ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊNTRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ------ ĐÀO THỊ LÊ DUNG PHƯƠNG PHÁP KIỂU TSENG QUÁN TÍNH TÌM MỘT NGHIỆM CHUNG CỦA BÀI TOÁN BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN VÀ BÀI TOÁN ĐIỂM BẤT Đ
Một số đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản
Trong phần này, chúng tôi sẽ hệ thống lại các khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến không gian Hilbert thực H Đầu tiên, chúng tôi sẽ nhắc lại định nghĩa cơ bản về tích vô hướng Định nghĩa 1.1 nêu rõ rằng H là một không gian véctơ thực và hàm số liên quan đến tích vô hướng sẽ được trình bày.
⟨ x,y ⟩ được gọi là tích vô hướng của hai véctơ x và y nếu các điều kiện sau được thỏa mãn:
Không gian véctơ thực H với một tích vô hướng xác định như trên được gọi là không gian tiền Hilbert.
Ví dụ 1.1 Không gian hữu hạn chiều R n là không gian tiền Hilbert với tích vô hướng của véctơ x = (x 1 , x 2 , , xn) ∈ R n và véctơ y = (y 1 , y 2 , , yn) ∈ R n xác định bởi
Ví dụ 1.2 Không gian L 2 [a, b] các hàm số thực bình phương khả tích trên đoạn [a, b] ⊂ R là một không gian tiền Hilbert với tích vô hướng của x x(t) ∈L 2 [a, b] và y =y(t) ∈ L 2 [a, b] được cho bởi
Tiếp theo, chúng tôi sẽ giới thiệu lại một số đẳng thức và bất đẳng thức cơ bản thương dùng.
Mệnh đề 1.1 (Bất đẳng thức Schwarz)
Trong không gian tiền Hilbert H ta luôn có
Chứng minh Dễ thấy, v = 0 bất đẳng thức luôn đúng Giả sử v ̸= 0 và với mọi λ∈ R ta có
Trong bất đẳng thức trên, nếu chọn λ= −⟨u, v⟩
Nhận xét 1.1 Cho H là một không gian tiền Hilbert Hàm số ∥.∥ :H → R xác định bởi
⟨x, x⟩, x ∈ H, (1.1) là một chuẩn trên H và chuẩn này gọi là chuẩn sinh ra bởi tích vô hướng.
Thật vậy, dễ thấy rằng, từ (1.1) và điều kiện (iv) trong định nghĩa tích vô hướng, ta có ∥x∥ ≥ 0 và ∥x∥ = 0 ⇔x = 0.
Tiếp theo, với mọi x∈ H và λ∈ R ta thấy
⟨x, x⟩ = |λ|∥x∥. Cuối cùng, sử dụng bất đẳng thức Schwarz, với mọi x, y ∈ H ta có
Ví dụ 1.3 Chuẩn của véctơ x = (x 1 , x 2 , , xn)∈ R n sinh bởi tích vô hướng trong Ví dụ 1.1 là
∥x∥ q x 2 1 +x 2 2 + .+x 2 n Chuẩn của x = x(t)∈ L 2 [a, b] sinh bởi tích vô hướng trong Ví dụ 1.2 có dạng
Mệnh đề 1.2 (Quy tắc hình bình hành)
Trong không gian tiền Hilbert H ta luôn có
∥u−v∥ 2 = ∥u∥ 2 −2⟨u, v⟩+∥v∥ 2 , ∀u, v ∈ H. Cộng hai vế các đẳng thức trên ta có điều cần chứng minh.
Mệnh đề 1.3 Trong không gian tiền Hilbert H ta luôn có
Từ đây suy ra điều cần chứng minh.
Mệnh đề 1.4 Trong không gian tiền Hilbert H ta luôn có
= θ∥u∥ 2 + (1−θ)∥v∥ 2 −θ(1−θ)∥u−v∥ 2 Mệnh đề được chứng minh. Định nghĩa 1.2 Không gian tiền Hilbert H đầy đủ với chuẩn xác định bởi (1.1) được gọi là một không gian Hilbert.
Chú ý 1.1 [2, 3] Cho H là một không gian định chuẩn thực Nếu quy tắc hình bình hành bảo đảm đối với chuẩn, tức là
Trong không gian Hilbert \( H \), có một định lý quan trọng rằng \( \|x+y\|^2 + \|x-y\|^2 = 2(\|x\|^2 + \|y\|^2) \) cho mọi \( x, y \in H \) Điều này cho thấy tồn tại một tích vô hướng sao cho \( \langle x, x \rangle = \|x\|^2 \) Do đó, không gian Hilbert được xác định là một không gian định chuẩn đầy đủ, với chuẩn thỏa mãn quy tắc hình bình hành.
Ví dụ 1.4 [3] Các không gianl p , L p [a, b] (1 ≤ p 0 là các số thực.
Ví dụ 1.9 Một số ví dụ đơn giản về tập hợp không lồi trong R n là
Trong không gian Hilbert H, ta có các khẳng định sau:
(i) Giao của một họ tùy ý các tập lồi là tập lồi.
(ii) Nếu C là tập lồi thì αC cũng là tập lồi với mọi số thực α.
(iii) Tổng của hai tập lồi là tập lồi.
(iv) Tích Descartes của hai tập lồi là tập lồi.
(v) Ảnh và nghịch ảnh của một tập lồi qua một phép biến đổi tuyến tính là lồi.
Cho C là tập con lồi của không gian Hilbert H Khi đó, tập C là đóng yếu khi và chỉ khi C đóng.
Trong không gian Hilbert H, tập con lồi đóng của tập compact yếu là com- pact yếu.
Cho C là tập con lồi đóng khác rỗng của H Khi đó, với mỗi x ∈ H tồn tại duy nhất một điểm y ∈ C thỏa mãn
∥x−y∥ =d(x, C), với d(x, C) = inf z ∈ C∥x−z∥. Chứng minh Nếu x ∈ C thì chọn y = x Nếu x /∈ C, khi đó vì C đóng nên d:= inf z ∈ C∥x−z∥ > 0 và tồn tại một dãy {yn} ⊂ C sao cho
(vì C là tập lồi nên yn+ym
2 ∈ C) Chom, n →+∞ trong bất đẳng thức trên ta nhận được
∥yn−ym∥ → 0. Điều này suy ra {yn} là dãy Cauchy trong không gian Hilbert H Do đó, tồn tại giới hạn của dãy trên và giả sử rằng yn → y.
Vì C là tập đóng nên y ∈ C Hơn nữa, ta lại có
Cuối cùng, giả sử tồn tại z ∈ C thỏa mãn ∥x−z∥ =d Khi đó, ta có
≤ 2d 2 + 2d 2 −4d 2 = 0. Điều này suy ra y = z hay y là phần tử xác định duy nhất.
Chú ý 1.5 Điểm y ∈ C trong Mệnh đề 1.12 còn được gọi là xấp xỉ tốt nhất của x ∈ H bởi C.
Phương pháp kiểu Tseng quán tính tìm một nghiệm
Phương pháp xấp xỉ nghiệm kiểu Tseng quán tính
Trong phần này, chúng tôi luôn sử dụng các giả thiết dưới đây:
(C1) Cho C là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực H.
(C2) Cho A : H → H là ánh xạ L-liên tục Lipschitz, giả đơn điệu trên H và liên tục yếu theo dãy trên C Cho T :H → H là ánh xạ không giãn Giả sử rằng
Ω := Sol(VIP(A, C))∩Fix(T) ̸= ∅. (C3) f : H → H là ánh xạ co với hệ số co δ ∈ [0,1).
(C4) Tham số λ ∈ (0,1/L) và dãy các tham số {αn},{βn} và {γn} nằm trong
[0,1] thỏa mãn các điều kiện n →lim+ ∞βn = 0,
Phương pháp Tseng quán tính (ITEM) được sử dụng để tìm nghiệm chung cho bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và bài toán điểm bất động (FPP) trong không gian Hilbert thực.
Bước 1 Lấy x0, x1 ∈ H tùy ý và gán n := 1.
Bước 2 Với xn −1 và xn đã biết, tính xn +1 như sau:
wn = xn+αn(xn−xn − 1), yn =PC(wn−λA(wn)), x n+1 = βnf(xn) + (1−βn)[γnT(zn) + (1−γn)zn],
(2.5) trong đó zn = yn−λ(A(yn)−A(wn)).
Bước 3 Gán n ← n+ 1 và quay lại thực hiện Bước 2.
Trước khi chứng minh sự hội tụ mạnh của phương pháp ITEM, chúng tôi cần các Bổ đề sau.
Giả sử các điều kiện (C1) và (C2) được thỏa mãn, và {wn} là dãy được sinh ra từ Phương pháp ITEM Nếu tồn tại dãy con {wn k} của {wn} hội tụ yếu tới một điểm z ∈ H, và khi k tiến tới vô cùng, thì khoảng cách giữa wn k và yn k tiến tới 0, thì điểm z thuộc về tập nghiệm Sol(VIP(A, C)).
Cho {an} là dãy các số thực không âm thỏa mãn các điều kiện sau: an+1 ≤ (1−cn)an+cnbn, ∀n ≥ 0, trong đó cn ∈ (0,1),
X n =1 cn = +∞ và {bn} ⊂R Nếu lim sup n → + ∞ bn ≤ 0 thì ta có n →lim+ ∞an = 0.
Cho {an} là dãy các số thực không âm với dãy con {an j } thỏa mãn điều kiện an j ≤ an j +1 cho mọi j ∈ N Do đó, tồn tại một dãy không giảm {mk} trong.
Để đảm bảo rằng \( m_k \) tiến tới \( +\infty \) và thỏa mãn tính chất với mọi \( k \in \mathbb{N} \) đủ lớn, ta có \( a_{m_k} \leq a_{m_{k+1}} \) và \( a_k \leq a_{m_{k+1}} \) Dưới đây là Định lý hội tụ mạnh cho Phương pháp ITEM Định lý 2.1 [4]
Giả sử các điều kiện (C1)-(C4) được bảo đảm và điệu kiện sau được thỏa mãn n →+∞lim αn βn∥xn−xn − 1∥ = 0 (2.6)
Khi đó, dãy {xn} sinh ra bởi Phương pháp ITEM hội tụ mạnh đến p ∈ Ω với p = P Ω f(p).
Chứng minh Trước hết, chúng ta sẽ chỉ ra rằng {xn} bị chặn Thật vậy, từ định nghĩa của {zn} ta có
=∥wn −p∥ 2 +∥yn−wn∥ 2 + 2⟨wn−p, yn−wn⟩ +λ 2 ∥A(yn)−A(wn)∥ 2
−2⟨yn−wn, yn−wn⟩ + 2⟨yn −p, yn−wn⟩ +λ 2 ∥A(yn)−A(wn)∥ 2
−2λ⟨yn−p, A(yn)−A(wn)⟩ hay tương đương với
+ 2⟨yn−p, yn−wn⟩ +λ 2 ∥A(yn)−A(wn)∥ 2
−2λ⟨yn−p, A(yn)−A(wn)⟩ (2.7) Mặt khác, từ cách xác định của yn ta lại có
⟨yn−(wn−λA(wn)), yn−p⟩ ≤ 0. Điều đó dẫn đến
⟨yn−wn, yn −p⟩ ≤ −λ⟨A(wn), yn−p⟩ (2.8)
Từ (2.7) và (2.8) ta nhận được
= ∥wn−p∥ 2 − ∥yn−wn∥ 2 +λ 2 ∥A(yn)−A(wn)∥ 2
≤ ∥wn−p∥ 2 − ∥yn−wn∥ 2 +λ 2 L 2 ∥yn−wn∥ 2
Từ tính giả đơn điệu của A lại cho ta
Vì thế, từ điều kiện λ ∈ (0,1/L) và (2.11), ta có ước lượng
∥zn−p∥ ≤ ∥wn−p∥ (2.12) Nếu đặt tn :=γnT(zn) + (1−γn)zn thì từ (2.11) và Mệnh đề 1.4 ta cũng có
Từ cách xác đinh wn ta lại có
Từ điều kiện (2.6) suy ra tồn tại M 1 > 0 sao cho αn βn∥xn−xn − 1∥ ≤M 1 , ∀n ≥ 1.
Do đó, từ (2.14) và (2.15) ta có
∥tn−p∥ ≤ ∥xn−p∥+βnM 1 (2.16) Bây giờ, từ xác đinh wn và (2.16) ta có đánh giá sau
∥xn+1−p∥ =∥βnf(xn) + (1−βn)[γnT(zn) + (1−γn)zn]−p∥
Do đó, bằng quy nạp, ta có đánh giá
Điều đó chứng tỏ rằng {xn} bị chặn và vì thế các dãy
{wn}, {zn}, {yn}, {tn}, {f(xn)}, cũng bị chặn.
Tiếp theo, từ tớnh lồi của hàm ∥ ã ∥ 2 và Mệnh đề 1.3 ta cú
∥x n+1 −p∥ 2 =∥βnf(xn) + (1−βn)[γnT(zn) + (1−γn)zn]−p∥ 2
≤ βn∥xn−p∥ 2 + (1−βn)∥tn−p∥ 2 + 2βn∥f(p)−p∥∥f(xn)−p∥]. hay suy ra
∥xn +1−p∥ 2 ≤ βn∥xn−p∥ 2 + (1−βn)∥tn−p∥ 2 +βnM 2 , (2.17) trong đó
Từ (2.13) và (2.17) ta nhận được
∥wn −p∥ 2 ≤ (∥xn−p∥+βnM 1 ) 2 ≤ ∥xn −p∥ 2 +βnM 3 , (2.19) trong đó
Do đó, từ (2.18) và (2.19) ta nhận được
−(1−βn)γn(1−γn)∥zn−T(zn)∥ 2 Điều đó suy ra
∥tn −p∥ 2 ≤ ∥xn −p∥ 2 +αn∥xn−xn − 1∥M 5 (2.22) Điều đó dẫn đến
Tiếp theo, chúng ta xét hai khả năng sau đây.
Trường hợp 1 Tồn tại n 0 ∈ N sao cho
Khi đó, tồn tại lim n →+∞∥xn−p∥ và từ (2.20) ta có
Vì thế, ta cũng có
Từ (2.24) và (2.26) ta nhận được
∥xn−wn∥ = αn∥xn−xn − 1∥ = βn αn βn∥xn−xn − 1∥ → 0 (2.28)
∥xn+1−xn∥ ≤ ∥xn+1−tn∥+∥tn −xn∥
= βn∥f(xn)−tn∥+∥γn(T(zn)−xn) + (1−γn)(zn−xn)∥
≤ βn∥f(xn)−tn∥ +γn∥T(zn)−xn∥+ (1−γn)∥zn−xn∥
≤ βn∥f(xn)−tn∥ +γn∥T(zn)−zn∥ +γn∥zn −xn∥+ (1−γn)∥zn−xn∥
≤ βn∥f(xn)−tn∥ +γn∥T(zn)−zn∥+∥zn−xn∥.
Do đó, từ (C4), (2.25) và (2.29) ta có
Bây giờ, vì {xn} bị chặn nên tồn tại dãy con {xn k} của nó có tính chất xn k ⇀ z ∈ H. Khi đó, ta để ý rằng lim sup n → + ∞ ⟨f(p)−p, xn−p⟩ = lim k → + ∞⟨f(p)−p, xn k −p⟩
= ⟨f(p)−p, z −p⟩ (2.31) Theo Bổ đề 2.1, từ (2.24), ta có z ∈Sol(VIP(A, C)).
Từ (2.29) ta cũng có zn k ⇀ z.
Kết hợp với (2.25) và sử dụng Mệnh đề 1.15 ta nhận được z ∈ Fix(T).
Do đó, ta có \( z \in \Omega \) Mặt khác, từ (2.31) và Mệnh đề 1.13, ta có \[\limsup_{n \to +\infty} \langle f(p) - p, x_n - p \rangle = \langle f(p) - p, z - p \rangle \leq 0.\]Từ (2.30) và (2.32), ta cũng suy ra \[\limsup_{n \to +\infty} \langle f(p) - p, x_{n+1} - p \rangle \leq 0.\]Cuối cùng, sử dụng Bổ đề 2.2 và (2.23), ta có \( x_n \to p \).
Trường hợp 2 Tồn tại một dãy con {∥xn j −p∥ 2 } của dãy {∥xn−p∥ 2 } sao cho
Trong trường hợp này, theo Bổ đề 2.3, tồn tại một dãy không giảm {mk} trong N sao cho mk → +∞ và bất đẳng thức sau bảo đảm với mọi k ∈ N:
≤ βm kM 4 Điều đó suy ra từ điều kiện (C4) rằng
Chứng minh tương tự Trường hợp 1 ta cũng nhận được
∥xm k −zm k∥ → 0, ∥xm k +1−xm k∥ → 0, và lim sup k →+∞ ⟨f(p)−p, xm k +1−p⟩ ≤ 0.
Lập luận tương tự như phần trên, từ (2.34) và ước lượng (2.23) ta cũng có đánh giá
Từ các giới hạn trên suy ra xk →p.
Ta có điều cần chứng minh.
Ví dụ minh họa
Các kết quả tính toán được thực hiện bằng phần mềm MATLAB 14a và thử nghiệm trên máy tính ASUSPRO với CPU Intel(R) Core(TM) i5-4210U, tốc độ từ 1.70GHz đến 2.40GHz, cùng với 4GB RAM.
Ví dụ 2.4 Xét mô hình bài toán (2.3) với các giả thiết như dưới đây:
(C1) Cho C = {(u, v) ∈ R 2 : u+v ≤ 4} là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực R 2
Dễ thấy, A là ánh xạ 2√
2-liên tục Lipschitz, giả đơn điệu trên R 2 Không khó khăn để chỉ ra rằng
Sol(VIP(A, C)) ={(u, v) ∈R 2 : u= v ≤ 2}. Cho T : R 2 →R 2 có dạng
T(u, v) = (v, u), ∀(u, v) ∈ R 2 , là ánh xạ không giãn Khi đó, dễ thấy rằng
Ω := {(u, v) ∈ R 2 :u = v ≤ 2}. (C3) Chọn f : R 2 → R 2 xác định bởi f(x) =x/2, ∀x∈ R 2 là ánh xạ co với hệ số co δ = 1/2.
2) và dãy các tham số {αn},{βn} và {γn} nằm trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện là βn = 1 n, αn = 0.99, γn = 0.001.
Sử dụng phương pháp ITEM cho bài toán nêu trên, ta có nghiệm xấp xỉ xn = (u (n) 1 , u (n) 2 ) được cho trong bảng sau: n u (n) 1 u (n) 2 n u (n) 1 u (n) 2
Bảng 2.1: Kết quả tính toán cho phương pháp (ITEM) với x 0 = (1 , 2) và x 1 = (2 , 1)
Ví dụ 2.5 Xét mô hình bài toán tìm nghiệm chung của bài toán cực trị (2.4) và bài toán (FPP):
Tìm x ∈Ω := Argmin(Ψ, C)∩Fix(T) ̸= ∅, (2.35) trong đó Argmin(Ψ, C) là tập các điểm cực tiểu của hàm Ψ : C → R khả vi Gâteaux trên C với đạo hàm Gâteaux ∇Ψ.
Ta xét các giả thiết sau đây:
(C1) Cho C = {(u, v) ∈ R 2 : u+v ≥ −1} là tập con lồi, đóng, khác rỗng của không gian Hilbert thực R 2
(C2) Cho Ψ : C →R có dạng Ψ(u, v) = u 2 +v 2 , ∀(u, v) ∈ R 2 Khi đó, không khó khăn để chỉ ra rằng
Ngoài ra, điều kiện cần và đủ cực trị cho hàm Ψ chính là bất đẳng thức biến phân (VIP) với A(u, v) := ∇Ψ(u, v) Hơn nữa, ta có
Dễ thấy, A là ánh xạ 2-liên tục Lipschitz và 1-đơn điệu mạnh trên R 2 Cho T : R 2 →R 2 có dạng
T(u, v) = (u, v), ∀(u, v) ∈ R 2 , là ánh xạ không giãn Khi đó, dễ thấy rằng
(C3) Lấy f : R 2 → R 2 xác định bởi f(x) = x/3, ∀x ∈ R 2 là ánh xạ co với hệ số co δ = 1/3.
(C4) Chọn tham số λ= 1/4 ∈ (0,1/2) và dãy các tham số {αn} và {βn} nằm trong [0,1] thỏa mãn các điều kiện là βn = 1 n, αn = 0.5.
Vì T = I nên tn = zn, do đó không cần tham số γn trong ví dụ này Áp dụng phương pháp ITEM cho bài toán, ta có sai số err = ∥xn∥ giữa nghiệm xấp xỉ xn và nghiệm chính xác (0,0).
100 bước lặp, được mô tả trong hình sau:
Hình 2.1: Dáng điệu nghiệm xấp xỉ với x 0 = (5 , 2) và x 1 = (3 , 6) ở đây, trục hoành là số bước lặp và trục tung là err.
Luận văn đã nghiên cứu và trình bày lại có hệ thống một số vấn đề cơ bản sau đây:
Trong Chương 1, chúng tôi sẽ trình bày lại các kết quả cơ bản của giải tích lồi và giải tích hàm trong không gian Hilbert thực, nhằm làm rõ các nội dung chính của luận văn ở Chương 2.
Bài viết trình bày mô hình bài toán bất đẳng thức biến phân (VIP) và bài toán điểm bất động (FPP), cùng với các bài toán quen thuộc như giải phương trình, hệ phương trình và bài toán cực trị Ngoài ra, bài viết cũng giới thiệu một số điều kiện tồn tại nghiệm và tính chất của tập nghiệm tương ứng cho các bài toán này.
Phương pháp kiểu Tseng có quán tính (ITEM) thể hiện sự hội tụ mạnh mẽ trong việc tìm kiếm nghiệm chung cho bài toán VIP và bài toán FPP.
Bốn là, xây dựng các ví dụ số minh họa cụ thể làm rõ hơn các vấn đề lí thuyết mà luận văn đã đề cập.