Phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm một nghiệm chung của bài toán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ ĐỖ THỊ HỒNG HUỆ PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM CẢI BIÊN TÌM MỘT NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT ĐỘ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

ĐỖ THỊ HỒNG HUỆ

PHƯƠNG PHÁP XẤP XỈ MỀM CẢI BIÊN TÌM MỘT NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN

ĐIỂM BẤT ĐỘNG

Chuyên ngành: Toán ứng dụng

Mã số : 8 46 01 12

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

1 TS Nguyễn Song Hà

2 TS Đinh Diệu Hằng

THÁI NGUYÊN - 2022

LỜI CẢM ƠNSau một thời gian học tập và nghiên cứu, tác giả đã hoàn thành nội dungluận văn "Phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm một nghiệm chung của bàitoán bất đẳng thức biến phân và bài toán điểm bất động" Trong quá tìnhhoàn thành luận văn, ngoài sự nỗ lực của bản thân, tác giả đã nhận được sựgiúp đỡ, động viên quý báu của nhiều cá nhân và tập thể.

Trước tiên, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành và sâu sắc tới Tiến sĩNguyễn Song Hà và Tiến sĩ Đinh Diệu Hằng, là các thầy cô đã trực tiếphướng dẫn tác giả Thầy và cô đã dành cho em nhiều thời gian, tâm sức, đãcho em nhiều ý kiến, nhận xét quý báu, giúp em có thể hoàn thành tốt nhấtluận văn này Tác giả cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành Ban chủ nhiệm vàtoàn thể các quý thầy cô trong khoa Toán - Tin, phòng Sau đại học trườngĐại học Khoa học, Đại học Thái Nguyên đã hướng dẫn tận tình và tạo mọiđiều kiện trong quá trình tác giả học tập và hoàn thành luận văn

Tiếp theo, tác giả xin gửi lời cảm ơn chân thành tới Ban giám hiệu và tậpthể giáo viên trường THPT Chuyên Thái Bình đã tạo điều kiện thuận lợitrong suốt quá trình tác giả học cao học Cuối cùng, tác giả xin dành tất cả

sự yêu thương và lời cảm ơn vô hạn tới gia đình và người thân đã luôn độngviên tác giả trong quá trình học tập và thực hiện luận văn

Tác giả

Đỗ Thị Hồng Huệ

Mục lục

1.1 Một số tính chất cơ bản trên không gian Hilbert thực 3

1.2 Ánh xạ không giãn và ánh xạ co 9

1.3 Ánh xạ đơn điệu 14

Chương 2 Phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm một nghiệm chung của bài toán (VIP) và (FPP) 19 2.1 Mô hình bài toán 19

2.2 Phương pháp VISEM 26

2.3 Phương pháp VITEM 35

2.4 Ví dụ minh họa 37

Danh mục ký hiệu và chữ viết tắt

Rn Không gian thực hữu hạn chiều

⟨x, y⟩ Tích vô hướng của hai véctơ x và y

PC(x) Phép chiếu mêtric phần tử x lên tập C

∇f(x) Gradient của ánh xạ f tại x

∂f (x) Dưới vi phân của ánh xạ f tại x

xn → x Dãy {xn} hội tụ mạnh đến x khi n → +∞

xn ⇀ x Dãy {xn} hội tụ yếu đến x khi n → +∞

(VIP) Bài toán bất đẳng thức biến phân

(FPP) Bài toán điểm bất động

Sol(VIP(A, C)) Tập nghiệm của bài toán (VIP) với ánh xạ giá A

và miền hữu hiệu CFix(U) Tập điểm bất động của ánh xạ U

VISEM Phương pháp dưới đạo hàm-đạo hàm tăng cường

có quán tính kết hợp phương pháp xấp xỉ mềmVITEM Phương pháp đạo hàm tăng cường Tseng

có quán tính kết hợp phương pháp xấp xỉ mềm

Danh sách bảng

2.1 Kết quả tính toán cho Phương pháp VISEM và VITEM với

x0 = (1, 3) và x1 = (11, 11) 392.2 Kết quả tính toán cho Phương pháp VISEM và VITEM với

x0 = (5, 1) và x1 = (100, 20) 392.3 Kết quả tính toán cho Phương pháp VISEM và VITEM với τ1,

µ và θ thay đổi 392.4 Kết quả tính toán cho Phương pháp VISEM và VITEM với τ1,

µ và θ thay đổi 40

Mở đầu

Nhiều vấn đề nảy sinh từ thực tiễn, thuộc nhiều lĩnh vực khác nhau, có thểquy về mô hình bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và (hoặc) bài toánđiểm bất động (FPP) dưới các giả thiết thích hợp [3, 4, 6] Chẳng hạn, bàitoán xử lí tín hiệu, khôi phục ảnh, phân phối băng thông, tối ưu tài nguyênmạng, các mô hình tối ưu trong kinh tế, kĩ thuật Theo đó, vấn đề tìm phần

tử chung thuộc tập nghiệm của hai bài toán này là một trong những chủ đềdành được sự quan tâm của nhiều khoa học trong và ngoài nước

Trong những năm gần đây, sự phát triển của các phương pháp (thuật toán)lặp hữu hiệu đã thu hút sự quan tâm rất lớn, đặc biệt là việc sử dụng kếthợp thành phần quán tính, một kĩ thuật được dựa theo các mô hình rời rạchóa của hệ động lực tiêu tán bậc hai Các nghiên cứu mới đã xây dựng nhiềuphương pháp giải số hiệu quả khác nhau bằng cách kết hợp kĩ thuật đó với cácphương pháp đã biết như phương pháp lặp Mann, phương pháp Korpelevich,phương pháp chiếu gradient, phương pháp đường dốc nhất, phương pháp xấp

xỉ mềm, phương pháp đạo hàm tăng cường, (xem [4] cùng các tài liệu dẫn).Một trong những đặc điểm chung của các phương pháp này là lần lặp tiếptheo phụ thuộc vào sự kết hợp của hai lần lặp trước đó Những thay đổi nhỏnày cũng cải thiện đáng kể hiệu suất của chúng

Mục đích chính của luận văn là trình bày lại một kết quả mới đề xuất bởiTan và đồng sự công bố năm 2021 [4] theo hướng như vậy Cụ thể, luận văn

sẽ trình bày phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm nghiệm chung của bàitoán bất đẳng thức biến phân đơn điệu, liên tục Lipschitz và bài toán điểmbất động của ánh xạ nửa co trên không gian Hilbert

Với mục tiêu như vậy, luận văn gồm mở đầu, hai chương, kết luận và tàiliệu tham khảo Chương 1 dùng để hệ thống lại những kiến thức cơ bản vềgiải tích lồi và giải tích hàm trên không gian Hilbert thực nhằm phục vụ cho

việc trình bày nội dung chính ở phần sau Chương 2 dành để trình bày nộidung và sự hội tụ của hai phương pháp xấp xỉ mềm cải biên tìm nghiệmchung của bài toán nêu trên Bên cạnh đó, các ví dụ số sẽ được chúng tôixây dựng và chi tiết hóa nhằm làm rõ hơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn

đề cập

Kiến thức chuẩn bị

Trong chương này, chúng tôi hệ thống lại một số kiến thức cơ bản phục

vụ cho việc trình bày các nội dung chính ở phần sau của luận văn Cấu trúccủa chương được chia thành ba phần: Mục 1.1 chúng tôi trình bày một sốtính chất cơ bản thường dùng trên không gian Hilbert thực Mục 1.2 dành

để nhắc lại khái niệm cùng vài tính chất cốt yếu về các ánh xạ kiểu khônggiãn và co Phần cuối chương, Mục 1.3 dùng để giới thiệu về lớp ánh xạ loạiđơn điệu

1.1 Một số tính chất cơ bản trên không gian Hilbert thực

Xuyên suốt toàn bộ luận văn này, tích vô hướng và chuẩn sinh bởi tích vôhướng tương ứng trên không gian Hilbert thực H, lần lượt được kí hiệu bởi

Điều này dẫn đến ⟨x, x⟩ + 2t⟨x, y⟩ + t2⟨y, y⟩ ≥ 0 Chọn t = −⟨x, y⟩

⟨y, y⟩ và thayvào bất đẳng thức trên ta nhận được

Mệnh đề 1.2 (Quy tắc hình bình hành)

Trong không gian Hilbert H ta luôn có

∥x + y∥2 +∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 +∥y∥2), ∀x, y ∈ H

Chứng minh Ta có

∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2, ∀x, y ∈ H,và

∥x − y∥2 = ∥x∥2 − 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2, ∀x, y ∈ H

Cộng hai vế các đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh

Chú ý 1.1 [3] Cho H là một không gian định chuẩn thực Nếu quy tắc hìnhbình hành bảo đảm đối với chuẩn, tức là

∥x + y∥2+∥x − y∥2 = 2(∥x∥2 +∥y∥2), ∀x, y ∈ H

thì trên H tồn tại một tích vô hướng sao cho ⟨x, x⟩ = ∥x∥2 Do đó, một khônggian Hilbert là không gian định chuẩn có chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bìnhhành

Mệnh đề 1.3 Trong không gian Hilbert H ta luôn có

∥x + y∥2 ≤ ∥x∥2+ 2⟨x + y, y⟩, ∀x, y ∈ H

Chứng minh Ta có

∥x + y∥2 = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + ∥y∥2, ∀x, y ∈ H,và

∥x∥2 + 2⟨x + y, y⟩ = ∥x∥2 + 2⟨x, y⟩ + 2∥y∥2, ∀x, y ∈ H

Từ đây suy ra điều cần chứng minh

Mệnh đề 1.4 Trong không gian Hilbert H ta luôn có

∥αx+(1−α)y∥2 = α∥x∥2+(1−α)∥y∥2−α(1−α)∥x−y∥2, ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R.Chứng minh ∀x, y ∈ H, ∀α ∈ R, ta có

∥αx + (1 − α)y∥2 = ⟨αx + (1 − α)y, αx + (1 − α)y⟩

= α2⟨x, x⟩ + (1 − α)2⟨y, y⟩ + 2α(1 − α)⟨x, y⟩

= α∥x∥2 + (1− α)∥y∥2 − α(1 − α)⟨x − y, x − y⟩

= α∥x∥2 + (1− α)∥y∥2 − α(1 − α)∥x − y∥2.Mệnh đề được chứng minh

Phần tiếp theo, chúng tôi dành để nhắc lại một số khái niệm và tính chấttôpô cần thiết sẽ dùng đến ở các phần tiếp sau

Định nghĩa 1.1 Dãy {xn} các phần tử trong không gian Hilbert H đượcgọi là

(i) hội tụ mạnh đến x ∈ H khi n tiến ra +∞ nếu

Tuy nhiên, nếu không gian Hilbert H là hữu hạn chiều thì sự hội tụ mạnhtương đương với sự hội tụ yếu

Chú ý 1.3 [3] Giới hạn mạnh (yếu) nếu có của một dãy là duy nhất.

Chú ý 1.4 [3] Nếu xn ⇀ x thì {xn} bị chặn và ∥x∥ ≤ lim inf

(ii) Hình cầu đơn vị đóng

Ví dụ 1.3 Các tập hợp sau không lồi

C :={x = (x1, x2, x3) ∈ R3 : x21 + x22 + x23 > 1}

D := {x = (x1, x2, x3)∈ R3 : x3 = x21+ x22}Một vài tính chất cơ bản về tập lồi được phát biểu trong mệnh đề sau đây.Mệnh đề 1.6 [3]

Trong không gian Hilbert H, ta luôn có

(i) Giao của một họ tùy ý các tập lồi là lồi

(ii) Tổng của hai tập lồi là lồi

(iii) Nếu C là tập lồi thì αC cũng là tập lồi với mọi số thực α

Chú ý 1.7 Hợp của hai tập lồi không nhất thiết lồi Chẳng hạn, nếu

2 ∈ C) Cho m, n → +∞ trong bất đẳng thức trên

Vì C là tập đóng nên y ∈ C Hơn nữa, ta lại có

Điều này suy ra y = z hay y là phần tử xác định duy nhất

Chú ý 1.8 Điểm y ∈ C trong Mệnh đề 1.7 còn được gọi là xấp xỉ tốt nhấtcủa x ∈ H bởi C

1.2 Ánh xạ không giãn và ánh xạ co

Định nghĩa 1.4 Cho C là tập con khác rỗng của không gian Hilbert H.Cho A : C → H là ánh xạ xác định trên C Ánh xạ A được gọi là L-liên tụcLipschitz trên C nếu tồn tại L > 0 sao cho

∥A(x) − A(y)∥ ≤ L∥x − y∥, ∀x, y ∈ C (1.1)Nếu (1.1) đúng với L = 1 thì ánh xạ C được gọi là ánh xạ không giãn cònnếu (1.1) đúng với 0 ≤ L < 1 thì ánh xạ C được gọi là ánh xạ co

Ví dụ 1.4 Xét tập C ⊆ R và ánh xạ A : C → R xác định trong các trườnghợp sau đây:

(i) Nếu C = [−2, 2] và A(x) = x2 thì A là 4-liên tục Lipschitz Tuy nhiên,nếu C = R thì A không liên tục Lipschitz

(ii) Nếu C = [−2, 2] và A(x) = x4− x2 thì A là 36-liên tục Lipschitz

(iii) Nếu C = [0, 1] và A(x) = √x thì A không liên tục Lipschitz

Ví dụ 1.5 Xét ánh xạ A : R2 → R2 có dạng A(x) = 12Q(x) + q, trong đó Q

và q tương ứng được cho bởi:

Định nghĩa 1.5 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert

H Ánh xạ PC : H → C cho tương ứng mỗi x ∈ H với một phần tử xấp xỉ tốtnhất y ∈ C, được gọi là phép chiếu mêtric từ H lên C Phần tử y = PC(x)được gọi là hình chiếu của x trên C

Khi C có cấu trúc đặc biệt, ta có thể xác định được dạng giải tích củaphép chiếu mêtric như dưới đây

Ví dụ 1.6 [3] Giả sử C := {x ∈ Rn : ⟨x, u⟩ ≤ ζ} là nửa không gian đóngtrong Rn với ζ ∈ R và u ∈ Rn là phần tử cố định Khi ấy, ta có

∥u∥2 u nếu ⟨x, u⟩ > ζ

Ví dụ 1.7 [3] Cho C := {x ∈ Rn : ∥x − a∥ ≤ r} là hình cầu đóng tâm

a∈ Rn và bán kính r > 0 Khi ấy, với mọi x ∈ Rn ta có

Mặt khác, với mọi z ∈ C và λ ∈ (0, 1) ta có

uλ = λz + (1− λ)y ∈ C,(vì tính lồi của C) và vì thế ta nhận được y = PC(x) khi và chỉ khi

∥x − y∥ ≤ ∥x − uλ∥, ∀z ∈ C, ∀λ ∈ (0, 1)

Bất đẳng thức này tương đương với

∥x − y∥ ≤ ∥x − y − λ(z − y)∥, ∀z ∈ C, ∀λ ∈ [0, 1] (1.2)

Để ý rằng

∥x − y − λ(z − y)∥2 − ∥x − y∥2 = λ[λ∥z − y∥2 − 2⟨x − y, z − y⟩]

Do đó, nếu ⟨x − y, z − y⟩ ≤ 0 thì (1.2) được bảo đảm Ngược lại, nếu với mọi

Hệ quả 1.1 Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng trong không gian H Khi

đó, phép chiếu mêtric PC là ánh xạ không giãn, tức là

∥PC(x)− PC(y)∥ ≤ ∥x − y∥, ∀x, y ∈ H

Chứng minh Với mọi x, y ∈ H, từ Mệnh đề 1.8 ta có

⟨PC(y)− PC(x), x− PC(x)⟩ ≤ 0,và

⟨PC(x)− PC(y), y− PC(y)⟩ ≤ 0

Cộng hai bất đẳng thức trên ta nhận được

⟨PC(x)− PC(y),−(x − PC(x)) + (y− PC(y))⟩ ≤ 0

Bất đẳng thức này suy ra

∥PC(x)− PC(y)∥2 ≤ ⟨PC(x)− PC(y), x− y⟩

≤ ∥PC(x)− PC(y)∥∥x − y∥

Ta có điều cần chứng minh

Định nghĩa 1.6 Cho C là tập con khác rỗng trong không gian Hilbert thực

H và ánh xạ T : C → H Điểm x ∈ C được gọi là điểm bất động của T nếu

(ii) T là ánh xạ tựa không giãn vì với q ∈ Fix(T ) ta thấy

nếu x ̸= 0,

Không khó khăn để chỉ ra rằng

(i) Fix(T ) = {0}

(ii) T là ánh xạ tựa không giãn

(iii) T là ánh xạ liên tục nhưng không là ánh xạ không giãn vì

=

0 + 13π

= 13π >