Luận văn thạc sỹ rút gọn hardy cho một số lớp tích phân liouville của hàm số sơ cấp

Nghi¶n cùu mët sè ¡p döng cõa thuªt to¡n.. Ch÷ìng 3 nghi¶n cùu mët sè ¡p döng cõa thuªt to¡n rót gån Hardy cho lîp t½chph¥n Liouville c¡c h m sì c§p... Mët c¡ch t÷ìng tü ta ành ngh¾a cho

Möc löc

Danh möc c¡c kþ hi»u

1.1 V nh v  tr÷íng vi ph¥n 4

1.1.1 C¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t 4

1.1.2 Mð rëng logarit v  mð rëng mô 9

1.2 ành lþ Liouville 11

1.2.1 C¡c h m sè sì c§p 11

1.2.2 ành lþ Liouville 12

1.2.3 Mët sè v½ dö ¡p döng 17

2 RÓT GÅN HARDY CHO LÎP TCH PH…N LIOUVILLE 25 2.1 Mët sè k¸t qu£ chu©n bà 25

2.2 Rót gån Hardy cho t½ch ph¥n Liouville 26

2.2.1 Mët sè k¸t qu£ v· rót gån Hardy 26

2.2.2 C¡c h» qu£ 32

2.2.3 C¡c v½ dö 33

3 MËT SÈ P DÖNG 38 3.1 Mët sè d¤ng t½ch ph¥n Liouville °c bi»t 38

3.2 C¡c t½ch ph¥n Kiºu Liouville 42

MÐ †U

Vi»c k¸t luªn mët t½ch ph¥n cõa mët h m sì c§p câ cán l  mët h m sè sì c§p haykhæng l  mët c¥u häi quan trång ¢ ÷ñc nghi¶n cùu tø thíi Newton v  Leibniz Ph¦nlîn düa tr¶n c¡c cæng tr¼nh cõa Liouville [10], Risch [13], v  Rosentlicht [14], r§t nhi·uti¸n bë ¢ ¤t ÷ñc v· v§n · n y trong suèt hai th¸ k [1, 2, 3, 4, 7, 9, 16, 17] Tuynhi¶n, câ mët sè lîp t½ch ph¥n r§t ÷ñc håc sinh, sinh vi¶n quan t¥m t½nh to¡n nh÷ngv¨n ch÷a câ c¥u tr£ líi ho n to n ¦y õ cho c¥u häi n y

Mët v½ dö trong sè n y l  lîp c¡c t½ch ph¥n câ d¤ng

Z

xreaxsdx,vîi r, s l  c¡c sè nguy¶n Lîp t½ch ph¥n n y ch½nh x¡c l  èi t÷ñng nghi¶n cùu trongmët tr÷íng hñp °c bi»t sau ¥y cõa mët ành lþ Liouville [10, 11, 13, 14]

ành lþ (Ti¶u chu©n Liouville èi vîi t½ch ph¥n, 1835) Cho f, g l  c¡c h m sèhúu t vîi g kh¡c h¬ng sè Khi â

e−u2du, Li(x) =

Z x 2

du

ln u, Si(x) =

Z x 0

sin u

u ,

khæng thº ÷ñc biºu thà d÷îi d¤ng c¡c h m sì c§p Tuy nhi¶n, b§t ch§p vai trá thi¸ty¸u cõa nâ trong vi»c x¡c ành °c t½nh khæng sì c§p cõa c¡c t½ch ph¥n quan trångtrong c¡c ùng döng, mùc ë li¶n quan cõa k¸t qu£ n y trong c¡c t¼nh huèng cö thº ¢

÷ñc giîi h¤n trong mët v i lîp con cõa lîp t½ch ph¥n Liouville [11, 12, 15]

Chõ · cõa Luªn v«n li¶n quan ¸n c¥u tr£ líi cho c¥u häi n¶u tr¶n èi vîi lîp t½chph¥n Liouville â l  lîp c¡c t½ch ph¥n cõa h m sè câ d¤ng R f(x)eg(x)dxtrong â f, g

l  c¡c h m sè húu t, g khæng l  h m h¬ng

Möc ti¶u cõa Luªn v«n l  tªp trung gi£i quy¸t c¡c b i to¡n sau:

1 Düa v o ti¶u chu©n Liouville nghi¶n cùu ÷a ra mët thuªt to¡n rót gån Hardy

º ph¥n t½ch h m d÷îi d§u t½ch ph¥n th nh hai th nh ph¦n cì b£n cüc ¤i v 

cüc tiºu sao cho ph¥n t½ch n y câ thº ¡p ùng ¦y õ lþ thuy¸t rót gån cõaHardy º x¡c ành li»u c¡c t½ch ph¥n â câ ph£i l  h m sì c§p hay khæng

2 Nghi¶n cùu mët sè ¡p döng cõa thuªt to¡n

Ngo i ph¦n Mð ¦u, K¸t luªn, T i li»u tham kh£o, Luªn v«n ÷ñc chia th nh bach÷ìng

Ch÷ìng 1 d nh cho vi»c t¼m hiºu ành lþ Liouville têng qu¡t tr¶n mët tr÷íng viph¥n v  mët sè h» qu£ °c bi»t cõa nâ èi vîi h m sè sì c§p

Trong Ch÷ìng 2 chóng tæi tªp trung nghi¶n cùu ÷a ra mët thuªt to¡n º ph¥nt½ch h m d÷îi d§u t½ch ph¥n th nh hai th nh ph¦n cì b£n cüc ¤i v  cüc tiºu saocho ph¥n t½ch n y câ thº ¡p ùng ¦y õ lþ thuy¸t rót gån cõa Hardy º x¡c ành li»uc¡c t½ch ph¥n â câ ph£i l  h m sì c§p hay khæng, v  khi ¢ kh¯ng ành th¼ li»u câthº t½nh to¡n ÷ñc gi¡ trà ch½nh x¡c hay khæng

Ch÷ìng 3 nghi¶n cùu mët sè ¡p döng cõa thuªt to¡n rót gån Hardy cho lîp t½chph¥n Liouville c¡c h m sì c§p

Luªn v«n ÷ñc ho n th nh d÷îi sü h÷îng d¨n khoa håc cõa th¦y PGS TS Th¡iThu¦n Quang, Khoa To¡n v  Thèng k¶, Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn Nh¥n dàp n y tæixin b y tä sü k½nh trång v  láng bi¸t ìn s¥u s­c ¸n Th¦y ¢ gióp ï tæi trong suètqu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n luªn v«n

Tæi công xin gûi líi c£m ìn ¸n Ban gi¡m hi»u Tr÷íng ¤i håc Quy Nhìn, Pháng

 o t¤o Sau ¤i håc, Khoa To¡n, còng quþ th¦y cæ gi¡o gi£ng d¤y lîp cao håc Ph÷ìngph¡p To¡n sì c§p khâa 22 ¢ d y cæng gi£ng d¤y trong suèt khâa håc, t¤o i·u ki»nthuªn lñi cho tæi trong qu¡ tr¼nh håc tªp v  thüc hi»n · t i

Nh¥n ¥y tæi công xin ch¥n th nh c£m ìn sü hé trñ v· m°t tinh th¦n cõa gia

¼nh, b¤n b± ¢ luæn t¤o måi i·u ki»n gióp ï º tæi ho n th nh tèt khâa håc v luªn v«n n y

M°c dò luªn v«n ÷ñc thüc hi»n vîi sü né lüc cè g­ng h¸t sùc cõa b£n th¥n, nh÷ng

do i·u ki»n thíi gian câ h¤n, tr¼nh ë ki¸n thùc v  kinh nghi»m nghi¶n cùu cán h¤nch¸ n¶n luªn v«n khâ tr¡nh khäi nhúng thi¸u sât Tæi r§t mong nhªn ÷ñc nhúng gâp

þ cõa quþ th¦y cæ gi¡o º luªn v«n ÷ñc ho n thi»n hìn

Tæi xin ch¥n th nh c£m ìn

Liou-1.1 V nh v  tr÷íng vi ph¥n

1.1.1 C¡c kh¡i ni»m v  t½nh ch§t

ành ngh¾a 1.1.1 ([5]) Cho R l  mët v nh giao ho¡n câ ìn và 1 Ta gåi ¡nh x¤

∂ : R → R ÷ñc gåi l  ¡nh x¤ ¤o h m n¸u

Mët v nh ÷ñc trang bà mët ¤o h m cö thº gåi l  v nh vi ph¥n º thuªn ti»n, ng÷íi

ta th÷íng vi¸t ∂(a) = a0 Mi·n nguy¶n R ÷ñc gåi l  mët mi·n nguy¶n vi ph¥n n¸u R

l  v nh vi ph¥n Tr÷íng R ÷ñc gåi l  mët tr÷íng vi ph¥n n¸u R l  v nh vi ph¥n.M»nh · 1.1.2 ([5]) Cho R l  mët v nh vi ph¥n Khi â

1) 1'=0

2) ∂(n1) = 0 vîi måi n ∈ Z

3) ∂(na) = n∂(a) vîi måi a ∈ R, n ∈ Z

Chùng minh 1) Ta câ 10 = (1 · 1)0 = 10· 1 + 1 · 10 n¶n 10 = 10 + 10 Do â 10 = 0.2) Ta câ ∂(n1) = n∂(1) = n0 = 0.

3) Ta chùng minh t÷ìng tü nh÷ trong 2) b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p theo n.M»nh · 1.1.3 ([5]) Cho R l  mët v nh vi ph¥n Khi â, vîi måi a ∈ R th¼ (an)0 =

nan−1a0

Chùng minh Ta chùng minh m»nh · b¬ng ph÷ìng ph¡p quy n¤p

Vîi n = 2 th¼ (a2)0 = (aa)0 = a0a + aa0 = 2aa0

Gi£ sû m»nh · óng vîi n = k, ta câ (ak)0 = kak−1a0

Ta c¦n chùng minh m»nh · óng vîi n = k + 1 Thªt vªy,

M»nh · 1.1.4 ([5]) Cho R l  mët tr÷íng vi ph¥n Khi â, vîi måi a ∈ R \ {0} th¼

(a−1)0 = −a−2a0.Chùng minh V¼ 0 = 10 = (aa−1)0 = a0a−1+ a(a−1)0 n¶n a(a−1)0 = −a0a−1

i·u n y cho th§y r¬ng n¸u Q ⊆ R, méi ph¦n tû cõa Q l  mët h¬ng sè

Chó þ N¸u R l  mët mi·n nguy¶n vi ph¥n th¼ tr÷íng c¡c th÷ìng F sinh bði R vîi ph²pto¡n ¤o h m l  mët tr÷íng vi ph¥n

V½ dö 1.1.6 Måi v nh giao ho¡n R câ ìn và 1 vîi ph²p to¡n ¤o h m t¦m th÷íng

ành ngh¾a 1.1.9 ([5]) S ÷ñc gåi mët v nh con vi ph¥n cõa v nh vi ph¥n R n¸u S

l  v nh con cõa R v  âng k½n vîi ph²p to¡n ¤o h m

Nh÷ vªy, S ⊆ R l  v nh con vi ph¥n n¸u 1 ∈ S, a, b ∈ S th¼ a − b ∈ S v  a ∈ S th¼

ϕ(a0) = (ϕ(a))0.M»nh · 1.1.11 ([5]) Cho R, S l  c¡c v nh vi ph¥n v  ϕ : R → S l  mët çng c§u

v nh Khi â

1) ker ϕ = x ∈ R : ϕ(x) = 0 l  ideal cõa R,

2) nh x¤ f : R/ ker f → Imf l  mët ¯ng c§u vi ph¥n

Chùng minh 1) D¹ th§y r¬ng ker ϕ l  mët v nh con cõa R.

Ta chùng minh r¬ng ker ϕ l  ideal Vîi måi x ∈ ker ϕ, vîi måi a ∈ R th¼

ϕ(ax) = ϕ(a).ϕ(x) = ϕ(a).0 = 0

Do â ax ∈ ker ϕ Chùng minh t÷ìng tü th¼ xa ∈ ker ϕ, vîi a ∈ S, x ∈ ker ϕ

Ta chùng minh r¬ng ker ϕ âng k½n vîi ph²p to¡n ¤o h m Gi£ sû a ∈ ker ϕ Khi

â ϕ(a) = 0 Ta câ ϕ(a0) = (ϕ(a))0 = (00) = 0 hay a0 ∈ ker ϕ

2) Nhªn x²t r¬ng f l  mët song ¡nh Hìn núa, vîi måi a ∈ R th¼

f (a)0 = (f (a))0 = f (a0) = f (a0) = f (a)0.V¼ vªy f l  mët ¯ng c§u vi ph¥n

M»nh · 1.1.12 ([5]) Cho R l  mët v nh vi ph¥n Khi â

dx Hìn núa, R(x) câ tr÷íng c¡c h¬ng l  R

Q(π) (¯ng c§u vîi Q(x)) l  mët tr÷íng vi ph¥n vîi ∂ = dπd Nâi c¡ch kh¡c, π0 = 1

v  (π3)0 = 3π2,

Sau ¥y, chóng tæi tr¼nh b y mët sè v§n · v· mð rëng v nh vi ph¥n Trong thüct¸, ng÷íi ta quan t¥m ¸n c¡c mð rëng v nh vi ph¥n (tr÷íng vi ph¥n) sao cho c¡c v nhh¬ng sè (tr÷íng h¬ng sè) l  tròng nhau.

ành ngh¾a 1.1.14 V nh vi ph¥n R ÷ñc gåi l  mët v nh vi ph¥n mð rëng cõa v nh

vi ph¥n S n¸u R l  mët mð rëng v nh cõa S v  ¡nh x¤ ¤o h m tr¶n R khi h¤n ch¸tr¶n S l  tròng vîi ¡nh x¤ ¤o h m tr¶n S

Mët c¡ch t÷ìng tü ta ành ngh¾a cho mð rëng tr÷íng vi ph¥n

M»nh · 1.1.15 ([5]) Cho R l  mët mi·n nguy¶n vi ph¥n Khi â ¡nh x¤ ¤o h mtr¶n R ÷ñc mð rëng duy nh§t tr¶n tr÷íng c¡c th÷ìng F r(R) mët c¡ch duy nh§t.M»nh · 1.1.16 ([5]) Cho F l  mët tr÷íng vi ph¥n vîi °c sè 0 v  K/F l  mët mðrëng ¤i sè nh x¤ ¤o h m tr¶n F ÷ñc mð rëng tr¶n K mët c¡ch duy nh§t Khi â,

°t f(x) = xn+ an−1xn−1+ · · · + a0 Khi â

(f (x))0 = nxn−1x0+ (a0n−1xn−1+ (n − 1)an−1xn−2x0) + · · · + (a01x + a1x0) + a00

Do â,

(f (x))0 = Df (x)x0+ g(x)vîi

g(x) = a0n−1+ · · · + a01x + a00.V¼ α l  nghi»m cõa f(x) n¶n (f(α))0 = 0

Do â

0 = Df (α)α0+ g(α)

Suy ra α biºu di¹n duy nh§t theo

L§y ¤o h m hai v¸ vîi nhªn x²t tr÷íng h¬ng sè l  Q ta ÷ñc

2.√5(√5)0− 0 = 0

Do â (√5)0 = 0

1.1.2 Mð rëng logarit v  mð rëng mô

ành ngh¾a 1.1.17 ([5]) Cho F l  mët tr÷íng vi ph¥n F(t)/F ÷ñc gåi l 

1) mð rëng logarit n¸u tçn t¤i s ∈ F sao cho t0 = s

0

s.2) mð rëng mô n¸u tçn t¤i s ∈ F sao cho t0 = ts0

ành ngh¾a 1.1.18 ([5]) Cho F l  mët tr÷íng vi ph¥n vîi tr÷íng h¬ng sè C Tr÷íng

vi ph¥n mð rëng E/F ÷ñc gåi l  mët mð rëng sì c§p n¸u tçn t¤i d¢y c¡c tr÷íng viph¥n lçng nhau

F = F0 ⊆ F1 ⊆ F2 ⊆ ⊆ Fl = Etrong â Fj l  c¡c tr÷íng câ còng tr÷íng h¬ng sè v  c¡c mð rëng Fj+1/Fj l  ¤i sè,logarit v  mô

Bê · 1.1.19 ([5]) Cho F l  tr÷íng vi ph¥n vîi mð rëng tr÷íng vi ph¥n F (t) Gi£ sû

F (t) v  F câ c¡c còng h¬ng sè v  t l  si¶u vi»t tr¶n F

1) Cho t0

∈ F v  f(t) ∈ F[t] vîi deg(f(t)) > 0 Khi â, (f(t))0

∈ F[t] v  deg(f(t)) =deg(f (t)0) n¸u v  ch¿ n¸u h» sè ¦u ti¶n cõa f (t) khæng l  h¬ng sè N¸u h» sè

¦u ti¶n cõa f(t) l  h¬ng sè th¼ deg(f(t)0

) = deg(f (t)) − 1

2) Cho t 0

t ∈ F Khi â, vîi måi a ∈ F∗, n ∈ Z6=0, (atn)0 = htn, vîi h ∈ F∗ Hìn núa,n¸u f (t) ∈ F [t] th¼ deg f (t)
> 0 Ngo i ra, f (t)
0 = cf (t) èi vîi c¡c c ∈ Fn¸u f (t) l  mët ìn thùc

j ∈ F n¸u aj ∈ F Do â, t§t c£ c¡c h» sè ·u n¬m trong

c = −atn V¼ a 6= 0 v  a, c ∈ F, i·u n y câ ngh¾a l  t ¤i sè tr¶n F M¥u thu¨n vîit½nh si¶u vi»t cõa t Do â, a0 + nab 6= 0 (tùc l , atn0= htn) vîi h = a0

+ nab ∈ F∗.Chó þ r¬ng ph²p t½nh ð tr¶n cho th§y r¬ng méi sè h¤ng kh¡c 0 cõa f(t)0 sinh ra mët

sè h¤ng kh¡c 0 (còng bªc) trong f(t) Khi â, deg(f(t)) = deg((f(t))0 Ngo i ra, n¸u

f (t) l  mët a thùc kh¡c 0, gi£ sû f(t) = atn, tø ph²p t½nh tr¶n suy ra (atn)0 = htn)

do â (f(t))0 = cf (t) trong â, c = h/a ∈ F∗

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû r¬ng f (t)
0 = cf (t) vîi c ∈ F Khi â

c = h \ aj =a0j+ jajb\ ajvîi måi aj 6= 0

Gi£ sû r¬ng, am, al 6= 0 vîi måi m 6= l Khi â,

= z vîi z l  h¬ng sè thuëc F Cho n¶n, amtm− zaltl= 0 (t l  mët

a thùc kh¡c 0 tr¶n F) Khi â, t ¤i sè tr¶n F (m¥u thu¨n) Do â, câ nhi·u nh§t mëth» sè kh¡c 0 (ngh¾a l  f (t)
l  mët ìn thùc)

1.2 ành lþ Liouville

Trong möc n y, chóng tæi nghi¶n cùu c¡c v§n · v· ành lþ Liouville v  mët sè ¡pdöng trong b i to¡n x¡c ành t½nh ch§t sì c§p cõa mët sè t½ch ph¥n Tr÷îc h¸t, chóngtæi nh­c l¤i v· c¡c h m sè sì c§p

3) f(x) = e√3x 2

ành lþ 1.2.4 ([5],(Liouville)) Cho F l  tr÷íng vi ph¥n vîi °c sè 0 v  α ∈ F N¸u

y0 = α câ nghi»m y trong mð rëng sì c§p cõa F (vîi c¡c h¬ng sè gièng nhau), th¼ tçnt¤i c¡c h¬ng sè c1, c2, , cn v  c¡c ph¦n tû u1, u2, , un, v ∈ F sao cho

α = v0 + c1· u

0 1

u1 + c2·u

0 2

u2 + · · · + cn·u

0 n

un.Chùng minh Gi£ sû r¬ng y = R α, nghi»m cõa y0 = α l  nghi»m cì b£n tr¶n F Khi

â tçn t¤i mët d¢y c¡c tr÷íng vi ph¥n lçng nhau

F ⊆ F(t1) ⊆ F(t1, t2) ⊆ ⊆ F(t1, t2, , tN)sao cho t§t c£ c¡c tr÷íng n y câ còng c¡c h¬ng sè, y ∈ F(t1, , tN), v  méi ti l  ¤i

sè, logarit ho°c mô tr¶n F(t1, , ti−1)

Ta chùng minh b¬ng quy n¤p N¸u N = 0, y ∈ F th¼ i·u â ÷ñc chùng minh.Gi£ sû k¸t qu£ óng ¸n b÷îc thù N − 1 Chó þ r¬ng d¢y lçng nhau vîi F l  tri»tti¶u ð b÷îc thù N − 1 Do â, theo Nguy¶n l½ quy n¤p, tçn t¤i c¡c h¬ng sè c1, c2, , cn

âng ¤i sè cõa F(t) (ho°c mët sè tr÷íng t¡ch tr¶n F(t)) ta k½ hi»u l  t = τ1, τ2, , τs.B¥y gií, E = F(τ1, , τs)l  mët mð rëng ¤i sè cõa F n¶n nâ mð rëng duy nh§t d÷îid¤ng mët tr÷íng vi ph¥n.

Khi â tçn t¤i mët ¯ng c§u cõa E cè ành c¡c ph¦n tø cõa F sao cho bi¸n t = τ1

th nh τj v  gåi ¡nh x¤ n y l  σj, khi â ta câ

cü, cëng t§t c£ c¡c biºu thùc li¶n hñp n y v  chia cho s, ta ÷ñc

s

X

j=1

= 1s

Tr÷íng hñp 2 Gi£ sû t1 = tl  si¶u vi»t tr¶n F Ta câ v, u1, , un∈ F(t1) = F(t).V¼ t l  si¶u vi»t, ta x²t a thùc húu t theo bi¸n t vîi h» sè trong F C¡c a thùc nh÷vªy câ thº ph¥n t½ch th nh nh¥n tû v  vîi b§t ký w = ui, ta câ w = a1(t)k 1 al(t)k l· b,trong â ai ∈ F(t) l  ìn thùc b§t kh£ quy, kj ∈ Z 6= 0 v  b ∈ F∗ ta câ

Khæng m§t t½nh têng qu¡t, ta câ thº gi£ sû méi ui l  mët ìn thùc b§t kh£ quya(t) ∈ F[t] ho°c mët ph¦n tû cõa F èi vîi v, ph¥n t½ch nâ th nh c¡c ph¥n thùc th nhph¦n m  méi th nh ph¦n câ d¤ng g(t)

f (t) τ vîi f(t) ∈ F[t] l  ìn thùc b§t kh£ quy n o â

v  g(t) ∈ F[t] sao cho deg(g(t)) < deg(f(t))

Tr÷íng hñp 2A Gi£ sû r¬ng t l  logarit tr¶n F

i·u n y câ ngh¾a l  tçn t¤i a ∈ F∗ sao cho t0 = aa0 Do â, t0 = aa0 ∈ F V¼ vªy, n¸u

f (t) ∈ F[t], th¼ (f (t))0 ∈ F[t] v  (f(t))0 câ bªc nhä hìn 1 bªc cõa f(t) V¼ f(t) l  b§tkh£ quy, (f(t))0 v  f(t) nguy¶n tè còng nhau Chó þ r¬ng

sè h¤ng câ m¨u l  (f(t))τ+1 V¼ vªy, nâ xu§t hi»n trong biºu di¹n ph¥n thùc cõa α0sNh÷ng α ∈ F n¶n nâ khæng câ th nh ph¦n ph¥n thùc trong biºu di¹n cõa nâ V¼ vªy,c¡c sè h¤ng khæng thº xu§t hi»n trong biºu di¹n cõa v0s T÷ìng tü nh÷ vªy, chóngcông khæng xu§t hi»n trong biºu di¹n cõa ui Do â, u1, , un ∈ F v  v = V (t) ∈ F[t]

ui vîi ci, ui, u0i v  α ·u trong F Do â, (V (t))0

ui,

¥y l  i·u ph£i chùng minh

Tr÷íng hñp 2B Gi£ sû r¬ng t l  mô tr¶n F

i·u n y câ ngh¾a l  t0

t = b0 vîi b ∈ F Suy ra, deg(f(t)) = deg((f(t))0) v  f(t) chiah¸t (f(t))0 ch¿ khi f(t) l  mët ìn thùc V¼ vªy, n¸u f(t) l  ìn thùc b§t kh£ quy v 

f (t) 6= tkhi â f(t) khæng l  ìn thùc cho n¶n f(t) khæng chia h¸t (f(t))0 Do â, n¸u

f (t) 6= t th¼ (f (t))0

f (t) câ thº ÷ñc vi¸t d÷îi d¤ng a thùc theo bi¸n t cëng vîi mët ph¥nthùc th½ch hñp vîi m¨u f(t)

Chóng ta câ ÷ñc mët sü m¥u thu¨n v¼ n¸u g(t)

(f (t)) τ xu§t hi»n trong biºu di¹n ph¥nthùc cõa v th¼ biºu di¹n ph¥n thùc cõa v0 câ m¨u (f(t))τ+1 Do â, nâ xu§t hi»n trongbiºu di¹n cõa α ∈ F Lªp luªn t÷ìng tü èi vîi u0

is Do â, c¡c ph¥n thùc ph£i câ d¤ng

f (t)m = tm i·u n y suy ra v = V (t) = P ajtj vîi aj ∈ F, trong â têng ch¤y tr¶nmët tªp húu h¤n c¡c sè nguy¶n (mët sè lôy thøa câ thº ¥m) T÷ìng tü nh÷ vªy, t§tc£ ui ∈ F ngo¤i trø ui = t, khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£ sû u1 = t

ui.Nh÷ng t0

¥y l  i·u ph£i chùng minh

H» qu£ 1.2.5 ([5]) Cho f(x), g(x) ∈ C(x) kh¡c 0 v  gi£ sû r¬ng g(x) khæng l  h¬ng

Chùng minh Ta vi¸t f = f(x), g = g(x),

Cho F = C(x) v  t = eg sao cho t 0

t = g0 (ngh¾a l  F(t) l  mët mð rëng mô) Ngo i

ra, v¼ g khæng l  h¬ng sè n¶n F(t) l  mët mð rëng si¶u vi»t cõa F

Gi£ sû R fegdx =R f tdx l  sì c§p, theo ành lþ Lioville, tçn t¤i v, u1, u2, , un ∈F(t) v  c1, c2, , cn∈ C sao cho

ui

Nh÷ trong ph¦n chùng minh ành lþ Liouville, chóng ta câ thº t¡ch méi ui ∈ F/

th nh t½ch lôy thøa cõa c¡c ph¦n tû b§t kh£ quy cõa F[t] v  sû döng vi ph¥n logarit

ta suy ra r¬ng méi ui ∈ F l  c¡c ìn thùc b§t kh£ quy ríi nhau./

B¥y gií, biºu di¹n v d÷îi d¤ng a

b k (vîi deg(a) < deg(b) v  k ∈ Z, k > 0) Khi â

u0i

u i, vîi deg(ui) > 0l  ìn thùc b§t kh£ quy ríi nhau v  ch¿xu§t hi»n trong c¡c m¨u ð c¡c lôy thøa ¦u ti¶n i·u n y câ ngh¾a l  a0bk−akbk−1b0 = 0(tùc l  (a

b ph£i chia h¸t b0 i·u n y suy ra deg(b) = deg(b0), hay b0 = cb vîi c ∈ F Cho n¶n bph£i l  mët ìn thùc M  b b§t kh£ quy n¶n b = t

M°t kh¡c, a0bk− akbk−1b0 = 0 do â a0b = kab0 Nh÷ vªy, b chia h¸t kab0 theo lªpluªn tr¶n ta suy ra b = t Do â biºu di¹n ph¥n thùc cõa v ð m¨u bk = tk Do â,

v =P pitj vîi pj ∈ F (têng n y l§y tr¶n tªp húu h¤n c¡c sè nguy¶n)

B¥y gií, ta lªp luªn cho u0

ui =

X

p0jtj +Xpjjtj−1t0+ qvîi q = Pn

i=1u0i/ui ∈ F

Nh­c l¤i r¬ng t0/t = g0 ∈ F n¶n ft =P p0

jtj +P jpjg0tj + q çng nh§t c¡c h» sècõa t1 ta ÷ñc f0 = p01+ 1p1g0 Cho a = p1 ∈ F, khi â f = a0+ ag0

Ng÷ñc l¤i, gi£ sû f = a0+ ag0 vîi a ∈ F Khi â R feg =R (a0 + ag0)eg = aeg

N¸u a 6= 0 v  gi£ sû t½ch ph¥n ¢ cho l  sì c§p Khi â theo H» qu£ 1.2.5 th¼ tçnt¤i g(x) ∈ C(x) sao cho

Líi gi£i p döng H» qu£ 1.2.5, ta câ f(x) = 1 v  g(x) = x2 Khi â n¸u R ex 2

dx sìc§p th¼ tçn t¤i a(x) ∈ C(x) sao cho

1 = a0(x) + 2xa(x)

Gi£ sû a(x) = p(x)

q(x) vîi p(x), q(x) ∈ C[x] v  q(x) 6= 0 Khæng m§t t½nh têng qu¡t, gi£

sû p(x) v  q(x) nguy¶n tè còng nhau Khi â,

1 = p

0(x)q(x) − p(x)q0(x)(q(x))2 + 2xp(x)

q(x).Suy ra

q(x)2 = p0(x)q(x) − p(x)q0(x) + 2xp(x)q(x)

Mët c¡ch t÷ìng ÷ìng, ta câ

q(x)(q(x) − 2xp(x) − p0(x)) = −p(x)q0(x)

Gi£ sû q(x) câ mët nghi»m l  τ, th¼ p(τ) = 0 (v¼ p(x) v  q(x) nguy¶n tè còng nhau).Nh÷ng q(x)(q(x) − 2xp(x) − p0(x)) = −p(x)q0(x) V¼ vªy, n¸u q(x) câ mët nh¥n tû(x − τ )k th¼ q0(x) ph£i câ còng mët nh¥n tû nh÷ vªy i·u n y væ lþ (q0(x) ph£i câmët nh¥n tû bªc nhä hìn) Do â, q(x) væ nghi»m (ngh¾a l  q(x) = c l  h¬ng sè) M°tkh¡c, a(x) = p(x)

Z x 0

et2dtkhæng sì c§p

V½ dö 1.2.8 ([5]) Chùng minh t½ch ph¥n

Z

ex

xdxkhæng sì c§p

Chùng minh p döng H» qu£ 1.2.5, ta câ f(x) = 1

x v  g(x) = x V¼ vªy, n¸u R e x

xdx

sì c§p, ta câ mët nghi»m a(x) ∈ C(x) sao cho 1

x = a0(x) + 1a(x) M°t kh¡c, 1 =x(a0(x) + a(x)) N¸u a(x) = p(x)

cu£ q(x) câ thº câ l  0 V¼ q(x)2 = x[p0(x)q(x) − p(x)q0(x)] n¶n 0 l  mët nghi»m Do

â, q(x) = cxk vîi k > 1 Khi â,

sin t

t dtkhæng sì c§p

V½ dö 1.2.9 ([5]) Chùng minh t½ch ph¥n

ln xdxkhæng sì c§p

Chùng minh °t u = ln x Khi â, du = 1

Líi gi£i Ta x²t f(x) = 1 + x − 1

x, g(x) = x + 1

x th¼ g0(x) = 1 −x12.Chån a(x) = x th¼ ta kiºm tra ÷ñc

x)e

(x+1x)dx

= I1 + I2.T½nh I1

Líi gi£i Ta chùng minh x2n = R0(x) + 2axR(x) khæng câ nghi»m húu t R(x) Gi£ sû x2n = R0(x) + 2axR(x), vîi R(x) = p(x)

q(x), trong â p(x), q(x) l  c¡c a thùcnguy¶n tè còng nhau Do â

Suy ra

[x2nq(x) − p0(x) − 2axp(x)]q(x) = −p(x)q0(x) (1.2.2)N¸u x0 l  nghi»m bëi k cõa g(x) th¼ x0 l  nghi»m cõa v¸ tr¡i trong (1.2.2) vîi bªc lînhìn ho°c b¬ng k

Nh÷ng p(x), q(x) nguy¶n tè còng nhau n¶n x0 l  nghi»m bëi k − 1 ð v¸ ph£i i·u

n y væ lþ

Vªy q(x) khæng câ nghi»m n¶n q(x) ≡ C

Khæng m§t t½nh têng qu¡t, l§y q(x) ≡ 1 Khi â, (1.2.1) trð th nh

[(j + 1)cj+1+ 2acj−1]xj + 2ac2n−2x2n−1+ 2ac2n−1x2n

Suy ra c1 = 0, c2n−2 = 0, 2ac2n−1 = 1v  (j +1)cj+1+2acj−1= 0vîi j = 1, 2, , 2n−2.V¼ c1 = 0 n¶n c3 = 0, c5 = 0, , c2n−1 = 0 Nh÷ng theo ph÷ìng tr¼nh thù ba

c2n−1 = 1

2a Do â khæng tçn t¤i a thùc p(x) thäa m¢n (1.2.3) vîi n ≥ 1

N¸u n ≤ 0 d¹ th§y (1.2.3) khæng nhªn a thùc n o l m nghi»m Do â, khæng tçnt¤i h m húu t R(x) thäa m¢n ph÷ìng tr¼nh vi ph¥n ¢ cho

Vªy theo H» qu£ 1.2.5 t½ch ph¥n R x2neax 2