Luận văn thạc sỹ bài toán đếm, phủ và tô màu trong hình học tổ hợp

Chương 1Bài toán đếm trong hình học tổ hợp Trong chương này chúng tôi trình bày một số tính chất tổ hợp của các đagiác lồi và các đa giác không lồi, cùng với một số bài toán đếm một số đ

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN TUẤN KHẢI

BÀI TOÁN ĐẾM, PHỦ VÀ TÔ MÀU TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

MÃ SỐ: 8460113

Quy Nhơn - Năm 2021

TRƯỜNG ĐẠI HỌC QUY NHƠN

NGUYỄN TUẤN KHẢI

BÀI TOÁN ĐẾM, PHỦ VÀ TÔ MÀU TRONG HÌNH HỌC TỔ HỢP

CHUYÊN NGÀNH: PHƯƠNG PHÁP TOÁN SƠ CẤP

Mục lục

1.1 Một số tính chất tổ hợp của đa giác lồi 3

1.2 Đếm số giao điểm 7

1.3 Đếm tam giác 11

1.4 Đếm đa giác 16

1.5 Hệ điểm và đường thẳng 18

1.6 Hệ đoạn thẳng 24

1.7 Một số tính chất tổ hợp của đa giác không lồi 25

2 Hệ đường cong và miền 29 2.1 Chia mặt phẳng bởi các đường thẳng 30

2.2 Chia mặt phẳng bởi các đường cong khép kín 34

2.3 Chia đa giác lồi 36

2.4 Chia không gian 42

3 Phủ hình và bao hình 44 3.1 Phủ hình 45

3.2 Phủ hình với hệ các hình tròn tương đẳng 49

3.3 Bao hình 55

3.4 Bài toán xếp chồng 58

4 Bài toán tô màu 61 4.1 Tô màu điểm 61

4.2 Tô màu miền 66

4.3 Tô màu bàn cờ 68

4.4 Tô màu phụ trợ 70

Mở đầu

Việc nghiên cứu bài toán đếm một số đối tượng trong hình học, chẳng hạnnhư đếm số giao điểm, đếm số tam giác, đếm số tứ giác, . thỏa mãn một sốtính chất nào đó; việc nghiên cứu các tính chất tổ hợp của mặt phẳng, đa giác,hoặc không gian khi bị chi ra thành nhiều miền bởi các hệ đường thẳng hoặcđường cong; việc nghiên cứu những bài toán phủ hình, bao hình, bài toán tômàu, . là những vấn đề được quan tâm nghiên cứu trong hình học tổ hợp.Luận văn tập trung nghiên cứu các bài toán cơ bản nói trên trong hình học tổhợp Các kết quả trong luận này được chúng tôi tổng hợp và trình bày lại từ tàiliệu [1] và [2], các bài toán tham khảo trong các tài liệu [3], [4], [5], [6], [7].Ngoài mở đầu, kết luận và tài liệu tham khảo, luận văn được bố cục thành

4 chương:

Chương 1: Bài toán đếm trong hình học tổ hợp

Trong chương này tác giả trình bày một số tính chất tổ hợp của các đa giác lồi

và các đa giác không lồi, cùng với một số bài toán đếm một số đối tượng hìnhhọc

Chương 2: Hệ đường cong và miền

Trong chương này tác giả trình bày một số bài toán tổ hợp liên quan đến việcchia một đối tượng hình học cho trước thành nhiều phần có "hình dạng" khácnhau bởi một họ đường thẳng hoặc đường cong

Chương 3: Phủ hình và bao hình.

Trong chương này tác giả trình bày các bài toán phủ hình (covering) và baohình (parking), đồng thời nghiên cứu các tình huống một đối tượng hình họccho trước chứa một số đối tượng khác bên trong nó

Chương 4: Bài toán tô màu

Trong chương này tác giả trình bày một số bài toán tô màu các đối tượng hìnhhọc, gồm tô màu điểm, tô màu miền, tô màu bàn cờ, .

Luận văn được hoàn thành dưới sự hướng dẫn tận tình của thầy PGS.TS LêCông Trình, người luôn nhắc nhở, động viên, giúp đỡ tôi trong quá trình nghiêncứu để tôi có thể hoàn thành luận văn này Tôi cũng xin bày tỏ lòng biết ơn đốivới quý thầy cô trong khoa Toán và Thống kê, phòng Sau đại học trường Đạihọc Quy Nhơn, đặc biệt là quý thầy cô đã trực tiếp giảng dạy cho lớp Cao họcToán khóa 22 Cuối cùng tôi tỏ lòng biết ơn đến gia đình, người thân và bạn bè

đã luôn ủng hộ, giúp đỡ, tạo điều kiện cho tôi về mọi mặt trong suốt thời giantôi học thạc sĩ cũng như hoàn thành luận văn này

Trong thời gian ngắn hoàn thành luận văn này, chắc không tránh được saisót Chúng tôi rất mong nhận được những góp ý, phê bình quý báu của quýthầy cô và các bạn đồng nghiệp

Quy Nhơn, tháng 7 năm 2021Học viên: Nguyễn Tuấn Khải

Chương 1

Bài toán đếm trong hình học tổ hợp

Trong chương này chúng tôi trình bày một số tính chất tổ hợp của các đagiác lồi và các đa giác không lồi, cùng với một số bài toán đếm một số đối tượnghình học thỏa mãn một số tính chất nào đó: Đếm số giao điểm, đếm số tamgiác, .

1.1 Một số tính chất tổ hợp của đa giác lồi

Trong phần này chúng tôi trình bày một số tính chất tổ hợp của các đa giáclồi Đầu tiên chúng tôi định nghĩa tập lồi

Định nghĩa 1.1.1 Tập lồi trong mặt phẳng (trên đường thẳng, trong khônggian) là tập hợp U các điểm trong mặt phẳng (trên đường thẳng, trong khônggian) có tính chất sau: Với hai điểm phân biệt bất kìX, Y thuộc U thì mọi điểmcủa đoạn thẳng XY cũng thuộc U

Tập lồi trên đường thẳng có cấu trúc đơn giản: Ngoại trừ đường thẳng, tậprỗng, các điểm thì các tập lồi là các tia và đoạn thẳng, có hoặc không có điểmbiên Việc phân loại các tập lồi trong mặt phẳng rõ ràng là khó khăn, nhưngmột công cụ đáng kể trong việc xây dựng các tập lồi là giao của các tập lồi là

một tập lồi Một khái niệm quan trọng đó chính là bao lồi K của U: nó là giaocủa tất cả các tập lồi M thỏa mãn U ⊆ M (vì vậy K là tập lồi nhỏ nhất chứa

U)

Định nghĩa 1.1.2 Cho K = {A1, A2, , An} là tập gồm n điểm phân biệttrong mặt phẳng (n ≥ 3) Tập M được gọi là n-giác lồi A 1 A 2 A n nếu M làgiao của n nửa mặt phẳng α 1 , α 2 , , α n sao cho với mỗi i = 1, 2, , n đườngthẳng AiAi+1 (trong đó An+1 = A1) là biên của nửa mặt phẳng αi và mỗi điểm

Aj ∈ K\{Ai; Ai+1} đều nằm trong αi

Nếu U là một tập hợp hữu hạn gồm n điểm (n ≥3) trong mặt phẳng sao cho

n điểm không cùng nằm trên một đường thẳng thì bao lồi của U là một đa giáclồi có các đỉnh là một số (hoặc có thể là tất cả) phần tử của tập U

Một kết quả quan trọng khác trong lý thuyết tập lồi đó là Định lý Helly

Định lý 1.1.3 (Helly) Giả sử S là một hệ bất kì (hữu hạn hoặc vô hạn) cáctập con lồi của một mặt phẳng cho trước sao cho ba tập hợp bất kì có ít nhấtmột điểm chung Khi đó tất cả các tập con trong S đều có điểm chung

Hai tính chất cơ bản sau đây của đa giác lồi sẽ được sử dụng thường xuyên

ở chương này

Tính chất 1.1.4 Số đường chéo u n của n-giác lồi M thỏa mãn

un = n(n − 3)

Chứng minh Thật vậy,n đỉnh của đa giácM được nối với nhau bởi n2
= n(n−1)2

đoạn thẳng, trong đó có đúng n đoạn là các cạnh của đa giác M Do đó ta có

un = n(n−1)2 − n = n(n−3)2

Một cách tính khác: Mỗi đỉnh của đa giác M là điểm cuối củan − 3 đườngchéo Nếu chúng ta cộng tất cả n đỉnh của M thì các đường chéo này đã đượcđếm hai lần, chúng ta cũng có được un = n(n−3)2

Tính chất 1.1.5 Tổng Sn các góc trong một n-giác lồi thỏa mãn

Chứng minh Ta sẽ chứng minh công thức này bằng phương pháp quy nạp toánhọc Với n = 3, (1.1.1) là công thức đã biết về tổng các góc trong của một tamgiác Bây giờ chúng ta giả sử rằng công thức (1.1.1) đúng vớii = n (n > 3), ta sẽchứng minh (1.1.1) đúng với i = n + 1 Ta chia nhỏ (n + 1)-giác lồi A1A2 An+1

theo đường chéo A1A3 thành tam giác A1A2A3 và n-giác lồi A1A3 An+1 Khi

đó n-giác lồi A1A3 An+1 có tổng các góc trong là Sn = (n − 2) · 180◦ Vìtổng Sn+1 các góc trong của đa giác A1A2 An+1 bằng tổng các góc trongcủa tam giác A1A2A3 cộng với tổng các góc trong của n-giác A1A3 An+1, suy

ra S n+1 = 180◦+ (n − 2) · 180◦ = (n − 1) · 180◦

Một cách tính khác: Đa giác M = A1A2 An có thể chia bởi n − 3 cạnh

A1Ak(k = 3, 4, , n − 1) thành n − 2 tam giác, và tổng các góc trong của n − 2

tam giác này bằng Sn

Mệnh đề 1.1.6 Tồn tại một n-giác lồi M (n ≥ 3) sao cho ba đường chéo bất

kì của M không đồng quy

Chứng minh Ta sẽ chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học theo n

rằng tồn tại n-giác lồi M nội tiếp một đường tròn và không có ba đường chéonào đồng quy

Với n ≤ 5, n-giác lồi đang xét là n-giác lồi thông thường, do đó khẳng định củamệnh đề đã đưa ra là đúng Với n > 6 ta giả sử rằng n-giác lồi Mn = A1A2 An

nội tiếp đường tròn C và không có ba đường chéo nào đồng quy Ta xét tậphợp P gồm tất cả các đường thẳng nối các giao điểm của tất cả các đường chéocủa đa giác Mn Khi đó có hữu hạn đường thẳng thuộc P và cũng có hữu hạngiao điểm của các đường thẳng này với đường tròn C Do đó tồn tại một điểm

An+1 nằm trên đường tròn C và không nằm trên bất kì đường thẳng nào thuộc

P Hơn nữa A n+1 có thể được chọn nằm trên cung tròn giới hạn bởi A 1, A n vàkhông chứa A2, A3, An−1 Khi đó A1A2 AnAn+1 là một(n + 1)-giác lồi không

có ba đường chéo nào đồng quy

Mệnh đề 1.1.7 Cho n (n ≥ 4) điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có bađiểm nào thẳng hàng và bốn điểm bất kì là đỉnh của một tứ giác lồi Khi đó n

điểm đã cho là đỉnh của một n-giác lồi

Chứng minh GọiS là tập hợp các điểm đã cho và giả sử bao lồi của S là k-giác

M Ta sẽ chứng minh mọi điểm X ∈ S là đỉnh của M Phản chứng rằng tồn tạimột điểmY ∈ S nằm bên trongk-giác M Từ một đỉnh Z tùy ý của M ta vẽ tất

cả các đường chéo nối với đỉnh Z, khi đó k-giác M được chia thành k − 2 tamgiác và điểmY sẽ nằm trong một tam giác nào đó Giả sử tam giác đó làABC,khi đó bốn điểm A, B, C, Y không tạo thành tứ giác lồi, điều này mâu thuẫn vớigiả thiết

Mệnh đề 1.1.8 Chọn một điểm P tùy ý nằm trong đa giác lồi M và dựng cáchình chiếu vuông góc từ P lên các đường thẳng chứa cạnh của M Khi đó có ítnhất một trong các hình chiếu này nằm trên cạnh của M

Chứng minh Trong tất cả các đường thẳng chứa cạnh của M, ta chọn đườngthẳng có khoảng cách đến P là nhỏ nhất, giả sử đường thẳng ấy là ` (Nếu cónhiều đường thẳng như vậy thì ta chọn một đường bất kì) Giả sử cạnhAB nằm

trên `, ta sẽ chứng minh hình chiếu vuông góc Q của P lên ` nằm trên đoạnthẳng AB Giả sử Q ∈ ` \ AB (Hình 1.1), khi đó đoạn thẳng P Q nối một điểmtrong với một điểm ngoài đa giácM, và giả sử P Qcắt CD tại R Vì |P R| < |P Q|

Trong phần này chúng tôi trình bày một số bài toán về xác định số giao điểmtrong hệ đoạn thẳng, đường thẳng và đường tròn

Mệnh đề 1.2.1 Một đường gấp khúc khép kín gồm 2n + 1 đoạn thẳng (n ≥ 1)

có thể tự cắt nhau tại nhiều nhất (2n + 1)(n − 1) điểm

Chứng minh Ta xét một đoạn AB tùy ý thuộc đường gấp khúc Nó có thể cónhiều nhất 2n − 2giao điểm, vìAB sẽ không bị cắt bởi hai đoạn kề của nó Điềunày đưa ra ước tính cho số k các giao điểm là: k ≤ (2n+1)(2n−2)2 = (2n + 1)(n − 1)

Ta có thể dựng một đường gấp khúc khép kín với chính xác (2n + 1)(n − 1) giaođiểm: Xét đa giác A1A2 A2n+1 trong đó không có ba đường chéo đồng quy bêntrong đa giác Khi đó đường gấp khúc A1An+1A2n+1AnA2nAn−1 A2An+2A1 làđường gấp khúc có chính xác (2n + 1)(n − 1) giao điểm

Mệnh đề 1.2.2 Cho n-giác lồi A1A2 An không có ba đường chéo nào đồngquy Khi đó số giao điểm của các đường chéo trong n-giác lồi là



n 4

đa giác, nửa mặt phẳng còn lại chứa (n − k) đỉnh Do đó đường chéo A1Ak cắtcác đường chéo khác tại (n − k)(k − 2) điểm, và a1(n) là số giao điểm trên tất cảcác đường chéo xuất phát từ A 1 thỏa mãn



.

Một cách tính khác: Bất kì giao điểm nào của hai đường chéo cũng tươngứng với bốn đỉnh củan-giác Do đó số giao điểm của các đường chéo chính là sốcách chọn bốn trong số n đỉnh của n-giác, tức là có n4
giao điểm.

Bài toán 1.2.3 Cho năm điểm nằm trong mặt phẳng và trong số tất cả cácđoạn thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đoạn nào song song hoặc vuônggóc với nhau Từ mỗi điểm đã cho dựng đường vuông góc với tất cả các đoạnthẳng kể trên Khi đó số giao điểm của hệ này không vượt quá 310

Lời giải Số đoạn thẳng tạo bởi năm điểm đã cho là 52
= 10 và mỗi điểm làđiểm đầu của bốn đoạn thẳng Do đó từ mỗi điểm có sáu đường thẳng vuônggóc với các đường thẳng nối các điểm khác Trước tiên chúng ta xét hai điểmbất kì trong năm điểm đã cho, giả sử là A, B và ta đếm số giao điểm của cácđường thẳng vuông góc kẻ từ A với các đường vuông góc kẻ từ các điểm khác.Giả sử các điểm còn lại là C, D, E Chúng ta chia sáu đường vuông góc kẻ từ A

thành hai nhóm:

Ba đường thẳngp1, p2, p3vuông góc với các đường thẳngBC, BD, BE; Các đườngthẳng này cắt sáu đường vuông góc kẻ từ B tại 3 · 6 = 18 giao điểm

Ba đường thẳng q1, q2, q3 kẻ từ A vuông góc với CD, CE, DE giao với năm trong

số sáu đường thẳng vuông góc kẻ từB (vì có một đường vuông góc kẻ từ B songsong với q 1 , q 2 hoặc q 3 (xem Hình 1.2) Từ đó ta có thêm 3 · 5 = 15 giao điểmkhác

Suy ra các đường vuông góc từ A và B cắt nhau tại 18 + 15 = 33 giao điểm.Người ta có thể chọn hai trong năm điểm đã cho theo 52
= 10 cách, vì vậy sốgiao điểmp không được vượt quá10 · 33 = 330 Chú ý rằng năm điểm đã cho tạothành đỉnh của 53
= 10 tam giác, trong đó ba đường cao đồng quy Vì vậy tađược p ≤ 330 − 2 · 10 = 310

Hình 1.2:

Mệnh đề 1.2.4 Cho n ≥ 3 điểm nằm trong mặt phẳng và trong số tất cả cácđoạn thẳng nối hai điểm bất kì không có hai đoạn nào song song hoặc vuônggóc với nhau Từ mỗi điểm đã cho dựng đường vuông góc với tất cả các đoạnthẳng kể trên Khi đó số giao điểm của hệ này không vượt quá

3n6− 21n 5 + 51n4− 47n 3 + 6n2+ 8n

Chứng minh Số đoạn thẳng tạo bởinđiểm đã cho là n2

= n(n−1)2 và mỗi điểm làđiểm đầu của(n−1)đoạn thẳng Do đó từ mỗi điểm có n(n−1)2 −(n−1) = (n−1)(n−2)2

đường thẳng vuông góc với các đường thẳng nối các điểm khác Trước tiên chúng

ta xét hai điểm bất kì trong n điểm đã cho, giả sử là A, B và ta đếm số giaođiểm của các đường thẳng vuông góc kẻ từA với các đường vuông góc kẻ từ cácđiểm khác Giả sử các điểm còn lại là X1, X2, , Xn−2 Chúng ta chia (n−1)(n−2)2đường vuông góc kẻ từ A thành hai nhóm:

Các đường thẳng p1, p2, , pn−2 vuông góc với các đường thẳng

BX1, BX2, , BXn−2; (n − 2) đường thẳng này cắt (n−1)(n−2)2 đường vuông góc

kẻ từ B tại (n − 2) ·(n−1)(n−2)2 = n3−5n22+8n−4 giao điểm

(n−1)(n−2)

2 −(n−2) = n2−5n+62 đường vuông góc còn lại kẻ từAgiao với (n−1)(n−2)2 −

1 = n2−3n2 đường thẳng vuông góc kẻ từ B Từ đó ta có thêm n2−5n+62 · n2−3n2 =

= n3−3n62+2n tam giác, trong đó ba đường cao đồng quy.

Mệnh đề 1.3.1 Trên mỗi cạnh của một tứ giác lồi chọnn điểm phân biệt Khi

đó có 2n2(5n − 3) tam giác có đỉnh thuộc 4n điểm ấy

Chứng minh Từ 4nđiểm đã cho ta có thể chọn được 4n3
bộ ba điểm phân biệt,tuy nhiên có4 · n4
trường hợp bộ ba điểm nằm trên cùng một cạnh của tứ giác

Do đó số tam giác chọn được là 4n3
− 4 · n3
= 2n2(5n − 3)

Một cách tính khác: Mỗi tam giác thuộc một trong hai loại sau: Mỗi đỉnhcủa tam giác nằm trên ba cạnh khác nhau của tứ giác hoặc hai đỉnh của tamgiác nằm trên cùng một cạnh của tứ giác và đỉnh thứ ba nằm trên một cạnhkhác Có 4n3 tam giác thuộc loại thứ nhất và 4 · 3 · n2
· n tam giác thuộc loạithứ hai Vì vậy ta có tất cả là 4n3+ 4 · 3 · 42
· n = 2n2(n − 3) tam giác

Mệnh đề 1.3.2 Cho n-giác lồi M (n ≥ 6) Khi đó có n(n−4)(n−5)6 tam giác cóđỉnh là đỉnh của M và cạnh là đường chéo của M.

Chứng minh Từ số tam giác có đỉnh thuộcM ta trừ đi những tam giác có cạnh

là một hoặc hai cạnh của M Có n(n − 4) tam giác có một cạnh là cạnh của

đa giác, vì với mỗi cạnh trong số n cạnh của M ta có thể chọn đỉnh thứ batheo n − 4 cách Có n tam giác có hai cạnh là cạnh của M vì mỗi tam giác nhưthế gồm hai cạnh kề của M và xác định duy nhất bởi đỉnh chung của hai cạnh

ấy Vì vậy số tam giác có đỉnh là đỉnh của M và cạnh là đường chéo của M là

N = n3
− n(n − 4) − n = n(n−4)(n−5)6

Mệnh đề 1.3.3 Cho n-giác lồi M không có ba đường chéo nào đồng quy Khi

đó có n(n−1)(n−2)6 ·n3+18n1202−43n+60 tam giác có cạnh nằm trên các cạnh hoặc đườngchéo của M

Chứng minh Ta chia tất cả P (n) tam giác thỏa yêu cầu bài toán thành cáclớp S0, S1, S2, S3 sao cho Si chứa các tam giác có đúng i đỉnh trong số các đỉnhcủa M, (i = 0, 1, 2, 3) Dễ dàng thấy rằng |S3| = n3
Mỗi tam giác trong lớp S2

Hình 1.3:

có hai đỉnh thuộc M, giả sử B1, B2, và đỉnh thứ ba của tam giác là giao điểmcủa hai đường chéo B 1 B 3 và B 2 B 4 (Hình 1.3(a)) Nếu chúng ta chọn bốn đỉnh

B1, B2, B3, B4 từ các đỉnh của M thì ta được chính xác bốn hình tam giác thuộc

S2; do đó |S2| = 4 · n4
Bằng cách lập luận tương tự ta được |S1| = 5 · n5
(Hình1.3(b)) và |S0| = n6
(Hình 1.3(c))



+ 4 ·



n 4



+ 5 ·



n 5



+



n 6

Chứng minh Từ tập S ta chọn hai điểm bất kì, giả sử là X, Y Ta xét nửa mặtphẳng α có bờ là đường thẳng XY sao cho α chứa nhiều hơn một điểm của S.Trong nửa mặt phẳng α gọi Z là điểm có khoảng cách ngắn nhất tới XY (nếu

có nhiều điểm thì ta chọn một điểm bất kì) Khi đó tam giác4XY Z là "rỗng",tức là nó không chứa bất kì điểm nào thuộcS Để chứng minh điều này ta phản

Hình 1.4:

chứng rằng tồn tại A ∈ S chứa trong 4XY Z Giả sử dA, dZ lần lượt là khoảng

cách từ A và Z đếnXY Khi đó diện tích 4AXY nhỏ hơn diện tích 4ZXY, tức

là dA < dZ (Hình 1.4(a)), điều này mâu thuẫn với cách chọn Z

Chú ý rằng tồn tại nhiều nhất n cặp điểm X, Y thuộc S sao cho toàn bộ tập S

nằm hoàn toàn ở một trong hai nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng XY (điềunày xảy ra khi X, Y là hai đỉnh kề của bao lồi tập S) Với mỗi cặpX, Y như vậy

ta chỉ ra có ít nhất một tam giác 4XY Z (Z ∈ S) là "rỗng" Với mỗi cặp X, Y

khác (ít nhất n2

− ncặp) có ít nhất hai tam giác "rỗng" Nếu chúng ta cộngcác số này với tất cả các cặp X, Y ta được ít nhất n + 2h n2
− ni= n(n − 2) tamgiác "rỗng", và mỗi tam giác được tính ít nhất ba lần Vậy ta có ít nhất n(n−2)3tam giác thỏa yêu cầu bài toán

Mệnh đề 1.3.5 Trong mặt phẳng cho 3n điểm (n ≥ 1) sao cho không có bađiểm nào thẳng hàng Khi đó các điểm này là đỉnh của n tam giác rời nhau.Chứng minh Sử dụng phương pháp quy nạp toán học theo n Với n = 1 khẳngđịnh của mệnh đề là đúng Giả sử khẳng định của mệnh đề đúng với n = k, tachứng minh khẳng định của mệnh đề đúng với n = k + 1 Chúng ta xét 3k + 3

điểm trong mặt phẳng thỏa không có ba điểm nào thẳng hàng và giả sử bao lồicủa những điểm này là đa giác A1A2 As(3 ≤ s ≤ 3k + 3) Ta chia thành haitrường hợp:

a) Tam giác 4A 1 A 2 A 3 và 3k điểm còn lại Khi đó giả sử tất cả các điểm còn lạinằm trong nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng A1A3 và không chứa điểm A2.Theo giả thiết quy nạp, 3k điểm này tạo thành k tam giác rời nhau Cùng với

4A1A2A3 ta có (k + 1) tam giác rời nhau

b) Tam giác4A1A2A3 và 3k điểm còn lại Chọn một điểm B từ3k điểm sao chogóc \BA1A2 là nhỏ nhất, giả sử điểm B là duy nhất (Hình 1.4(b)) Khi đó nửamặt phẳng có bờ là đường thẳng A 1 B và không chứa điểm A 2 sẽ chứa 3k điểm,

mà theo giả thiết3k điểm này tạo thành k tam giác rời nhau Cùng với4A1A2B

ta có (k + 1) tam giác rời nhau

Một cách chứng minh khác: Vẽ tất cả các đường thẳng nối hai điểm bất

kì thuộc 3n điểm đã cho và chọn một hướng bất kì khác với tất cả các hướngcủa các đường đã vẽ Qua mỗi điểm của 3n điểm đã cho ta kẻ một đường thẳngvới hướng đã chọn; như vậy chúng ta thu được một hệ gồm3n đường thẳng songsong phân biệt Chúng ta chia nhỏ các đường song song này thành n bộ ba củacác đường gần nhau; các điểm đã cho trên các đường thuộc cùng một bộ ba tạothành đỉnh của một trong các tam giác rời nhau

Hình 1.5:

Chú ý 1.3.6 Phương pháp song song này cũng có thể được dùng để giải bàitoán sau: Giả sử rằng tổng các số nguyên dương k1, k2, , kn bằng N Chứngminh rằng mọi tập hợp N phần tử của điểm trong mặt phẳng có thể được chia

ta thành n lớp với k 1 , k 2 , , k n phần tử sao cho các bao lồi của các lớp riêng lẻ

là rời rạc

1.4 Đếm đa giác

Trong phần này chúng tôi trình bày bài toán đếm sốk-giác có đỉnh từn điểm

đã cho (4 ≤ k ≤ n) thỏa mãn một số điều kiện nào đó Đặc biệt là bài toánCayley về số k-giác lồi có đỉnh là đỉnh của một n-giác lồi và cạnh là đường chéocủa n-giác lồi đó

Mệnh đề 1.4.1 (Cayley) Cho n-giác lồi M và số k thỏa 3 ≤ k ≤ n2 Khi đó có

n(n−k−1)!

k!(n−2k)! k-giác lồi có đỉnh là đỉnh của M và cạnh là đường chéo của M

Chứng minh Giả sử M là n-giác A1A2 An và ta sẽ xác định có bao nhiêu

k-giác có đỉnh là An−1 Kí hiệu các đỉnh còn lại của k-giác là Ai1, Ai2, , Aik−1

trong đó các chỉ số i1, i2, , ik−1 thỏa mãn các bất đẳng thức 1 ≤ i1 < i2 < <

ik−1 ≤ n − 3; i2− i1 ≥ 2, i3− i2 ≥ 2, , ik−1− ik−2 ≥ 2 Như vậy (k − 1) chỉ số cóthể được chọn theo n−k−1k−1
cách và do đó số k-giác thỏa yêu cầu với đỉnh An−1

là n−k−1k−1
Cộng số này cho tất cả các đỉnh của M thì mỗi k-giác đã được đếm

k lần, vậy số c(k, n) k-giác thỏa yêu cầu là

Khi giải các bài toán về Hình học tổ hợp, trong nhiều trường hợp chúng tôi

sử dụng phương pháp Tạo đa giác bao dùng để bao một số hữu hạn điểm bởimột đa giác hoặc một góc

Bổ đề 1.4.3 (Bổ đề về đa giác bao) Cho n (hữu hạn) điểm không cùng thuộcmột đường thẳng Khi đó tồn tại một đa giác lồi có mỗi đỉnh là một trong n

điểm đã cho, sao cho các điểm còn lại không nằm ngoài đa giác

Chứng minh Vì số điểm đã cho là hữu hạn nên tồn tại một đường tròn có bánkính đủ lớn chứa tất cả n điễm ấy Lấy đường thẳng l nằm ngoài đường tròn.Gọi A1 là điểm gần l nhất (nếu có nhiều điểm thì chọn A1 là điểm cuối dùng ởbên phải) Qua A1 kẻ đường thẳng d k l.

Quay đường thẳng d quanh A1 ngược chiều kim đồng hồ cho đến khi gặp mộtđiểm đã cho, ta được đường thẳngd 1, gọi điểm vừa gặp là A 2 (nếu có nhiều điểmthuộc d1 thì chọn A2 là điểm xa A1 nhất)

Quay d1 quanh A2 như cách làm trên, ta được đường thẳng d2, và cứ tiếp tụcnhư vậy cho đến khi được đường thẳng đi qua A1 gọi là dm, ta nhận được đagiác lồi A1A2 Am thỏa mãn đề bài

Chú ý 1.4.4 Đa giác lồi được tạo thành theo cách trên gọi là đa giác bao n

đó có nhiều nhất năm tứ giác lồi được tạo thành

Lời giải Kí hiệu S là tập hợp các điểm đã cho và K là bao lồi của S Ta có cáctrường hợp sau:

a) K là một ngũ giác Khi đó mỗi tứ giác có đỉnh thuộc S đều là tứ giác lồi và

có 54
= 5 tứ giác lồi

b) K là tứ giác lồi A1A2A3A4 trong khi đỉnh A5 ∈ S nằm phía trong của K.Giả sử P là giao điểm của hai đường chéo của tứ giác A1A2A3A4 Khi đó A5

là điểm trong của một trong bốn tam giác A1A2P, A2A3P, A3A4P, A1A4P, giả sử

A5 ∈ 4A1A2P Khi đó ta có chính xác ba tứ giác lồi đó là A1A2A3A4, A1A5A3A4

Nhờ nguyên lý này ta có thể xét các phần tử mà một đại lượng nào đó có giátrị nhỏ nhất hoặc lớn nhất.

Mệnh đề 1.5.1 (Sylvester - Gallai) ChoS là tập hợp hữu hạn điểm nằm trênmặt phẳng sao cho các điểm này không cùng nằm trên một đường thẳng Khi

đó tồn tại một đường thẳng chỉ chứa hai điểm thuộc S

Chứng minh Gọi L là tập hợp (hữu hạn) các đường thẳng đi qua ít nhất haiđiểm thuộc S Xét các khoảng cách từ một điểm thuộc S đến một đường thẳng

Hình 1.7:

thuộc L, ta xét khoảng cách dương nhỏ nhất và giả sử đó là khoảng cách từ

A ∈ S đến l ∈ L Gọi B là hình chiếu của A lên l, khi đó đường thẳng l chiathành hai tia gốc B Ta sẽ chứng minh trên mỗi tia có nhiều nhất một điểmthuộc S Thật vậy, giả sử một trong hai tia gốc B chứa hai điểm C 1 , C 2 ∈ S và

0 ≤ |BC1| ≤ |BC2| Khi đó tam giác 4AC1C2 là tam giác tù hoặc tam giác vuông(khi B ≡ C1) với góc lớn nhất là C1 Do đó |C1C2| < |AC2|, và thông qua việctính diện tích 4AC1C2 theo hai cách khác nhau ta suy ra rằng khoảng cách từ

C1 đếnAC2 nhỏ hơn khoảng cách từA đếnl Điều này mâu thuẫn với cách chọn

A và l Vì vậy có đúng hai điểm thuộc S trên đường thẳng l

Bài toán 1.5.2 Cho 10 đường thẳng trong đó không có hai đường thẳng nàosong song Biết rằng qua giao điểm của hai đường thẳng bất kỳ trong 10 đường

thẳng ấy còn có ít nhất một trong các đường thẳng còn lại đi qua Khi đó tất

cả 10 đường thẳng đó đồng quy

Lời giải Giả sử phản chứng rằng 10 đường thẳng không đồng quy Xét đườngthẳng d, có một hoặc nhiều giao điểm của hai đường thẳng đã cho không nằmtrên d, ta gọi A là điểm nằm gần d nhất Theo giả thiết qua A có ít nhất ba

Hình 1.8:

đường thẳng đi qua Do không có hai đường thẳng nào song song nên ba đườngthẳng này cắt d tại ba điểm, gọi là B, C, D và giả sử C nằm giữa B và D (Hình1.8)

Cũng theo giả thiết, qua C còn có một đường thẳng nữa, đường thẳng này phảicắt một trong hai đoạn thẳng AB, AD, chẳng hạn nó cắt AD tại E nằm giữa A

và D Khi đó dễ thấy khoảng cách từ E đến d nhỏ hơn khoảng cách từ A đến

d, điều này mâu thuẫn với cách chọn điểm A và đường thẳng d Vậy 10 đườngthẳng này đồng quy

Mệnh đề 1.5.3 Cho tập hữu hạn S gồm n ≥ 3 điểm không thẳng hàng trongmặt phẳng Xét các đường thẳng nối hai điểm thuộc S Khi đó có ít nhất n

đường thẳng phân biệt

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học theo n Với

n = 3, khẳng định của mệnh đề là đúng, giả sử khẳng định của mệnh đề đúng

với n = k (k ≥ 4), ta sẽ chứng minh khẳng định của mệnh đề đúng vớin = k + 1.Theo Mệnh đề 1.5.1, trong số các đường thẳng nối hai điểm thuộcS tồn tại mộtđường thẳng chỉ chứa hai điểm A, B ∈ S Xét điểm A và đặt S0 = S\{A} Khi

đó ta có hai trường hợp: Nếu tất cả k điểm thuộc S0 cùng nằm trên một đườngthẳng l thì ta có hệ gồm (k + 1) đường thẳng phân biệt {AX : X ∈ S0} ∪ {l};Trong trường hợp ngược lại, theo giả thiết quy nạp có ít nhất k đường thẳngphân biệt trong các đường thẳng nối hai điểm thuộcS0 và không có đường thẳngnào trong đó trùng với đường thẳng AB vì theo cách chọn đường thẳng AB chỉchứa hai điểm thuộc S

Bài toán 1.5.4 Cho bốn điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng

i) Từ bốn điểm ấy ta có thể chọn ra một tam giác có một góc không vượt quá

45◦

ii) Tồn tại một hệ bốn điểm như vậy sao cho không có tam giác nào có góc nhỏhơn 45◦

Lời giải i) Ta xét hai trường hợp bao lồi của bốn điểm đã cho

Trường hợp 1: Bao lồi là tam giác4A1A2A3 và điểmA4nằm bên trong4A1A2A3

(Hình 1.9(a)) Khi đó các đoạn thẳng A 1 A 4 , A 2 A 4 , A 3 A 4 chia các góc trong của

Hình 1.9:

4A1A2A3 thành sáu góc nhỏ, trong đó có ít nhất một góc không lớn hơn 1806◦ =

30◦ < 45◦.

Trường hợp 2: Bao lồi là tứ giác A1A2A3A4 (Hình 1.9(b)), khi đó bốn góc trong

bị chia bởi hai đường chéo thành tám góc nhỏ và ít nhất một trong số tám gócnày không lớn hơn 3608◦ = 45◦

ii) Điều này xảy ra khi bốn điểm đã cho tạo thành đỉnh của một hình chữ nhật

Mệnh đề 1.5.5 Cho n ≥ 3 điểm không thẳng hàng trong mặt phẳng

i) Từ n điểm ấy ta có thể chọn ra một tam giác có một góc không vượt quá

Chứng minh i) Lập luận tương tự Bài toán 1.5.4 các trường hợp bao lồi của n

điểm đã cho ta có được điều phải chứng minh

ii) Điều này xảy ra khi n điểm đã cho tạo thành đỉnh của một n-giác đều.Bài toán 1.5.6 Cho 10 điểm trên mặt phẳng sao cho trong bốn điểm bất kỳluôn tồn tại ba điểm thẳng hàng Khi đó ta có thể bỏ đi một điểm trong 10 điểm

đã cho đểm chín điểm còn lại cùng thuộc một đường thẳng

Lời giải Nếu tất cả 10 điểm cùng thuộc một đường thẳng thì bài toán đượcchứng minh

Giả sử không phải cả 10 điểm cùng thuộc một đường thẳng Ta chọn ra bốnđiểm A, B, C, D mà không phải tất cả thẳng hàng Theo giả thiết bài toán trongbốn điểm A, B, C, D phải có ba điểm thẳng hàng, giả sử A, B, C thuộc đườngthẳngdcòn Dkhông nằm trên d Ta sẽ chứng minh sáu điểm còn lại cũng thuộcđường thẳng d

Giả sử phản chứng rằng trong sáu điểm còn lại, tồn tại điểmE không nằm trên

d Trong bốn điểm A, B, D, E phải có ba điểm thẳng hàng Do ba điểm A, B, D

không thẳng hàng, ba điểm A, B, E không thẳng hàng nên hoặc ba điểm A, D, E

thẳng hàng, hoặc ba điểm B, D, E thẳng hàng

Trường hợp ba điểm A, D, E thẳng hàng thì ba điểm B, D, E không thẳng hàng,

ba điểm C, D, E không thẳng hàng, do đó trong bốn điểm B, C, D, E không có

ba điểm nào thẳng hàng, mâu thuẫn với giả thiết

Trường hợp B, D, E thẳng hàng tương tự ta suy ra được bốn điểm A, C, D, E

không có ba điểm nào thẳng hàng

Như vậy, ngoài ba điểmA, B, C thuộc đường thẳng d, phải có sau điểm nữa cùngthuộc d Bài toán được chứng minh

Bài toán 1.5.7 Cho tập hợp M gồm 10 điểm, trong đó có một số cặp điểmđược nối với nhau bởi các đoạn thẳng Khi đó trong 10 điểm ấy, tồn tại hai điểmđược nối đến các điểm khác bởi cùng một số đoạn thẳng như nhau

Lời giải Với mỗi điểm Ai(i = 1, 2, , 10) của tập hợp M, ta gọi s(Ai) là sốđoạn thẳng nối điểm Ai đến các điểm khác của tập hợp M Khi đó s(Ai) ∈ {0; 1; 2; ; 9}

Chú ý rằng không thể xảy ra trường hợp hai điểmA, B của tập hợpM cós(A) = 0

và s(B) = 9, vì nếu s(A) = 0 thì s(B) 6= 9 (nếu điểm A không nối với một điểmnào của tập hợp M thì không thể xảy ra trường hợp điểm B nối với tất cả 9điểm còn lại) Do đó với mỗi i, s(Ai) chỉ có thể nhận một trong 9 giá trị Có 10điểm A1, A2, , A10 nên tồn tại hai điểm Am, An mà a(Am) = a(An) Hai điểm

Am, An là hai điểm cần tìm

Lời giải Giả sử 50 đoạn thẳng thuộc tia Axnằm ngang, hướng từ trái qua phải.

Và giả sử khẳng định đầu tiên là sai, tức là có nhiều nhất 7 đoạn thẳng có điểmchung Trong 50 đoạn thẳng gọi a1 là đoạn thẳng có đầu trái gần Anhất, khi đó

có nhiều nhất 6 đoạn thẳng có điểm chung với a1 Ngoài a1 và các đoạn thẳng

có điểm chung với a1 còn ít nhất 50 − 7 = 43 đoạn thẳng

Trong 43 đoạn thẳng gọi a2 là đoạn thẳng có đầu trái gần A nhất, khi đó cónhiều nhất 6 đoạn thẳng có điểm chung với a 2 Ngoài a 2 và các đoạn thẳng cóđiểm chung với a2 còn ít nhất 43 − 7 = 36 đoạn thẳng

Cứ tiếp tục như vậy ta chọn đến đoạn thẳnga7 và các đoạn thẳng có điểm chungvới nó, ta còn ít nhất đoạn thẳng

Gọi một trong các đoạn còn lại là a8 Khi đó a1, a2, , a8 là 8 đoạn thẳng đôimột phân biệt

Mệnh đề 1.6.2 Trên một đường thẳng có (n2+ 1) đoạn thẳng, biết rằng không

có (n + 1) đoạn thẳng nào có điểm chung Khi đó tồn tại (n + 1) đoạn thẳng đôimột không có điểm chung

Chứng minh Giả sử (n2+ 1) đoạn thẳng thuộc tia Axnằm ngang, hướng từ tráiqua phải

Trong(n2+ 1)đoạn thẳng, gọia1 là đoạn thẳng có đầu trái gầnA nhất Có nhiềunhất (n − 1) đoạn thẳng có điểm chung với a1 Ngoài a1 và các đoạn thẳng có

điểm chung với nó, còn ít nhất (n2+ 1) − n đoạn thẳng.

Trong (n2+ 1) − n đoạn thẳng, gọi a2 là đoạn thẳng có đầu trái gần A nhất

Có nhiều nhất (n − 1) đoạn thẳng có điểm chung với a2 Ngoài a2 và các đoạnthẳng có điểm chung với nó, còn ít nhất (n2+ 1) − 2n

đoạn thẳng

Trong (n2+ 1) − 2n

đoạn thẳng, gọi a3 là đoạn thẳng có đầu trái gầnA nhất

Có nhiều nhất (n − 1) đoạn thẳng có điểm chung với a 3 Ngoài a 3 và các đoạnthẳng có điểm chung với nó, còn ít nhất (n2+ 1) − 3n đoạn thẳng

Cứ tiếp tục như vậy ta chọn đến đoạn thẳngan và các đoạn thẳng có điểm chungvới nó, ta còn ít nhất (n2+ 1) − n2 = 1 đoạn thẳng

Gọi một trong các đoạn còn lại làan+1 Ta có a1, a2, , an+1 làn + 1 đoạn thẳngđôi một không có điểm chung

Mệnh đề 1.6.3 Tập hợp điểm S = {X 1 ; X 2 ; ; X n }, trong đó n ≥ 3, trênmặt phẳng sao cho khoảng cách giữa hai điểm bất kì là khác nhau Với mỗi

i = 1, 2, , n ta vẽ một đoạn Ui nối điểm Xi với điểm Xj ∈ S\{Xi} gần nhất.Khi đó các đoạn Ui này không thể tạo thành một đường gấp khúc khép kín.Chứng minh Giả sử phản chứng rằng các đoạn Ui tạo thành một đường gấpkhúc khép kín Khi đó ta xét đoạn dài nhất XpXq của đường gấp khúc trên Suy

ra với mọi Xr 6= Xq thì |XpXr| < |XpXq|, khi đó Xq không phải là điểm gần Xp

nhất Vì thế không tồn tại đoạn X p X q

Trong phần này chúng tôi trình bày một số tính chất tổ hợp của các đa giáckhông lồi Đầu tiên chúng tôi nhắc lại định nghĩa một chu trình

Định nghĩa 1.7.1 Ta nói đường gấp khúc khép kín L = A1A2 AnA1 là một

chu trình nếu ba đỉnh kề nhau của L không cùng nằm trên một đường thẳng

Từ đây chúng tôi phát biểu Định lý Jordan

Định lý 1.7.2 (Jordan) Mọi đường gấp khúc khép kín L = A1A2 AnA1 chiamặt phẳng thành hai phần, trong đó có đúng một phần bị giới hạn (nghĩa là nónằm bên trong một hình tròn nào đó)

Phần bị giới hạn của mặt phẳng cùng với các điểm nằm trên đường gấp khúckhép kín L được gọi là một đa giác (hay chính xác hơn là một n-giác) M, vàchúng ta kí hiệuM = A1A2 An Đường gấp khúcLđược gọi là biên của đa giác

M, các đoạnAiAi+1 (với i = 1, 2, , n và An+1 = A1) được gọi là cạnh của M vàcác điểm Ai với i = 1, 2, , n được gọi là các đỉnh của M Những điểm khôngnằm trên biên được gọi là điểm trong củaM Nếu các đỉnh A i và A j không phải

Hình 1.10:

là hai đỉnh kề nhau thì đoạn AiAj được gọi là đường chéo của M (Lưu ý rằngmột số đường chéo có thể chứa các điểm không thuộc M (Hình 1.10(a))

Bây giờ chúng tôi sẽ giải thích chính xác hơn một trong hai góc Ai−1AiAi+1

ở đỉnh Ai được gọi là góc trong của đa giác M = A1A2 An Để làm đượcđiều này ta vẽ một đường tròn tâm Ai sao cho đường tròn này chỉ có hai điểm

Xi ∈ Ai−1Ai và Yi ∈ AiAi+1 là điểm chung của đường tròn với biên của đa giác

M (Hình 1.10(b)) Hai điểm Xi, Yi chia đường tròn thành hai cung và một tronghai cung này nằm ở trong M, khi đó gócXiAiYi tương ứng được gọi là góc trongcủa M Nếu M là đa giác lồi thì M sẽ chứa đoạn XiYi, từ đó suy ra tất cả cácgóc trong của đa giác lồi đều nhỏ hơn180◦ và đa giác không lồi là những đa giác

Mệnh đề 1.7.4 Mọi đa giác không lồi đều tồn tại đường chéo nằm hoàn toànbên trong đa giác và tồn tại ít nhất một đường chéo chứa các điểm bên ngoài

đa giác

Chứng minh Đầu tiên chúng ta chứng minh trong đa giác không lồi M tồn tạimột đường chéo nằm hoàn toàn bên trong đa giác Áp dụng kết quả của Mệnh

đề 1.7.3 ta chọn một đỉnh A của đa giác sao cho góc A nhỏ hơn 180◦ và giả sử

B, C là hai đỉnh lân cận của A Giả sử không còn đỉnh nào khác của đa giác M

nằm trong 4ABC, khi đó đường chéo BC nằm hoàn toàn trong M Nếu tamgiác này chứa đỉnh khác của M ta chọn D là đỉnh có khoảng cách đến A gầnnhất (nếu có nhiều đỉnh như vậy thì ta chọn một đỉnh bất kì) Khi đó đườngchéo AD nằm hoàn toàn trong M

Tiếp theo chúng ta chứng minh tồn tại một đường chéo của đa giácM chứa cácđiểm bên ngoài đa giác M Xét bao lồi M0 của đa giác M trong đó mỗi đỉnh của

M0 là một đỉnh của M Suy ra các cạnh của M0 là cạnh hoặc đường chéo của

M Khi đó tồn tại một số điểm nằm trên cạnh của M0 nhưng không thuộc M

vì nếu mọi điểm trên cạnh của M0 đều thuộc M thì khi đó M0 ≡ M và M là đagiác lồi, điều này là mâu thuẫn Vậy ta có điều phải chứng minh

Mệnh đề 1.7.5 Tồn tại ít nhất (n − 3) đường chéo nằm hoàn toàn bên trongmột n-giác không lồi

Chứng minh Ta chứng minh bằng phương pháp quy nạp toán học theo n Với

n = 4, khẳng định của mệnh đề trên là đúng Giả sử khẳng định của mệnh đềđúng với k-giác không lồi (k < n) Ta sẽ chứng minh khẳng định của mệnh đềđúng với n-giác Theo Mệnh đề 1.7.4 mọi đa giác không lồi đều tồn tại mộtđường chéo nằm hoàn toàn trong đa giác đó Ta chia n-giác không lồi M theomột đường chéo nằm hoàn toàn bên trong, khi đóM được chia thành(k + 1)-giác

và(n−k +1)-giác(2 ≤ k ≤ n−2) Theo giả thiết quy nạp thì tồn tại ít nhất(k −1)

đường chéo nằm hoàn toàn bên trong (k + 1)-giác và (n − k − 2) đường chéo nằmhoàn toàn trong(n−k+1)-giác Khi đó tồn tại ít nhất1+(k−2)+(n−k−2) = n−3

đường chéo nằm hoàn toàn bên trong n-giác không lồi M

Chương 2

Hệ đường cong và miền

Trong chương này chúng tôi trình bày một số bài toán tổ hợp liên quan đếnviệc chia một đối tượng hình học cho trước thành nhiều phần có "hình dạng"khác nhau bởi một họ đường thẳng hoặc đường cong Trước tiên chúng tôi nhắclại một số khái niệm liên quan

Cho A là tập hợp các điểm, hoặc là một mặt phẳng

Một điểm X được gọi là điểm trong của A nếu A chứa một hình tròn tâm X

bán kính dương

Tập hợp A được gọi là mở nếu mọi điểm X ∈ A đều là điểm trong của A

Điểm X được gọi là điểm biên của A nếu X không phải là điểm trong của A,cũng không phải là điểm trong của phần bù của A

Tập hợp tất cả các điểm biên của A gọi là biên của A Nếu với hai điểm X, Y

bất kì thuộc A ta có một đường gấp khúc XZ1Z2 ZnY nằm hoàn toàn trong

A thì ta nói tập A là liên thông

Tập A được chia thành các miền D1, D2, , Dm bởi hệ đường cong L nếu haiđiều kiện sau được thỏa mãn:

(i) Mỗi điểm thuộc A không nằm trên bất kì đường congl ∈ L nào mà thuộcđúng vào một trong các miền D1, D2, , Dn

(ii) Mỗi điểm thuộc bất kì miền Di(1 ≤ i ≤ n)là điểm của A không nằm trênbất kì đường cong l ∈ L nào.

Trong một số vấn đề chúng tôi chỉ xem xét các miền bị giới hạn (tương ứngkhông bị giới hạn); đây là những miền nằm hoàn toàn trong một hình tròn bánkính hữu hạn (tương ứng không nằm trong bất kì hình tròn nào)

Giả sử A là tập hợp tất cả các điểm nằm trên mặt phẳng và Llà hệ hữu hạncác đường thẳng phân biệt trong cùng mặt phẳng Mỗi miền của mặt phẳng

Bên cạnh đó còn có một số miền không bị giới hạn có "hình dạng" khác vớicác miền được liệt kê ở trên, cụ thể là nửa mặt phẳng và phần bên trong củamột dải song song; những miền này có được khi mặt phẳng được chia bởi một

họ đường thẳng loại thứ nhất, tức là các đường thẳng song song với nhau.Mệnh đề 2.1.1 Chon đường thẳng trên mặt phẳng Khi đó mặt phẳng có thể

bị chia thành nhiều nhất p(n) = n2+n+22 miền khác nhau bởi n đường thẳng đãcho

Chứng minh Rõ ràng ta cóp(1) = 2 Giả sử chúng ta biết số miềnp(n) lớn nhất

có thể được chia bởi n đường thẳng q1, q2, , qn Bây giờ ta thêm vào đườngthẳngqn+1, số miền của mặt phẳng tăng lên tương ứng với số giao điểm củaqn+1

với các đường thẳng q1, q2, , qn (nếu không có giao điểm nào thì số miền tănglên 1) Ta có nhiều nhất là n giao điểm của q n+1 với các đường q 1 , q 2 , , q n, vìvậy số miền bị chia tăng thêm nhiều nhất là (n + 1) miền Do đó ta có

p(n + 1) ≤ p(n) + (n + 1).

Để xác định một công thức rõ ràng của p(n) chúng tôi sử dụng phương phápsau đây và sẽ được sử dụng nhiều trong chương này Chúng tôi viết ra phươngtrình và các bất phương trình sau rồi tính tổng hai vế của phương trình và cácbất phương trình đó

p(1) = 2, p(2) ≤ p(1) + 2, p(3) ≤ p(2) + 3,

p(n − 1) ≤ p(n − 2) + n − 1,

Giá trị p(n) = 12(n2+ n + 2) có thể đạt được khi và chỉ khi với mỗi i = 1, 2, , n

đường thẳngqi có đúng(i − 1)giao điểm với các đường thẳngq1, q2, , qi−1 Điềunày chỉ có thể xảy ra khi và chỉ khi hệ đường thẳng đã cho không có hai đườngnào song song và không có ba đường nào đồng quy

Mệnh đề 2.1.2 Cho n ≥ 4 đường thẳng trên mặt phẳng sao cho không có haiđường thẳng nào song song và không có ba đường thẳng nào đồng quy Khi đó

có ít nhất 23(n − 1) tam giác được tạo thành khi mặt phẳng bị chia bởi n đườngthẳng đã cho

Chứng minh Giả sử hệ đường thẳng là L và tập hợp các giao điểm của chúng

là S Đầu tiên chúng ta chia L thành L 1 và L 2 Đường thẳng p ∈ L 1 khi và chỉkhi toàn bộ các giao điểm thuộc S nằm hoàn toàn ở một nửa mặt phẳng có bờ

là p, ngược lại p ∈ L2 Chúng ta sẽ chứng minh |L1| ≤ 2, tức là |L2| ≥ n − 2.Thật vậy, giả sử |L1| ≥ 3, giả sử ta có p1, p2, p3 ∈ L1 tạo thành tam giác 4ABC

(Hình 2.2) sao cho mọi điểm X ∈ S đều thuộc 4ABC Tuy nhiên mọi đườngthẳng p ∈ L\{p1, p2, p3} cắt nhiều nhất hai trong ba đoạn thẳng AB, BC, AC vàkhông cắt một đoạn thẳng, giả sử là AB Vì vậy giao điểm của p và p1 khôngnằm trong 4ABC

Ta ước tính số lượng miền có hình tam giác: Mỗi đường thẳng p ∈ L1 xác định

ít nhất một miền như vậy, hai đỉnh của tam giác nằm trên p và đỉnh thứ ba là

Hình 2.2:

điểm Y ∈ S sao cho khoảng cách đến plà nhỏ nhất Tương tự, mỗi đường thẳng

p ∈ L 2 xác định ít nhất hai miền tam giác, có ít nhất một tam giác ở mỗi nửamặt phẳng có bờ là đường thẳng này Nếu ta tính tổng số lượng các miền tamgiác với mọi đường thẳng trong L, ta sẽ đếm mỗi miền ba lần Vì vậy số N cácmiền tam giác sẽ thỏa mãn

q đường thẳng đi qua điểm Q, với p, q ≥ 1 và p + q = n Giả sử rẳng không cóđường thẳng nào đi qua cả hai điểm P, Qvà không có hai đường thẳng nào songsong Khi đó n đường thẳng đã cho chia mặt phẳng thành nhiều nhất n2+8n−44miền

Chứng minh Gọi N (p, q) là số miền của mặt phẳng bị chia bởi hai họ đườngthẳng Các đường thẳng của họ đường thẳng trọng tâm P chia mặt phẳngthành N (p, 0) = 2p miền Nếu có một đường thẳng đi qua Q thì mặt phẳng bị

chia thêm(p + 1) phần và ta có N (p, 1) = N (p, 0) + (p + 1) Nếu thêm một đườngthẳng nữa thuộc họ đường thẳng thứ hai thì mặt phẳng bị chi thêm(p + 2)phần,

từ đó với q ≥ 2 ta có N (p, q) = N (p, q − 1) + p + 2 Theo cách lập luận của Mệnh

số miền mà mặt phẳng bị chia ra lớn nhất khi {p, q} = {k, k + 1} hoặc {p, q} = {k + 1, k} Thật vậy, với n lẻ ta đặt p = n−12 + r và q = n+12 − r, với (r ∈ Z) Khi

Dấu bằng xảy ra khi r = 12, điều này không thể bởi r ∈Z.

Với r < 12 thì −r2+ r ≤ −02+ 0 = 0 suy ra N (p, q) ≤ n2+8n−54 Đẳng thức xảy rakhi r = 0, khi đó p = k, q = k + 1

Với r > 12 thì −r 2 + r ≤ −12+ 1 = 0 suy ra N (p, q) ≤ n2+8n−54 Đẳng thức xảy rakhi r = 1, khi đó p = k + 1, q = k

Vậy với n lẻ thì N (p, q) ≤ n2+8n−54

Trong phần này chúng tôi trình bày vấn đề đếm số lượng các miền của mặtphẳng được chia bởi các đường cong khép kín (đóng) Các đường cong được xétđến ở đây là các đường tròn hoặc đường biên của các đa giác (lồi)

Mệnh đề 2.2.1 Cho n đường tròn trên mặt phẳng Khi đó mặt phẳng có thể

bị chia thành nhiều nhất k(n) = n2− n + 2 miền khác nhau bởi n đường tròn đã

Chứng minh Rõ ràng k(1) = 2 Bây giờ giả sử ta đã biết số k(n) lớn nhất có thểcủa các miền mà mặt phẳng bị chia bởi n đường tròn Ta thêm vào một đườngtròn, đường tròn thứ (n + 1) này có nhiều nhất 2n giao điểm với n đường tròntrước và các giao điểm này xác định nhiều nhất 2n cung tròn trên đường trònmới và mỗi cung này chia một trong các miền ban đầu thành hai miền mới Do

đó k(n + 1) ≤ k(n) + 2n Từ điều này ta suy ra (tương tự như cách chứng minhMệnh đề 2.1.1)

(c) các miền bao gồm các điểm nằm trong một đa giác nhưng không nằm trong

đa giác còn lại Ta ước tính số lượng các miền này là N0(n)

Mỗi miền thuộc loại (c) là một đa giác (có ít nhất ba cạnh) có các biên được tạothành bởi các đoạn thẳng là cạnh hoặc một phần của các cạnh của hai n-giác

đã cho Mỗi cạnh của n-giác đã cho có thể chia thành nhiều nhất ba đoạn cho

số miền của mặt phẳng bị chia bởi hai n-giác là(2n + 2) VậyN (n) = 2n + 2.

Mệnh đề 2.3.1 n-giác lồi M (n ≥ 4) bị chia bởi tất cả các đường chéo của nóthành các miền trong đó có ít nhất một k-giác, với k = n khi n lẻ và k = n − 1

khi n chẵn

Chứng minh Ta giả sử một trong các miền mà M bị chia ra là k-giác lồi P Quamỗi đỉnh của M có nhiều nhất hai cạnh hoặc đường chéo chứa cạnh của P Mỗicạnh của P được xác định bởi hai đỉnh của M, do đó k ≤ 2n2 = n

Nếu n lẻ, dễ thấy rằng giá trị k = n có thể đạt được: Xét n-giác đều nội tiếpđường tròn tâm S, khi đó không có đường chéo nào đi qua S Điểm S này sẽnằm trong miền P, là một đa giác có đúng n cạnh, vì khi quay M một góc 2πn