Luận văn thạc sỹ hàm sinh và một số ứng dụng mới trong tổ hợp

Đưa ra một số bài toán trong chương trình vật lý, toán học THPT mà ta có thể sử dụng hàm sinh để giải quyết.. Mục tiêu của đề tài Mục tiêu được đặt ra đối với đề tài là: Tìm hiểu về hàm

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN

TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC

PGS.TS TRỊNH THANH HẢI

THÁI NGUYÊN - 2022

Mục lục

1.1 Hàm sinh 3

1.2 Các phép toán trên hàm sinh 5

1.2.1 Phép nhân với hằng số 5

1.2.2 Phép cộng 6

1.2.3 Phép dịch chuyển sang phải 6

1.2.4 Phép lấy Đạo hàm 7

1.2.5 Quy tắc xoắn 8

1.3 Ý tưởng sử dụng hàm sinh để đưa ra lời giải bài toán 9

1.3.1 Dãy Fibonacci 9

1.3.2 Giải bài toán đếm bằng cách sử dụng hàm sinh 11

2 Ứng dụng hàm sinh để tìm ra cách giải bài toán 14 2.1 Sử dụng hàm sinh là các chuỗi lũy thừa vô hạn 14

2.1.1 Bài toán phân hoạch và chuỗi cấp số cộng 18

2.1.2 Bài toán tung con xúc xắc 20

2.1.3 Bài toán đổi tiền xu 21

2.1.4 Bài toán về dãy tập hợp 22

2.2 Sử dụng hàm sinh là đa thức 23

2.3 Bài toán xác định tập con theo một điều kiện cho trước 32

2.4 Một số bài toán xuất phát từ thực tế 39

Phần mở đầu

Lí do chọn đề tài

Trong chương trình toán phổ thông việc vận dụng hàm sinh vào giải toán làmột chủ đề thú vị được nhiều giáo viên giảng dạy khối chuyên toán, học viêncao học quan tâm Phương pháp sinh có thể mô tả như sau:

<Xây dựng cấu hình đầu tiên>;

Repeat <Đưa ra cấu hình đang có>;

<Từ cấu hình đang có sinh ra cấu hình kế tiếp nếu còn>;

Until <hết cấu hình>

Phương pháp sinh có thể vận dụng để giải toán tổ hợp nếu như hai điều kiệnsau thoả mãn

(1) Có thể xác định được một thứ tự trên tập các cấu hình tổ hợp cần liệt

kê Từ đó có thể xác định được cấu hình đầu tiên và cấu hình cuối cùng trongthứ tự đã xác định

(2) Xây dựng được thuật toán từ cấu hình chưa phải cấu hình cuối, sinh rađược cấu hình kế tiếp nó

Đối với các các bài toán về dãy, chuỗi, người ta thường lựa chọn:

- Hàm sinh là đa thức

- Hàm sinh là các chuỗi lũy thừa vô hạn

Đã có một một số giáo viên dạy khối chuyên toán tìm hiểu về hàm sinh thôngqua các bài toán về dãy số Catalan và Fibonaxi Cũng có một vài sinh viên,học viên cao học tìm hiểu về chủ đề hàm sinh ví dụ như: Khóa luận đại họccủa Nguyễn Thị Hồng Vân, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội 2(2018) Luận vănthạc sĩ của Võ Văn Việt, Trường Đại học Khoa học (2013) về hàm sinh và ứngdụng trong giải bài toán Phương trình hồi quy

Vì ứng dụng của hàm sinh là rất rộng, không thể nào đề cập đến trong mộtvài luận văn Để không trùng lặp và vừa với khuân khổ một luận văn thạc sĩ,phạm vi nghiên cứu của luận văn được giới hạn là: Tìm hiểu việc sử dụng hàmsinh vào giải các bài toán sau:

(1) Tìm biểu diễn của số hạng an theo n của một dãy số

(2) Xác định hệ số an trong biểu diễn của một đa thức

(3) Xác định một tập con theo một điều kiện cho trước

Với mong muốn:

(1) Trình bày một vài kết quả mới về phương pháp sử dụng hàm sinh tronggiải bài toán tổ hợp và toán rời rạc trong những năm gần đây

(2) Đưa ra một số bài toán trong chương trình vật lý, toán học THPT mà

ta có thể sử dụng hàm sinh để giải quyết

Mục tiêu của đề tài

Mục tiêu được đặt ra đối với đề tài là: Tìm hiểu về hàm sinh, sau đó lựa chọn

ra một hệ thống các bài tập dành cho học sinh khá, giỏi để minh họa việc sửdụng hàm sinh để đưa ra lời giải trình bày

Nhiệm vụ của đề tài

Luận văn cần hoàn thành các nhiệm vụ sau:

- Nghiên cứu, tìm hiểu về hàm sinh

- Tìm hiểu, lựa chọn một số ví dụ trong thực tế, trong chương phổ thông cóthể sử dụng hàm sinh để giải quyết

- Minh họa việc sử dụng hàm sinh vào giải toán thông qua việc trình bày lờigiải một số bài toán dành cho học sinh khá, giỏi

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn gồm 2 chương:Chương 1: Trình bày các kiến thức cơ sở liên quan đến hàm sinh làm cơ sởcho việc đưa ra lời giải cho các bài toán được trình bày ở chương 2;

Chương 2: Trình bày việc ứng dụng hàm sinh vào giải quyết một số bài toánhay, dành cho học sinh khá, giỏi

Đẳng thức này không đúng với |z| ≥ 1 Công thức này cho chúng ta công thứchàm sinh của hàng loạt dãy số:

h1, 1, 1, 1, i ↔ 1 + x + x2+ x3+ · · · = 1

1 − x,h1, −1, 1, −1, i ↔ 1 − x + x2 − x3+ · · · = 1 + x1 ,

h1, a, a2, a3, i ↔ 1 + ax + a2x2+ a3x3+ · · · = 1

1 − ax,h1, 0, 1, 0, i ↔ 1 + x2+ x4+ · · · = 1

1 − x2

Từ đây, ta có bài toán:

Ví dụ 1.1 Tìm công thức tổng quát cho dãy (yn)n≥0 với y0 = 1 và

Nhân hàm sinh trên với a ta được

Ta bắt đầu từ một dãy số đơn giản và hàm sinh của nó:

h1, 1, 1, 1, i ↔ 1

1 − x.Bây giờ ta dịch chuyển sang phải bằng cách thêm k số 0 vào đầu:

h0, 0, 0, , 0, 1, 1, 1, i ↔ xk+ xk+1+ xk+2+ · · ·

= xk(1 + x + x2+ · · · ) = x

k

1 − x.Như vậy thêm k số 0 vào đầu dãy số tương ứng với việc hàm sinh nhân với xk.Điều này cũng đúng trong trường hợp tổng quát

Quy tắc 1.3.Nếu hf0, f1, f2, i ↔ F (x) thì h0, 0, , 0, f0, f1, f2, i ↔ xkF (x).Chứng minh Ta có

Ta tìm được hàm sinh cho dãy số h1, 2, 3, 4, i

Vậy việc lấy đạo hàm của hàm sinh có hai tác động lên dãy số tương ứng:Các số hạng được nhân với chỉ số và toàn bộ dãy số được dịch chuyển sang trái

1 vị trí

Quy tắc 1.4 Nếu hf0, f1, f3, i ↔ F (x) thì hf1, 2f2, 3f3, i ↔ dF (x)

dx .Chứng minh Ta có

Sau đây là ví dụ thú vị về số Catalan:

Ví dụ 1.5 Tính số hạng tổng quát của dãy Catalan

Theo khai triển Taylor, ta có

1.3 Ý tưởng sử dụng hàm sinh để đưa ra lời giải bài toán

Hàm sinh có rất nhiều ứng dụng trong việc đưa ra các lời giải cho toán tổhợp, thông qua hàm sinh ta có thể chuyển những bài toán dãy số về bài toán vềhàm số để từ đó đưa ra lời giải cho bài toán Ta có thể minh họa ý tưởng quacác ví dụ sau:

fn = fn− 2+ fn− 1

h0, 1, 2, 3, 5, 8, 13, i ↔ x

1 − x − x2.(b) Bước 2: Tìm công thức của số hạng tổng quát:

Ở trên, ta đã tìm hàm sinh của dãy Fibonacci, công việc tiếp theo là tìm hệ số

từ hàm sinh bằng cách sử dụng phương pháp phân tích Từ các hàm phân thức

ta phân tích thành các phân thức sơ cấp, tìm các hệ số cho các phân thức sơcấp, từ đó ta tìm được các hệ số cần tìm Cụ thể:

- Phân tích mẫu số ra thừa số:

x

(1 − a1x)(1 − a2x)trong đó a1 = 1 +

√5

Ta có thể làm điều này bằng phương pháp hệ số bất định và ta dễ dàng tìmđược:

1 − x − x2

= √15

1 +√

52

n

−1 −

√52

n

−1 −

√52

n

Đây chính là công thức tính số hạng tổng quát của dãy Fibonacci

Tương tự như vậy, chúng ta cũng có thể dùng phương pháp hàm sinh để giảinhiều bài toán về dãy số khác

1.3.2 Giải bài toán đếm bằng cách sử dụng hàm sinh

Hàm sinh có thể sử dụng cho các bài toán đếm Từ bài toán về chọn các phần

tử từ một tập hợp thông thường sẽ dẫn tới hàm sinh Khi đó hệ số của xn chính

là số cách chọn n phần tử, tức là với an là hệ số của xn

, ∀n ≥ 2 thì hàm sinhcủa số cách chọn sẽ là F (x) = P

anxn

Ta sẽ minh họa ý tưởng trên qua các ví dụ sau:

Ví dụ 1.6 Bài toán chọn các phần tử phân biệt: Có bao nhiêu cách chọn nphần tử phân biệt từ tập hợp k phần tử

Lời giải Bài toán này có thể giải quyết bằng công thức tổ hợp Nhưng chúng

ta sẽ sử dụng hàm sinh để đưa ra lời giải Đầu tiên ta hãy xét tập hợp có mộtphần tử {a1} Ta có:

k và bằng số cách chọn n phần tử phânbiệt từ tập k phần tử

Ví dụ 1.7 Bài toán chọn các phần tử có lặp

Lời giải Để hiểu cách giải bài toán này trước tiên ta phải mở rộng (∗) thànhquy tắc xoắn:

Quy tắc xoắn: Ta đã biết: Gọi A(x) là hàm sinh cho cách chọn các phần tử

từ tập hợp A và B(x) là hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ tập hợp B.Nếu A và B rời nhau thì hàm sinh cho cách chọn các phần tử từ tập A ∪ B làA(x)B(x) Quy tắc này đúng cho cả trường hợp chọn các phần tử phân biệt,cũng đúng cho trường hợp chọn nhiều lần cùng một phần tử

Xét bài toán: Có 5 loại kẹo: kẹo sữa, kẹo socola, kẹo chanh, kẹo dâu và kẹo

cà phê Hỏi có bao nhiêu cách chọn 12 cái kẹo từ 5 loại kẹo này Từ đây ta cóbài toán tổng quát: Có bao nhiêu cách chọn k phần tử từ tập hợp có n phần tử,trong đó cho phép một phần tử có thể được chọn nhiều lần

Ta sẽ đưa ra lời giải cho bài toán dạng tổng quát Chia tập n phần tử thànhhợp của n tập Ai, 1 ≤ i ≤ n, mỗi tập gồm duy nhất một phần tử thuộc tập nphần tử Với mỗi tập Ai, ta có:

(1 − x)n Để làm việc này, ta thiết lậpkhai triển Taylor của f(x) := 1

f(k)k! = C

k

Như vậy số cách chọn k phần tử có lặp từ tập hợp có n phần tử là Ck

n +k−1 Vớibài toán ban đầu, số cách chọn 12 cái kẹo từ 5 loại kẹo rất đơn giản sẽ là C12

Chương 2

Ứng dụng hàm sinh để tìm ra cách giải bài toán

2.1 Sử dụng hàm sinh là các chuỗi lũy thừa vô hạn

Trong mục này, ta trình bày một số kiến thức cơ bản chuỗi lũy thừa hìnhthức Nội dung này được tham khảo trong [5], [9]

Trong toàn bộ mục này, ta giả sử {an}∞

n=0 và {cn}∞

n=0 là các dãytrong trường F và F (x) = P∞

Số anđược gọi là hệ số của xn trong F (x) và được ký hiệu bằng an := [xn]F (x).Tổng (hiệu) của F (x) với G(x) được định nghĩa là chuỗi lũy thừa hình thứccủa dãy {an ± bn}∞

Chú ý rằng mỗi hệ số được xác định bằng hữu hạn phép toán cộng và nhân, do

đó định nghĩa tích của hai hàm sinh là thuần đại số

Ta có thể cảm thấy sự giống nhau giữa định nghĩa của hàm sinh và vành đathức trên trường F Điều ngạc nhiên là chuỗi lũy thừa hình thức cũng là một

vành giao hoán Chứng minh giống hệt như chứng minh cho đa thức Ở đây, ta

sẽ chỉ đưa ra nhận xét về phần tử không và phần tử đơn vị:

Để tránh quá nhiều hình thức, ta sẽ đồng nhất số 0 và 1 trong trường Ftương ứng với hàm sinh của 0, 0, 0, và 1, 0, 0, 0, Từ đó, ta thấy ngay

0 + F (x) = F (x) và 1 · F (x) = F (x), do đó, 0 và 1 chính là phần tử không vàphần tử đơn vị

Tiếp theo, ta đi định nghĩa phép chia (nếu có thể)

Định nghĩa 2.1 Cho F (x) là một hàm sinh, định nghĩa F− 1(x) là chuỗi lũythừa hình thức (nếu tồn tại) thỏa mãn

F− 1(x)F (x) = 1 Ta viết F− 1(x) = 1

F (x).Mệnh đề sau cho ta thuật toán để tìm nghịch đảo và chỉ ra nếu tồn tại nghịchđảo thì nó là duy nhất

Ngược lại, giả sử a0 6= 0 Ta tìm dãy hệ số bn bằng phương pháp quy nạp Đặt

b0 = 1/a0 Khi đó, không phụ thuộc các hệ số bn, n = 1, 2, 3, còn lại, ta có[x0] F (x) ·

Tích hợp F (G(x)) của hai hàm sinh là một hàm sinh nếu F (x) là một đathức hoặc [x0G(x)] = 0 Bất kỳ điều kiện nào trong hai điều kiện này đều đảmbảo mỗi hệ số của F (G) tính được bằng hữu hạn phép cộng và nhân.

Ta đã biết khi nào chuỗi lũy thừa hình thức có nghịch đảo, bây giờ ta xét một

ví dụ đơn giản nhưng quan trọng là chuỗi cấp số nhân (hình thức) P∞

xi Đây

là hàm sinh đơn giản nhất, không là một đa thức (tức là hệ số của nó là khôngđều bằng không) Một cách tự nhiên, dạng đóng của nó gần giống với tổng củamột dãy cấp số nhân của số thực hoặc số phức:

∞

X

ti = 1

1 − t, với điều kiện |t| < 1

Với chuỗi lũy thừa hình thức, x là biến hình thức và ta bỏ qua vấn đề hội tụ, ta

Những kết quả trên có vẻ tầm thường, nhưng chúng là những nền tảng cơ sở

để tìm nghiệm của các hệ thức đệ quy tuyến tính tổng quát

an +k+1 = rkan +k + rk− 1an +k−1+ · · · + r1an.Phương pháp đơn giản nhất và ít đòi hỏi nhất để tìm công thức nghiệm cho hệthức trên là thông qua hàm sinh Ý tưởng rất đơn giản: hàm sinh của nghiệm làthương của đa thức, do đó, việc tách thành các phân số từng phần và sử dụngcông thức

1(1 − αx)m+1 =

∞

X

n=0

m + nm

kỹ thuật, nếu không muốn nói là phức tạp Công thức đạo hàm của tổng, tích

và thương của hàm sinh vẫn được giữ nguyên, với điều kiện thông thường rằngmẫu số phải là một chuỗi lũy thừa hình thức thích hợp, tức là số hạng hằng ởmẫu số phải khác không Quy tắc đạo hàm hàm hợp là quy tắc khó chứng minhnhất, nhưng công việc chủ yếu vẫn là kỹ thuật

Sau khi đưa ra các định nghĩa hình thức, bây giờ chúng ta đưa ra các bàitoán khác nhau, có thể giải được một cách hiệu quả bằng cách sử dụng hàmsinh Nội dung này được tham khảo trong [7]

2.1.1 Bài toán phân hoạch và chuỗi cấp số cộng

Phân hoạch tập số nguyên không âm thành n(n > 1) dãy cấp số cộng với cáccông sai d1, d2, , dn, các số hạng đầu tiên a1, a2, , an, tức là mỗi số nguyênkhông âm chỉ nằm trong đúng một trong các dãy Chứng minh rằng

và bằng 0 nếu ngược lại Nói cách khác, ta coi dãy số như một tập hợp và lấyhàm sinh của tập hợp

Đây là cách ta sử dụng hàm sinh trong tổ hợp: hệ số ai đứng trước xi có nghĩa

có ai khả năng thu được số i theo cách nào đó

Do đó, ta thu được hàm sinh Fk(x) =

∞

P

xak+ld k, k = 1, 2, , n Hơn nữa, ápdụng công thức tổng của dãy cấp số nhân ta thu được

“trong tổng của Fk(x) mỗi số hạng xi xuất hiện đúng một lần”, tức là

dù chúng ta có thể thay 1 vào phương trình cuối cùng và thu được (a), nhưng

ta vừa chia cho 1

2.1.2 Bài toán tung con xúc xắc

Bài toán sau đây xuất hiện trong kỳ thi toán học quốc tế năm 1999: Tungcon xúc xắc cân xứng n lần Tìm xác suất tổng số chấm thu được chia hết cho5

Lời giải Ký hiệu pk là xác suất tổng số chấm bằng k Ta cần tìm hàm sinh fn(x)cho pk Một cách tự nhiên ta cần biểu diễn fn +1 thông qua fn Chú ý rằng

Nếu căn bậc 5 của đơn vị là ωj = e2ijπ5 , j = 0, 1, 2, 3, 4 thì với bất kỳ m ∈ N

Sử dụng tính chất này, lấy trung bình của fn(ω0x), , fn(ω4x) ta chỉ còn lạicác số hạng p0x0, p5x5, p10x10, Cụ thể

5 − 5·61n nếu ngược lại

2.1.3 Bài toán đổi tiền xu

Có bao nhiêu cách để đổi đồng 1 đôla? Tức là, có bao nhiêu cách khác nhau

để trả 100 cent bằng năm loại tiền xu khác nhau, trị giá tương ứng 1, 5, 10, 25,

50 và 100 xu? Coi những đồng tiền có cùng giá trị là không phân biệt

Lời giải Ta có thể chọn 0, 1, 2, đồng xu có giá trị k và mỗi đồng xu đóng gópvào tổng với giá trị là bội của k, ta tìm hàm sinh cho cách chọn các đồng xu cógiá trị k:

Thật vậy, ta có thể chứng minh bằng quy nạp giống như trong (2.7) Giả sử cácđồng xu có giá trị v1, , vk, vk +1, ký hiệu S(n, k) là số cách trả n cent bằng kloại đồng xu đầu tiên Khi đó

trong đó [xl]Fvk(x) là số cách trả l cent bằng các đồng xu trị giá vk +1 Từ (2.11)

ta thấy sử dụng thêm một đồng xu mới trị giá vk+1 vào cách chọn đồng xu hiệntại có thể được giải thích bằng cách nhân hàm sinh hiện tại với Fvk+1(x)

Do đó, đáp án là [x100]F (x) = 293 Ta có thể sử dụng phần mềm tính toángiải hệ phương trình đại số ví dụ như MatLab hoặc Mathematica để thu đượcđáp án

2.1.4 Bài toán về dãy tập hợp

Bây giờ ta xét bài toán mà cách sử dụng hàm sinh ít được nghĩ đến, nhưng

nó lại là cách tìm nghiệm đơn giản Bài toán được đưa ra trong kỳ thi Putnamcủa Mỹ

Giả sử dãy số Sn gồm các tập con của N thỏa mãn S0 hữu hạn và a ∈ Sn+1

khi và chỉ khi có đúng một trong hai số a − 1, a ∈ Sn Chứng minh rằng tồn tại

vô hạn số N sao cho SN = S0∪ {N + a : a ∈ S0}

Lời giải Ta có thể coi mỗi tập Sn là một dãy {an,k}∞

k =0, trong đó an,k = 1 nếu

k ∈ Sn và an,k = 0 nếu ngược lại Tiếp theo, xét hàm sinh fn(x) của các dãynày Nếu trường số là trường hai phần tử Z2 thì từ công thức đệ quy của Sn kéotheo

Ta sử dụng tính chất quan trọng của trường Z2: 1 + 1 = 0 và phép nhân trong(2.12) kéo theo [xa]fn +1(x) = [xa−1]fn(x) + [xa]fn(x), do vậy [xa]fn +1(x) = 1 khi

và chỉ khi một trong hai số an−1 và an bằng 1

Tiếp theo, ta có thể chứng minh bằng quy nạp rằng

Để kết thúc chứng minh, ta sử dụng một tính chất đơn giản của trường có đặctrưng 2 là

Hình 2.1: Tứ diện, lục diện, bát diện, thập nhị diện, và nhị thập diện.

Để xác định hàm sinh của số tứ diện, số lục diện, số bát diện, số thập nhịdiện và số nhị thập diện, một phương pháp là dựa vào sai phân của các phần tửcủa chuỗi số mục tiêu Sai phân giữa hai số tượng hình liên tiếp cũng như saiphân giữa các sai phân này cho ta thông tin để xác định nhiều lớp tương đươngtrong trường số tượng hình Áp dụng các nguyên tắc này, ta có thể xác định cáchàm sinh của các số trên

Ta biết rằng (xem [1, 21] trong [6]):

Các số tứ diện là: 1, 4, 10, 20, 35, 56,

Các số lục diện là: 1, 8, 27, 64, 125, 216,

Các số bát diện là: 1, 6, 19, 44, 85, 146,

Các số thập nhị diện là: 1, 20, 84, 220, 455, 816,