Luận văn thạc sỹ một số kết quả mới trong hình học rời rạc và ứng dụng

Hình 2.1: Phần tử nhỏ nhất được xác định bởi một hình tròn và một hình tam giácBây giờ chúng ta chứng minh Định lý 2.1 thể chọn một điểm nhỏ nhất trong giao của chúng.. Với họ các tập bấ

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS Trịnh Thanh Hải

THÁI NGUYÊN - 2022

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản 4

1.2 Định lý Helly 5

1.3 Tính chất hình học của ellipxoit 7

2 Một số kết quả mới về hình học rời rạc 12 2.1 Định lý Helly mở rộng 12

2.1.1 Định lý tô màu 12

2.1.2 Định lý định lượng 16

2.2 Định lý Helly cho ellipxoit 16

2.2.1 Phiên bản đơn sắc 16

2.2.2 Phiên bản đa sắc 18

2.3 Định lý Helly định lượng tô màu 21

Danh mục hình

1.1 Một số tập lồi trong R2 4

1.2 Một trường hợp của định lý Helly trong R2 6

1.3 Một ellipxoit trong R2 8

1.4 Bao lồi của E1 và E2 chứa E 9

1.5 Bao lồi của hai cầu chứa một ellipxoit lớn hơn 10

2.1 Phần tử nhỏ nhất được xác định bởi một hình tròn và một hình tam giác 13

2.2 Trong R2 hai lớp màu là không đủ 14

2.3 Một trong các trường hợp có thể xảy ra 15

2.4 Ellipxoit Lowner của ngũ giác đều lớn hơn nếu ta xóa đi 1 cạnh 17

2.5 Ellipxoit thấp nhất có kích thước bằng 1 nằm trong giao của các nửa phẳng 19

2.6 Một trường hợp đặc biệt của định lý 2.9 20

❼ Cho K là một thể lồi, khi đó vol(K) là thể tích của K.

Mở đầu

Hình học rời rạc (có nhiều tài liệu gọi là hình học tổ hợp) là một nhánh khôngthể thiếu của toán tổ hợp, là những bài toán hay, thú vị và thường xuyên xuấthiện trong các cuộc thi học sinh giỏi Quốc gia, Olympic toán quốc tế, thi Olympicsinh viên giữa các trường đại học, cao đẳng trong cả nước

Trong thời gian gần đây trên các tạp chí nước ngoài đã đăng tải nhiều kết quảmới trong hình học rời rạc và cho ta một số ứng dụng thú vị trong toán sơ cấp

và các kết quả này nhưng chưa có luận văn nào thuộc chuyên ngành Phương pháptoán sơ cấp ở Trường Đại học Khoa học đề cập đến Với mong muốn tìm hiểu cáckết quả mới này, em đã chọn đề tài “Một số kết quả mới trong hình học rời rạc vàứng dụng” làm đề tài luận văn thạc sĩ của mình

Mục đích nghiên cứu của luận văn được xác định là: Sưu tầm, nghiên cứu vàtrình bày một cách có chọn lọc một số kết quả mới trong hình học rời rạc và ứngdụng để hình thành một tài liệu giảng dạy chuyên đề bồi dưỡng học sinh khá, giỏi

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

1.1 Một số khái niệm cơ bản

i=1λixi

Ta ký hiệu là conv(S)

Định nghĩa 1.4 Với một chuẩn ∥.∥ thì tập {x|∥x∥ ≤ 1} được gọi là cầu đơn vị

d 2

Định nghĩa 1.5 Tập lồi compact K trong Rd được gọi là thể lồi nếu tập K cóphần trong khác rỗng.

Định nghĩa 1.6 Đồ thị là một cặp G = (V, E), trong đó:

(1) V là tập hợp hữu hạn các phần tử, được gọi là các đỉnh

(2) E ⊆ V × V là tập hợp các phần tử, chúng được gọi là các cạnh Chú ý, E cóthể là một tập rỗng

1.2 Định lý Helly

Chứng minh Ta chứng minh với trường hợp |S| = d + 2

Dòng đầu cho d phương trình của tọa độ, khi đó ta có d + 1 phương trình Ta gọi

quả không có tập nào rỗng

Chứng minh Chúng ta sẽ chứng minh quy nạp trên hữu hạn các tập.

Khi đó, có một tập Q ⊂ S sao cho |Q| ⩽ d + 1 và p ∈ conv(Q)

Định lý 1.4 [2] (Tverberg) Cho một tập S ⊂ Rd sao cho |S| > (d + 1)(m − 1) với

Nếu một tập con gồm d + 1 điểm, điểm p không nằm trong bao lồi của tập con thì

Định lý 1.6 [2] (Định lý Helly hình cây) Cho G là đồ thị hình cây và G được kýhiệu là họ các cây con của G Nếu 2 phần tử có điểm chung thì điểm chung đóthuộc về tất cả các phần tử trong G

1.3 Tính chất hình học của ellipxoit

ellipxoit E(A, a) theo định nghĩa sau:

Một cách khác để xác định ellipxoit là ảnh affine của cầu đơn vị Không khó để

Đối với một ma trận xác định dương A, có một ma trận xác định dương duy nhất

2)2

Có một mối liên hệ chặt chẽ giữa các tính chất hình học của ellipxoit và cáctính chất đại số của ma trận tương ứng Vì A là xác định dương, nên có một cở sởtrực giao của các vecto riêng Các trục của ellipxoit đối với các vecto riêng và độdài của chúng tương ứng với các giá trị riêng Một ánh xạ thang chia tỷ lệ thể tíchtheo định thức của ma trận Như vậy,

Hình 1.3: Một ellipxoit trong R 2

Một trong những ưu điểm lớn nhất của ellipxoit là ý tưởng sau: Giả sử chúng

ta có một bài toán bất biến dưới phép biến đổi affine và chúng ta có một ellipxoit

có liên quan đến bài toán Sau đó, chúng ta có thể sử dụng một phép biến đổiaffine để biến đổi ellipxoit của chúng ta thành một hình cầu đơn vị Sau khi biếnđổi, chúng ta phải xử lý một hình cầu thay vì một hình ellipxoit tùy ý, điều nàythường dễ dàng hơn nhiều Để làm ví dụ, chúng ta trình bày một định lý

d

Y

i=1

bi,i

a + b

Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi bi,i = 1,∀i = 1, , d Vì E không có thể tích

Hình 1.5: Bao lồi của hai cầu chứa một ellipxoit lớn hơn

Với một thể lồi, ellipxoit nội tiếp có thể tích lớn nhất được gọi là ellipxoit

về đặc trưng của ellipxoit Lowner

Định lý 1.9 Cho C là một thể lồi đối xứng và E là ellipxoit Lowner của nó Sau

một ellipxoit chứa C

2

i=1λiui⊗ ui

nhỏ nhất chứa C Sau đó, nếu chúng ta thu nhỏ E từ tâm của nó theo hệ số d,chúng ta nhận được một ellipxoit có trong C

Mặt khác sẽ có 1 màu mà các tập được tô màu đó có điểm chung.

gọi là lựa chọn màu

tọa độ cuối cùng nếu chúng phân biệt Thông thường chúng phân biệt ở tọa độ

sao cho ∩C ̸= ∅ Cho p có giá trị nhỏ nhất trong ∩C Khi đó tồn tại một họ con

Chúng ta có thể dễ dàng nhận thấy K là lồi

Hình 2.1: Phần tử nhỏ nhất được xác định bởi một hình tròn và một hình tam giác

Bây giờ chúng ta chứng minh Định lý 2.1

thể chọn một điểm nhỏ nhất trong giao của chúng Trong các điểm nhỏ nhất này,

có một điểm cực đại Khi đó, chúng ta gọi điểm này là p và đặt các tập xác định

i=1,j̸=j Chúng ta sẽ

Trong trường hợp định lý Helly, số Helly là số dương Tương tự, trong phiênbản tô màu, số của các lớp màu không thể giảm bớt.

màu đỏ nhưng 2 tập màu đỏ và 2 tập màu xanh là rời nhau

sao cho p ∈ conv(s1, , sn+1)

Định lý 2.3 [2] (Tverberg về tô màu) Với mọi d ≥ 1 và r ≥ 2 thì tồn tại t sao

Định lý 2.4 [2] (Định lý Helly hình cây về tô màu) Cho G = (V, E) là một biểu

Chứng minh Đầu tiền, chúng ta thu thập các bước cơ bản từ chứng mình định lýHelly, sau đó chúng ta có thể áp dụng

1 Tạo một thứ tự thích hợp trên các điểm.

2 Với họ các tập bất kỳ, chúng ta có thể chọn điểm duy nhất trong giao điểmcủa chúng nhỏ nhất theo thứ tự Chúng ta gọi đó là điểm tối thiểu của họ

3 Với lựa chọn tô màu bất kỳ, một trong các tập có thể bỏ đi sao cho điểm tốithiểu không thay đổi

là lựa chọn màu với điểm tối thiểu lớn hơn p Điều này xuất phát từ v là điểm cực

giao điểm của lớp màu thứ i

Bước đầu tiên là dễ dàng chứng minh, Hình 2.3 Chúng ta chọn một đỉnh tùy ýlàm gốc Sau đó, thứ tự các đỉnh được xác định bởi tìm kiếm đầu tiên theo chiềurộng

Hình 2.3: Một trong các trường hợp có thể xảy ra

Bước 2 là tầm thường, vì chúng ta có thứ tự tổng thể

trong các giao điểm Nếu cả hai cây chứ đỉnh nhỏ hơn thì hai cây đều chứ điểmgốc p (mâu thuẫn tính tối thiểu của p.)

Bước 4 và 5 rất đơn giản Một cây có vô số đỉnh, do dó chúng ta có thể chọn

hơn hoặc bằng 1 Khi đó tồn tại một hằng số q(d) sao cho ∩C có thể tích nhỏ nhất

là q(d)

Định lý 2.6 [2] (Helly định lượng liên tục) Với mọi d và ε > 0, tồn tại một giá trị

2.2 Định lý Helly cho ellipxoit

phẳng chứa C, ellipxoit Lowner của giao điểm có thể tích ít nhất là 1 Khi đó,ellipxoit của C có thể tích ít nhất là 1

Định lý 2.8 (Định lý Helly cho ellipxoit) Gọi C là một họ hữu hạn các tập

Td(d+3)/2

có thể tích 1

Chứng minh Giả sử rằng ∩C không bao gồm một ellipxoit có thể tích 1 Chúng

ta sẽ chỉ ra d(d + 3)/2 tập từ C sao cho ellipxoit Lowner của giao có thể tích nhỏhơn 1

Vấn đề rõ ràng là bất biến affine Điều duy nhất thay đổi là hằng số 1 Do đó,bằng một phép biến đổi affine, chúng ta có thể giả sử rằng ellipxoit Lowner của C

Vì C là hữu hạn nên các phần tử của nó là compact, bd(∩C) ⊂ SC∈Cbd(C) Do đó

2)

Số Helly trong định lý 2.9 là d(d + 3)/2 và đây là số tốt nhất có thể đạy được

i=1,i̸=j Hi với j bất kỳ.Trong hình 2.4, ta thấy 5 nửa phẳng xác định một ngũ giác đều trong không gian

2 chiều

Hình 2.4: Ellipxoit Lowner của ngũ giác đều lớn hơn nếu ta xóa đi 1 cạnh.

Vì một phép biến đổi affine không thay đổi cấu trúc của các tập, theo định lý2.8, chúng ta có thể coi ellipxoit có thể tích c với bất kỳ hằng số c dương nào

Sử dụng định lý 2.8, chúng ta có thể đưa ra một chứng minh nhành chóng chođịnh lý Helly định lượng với số Helly d(d+3)/2 Vì giao điểm của bất kỳ d(d+3)/2tập có thể tích ít nhất bằng 1 nên theo hệ quả 1.1, mỗi giao điểm chứa một ellipxoit

một ellipxoit có thể tích 1

ellipxoit hoàn toàn lồi nên nó duy nhất Chiều cao của một ellipxoit là chỉ tọa độ

Bổ đề 2.2 Cho C là một tập lồi compact, sao cho nó chứa một ellipxoit có thể tích

1 Khi đó, có tồn tại duy nhất một ellipxoit có thể tích 1 sao cho mọi ellipxoit cóthể tích 1 trong C đều có chiều cao lớn hơn Chúng ta gọi ellipxoit này là ellipxoitthấp nhất trong C

{0, 0, , 0, 1}

1 Vì C là tập compact và nó chứa một ellipxoit có thể tích 1, giá trị t được xác

nhất trong C Chúng ta gọi ellipxoit này là E

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng vol(E) = 1 Theo cách chọn của t, chúng ta có vol(E) ≥

Theo cách chọn t, không có ellipxoit nào có thể tích bằng 1 trong C có chiềucao nhỏ hơn t Mặt khác chiều cao của E là t Như vậy theo định lý 1.7, không có

Hình 2.5: Ellipxoit thấp nhất có kích thước bằng 1 nằm trong giao của các nửa phẳng.

nhỏ nhất duy nhất bên trong C

và Kj := Td(d+3)/2

i=1,i̸=j Ci và E biểu thị ellipxoit thấp nhất trong K Sau đó, tồn tại j

có thể tích 1 với mọi j

thuẫn với thực tế rằng E là ellipxoit thấp nhất trong K

Sử dụng bổ đề 2.2 và 2.3 để chứng minh định lý 2.9

trong mỗi một giao trên Ký hiệu tập các ellipxoit này là B Vì chúng ta có hữuhạn các giao nên có một ellipxoit cao nhất trong các ellipxoit này Chúng ta ký

Hình 2.6 thể hiện một trường hợp đặc biệt của định lý Ba trong các lớp màu chứamột ellipxoit duy nhất và hai lớp màu còn lại chưa hai hình bình hành

Hình 2.6: Một trường hợp đặc biệt của định lý 2.9

i=1,i̸=j Ci và

K = Td(d+3)/2

2.3 Định lý Helly định lượng tô màu

Định lý 2.10 (Helly định lượng tô màu) Tồn tại một hằng số qc(d) chỉ phụ thuộc

Cd(d+3)/2 giao điểm Td(d+3)/2i=1 Ci có thể tích lớn hơn hoặc bằng 1 Khi đó với i nào

Chứng minh Vì giao của các vùng lựa chọn màu có thể tích nhỏ nhất bằng 1 Nên

Theo định lý 2.9, điều này ngụ ý rằng có một lớp màu sao cho giao của các tập

Chương 3

Một số ứng dụng

Bài toán 3.1 Giả sử rằng đồ thị G = (V, E) có |V | = n và không chứa một chu

Lời giải Đặt d(u) là bậc của đỉnh u; S là tập hợp các cặp (u, v, w), trong đó u kề

2

! Vì vậy

ta có

u∈V

d(u)2

!

Mặt khác, với mỗi cặp v; w chỉ tồn tại nhiều nhất một đỉnh u ∈ V sao cho

Lời giải Ta sẽ đếm số N các dãy các cạnh có hướng có thể thêm vào n đỉnh trên

để tạo thành một cây có gốc Các cạnh có hướng được thêm vào có hướng sao chovới mỗi đỉnh V thì các cạnh thuộc đường nối gốc R của cây với V có hướng từ Rđến V

số (n − 1)! Hoán vị của n − 1 cạnh của cây để tạo thành một dãy cạnh có hướng(chú ý rằng hướng của mỗi cạnh được xác định duy nhất vì giữa hai đỉnh bất kìcủa một cây chỉ có đúng một đường nối duy nhất)

Ta sẽ xây dựng một cây có gốc như trên bằng cách thêm từng cạnh một vào n

được một bụi có gốc gồm k cây Có n(k − 1) cách thêm vào một cạnh : đỉnh đầucủa nó là một trong số n đỉnh và đỉnh cuối của nó là một trong số k − 1 gốc của

Bài toán 3.3 (IMC 2002) Có 200 thí sinh tham gia trong một cuộc thi Họ được

đề nghị giải 6 bài toán Biết rằng mỗi bài toán được giải đúng bởi ít nhất 120 thísinh Chứng minh rằng phải có 2 thí sinh mà với mỗi bài toán, có ít nhất một tronghai thí sinh này giải được bài toán đó

Lời giải Xét ma trận liên thuộc 6 × 200, trong đó mỗi hàng đại diện cho một bàitoán và mỗi cột đại diện cho một thí sinh tham gia cuộc thi Mỗi phần tử của matrận nhận giá trị 1 nếu thí sinh tương ứng với cột không giải được bài toán tươngứng với hàng và 0 nếu ngược lại.

Đặt N là số các cặp các số 1 ở cùng hàng Giả sử rằng với hai thí sinh bất kì, tồntại một bài toán mà cả 2 đều không giải được Khi đó, với hai cột bất kì, có ít

2

!cặpcột Do đó

Hãy xác định tất cả các hình chữ nhật m ×n, trong đó m, n là các số nguyên dươngsao cho có thể lát hình chữ nhật đó bằng các viên gạch hình móc câu

Lời giải Dễ thấy m, n /∈ 1, 2, 5 Chia hình chữ nhật m × n thành m × n ô vuông

và đánh số các hàng, các cột từ dưới lên trên, từ trái sang phải Ta gọi ô (p, q) là

ô nằm ở giao hàng thứ p và cột thứ q Hai viên gạch hình móc câu chỉ có thể ghéplại để được một trong hai hình dưới đây

Do đó, để lát được hình chữ nhật m × n thì m.n phải chia hết cho 12 Nếu ít nhấtmột trong hai số m hoặc n chia hết cho 4 thì có thể lát được hình chữ nhật m × n.Thật vậy, giả sử được m chia hết cho 4 Nếu n chia hết cho 3 thì có thể chia hìnhchũ nhật m × n thành các hình 4 × 3, do đó có thể lát được Nếu n không chiahết cho 3 thì có thể viết n dưới dạng n = 3a + 4b với a, b là các số nguyên dương,

do đó có thể lát được

Bây giờ ta chứng minh một trong hai số m, n chia hết cho 4 Giả sử ngược lại, khi

đó cả m và n chia hết cho 4 nhưng không chia hết cho 4 Để chứng minh điều naykhông xảy ra ta tạo bất biến Để tạo bất biến ta điều các số vào các ô của hìnhchữ nhật theo quy tắc sau: Xét ô (p, q) Nếu chỉ một trong hai tọa độ p và q chiahết cho 4 thì điền số 1 vào đó Nếu chỉ một trong hai tọa độ p và q chia hết cho

4 thì điền số 2 vào ô đó Với cách điển số như vậy ta thu được bất biến là tổngcác số trong hình (H1) và tổng các số trong hình (H2) luôn là số lẻ Do m, n chẵnnên tổng các số trong toàn bộ hình chữ nhật m × n là một số chẵn Muốn lát đượchình chữ nhật m × n thì tổng số hình (H1) và (H2) được sử dụng phải là số chẵn.Khi đó, m.n chia hết cho 24 Điều này không xảy ra vì cả m, n đều không chia hếtcho 4

Bài toán 3.5 Một con ếch nhảy từ đỉnh A đến đỉnh E của một hình bát giác đều

ABCDEF GH Tại bất cứ đỉnh nào trừ E, con ếch có thể nhảy tới hai đỉnh liền

Chứng minh rằng

2

bước nhảy đầu tiên, ếch có thể đến C, hoặc G hoặc quay trở về A Ta có công thức

Từ điểm C (hoặc điểm G), cũng bằng hai bước nhảy, ếch có thể trở về chỗ cũ hoặc

Bài toán 3.6 Người ta tô đỏ một số cạnh của một đa giác lồi và tô xanh các cạnhcòn lại Biết rằng tổng độ dài các cạnh đỏ nhỏ hơn nửa chu vi đa giác và không có

2 cạnh kề nhau nào được cùng tô màu xanh Hỏi đa giác có thể là đa giác ngoạitiếp một đường tròn được hay không?

Lời giải Giả sử BC là cạnh xanh, AB, CD là các cạnh kề với cạnh BC Theo giảthiết, AB và CD là các cạnh đỏ Giả sử đa giác ngoại tiếp được đường tròn (O).Gọi M, N, P là các tiếp điểm của đường tròn trên AB, BC, CD

Ta có BC = BN + NC = BM + CP Do đó tổng độ dài các cạnh xanh nhỏ hơnhoặc bằng tổng độ dài các cạnh đỏ (dấu nhỏ hơn xảy ra khi tồn tại hai cạnh đỏ hềnhau Dấu bằng xảy ra khi không tồn tại hai cạnh đỏ kề nhau).

Từ đó suy ra tổng độ dài các cạnh xanh không lớn hơn nửa chu vi đa giác, tức làtổng độ dài các cạnh đỏ lớn hơn hoặc bằng nửa chu vi đa giác, trái với giả thiết.Vậy đa giác đã cho không thể ngoại tiếp một đường tròn được

Bài toán 3.7 Cho một đường tròn Ta tô màu xanh một số cung của đường tròn,tổng độ dài các cung màu xanh của đường tròn nhỏ hơn nửa chu vi đường tròn.Chứng minh rằng tồn tại một đường kính của đường tròn mà hai đầu không bị tômàu

Lời giải Tô đỏ các cung đối xứng với các cung xanh qua O Do tổng độ dài cáccung xanh nhỏ hơn nửa chu vi đường tròn nên tổng độ dài các cung xanh và cung

đỏ nhỏ hơn chu vi đường tròn Suy ra tồn tại một điểm A không được tô màu xanhhay màu đỏ Điểm B đối xứng với điểm đó qua O cũng không được tô màu và vìthế, đường kính AB là đường kính cần tìm

Bài toán 3.8 Mỗi điểm trên mặt phẳng được tô bởi một trong bảy màu Hỏi cóphải luôn tồn tại hai điểm cùng màu có khoảng cách bằng một hay không?

Lời giải Ta sẽ đưa ra một ví dụ để chứng tỏ rằng mặt phẳng được tô bằng 7 màunhưng không có hai điểm cùng màu bất kì có khoảng cách bằng 1 Ta chia mặtphẳng thành các lục giác đều bằng nhau với các cạnh bằng a và tô chúng như cáchình ở dưới đây (các điểm thuộc hai hay ba lục giác có thể tô bằng một màu bất

kì trong số các màu tô các lục giác đó)