Khóa luận tốt nghiệp một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng...28 II.2... Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vựcnhư: các lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính v

MỤC LỤC

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 1

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu 2

4 Nhiệm vụ nghiên cứu 2

5 Phương pháp nghiên cứu 2

6 Cấu trúc của đề tài 2

NỘI DUNG 3

Chương I Phép tính vi phân hàm nhiều biến 3

I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số 3

I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến 3

I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản 4

I.1.3 Giới hạn của hàm nhiều biến số 7

I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số 8

I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số 12

I.3.1 Tính chất 12

I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số 13

I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 1 13

I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao 14

I.5 Vi phân toàn phần 15

I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần 15

I.5.2 Vi phân cấp cao 16

I.6 Đạo hàm hàm số ẩn 17

I.6.1 Hàm ẩn một biến 17

I.6.2 Hàm ẩn hai biến 18

I.7 Đạo hàm theo hướng 19

I.7.1 Định nghĩa 19

I.7.2 Công thức tính 20

I.7.3 Gradien 21

I.8 Công thức Taylo với hàm số 2 biến số 22

I.9 Cực trị của hàm số nhiều biến số 23

I.9.1 Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị 23

I.9.2 Điều kiện đủ của cực trị 24

I.10 Cực trị có điều kiện 25

I.10.1 Định nghĩa và điều kiện cần 25

I.10.2 Điều kiện đủ 26

Chương II Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến 28

II.1 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng 28

II.2 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cực trị có điều kiện 32

II.2.1 Cực trị 33

II.2.2 Cực trị có điều kiện 41

II.2.2.1 Giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số hai biến số trong một miền đóng bị chặn 41 II.2.2.2 Cực trị có điều kiện của hàm số hai biến số 45

KẾT LUẬN 51

TÀI LIỆU THAM KHẢO 52

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên, em xin gửi lời cảm ơn đến TS.Nguyễn Huy Thảo, người đã tận tìnhhướng dẫn và chỉ bảo em trong suốt quá trình học tập cũng như nghiên cứu đề tàikhóa luận tốt nghiệp này

Em xin chân thành cảm ơn quý thầy cô trong tổ bộ môn Vật Lý Lí thuyết và Banchủ nhiệm khoa Vật Lý trường Đại học Sư phạm Hà nội 2 đã giúp đỡ và tạo điềukiện cho em trong quá trình hoàn thành đề tài khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng để thực hiện đề tài một cách hoàn chỉnh nhất Song

do buổi đầu mới làm quen với công tác nghiên cứu khoa học cũng như hạn chế vềkiến thức và kinh nghiệm nên không tránh khỏi những thiếu sót nhất định mà bảnthân chưa thấy được Em rất mong được sự góp ý của quý Thầy, Cô giáo và các bạnsinh viên để khóa luận được hoàn chỉnh hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan rằng số liệu và các kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là trung thực và không trùng lặp với các đề tài khác Tôi cũng xin cam đoan rằng mọi

sự giúp đỡ cho việc thực hiện khóa luận này đã được cảm ơn và các thông tin tríchdẫn trong khóa luận đã được ghi rõ nguồn gốc

Hà Nội, ngày 19 tháng 4 năm 2017

Sinh viên

Nguyễn Thị Hiền

Sự ra đời của ngành Giải tích toán học, đặc biệt là ngành Giải tích hàm giúpcho những bài toán trong thực tế cuộc sống, vật lí, khoa học, kỹ thuật,…được giảiquyết nhanh gọn và chính xác Ngành giải tích toán học nghiên cứu nhiều lĩnh vựcnhư: các lớp hàm liên tục, khả vi, khả tích, phép tính vi phân, ….Mỗi lĩnh vực đều

có tầm quan trọng trong việc nghiên cứu và ứng dụng Trong đó, phép tính vi phân

là một phần cơ bản của Giải tích

Phép tính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những lĩnh vực nghiên cứuquan trọng của toán học, là thành tựu nổi bật nhất giai đoạn thế kỷ XVII của IsaacNewton và Gottfried Wihelm Leibniz Ngày nay cùng với sự phát triển của khoahọc, công nghệ, lí thuyết phép tính vi phân hàm số nhiều biến có rất nhiều ứng dụngquan trọng trong thực tế cuộc sống và trong nghiên cứu khoa học Đặc biệt phéptính vi phân hàm số nhiều biến là một trong những cơ sở quan trọng trong học tậpcũng như nghiên cứu vật lý

Engels đã viết: “Chỉ có phép tính vi phân mới đem lại cho khoa học tự nhiênkhả năng miêu tả bằng toán học không chỉ những trạng thái mà cả những quá trình”

Xuất phát từ nhận thức trên và mong muốn tìm hiểu rõ hơn về vấn đề này,

em mạnh dạn chọn đề tài: “Một số ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiềubiến” để thực hiện khóa luận tốt nghiệp của mình

2 Mục đích nghiên cứu.

Tổng hợp lại kiến thức về phép tinh vi phân hàm số nhiều biến, từ đó tìm ranhững ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến nhằm nâng cao nhận thứccủa bản thân

3 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu.

 Đối tượng:

- Phép tính vi phân hàm số nhiều biến

- Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến

 Phạm vi: Hàm số nhiều biến

4 Nhiệm vụ nghiên cứu.

 Nghiên cứu những tài liệu, giáo trình liên quan đến phép tính vi phân hàm

số nhiều biến và đưa ra một số bài toán về phép tính vi phân hàm số nhiều biến

 Nghiên cứu những ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến đểtìm cực trị, tính gần đúng

5 Phương pháp nghiên cứu.

 Phương pháp nghiên cứu lí luận

 Phương pháp tổng kết kinh nghiệm

 Phương pháp lấy ý kiến chuyên gia

6 Cấu trúc của đề tài.

Ngoài phần mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo đề tài bao gồm hai phần:Chương I Phép tính vi phân hàm số nhiều biến

I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến

I.2 Biểu diễn hình học của hàm số hai biến số

I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số

I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số

I.5 Vi phân toàn phần

I.6 Đạo hàm của hàm số ẩn

I.7 Đạo hàm theo hướng

I.8 Công thức Taylor với hàm số hai biến

I.9 Cực trị của hàm số nhiều biến số

I.10 Cực trị có điều kiện của hàm số nhiều biến số

Chương II Một số ứng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến số

II.1 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tính gần đúng.II.2 Ứng dụng của phép tính vi phân hàm số nhiều biến vào tìm cực trị, cựctrị có điều kiện

NỘI DUNG Chương I Phép tính vi phân hàm nhiều biến.

I.1 Định nghĩa hàm số nhiều biến số.

I.1.1 Định ngĩa hàm số nhiều biến.

 Xét không gian Euclid 𝑛 chiều 𝑅𝑛(𝑛 > 1) Gọi một phần tử 𝑥 ∈

𝑅𝑛 là một bộ 𝑛 số thực (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛); 𝐷 là một tập hợp trong 𝑅𝑛

 Khi đó ánh xạ:

ƒ: 𝐷 → 𝑅xác định bởi:

𝑥 = (𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝐷 → 𝑢 = ƒ(𝑥) = ƒ(𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛) ∈ 𝑅

(1.1) được gọi là một hàm số của 𝑛 biến số xác định trên 𝐷; 𝐷 được gọi là miền xác định của hàm số ƒ: 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 được gọi là các biến số độc lập Nếu xem

𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥𝑛 là các tọa độ của một điểm 𝑀 ∈ 𝑅𝑛 trong hệ tọa độ nào đó thì cũng có thế viết

𝑥1

𝑅

(𝑥1, 𝑥2, (ƒ(𝑥1, 𝑥2))ƒ(𝑥1, 𝑥2)

I.1.2 Một số hệ tọa độ cơ bản.

 Hệ tọa độ Descartes: Hệ tọa độ Decartes gồm ba trục vuông góc với nhautừng đôi một 𝑥𝑂𝑥, 𝑂 , 𝑂 , mà trên đó đã chọn ba vector đơn vị

cho độ dài ba vector này bằng đơn vị Vị trí của một điểm M trong không gian hoàn

toàn xác định nếu ta biết được các thành phần toạ độ (𝑎, 𝑏, 𝑐).

⃗𝑂⃗⃗⃗𝑀⃗⃗→ = 𝑎ı→ + 𝑏𝑗→ + 𝑐𝑘⃗→.

𝑟 𝜑

𝑟 𝜑

𝑀′

5

 Hệ tọa độ cực: Hệ tọa độ cực là một hệ tọa độ hai chiều trong đó

mỗi điểm M bất kỳ trên một mặt phẳng được biểu diễn bằng hai thành phần:

+ Khoảng cách từ điểm đó tới một điểm gốc 𝑂 (gốc cực) gọi là bán kính

+ Góc tạo bởi đường thẳng 𝑂𝑀 với hướng gốc cho trước (trục cực)

𝑀

𝑂

Hình 1 3

 Hệ tọa độ trụ: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc 𝑂𝑥𝑦𝑧 Tọa độ

trụ của điểm 𝑀 trong không gian là bộ ba (𝑟, 𝜑, 𝑧) được xác định như sau:

 𝑟 ≥ 0 là khoảng cách từ gốc tọa độ 𝑂 đến hình chiếu vuông góc 𝑀′ của 𝑀

xuống mặt phẳng 𝑂𝑥𝑦.

 0 ≤ 𝜑 ≤ 2𝜋 là góc (𝑂𝑥, 𝑂⃗⃗⃗⃗𝑀⃗⃗⃗⃗→′)

 𝑧 là độ cao của điểm 𝑀.

Tọa độ trụ liên hệ với tọa độ Descartes vuông góc bởi biểu thức sau:

 Hệ tọa độ cầu: Cho một hệ tọa độ Descartes vuông góc 𝑂𝑥𝑦𝑧 Tọa độ

cầu của điểm trong không gian là bộ ba số (𝑟, , 𝜑) được xác định như sau:

𝑦 = 𝑂𝐵 = 𝑟𝑠𝑖𝑛𝜃𝑠𝑖𝑛𝜑

𝑧 = 𝑂𝐷 = 𝑟𝑐𝑜𝑠𝜃

Hình 1.5Mối liên hệ giữa các hệ toạ độ:

Từ

(Cartesian)

Trụ(Cylindrical)

Cầu(Spherical)

ang

Cartesian

𝑥 = 𝜌 𝑐𝑜𝑠𝜑

𝑦 = 𝜌 𝑠i𝑛𝜑

𝑧 = 𝑧

x

= r sin 𝜃 cos 𝜑 y

= r cos 𝜃 sin𝜑

𝜃

𝜑 = 𝜑

𝑧 = 𝑟𝑐𝑜𝑠 𝜃

Spherical

𝑛→∞

 Cho hàm 𝑧 = ƒ(𝑥, 𝑦) xác định lân cận 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) có thể trừ điểm

𝑀0 Ta nói hàm ƒ(𝑀) có giới hạn là 𝐿 khi 𝑀(𝑥, 𝑦) dần đến 𝑀0(𝑥0, 𝑦0)

nếu mọi dãy điểm

𝑀𝑛(𝑥0, 𝑦0) thuộc lân cận dần đến 𝑀0 ta đều có:

Như vậy với mỗi giá trị 𝑐 khác nhau thì

I.2 Biểu diễn hình học của hàm số 2 biến số

Trong không gian ba chiều 𝑂𝑥𝑦𝑧 đồ thị của hàm hai biến ƒ(𝑥, 𝑦)với (𝑥, 𝑦, 𝑧) ∈ 𝑅 thường là một mặt cong Sau đây là một số mặt cong đặc biệt

có nhiều ứng dụng trong vật lý:

 Mặt phẳng

Mặt phẳng là đồ thị của hàm hai biến tuyến tính, phương trình mặt phẳng códạng: 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 + 𝐷 = 0 trong đó 2 + 2 + 2 = 0

∆𝑦

I.3 Sự liên tục của hàm số nhiều biến số.

 Hàm số ƒ(𝑀) xác định trên miền 𝐷 và điểm 𝑀0 G 𝐷 Ta nói rằng hàm sốƒ(𝑀) liên tục tại 𝑀0 nếu 𝑙i𝑚 ƒ(𝑀) = ƒ(𝑀0)

Lời

giải:

(𝑥2 + 𝑦2) sin ( 1 ) 𝑛e𝑢 (𝑥, 𝑦) G (0,0)ƒ(𝑥, 𝑦) = { 𝑥2 + 𝑦2

Ta thấy ƒ(𝑥, 𝑦) liên tục tại mọi (𝑥, 𝑦) G (0,0)

Vậy ƒ(𝑥, 𝑦) liên tục trên 𝑅2

I.3.1 Tính chất.

nhất và giá trị bé nhất trong miền 𝐷 tức là: E𝑀1 ∈ 𝐷, 𝑀2 ∈ 𝐷 để có bất đẳng thức kép:

I.4 Đạo hàm riêng của hàm số nhiều biến số.

I.4.1 Đạo hàm riêng cấp 1.

 Cho hàm số 𝑢 = ƒ(𝑥, 𝑦) xác định trong miền 𝐷 và 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷.Nếu cho 𝑦 = 𝑦0, ta được hàm số một biến 𝑥 → ƒ(𝑥, 𝑦0) có đạo hàm tại 𝑥 =

là hằng sốLấy đạo hàm theo biến 𝑥 thì

ta coi 𝑦, 𝑧 là hằng số

𝑢′ (𝑥, 𝑦, 𝑧)

�𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔

𝑧

− 𝑥

𝑦𝑧

I.4.2 Đạo hàm riêng cấp cao.

 Cho hàm số hai biến số 𝑧 = ƒ(𝑥, 𝑦) Các đạo hàm riêng của các đạo

hàm riêng cấp một của hàm số nếu tồn tại được gọi là đạo hàm riêng cấp hai

 Ta có bốn đạo hàm riêng cấp hai được ký hiệu như sau:

 Các đạo hàm riêng của các đạo hàm riêng cấp hai của hàm số, nếu tồn tại

được gọi là các đạo hàm riêng cấp ba,…

 Định lý 1.1 (Schwarz) Nếu trong một lân cận nào đó của điểm

𝑀0(𝑥0 𝑦0) hàm số 𝑧 = ƒ(𝑥, 𝑦) có đạo hàm riêng ƒ» = ƒ» và nếu các đạo hàm ấy

là hằng sốLấy đạo hàm riêng của đạo hàm riêngcấp 1 theo biến 𝑥

I.5 Vi phân toàn phần.

I.5.1 Định nghĩa vi phân toàn phần.

 Cho hàm 𝑧 = ƒ(𝑥, 𝑦) xác định trong miền 𝐷 Lấy các điểm

𝑀0(𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝐷, 𝑀(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦) ∈ 𝐷

 Biểu thức: ∆ƒ = ƒ(𝑥0 + ∆𝑥, 𝑦0 + ∆𝑦) − ƒ(𝑥0, 𝑦0) (1.8)

được gọi là số gia toàn phần của ƒ tại 𝑀0

Trong đó 𝐴, 𝐵 là những số chỉ phụ thuộc vào (𝑥0, 𝑦0), còn , dần đến 0 khi

Ví dụ 5: Tính diện tích hình phẳng 𝑆 giới hạn bởi { (𝑃1): 𝑥2 = 𝑎𝑦

, (𝑎 > 0).(𝑃2): 𝑦2 = 𝑎𝑥

I.5.2 Vi phân cấp cao.

6 +

𝐹(𝑥, 𝑦(𝑥)) = 0 Hàm số 𝑦 = 𝑦(𝑥) gọi là hàm ẩn của x xác định bởi

phương trình (1.10)

 Định lý 1.2 Nếu 𝐹(𝑥, 𝑦) thỏa mãn các điều kiện:

o 𝐹 liên tục trong lân cận Ωð(𝑀0) và 𝐹(𝑀0) = 0

o Các đạo hàm riêng 6 , 6 liên tục và 6 (𝑥0, 𝑦0) G 0 trong lân cận Ωð(𝑀0)

6𝑥 6

thì phương trình (2.10) xác định bởi hàm 𝑦(𝑥) và khả vi liên tục trong khoảng(𝑥0 − c, 𝑥0 + c.

Khi đó ta có:

= −

�

�

= z

𝑧) thỏa mãn các điều kiện:

o 𝐹(𝑥, 𝑦, 𝑧) liên tục trong hình cầu mở Ωð(𝑀0) và 𝐹(𝑀0) − 𝐹(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0)

giải:

𝑥 𝑦

 Cho 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) xác định trên miền 𝐷 𝑅3 và 𝑀0(𝑥0, 𝑦0, 𝑧0) ∈ 𝐷,

một hướng được đặc trưng bởi véc tơ 𝑙→ có véc tơ đơn vị 𝑙⃗⃗0→(cos , cos , cos

), tức là:

= (⃗𝑂⃗⃗⃗⃗𝑥→, 𝑙→), = (⃗𝑂⃗⃗⃗⃗𝑦→, 𝑙→), = (⃗𝑂⃗⃗⃗⃗𝑧→, 𝑙→) Người ta gọi 𝑐𝑜𝑠 , 𝑐𝑜𝑠 , 𝑐𝑜𝑠 là các 𝑐𝑜𝑠i𝑛

chỉ phương của 𝑙→ Rõ ràng cos2 + cos2 + cos2 = 1

 Lấy 𝑀 ∈ 𝐷 sao cho ⃗𝑀⃗⃗⃗⃗0⃗⃗𝑀⃗⃗→ = 𝜌𝑙⃗⃗0→ , lập tỉ số:

∆𝑢

= 𝑢(𝑀) − 𝑢(𝑀0)

 Nếu tỉ số trên có giới hạn hữu hạn khi 𝜌 → 0 thì giới hạn ấy được gọi

là đạo hàm của hàm 𝑢(𝑀) theo hướng 𝑙→ tại 𝑀0 và kí hiệu là

6𝑢 (𝑀 ) tức là:

𝑙i𝑚 𝜌→0𝑢(𝑀) − 𝑢(𝑀𝜌 0) = ∂𝑢 (𝑀 )

∂⃗𝑙⃗0→

6𝑢

(𝑀 ) =

6𝑢(𝑀 )𝑐𝑜𝑠𝛼 + (𝑀 6𝑢 )𝑐𝑜𝑠𝛽 + (𝑀 6𝑢 )𝑐𝑜𝑠𝛾

→

0

6𝑦 0

𝑔𝑟𝑎𝑑 𝑢(𝑀0) = (𝑢′ (𝑀 ), 𝑢′ (𝑀 ), 𝑢′ (𝑀 ))

= 𝑢′ (𝑀 ) → ′ (

→ , j , 𝑘 là các véc tơ đơn vị của các trục 𝑂𝑥, 𝑂𝑦, 𝑂𝑧.→ →

 Đạo hàm của hàm 𝑢(𝑥, 𝑦, 𝑧) theo hướng vector 𝑙→ còn được xác định bởi:

𝑙 (2,1, −2)Tính 𝑔𝑟𝑎𝑑

𝑥, 𝑧 là hằng sốLấy đạo hàm riêng theo biến 𝑧 thì coi

𝑥𝑦, là hằng số

)

0

I.8 Công thức Taylo với hàm số 2 biến số.

 Định lý 1.5 Giả sử hàm số ƒ(𝑥, 𝑦) có các đạo hàm riêng đến cấp

(𝑛 + 1) liên tục trong một lân cận nào đó của điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) Nếu điểm 𝑀(𝑥0 +

∆𝑥, 𝑦0 + ∆y) cũng nằm trong lân cận đó thì ta có:

2!

∆𝑥 +6

𝑛

∆𝑦) ƒ(𝑥,𝑦)|

Công thức (1.15) gọi là công thức Taylor đối với hàm số (x, y)

Ví dụ 11: Khai triển hàm ƒ(𝑥, 𝑦) = 𝑥𝑦 theo công thức Taylor tại lân

𝑑2ƒ(1,1, )2!

Có:

𝑑2ƒ(1,1)+

theo biến 𝑥, 𝑦

Lấy đạo hàm riêng

của đạo hàm riêng

𝑦 Thế các giá trị của đạo hàm tại

điểm (0,0) vào phương trìnhTaylor ban đầu

𝑑3ƒ(1, 1) = 3∆𝑥2∆𝑦

Vậy:

𝑥𝑦 = 1 + ∆𝑥 + ∆𝑥∆𝑦 + 1 ∆𝑥2∆𝑦 + 𝑅

2

I.9 Cực trị của hàm số nhiều biến số.

I.9.1 Định nghĩa và điều kiện cần của cực trị.

 Định nghĩa

o Điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑅2 gọi là điểm cực đại (địa phương) của hàm ƒ(𝑀).Nếu có lân cận đủ bé của 𝑀0 để trong lân cận đó ( trừ 𝑀0) xảy ra bất đẳng thức

o Tương tự ta có khái niệm cực tiểu (địa phương) của hàm số ƒ(𝑀)

o Điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) trong các trường hợp trên gọi chung là điểm cực trị

 Điều kiện cần

Định lý 1.6 Nếu ƒ(𝑥, 𝑦) đạt cực đại tại (𝑥0, 𝑦0) và có các đạo hàm

riêng tại đó thì các đạo hàm riêng đó bằng 0.

I.9.2 Điều kiện đủ của cực trị.

Trong thực tế thường gặp hàm hai biến ƒ(𝑥, 𝑦) và để tìm cực trị của

nó, người ta thường sử dụng định lí sau đây, coi như là điều kiện đủ để hàm đạt cực trị

 Định lý 1.7 Giả sử ƒ(𝑥, 𝑦) có đạo hàm riêng cấp hai liên tục tại lân

cận điểm dừng (𝑥0, 𝑦0) và gọi:

𝐴 = 62ƒ

(𝑥, 𝑦 ); 𝐵 = 62ƒ

(𝑥, 𝑦 ), 𝐶 = 62ƒ

(𝑥, 𝑦 ) và ∆= 𝐵2 − 𝐴𝐶 (1.17)

o Nếu ∆> 0 thì hàm số không đạt cực trị tại (𝑥0, 𝑦0)

o Nếu ∆= 0 thì chưa kết luận gì được về (𝑥0, 𝑦0)

o Nếu ∆< 0 thì hàm số đạt cực trị tại (𝑥0, 𝑦0)

Vậy hàm số đạt cực đại nếu 𝐴 < 0, đạt cực tiểu nếu 𝐴 > 0

Ví dụ 12: Tìm cực trị địa phương của hàm

ƒ(𝑥, 𝑦) = 𝑥4 + 𝑦4 − 2𝑥2 + 4𝑥𝑦 − 2𝑦2.Lời

Từ hai biểu thức đạo hàm riêng ta thuđược hệ phương trình

Giải hệ phương trình ta tìm được ba

Vậy dựa vào dấu hiệu đủ ta chưa biết được kết quả.

Ta thấy trong lân cận bất kỳ của điểm 𝑂 tồn tại những điểm mà ƒ(𝑥, 𝑦) >

0 và những điểm mà ƒ(𝑥, 𝑦) < 0 Chẳng hạn dọc theo trục 𝑂𝑥(𝑦 = 0) ta có:ƒ(𝑥, 𝑦)|𝑦=𝑥 = ƒ(𝑥, 0) = 𝑥4 − 2𝑥2 = −𝑥2(2 − 𝑥2) < 0

Tại những điểm đủ gần (0,0) và dọc theo phương thẳng 𝑦 =

𝑥 ƒ(𝑥, 𝑦)|𝑦=𝑥 = ƒ(𝑥, 𝑥) = 2𝑥4 > 0

Như vậy tại những điểm khác nhau của một lân cận nào đó của điểm 𝑂(0,0) số gia toàn phần ∆ƒ(𝑥, 𝑦) không có cùng một dấu và do đó tại 𝑂(0,0) hàmkhông có cực trị địa phương

I.10 Cực trị có điều kiện.

I.10.1 Định nghĩa và điều kiện cần.

 Định nghĩa

o Điểm 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) ∈ 𝑅2 gọi là điểm cực đại của hàm số ƒ(𝑥, 𝑦)

với ràng buộc (hoặc có điều kiện) 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0, trong lân cận đó có bất đẳng thức

o Tương tự ta có khái niệm điểm cực tiểu của hàm số với ràng buộc

𝜑(𝑥, 𝑦) = 0

o Để đơn giản bài toàn tìm cực trị của hàm hai biến với điều kiện 𝜑(𝑥, 𝑦)

= 0 được kí hiệu như sau:

{ 𝜑(𝑥, 𝑦) = 0𝑒𝑥𝑡ƒ(𝑥, 𝑦)Trong đó 𝑒𝑥𝑡 là viết tắt của từ extremum nghĩa là cực

trị

 Điều kiện cần

(1.19)(1.20)

Định lý 1.8 Giả sử 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) là điểm cực trị có điều kiện của hàm sốƒ(𝑥, 𝑦) với điều kiện (1.20) và thỏa mãn:

o Các hàm ƒ(𝑥, 𝑦) và 𝜑(𝑥, 𝑦) có các đạo hàm riêng cấp một liên tục

trong lân cận của 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) của đường cong ràng buộc (1.20)

o 𝑀0(𝑥0, 𝑦0) không phải là điểm dừng của hàm 𝜑(𝑥, 𝑦) Khi đó tồn

tại số thực 𝜆 thỏa mãn hệ phương trình:

 Định lý 1.9 Giả sử ƒ(𝑥, 𝑦) và 𝜑(𝑥, 𝑦) có đạo hàm riêng cấp hai liên

tục ở lân cận (𝑥0, 𝑦0) và (𝑥0, 𝑦0, 𝜆) là điểm dừng của hàm Lagrange Khi đó:

o Nếu:

𝑑2𝐿(𝑥0, 𝑦0, 𝜆) = 𝐿» 2 (𝑥0, 𝑦0, 𝜆)𝑑𝑥2 + 2𝐿» (𝑥0, 𝑦0, 𝜆)𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝐿» 2 (𝑥0, 𝑦0, 𝜆)𝑑𝑦2

o Nếu 𝑑2𝐿(𝑥0, 𝑦0, 𝜆) không xác định dấu trong miền nói trên thì hàm

không đạt cực trị ràng buộc tại (𝑥 , 𝑦 )