cho tính ổn định tiệm cận đều cho lớp hệ tuyến tính phân thứKhalil có trễ hằng số và có nhiễu dạng cấu trúc Cuối cùng một ví dụ số đượcđưa ra để minh họa cho kết quả lý thuyết

Luận văn này được thực hiện tại trường Đại học Khoa học - Đại học TháiNguyên và hoàn thành dưới sự hướng dẫn của TS Mai Viết Thuận và TS.Nguyễn Thị Thanh Huyền Tôi xin được bày tỏ lòng biết ơn chân thành vàsâu sắc tới tập thể hướng dẫn khoa học của mình Những người đã đặt vấn đềnghiên cứu, dành nhiều thời gian hướng dẫn, tận tình dìu dắt và chỉ bảo tôitrong suốt quá trình thực hiện đề tài luận văn này

Tôi xin trân trọng cảm ơn Ban giám hiệu trường Đại học Khoa học - Đạihọc Thái Nguyên, Ban chủ nhiệm khoa Toán - Tin cùng các giảng viên đãtham gia giảng dạy, đã tạo mọi điều kiện tốt nhất để tôi học tập và nghiêncứu

Đồng thời tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình thân yêu, cảm ơn những người

bạn thân thiết đã chăm sóc động viên khích lệ tôi trong suốt quá trình nghiêncứu Sau cùng tôi xin kính chúc toàn thể quý thầy cô trường Đại học Khoahọc - Đại học Thái Nguyên thật dồi dào sức khỏe, niềm tin để tiếp tục thựchiện sứ mệnh cao đẹp của mình là truyền đạt tri thức cho thế hệ mai sau Xinchân thành cảm ơn.

C([a, b], Rn) không gian các hàm liên tục trên[a, b] nhận giá trị trong Rn

Tα toán tử đạo hàm phân thứ Khalil cấpα

Iαa toán tử tích phân phân thứ Khalil cấpα

Chương 1

Một số kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày một số kiến thức cơ bản vềđạo hàm phân thứ phù hợp, tích phân phân thứ phù hợp Tiếp theo chúng tôitrình bày công thức nghiệm của bài toán Cauchy cho hệ phương trình vi phânphân thứ tuyến tính thuần nhất và không thuần nhất Cuối chương, chúngtôi trình bày tính ổn định của hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil bằngphương pháp hàm Lyapunov Nội dung được trình bày trong chương này đượctham khảo trong các tài liệu [1, 5, 9, 11]

1.1 Một số kiến thức cơ bản về tích phân và đạo hàm phân

cấp α được định nghĩa như sau:

(i) Tα(af + bg) = aTα(f ) + bTα(g), ∀a, b ∈ R,

Chứng minh Ta thấy tính chất (i) có thể suy ra dễ dàng từ định nghĩa củađạo hàm phân thứ Khalil Ta đi chứng minh các tính chất còn lại Trước hết,

ta đi chứng minh (ii) Cố định t > 0, ta có



= −Tα(g)g21(t).Thật vậy, theo định nghĩa của đạo hàm phân thứ Khalil, ta có

ǫ

= lim

ǫ→0

g(t) − g(t + ǫt1−α)ǫg(t)g(t + ǫt1−α)

= − lim

ǫ→0

g(t + ǫt1−α) − g(t)ǫg(t)g(t + ǫt1−α)



= Tα



f.1g



= f (t)Tα 1

g

+ 1g(t)Tα(f )

= −f(t)Tα(g)

g2(t) +

1g(t)Tα(f )

= −f(t)Tα(g) + g(t)Tα(f )

g2(t) .

Cuối cùng, ta đi chứng minh tính chất cuối cùng Đặt h = ǫt1−α Suy ra

Định nghĩa 1.2 [5] Cho hàm f : [a, +∞) −→ R Đạo hàm phân thứ Khalilcấp α được định nghĩa như sau:

(Tαaf)(t) = lim

ǫ→0

f(t + ǫ(t − a)1−α) − f(t)

ǫ ,∀t > 0, α ∈ (0, 1]

Để đơn giản, khi a = 0, ta viết (Tαf)(t) thay vì (Tα0f)(t) Ngoài ra, nếu f

là α−khả vi trong khoảng (a, b) thì ta định nghĩa (Ta

αf) (a) = lim

αf) (t).Chú ý rằng nếu f là hàm khả vi theo nghĩa thông thường thì ta có (Ta

αf) (t) =(t − a)1−α dfdt(t) Các tính chất trong Định lý 1.2 cũng đúng với các hàm f trongĐịnh nghĩa 1.2 bằng cách thay (t − a) bởi t

Định nghĩa 1.3 Cho hàm f : [a, +∞) −→ R Khi đó tích phân phân thứKhalil của hàm f xác định bởi

Iαa(f )(t) = I1a(tα−1f) =

Z t a

f(s)

s1−αds, a ≥ 0, α ∈ (0, 1),trong đó tích phân được hiểu theo nghĩa thông thường

Để đơn giản, khi a = 0, ta viết Iα(f )(t) thay vì Iα0(f )(t) Khi đó Iα(f )(t) =

hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil

Định lý 1.3 [5] TαIαa(f )(t) = f (t) − f(a), với t ≥ a, ở đó f là hàm liên tụcbất kỳ trong miền lấy tích phân

1.2 Nghiệm của phương trình vi phân phân thứ Khalil tuyến

tính hệ số hằng

Nội dung trình bày trong mục này được chúng tôi tham khảo trong [9]

Cho A là một ma trận vuông cấp n Ta xét ma trận mũ sau đây với mọi

t≥ t0

eA(t−t0)

α α

Ta biết rằng chuỗi (1.1) hội tụ khi chuỗi số dương P∞

k=0kAkk(t−t0 ) kα

α k k! hội tụ Vớimọi t ≥ t0, ta có

Tt0

α x
(t) = Ax(t), t ≥ t0, α∈ (0, 1], (1.2)trong đó A là ma trận vuông cấp n x : [t0,∞) −→ Rn là nghiệm của hệ (1.2)nếu x(.) là hàm α−khả vi và thỏa mãn phương trình (1.2) Định lý dưới đâycho ta công thức nghiệm tổng quát của hệ (1.2)

Định lý 1.4 Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil tuyến tính hệ sốhằng (1.2) Nghiệm tổng quát của hệ cho bởi



= Tt0 α

Vậy eA(t−t0)α α là một nghiệm của hệ phương trình thuần nhất (1.2) Với t = t0

ta có eA(t−t0)α α = I Vậy nghiệm tổng quát của hệ là

x(t) = eA(t−t0)

α

α c,

trong đó c ∈ Rn là một véc tơ hằng số.

Từ định lý trên ta suy ra hệ quả quan trọng sau đây

Hệ quả 1.1 Xét bài toán Cauchy

Tt0

α x
(t) = Ax(t) + f(t), t ≥ t0, α ∈ (0, 1], (1.5)trong đó x, f : [t0,∞) −→ Rn là hàm véc tơ, A là ma trận vuông cấp n.Nghiệm tổng quát của hệ (1.5) xác định bởi xg(t) = xh(t) + xp(t), trong đó

xh(t) là nghiệm của hệ phương trình thuần nhất tương ứng và xp(t) là mộtnghiệm riêng của hệ (1.5)

Dùng phương pháp biến thiên hằng số, ta có thể tìm được một nghiệm riêngcủa hệ (1.5) như sau

Định lý 1.5 Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil khôngthuần nhất (1.5) Giả sử f(.) là một hàm liên tục trên [t0,∞) Khi đó nghiệmriêng của hệ cho bởi

xp(t) = eA(t−t0)

α α

v(t) + eA(t−t0)

Từ định lý 1.5, ta dễ dàng thu được kết quả sau

Định lý 1.6 Xét bài toán Cauchy

(1.8)

trong đó α ∈ (0, 1], A là ma trận vuông cấp n, x(t) ∈ Rn, x0 ∈ Rn là điều kiệnban đầu, x, f : [t0,∞) −→ Rn là các hàm véc tơ Giả sử f (.) là một hàm liêntục trên [t0,∞) Khi đó nghiệm của bài toán Cauchy (1.8) cho bởi

x(t) = eA(t−t0)

α

α x0+ eA(t−t0)

α α

Z t t

e−A(s−t0)

α

α f(s)(s − t0)α−1ds, t ≥ t0

có bất đẳng thức sau đúng

Tt0

α yT(t)Qy(t) = 2yT(t)QTt0

α y(t), ∀t ≥ t0

Chương 2

Công thức biểu diễn nghiệm của

hệ phương trình vi phân tuyến

tính phân thứ Khalil có trễ

Trong chương này, chúng tôi trình bày công thức biểu diễn nghiệm cho hệphương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ hằng số thông quahàm ma trận mũ phân thứ Khalil có trễ Nội dung trình bày trong chương nàyđược chúng tôi tham khảo trong [12]

2.1 Công thức biểu diễn nghiệm của hệ phương trình vi phân

tuyến tính phân thứ Khalil có trễ

Xét hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ sau đây

Định nghĩa 2.1 Hàm ma trận mũ phân thứ Khalil có trễ eAt

τ,α của ma trậnvuông A được định nghĩa như sau

Tα0x(t) = Bx(t − τ) (2.3)với điều kiện ban đầu x(t) = I, −τ ≤ t < 0

Chứng minh Trước hết, ta chứng tỏ X(t) = eBt

τ,α là nghiệm của hệ (2.3) Thậtvậy, từ Định nghĩa 2.1 và các tính chất của đạo hàm phân thứ Khalil, ta có

"

B212!

Tiếp theo, ta xây dựng ma trận nghiệm cơ bản cho hệ (2.1).

Định lý 2.1 Giả sử AB = BA Khi đó

i

= eB1 t τ,αTα0eAtαα + eAtααTα0eB1 t

τ,α

= AheAtααeB1 t

τ,α

i+ eAtααB1eB1 t

τ,α

= AX (t) + BX (t − τ)

Định lý được chứng minh hoàn toàn

Định lý dưới đây cho ta công thức nghiệm của bài toán Cauchy (2.1).Định lý 2.2 Xét hệ (2.1) Giả sử AB = BA Khi đó nghiệm của bài toánCauchy (2.1) cho bởi

X(t) = X (t)eAτ αα ϕ(−τ) +

Z 0

−τ X (t − τ − s)eAτ αα T0

αϕ(s) − Aϕ(s) sα−1ds,trong đó X (t) xác định bởi công thức (2.4)

Chứng minh Sử dụng phương pháp biến thiên hằng số, với điều kiện ban đầu

X(t) = ϕ(t), −τ ≤ t ≤ 0, nghiệm của hệ (2.1) cho bởi

X(t) = X (t)M +

Z 0

−τ X (t − τ − s)y(s)ds, t ≥ −τ,trong đó M là một véc tơ hằng số và y(t) là một hàm véc tơ khả vi liên tục sẽđược xác định sau Chú ý rằng

α

α eB1 (t) τ,α ϕ(−τ) +

Z 0

−τ X (t − τ − s)y(s)ds, −τ ≤ t ≤ 0.Với −τ ≤ t ≤ 0, ta có eB 1 (t)

= Aϕ(t) + t1−αe−Aτ αα y(t).

,

k− 1 ≤ t < k, k = 1, 2, , T

Chương 3

Tính ổn định tiệm cận đều của hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ

Trong chương này, trước hết chúng tôi trình bày một phiên bản của định

lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễtrên cơ sở tham khảo tài liệu [4] Sau đó, chúng tôi áp dụng định lý này để đưa

ra một số điều kiện đủ cho tính ổn định tiệm cận đều của hệ tuyến tính phânthứ phân thứ Khalil có trễ Đây chính là kết quả nghiên cứu mới của luận văn

3.1 Định lý Razumikhin cho hệ phương trình vi phân phân

thứ Khalil có trễ

Xét hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil có trễ sau đây

Tt0

α x(t) = f (t, x(t − τ)), t ≥ t0, (3.1)trong đó α ∈ (0, 1] là cấp phân thứ của hệ, x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái,

f : R+× C([−τ, 0]; Rn) −→ Rn Điều kiện ban đầu của hệ (3.1) xác định bởi

x(t0+ s) = φ(s), s ∈ [−τ, 0], (3.2)

hệ phương trình vi phân phân thứ Khalil (3.1) có điểm cân bằng là 0.

Định nghĩa 3.2 Giả sử hệ (3.1) có điểm cân bằng 0 Khi đó

(i) Điểm cân bằng 0 của hệ (3.1) được gọi là ổn định nếu với bất kỳ t0 ∈ R, ǫ >

0, tồn tại số δ = δ(ǫ, t0) sao cho khi kφk < δ suy ra kx(t)k < ǫ, ∀t ≥ t0

(ii) Điểm cân bằng 0 của hệ (3.1) được gọi là ổn định tiệm cận nếu nó ổn định

và tồn tại một số δa = δa(t0) > 0 sao cho kφk < δa suy ra lim

t→+∞x(t) = 0.(iii) Điểm cân bằng 0 của hệ (3.1) được gọi là ổn định đều nếu số δ xác địnhtrong (i) không phụ thuộc vào t0

(iv) Điểm cân bằng 0 của hệ (3.1) được gọi là ổn định tiệm cận đều nếu nó

ổn định đều và tồn tại số δa > 0 sao cho với mọi s > 0 có số T (s) sao chokφk < δa suy ra kx(t)k < ǫ với t ≥ t0 + T (s), ∀t0 ∈ R

Từ nay về sau, thay vì nói điểm cân bằng 0 của hệ (3.1) ổn định (ổn địnhtiệm cận, ổn định đều, ổn định tiệm cận đều) ta sẽ nói hệ (3.1) ổn định đều(ổn định tiệm cận, ổn định đều, ổn định tiệm cận đều).

Định lý Razumikhin cho hệ phân thứ Khalil phát biểu dưới đây được đưa

ra bởi N Kaewbanjak cùng các cộng sự năm 2022 [4]

Định lý 3.1 [4] Giả sử κ1, κ2, κ3 : R+ −→ R+ là các hàm liên tục khônggiảm, κ1(s) và κ2(s) là các hàm dương với s > 0, κ1(0) = κ2(0) = 0 và κ2(.)

là hàm tăng chặt Nếu tồn tại một hàm khả vi V : R+× Rn −→ R+ thỏa mãn

s >0 thỏa mãn

Tt0

α V(t, x(t)) ≤ −κ3(kx(t)k), (3.6)khi mà V (t + s, x(t + s)) ≤ ζ (V (t, x(t))) , ∀s ∈ [−τ, 0] thì hệ (3.1) ổn địnhtiệm cận đều

Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 3.1 Hệ quả này đóng vaitrò quan trọng trong việc nghiên cứu tính ổn định tiệm cận đều của hệ phươngtrình vi phân phân thứ Khalil có trễ

Hệ quả 3.1 Hệ (3.1) ổn định tiệm cận đều nếu tồn tại các hằng số dương

c1, c2, c3 và một hàm khả vi V : R+× Rn −→ R+ thỏa mãn hai điều kiện dướiđây:

(i) c1kx(t)k2 ≤ V (t, x(t)) ≤ c2kx(t)k2,∀t ≥ 0, x(t) ∈ Rn.

(ii) Tt0

α V(t, x(t)) ≤ −c3kx(t)k2 khi mà V (t + s, x(t + s)) ≤ pV (t, x(t)), ∀s ∈[−τ, 0] và p > 1 nào đó

3.2 Tính ổn định tiệm cận đều của hệ tuyến tính phân thứ

Khalil có trễ và có nhiễu cấu trúc

Trong mục này, chúng tôi áp dụng Hệ qủa 3.1 để nghiên cứu tính ổn địnhtiệm cận đều của hệ phương trình vi phân tuyến tính phân thứ Khalil có trễ

trong đó α ∈ (0, 1], x(t) ∈ Rn là véc tơ trạng thái của hệ, τ là độ trễ của hệ,

φ(.) ∈ C([−τ, 0], Rn) là điều kiện ban đầu, A, D ∈ Rn×n là các ma trận hằng sốcho trước ∆A(t) = EaFa(t)Ha,∆D(t) = EdFd(t)Hd, trong đó Ea, Ed, Ha, Hd

là các ma trận hằng số cho trước có số chiều thích hợp sao cho các phép toánđại số về ma trận thực hiện được, Fa(t), Fd(t) là các ma trận hàm thỏa mãn

FaT(t)Fa(t) ≤ I, FdTFd(t) ≤ I

Bằng cách sử dụng định lý Razumikhin cho hệ phân thứ kết hợp với kỹthuật bất đẳng thức ma trận tuyến tính, định lý dưới đây đưa ra một điềukiện đủ cho tính ổn định tiệm cận đều của hệ (3.7)

Định lý 3.2 Hệ (3.7) ổn định tiệm cận đều nếu tồn tại một ma trận đốixứng, xác định dương P , hai số dương ǫ1, ǫ2 và một số dương ρ > 1 sao cho

bất đẳng thức ma trận tuyến tính dưới đây được thỏa mãn

Do đó điều kiện (i) trong Hệ quả 3.1 thỏa mãn với c1 = λmin(P ), c2 = λmax(P )

Áp dụng Bổ đề 1.3, ta tính được đạo hàm phân thứ Khalil cấp α của hàm V (t)dọc theo quỹ đạo nghiệm x(t) của hệ (3.7) như sau

Tα0V(t) = 2xT(t)P Tα0x(t)

= xT(t)P A + ATP x(t) + 2xT(t)P EaFa(t)Hax(t)+ 2xT(t)P Dx(t − τ) + 2xT(t)P EdFd(t)Hdx(t − τ)

Tα0V(t) ≤ ζT(t)Ωζ(t), (3.14)trong đó

ζT(t) =



xT(t) xT(t − τ)

,

Nhận xét 3.2 Bài toán nghiên cứu tính ổn định tiệm cận cho hệ phương trình

vi phân phân thứ Khalil đã nhận được sự quan tâm nghiên cứu của nhiều nhàkhoa học và đã có một số công bô về bài toán này O Naifar [10] cùng cáccộng sự nghiên cứu tính ổn định cho hệ phương trình vi phân phân thứ Khalilphi tuyến phụ thuộc một tham số Bằng kỹ thuật đánh giá bất đẳng thức, cáctác giả trong [6] đưa ra một số điều kiện đủ cho sự tồn tại duy nhất nghiệm

và tính ổn định mũ cho mạng nơ ron Hopfield phân thứ Sau đó kết quả nàyđược cải tiến bới M.V Thuan cùng các cộng sự trong [7] Chú ý rằng các kếtquả trong [6, 7, 10] mới chỉ nghiên cứu tính ổn định cho một số lớp hệ phươngtrình vi phân thứ Khalil không có trễ Định lý 3.2 đưa ra một điều kiện đủ chotính ổn định tiệm cận đều cho lớp hệ tuyến tính phân thứ có nhiễu cấu trúc

và có trễ

Hệ quả dưới đây được suy ra trực tiếp từ Định lý 3.1

Hệ quả 3.2 Hệ (3.15) ổn định tiệm cận đều nếu tồn tại một ma trận đốixứng, xác định dương P và một số dương ρ > 1 sao cho bất đẳng thức ma trậntuyến tính dưới đây được thỏa mãn