Luận văn thạc sỹ một số liên kết hình học đặc biệt trong tam giác và ứng dụng

Mục đích của đề tài luận văn Trong Hình học Euclide có nhiều cấu hình đặc biệt thể hiện mối liên hệgiữa các điểm, tam giác và đường tròn.. Mỗi cấu hình đều có các đặc trưnghình học được

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

- -

TRẦN THỊ CÚC

MỘT SỐ LIÊN KẾT HÌNH HỌC ĐẶC BIỆT TRONG TAM GIÁC VÀ ỨNG DỤNG

Chuyên ngành: Phương pháp Toán sơ cấp

Mã số: 8 46 01 13

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Nguyễn Việt Hải

THÁI NGUYÊN - 2022

Lời cảm ơn

Để hoàn thành được luận văn một cách hoàn chỉnh, tôi luôn nhận được

sự hướng dẫn và giúp đỡ nhiệt tình của PGS.TS Nguyễn Việt Hải, Giảngviên cao cấp Trường đại học Hải Phòng Tôi xin chân thành bày tỏ lòngbiết ơn sâu sắc đến thầy và xin gửi lời tri ân nhất của tôi đối với nhữngđiều thầy đã dành cho tôi

Tôi xin chân thành cảm ơn Phòng Đào tạo và Hợp tác quốc tế, KhoaToán Tin, quý thầy cô giảng dạy lớp Cao học Khóa 13 (2020 - 2022) thuộcTrường đại học khoa học - Đại học Thái Nguyên đã tận tình truyền đạtnhững kiến thức quý báu trong thời gian học tập cũng như tạo điều kiệncho tôi hoàn thành khóa học

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè, những người đã luôn độngviên, hỗ trợ và tạo mọi điều kiện cho tôi trong suốt quá trình học tập vàthực hiện luận văn

Xin trân trọng cảm ơn!

Hải Phòng, tháng năm 20

Người viết Luận văn

Trần Thị Cúc

Danh mục hình

1.1 Hình Ma của tam giác 8

1.2 Dựng hình Ma 10

1.3 θ là góc giữa CaO và BC 12

1.4 O, Ha, A′′ ∈ (ABaCa) 13

1.5 Ba đường tròn (ABaCa), (BCbAb), (CAbAb) đi qua O 15

1.6 Oa cách đều 2 điểm O và H 16

1.7 Oa, Ob, Oc nằm trên trung trực d của OH 17

1.8 Minh họa cho điểm Gergaune 21

1.9 Pa là giao điểm của 2 đường thẳng BPa,b và CPa,c 24

1.10 Mô tả khác của điểm Nagel 29

2.1 ∆ABC phối cảnh ∆XY Z, ∆XaYaZa,∆XcYcZc 33

2.2 ∆ABC phối cảnh ∆XaYbZc,∆XYcZb,∆XcY Za,∆XbYaZ 35 2.3 Điểm Feuerbach và tam giác liên hợp 37

2.4 Ia′, Ib′, Ic′ là các điểm liên hợp Naa, Nab, Nac của Na 42

3.1 Điểm Torricelli-Fermat 48

3.2 F A+ F B + F C cực tiểu 50

3.3 Ba đường thẳng ka, kb, kc đồng quy 52

3.4 Định lý Napoleon 54

3.5 Điểm Fermat F+, F−, Điểm Napoleon N+, N− 56

3.6 Tam giác Na+Nb+Nc+ phối cảnh với tam giác ABC 58

3.7 Cấu hình Fermat-Napoleon 59

3.8 F+ ∈ (Na−Nb−Nc−); F− ∈ (Na+Nb+Nc+) 60

3.9 Quỹ tích tam giác đều tạo bởi đường Ce’va 62

Mục lục

1.1 Định nghĩa và ký hiệu 7

1.2 Một số tính chất của cấu hình M 12

1.3 Ứng dụng 18

2 Cấu hình tam giác liên hợp và đối liên hợp 31 2.1 Điểm liên hợp và tam giác liên hợp 32

2.2 Tam giác đối liên hợp 36

3 Cấu hình Fermat- Napoleon 47 3.1 Điểm Torricelli - Fermat và điểm Napoleon 47

3.1.1 Điểm Torricelli- Fermat 47

3.1.2 Điểm Napoleon 53

3.2 Cấu hình Fermat-Napoleon 59

3.2.1 Các tính chất 59

3.2.2 Tam giác đều tạo bởi các đường Ce’va 61

MỘT SỐ KÝ HIỆU TRONG LUẬN VĂN

Giới thiệu luận văn

1 Mục đích của đề tài luận văn

Trong Hình học Euclide có nhiều cấu hình đặc biệt thể hiện mối liên hệgiữa các điểm, tam giác và đường tròn Mỗi cấu hình đều có các đặc trưnghình học được chứng minh nhờ các Định lý Hình học có khi rất đơn giản,

có khi rất phức tạp Khái niệm tọa độ barycentric được sử dụng khéo léocũng cho các kết quả bất ngờ Trình bày cách giải quyết các vấn đề trên

là lý do để tôi chọn đề tài "Một số liên kết hình học đặc biệt trongtam giác và ứng dụng" Mục đích của đề tài là:

- Trình bày ba cấu hình đặc biệt trong tam giác với các đặc trưng hìnhhọc của chúng

- Mối quan hệ giữa các đối tượng hình học như: điểm (các tâm tamgiác), tam giác, đường tròn được thể hiện khi nghiên cứu cách dựng cáccấu hình, khi chứng minh các tính chất của mỗi cấu hình

- Làm rõ sự kết hợp giữa phương pháp hình học truyền thống và phươngpháp tọa độ mang lại những kết quả hình học phong phú Luận văn đượctham khảo chính ở các tài liệu [1], [2], [6] Nhiệm vụ của tác giả luận văn

là chứng minh chi tiết các kết quả mà các bài báo nói trên đề cập tới

2 Nội dung đề tài, những vấn đề cần giải quyết

Nội dung luận văn chia làm 3 chương:

Chương 1 Cấu hình chữ M trong tam giác

Chương này giới thiệu một cấu hình đặc biệt liên quan đến 3 tamgiác cân dựng trên cạnh tam giác cho trước Từ các tính chất của cấu hình

ta đưa ra cách dựng đơn giản và các bài toán hình học ứng dụng các định

lý Hình học sơ cấp Nội dung bao gồm các mục sau (tham khảo, tổng hợp

từ các bài báo [4], [5], [6]):

1.1 Định nghĩa và ký hiệu

1.3 Ánh xạ tâm

Chương 2 Cấu hình tam giác liên hợp và đối liên hợp

Nội dung chương 2 nói về điểm liên hợp, tam giác liên hợp và tam giácđối liên hợp Kết quả thu được: Với mỗi điểm cho trước có 4 điểm liên quanđến nó gồm 3 điểm liên hợp và 1 điểm đối liên hợp Các ví dụ cho thấymối quan hệ liên hợp thể hiện trên các khái niệm: tâm nội tiếp và các tâmbàng tiếp, Từ đó làm phong phú thêm ý nghĩa của Định lý Feuerbach nổitiếng Chương này có các mục sau:

2.1 Điểm liên hợp và tam giác liên hợp

2.2 Tam giác đối liên hợp

Chương 3 Cấu hình Fermat-Napoleon

Chương 3 xét các điểm đặc biệt: điểm Torricelli-Fermat, điểm Napoleon

Từ đó xây dựng cấu hình Fermat-Napoleon cùng các tính chất đặc biệtcủa cấu hình này Chương này được tham khảo chính trong bài báo [2].Nội dung của chương được chia thành các mục:

3.1 Điểm Torricelli-Fermat và điểm Napoleon

3.2 Cấu hình Fermat-Napoleon

Chương 1

Cấu hình chữ M của tam giác

Chương này nói về một cấu hình đơn giản của tam giác, để cho tiện ta

1.1 Định nghĩa và ký hiệu

tả là việc làm không đơn giản Vì thế trước tiên hãy xét một số đặc trưng

này (bằng compa và thước kẻ)

Hình 1.1: Hình M a của tam giác

cos A :

1cos B :

1cos C

!

Chứng minh Ta chứng minh bằng cách sử dụng Định lý Ce’va

và AaC = 2macos C, bởi vậy:

BAa : AaC = cos B : cos C Tương tự:

điểm trên BC, CA, AB tương ứng sao cho"

!

= (µν : λν : λµ)

cos A :

1cos B :

1cos C

!

Chú ý:

- Vì 2macos B + 2macos C = a = 2R sin A nên

2(cos B + cos C) =

Rsin Acos B + cos C =

Rcos A

2cos B− C

cos B :

1cos C :

1cos A

!

cos C :

1cos A :

1cos B

!

Ta cũng tính được các độ dài mb, mc theo R và các góc A, B, C Từ đó

ccos C

!, có phương trình

= 0 ↔ −(b − c)x cos A + a(y cos B − z cos C) = 0.

Đường thẳng đó có điểm vô tận

− a(cos B + cos C) : a cos C − (b − c) cos A : (b − c) cos A + a cos B

= − a(cos B + cos C) : b(1 − cos A) : c(1 − cos A)

2 − macos B = ma(cos B + cos C) − macos B = macos C

A2

2 và CaO ∥ BA′.

Hình 1.3: θ là góc giữa C a O và BC

1.2 Một số tính chất của cấu hình M

2 sinB − C

2

(1.4)

các điểm sau:

- điểm chính giữa A′′ của cung BAC.

Hình 1.4: O, H a , A ′′ ∈ (AB a C a )

Chứng minh

1800 −BAC\ = 1800−C\aABa Suy ra Ha nằm trên đường tròn (ABaCa),

đơn giản hơn:

Hình 1.5: Ba đường tròn (AB a C a ), (BC b A b ), (CA b A b ) đi qua O

(Q, QH) Gọi P là điểm chính giữa OH⌢ trong đường tròn (Q, QH), khác

Hình 1.6: O a cách đều 2 điểm O và H

2|B − C| Ngoài ra, theo Mệnh đề

Tam giác OHH′ có \OHH′ = N HX\ = P QX\ = φ, OH′ = R (do H′ ∈

Kết quả sau là hệ quả trực tiếp của Mệnh đề 1.3:

1.3 Ứng dụng

Bách khoa toàn thư về các tâm của tam giác (Tiếng Anh: Encyclopedia

of Triangle Center (ETC)) là một từ điển trực tuyến về các điểm đặc biệttrong tam giác Từ điển này do Clark Kimberling, một giáo sư toán họccủa trường đại học Evansville chủ biên

Các điểm có tính chất đặc biệt trong tam giác, còn gọi là các tâm tamgiác Tính đến ngày 12 tháng 3 năm 2017, đã có hơn 16000 tâm tam giácđược liệt kê trong [4]

tròn nội tiếp Các thông tin về mỗi điểm bao gồm tọa độ tam tuyến, tọa

độ barycenteric và những thông tin liên quan như nằm trên đường thẳngnối với các điểm nào, liên hệ như thế nào với các điểm khác Một số cácđiểm kèm theo hình vẽ dựa trên phần mềm The Geometer’s Sketchpadhoặc GeoGebra

Mỗi tâm tam giác trong từ điển được gán một tên duy nhất Trong một

số trường hợp đặc biệt tên của các điểm này được gán theo tên của ngườiphát hiện hoặc đặt theo tên của một ngôi sao trên bầu trời ví dụ điểm

X(770)

Phần này được tham khảo trong [5] với các kết quả hết sức tóm tắt,nhiệm vụ của chúng tôi là chi tiết hóa tất cả các kết quả trong bài báo, kể cả

f(b, c, a) : f (c, a, b)) với f = fP thỏa mãn: f(a, b, c) = f (a, c, b) Nếu tam

vào hình dạng của tam giác cân và ta có thể biểu diễn nó như là một hàm

( vì sin2A = sin2(1800 − 2B) =sin2B = 4 sin2Bcos2B) Từ đây ta có thể viết:

− cos 2B) Bởi vậy,gH = −2 cos2B

Hình 1.8: Minh họa cho điểm Gergaune.

!

= a(2b − a)

b : 1 : 1

!thì

2

a2: b

2

a2

Tâm (x : y : z) f P g P

(b 2 + c 2

4 cos 2 B Điểm Gergaune G e

1

s − a

cos B

1 − cos B

1 − cos B Bảng 1.1: 12 điểm đặc biệt

: ab2

: ab2

Xét một tâm tam giác được cho bởi hàm tâm tam giác có dạng cân

=0Khai triển định thức ta được

cg(C)cos C



Hình 1.9: P a là giao điểm của 2 đường thẳng BP a,b và CP a,c

là điểm

Φ(P ) = agP(A)

cos A :

bgp(B)cos B :

cgP(C)cos C

Φ(P∗) = gP∗(A) tan A : gP ∗(B) tan B : gP ∗(C) tan C

sin A : sin B : sin C

Lời giải Trước tiên theo bảng 1.1,

Như đã biết G liên hợp đẳng giác với điểm đối trung L hay còn gọi là

Lời giải Trước tiên theo bảng 1.1,

1 − cos Ccos C tan C

!

= (1 − cos A) sin A

cos2A : (1 − cos B) sin B

cos2B : (1 − cos C) sin C

1 + cos A : 1 + cos B : 1 + cos C

là điểm Mittenpunkt của tam giác

Ta có gM(A) = 2(1 − cos A); gM(B) = 2(1 − cos B); gM(C) = 2(1 −cos C) nên

Φ(M ) =

2(1 − cos A) tan A : 2(1 − cos B) tan B : 2(1 − cos C) tan C

= 

(1 − cos A) tan A : (1 − cos B) tan B : (1 − cos C) tan C

= tan A − sin A : tan B − sin B : tan C − sin C

c(a + b − c)

Với P = X(8)− điểm Nagel thì điểm Pa có một mô tả khác Antreas

có B, Z, Pa,b thẳng hàng, do đó C, Y′, Pa,c cũng vậy Như vậy,BZ′ và CY′

với:

y1 = a2(b + c − a)(c + a − b); z1 = a2(b + c − a)(a + b − c)

y2 = (a2 + b2 − c2)2; z2 = (b + c)2(c + a − b)(a + b − c)

y3 = (b + c)2(a + b − c)(c + a − b) z3 = (a2 − b2 + c2)2

Hình 1.10: Mô tả khác của điểm Nagel.

(c + a − b)(a2 − b2 + c2)2 :1

(a + b − c)(a2 + b2 − c2)

!

Kết quả này đã cho Hatzipolakis xây dựng thành công tâm tam giác

đã biết các công thức sau:

Ta sẽ sử dụng tọa độ barycentric thuần nhất tuyệt đối của các điểm

tiện hơn ta sẽ làm việc với tọa độ barycentric thuần nhất Như vậy, điểm

Để biểu diễn các điểm ta sẽ sử dụng các ký hiệu Conway như sau:

σ = 2SABC = absinC = bcsinA = acsinB

σA = σcotA; σB = σcotB; σC = σcotC

2.1 Điểm liên hợp và tam giác liên hợp

giác ABC và f(a, b, c) là một hàm tâm đối với M (được cho chẳng hạn

bàng tiếp:

Ia = (−a : b : c); Ib = (a : −b : c); Ic = (a : b : −c)

giác ABC:

X = (0 : s − c : s − b); Y = (s − c : 0 : s − a); Z = (s − b : s − a : 0)

Xa = (0 : s − b : s − c), Ya = (−s(x − b) : 0 : s), Za = (−(s − c) : s : 0);

Xb = (0 : −(s − a) : s), Yb = (s − a : 0 : s − c), Zb = (s : −(s − c) : 0);

Xc = (0 : s :: −(s − a), Yc = (s : 0 : −(s − b)), Zc = (s − a : s − b : 0)

Mệnh đề 2.1 (Định lí 1,[5]) Mỗi bộ ba các đường thẳng sau đồng quy:

(AX, BY, CZ) : (AXa, BYa, CZa); (AXb, BYb, CZb), (AXc, BYc, CZc) Nói

Hình 2.1: ∆ABC phối cảnh ∆XY Z, ∆X a Y a Z a , ∆X c Y c Z c

Chứng minh Ta bắt đầu với phương trình các đường thẳng:

(AX) : −(s − b)y + (s − c)z = 0; (AXa) : (s − c)y − (s − b)z = 0,(BY ) : (s − a)x − (s − c)z = 0; (BYa) : (s − b)x + sz = 0,

(CZ) : −(s − a)x − (s − b)y = 0; (CZa) : sx + (s − c)y = 0,

(AXb) : sy + (s − a)z = 0; (AXc) : (s − a)y + sz = 0,

(BYb) : (s − c)x − (s − a)z = 0; (BYc) : (s − c)z + sz = 0,

Với mỗi bộ ba đường thẳng trên, dễ kiểm tra được kết quả sau:



= Gec

Mệnh đề 2.2 (Định lý 2,[5]) Mỗi bộ ba các đường thẳng sau đồngquy: AXa, BYb, CZc), (AX, BYc, CZb), (AXc, BY, CZa), (AXb, BYa, CZ)

(AX, BYc, CZb) −→ Naa = (−s : s − c : s − b)

(AXc, BY, CZa) −→ Nbb = (s − c : −s : s − a)

(AXb, BYa, CZ) −→ Nac = (s − b : s − a : −s)

Hình 2.2: ∆ABC phối cảnh ∆X a Y b Z c , ∆XY c Z b , ∆X c Y Z a , ∆X b Y a Z

Chúng đồng quy tại diểm

Ví dụ 2.1.2 Đường tròn nội tiếp tiếp xúc trong với đường tròn chín điểm.

= 

b(b − c)2(a + b + c) : −(c + a)2(a + b − c) : −(a + b)2(c + a − b)

= 

− (b − c)2s : (c + a)2(s − c) : (a + b)2(s − b) = Fa

Tương tự đối với các điểm liên hợp thứ hai và thứ ba Do đó, tam giác

2.2 Tam giác đối liên hợp

Định nghĩa 2.2 Tam giác đối liên hợp (anticomplementery) của tam giác

Hình 2.3: Điểm Feuerbach và tam giác liên hợp

h(M ) = M′ = 3G − 2M = (1 − 2xM : 1 − 2yM : 1 − 2xM)

(1 : 1 : −1) Dễ kiểm tra được các điểm A(1 : 0 : 0), B(0 : 1 : 0), C(0 : 0 :

Định nghĩa 2.3 Cho tam giác ABC có G là trọng tâm Ta sẽ gọiM’=h(G,2) là điểm đối liên hợp của M bất kỳ đối với tam giác ABC

Tiếp theo ta đi tính tọa độ điểm đối liên hợp của một điểm quen thuộc:

I′ = (−a + b + c : a − b + c : a + b − c) = (2s − 2a : 2s − 2b : 2s − 2c) =(s − a : s − b : s − c) = Na,

= (σ2 − 2σBC : σ2 − 2σCA : σ2 − 2σAB) = X(20)- Điểm De Long champs

σ2 + σBC + σCA − σAB = σCA + σAB : σBC + σAB : σBC + σAB) =(σA(σB + σC) : σB(σA + σC) : σC(σA + σB) = (a2σA : b2σB : c2σC) = O

L′ = (−a2 + b2 + c2 : a2 − b2 + c2 : a2 + b2 − c2)

= (2σA : 2σB : 3σC)

= (σA : σB : σC) = X(69)

− a(s − a) + b(s − b) + c(s − c) :

a(s − a) − b(s − b) + c(s − c) : a(s − a) + b(s − b) − c(s − c)

Tọa độ thứ nhất là:

−a(s − a) + b(s − b) + c(s − c) = a2 − b2 − c2 + s(−a + b + c)

Điểm M 7→ Điểm đối liên hợp M ′

Liệt kê các kết quả trên vào bảng 2.1: Điểm đối liên hợp

Mệnh đề 2.5 (Định lý 5,([5]) Đường thẳng Euler của tam giác đối liênhợp A’B’C’ trùng với đường thẳng Euler của tam giác cho trước ABCChứng minh Đường thẳng Euler được xác định bởi tâm ngoại tiếp, trực

trùng nhau

Bổ đề 2.2.1 [5], Điểm đối liên hợp của điểm Feuerbach F là điểm

= 2(a − b)(a − c)s − a2(b + c) + a(b + c)2 − bc(b + c)

= 2(a − b)(a − c)s − (b + c)(a2 − a(b + c) + bc)

= (2s − (b + c))(a − b)(a − c)

= a(a − b)(a − c)

và c(c − a)(c − b) Do đó, điểm F′ - đối liên hợp của F là

= a3 + a2(b + c) + a(b2 − bc + a2) + a2(b + c) + a(b + c)@+ (b3 + c3) −

a2(b + c) − 2a(b2 + c2) − (b3 + c3)

= a3 + a2(b + c) + abc = a(a + b)(a + c)

minh

tròn bàng tiếp

Hình 2.4: I ′

a , I ′

b , I ′

c là các điểm liên hợp N aa , N ab , N ac của N a

h(G, −2).

GO9 = 2 = F

′G

s− as

s− bs

s− cc

.S